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13.6: Modelos Matemáticos


  • 13.6.1: Use uma estratégia de resolução de problemas
    Revisamos a tradução de frases em inglês para expressões algébricas, usando algum vocabulário e símbolos matemáticos básicos. Também traduzimos frases em inglês para equações algébricas e resolvemos alguns problemas com palavras. Os problemas de palavras aplicavam a matemática a situações cotidianas. Reafirmamos a situação em uma frase, atribuímos uma variável e, em seguida, escrevemos uma equação para resolver o problema. Este método funciona desde que a situação seja familiar e a matemática não seja muito complicada.
    • 13.6.1E: Exercícios
  • 13.6.2: Resolver aplicativos de porcentagem
    Resolveremos equações de porcentagem usando os métodos que usamos para resolver equações com frações ou decimais. Sem as ferramentas da álgebra, o melhor método disponível para resolver problemas de porcentagem era configurá-los como proporções. Agora, como estudante de álgebra, você pode simplesmente traduzir frases em inglês para equações algébricas e, em seguida, resolver as equações.
    • 13.6.2E: Exercícios
  • 13.6.3: Resolva Aplicações de Mistura
    Em problemas de mistura, teremos dois ou mais itens com valores diferentes para combinar. O modelo de mistura é usado por donos de mercearias e bartenders para garantir que eles estabeleçam preços justos para os produtos que vendem. Muitos outros profissionais, como químicos, banqueiros de investimento e paisagistas também usam o modelo de mistura.
    • 13.6.3E: Exercícios
  • 13.6.4: Triângulos, Retângulos e o Teorema de Pitágoras
    Nesta seção, usaremos algumas fórmulas geométricas comuns. Vamos adaptar nossa estratégia de solução de problemas para que possamos resolver aplicações de geometria. A fórmula geométrica nomeará as variáveis ​​e nos dará a equação a ser resolvida. Além disso, como todos esses aplicativos envolvem algum tipo de formato, a maioria das pessoas acha útil desenhar uma figura e etiquetá-la com as informações fornecidas. Incluiremos isso na primeira etapa da estratégia de solução de problemas para aplicações de geometria.
    • 13.6.4E: Exercícios
  • 13.6.5: Resolva aplicativos de movimento uniforme
    Nesta seção, usaremos essa fórmula em situações que requerem um pouco mais de álgebra para serem resolvidas do que as que vimos anteriormente. Geralmente, estaremos comparando dois cenários, como dois veículos viajando em taxas diferentes ou em direções opostas. Quando a velocidade de cada veículo é constante, chamamos aplicativos como este de problemas de movimento uniforme.
    • 13.6.5E: Exercícios
  • 13.6.6: Resolva aplicativos com desigualdades lineares
    Muitas situações da vida real exigem que resolvamos as desigualdades. Na verdade, as aplicações de desigualdade são tão comuns que muitas vezes nem percebemos que estamos fazendo álgebra. O método que usaremos para resolver aplicativos com desigualdades lineares é muito parecido com o que usamos quando resolvemos aplicativos com equações.
    • 13.6.6E: Exercícios
  • 13.6.7: Capítulo 3 Exercícios de Revisão

Miniatura: https://www.wikihow.com/Make-a-Mathematical-Model


13.6: Modelos Matemáticos

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5. Falha do projeto para resolver o trade-off de custo de tempo com custos indiretos variáveis
1. Atividade, predecessores, tempo e custo normais, tempo e custo de colisão e custo indireto variável
2. Atividade i-j, Tempo e custo normais, Tempo e custo de colisão e custo indireto variável
3. Atividade i-j, nome da atividade, tempo e custo normais, tempo e custo de colisão e custo indireto variável
5. Problemas de sequenciamento
1. Processamento de n trabalhos por meio de 2 máquinas de problema
2. Processamento de n jobs por meio do problema de 3 máquinas
3. Processamento de n trabalhos por meio de problemas de máquinas
4. Processamento de 2 trabalhos através do problema das máquinas

Pesquisa Operacional com exemplo
1. Problema de Atribuição
1.1 Problema de atribuição equilibrada (usando o método húngaro)
1. Um departamento tem cinco funcionários com cinco empregos a serem preenchidos. O tempo (em horas) que cada homem levará para realizar cada trabalho é fornecido na matriz de eficácia.
Funcionários
eu II III 4 V
Empregos UMA 10 5 113 15 16
B 3 9 18 13 6
C 10 7 2 2 2
D 7 11 9 7 12
E 7 9 10 4 12
Como os cargos devem ser alocados, um por funcionário, de forma a minimizar o total de horas-homem?

2. Resolva o seguinte problema de LP usando o método Branch and Bound
Z máx = 3x1 + 5x2
sujeito a
2x1 + 4x2 e 25
x1 e le 8
2x2 e 10
e x1, x2 e ge 0


Um desvio padrão em cada lado da média

Vamos começar com uma variável aleatória X que tem uma distribuição normal com média = 10 e desvio padrão = 2. Vamos praticar nossa nova notação. Aqui, escreveríamos μ = 10 e σ = 2.

A curva normal para X é mostrado abaixo.

Como esperado, a média μ = 10 está localizada no centro da curva normal. As outras duas setas apontam para os valores de 1 desvio padrão em cada lado da média.

O ponto 1 desvio padrão menor que a média é representado por μ - σ. Como μ = 10 e σ = 2, este ponto está localizado em 10 - 2 = 8, como mostrado.

O ponto 1 desvio padrão a mais que a média é representado por μ + σ. Como μ = 10 e σ = 2, este ponto está localizado em 10 + 2 = 12, como mostrado.

Você notará que indicamos que a área da região verde é de 0,68. Portanto, podemos dizer que a probabilidade de X sendo entre 8 e 12 é igual a 0,68.

