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13: Espaços Vetoriais - Matemática


13: Espaços Vetoriais - Matemática

Uso prático de matemática vetorial em jogos

Para um iniciante, a geometria no espaço 3D pode parecer um pouco assustadora. 2D no papel era difícil o suficiente, mas agora, geometria em 3D? Boas notícias: o uso de trigonometria em gráficos é raro e evitado por vários motivos. Temos outras ferramentas mais fáceis de entender e usar. Você pode reconhecer nosso velho amigo aqui - um vetor.

Este artigo irá apresentá-lo aos vetores 3D e irá guiá-lo através de vários exemplos de uso do mundo real. Embora se concentre em 3D, a maioria das coisas explicadas aqui também funcionam para 2D. O artigo pressupõe familiaridade com álgebra e geometria, alguma linguagem de programação, um conhecimento básico de OOP.


Matemática essencial para ciência de dados: escalares e vetores

A álgebra linear é o ramo da matemática que estuda os espaços vetoriais. Você verá como os vetores constituem espaços vetoriais e como a álgebra linear aplica transformações lineares a esses espaços. Você também aprenderá a poderosa relação entre conjuntos de equações lineares e equações vetoriais.

As máquinas só entendem números. Por exemplo, se você deseja criar um detector de spam, você deve primeiro converter seus dados de texto em números (por exemplo, por meio de embeddings de palavras) Os dados podem então ser armazenados em vetores, matrizes e tensores. Por exemplo, as imagens são representadas como matrizes de valores entre 0 e 255 que representam a luminosidade de cada cor para cada pixel. É possível aproveitar as ferramentas e conceitos do campo da álgebra linear para manipular esses vetores, matrizes e tensores.

Álgebra linear é o ramo da matemática que estuda espaços vetoriais. Você verá como os vetores constituem espaços vetoriais e como a álgebra linear aplica transformações lineares a esses espaços. Você também aprenderá a poderosa relação entre conjuntos de equações lineares e equações vetoriais, relacionadas a conceitos importantes da ciência de dados, como aproximação de mínimos quadrados. Você finalmente aprenderá métodos importantes de decomposição de matriz: eigendecomposition e Decomposição de valor singular (SVD), importante entender os métodos de aprendizagem não supervisionados, como Análise do componente principal (PCA).

Escalares e Vetores

O que são vetores?


Álgebra linear lida com vetores. Outras entidades matemáticas no campo podem ser definidas por sua relação com vetores: escalares, por exemplo, são números únicos que escala vetores (alongamento ou contração) quando são multiplicados por eles.

No entanto, os vetores referem-se a vários conceitos de acordo com o campo em que são usados. No contexto da ciência de dados, eles são uma forma de armazenar valores de seus dados. Por exemplo, pegue a altura e o peso das pessoas: uma vez que são valores distintos com significados diferentes, você precisa armazená-los separadamente, por exemplo, usando dois vetores. Você pode então fazer operações em vetores para manipular esses recursos sem perder o fato de que os valores correspondem a atributos diferentes.

Você também pode usar vetores para armazenar amostras de dados, por exemplo, armazenar a altura de dez pessoas como um vetor contendo dez valores.

Usaremos letras minúsculas e em negrito para nomear vetores (como vv). Como de costume, consulte o Apêndice em Essential Math for Data Science para obter o resumo das notações usadas neste livro.

Vetores geométricos e coordenados


A palavra vetor pode referir-se a vários conceitos. Vamos aprender mais sobre vetores geométricos e de coordenadas.

Coordenadas são valores que descrevem uma posição. Por exemplo, qualquer posição na Terra pode ser especificada por coordenadas geográficas (latitude, longitude e altitude).

Vetores geométricos, também chamado Vetores euclidianos, são objetos matemáticos definidos por sua magnitude (o comprimento) e sua direção. Essas propriedades permitem descrever o deslocamento de um local para outro.


Por exemplo, a Figura 1 mostra que o ponto UMA tem coordenadas (1, 1) e o ponto B tem coordenadas (3, 2). Os vetores geométricos v descreve o deslocamento de UMA para B, mas como os vetores são definidos por sua magnitude e direção, você também pode representar v como partindo da origem.

