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15.6.1: Mais exemplos de aplicações - matemática


objetivos de aprendizado

  • Resolva aplicações envolvendo movimento uniforme (problemas de distância).
  • Resolva aplicativos de taxa de trabalho.
  • Configure e resolva aplicações envolvendo variação direta, inversa e conjunta.

Resolvendo Problemas de Movimento Uniforme

Movimento uniforme (ou distância)37 os problemas envolvem a fórmula (D = rt ), onde a distância (D ) é dada como o produto da taxa média (r ) e o tempo (t ) percorrido nessa taxa. Se dividirmos ambos os lados pela taxa média (r ), então obtemos a fórmula

(t = frac {D} {r} )

Por esse motivo, quando a quantidade desconhecida é o tempo, a configuração algébrica para problemas de distância geralmente resulta em uma equação racional. Começamos qualquer problema de movimento uniforme organizando primeiro nossos dados com um gráfico. Use essas informações para configurar uma equação algébrica que modela o aplicativo.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Sally viajou (15 ) milhas no ônibus e depois outras (72 ) milhas no trem. O trem era (18 ) milhas por hora mais rápido que o ônibus, e a viagem total demorava (2 ) horas. Qual foi a velocidade média do trem?

Solução

Primeiro, identifique a quantidade desconhecida e organize os dados.

Deixe (x ) representar a velocidade média (em milhas por hora) do ônibus.

Deixe (x + 18 ) representar a velocidade média do trem.

Para evitar a introdução de mais duas variáveis ​​para a coluna de tempo, use a fórmula (t = frac {D} {r} ). O tempo para cada trecho da viagem é calculado da seguinte forma:

( begin {alinhados} color {Cerulean} {Tempo : gasto : em : o : bus:} color {black} {t} = frac {D} {r} & = frac { 15} {x} color {Cerulean} {Tempo : gasto : em : o : train:} color {black} {t} = frac {D} {r} & = frac { 72} {x + 18} end {alinhado} )

Use essas expressões para completar o gráfico.

A configuração algébrica é definida pela coluna de tempo. Adicione o tempo gasto em cada trecho da viagem para obter um total de (2 ) horas:

Começamos a resolver esta equação multiplicando primeiro ambos os lados pelo LCD, (x (x + 18) ).

Resolva a equação quadrática resultante por fatoração.

Como estamos procurando uma velocidade média, vamos desconsiderar a resposta negativa e concluir o ônibus em média (30 ) mph. Substitua (x = 30 ) na expressão identificada como a velocidade do trem.

(x + 18 = 30 + 18 = 48 )

Responder:

A velocidade do trem era de (48 ) mph.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Um barco pode atingir em média (12 ) milhas por hora em águas paradas. Em uma viagem rio abaixo, o barco foi capaz de viajar (29 ) milhas com a corrente. Na viagem de volta, o barco só conseguiu viajar (19 ) milhas no mesmo tempo contra a corrente. Qual foi a velocidade da corrente?

Solução

Primeiro, identifique as quantidades desconhecidas e organize os dados.

Seja (c ) a velocidade da corrente do rio.

Em seguida, organize os dados fornecidos em um gráfico. Viajando a jusante, a corrente aumentará a velocidade do barco, portanto, aumenta a velocidade média do barco. Viajando contra a correnteza, a corrente desacelera o barco, portanto, será subtraída da velocidade média do barco.

Use a fórmula (t = frac {D} {r} ) para preencher a coluna de tempo.

Como o barco viajou tanto rio abaixo quanto rio acima, termine a configuração algébrica definindo as expressões que representam os tempos iguais entre si.

Como há uma única fração algébrica em cada lado, podemos resolver essa equação usando multiplicação cruzada.

Responder:

A velocidade da corrente era de (2 frac {1} {2} ) milhas por hora.

Exercício ( PageIndex {1} )

Um avião a jato pode atingir a média de (160 ) milhas por hora no ar calmo. Em uma viagem, a aeronave viajou (600 ) milhas com vento de cauda e retornou (600 ) milhas contra um vento contrário de mesma velocidade. Se a viagem total de ida e volta levasse (8 ) horas, qual era a velocidade do vento?

Responder

(40 ) milhas por hora

www.youtube.com/v/0NglBthTwss

Resolvendo Problemas de Taxa de Trabalho

A taxa na qual uma tarefa pode ser realizada é chamada de ritmo de trabalho38. Por exemplo, se um pintor pode pintar um quarto em (6 ) horas, a tarefa é pintar o quarto, e podemos escrever

( frac {1 text {tarefa}} {6 text {horas}} quad color {Cerulean} {trabalho : taxa} )

Em outras palavras, o pintor pode completar ( frac {1} {6} ) da tarefa por hora. Se ele trabalhar menos de (6 ) horas, ele executará uma fração da tarefa. Se ele trabalhar por mais de (6 ) horas, ele poderá completar mais de uma tarefa. Por exemplo,

( begin {align} color {Cerulean} {work-rate : : times : : time} & color {black} {=} color {Cerulean} {quantidade : of : task : concluído} frac {1} {6} quad times quad3 hrs & = : frac {1} {2} quad color {Cerulean} {metade : de : o : room : painted} frac {1} {6} quad times quad 6 hrs & = : 1 quad color {Cerulean} {one : whole : room : painted} frac {1} {6} quad times : : 12 text {hrs} & = : 2 quad color {Cerulean} {two : whole : rooms : painted} end { alinhado} )

Obtenha a quantidade de tarefas concluídas multiplicando a taxa de trabalho pela quantidade de tempo que o pintor trabalha. Normalmente, os problemas de taxa de trabalho envolvem pessoas ou máquinas trabalhando juntas para concluir tarefas. Em geral, se (t ) representa o tempo que duas pessoas trabalham juntas, então temos o seguinte fórmula de taxa de trabalho39:

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = color {Cerúleo} {quantidade : de : tarefa : concluída : juntos} )

Aqui ( frac {1} {t _ {1}} ) e ( frac {1} {t _ {2}} ) são as taxas de trabalho individuais.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Joe pode pintar uma sala típica em (2 ) horas menos tempo do que Mark. Se Joe e Mark podem pintar (5 ) cômodos trabalhando juntos em um turno de (12 ) horas, quanto tempo cada um leva para pintar um único cômodo?

Solução

Deixe (x ) representar o tempo que Marcos leva para pintar uma sala típica.

Deixe (x - 2 ) representar o tempo que Joe leva para pintar uma sala típica.

Portanto, a taxa de trabalho individual de Mark é de ( frac {1} {x} ) quartos por hora e a de Joe é de ( frac {1} {x − 2} ) quartos por hora. Ambos os homens trabalharam por (12 ) horas. Podemos organizar os dados em um gráfico, assim como fizemos com os problemas de distância.

Trabalhando juntos, eles podem pintar 5 quartos no total em 12 horas. Isso nos leva à seguinte configuração algébrica:

Multiplique ambos os lados pelo LCD, (x (x − 2) ).

Resolva a equação quadrática resultante por fatoração.