Ou, usando nossa notação de probabilidade, poderíamos escrever:

Agora, aqui está um fato interessante. Se pegássemos algum distribuição normal e traçou uma imagem semelhante, a probabilidade de que um valor caia dentro de 1 desvio padrão da média é sempre a mesma. Aqui estão várias maneiras de expressar essa ideia:

  • Para qualquer curva normal, a área central dentro de 1 desvio padrão da média é igual a 0,68.
  • Em cerca de 68% das vezes, esperamos X para ter um valor dentro de 1 desvio padrão da média.
  • [latex] P ( mu- sigma & ltX & lt mu + sigma) = 0,68 [/ latex].

Este é um grande negócio. É uma das coisas que tornam as curvas normais especiais. Em geral, as curvas de densidade de probabilidade para variáveis ​​aleatórias contínuas com formas diferentes não têm essa propriedade especial.


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Conteúdo

Historicamente, o primeiro GUT verdadeiro que foi baseado no grupo de Lie simples SU (5), foi proposto por Howard Georgi e Sheldon Glashow em 1974. [2] O modelo Georgi-Glashow foi precedido pelo modelo semi-simples da álgebra de Lie Pati-Salam por Abdus Salam e Jogesh Pati, [3] que foram os pioneiros da ideia de unificar as interações de medidores.

O acrônimo GUT foi cunhado pela primeira vez em 1978 pelos pesquisadores do CERN John Ellis, Andrzej Buras, Mary K. Gaillard e Dimitri Nanopoulos, no entanto, na versão final de seu artigo [4], eles optaram pelo menos anatômico GUM (Grande Massa da Unificação). Nanopoulos mais tarde naquele ano foi a primeira a usar [5] a sigla em um papel. [6]

O suposição que as cargas elétricas de elétrons e prótons parecem se cancelar exatamente com extrema precisão é essencial para a existência do mundo macroscópico como o conhecemos, mas essa propriedade importante das partículas elementares não é explicada no Modelo Padrão da física de partículas. Enquanto a descrição das interações fortes e fracas dentro do Modelo Padrão é baseada em simetrias de calibre governadas pelos grupos de simetria simples SU (3) e SU (2) que permitem apenas cargas discretas, o componente restante, a interação de hipercarga fraca é descrita por um simetria abeliana U (1) que, em princípio, permite atribuições arbitrárias de carga. [nota 1] A quantização de carga observada, ou seja, a postulação de que todas as partículas elementares conhecidas carregam cargas elétricas que são múltiplos exatos de um terço da carga "elementar", levou à ideia de que as interações de hipercarga e, possivelmente, as interações fortes e fracas pode estar embutido em uma interação Grand Unified descrita por um único grupo de simetria simples maior contendo o Modelo Padrão. Isso preveria automaticamente a natureza quantizada e os valores de todas as cargas de partículas elementares. Uma vez que isso também resulta em uma previsão para as forças relativas das interações fundamentais que observamos, em particular o ângulo de mistura fraco, a Grande Unificação reduz idealmente o número de parâmetros de entrada independentes, mas também é restringida por observações.

A Grande Unificação é uma reminiscência da unificação das forças elétricas e magnéticas pela teoria do eletromagnetismo de Maxwell no século 19, mas suas implicações físicas e estrutura matemática são qualitativamente diferentes.

SU (5) Editar

SU (5) é o GUT mais simples. O menor grupo de Lie simples que contém o modelo padrão, e no qual a primeira Grande Teoria Unificada foi baseada, é

Essas simetrias de grupo permitem a reinterpretação de várias partículas conhecidas, incluindo o fóton, bósons W e Z e glúon, como diferentes estados de um único campo de partículas. No entanto, não é óbvio que as escolhas mais simples possíveis para a simetria estendida do "Grande Unificado" devam produzir o inventário correto das partículas elementares. O fato de que todas as partículas de matéria atualmente conhecidas se encaixam perfeitamente em três cópias das representações de menor grupo de SU (5) e carregam imediatamente as cargas observadas corretas, é uma das primeiras e mais importantes razões pelas quais as pessoas acreditam que uma Grande Teoria Unificada pode realmente ser realizado na natureza.

As duas menores representações irredutíveis de SU (5) são 5 (a representação definidora) e 10 . Na atribuição padrão, o 5 contém os conjugados de carga do tripleto de cores de quark do tipo down-righthand e um doublet de isospin leptton canhoto, enquanto o 10 contém os seis componentes de quark do tipo up, o tripleto de cores de quark do tipo down do lado esquerdo e o elétron do lado direito. Este esquema deve ser replicado para cada uma das três gerações conhecidas de matéria. É notável que a teoria seja anormalmente livre com este conteúdo de matéria.

Os hipotéticos neutrinos destros são um singleto de SU (5), o que significa que sua massa não é proibida por nenhuma simetria - não precisa de uma quebra espontânea de simetria, o que explica por que sua massa seria pesada. [ esclarecimento necessário ] (ver mecanismo de gangorra).

SO (10) Editar

O próximo grupo de Lie simples que contém o modelo padrão é

Aqui, a unificação da matéria é ainda mais completa, uma vez que a representação espinora irredutível 16 contém tanto o 5 e 10 de SU (5) e um neutrino destro e, portanto, o conteúdo de partícula completo de uma geração do modelo padrão estendido com massas de neutrino. Este já é o maior grupo simples que atinge a unificação da matéria em um esquema envolvendo apenas as partículas de matéria já conhecidas (além do setor de Higgs).

