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3.1: O que são sistemas dinâmicos? - Matemática


A teoria dos sistemas dinâmicos é a base de quase todos os tipos de modelos de sistemas complexos baseados em regras. Ele considera os sistemas de exibição mudam com o tempo, não apenas as propriedades estáticas das observações. Um sistema dinâmico pode ser definido informalmente da seguinte forma1:

Definição: Sistema Dinâmico

UMA sistema dinâmico é um sistema cujo estado é exclusivamente especificado por um conjunto de variáveis ​​e cujo comportamento é descrito por regras pré-definidas.

Exemplos de sistemas dinâmicos incluem o crescimento populacional, um pêndulo oscilante, os movimentos dos corpos celestes e o comportamento de indivíduos “racionais” jogando um jogo de negociação, para citar alguns. Os primeiros três exemplos parecem legítimos, pois são sistemas que normalmente aparecem em livros de física. Mas e o último exemplo? O comportamento humano poderia ser modelado como um sistema dinâmico determinístico? A resposta depende de como você formula o modelo usando suposições relevantes. Se você assumir que os indivíduos tomam decisões sempre perfeitamente racionalmente, então o processo de tomada de decisão se torna determinístico e, portanto, as interações entre eles podem ser modeladas como um sistema dinâmico determinístico. Claro, isso não garante se é um bom modelo ou não; a suposição deve ser avaliada criticamente com base nos critérios discutidos no capítulo anterior.

De qualquer forma, os sistemas dinâmicos podem ser descritos em intervalos de tempo discretos ou em uma linha de tempo contínua. Suas formulações matemáticas gerais são as seguintes:

Definição: Sistema dinâmico em tempo discreto

[x_t = F (x_ {t − 1}, t) label {3.1} ]

Este tipo de modelo é chamado de equação de diferença, um equação de recorrência, ou um mapa iterativo (se não houver (t ) no lado direito).

Definição: Sistema dinâmico de tempo contínuo

[ dfrac {dx} {dt} = F (x, t) label {3.2} ]

Este tipo de modelo é denominado equação diferencial.

Em ambos os casos, (x_t ) ou (x ) é a variável de estado do sistema no tempo (t ), que pode assumir um valor escalar ou vetorial. (F ) é uma função que determina as regras pelas quais o sistema muda seu estado ao longo do tempo. As fórmulas fornecidas acima são versões de primeira ordem de sistemas dinâmicos (ou seja, as equações não envolvem (x_ {t − 2} ), (x_ {t − 3} ), ..., ou ( d ^ 2x / dt ^ 2 ), (d ^ 3x / dt ^ 3 ), ...). Mas essas formas de primeira ordem são gerais o suficiente para cobrir todos os tipos de dinâmica possíveis em sistemas dinâmicos, como discutiremos mais tarde.

Exercício ( PageIndex {1} )

Você aprendeu sobre algum modelo nas ciências naturais ou sociais que são formulados como sistemas dinâmicos de tempo discreto ou de tempo contínuo, conforme mostrado acima? Se sim, quais são eles? Quais são as premissas por trás desses modelos?

Exercício ( PageIndex {2} )

Quais são algumas opções apropriadas para variáveis ​​de estado nos sistemas a seguir?

  • crescimento populacional
  • pêndulo oscilante
  • movimentos de corpos celestes
  • comportamento de indivíduos "racionais" jogando um jogo de negociação

1Uma definição tradicional de sistemas dinâmicos considera apenas sistemas determinísticos, mas comportamentos estocásticos (ou seja, probabilísticos) também podem ser modelados em um sistema dinâmico, por exemplo, representando a distribuição de probabilidade dos estados do sistema como um estado de metanível.