Podemos desconsiderar ( frac {4} {5} ) porque substituir de volta em (x - 2 ) resultaria em um tempo negativo para pintar um quarto. Considere (x = 6 ) como a única solução e use-o para encontrar o tempo que Joe leva para pintar uma sala típica.

Responder:

Joe pode pintar uma sala típica em (4 ) horas e Mark pode pintar uma sala típica em (6 ) horas. Como verificação, podemos multiplicar ambas as taxas de trabalho por (12 ) horas para ver que juntos eles podem pintar (5 ) quartos.

( left. begin {array} {l} { color {Cerulean} {Joe} : : color {black} { frac {1 text {room}} {4 text {hrs}} } cdot 12 text {hrs} = 3 text {quartos}} { color {Cerulean} {Mark} : : color {black} { frac {1 text {room}} {6 text {hrs}}} cdot 12 text {hrs} = 2 text {rooms}} end {array} right } Total : 5 : rooms : color {Cerulean} {✓} )

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Bill leva o dobro do tempo para colocar um piso de ladrilhos sozinho do que Manny. Depois de trabalhar junto com Bill por (4 ) horas, Manny conseguiu concluir o trabalho em (2 ) horas adicionais. Quanto tempo demoraria para Manny trabalhar sozinho?

Solução

Seja (x ) o tempo que leva para Manny colocar o chão sozinho.

Deixe (2x ) representar o tempo que leva para Bill colocar o chão sozinho.

A taxa de trabalho de Manny é ( frac {1} {x} ) do piso por hora e a taxa de trabalho de Bill é ( frac {1} {2x} ). Bill trabalhou no emprego por (4 ) horas e Manny trabalhou no emprego por (6 ) horas.

Isso nos leva à seguinte configuração algébrica:

( frac {1} {x} cdot 6 + frac {1} {2 x} cdot 4 = 1 )

Resolver.

( begin {alinhados} frac {6} {x} + frac {4} {2 x} & = 1 color {Cerulean} {x} color {black} { cdot} left ( frac {6} {x} + frac {2} {x} right) & = color {Cerúleo} {x} color {preto} { cdot} 1 6 + 2 & = x 8 & = x end {alinhado} )

Responder:

Manny demoraria (8 ) horas para terminar a palavra sozinho.

Considere a fórmula da taxa de trabalho onde uma tarefa deve ser concluída.

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 )

Fatore o tempo (t ) e, em seguida, divida os dois lados por (t ). Isso resultará em fórmulas de taxa de trabalho especializadas equivalentes:

( begin {alinhados} t left ( frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} right) & = 1 frac {1} { t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} & = frac {1} {t} end {alinhado} )

Em resumo, temos as seguintes fórmulas de taxa de trabalho equivalente:

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Work : rate : formulas}} { frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 quad text {ou} quad frac {t} {t _ {1}} + frac {t} {t _ {2}} = 1 quad text {ou } quad frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} = frac {1} {t}} end {array} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Matt pode colocar uma bancada em (2 ) horas, e seu assistente pode fazer o mesmo trabalho em (3 ) horas. Se Matt começar o trabalho e seu assistente se juntar a ele (1 ) hora depois, quanto tempo levará para colocar a bancada em azulejo?

Responder

(1 frac {3} {5} ) horas

www.youtube.com/v/5g6sSFWGb7M

Resolução de problemas envolvendo variação direta, inversa e conjunta

Muitos problemas do mundo real encontrados nas ciências envolvem dois tipos de relacionamentos funcionais. O primeiro tipo pode ser explorado usando o fato de que a distância (s ) em pés em que um objeto cai do repouso, independentemente da resistência do ar, pode ser aproximada usando a seguinte fórmula:

(s = 16t ^ {2} )

Aqui (t ) representa o tempo em segundos que o objeto esteve caindo. Por exemplo, após (2 ) segundos, o objeto terá caído (s = 16 (2) ^ {2} = 16 cdot 4 = 64 ) pés.

Tempo (t ) em segundosDistância (s = 16 t ^ {2} ) em pés
(0)(0)
(1)(16)
(2)(64)
(3)(144)
(4)(256)
Tabela ( PageIndex {1} )

Neste exemplo, podemos ver que a distância varia ao longo do tempo como o produto de uma constante (16 ) e o quadrado do tempo (t ). Esta relação é descrita como variação direta40 e (16 ) é chamado de constante de variação41. Além disso, se dividirmos ambos os lados de (s = 16t ^ {2} ) por (t ^ {2} ), temos

( frac {s} {t ^ {2}} = 16 )

Desta forma, é razoável dizer que (s ) é proporcional a (t ^ {2} ), e (16 ) é chamado de constante de proporcionalidade42. Em geral, temos

Palavras-chaveTradução
" (y ) varia (x ) diretamente como (x )" (y = kx )
" (y ) é diretamente proporcional43 para (x ) "
" (y ) é proporcional a (x )"
Tabela ( PageIndex {2} )

Aqui, (k ) é diferente de zero e é chamada de constante de variação ou constante de proporcionalidade. Normalmente, receberemos informações a partir das quais podemos determinar essa constante.

Exemplo ( PageIndex {5} ):

O peso de um objeto na Terra varia diretamente com seu peso na Lua. Se um homem pesa (180 ) libras na Terra, ele pesará (30 ) libras na Lua. Configure uma equação algébrica que expresse o peso na Terra em termos do peso na Lua e use-a para determinar o peso de uma mulher na Lua se ela pesar (120 ) libras na Terra.

Solução

Seja (y ) o peso na Terra.

Deixe (x ) representar o peso na Lua.

Foi-nos dado que o "peso na Terra varia diretamente em relação ao peso na Lua".

(y = kx )

Para encontrar a constante de variação (k ), use as informações fornecidas. Um homem (180 ) - lb na Terra pesa (30 ) libras na Lua, ou (y = 180 ) quando (x = 30 ).

(180 = k cdot 30 )

Resolva para (k ).

( begin {array} {c} { frac {180} {30} = k} {6 = k} end {array} )

A seguir, estabeleça uma fórmula que modele as informações fornecidas.

(y = 6x )

Isso implica que o peso de uma pessoa na Terra é (6 ) vezes o seu peso na Lua. Para responder à pergunta, use o peso da mulher na Terra, (y = 120 ) lbs, e resolva para (x ).

( begin {array} {l} {120 = 6 x} { frac {120} {6} = x} {20 = x} end {array} )

Responder:

A mulher pesa (20 ) libras na lua.

A segunda relação funcional pode ser explorada usando a fórmula que relaciona a intensidade da luz (I ) com a distância de sua fonte (d ).