Uma vez que diferentes férmions de modelo padrão são agrupados em representações maiores, os GUTs prevêem especificamente relações entre as massas dos férmions, como entre o elétron e o quark down, o múon e o quark estranho, e o tau lepton e o quark bottom para SU (5 ) e SO (10). Algumas dessas relações de massa se mantêm aproximadamente, mas a maioria não (ver relação de massa Georgi-Jarlskog).

A matriz do bóson para SO (10) é encontrada tomando a matriz 15 × 15 do 10 + 5 representação de SU (5) e adição de uma linha e coluna extras para o neutrino destro. Os bósons são encontrados adicionando um parceiro a cada um dos 20 bósons carregados (2 bósons W destros, 6 gluons massivos e 12 bósons do tipo X / Y) e adicionando um bóson Z neutro extra pesado para fazer 5 bósons neutros em total. A matriz do bóson terá um bóson ou seu novo parceiro em cada linha e coluna. Esses pares se combinam para criar as familiares matrizes de espinor 16D Dirac de SO (10).

E6 Editar

Em algumas formas de teoria das cordas, incluindo E8 × E8 teoria das cordas heteróticas, a teoria quadridimensional resultante após compactificação espontânea em uma variedade Calabi-Yau de seis dimensões, se assemelha a um GUT baseado no grupo E6. Notavelmente E6 é o único grupo de Lie simples excepcional a ter quaisquer representações complexas, um requisito para uma teoria conter férmions quirais (ou seja, todos os férmions de interação fraca). Daí os outros quatro (G2, F4, E7, e E8) não pode ser o grupo de medidores de um GUT.

Edição de grandes teorias unificadas estendida

Extensões não quirais do modelo padrão com espectros de partícula multipleto dividido em vetor que aparecem naturalmente nas GUTs SU (N) superiores modificam consideravelmente a física do deserto e levam à grande unificação realista (escala de cordas) para famílias convencionais de três quark-leptons mesmo sem usar supersimetria (veja abaixo). Por outro lado, devido à falta de um novo mecanismo VEV emergente no supersimétrico SU (8) GUT, a solução simultânea para o problema da hierarquia de calibre (divisão dupleto-tripleto) e o problema da unificação do sabor podem ser discutidos. [7]

GUTs com quatro famílias / gerações, SU (8): Assumindo 4 gerações de férmions em vez de 3, perfaz um total de 64 tipos de partículas. Estes podem ser colocados em 64 = 8 + 56 representações de SU (8). Isso pode ser dividido em SU (5) × SU (3)F × U (1) que é a teoria SU (5) junto com alguns bósons pesados ​​que atuam no número de geração.

GUTs com quatro famílias / gerações, O (16): Novamente, assumindo 4 gerações de férmions, o 128 partículas e antipartículas podem ser colocadas em uma representação espinor única de O (16).

Grupos simpléticos e representações de quatérnio Editar

Grupos de medidores simpléticos também podem ser considerados. Por exemplo, Sp (8) (que é chamado de Sp (4) no grupo simplético do artigo) tem uma representação em termos de matrizes unitárias quaternárias 4 × 4 que tem um 16 representação dimensional real e, portanto, pode ser considerado um candidato para um grupo de medidores. Sp (8) tem 32 bósons carregados e 4 bósons neutros. Seus subgrupos incluem SU (4), portanto, pode conter pelo menos os glúons e fótons de SU (3) × U (1). Embora provavelmente não seja possível ter bósons fracos agindo em férmions quirais nesta representação. Uma representação de quatérnio dos férmions pode ser:

Uma complicação adicional com representações de quatérnions de férmions é que existem dois tipos de multiplicação: multiplicação à esquerda e multiplicação à direita, que devem ser levadas em consideração. Acontece que incluir matrizes de quatérnio 4 × 4 para destros e esquerdos é equivalente a incluir uma única multiplicação à direita por um quatérnio unitário que adiciona um SU extra (2) e, portanto, tem um bóson neutro extra e mais dois bósons carregados. Assim, o grupo de matrizes de quatérnio 4 × 4 para canhotos e destros é Sp (8) × SU (2) que inclui os bósons do modelo padrão:

Editar representações de Octonion

Pode-se notar que uma geração de 16 férmions pode ser colocada na forma de um octonion, com cada elemento do octonion sendo um vetor de 8. Se as 3 gerações forem colocadas em uma matriz hermitiana 3x3 com certas adições para os elementos diagonais, então essas matrizes formam uma álgebra de Jordan excepcional (Grassmann-), que tem o grupo de simetria de um dos grupos de Lie excepcionais (F4, E6, E7 ou E8) dependendo dos detalhes.

Por serem férmions, os anticomutadores da álgebra de Jordan tornam-se comutadores. Sabe-se que E6 tem subgrupo O (10) e, portanto, é grande o suficiente para incluir o Modelo Padrão. Um E8 o grupo de calibre, por exemplo, teria 8 bósons neutros, 120 bósons carregados e 120 anti-bósons carregados. Para contabilizar os 248 férmions no multipleto mais baixo de E8, estes teriam que incluir antipartículas (e, portanto, ter a bariogênese), ter novas partículas não descobertas ou ter bósons do tipo gravidade (conexão de spin) afetando elementos da direção do spin das partículas. Cada um deles possui problemas teóricos.

Além dos grupos de Lie Editar

Outras estruturas foram sugeridas incluindo Lie 3-álgebras e Lie superalgebras. Nenhum deles se encaixa na teoria de Yang-Mills. Em particular, as superálgebras de Lie introduziriam bósons com o [ esclarecimento necessário ] Estatisticas. A supersimetria, entretanto, se encaixa com Yang-Mills.