Teoria de sistemas dinâmicos

Teoria de sistemas dinâmicos é uma área da matemática usada para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos complexos, geralmente empregando equações diferenciais ou equações de diferença. Quando as equações diferenciais são empregadas, a teoria é chamada sistemas dinâmicos contínuos. Quando as equações de diferença são empregadas, a teoria é chamada sistemas dinâmicos discretos. Quando a variável de tempo passa por um conjunto que é discreto em alguns intervalos e contínuo em outros intervalos ou é qualquer conjunto de tempo arbitrário, como um conjunto de cantor - obtém-se equações dinâmicas em escalas de tempo. Algumas situações também podem ser modeladas por operadores mistos, como equações diferenciais.

Esta teoria lida com o comportamento qualitativo de longo prazo de sistemas dinâmicos e estuda as soluções das equações de movimento de sistemas que são principalmente de natureza mecânica, embora isso inclua as órbitas planetárias, bem como o comportamento de circuitos eletrônicos e as soluções para equações diferenciais que surgem em biologia. Grande parte da pesquisa moderna está focada no estudo de sistemas caóticos.

Este campo de estudo também é denominado apenas Sistemas dinâmicos, Teoria Matemática de Sistemas Dinâmicos e Teoria matemática de sistemas dinâmicos.


Conteúdo

A teoria dos sistemas dinâmicos e a teoria do caos lidam com o comportamento qualitativo de longo prazo dos sistemas dinâmicos. Aqui, o foco não está em encontrar soluções precisas para as equações que definem o sistema dinâmico (que muitas vezes é impossível), mas sim em responder a perguntas como "O sistema se estabelecerá em um estado estacionário a longo prazo e, se sim, o que são os possíveis estados estacionários? ", ou" O comportamento de longo prazo do sistema depende de sua condição inicial? "

Um objetivo importante é descrever os pontos fixos, ou estados estacionários de um determinado sistema dinâmico, são valores da variável que não mudam com o tempo. Alguns desses pontos fixos são atraente, o que significa que se o sistema começar em um estado próximo, ele convergirá para o ponto fixo.

Da mesma forma, alguém está interessado em pontos periódicos, estados do sistema que se repetem após várias etapas de tempo. Os pontos periódicos também podem ser atraentes. O teorema de Sarkovskii é uma afirmação interessante sobre o número de pontos periódicos de um sistema dinâmico discreto unidimensional.

Mesmo os sistemas dinâmicos não lineares simples costumam exibir um comportamento quase aleatório e completamente imprevisível que foi denominado caos. O ramo dos sistemas dinâmicos que lida com a definição limpa e investigação do caos é chamado de teoria do caos.


Matemática Math21b Primavera de 2001

Este curso é ministrado inteiramente em seções (ministrado por professores bolsistas [TF]), com uma sessão de problema semanal adicional (conduzida por um Assistente de Curso [CA]). O seccionamento deve ser feito via computador ao meio-dia na quinta-feira, 1º de fevereiro. Você será notificado sobre a seção designada na sexta-feira, 2 de fevereiro. As aulas começarão na segunda-feira, 5 de fevereiro.

Chefe do curso:

Richard Taylor, Escritório: SC 539, Tel: 495-5487, e-mail: [email protected]
Site do curso: http://www.courses.harvard.edu/

math21b
Aqui você encontrará soluções de dever de casa, problemas e soluções de revisão de exames e suplementos de curso.

Exames: Haverá dois exames intermediários e um Exame Final.

Quaisquer alterações nas datas dos exames a seguir serão anunciadas aqui e em sala de aula.

Notas: Notas: Sua nota geral do curso será determinada de acordo com os seguintes pesos:

Os problemas de dever de casa são parte integrante deste curso. É impossível entender o material e se sair bem nos exames sem resolver os problemas da lição de casa de maneira cuidadosa. A matemática não é um esporte para espectadores. Não se limite a fazer cálculos e anotar as respostas - pense nos problemas apresentados, em sua estratégia, no significado dos cálculos que você realiza e nas respostas que obtém. Nada o impede de tentar mais alguns problemas em uma determinada seção, se achar que isso pode lhe fazer bem.