Plano cartesiano

Na Figura 1, usamos um sistema de coordenadas chamado de plano cartesiano. As linhas horizontais e verticais são os eixos de coordenadas, geralmente rotulado respectivamente x e y. A interseção das duas coordenadas é chamada de origem e corresponde à coordenada 0 para cada eixo.

Em um plano cartesiano, qualquer posição pode ser especificada pelo x e a y coordenadas. O sistema de coordenadas cartesianas pode ser estendido para mais dimensões: a posição de um ponto em um no espaço dimensional é especificado por coordenadas nn. A coordenada real nespaço dimensional, contendo n-tuplas de números reais, é nomeado. Por exemplo, o espaço é o espaço bidimensional que contém pares de números reais (as coordenadas). Em três dimensões (), um ponto no espaço é representado por três números reais.

Vetores coordenados são listas ordenadas de números correspondentes às coordenadas do vetor. Como os pontos iniciais do vetor estão na origem, você precisa codificar apenas as coordenadas do ponto terminal.


Por exemplo, vamos pegar o vetor v representado na Figura 2. O vetor de coordenadas correspondente é o seguinte:

Cada valor está associado a uma direção: neste caso, o primeiro valor corresponde à direção do eixo xx e o segundo número à y-eixo.


Conforme ilustrado na Figura 3, esses valores são chamados componentes ou entradas do vetor.


Além disso, conforme representado na Figura 4, você pode simplesmente representar o ponto terminal da seta: este é um gráfico de dispersão.

Indexando refere-se ao processo de obtenção de um componente vetorial (um dos valores do vetor) usando sua posição (seu índice).

Python usa indexação baseada em zero, o que significa que o primeiro índice é zero. No entanto, matematicamente, a convenção é usar a indexação baseada em um. Vou denotar o componente eu do vetor v com um subscrito, como veu, sem fonte em negrito porque o componente do vetor é um escalar.

No Numpy, os vetores são chamados matrizes unidimensionais. Você pode usar a função np.array () para criar um:

Vejamos o exemplo de v, vetores tridimensionais definidos da seguinte forma:

Conforme mostrado na Figura 5, você pode alcançar o ponto final do vetor viajando 3 unidades no eixo xx, 4 no eixo yy e 2 no eixo zz.


Mais geralmente, em um nespaço dimensional, a posição de um ponto terminal é descrita por n componentes.

Você pode denotar a dimensionalidade de um vetor usando o definir notação. Expressa o espaço de coordenadas reais: este é o espaço nn-dimensional com números reais como valores de coordenadas.

Por exemplo, vetores em têm três componentes, como o seguinte vetor v por exemplo:

Vetores em Ciência de Dados

No contexto da ciência de dados, você pode usar vetores de coordenadas para representar seus dados.

Você pode representar amostras de dados como vetores com cada componente correspondendo a um recurso. Por exemplo, em um conjunto de dados de imóveis, você poderia ter um vetor correspondente a um apartamento com suas características como componentes diferentes (como o número de quartos, a localização, etc.).

Outra maneira de fazer isso é criar um vetor por recurso, cada um contendo todas as observações.

O armazenamento de dados em vetores permite que você aproveite as ferramentas de álgebra linear. Observe que, mesmo se você não puder visualizar vetores com um grande número de componentes, você ainda pode aplicar as mesmas operações neles. Isso significa que você pode obter insights sobre álgebra linear usando duas ou três dimensões e, em seguida, usar o que aprendeu com um número maior de dimensões.

O Produto Interno


O produto escalar (referindo-se ao símbolo de ponto usado para caracterizar esta operação), também chamado produto escalar, é uma operação feita em vetores. Leva dois vetores, mas ao contrário da adição e da multiplicação escalar, retorna um único número (um escalar, daí o nome). É um exemplo de uma operação mais geral chamada de produto Interno.


A Figura 6 mostra uma ilustração de como o produto escalar funciona. Você pode ver que corresponde à soma da multiplicação dos componentes com o mesmo índice.