A unificação de forças é possível devido à dependência da escala de energia dos parâmetros de acoplamento de força na teoria quântica de campos chamados de grupo de renormalização "em execução", que permite que parâmetros com valores muito diferentes em energias usuais convirjam para um único valor em uma escala de energia muito mais alta. [8]

O grupo de renormalização em execução dos três acoplamentos de calibre no Modelo Padrão foi encontrado para quase, mas não totalmente, se encontrar no mesmo ponto se a hipercarga for normalizada de modo que seja consistente com SU (5) ou SO (10) GUTs, que são precisamente os grupos GUT que levam a uma unificação de férmions simples. Este é um resultado significativo, pois outros grupos de Lie levam a diferentes normalizações. No entanto, se a extensão supersimétrica MSSM for usada em vez do modelo padrão, a correspondência se torna muito mais precisa. Neste caso, as constantes de acoplamento das interações forte e eletrofraca se encontram na grande energia de unificação, também conhecida como escala GUT:

É comumente acreditado que essa correspondência provavelmente não é uma coincidência e é freqüentemente citada como uma das principais motivações para investigar teorias supersimétricas, apesar do fato de que nenhuma partícula supersimétrica parceira foi experimentalmente observada. Além disso, a maioria dos construtores de modelo simplesmente assume a supersimetria porque resolve o problema de hierarquia - ou seja, estabiliza a massa eletrofraca de Higgs contra correções radiativas. [9]

Uma vez que as massas de Majorana do neutrino destro são proibidas pela simetria SO (10), os GUTs SO (10) prevêem que as massas de Majorana de neutrinos destros estão perto da escala GUT, onde a simetria é quebrada espontaneamente nesses modelos. Em GUTs supersimétricos, esta escala tende a ser maior do que seria desejável para obter massas realistas de luz, principalmente neutrinos canhotos (veja oscilação de neutrino) através do mecanismo de gangorra. Essas previsões são independentes das relações de massa de Georgi-Jarlskog, em que alguns GUTs prevêem outras razões de massa de férmions.

Várias teorias foram propostas, mas nenhuma é atualmente aceita universalmente. Uma teoria ainda mais ambiciosa que inclui tudo as forças fundamentais, incluindo a gravitação, são chamadas de teoria de tudo. Alguns modelos GUT comuns são:

Observação: Estes modelos referem-se a álgebras de Lie e não a grupos de Lie. O grupo de Lie pode ser [SU (4) × SU (2) × SU (2)] /Z2 , apenas para dar um exemplo aleatório.

O candidato mais promissor é SO (10). [10] [11] (Mínimo) SO (10) não contém quaisquer férmions exóticos (ou seja, férmions adicionais além dos férmions do Modelo Padrão e o neutrino destro) e unifica cada geração em uma única representação irredutível. Vários outros modelos GUT são baseados em subgrupos de SO (10). Eles são o modelo mínimo esquerdo-direito, SU (5), SU invertido (5) e o modelo Pati-Salam. O grupo GUT E6 contém SO (10), mas os modelos baseados nele são significativamente mais complicados. A principal razão para estudar E6 modelos vem de E8 × E8 teoria das cordas heteróticas.

Os modelos GUT prevêem genericamente a existência de defeitos topológicos, como monopólos, cordas cósmicas, paredes de domínio e outros. Mas nenhum foi observado. Sua ausência é conhecida como o problema monopolo em cosmologia. Muitos modelos GUT também prevêem o decaimento do próton, embora o decaimento do próton do modelo Pati-Salam nunca tenha sido observado por experimentos. O limite experimental mínimo no tempo de vida do próton praticamente exclui o SU mínimo (5) e restringe fortemente os outros modelos. A falta de supersimetria detectada até o momento também restringe muitos modelos.

Decaimento de prótons de dimensão 6 mediado pelo X boson (3, 2) - 5 6 < displaystyle (3,2) _ <- < frac <5> <6> >>> em SU (5) GUT

Decaimento de prótons de dimensão 6 mediado pelo X boson (3, 2) 1 6 < displaystyle (3,2) _ < frac <1> <6> >> em SU (5) GUT invertido

Algumas teorias GUT, como SU (5) e SO (10), sofrem do que é chamado de problema duplo-tripleto. Essas teorias prevêem que, para cada dupleto eletrofraco de Higgs, existe um campo triplo de Higgs colorido correspondente com uma massa muito pequena (muitas ordens de magnitude menor do que a escala GUT aqui). Em teoria, unificando quarks com léptons, o dupleto de Higgs também seria unificado com um tripleto de Higgs. Esses trigêmeos não foram observados. Eles também causariam um decaimento de prótons extremamente rápido (muito abaixo dos limites experimentais atuais) e evitariam que as forças de acoplamento do medidor funcionassem juntas no grupo de renormalização.

A maioria dos modelos GUT requer uma replicação tripla dos campos de matéria. Como tal, eles não explicam por que existem três gerações de férmions. A maioria dos modelos GUT também falham em explicar a pequena hierarquia entre as massas dos férmions para diferentes gerações.

Um modelo GUT consiste em um grupo de calibre que é um grupo de Lie compacto, uma forma de conexão para esse grupo de Lie, uma ação de Yang-Mills para essa conexão dada por uma forma bilinear simétrica invariante sobre sua álgebra de Lie (que é especificada por uma constante de acoplamento para cada fator), um setor de Higgs que consiste em um número de campos escalares assumindo valores dentro de representações reais / complexas do grupo de Lie e férmions de Weyl quirais assumindo valores dentro de um representante complexo do grupo de Lie. O grupo de Lie contém o grupo de modelo padrão e os campos de Higgs adquirem VEVs levando a uma quebra espontânea de simetria com o modelo padrão. Os férmions de Weyl representam a matéria.