Nós o encorajamos a formar grupos de estudo com outros alunos da classe para que possam discutir o trabalho uns com os outros. Seu Assistente de Curso irá, mediante solicitação, distribuir uma lista de nomes e números de telefone dos alunos da classe para facilitar isso. Embora o incentivemos a conversar com seus colegas de classe, o trabalho deve ser redigido de forma independente.

Muitos dos problemas do dever de casa serão diferentes dos problemas que você discutiu em classe e no texto. Isso não é um acidente. Nós queremos que você pensar sobre o material e aprenda a aplicá-lo em ambientes desconhecidos e a interpretá-lo de maneiras diferentes. Somente se você entender o material (em vez de apenas sabê-lo), você será capaz de ir além das informações que recebe.

Muitos estudantes de matemática parecem se inscrever na & quotRegra dos dez minutos & quot: Se você não conseguir resolver em dez minutos, não conseguirá resolver de jeito nenhum. Nada poderia estar mais longe da verdade, é claro. Provavelmente, você aprenderá mais com os problemas que o mantêm ocupado por mais de dez minutos, independentemente de você conseguir resolvê-los ou não.

Centro de questões matemáticas: Além das aulas, sessões de problemas e horas de expediente, o Departamento de Matemática opera um Centro de Perguntas em Loker aos domingos, segundas, terças, quartas e quintas à noite, das 20h às 22h. O Centro de Perguntas será composto por Assistentes de Curso de Matemática 1a, 1b, 21a e 21b e por alunos de pós-graduação e outros. Você é incentivado a usar este recurso ao fazer sua lição de casa e quando surgirem dúvidas. Destina-se a complementar as horas de expediente mantidas pelo líder de seção.

Uso de tecnologia: Em alguns dos problemas de lição de casa, você será solicitado a não usar nenhuma tecnologia (calculadoras ou pacotes de software). Se nenhuma restrição for feita, você pode usar a forma de tecnologia de sua escolha, por ex. Calculadora TI-85, Matlab, Maple, Mathematica. Você pode querer ter acesso a alguma forma de tecnologia. Calculadoras não serão permitidas nos exames.

Ouvidor: Se algo maravilhoso ou preocupante surgir em conexão com a aula, avise seu TF. Você também pode entrar em contato com o diretor do curso. Além disso, há um Ombudsperson com o qual você pode entrar em contato por e-mail. As mensagens aí encaminhadas serão lidas por um membro do Departamento de Matemática que não está a leccionar cálculo neste semestre, podendo, quando for o caso, encaminhar ou actuar sobre as informações sem revelar a sua fonte.

Programa de Estudos: Cobriremos aproximadamente uma seção do texto por aula (programação MWF). O líder da seção destacará os conceitos-chave introduzidos em cada seção, mas pode não haver tempo suficiente para cobrir todos os tópicos. Você precisará estudar o texto para preencher os detalhes. Ler o texto é parte integrante do curso. Nos exames, você será responsável por todo o material abordado no texto e nas aulas. Abaixo está o currículo aproximado do dia-a-dia para as seções MWF do curso. Alguns tópicos podem ser omitidos se o tempo for limitado.

1: Sistemas de equações lineares
1.1: Introdução aos sistemas lineares
1.2: Matrizes e Eliminação de Gauss-Jordan
1.3: Sobre as soluções de sistemas lineares

2: transformações lineares
2.1: Introdução às transformações lineares e seus inversos
2.2: Transformações lineares na geometria
2.3: O inverso de uma transformação linear
2.4: Composições de produtos de matriz de transformações lineares

3: Subespaços de R n e sua dimensão
3.1: Imagem e kernel de uma transformação linear
3.2: Subespaços de bases R n e independência linear
3.3: A dimensão de um subespaço de R n

4: Ortogonalidade e mínimos quadrados
4.1: Bases ortonormais e projeções ortogonais
4.2: Processo de Gram-Schmidt e fatoração QR
4.3: Transformações ortogonais e matrizes ortogonais
4.4: Mínimos quadrados e ajuste de dados

5: Determinantes
5.1: Introdução aos determinantes
5.2: Propriedades do determinante
5.3: Interpretações geométricas do determinante, regra de Cramer

6: Valores próprios e vetores próprios
6.1: Sistemas dinâmicos e autovetores: um exemplo introdutório
6.2: Encontrando os valores próprios de uma matriz
6.3: Encontrando os autovetores de uma matriz
6.4: Autovalores complexos e rotações
6.5: Estabilidade

Revisão e segundo semestre.