Definição


O produto escalar entre dois vetores você e v, denotado pelo símbolo ⋅, é definido como a soma do produto de cada par de componentes. Mais formalmente, é expresso como:

com m o número de componentes dos vetores você e v (eles devem ter o mesmo número de componentes), e eu o índice do componente vetorial atual.

Símbolo de Ponto

Observe que o símbolo do produto escalar é o mesmo que o ponto usado para se referir à multiplicação entre escalares. O contexto (se os elementos forem escalares ou vetores) informa qual é.

Vamos dar um exemplo. Você tem os seguintes vetores:

O produto escalar desses dois vetores é definido como:

O produto escalar entre você e v é 35. Ele converte os dois vetores você e v em um escalar.

Vamos usar o Numpy para calcular o produto escalar desses vetores. Você pode usar o método dot () de matrizes Numpy:


Conteúdo

Os girogrupos são estruturas semelhantes a grupos fracamente associativos. Ungar propôs o termo giro-grupo para o que chamou de giro-giro-mutativo, com o termo giro-grupo reservado para o caso não-girocomutativo, em analogia com grupos vs. grupos abelianos. Os girogrupos são um tipo de loop Bol. Os girogrupos girocomutativos são equivalentes a K-loops [2] embora definido de forma diferente. Os termos Bruck loop [3] e symset diádico [4] também estão em uso.

Edição de girogrupos

Axioms Edit

  1. Dentro G há pelo menos um elemento 0 chamado identidade esquerda com 0 ⊕ < displaystyle oplus>uma = uma para todos umaG.
  2. Para cada umaG existe um elemento ⊖ < displaystyle ominus>uma dentro G chamado de inverso à esquerda de a com ⊖ < displaystyle ominus>uma ⊕ < displaystyle oplus>uma = 0.
  3. Para qualquer uma, b, c dentro G existe um elemento único gyr [uma, b]c dentro G de modo que a operação binária obedeça à lei giroassociativa esquerda: uma ⊕ < displaystyle oplus> (b ⊕ < displaystyle oplus>c) = (uma ⊕ < displaystyle oplus>b) ⊕ < displaystyle oplus> gyr [uma, b]c
  4. O giro do mapa [uma, b]:GG dado por c → giro [uma, b]c é um automorfismo do magma (G, ⊕ < displaystyle oplus>). Isso é gyr [uma, b] é um membro da Aut (G, ⊕ < displaystyle oplus>) e o giro de automorfismo [uma, b] de G é chamado de giroautomorfismo de G gerado por uma, b dentro G. O giro de operação:G × G → Aut (G, ⊕ < displaystyle oplus>) é chamado de girador de G.
  5. O giroautomorfismo [uma, b] tem a propriedade de loop esquerdo gyr [uma, b] = giro [uma ⊕ < displaystyle oplus>b, b]

O primeiro par de axiomas é como os axiomas de grupo. O último par apresenta os axiomas do girador e o axioma do meio liga os dois pares.

Uma vez que um girogrupo tem inversos e uma identidade, ele se qualifica como um quase-grupo e um loop.

Os girogrupos são uma generalização de grupos. Cada grupo é um exemplo de um gyrogroup com gyr definido como o mapa de identidade.

Um exemplo de um gyrogrupo finito é dado em [5].

Edição de Identidades

Algumas identidades que pertencem a qualquer gyrogroup (G, ⊕ < displaystyle oplus>):

Além disso, pode-se comprovar a lei de inversão de giração, que é a motivação para a definição de girocommutatividade abaixo:

Alguns teoremas adicionais satisfeitos pelo grupo de Giro de qualquer girogrupo incluem:

Mais identidades fornecidas na página 50 de [6].

Edição de girocomutatividade

Edição de adição

Modelo de disco / bola de Beltrami – Klein e adição de Einstein Editar

As velocidades relativísticas podem ser consideradas como pontos no modelo Beltrami-Klein de geometria hiperbólica e, portanto, a adição de vetores no modelo Beltrami-Klein pode ser dada pela fórmula de adição de velocidade. Para que a fórmula seja generalizada para adição de vetor no espaço hiperbólico de dimensões maiores que 3, a fórmula deve ser escrita de uma forma que evite o uso do produto vetorial em favor do produto escalar.