(I = frac {k} {d ^ {2}} )

Aqui (k ) representa alguma constante. Uma vela é uma medida da intensidade da luz. Uma vela de pé é definida como igual à quantidade de iluminação produzida por uma vela padrão medida a um pé de distância. Por exemplo, uma lâmpada fluorescente crescente de (125 ) - Watt é anunciada para produzir (525 ) velas de iluminação. Isso significa que à distância (d = 1 ) pé, (I = 525 ) velas e temos:

( begin {array} {l} {525 = frac {k} {(1) ^ {2}}} {525 = k} end {array} )

Usando (k = 525 ), podemos construir uma fórmula que dá a intensidade da luz produzida pela lâmpada:

(I = frac {525} {d ^ {2}} )

Aqui (d ) representa a distância que a luz crescente está das plantas. No gráfico a seguir, podemos ver que a quantidade de iluminação diminui rapidamente à medida que a distância das plantas aumenta.

Distância (t ) em pésIntensidade de luz (I = frac {525} {d ^ {2}} )
(1)(525)
(2)(131.25)
(3)(58.33)
(4)(32.81)
(5)(21)
Tabela ( PageIndex {3} )

Este tipo de relacionamento é descrito como um variação inversa44. Nós dizemos isso eu é inversamente proporcional45 ao quadrado da distância (d ), onde (525 ) é a constante de proporcionalidade. Em geral, temos

Palavras-chaveTradução
" (y ) varia inversamente como (x )" (y = frac {k} {x} )
" (y ) é inversamente proporcional a (x )"
Tabela ( PageIndex {4} )

Novamente, (k ) é diferente de zero e é chamada de constante de variação ou constante de proporcionalidade.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

O peso de um objeto varia inversamente ao quadrado de sua distância do centro da Terra. Se um objeto pesa (100 ) libras na superfície da Terra (aproximadamente (4.000 ) milhas do centro), quanto pesará a (1.000 ) milhas acima da superfície da Terra?

Solução

Deixe (w ) representar o peso do objeto.

Deixe (d ) representar a distância do objeto do centro da Terra.

Uma vez que " (w ) varia inversamente ao quadrado de (d )", podemos escrever

(w = frac {k} {d ^ {2}} )

Use as informações fornecidas para encontrar (k ). Um objeto pesa (100 ) libras na superfície da Terra, aproximadamente (4.000 ) milhas do centro. Em outras palavras, (w = 100 ) quando (d = 4.000 ):

(100 = frac {k} {(4.000) ^ {2}} )

Resolva para (k ).

( begin {align} color {Cerulean} {(4.000) ^ {2}} color {black} { cdot} 100 & = color {Cerulean} {(4.000) ^ {2}} color { preto} { cdot} frac {k} {(4.000) ^ {2}} 1.600.000.000 & = k 1,6 vezes 10 ^ {9} & = k end {alinhado} )

Portanto, podemos modelar o problema com a seguinte fórmula:

(w = frac {1,6 vezes 10 ^ {9}} {d ^ {2}} )

Para usar a fórmula para encontrar o peso, precisamos da distância do centro da Terra. Como o objeto está (1.000 ) milhas acima da superfície, encontre a distância do centro da Terra adicionando (4.000 ) milhas:

(d = 4.000 + 1.000 = 5.000 : : text {milhas} )

Para responder à pergunta, use a fórmula com (d = 5.000 ).

( begin {align} y & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {( color {OliveGreen} {5,000} color {black} {)} ^ {2}} & = frac {1,6 vezes 10 ^ {9}} {25.000.000} & = frac {1,6 vezes 10 ^ {9}} {2,5 vezes 10 ^ {9}} & = 0,64 vezes 10 ^ { 2} & = 64 end {alinhado} )

Responder:

O objeto pesará (64 ) libras a uma distância (1.000 ) milhas acima da superfície da Terra.

Por último, definimos relações entre várias variáveis, descritas como variação conjunta46. Em geral, temos

Palavras-chaveTradução
" (y ) varia conjuntamente como (x ) e (z )" (y = k x z )
" (y ) é conjuntamente proporcional47 para (x ) e (z ) "
Tabela ( PageIndex {5} )

Aqui, (k ) é diferente de zero e é chamada de constante de variação ou constante de proporcionalidade.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

A área de uma elipse varia conjuntamente como (a ), metade do eixo principal da elipse e (b ), metade do eixo menor da elipse, conforme ilustrado. Se a área de uma elipse é (300π cm ^ {2} ), onde (a = 10 ) cm e (b = 30 ) cm, qual é a constante de proporcionalidade? Dê uma fórmula para a área de uma elipse.

Solução

Se deixarmos (A ) representar a área de uma elipse, então podemos usar a declaração "área varia conjuntamente como (a ) e (b )" para escrever

(A = kab )

Para encontrar a constante de variação (k ), use o fato de que a área é (300π ) quando (a = 10 ) e (b = 30 ).

( begin {array} {c} {300 pi = k ( color {OliveGreen} {10} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {30} color {black} {)} } {300 pi = 300 k} { pi = k} end {array} )

Portanto, a fórmula para a área de uma elipse é

(A = πab )

Responder:

A constante de proporcionalidade é (π ) e a fórmula para a área de uma elipse é (A = abπ ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Dado que (y ) varia diretamente como o quadrado de (x ) e inversamente com (z ), onde (y = 2 ) quando (x = 3 ) e (z = 27 ), encontre (y ) quando (x = 2 ) e (z = 16 ).

Responder

( frac {3} {2} )

www.youtube.com/v/ee3AFf7b6Kg

Principais vantagens

  • Ao resolver problemas de distância onde o elemento de tempo é desconhecido, use a forma equivalente da fórmula de movimento uniforme, (t = frac {D} {r} ), para evitar a introdução de mais variáveis.
  • Ao resolver problemas de taxa de trabalho, multiplique a taxa de trabalho individual pelo tempo para obter a parte da tarefa concluída. A soma das partes da tarefa resulta na quantidade total de trabalho concluído.
  • A configuração de problemas de variação geralmente requer várias etapas. Primeiro, identifique as palavras-chave para configurar uma equação e, em seguida, use as informações fornecidas para encontrar a constante de variação (k ). Depois de determinar a constante de variação, escreva uma fórmula que modele o problema. Quando uma fórmula for encontrada, use-a para responder à pergunta.

Exercício ( PageIndex {4} )

Use a álgebra para resolver as seguintes aplicações.