Atualmente não há evidências concretas de que a natureza é descrita por uma Grande Teoria Unificada. A descoberta de oscilações de neutrino indica que o modelo padrão está incompleto e levou a um interesse renovado por certos GUT como SO (10). Um dos poucos testes experimentais possíveis de certos GUT é o decaimento de prótons e também as massas de férmions. Existem mais alguns testes especiais para GUT supersimétrico. No entanto, a vida útil mínima do próton da pesquisa (igual ou superior à faixa de 10 34 -10 35 anos) descartou GUTs mais simples e a maioria dos modelos não SUSY. O limite superior máximo na vida útil do próton (se instável) é calculado em 6 x 10 39 anos para modelos SUSY e 1,4 x 10 36 anos para GUTs não SUSY mínimos. [12]

As forças de acoplamento de calibre de QCD, a interação fraca e a hipercarga parecem se encontrar em uma escala de comprimento comum chamada de escala GUT e igual a aproximadamente 10 16 GeV (um pouco menos do que a energia de Planck de 10 19 GeV), o que é um tanto sugestivo. Esta observação numérica interessante é chamada de unificação de acoplamento de calibre, e funciona particularmente bem se assumirmos a existência de superparceiros das partículas do Modelo Padrão. Ainda assim, é possível conseguir o mesmo postulando, por exemplo, que modelos ordinários (não supersimétricos) SO (10) rompem com uma escala de calibre intermediária, como a do grupo Pati-Salam.

Em 2020, trabalho recente [13] propõe uma nova teoria, denominada Ultra Unificação, além do Modelo Padrão e Grande Unificação (especialmente para os modelos com 15 férmions de Weyl por geração, sem a necessidade do 16º férmion de Weyl: o estéril destro neutrino), adicionando novos setores de fase topológica com lacunas consistentes com o cancelamento de anomalia global não perturbativo e restrições de cobordismo (especialmente do bárion menos o número de leptões Beu, a hipercarga eletrofraca Y e a anomalia gravitacional de calibre mista, como um Z/16Z anomalia de classe). Os setores de fase topológica com lacunas são construídos por meio de extensão de simetria, cuja baixa energia contém teorias de campo quântico topológico invariante de Lorentz (TQFTs): TQFT 4-dimensional não-invertível (fase lacuna emaranhada de longo alcance) ou TQFT 5-dimensional invertível ou não-invertível (curto -fase com intervalo emaranhado de longo alcance). Alternativamente, também poderia haver neutrinos estéreis destros, ou física sem partículas, ou teorias de campos conformados de interação mais gerais, ou suas combinações para cancelar completamente a anomalia gravitacional calibre mista. Isso implica em uma nova fronteira de física de alta energia além da física de partícula 0d convencional depende da nova força topológica e matéria topológica, incluindo objetos estendidos com lacunas (linha 1d com lacuna e operadores de superfície 2d ou defeitos, etc., cujas extremidades abertas carregam partículas fracionadas não definidas ou excitações de cordas anyônicas). As caracterizações físicas desses objetos estendidos com lacunas requerem as teorias matemáticas de cohomologia, cobordismo ou categoria.


Problema da Tarefa: Significado, Métodos e Variações | Pesquisa Operacional

Depois de ler este artigo, você aprenderá sobre: ​​- 1. Significado do Problema de Atribuição 2. Definição do Problema de Atribuição 3. Formulação Matemática 4. Método Húngaro 5. Variações.

Significado do problema de atribuição:

Um problema de atribuição é um caso particular de problema de transporte em que o objetivo é atribuir um número de recursos a um número igual de atividades de modo a minimizar o custo total ou maximizar o lucro total da alocação.

O problema da atribuição surge porque os recursos disponíveis, como homens, máquinas, etc., têm vários graus de eficiência para realizar diferentes atividades, portanto, o custo, lucro ou perda de realizar as diferentes atividades é diferente.

Thus, the problem is “How should the assignments be made so as to optimize the given objective”. Some of the problem where the assignment technique may be useful are assignment of workers to machines, salesman to different sales areas.

Definition of Assignment Problem:

Suppose there are n jobs to be performed and n persons are available for doing these jobs. Assume that each person can do each job at a term, though with varying degree of efficiency, let ceu j be the cost if the i-th person is assigned to the j-th job. The problem is to find an assignment (which job should be assigned to which person one on-one basis) So that the total cost of performing all jobs is minimum, problem of this kind are known as assignment problem.

The assignment problem can be stated in the form of n x n cost matrix C real members as given in the following table:

Mathematical Formulation of the Assignment Problem:

Hungarian Method for Solving Assignment Problem:

The Hungarian method of assignment provides us with an efficient method of finding the optimal solution without having to make a-direct comparison of every solution. It works on the principle of reducing the given cost matrix to a matrix of opportunity costs.

Opportunity cost show the relative penalties associated with assigning resources to an activity as opposed to making the best or least cost assignment. If we can reduce the cost matrix to the extent of having at least one zero in each row and column, it will be possible to make optimal assignment.

The Hungarian method can be summarized in the following steps:

Passo 1: Develop the Cost Table from the given Problem:

If the no of rows are not equal to the no of columns and vice versa, a dummy row or dummy column must be added. The assignment cost for dummy cells are always zero.

Passo 2: Find the Opportunity Cost Table:

(a) Locate the smallest element in each row of the given cost table and then subtract that from each element of that row, and

(b) In the reduced matrix obtained from 2 (a) locate the smallest element in each column and then subtract that from each element. Each row and column now have at least one zero value.

Etapa 3: Make Assignment in the Opportunity Cost Matrix:

The procedure of making assignment is as follows:

(a) Examine rows successively until a row with exactly one unmarked zero is obtained. Make an assignment single zero by making a square around it.

(b) For each zero value that becomes assigned, eliminate (Strike off) all other zeros in the same row and/ or column

(c) Repeat step 3 (a) and 3 (b) for each column also with exactly single zero value all that has not been assigned.