7: Sistemas de coordenadas
7.1: Sistemas de coordenadas em R n
7.3: Matrizes simétricas

8: Sistemas lineares de equações diferenciais
8.1: Uma introdução aos sistemas dinâmicos contínuos
8.2: O caso complexo: fórmula de Euler
`8.3 ': Sistemas não lineares (notas suplementares a serem fornecidas)

9: Espaços lineares
9.1: Uma introdução aos espaços lineares

Outros tópicos em equações diferenciais (notas complementares a serem fornecidas)
10.1: Equações diferenciais lineares ordinárias
10.2: Série de Fourier
10.3: Equações diferenciais parciais I - A Equação de Calor
10.4: Equações diferenciais parciais II - Equação de Laplace, a Equação de Onda


Equações diferenciais, sistemas dinâmicos e uma introdução ao caos

As equações diferenciais clássicas, sistemas dinâmicos e uma introdução ao caos de Hirsch, Devaney e Smale foram usadas por professores como o texto principal para cursos de graduação e pós-graduação cobrindo equações diferenciais. Ele fornece uma abordagem teórica para sistemas dinâmicos e caos escrito para uma população estudantil diversa entre os campos da matemática, ciências e engenharia. Especialistas proeminentes fornecem tudo que os alunos precisam saber sobre sistemas dinâmicos enquanto os alunos procuram desenvolver habilidades matemáticas suficientes para analisar os tipos de equações diferenciais que surgem em sua área de estudo. Os autores fornecem exemplos e exercícios rigorosos de forma clara e fácil, introduzindo lentamente sistemas lineares de equações diferenciais. Cálculo é necessário porque tópicos avançados especializados não normalmente encontrados em cursos de equações diferenciais elementares são incluídos, como explorar o mundo de sistemas dinâmicos discretos e descrever sistemas caóticos.


Departamento de Matemática e Estatística, Universidade de Canterbury, Christchurch, Nova Zelândia

Recebido Dezembro 2003 Revisado Novembro de 2004 Publicados Março de 2005

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Hiroshi Matano, Ken-Ichi Nakamura. O atrator global de equações parabólicas semilineares em $ S ^ 1 $. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos, 1997, 3 (1): 1-24. doi: 10.3934 / dcds.1997.3.1

Noriaki Kawaguchi. Estabilidade topológica e sombreamento de sistemas dinâmicos de dimensão zero. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos, 2019, 39 (5): 2743-2761. doi: 10.3934 / dcds.2019115

educaçao Fisica. Kloeden, Desheng Li, Chengkui Zhong. Atratores uniformes de sistemas dinâmicos periódicos e assintoticamente periódicos. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos, 2005, 12 (2): 213-232. doi: 10.3934 / dcds.2005.12.213

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Pedro Roberto de Lima, Hugo D. Fernández Sare. Condição geral para estabilidade exponencial de sistemas termoelásticos de Bresse com a lei de Cattaneo. Comunicações em análise pura e aplicada, 2020, 19 (7): 3575-3596. doi: 10.3934 / cpaa.2020156

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Caidi Zhao, Shengfan Zhou. Atratores uniformes compactos para sistemas dinâmicos de rede dissipativa com atrasos. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos, 2008, 21 (2): 643-663. doi: 10.3934 / dcds.2008.21.643

Michael Zgurovsky, Mark Gluzman, Nataliia Gorban, Pavlo Kasyanov, Liliia Paliichuk, Olha Khomenko. Atratores globais uniformes para sistemas dinâmicos dissipativos não autônomos. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos - B, 2017, 22 (5): 2053-2065. doi: 10.3934 / dcdsb.2017120