  1. Todas as manhãs, Jim passa (1 ) hora se exercitando. Ele corre (2 ) milhas e depois anda de bicicleta (16 ) milhas. Se Jim consegue pedalar duas vezes mais rápido do que correr, a que velocidade ele mede em sua bicicleta?
  2. Sally corre (3 ) vezes mais rápido do que anda. Ela correu por ( frac {3} {4} ) de uma milha e depois caminhou mais (3 frac {1} {2} ) milhas. O treino total durou (1 frac {1} {2} ) horas. Qual foi a velocidade média de caminhada de Sally?
  3. Em uma viagem de negócios, um executivo viajou (720 ) milhas de jato e depois outras (80 ) milhas de helicóptero. Se o jato foi em média (3 ) vezes a velocidade do helicóptero, e a viagem total durou (4 ) horas, qual foi a velocidade média do jato?
  4. Um triatleta pode correr (3 ) vezes mais rápido do que pode nadar e pedalar (6 ) vezes mais rápido do que pode nadar. A corrida consiste em um mergulho de ( frac {1} {4} ) milhas, corrida de (3 ) milhas e uma corrida de bicicleta de (12 ) milhas. Se ela pode completar todos esses eventos em (1 frac {5} {8} ) hora, então quão rápido ela pode nadar, correr e andar de bicicleta?
  5. Em uma viagem, Marty conseguia dirigir em média (4 ) milhas por hora mais rápido do que George. Se Marty foi capaz de dirigir (39 ) milhas no mesmo tempo que George dirigiu (36 ) milhas, qual foi a velocidade média de Marty?
  6. O ônibus é (8 ) milhas por hora mais rápido que o bonde. Se o ônibus viaja (9 ) milhas no mesmo tempo que o bonde pode viajar (7 ) milhas, qual é a velocidade média de cada um?
  7. Terry decidiu correr (5 ) milhas até a cidade. Na viagem de volta, ela caminhou (5 ) milhas para casa na metade da velocidade que ela era capaz de correr. Se a viagem total durou (3 ) horas, qual foi sua velocidade média de corrida?
  8. James dirigiu (24 ) milhas até a cidade e voltou em (1 ) hora. Na viagem de volta, ele conseguiu em média (20 ) milhas por hora mais rápido do que na viagem para a cidade. Qual foi sua velocidade média na viagem para a cidade?
  9. Uma aeronave leve foi capaz de viajar (189 ) milhas com um vento de cauda de (14 ) milhas por hora ao mesmo tempo em que foi capaz de viajar (147 ) milhas contra ela. Qual foi a velocidade da aeronave em ar calmo?
  10. Um jato voou (875 ) milhas com vento de cauda (30 ) milhas por hora. Na viagem de volta, contra um vento contrário de (30 ) milhas por hora, ele foi capaz de cobrir apenas (725 ) milhas no mesmo período de tempo. Quão rápido era o jato no ar calmo?
  11. Um helicóptero media em média (90 ) milhas por hora no ar calmo. Voando com o vento, ele foi capaz de viajar (250 ) milhas no mesmo tempo que levou para viajar (200 ) milhas contra ele. Qual é a velocidade do vento?
  12. Mary e Joe fizeram uma viagem em motocicletas separadas. A velocidade média de Maria era (12 ) milhas por hora menor do que a velocidade média de Joe. Se Mary dirigiu (115 ) milhas no mesmo tempo que Joe levou para dirigir (145 ) milhas, qual foi a velocidade média de Mary?
  13. Um barco media em média (12 ) milhas por hora em águas paradas. Em uma viagem rio abaixo, com a corrente, o barco foi capaz de viajar (26 ) milhas. O barco então deu meia-volta e retornou a (33 ) milhas rio acima. Qual foi a velocidade da corrente se a viagem total durou (5 ) horas?
  14. Se a corrente do rio flui a uma média de (3 ) milhas por hora, um barco turístico pode fazer um passeio de (18 ) milhas rio abaixo com a corrente e voltar (18 ) milhas contra a corrente em ( 4 frac {1} {2} ) horas. Qual é a velocidade média do barco em águas paradas?
  15. José dirigiu (16 ) milhas até a casa de sua avó para jantar e voltou naquela mesma noite. Por causa do tráfego, ele calculou a média de (20 ) milhas por hora a menos na viagem de volta. Se demorasse ( frac {1} {4} ) hora a mais para chegar em casa, qual era a velocidade média dele ao dirigir até a casa da avó?
  16. Jerry remou em seu caiaque, contra a corrente de (1 ) mph, por (12 ) milhas. A viagem de volta, rio abaixo com a corrente de (1 ) mph, demorou uma hora a menos. Com que rapidez Jerry rematou o caiaque em água parada?
  17. James e Mildred deixaram o mesmo local em carros separados e se encontraram em Los Angeles (300 ) milhas de distância. James conseguiu em média (16 ) milhas por hora mais rápido do que Mildred na viagem. Se James chegou (1 ) hora antes de Mildred, qual foi a velocidade média de Mildred?
  18. Um ônibus é (20 ) milhas por hora mais rápido que uma bicicleta. Se Bill embarcar no ônibus no mesmo horário e local em que Mary sai de bicicleta, Bill chegará ao centro (5 ) milhas de distância ( frac {1} {3} ) hora antes de Mary. Qual é a velocidade média do ônibus?
Responder

1. (20 ) milhas por hora

3. (240 ) milhas por hora

5. (52 ) milhas por hora

7. (5 ) milhas por hora

9. (112 ) milhas por hora

11. (10 ​​) milhas por hora

13. (1 ) milha por hora

15. (40 ) milhas por hora

17. (50 ) milhas por hora

Exercício ( PageIndex {5} )

Use a álgebra para resolver as seguintes aplicações.

  1. Mike pode pintar o escritório sozinho em (4 frac {1} {2} ) horas. Jordan pode pintar o escritório em (6 ) horas. Quanto tempo vai demorar para pintar o escritório trabalhando juntos?
  2. Barry pode construir um caminho de tijolos sozinho em (3 frac {1} {2} ) dias. Robert faz o mesmo trabalho em (5 ) dias. Quanto tempo vai demorar para colocar a calçada de tijolos trabalhando juntos?
  3. Um cano maior enche um tanque de água duas vezes mais rápido que um cano menor. Quando ambos os tubos são usados, eles enchem o tanque em (10 ​​) horas. Se o tubo maior for deixado de lado, quanto tempo o tubo menor levará para encher o tanque?
  4. Uma impressora mais recente pode imprimir duas vezes mais rápido que uma impressora mais antiga. Se as duas impressoras trabalhando juntas puderem imprimir um lote de panfletos em (45 ) minutos, quanto tempo a impressora mais antiga levará para imprimir o lote trabalhando sozinha?
  5. Maria pode montar uma bicicleta para exibição em (2 ) horas. Jane leva (3 ) horas para montar uma bicicleta. Quanto tempo vai levar Mary e Jane, trabalhando juntas, para montar (5 ) bicicletas?
  6. Trabalhando sozinho, James leva o dobro do tempo para montar um computador do que Bill. Em um turno de (8 ) horas, trabalhando juntos, James e Bill podem montar (6 ) computadores. Quanto tempo levaria para James montar um computador se estivesse trabalhando sozinho?
  7. Trabalhando sozinho, Harry leva uma hora a mais do que Mike para instalar uma fonte. Juntos, eles podem instalar fontes de (10 ​​) em (12 ) horas. Quanto tempo levaria para Mike instalar (10 ​​) fontes sozinho?
  8. Trabalhando sozinho, Henry leva (2 ) horas a mais do que Bill para pintar um quarto. Trabalhando juntos, eles pintaram (2 frac {1} {2} ) quartos em (6 ) horas. Quanto tempo demoraria para Henry pintar a mesma quantidade se estivesse trabalhando sozinho?
  9. Manny, trabalhando sozinho, pode instalar um gabinete personalizado em (3 ) horas a menos do que seu assistente. Trabalhando juntos, eles podem instalar o gabinete em (2 ) horas. Quanto tempo levaria para Manny instalar o armário trabalhando sozinho?
  10. Trabalhando sozinho, Garret pode montar um galpão de jardim em (5 ) horas a menos do que seu irmão. Trabalhando juntos, eles precisam de (6 ) horas para construir o galpão do jardim. Quanto tempo levaria para Garret construir o galpão trabalhando sozinho?
  11. Trabalhando sozinho, o gerente-assistente leva (2 ) mais horas do que o gerente para registrar o estoque de toda a loja. Depois de trabalharem juntos por (2 ) horas, o gerente-assistente levou (1 ) hora adicional para concluir o inventário. Quanto tempo o gerente levaria para concluir o estoque trabalhando sozinho?
  12. Uma impressora mais antiga pode imprimir um lote de brochuras de vendas em (16 ) minutos. Uma impressora mais nova pode imprimir o mesmo lote em (10 ​​) minutos. Depois de trabalharem juntos por algum tempo, a impressora mais recente foi desligada e a impressora mais antiga demorou (3 ) minutos a mais para concluir o trabalho. Por quanto tempo a impressora mais recente funcionou?
Responder