(d) If a row and/or column has two or more unmarked zeros and one cannot be chosen by inspection, then choose the assigned zero cell arbitrarily.

(e) Continue this process until all zeros in row column are either enclosed (Assigned) or struck off (x)

Passo 4: Optimality Criterion:

If the member of assigned cells is equal to the numbers of rows column then it is optimal solution. The total cost associated with this solution is obtained by adding original cost figures in the occupied cells.

If a zero cell was chosen arbitrarily in step (3), there exists an alternative optimal solution. But if no optimal solution is found, then go to step (5).

Etapa 5: Revise the Opportunity Cost Table:

Draw a set of horizontal and vertical lines to cover all the zeros in the revised cost table obtained from step (3), by using the following procedure:

(a) For each row in which no assignment was made, mark a tick (√)

(b) Examine the marked rows. If any zero occurs in those columns, tick the respective rows that contain those assigned zeros.

(c) Repeat this process until no more rows or columns can be marked.

(d) Draw a straight line through each marked column and each unmarked row.

If a no of lines drawn is equal to the no of (or columns) the current solution is the optimal solution, otherwise go to step 6.

Etapa 6: Develop the New Revised Opportunity Cost Table:

(a) From among the cells not covered by any line, choose the smallest element, call this value K

(b) Subtract K from every element in the cell not covered by line.

(c) Add K to very element in the cell covered by the two lines, i.e., intersection of two lines.

(d) Elements in cells covered by one line remain unchanged.

Step 7: Repeat Step 3 to 6 Unlit an Optimal Solution is Obtained:

The flow chart of steps in the Hungarian method for solving an assignment problem is shown in following figures:

1. In a computer centre after studying carefully the three expert programmes, the head of computer centre, estimates the computer time in minutes required by the experts for the application programmes as follows:

Assign the programmers to the programmes in such a way that the total computer time is minimum.

The Hungarian method is used to obtain an optimal solution.

The minimum time element in row 1, 2 and 3 is 80, 80 and 110. resp. Subtract these elements from all elements in this respective row.

The reduced time matrix is shown in following table (1) Table 1:

In reduced Table (1) the minimum time element in columns A, B, and C is 0,10 and 0 resp, subtract these elements from all elements in this resp. column to get the reduced time matrix as shown in Table 2.

Examine all the rows starting from first one- until a row containing only single zero element is located, Here, rows 1 and 3 have only one zero in the cells (1, C) and (3,A) resp, we assigned these zeros. All zeros in the assigned column are crossed off as shown in table 3.

(b) We now examine each column starting from A in table 3, There is one zero in column B in the cell (2, B). Assign this cell as shown in table 4.

(c) Since the no of Assignments (= 3) equal the no of rows (= 3), the optimal solution is obtained.

The pattern of assignment among programmers and programmes with their respective line (in minutes) is given below.

A department has five employees with five jobs to be performed. The time in hours) each men will take to perform each job is given in the effectiveness matrix.

How should the jobs be allocated one per employee so as to minimize the total man- hours?

Step (1) & (2) Applying step (2) of the algorithm, we get the reduced opportunity time matrix as shown in Table (1).

In reduced table (1) the minimum time element in column I,II,III, IV, and V is 0,0,0,0,0 resp, subtracting these from the elements of the resp. column we get same reduced matrix.

We examine all the row starting from A one-by-one until a row containing only single zero element is located. Here rows A, B and E have only one zero element in the cells (A, II), (B, I) and (E, IV), Assignment is made in these cells. All zeros in the assigned columns are now crossed off as shown in table 2.

(b) We now examine each column starting from column. 1. There is one zero in column III, cell (C, III) Assignment is made in this cell. Thus cell (C, V) is Crossed off. All zeros in the table now are either assigned or crossed off as shown in Table 2.

The solution is not optimal because only four assignments are made.

Cover the zeros with minimum numbers of lines (= 4) as explained below.

(a) Mark (√) row D since it has no assignment then.

(b) Mark (√) columns I and IV since row D has zero element in these columns.

(c) Mark (√) rows B & E since column 1 and (IV) have an assignment in rows B and E resp.

(d) Since no other rows or columns can be marked draw straight lines through the unmarked rows A & C and the marked columns I and IV as shown in Table 3.

Develop the new revised table by selecting the smallest element among all uncovered elements by the lines in table 3 viz., 2. subtract K = 2 from uncovered elements including itself and add it to elements 5,10,8 and 0 in cells (A, 1), (A,IV), (C, 1)< and (E,IV) resp. which lie at the intersection of two lines. Another’s revised table so obtained is shown in table 4.

Repeat step (3) to (5) to find a new solution. The new assignment is shown in Table 5.

Since the no. of assignment (= 5) equals the no of rows (or columns), the solution is optimal.

The pattern of assignments among jobs and employees with their respective time (in hour) is given below:

Variations of the Assignment Problems:

Unbalanced Assignment Problem:

Any assignment problem is said to be unbalanced if the cost matrix is not a square matrix, i.e. the no of rows and the no of columns are not equal. To make it balanced we add a dummy row or dummy column with all the entries is zero.

There are four jobs to be assigned to the machines. Only one job could be assigned to one machine are given in following matrix.

Find an optimum assignment of jobs to the machines to minimize the total processing time and also find for which machine no job is assigned. What is the total processing time to complete all the jobs.

Since the cost matrix is not a square matrix the problem is unbalanced. We add a dummy job 5 with corresponding entries zero. Modified matrix.

We subtract the smallest element from all the elements in the respective row and column.

Now we give the zero assignment in our usual manners & get the following matrix.

But the solution is not optimal because only four assignments are made

In this step we draw minimum no. of lines to cover all zeros.

