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5.3: 5.3 Gráficos de teia de aranha para mapas iterativos unidimensionais - matemática


Uma maneira possível de resolver o espaço de fase superlotado de um sistema de tempo discreto é criar dois espaços de fase, um para o tempo (t − 1 ) e outro para (t ), e então desenhar trajetórias do estado do sistema em um espaço de metáfase que é obtido colocando esses dois espaços de fase ortogonalmente entre si. Dessa forma, você poderia desenredar as trajetórias emaranhadas para torná-las visualmente compreensíveis.

No entanto, essa ideia aparentemente brilhante tem um problema fundamental. Funciona apenas para sistemas unidimensionais, porque sistemas bidimensionais ou superiores requerem quatro ou mais dimensões para visualizar o espaço de metáfase, que não pode ser visualizado no mundo físico tridimensional em que estamos confinados.

Esta ideia de espaço de metáfase ainda é eficaz e poderosa para visualizar a dinâmica de mapas iterativos unidimensionais. A visualização resultante é chamada de trama de teia de aranha, que desempenha um papel importante como uma ferramenta analítica intuitiva para entender a dinâmica não linear de sistemas unidimensionais.

Aqui está como desenhar manualmente um gráfico de teia de aranha de um mapa iterativo unidimensional, (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ), com o intervalo de (x_ {t} ) sendo ([x_ {min}, x_ {max}] ). Pegue um pedaço de papel e uma caneta e faça o seguinte:

1. Desenhe um quadrado no papel. Rotule a borda inferior como o eixo para (x_ {t − 1} ), e a borda esquerda como o eixo para (x_ {t} ). Identifique a faixa de seus valores nos eixos (Fig. 5.3.1).

2. Desenhe uma curva (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ) e uma linha diagonal (x_ {t} = x_ {t − 1} ) dentro do quadrado (Fig. 5.3. 2). Observe que os pontos de equilíbrio do sistema aparecem neste gráfico como os pontos onde a curva e a linha se cruzam.

3. Desenhe uma trajetória de (x_ {t − 1} ) a (x_ {t} ). Isso pode ser feito usando a curva (x_ {t} = f (x_ {t − 1)} ) (Fig. 5.3.3). Comece a partir de um valor do estado atual no eixo inferior (inicialmente, este é o valor inicial (x_ {0} ), como mostrado na Fig. 5.3.3), e mova verticalmente até chegar à curva. Em seguida, mude a direção do movimento para horizontal e alcance o eixo esquerdo. Você termina no próximo valor do estado do sistema ( (x_ {1} ) na Fig. As duas setas vermelhas conectando os dois eixos representam a trajetória entre os dois pontos de tempo consecutivos.

4. Refletir o novo valor de estado de volta ao eixo horizontal. Isso pode ser feito como um simples reflexo de espelho usando a linha diagonal (Fig. 5.3.4). Isso completa uma etapa da “simulação manual” no gráfico de teia de aranha.

5. Repita as etapas acima para ver para onde o sistema vai eventualmente (Fig. 5.3.5).
6. Depois de se acostumar com este processo, você notará que realmente não precisa tocar em nenhum dos eixos. Tudo que você precisa fazer para desenhar um gráfico de teia de aranha é saltar para frente e para trás entre a curva e a linha (Fig. 5.3.6)—Mova verticalmente para a curva, horizontalmente para a linha e repita.

Exercício ( PageIndex {1} )

Desenhe um gráfico de teia de aranha para cada um dos seguintes modelos:

Exercício ( PageIndex {2} )

Desenhe um gráfico de teia de aranha do seguinte modelo de crescimento logístico com (r = 1 ), (K = 1 ), (N_ {0} = 0,1 ):

[N_ {t} = N_ {t-1} + rN_ {t-1} (1- frac {N_ {t-1}} {K}) label {(5.17)} ]

Os gráficos de teia de aranha também podem ser desenhados em Python. O Código 5.4 é um exemplo de como desenhar um gráfico de teia de aranha do modelo de crescimento exponencial (Código 4.9). Sua saída é dada na Fig. 5.4.1.

Exercício ( PageIndex {3} )

Usando Python, desenhe um gráfico de teia de aranha do modelo de crescimento logístico com (r = 2,5 ), (K = 1 ), (N_ {0} = 0,1 ).


Assista o vídeo: Gráficos no Radar 19092018 (Novembro 2021).