1. (2 frac {4} {7} ) horas

3. (30 ) horas

5. (6 ) horas

7. (20 ) horas

9. (3 ) horas

11. (4 ) horas

Exercício ( PageIndex {6} )

Traduza cada uma das frases a seguir em uma fórmula matemática.

  1. A distância (D ) que um automóvel pode percorrer é diretamente proporcional ao tempo (t ) que ele percorre a uma velocidade constante.
  2. A extensão de uma mola suspensa (d ) é diretamente proporcional ao peso (w ) anexado a ela.
  3. A distância de frenagem de um automóvel (d ) é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do automóvel (v ).
  4. O volume (V ) de uma esfera varia diretamente com o cubo de seu raio (r ).
  5. O volume (V ) de uma dada massa de gás é inversamente proporcional à pressão (p ) exercida sobre ele.
  6. Cada partícula de matéria no universo atrai todas as outras partículas com uma força (F ) que é diretamente proporcional ao produto das massas (m_ {1} ) e (m_ {2} ) das partículas, e é inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre eles.
  7. Juros simples (I ) são conjuntamente proporcionais à taxa de juros anual (r ) e ao tempo (t ) em anos em que uma quantia fixa de dinheiro é investida.
  8. O tempo (t ) que um objeto leva para cair é diretamente proporcional à raiz quadrada da distância (d ) que ele cai.
Responder

1. (D = kt )

3. (d = kv ^ {2} )

5. (V = frac {k} {p} )

7. (I = krt )

Exercício ( PageIndex {7} )

Construa um modelo matemático dado o seguinte:

  1. (y ) varia diretamente como (x ) e (y = 30 ) quando (x = 6 ).
  2. (y ) varia diretamente como (x ) e (y = 52 ) quando (x = 4 ).
  3. (y ) é diretamente proporcional a (x ) e (y = 12 ) quando (x = 3 ).
  4. (y ) é diretamente proporcional a (x ) e (y = 120 ) quando (x = 20 ).
  5. (y ) é diretamente proporcional a (x ) e (y = 3 ) quando (x = 9 ).
  6. (y ) é diretamente proporcional a (x ) e (y = 21 ) quando (x = 3 ).
  7. (y ) varia inversamente como (x ), e (y = 2 ) quando (x = frac {1} {8} ).
  8. (y ) varia inversamente como (x ), e (y = frac {3} {2} ) quando (x = frac {1} {9} ).
  9. (y ) é conjuntamente proporcional a (x ) e (z ), onde (y = 2 ) quando (x = 1 ) e (z = 3 ).
  10. (y ) é conjuntamente proporcional a (x ) e (z ), onde (y = 15 ) quando (x = 3 ) e (z = 7 ).
  11. (y ) varia conjuntamente como (x ) e (z ), onde (y = frac {2} {3} ) quando (x = frac {1} {2} ) e (z = 12 ).
  12. (y ) varia conjuntamente como (x ) e (z ), onde (y = 5 ) quando (x = frac {3} {2} ) e (z = frac {2} {9} ).
  13. (y ) varia diretamente como o quadrado de (x ), onde (y = 45 ) quando (x = 3 ).
  14. (y ) varia diretamente como o quadrado de (x ), onde (y = 3 ) quando (x = frac {1} {2} ).
  15. (y ) é inversamente proporcional ao quadrado de (x ), onde (y = 27 ) quando (x = frac {1} {3} ).
  16. (y ) é inversamente proporcional ao quadrado de (x ), onde (y = 9 ) quando (x = frac {2} {3} ).
  17. (y ) varia conjuntamente como (x ) e o quadrado de (z ), onde (y = 6 ) quando (x = frac {1} {4} ) e (z = frac {2} {3} ).
  18. (y ) varia conjuntamente como (x ) e (z ) e inversamente como o quadrado de (w ), onde (y = 5 ) quando (z = 1, z = 3 ) e (w = frac {1} {2} ).
  19. (y ) varia diretamente como a raiz quadrada de (x ) e inversamente como o quadrado de (z ), onde (y = 15 ) quando (x = 25 ) e (z = 2 ).
  20. (y ) varia diretamente como o quadrado de (x ) e inversamente como (z ) e o quadrado de (w ), onde (y = 14 ) quando (x = 4, w = 2 ) e (z = 2 ).
Responder

1. (y = 5x )

3. (y = 4x )

5. (y = frac {27} {x} )

7. (y = frac {1} {4x} )

9. (y = frac {2} {3} xz )

11. (y = frac {1} {9} xz )

13. (y = 5x ^ {2} )

15. (y = frac {3} {x ^ {2}} )

17. (y = 54 x z ^ {2} )

19. (y = frac {12 sqrt {x}} {z ^ {2}} )

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva aplicações envolvendo variação.