The no of lines to cover all zeros = 4 < the order of matrix. We form the 2nd modified matrix by subtracting the smallest uncovered element (i) from the remaining uncovered elements and add to the element at the point of intersection of lines.

Again Repeat step (3) & (4) and find following matrix.

Here total no of assignment (= 5) which is equal to no of rows or no of columns. Then this is optimal solution.

The pattern of assignment is given below:

For machines E no job is assigned, optimum (minimum)

An airline, that operates seven days a week, has a time table shown below, crews must have a minimum layover of 6 hours between flights. Obtain the pairing of flights that minimizes layover time away from home. For any given pairing the crew will 1 be based at the city that results in the smaller layover.

Let us first construct the table for the possible layovers between flights, when crews are based at Delhi. The time difference between flight I and 101 is 24 hrs. i.e., 1,440 minutes, whereas minimum layover required is 6 hours or 360 minutes.

When crew is based at Delhi, the layover table will be as follows:

Similarly we now construct layover table for crews based at Calcutta.

As per the given constraint, minimum layover time is now given in the table below.

The figures circled indicate layover for crew based at Calcutta, whereas not circled figures are for Delhi based crew.

Subtracting the smallest element of each row from every element of the corresponding row, we get the following:

Subtracting column minima from all the elements of the column.

Making assignment on zero elements because in given situation optimal assignment is not possible then we draw minimum no of horizontal or vertical lines to cover all zeros then we get 3 lines as given below.

We get 3 lines since this no is not equal to the no of row/columns the solution is not optimal proceed to step (4).

Identify the smallest uncovered element and subtracting it from all uncovered elements, with addition to the elements at points of intersection, the matrix will be revised as follows (Min. element = 60).

(Repeat step 3) Drawing horizontal vertical lines to cover all zeros, we get.


Mitosis detection in biomedical images

3.4.2 3-Dimensional convolutional network (C3D) for mitosis detection

Another important variation of a deep-learning model for image sequence event detection is 3D convolutional network (C3D). Instead of extraction motion information from image sequence with optical flow methods, C3D uses 3D kernels in convolution layers to learn the spatiotemporal information directly.

Compared with traditional 2D convolution layers in CNN, the C3D network directly takes a sequence of images (with shape h × C × t × c) as input. Aqui, h e C represent the height and width of the input image, respectively t represents the temporal length of the input sequence and c represents the number of channels for each pixel in the image. In each layer, convolution operations are applied along both spatial and temporal dimensions with 3D kernels on the input sequences. The difference between 2D convolution operation and 3D convolution operation is shown in Fig. 6.17 .

Fig. 6.17 . Difference between 2D convolution operations and 3D convolution operation.

A detailed description of the C3D network can be found in Refs. [24, 25] .

The C3D network has been applied to mitosis detection problems in phase contrast microscopy images as described in Ref. [26] . The C3D network is specifically designed for detection on cell image sequences. The network contains five convolution layers (each followed by a pooling layer) and two fully connected layers. The output of the network is used as the sequence feature for mitosis detection ( Fig. 6.17 ).


Make a ten

This unit follows naturally from the Smart Doubling unit.
In this unit students are encouraged to further develop part/whole mental methods by using the strategy of "make a ten".

  • Demonstrate automatic recall of all pairs of single digit addition facts whose total is 10 or less.
  • Use the mental strategy "make a ten" for addition problems.
  • Use the most efficient mental strategy for a given problem.

In this unit students are encouraged to add to their use of part/whole with doubles by using make a ten methods.

Examples of part/whole methods using make a ten:

The students work out 8 + 5 by removing 2 from the 5 to leave 3, add this 2 to the 8 to make 10 then add the 3 to the 10 to give 13.

The students work out 38 + 8 by removing 2 from the 8 to leave 6, add the 2 to the 38 to give 40, then add 6 to the 40 to give 46.

It is desirable for students to move to part/whole methods as counting methods fail for larger numbers. For example, a student who attempts to work out 36 + 46 by counting on will soon lose their way, whereas the part/whole thinker could solve this by adding 30 and 40 to give 70, then add 6 and 6 to get 12 then add 12 to 70 to get 82.

Students who have successfully understood the part/whole methods in the Smart Doubling unit will have little trouble learning the make a ten part/whole strategy. Teachers should expect those students who failed to make the part/whole connections with doubles to also struggle with this unit. It may be best not to introduce this unit until the students understand the doubling strategy.

  • Sets of counters
  • Empty tens frames with squares large enough to contain counters
  • Tens frames ( Material Master 4-6 )

Getting Started

  1. Check the students’ knowledge of the addition facts that add to ten facts before starting. This unit builds on the students’ knowledge of the known facts of ten, i.e., 1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 4 + 6 = 10, 5 + 5 etc.
  2. Also check that the students understand the " teen" numbers. For example, show the students a ten and a four on tens frame as shown. They should respond that 10 + 4 is 14 without needing to count-on by ones.

It is important to discuss the fact that the answer to 9 + 6 is the same as the answer to 10 + 5. Without this realisation students will not be able to make progress into mental number processes. Although the problem can of course be correctly solved by counting-on the aim of the lesson is to encourage the development of part/whole mental strategies.

Exploring

Over the next 3-4 days the students are encouraged to use make to ten strategies for solving number story problems.