Tomás Caraballo, David Cheban. Sobre a estrutura do atrator global para sistemas dinâmicos não autônomos com convergência fraca. Comunicações em análise pura e aplicada, 2012, 11 (2): 809-828. doi: 10.3934 / cpaa.2012.11.809

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Alicia Cordero, José Martínez Alfaro, Pura Vindel. Sistemas hamiltonianos integráveis ​​inferiores em $ S ^ <2> times S ^ <1> $. Sistemas Dinâmicos Discretos e Contínuos, 2008, 22 (3): 587-604. doi: 10.3934 / dcds.2008.22.587

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Alexandre N. Carvalho, José A. Langa, James C. Robinson. Dinâmica para a frente de sistemas dinâmicos não autônomos: Semigrupos de condução sem exclusividade para trás e estrutura do atrator. Comunicações em análise pura e aplicada, 2020, 19 (4): 1997-2013. doi: 10.3934 / cpaa.2020088


Teoria KAM parametrizada

A Teoria KAM diz respeito à ocorrência típica de toros quase periódicos em sistemas dinâmicos, ou seja, persistentes sob perturbações suficientemente pequenas. Em todos os casos, no produto do espaço de fase e do espaço de parâmetros, os toros quase periódicos são parametrizados suavemente de Whitney sobre um conjunto denso de medida positiva em lugar nenhum (envolvendo um conjunto Cantor), (Broer e Han & # 223mann 2008), (Broer et al. & # 1601996), (Broer et al. & # 1601990), (Broer e Sevryuk 2008), (Chierchia 2008), (Hasselblatt e Katok 2006), (P & # 246schel1982) e (Zehnder 1975, 1976).

A teoria KAM começou com tori lagrangianos em sistemas hamiltonianos quase integráveis, mas a teoria permite uma abordagem de álgebra de Lie, que generaliza para sistemas equivariáveis ​​ou reversíveis. Isso também é válido para a classe de sistemas suaves gerais, chamados de `dissipativos '. Acontece que em muitos casos os parâmetros são necessários para a persistência do tori.

Famílias de atratores quase periódicos

Na configuração dissipativa, considere sistemas parametrizados com invariante normalmente hiperbólico (n ) - tori. Seguindo (Hirsch et al. & # 1601977), este sistema pode ser restrito ao toro invariante, ou seja, ao (n ) - toro (< mathbb T> ^ n = 2 pi < mathbb Z> ^ n) >, ) que então é o espaço de fase. Aqui, considere [ tag <4> ponto = omega ( mu) + varepsilon f (x, mu, varepsilon) ponto < mu> = 0, ]

onde ( mu in < mathbb R> ^ n ) é um multiparâmetro. Os resultados do Teorema KAM clássico (P & # 246schel 1982) são amplamente transferidos para (4).

Para ( varepsilon = 0 ) (4) é `integrável '(Broer et al. & # 1601990) e um subconjunto aberto de (< mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ n ) é folheado por invariante (n ) - tori. A questão é até que ponto a dinâmica no tori invariante resultante é quase periódica. A resposta é análoga ao caso hamiltoniano. Em vez da condição de não degenerescência de Kolmogorov, o mapa de frequência ( mu mapsto omega ( mu) ) precisa ser um difeomorfismo (local). Como consequência, (4) (_ < mu, varepsilon> ) é conjugado suavemente com Whitney a (4) (_ < mu, 0>, ) desde que o mapa ( omega ) seja co-restrito ao conjunto Diofantino (< mathbb R> ^ n _ < tau, gamma>, ) definido por [ tag <5> < mathbb R> ^ n_ < tau, gamma> = < omega in < mathbb R> ^ n mid | langle k, omega rangle | ge gamma | k | ^ <-1> mbox k in < mathbb Z> setminus <0 > >. ]

Aqui ( langle k, omega rangle ) é o produto interno padrão e (| k | = sum_j | k_j |. ) Para uma prova, consulte (Broer et al. & # 1601996).