  1. A receita em dólares é diretamente proporcional ao número de moletons da marca vendidos. A receita obtida com a venda de (25 ) moletons é ($ 318,75 ). Determine a receita se (30 ) moletons forem vendidos.
  2. O imposto sobre vendas na compra de um carro novo varia diretamente com o preço do carro. Se um carro novo de ($ 18.000 ) for comprado, o imposto sobre vendas será de ($ 1.350 ). Quanto imposto sobre vendas é cobrado se o preço do carro novo for ($ 22.000 )?
  3. O preço de uma ação ordinária de uma empresa é diretamente proporcional ao lucro por ação (EPS) dos (12 ) meses anteriores. Se o preço de uma ação ordinária de uma empresa for $ 22,55 e o EPS for publicado como ($ 1,10 ), determine o valor das ações se o EPS aumentar em ($ 0,20 ).
  4. A distância percorrida em uma viagem varia diretamente com o tempo gasto na estrada. Se uma viagem de (126 ) milhas pode ser feita em (3 ) horas, então que distância pode ser percorrida em (4 ) horas?
  5. A circunferência de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio. A circunferência de um círculo com raio (7 ) centímetros é medida como (14π ) centímetros. Qual é a constante de proporcionalidade?
  6. A área do círculo varia diretamente como o quadrado de seu raio. A área de um círculo com raio (7 ) centímetros é determinada como sendo (49π ) centímetros quadrados. Qual é a constante de proporcionalidade?
  7. A área da superfície de uma esfera varia diretamente com o quadrado de seu raio. Quando o raio de uma esfera mede (2 ) metros, a área da superfície mede (16π ) metros quadrados. Encontre a área da superfície de uma esfera com raio (3 ) metros.
  8. O volume de uma esfera varia diretamente com o cubo de seu raio. Quando o raio de uma esfera mede (3 ) metros, o volume é (36π ) metros cúbicos. Encontre o volume de uma esfera com raio (1 ) metro.
  9. Com uma altura fixa, o volume de um cone é diretamente proporcional ao quadrado do raio da base. Quando o raio na base mede (10 ​​) centímetros, o volume é (200 ) centímetros cúbicos. Determine o volume do cone se o raio da base for reduzido à metade.
  10. A distância (d ) que um objeto em queda livre cai varia diretamente com o quadrado do tempo (t ) que está caindo. Se um objeto em queda livre cair (36 ) pés em (1,5 ) segundos, então quão longe ele terá caído em (3 ) segundos?
Responder

1. ($382.50)

3. ($26.65)

5. (2π )

7. (36π ) metros quadrados

9. (50 ) centímetros cúbicos

Exercício ( PageIndex {9} )

A lei de Hooke sugere que a extensão de uma mola suspensa é diretamente proporcional ao peso anexado a ela. A constante de variação é chamada de constante de mola.

  1. Uma mola suspensa é esticada em (5 ) polegadas quando um peso de (20 ) libras é preso a ela. Determine sua constante de mola.
  2. Uma mola suspensa é esticada (3 ) centímetros quando um peso de (2 ) quilogramas é preso a ela. Determine a constante da mola.
  3. Se uma mola suspensa for esticada em (3 ) polegadas quando um peso de (2 ) libras for anexado, até que ponto ela será esticada com um peso de (5 ) libras anexado?
  4. Se uma mola suspensa é esticada (6 ) centímetros quando um peso de (4 ) quilogramas é anexado a ela, até que ponto ela se esticará com um peso de (2 ) quilogramas anexado?
Responder

1. ( frac {1} {4} )

3. (7,5 ) polegadas

Exercício ( PageIndex {10} )

A distância de frenagem de um automóvel é diretamente proporcional ao quadrado de sua velocidade.

  1. It takes (36) feet to stop a particular automobile moving at a speed of (30) miles per hour. How much breaking distance is required if the speed is (35) miles per hour?
  2. After an accident, it was determined that it took a driver (80) feet to stop his car. In an experiment under similar conditions, it takes (45) feet to stop the car moving at a speed of (30) miles per hour. Estimate how fast the driver was moving before the accident.
Responder

1. (49) feet

Exercício ( PageIndex {11} )

Boyle’s law states that if the temperature remains constant, the volume (V) of a given mass of gas is inversely proportional to the pressure (p) exerted on it.

  1. A balloon is filled to a volume of (216) cubic inches on a diving boat under (1) atmosphere of pressure. If the balloon is taken underwater approximately (33) feet, where the pressure measures (2) atmospheres, then what is the volume of the balloon?
  2. A balloon is filled to (216) cubic inches under a pressure of (3) atmospheres at a depth of (66) feet. What would the volume be at the surface, where the pressure is (1) atmosphere?
  3. To balance a seesaw, the distance from the fulcrum that a person must sit is inversely proportional to his weight. If a (72)-pound boy is sitting (3) feet from the fulcrum, how far from the fulcrum must a (54)-pound boy sit to balance the seesaw?
  4. The current (I) in an electrical conductor is inversely proportional to its resistance (R). If the current is (frac{1}{4}) ampere when the resistance is (100) ohms, what is the current when the resistance is (150) ohms?
  5. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (70) foot-candles of illumination is measured (2) feet away from a lamp, what level of illumination might we expect (frac{1}{2}) foot away from the lamp?
  6. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (40) foot-candles of illumination is measured (3) feet away from a lamp, at what distance can we expect (10) foot-candles of illumination?
  7. The number of men, represented by (y), needed to lay a cobblestone driveway is directly proportional to the area (A) of the driveway and inversely proportional to the amount of time (t) allowed to complete the job. Typically, (3) men can lay (1,200) square feet of cobblestone in (4) hours. How many men will be required to lay (2,400) square feet of cobblestone in (6) hours?
  8. The volume of a right circular cylinder varies jointly as the square of its radius and its height. A right circular cylinder with a (3)-centimeter radius and a height of (4) centimeters has a volume of (36π) cubic centimeters. Find a formula for the volume of a right circular cylinder in terms of its radius and height.
  9. The period (T) of a pendulum is directly proportional to the square root of its length (L). If the length of a pendulum is (1) meter, then the period is approximately (2) seconds. Approximate the period of a pendulum that is (0.5) meter in length.
  10. The time (t) it takes an object to fall is directly proportional to the square root of the distance (d) it falls. An object dropped from (4) feet will take (frac{1}{2}) second to hit the ground. How long will it take an object dropped from (16) feet to hit the ground?
Responder

1. (108) cubic inches

3. (4) feet

5. (1,120) foot-candles

7. (4) men

9. (1.4) seconds

Exercício ( PageIndex {12} )

Newton’s universal law of gravitation states that every particle of matter in the universe attracts every other particle with a force (F) that is directly proportional to the product of the masses (m_{1}) and (m_{2}) of the particles and inversely proportional to the square of the distance (d) between them. The constant of proportionality is called the gravitational constant.

  1. If two objects with masses (50) kilograms and (100) kilograms are (frac{1}{2}) meter apart, then they produce approximately (1.34 × 10^{−6}) newtons (N) of force. Calculate the gravitational constant.
  2. Use the gravitational constant from the previous exercise to write a formula that approximates the force (F) in newtons between two masses (m_{1}) and (m_{2}), expressed in kilograms, given the distance (d) between them in meters.
  3. Calculate the force in newtons between Earth and the Moon, given that the mass of the Moon is approximately (7.3 × 10^{22}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (1.5 × 10^{11}) meters.
  4. Calculate the force in newtons between Earth and the Sun, given that the mass of the Sun is approximately (2.0 × 10^{30}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (3.85 × 10^{8}) meters.
  5. If (y) varies directly as the square of (x), then how does (y) change if (x) is doubled?
  6. If (y) varies inversely as square of (t), then how does (y) change if (t) is doubled?
  7. If (y) varies directly as the square of (x) and inversely as the square of (t), then how does (y) change if both (x) and (t) are doubled?
Responder

1. (6.7 imes 10 ^ { - 11 } mathrm { Nm } ^ { 2 } / mathrm { kg } ^ { 2 })

3. (1.98 imes 10 ^ { 20 } mathrm { N })

5. (y) changes by a factor of (4)

7. (y) remains unchanged

37Described by the formula (D = rt), where the distance (D) is given as the product of the average rate (r) and the time (t) traveled at that rate.