  1. Make up number stories for 9 + 7, 5 + 8, 9 + 8, 7 + 6. Students use counters on empty tens frames and use the technique of filling one of the frames up to show ten counters.
  2. Students now use the pre-printed tens frames.
    Moana has 7 oranges and 9 apples. How many pieces of fruit does she have altogether?
    Ask the students to show 7 + 9 with a pre-printed 9 card and a pre-printed 7 card. Students visualise moving 1 out of the 7 to leave 6, and adding 1 to the 9 to create 10. This action of imaging pushes the student towards understanding the movement of numbers around within a problem as a key to mental processing.
  3. Next, only you, as the teacher, have the pre-printed tens frames. Hold the cards so that only you can see the dots and the students have to visualise what you are seeing. Prior to giving the students addition problems ask the students to first visualise single numbers.
    I can see the 8 card. What does it look like?
    Some students will "see" the 5 + 3, others will "see" the two spaces.
  4. Next pose addition problems, which encourage the students to visualise the tens frames that only you can see. Por exemplo:
    I can see 8+ 6. How could I move the dots to work out 8 + 6?
  5. The next step in the progression involves no materials. The students visualise the tens frames to move around dots as they solve problems:
    8 + 5, 3 + 9, 8 + 9.
  6. Now link the doubles to the make a ten strategy. Ask the students to consider all the ways they know to work out 8 + 9. The range of likely responses is:
    • Double 8 + 1 = 16 + 1 = 17
    • Double 9 – 1 = 18 – 1 = 17
    • Double 10 – 1 – 2 = 20 – 1 – 2 = 19 – 2 = 17 (Rarely used)
    • 10 + 8 = 18 but this is 1 too many so the answer is 17
    • Remove 1 from the 8 and add 1 to the 9 and to give 7 + 10 which is 17
    • Add 2 to the 8 and remove 2 from the 9 and to give 10 + 7 which is 17
      After working through this example together students work in pairs to solve: 6 + 8, 9 + 7, 6 + 9. They discuss their strategies.
  7. Attention now turns to using make a ten strategies to solve subtraction problems. Subtraction problems with the first number in the teen decade are given.
    Michael has 13 lollies and he eats 5 of them. How many lollies does Michael now have now?
    Students model 13 on pre-printed ten frames.

Reflecting

At the end of each session encourage the students to share and discuss answers as a group or class.

At school this week we have solved addition and subtraction problems using a strategy called "Making Tens". You can help your child by asking them to explain their thinking as they solve the problems on this sheet.

Making Tens

To work out 9 + 7 Moana removes 1 from the 7 to leave 6 and adds this 1 to the 9 to make 10. She then knows 9 + 7 = 10 + 6 so the answer is 16.

Use Moana’s method of making a ten to work out these:

To work out 9 + 8 William knows a number ways.

  1. His first way is 9 + 9 = 18 and remove 1 to give 17
  2. His second way is to remove 1 from the 9 to leave 8 then add 8 and 8 to give 16, then put the 1 back to give 17.
  3. His third way is to remove 1 from the 8 to leave 7, then add that 1 onto the 9 to make 10. Adding the 10 and the 7 makes 17.

Write stories to show dois different ways to work out the following:
9 + 7


List of Mac mini models

Mac mini models are organized by the year they were introduced, starting with the most recent. Click the model name for detailed technical specifications.

Mac mini models from 2014 and newer can run the latest version of macOS. For older models, the latest compatible operating system is noted.

Mac mini (M1, 2020)
Model Identifier: Macmini9,1
Part Numbers: MGNR3xx/A, MGNT3xx/A
Tech Specs: Mac mini (M1, 2020)
User Guide: Mac mini (M1, 2020)

Mac mini (2018)
Model Identifier: Macmini8,1
Part Numbers: MRTR2xx/A, MRTT2xx/A, MXNF2xx/A, MXNG2xx/A
Tech Specs: Mac mini (2018)
User Guide: Mac mini (2018)

Mac mini (Late 2014)
Model Identifier: Macmini7,1
Part Numbers: MGEM2xx/A, MGEN2xx/A, MGEQ2xx/A
Tech Specs: Mac mini (Late 2014)
User Guide: Mac mini (Late 2014)

Mac mini (Late 2012)
Model Identifier: Macmini6,1 Macmini6,2
Part Numbers: MD387xx/A MD388xx/A, MD389xx/A
Newest compatible operating system: macOS Catalina 10.15.7
Tech Specs: Mac mini (Late 2012)
User Guide: Mac mini (Late 2012)

Mac mini (Mid 2011)
Model Identifier: Macmini5,1 Macmini5,2
Part Numbers: MC815xx/A MC816xx/A, MC936xx/A
Newest compatible operating system: macOS High Sierra 10.13.6
Tech Specs: Mac mini (Mid 2011)
User Guide: Mac mini (Mid 2011)

Mac mini (Mid 2010)
Model Identifier: Macmini4,1
Part Numbers: MC438xx/A, MC270xx/A
Newest compatible operating system: macOS High Sierra 10.13.6
Tech Specs: Mac mini (Mid 2010)

Mac mini (Late 2009)
Model Identifier: Macmini3,1
Part Numbers: MC238xx/A, MC239xx/A, MC408xx/A
Newest compatible operating system: OS X El Capitan 10.11.6
Tech Specs: Mac mini (Late 2009)

Mac mini (Early 2009)
Model Identifier: Macmini3,1
Part Numbers: MB464xx/A, MB463xx/A
Newest compatible operating system: OS X El Capitan 10.11.6
Tech Specs: Mac mini (Early 2009)


Rydberg Formula Worked Example Problem

Find the wavelength of the electromagnetic radiation that is emitted from an electron that relaxes from n = 3 to n = 1.

To solve the problem, start with the Rydberg equation:

Now plug in the values, where n1 is 1 and n2 is 3. Use 1.9074 x 10 7 m -1 for Rydberg's constant:

Note the formula gives a wavelength in meters using this value for Rydberg's constant. You'll often be asked to provide an answer in nanometers or Angstroms.


Assista o vídeo: Cómo realizar modelos matemáticos (Novembro 2021).