  • Este resultado é válido para (C ^ infty ) - sistemas, mas também em (C ^ ell ) com ( ell ) suficientemente grande, veja as referências acima. A formulação é em termos de estabilidade (estrutural) restrita a uma união adequada de toros diofantinos quase periódicos, batizados para a ocasião como estabilidade quase periódica.
  • A Teoria KAM dissipativa dá origem a famílias de atratores quase periódicos que ocorrem normalmente. Isto é importante nas reduções do centro múltiplo da dinâmica dimensional infinita como, por exemplo, na mecânica dos fluidos (Broer e Han & # 223mann 2008) e referências.
  • Nos casos em que o sistema é degenerado, por exemplo porque há `falta de parâmetros ', um formalismo de caminho pode ser invocado, onde o parâmetro` caminho' deve ser uma subfamília genérica do conjunto Diofantino (< mathbb R> ^ n _ < tau, gamma>. ) Isso equivale à não degenerescência de R & # 252ssmann, que ainda dá uma medida positiva de quase periodicidade no espaço de parâmetros, compare com (Broer et al. & # 1601996 2007) e referências.

Tori dimensional inferior

A abordagem acima se estende a casos em que a dinâmica transversal ao tori é levada em consideração. Para a história (que começa com Moser na década de 1960) e para detalhes, veja (Broer et al. & # 1601996, 2008), bem como (Broer e Han & # 223mann 2008), incluindo todas as referências.

Considere o espaço de fase (< mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ m = 2 pi < mathbb Z> ^ n), y > ) e um espaço de parâmetro ( < mu > = P subset mathbb^ s. ) Para ( mu = 0 in P ) o campo vetorial suave `integrável ' (X = X (x, y, mu) ) [ tag <6> ponto = omega ( mu) + f (y, mu), ponto = Omega ( mu) , y + g (y, mu), dot < mu> = 0, ]

tem (< mathbb T> ^ n times <0 > subconjunto < mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ m ) como um invariante (n ) - toro, com (f (y, 0) = O (| y |) ) e (g (y, 0) = O (| y | ^ 2), ) então o toro invariante é considerado reduzido à forma de Floquet. Mais uma vez, a questão é até que ponto este toro e a sua dinâmica são persistentes sob uma pequena perturbação `quase integrável 'a um sistema ( tilde = tilde(x, y, mu) . )

  • A não degenerescência de Broer-Huitema-Takens (BHT) (o análogo presente da não degenerescência de Kolmogorov) requer que o mapa do produto ( omega times Omega: P rightarrow < mathbb R> ^ n times < rm gl> (m, < mathbb R>) ) é um desdobramento versal de (( omega (0), Omega (0)) ) (Arnold 1983), (Broer et al. & # 1601990), (Broer e Sevryuk 2008) e referências. No caso de autovalores simples, existem desdobramentos de forma normal onde os autovalores de ( Omega ( mu) ) assumem o papel de parâmetros.
  • As presentes condições diofantinas generalizam (5), incluindo também as frequências normais de ( Omega ( mu), ) ou seja, as partes imaginárias ( beta_1, ldots, beta_N ) de seus autovalores não reais como segue: Dado ( tau & gt n-1 ) e ( gamma & gt 0, ) para todos (k in < mathbb Z> ^ n setminus <0 > ) e todos ( ell in < mathbb Z> ^) com (| ell | le 2 ) que

[ tag <7> | langle k, omega rangle + langle ell, beta rangle | ge gamma | k | ^ <- tau>. ]

Como um subconjunto de (P , ), isso novamente define um conjunto denso de medida positiva em lugar nenhum.

A Teoria KAM Parametrizada que se segue afirma a estabilidade quase periódica do (n ) - tori em consideração, produzindo assim exemplos típicos onde a quase periodicidade tem medida positiva no espaço de parâmetros. Além disso, o comportamento linear normal do (n ) - tori é preservado pelas conjugações suaves de Whitney. Isso é importante para bifurcações quase periódicas.