38The rate at which a task can be performed.

39(frac { 1 } { t _ { 1 } } cdot t + frac { 1 } { t _ { 2 } } cdot t = 1), where (frac { 1 } { t _ { 1 } }) and (frac { 1 } { t _ { 2 } }) are the individual work rates and t is the time it takes to complete the task working together.

40Describes two quantities (x) and (y) that are constant multiples of each other: (y = kx).

41The nonzero multiple (k), when quantities vary directly or inversely.

42Used when referring to the constant of variation.

43Used when referring to direct variation.

44Describes two quantities (x) and (y), where one variable is directly proportional to the reciprocal of the other: (y = frac{k}{x}).

45Used when referring to inverse variation.

46Describes a quantity (y) that varies directly as the product of two other quantities (x) and (z: y = kxz).

47Used when referring to joint variation.


Introduction to Binomial Expansion

You’ll probably have to learn how to expand polynomials to various degrees (powers) using what we call the Teorema Binomial ou Binomial Expansion (ou Binomial Series).
We use this when we want to expand (multiply out) the power of a binomial like ( < ight)>^>) into a sum with terms (a<^><^>), where b e c are non-negative integers (and it turns out that b + c = n ) UMA perfect square trinomial is a simple example: ( < ight)>^<2>>=<^<2>>+2xy+<^<2>>). (The coefficients in this case are 1 , 2 , e 1 , respectively.)

It just turns out that the coefficient uma in this expansion is equal to (left( <egin<*<20>> n c end> ight)) (also written as (displaystyle <>_<_>)), where (left( <egin<*<20>> n c end> ight),,=,,frac<> < ight)!>>) (this is called the binomial coefficient) Remember that (n!=nleft( ight)left( ight),,,….) (until you get to 1 ). (You can also get (displaystyle <>_<_>) on your graphing calculator. Type in what you want for n , then MATH PROB, and hit 3 or scroll to nCr, and then type c and then ENTER). (displaystyle <>_<_>) is actually the number of ways to choose c items out of n terms, where order doesn’t matter – also called the Combination function.

Aqui está o Teorema Binomial (also called Binomial Formula ou Binomial Identity):

See how the exponents of the x ’s are going down (from n to 0 ), while the exponents of the y ’s are going up (from 0 to n )? And remember that anything raised to the 0 is just 1 . And for a binomial raise to the “ n ”, we have “ n + 1 ” terms.

The coefficients can also be found using a Pascal Triangle, which starts with 1 , and is a triangle with all 1 ’s on the outside. Then on the inside, add the two numbers above to get the next number down:

As an example of how to use the Pascal Triangle, start with the second row for ( < ight)>^<1>>=1x+1y), so the coefficients are both 1 . When using the Pascal Triangle, the exponent of the binomial is off by 1 for example, we used the 2 nd row to get the coefficients for ( < ight)>^<1>>).

Here’s another illustration of just how Pascal’s Triangle is used for expanding binomials:

Here’s a hint: when finding the coefficients of a binomial expansion using Pascal’s triangle, find the line with the second term the same as the power you want. For example, for a binomial with power 5 , use the line 1 5 10 10 5 1 for coefficients.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Throughout history, the ratio for length to width of rectangles of 1.61803 39887 49894 84820 has been considered the most pleasing to the eye. This ratio was named the golden ratio by the Greeks. In the world of mathematics, the numeric value is called "phi", named for the Greek sculptor Phidias. The space between the collumns form golden rectangles. There are golden rectangles throughout this structure which is found in Athens, Greece.

He sculpted many things including the bands of sculpture that run above the columns of the Parthenon. You can take a slide show visit to the Parthenon which is pictured above.

Phidias widely used the golden ratio in his works of sculpture. The exterior dimensions of the Parthenon in Athens, built in about 440BC, form a perfect golden rectangle. How many examples of golden rectangles can you find in the below floorplan of the Parthenon? You may want to print the diagram and measure the distances using a ruler.

Following are more examples of art and architecture which have employed the golden rectangle. This first example of the Great Pyramid of Giza is believed to be 4,600 years old, which was long before the Greeks. Its dimensions are also based on the Golden Ratio. The website about the pyramid gives very extensive details on this.

Many artists who lived after Phidias have used this proportion. Leonardo Da Vinci called it the "divine proportion" and featured it in many of his paintings. To the left is the famous "Mona Lisa". Try drawing a rectangle around her face. Are the measurements in a golden proportion? You can further explore this by subdividing the rectangle formed by using her eyes as a horizontal divider. He did an entire exploration of the human body and the ratios of the lengths of various body parts.

Golden Section Plate 1, 1993
by Fletcher Cox
birds-eye maple, spalted
red oak, bubinga, wenge, and maple veneer lathe-turned
31 x 4 cm
Lent by the White House
gift of the artist
Photograph by John Bigelow Taylor

Above is an example of a modern day artist who is interested in the golden ratio. He titled his work the Golden Section which is simply another name for ratio, meaning it is cut into sections of golden proportion.


Examples of Awesome Personal Statements

Write your own awesome personal statement with our COLLEGE APPLICATION ESSAY LAB, which will guide you through the process, providing tips and even more examples along the way.

Before you start, check out our own sample essays—or scroll down for the Best of the Web. Whether you're an athlete, a minority, or no one special (or, uh, probably some combination), we've got you covered.

No One Special

Emotional Hardship

Physical Hardship

International Student

Special Skills

Non-Traditional Age

Some are surprising and some are clever, but they're all good examples of a "hook," not the kind with the pointy mustache but something that writers use to grab their reader's attention and make them want to keep reading.

Grab Them with the First Line
Stanford Magazine compiled the following list of great opening lines written by hopeful Stanford applicants.

Essays That Worked
Connecticut College posts a list of college essays “that worked.”

More Essays that Worked
Hamilton College provides access to some of their favorite application essays.

Other Resources for College Essay Writing

Writing the Personal Statement
The Purdue Online Writing lab offers a guide to writing all kinds of personal statements.

Application Tips: Tackling the Personal Essay
Abc.com provides some good tips on approaching the personal essay.

The Elements of Style
Flip through this famous guide to writing by William Strunk, Jr. that many students and teachers use. Read the 1918 version for free online.

Get Your Writing On
Some great handbooks on writing by writing guru Andrea Lunsford.

Grammar Resources
The University of Chicago’s guide to grammar.


10 Awesome Reasons Why Statistics Are Important

Why statistics are important in our life? Statistics are the sets of mathematical equations that we used to analyze the things. It keeps us informed about, what is happening in the world around us. Statistics are important because today we live in the information world and much of this information’s are determined mathematically by Statistics Help. It means to be informed correct data and statics concepts are necessary. To be more specific about the importance of statics in our life, here are 10 amazing reasons that we have heard on several occasions.

1) Every b ody watches weather forecasting. Have you ever think how do you get that information? There are some computers models build on statistical concepts. These computer models compare prior weather with the current weather and predict future weather.