  • A configuração acima permite uma formulação de preservação de estrutura conforme mencionado anteriormente, incluindo, assim, o caso de preservação de volume e hamiltoniano, bem como os casos equivariante e reversível. Compare com a discussão na Seção 2.2.
  • Teoria KAM parametrizada a priori precisa de muitos parâmetros. Freqüentemente, os parâmetros são 'distintos' no sentido de que são dados por variáveis ​​de ação, etc. Isso vale, por exemplo, para toros isotrópicos em sistemas hamiltonianos quase integráveis. Compare também com a discussão sobre a não degenerescência de R & # 252ssmann no final da Seção 3.1.
  • A teoria KAM parametrizada leva a versões quase periódicas da teoria da bifurcação para equilíbrios e soluções periódicas. No cenário dissipativo, isso inclui bifurcações quase-periódicas de nó de sela e de duplicação de período, bem como a bifurcação quase-periódica de Hopf. No caso quase periódico de Hopf, invariante ((n + 1) ) - tori ramifica-se do invariante (n ) - tori quando o último perde a hiperbolicidade normal. A bifurcação é ainda mais envolvida do que a bifurcação Hopf-Neimark-Sacker, onde um toro 2 invariante bifurca de uma solução periódica (Broer et al. & # 1601990, 1996). Cenários de bifurcação quase periódica semelhantes existem no hamiltoniano e no caso reversível, onde, por exemplo, existem versões quase periódicas da bifurcação de Hopf, consulte (Broer e Han & # 223mann 2008), (Broer et al. & # 1601990), (Broer e Sevryuk 2008), (Han & # 223mann 2007) e referências.
  • A teoria da bifurcação quase periódica diz respeito a bifurcações para toros invariantes em sistemas quase integráveis, por exemplo, quando os toros perdem sua hiperbolicidade normal ou quando certas ressonâncias (fortes) ocorrem. Nesse caso, o conjunto denso de ressonâncias, responsável pelos pequenos divisores, leva a uma `Cantorização 'das geometrias de bifurcação clássicas obtidas da Teoria da Singularidade (Broer e Han & # 223mann 2008), (Broer et al. & # 1601990) (Broer e Sevryuk 2008), (Han & # 223mann 2007). Compare com a figura acima & # 160Figura 2.

Conteúdo

A constatação de que dois sistemas exibem a mesma dinâmica pode ser uma ferramenta de análise poderosa quando os resultados são conhecidos que garantem que um dos sistemas tenha propriedades dinâmicas conhecidas (por exemplo, dinâmica localmente estável, multiestacionaridade, persistência, etc.). Essas ferramentas podem, portanto, ser usadas para expandir o escopo da teoria existente para sistemas para os quais a rede subjacente não garantiria tal comportamento.

Equivalência dinâmica

Por exemplo, considere a rede de quatro complexos considerada por Fritz Horn e Roy Jackson & # 912 & # 93:

A rede é fracamente reversível, mas tem uma deficiência de dois, de modo que o sistema de ação em massa não se enquadra no escopo do Teorema de Deficiência Zero. As condições do Teorema da Deficiência Geral garantem que o sistema de ação em massa seja complexo balanceado se e somente se & # x03F5 = 1 < displaystyle epsilon = 1>. Fora desse valor, a teoria da deficiência é silenciosa.

Considere, entretanto, o vetor de reação associado à reação do complexo 2 A 1 + A 2 < displaystyle 2 < mathcal> _ <1> + < mathcal> _ <2>>. Para & # x03F5 & gt 1 < displaystyle epsilon & gt1>, podemos redimensionar e dividir o termo de ação em massa correspondente a esta reação de acordo com


Em que você está trabalhando?

Este tópico recorrente será para discussão geral sobre quaisquer tópicos relacionados à matemática que você tenha trabalhado ou trabalhado durante a semana / fim de semana. Isso pode ser qualquer coisa, desde artes e ofícios relacionados à matemática, o que você aprendeu em sala de aula, livros / artigos que está lendo até a preparação para uma conferência. Todos os tipos e níveis de matemática são bem-vindos!