2) Statistics mostly used by the researcher. They use their statistical skills to collect the relevant data. Otherwise, it results in a loss of money, time and data.

3) What do you understand by insurance? Everybody has some kind of insurance, whether it is medical, home or any other insurance. Based on an individual application some businesses use statistical models to calculate the risk of giving insurance.

4) In financial market also statistic plays a great role. Statistics are the key of how traders and businessmen invest and make money.

5) Statistics play a big role in the medical field. Before any drugs prescribed, scientist must show a statistically valid rate of effectiveness. Statistics are behind all the study of medical.

6) Statistical concepts are used in quality testing. Companies make many products on a daily basis and every company should make sure that they sold the best quality items. But companies cannot test all the products, so they use statistics sample.

7) In everyday life we make many predictions. For examples, we keep the alarm for the morning when we don’t know that we will be alive in the morning or not. Here we use statistics basics to make predictions.

8) Doctors predict disease on based on statistics concepts. Suppose a survey shows that 75%-80% people have cancer and not able to find the reason. When the statistics become involved, then you can have a better idea of how the cancer may affect your body or is smoking is the major reason for it.

9) News reporter makes a prediction of winner for elections based on political campaigns. Here statistics play a strong part in who will be your governments.

10) Statistics data allow us to collect the information around the world. The internet is a devise which help us to collect the information. The fundamental behind the internet is based on statistics and mathematics concepts.

To know more about the statistics take online math help. Hope these 10 everyday reasons help you to understand the importance of statistics.


Rolling Two Dice

With the sample space now identified, formal probability theory requires that we identify the possible events. These are always subsets of the sample space, and must form a sigma-algebra. In an example such as this, where the sample space is finite because it has only 36 different outcomes, it is perhaps easiest to simply declare ALL subsets of the sample space to be possible events. That will be a sigma-algebra and avoids what might otherwise be an annoying technical difficulty. We make that declaration with this example of two dice.

With the above declaration, the outcomes where the sum of the two dice is equal to 5 form an event. If we call this event E, we have

Consider next the probability of E, P(E). Here we need more information. If the two dice are fair e independent , each possibility (a,b) is equally likely. Because there are 36 possibilities in all, and the sum of their probabilities must equal 1, each singleton event <(a,b)>is assigned probability equal to 1/36. Because E is composed of 4 such distinct singleton events, P(E)=4/36= 1/9.

In general, when the two dice are fair and independent, the probability of any event is the number of elements in the event divided by 36.

What if the dice aren't fair, or aren't independent of each other? Then each outcome <(a,b)>is assigned a probability (a number in [0,1]) whose sum over all 36 outcomes is equal to 1. These probabilities aren't all equal, and must be estimated by experiment or inferred from other hypotheses about how the dice are related and and how likely each number is on each of the dice. Then the probability of an event such as E is the sum of the probabilities of the singleton events <(a,b)>that make up E.


TABE Practice Test

If you are preparing to take the TABE test, you realize that it is going to be a challenge. Every hour you spend preparing will help you get a better score.

Going back to college (or trade school or technical school) after being out of high school for several years or decades can be a daunting and bewildering experience. Juniors and seniors in high school have all kinds of people and resources to turn to when it comes to navigating the college application process: parents, teachers, guidance counselors, peers who are also applying, etc.

Older people hoping to start college later in life generally do not have access to these same resources they are left to fend for themselves, and have to figure much of this stuff out on their own. One of the biggest areas of confusion is which test (or tests) a person must take before enrolling in college, which is where the TABE comes in.

So where does the TABE fit in? If you are confused, it is easy to understand why. After all, in the realm of tests related to college admissions, in addition to the TABE, there are the ACT test, the SAT exam, the COMPASS, the ASSET exam, CLEP tests, AP tests, GED tests, the CPAt test, and many more.

On top of this confusing number of exams, there is also a ton of paperwork and other essentials that must be taken care of when applying to school. It is easy to start feeling overwhelmed. However, the TABE is easy enough to understand once you discover what it is all about. Taking numerous TABE practice tests is recommended for test day success.

Essentially, the TABE is a placement test. (The name stands for Test of Adult Basic Education.) It is used by trade schools, technical schools and some colleges to give them a good idea of what level of academic challenge you are ready to face. The test covers the basics of reading, English and math.

Based on your test scores, schools will decide if you are up to the challenge without further preparation, and if so, whether you can take basic, intermediate or advanced courses, or if you need remedial courses in some areas before taking on actual college credit courses, or if it might be best for you to wait until you have gotten better prepared to tackle college courses. There are other programs that might require you to take the TABE, such as GED prep classes and Adult Education programs.

One thing to keep in mind is that there is no “passing” score, as such. Every school or program will have guidelines and standards in place, and they will determine where your score places you based on those standards. Also, a low score does not necessarily mean that you can never go to college. It just means that you might have to put in some hard work to accomplish your goals.


Law of Conservation of Energy

According to the law of conservation of energy, the total energy of a system remains constant, though energy may transform into another form. Two billiard balls colliding, for example, may come to rest, with the resulting energy becoming sound and perhaps a bit of heat at the point of collision. When the balls are in motion, they have kinetic energy. Whether they are in motion or stationary, they also have potential energy because they are on a table above the ground.

Energy cannot be created, nor destroyed, but it can change forms and is also related to mass. The mass-energy equivalence theory states an object at rest in a frame of reference has a rest energy. If additional energy is supplied to the object, it actually increases that object's mass. For example, if you heat a steel bearing (adding thermal energy), you very slightly increase its mass.


Process Id Arrival time Burst time
UMA 0 4
B 0 1
C 0 8
D 0 1

Gantt chart-

Ready Queue-

Clearly, completion time of process A = 9 unit.

To gain better understanding about Round Robin Scheduling,

Get more notes and other study material of Operating System.

Watch video lectures by visiting our YouTube channel LearnVidFun.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Addition Rule
Sum Rule for Probability

A method for finding the probability that either or both of two events occurs.

P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)

In a group of 101 students 30 are freshmen and 41 are sophomores. Find the probability that a student picked from this group at random is either a freshman or sophomore.

Note that P(freshman) = 30/101 and P(sophomore) = 41/101. Desse modo

P(freshman or sophomore) = 30/101 + 41/101 = 71/101

This makes sense since 71 of the 101 students are freshmen or sophomores.

In a group of 101 students 40 are juniors, 50 are female, and 22 are female juniors. Find the probability that a student picked from this group at random is either a junior or female.

Note that P(junior) = 40/101 and P(female) = 50/101, and P(junior and female) = 22/101. Desse modo

P(junior or female) = 40/101 + 50/101 – 22/101 = 68/101

This makes sense since 68 of the 101 students are juniors or female.

Not sure why? When we add 40 juniors to 50 females and get a total of 90, we have overcounted. The 22 female juniors were counted twice 90 minus 22 makes 68 students who are juniors or female.


Assista o vídeo: Fique fera em porcentagem - aula 01 (Novembro 2021).