Acabei encerrando tudo no final do semestre. Estou digitando as últimas cinco semanas de notas de topologia, colocando minha pesquisa em uma posição onde eu possa sair dela nas férias e me preparando para avaliar 120 exames finais no final desta semana.

Apenas 60 deveres de casa / exames para avaliar aqui, mas são todas as provas. e eu sou o único culpado por isso.

Atualmente lendo o Teorema de Abel em Problemas e Soluções. Vou tentar terminar antes do início do próximo semestre

Procurando um exame de três horas pela terceira vez desde sexta-feira. Tire-me da minha miséria, por favor.

Eu tenho tentado fazer uma mamãe ser tão gorda. & quot piada usando matemática, mas aqueles que eu estava planejando não eram & # x27t realmente coçando a coceira. Hoje fiz um que gosto (observe aqui que a função de indicador é usada no sentido analítico convexo): Yo mama é tão gorda que a função de indicador para seu corpo é identicamente 0.

yo mamãe tão gorda, nenhum grande axioma cardinal conhecido pode modelá-la

sua mamãe tão gorda, você precisa transformá-la em feixes flácidos para até medi-la

yo mama tão gorda, você pode & # x27t até mesmo enrolar a [linha longa] (https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_ (topologia)) em torno dela

Isso é estúpido mas eu ri

Comecei a estudar economia informática neste outubro mas já me apaixonei pela matemática! Fazendo análise I (cálculo em inglês ou?) E álgebra linear I atm e estou fascinado. Vou me dar mais um semestre em ciência da computação, mas se minha opinião não mudar, vou mudar para estudar matemática!

Acabei as finais na semana passada, então agora estou nas férias de inverno. Pretendo ler as partes do livro de análise funcional que não cobrimos e, na verdade, devo estudar para o GRE, já que sou um júnior e gostaria de cursá-lo no próximo semestre e não me preocupar com isso no último ano.

Algo que será mais divertido é que estarei trabalhando em um aplicativo iOS envolvendo GANs. O objetivo será converter fotos de rostos de pessoas e # x27s em um avatar / ícone de anime. Já fiz parte do trabalho durante um hackathon, mas minha equipe não havia terminado naquela época. Por último, posso estudar o aprendizado por reforço, mas esse talvez seja forte e tem a menor prioridade do que mencionei até agora.


Índice

Este é um livro introdutório sobre dinâmica não linear de PDEs, com foco em problemas em domínios ilimitados e equações de modulação. A apresentação é orientada a exemplos e novas ferramentas matemáticas são desenvolvidas passo a passo, dando uma visão sobre algumas classes importantes de PDEs não lineares e fenômenos de dinâmica não linear que podem ocorrer em PDEs.

O livro consiste em quatro partes. As partes I e II são introduções às dinâmicas de dimensão finita e infinita definidas por EDOs e por PDEs sobre domínios limitados, respectivamente, incluindo os fundamentos da bifurcação e da teoria dos atratores. Parte III apresenta PDEs na linha real, incluindo a equação de Korteweg-de Vries, a equação de Schr & oumldinger não linear e a equação de Ginzburg-Landau. Esses exemplos geralmente ocorrem como modelos mais simples possíveis, ou seja, como equações de amplitude ou modulação, para alguns fenômenos do mundo real, como ondas não lineares e formação de padrões. A Parte IV explora com mais detalhes as conexões entre esses sistemas físicos complicados e os modelos reduzidos. Para muitos modelos, uma justificativa matematicamente rigorosa por resultados de aproximação é fornecida.

As partes do livro são mantidas o mais independentes possível. O livro é adequado para auto-estudo e existem várias possibilidades para construir cursos de um ou dois semestres a partir do livro.


Assista o vídeo: Conceito de sistemas dinâmicos (Novembro 2021).