Usando as coordenadas, isso se torna:

onde "gyr" é a abstração matemática da precessão de Thomas em um operador chamado giro de Thomas e dado por

para todos C. A precessão de Thomas tem uma interpretação na geometria hiperbólica como o defeito do triângulo hiperbólico negativo.

Composição da transformação de Lorentz Editar

Se a forma de matriz 3 × 3 da rotação aplicada às coordenadas 3 é dada por gyr [você,v], então a rotação da matriz 4 × 4 aplicada às coordenadas 4 é dada por:

A composição de dois Lorentz aumenta B (você) e B(v) de velocidades você e v é dado por: [9] [10]

A composição de duas transformações de Lorentz L (você, U) e L (v, V) que incluem as rotações U e V é dado por: [11]

Acima, um aumento pode ser representado como uma matriz 4 × 4. A matriz de reforço B (v) significa o boost B que usa os componentes de v, ou seja, v1, v2, v3 nas entradas da matriz, ou melhor, os componentes de v/c na representação que é usada na seção Transformação de Lorentz # Formas matriciais. As entradas da matriz dependem dos componentes da velocidade 3 v, e é isso que a notação B (v) meios. Pode-se argumentar que as entradas dependem dos componentes da velocidade 4 porque 3 das entradas da velocidade 4 são as mesmas que as entradas da velocidade 3, mas a utilidade de parametrizar o aumento pela velocidade 3 é que o impulso resultante que você obtém da composição de dois impulsos usa os componentes da composição de 3 velocidades você ⊕ < displaystyle oplus>v na matriz 4 × 4 B (você ⊕ < displaystyle oplus>v) Mas o aumento resultante também precisa ser multiplicado por uma matriz de rotação porque a composição do aumento (ou seja, a multiplicação de duas matrizes 4 × 4) resulta não em um aumento puro, mas um aumento e uma rotação, ou seja, uma matriz 4 × 4 que corresponde rotação Gyr [você,v] para obter B (você) B (v) = B (você ⊕ < displaystyle oplus>v) Gyr [você,v] = Gir [você,v] B (v ⊕ < displaystyle oplus>você).

Espaços giratórios de Einstein Editar

A multiplicação escalar de Einstein não se distribui pela adição de Einstein, exceto quando os girovetores são colineares (monodistributividade), mas tem outras propriedades de espaços vetoriais: Para qualquer inteiro positivo n e para todos os números reais r,r1,r2 e vVs ':

Modelo de disco / bola de Poincaré e adição de Möbius Editar

A transformação de Möbius do disco unitário aberto no plano complexo é dada pela decomposição polar

Para generalizar isso para dimensões superiores, os números complexos são considerados vetores no plano R 2 < displaystyle mathbf < mathrm > ^ <2>>, e a adição de Möbius é reescrita na forma vetorial como:

Isso dá a adição vetorial de pontos no modelo da bola de Poincaré de geometria hiperbólica onde s = 1 para o disco de unidade complexa agora se torna qualquer s & gt0.

Espaços giratórios de Möbius Editar

A multiplicação escalar de Möbius coincide com a multiplicação escalar de Einstein (consulte a seção acima) e isso decorre da adição de Möbius e da adição de Einstein coincidindo para vetores que são paralelos.

Modelo de espaço de velocidade adequado e adição de velocidade adequada Editar

Um modelo de espaço de velocidade adequado de geometria hiperbólica é fornecido por velocidades adequadas com adição de vetor dada pela fórmula de adição de velocidade adequada: [6] [12] [13]

Esta fórmula fornece um modelo que usa um espaço inteiro em comparação com outros modelos de geometria hiperbólica que usam discos ou semiplanos.

Isomorfismos Editar

Um isomorfismo do espaço girovetor preserva a adição do girogrupo e a multiplicação escalar e o produto interno.

Os três espaços girovetores Möbius, Einstein e Proper Velocity são isomórficos.

Se M, E e U são espaços girovetores de Möbius, Einstein e Velocidade Própria, respectivamente com elementos vm, ve e vvocê então os isomorfismos são dados por:

Edição de girotrigonometria

Girotrigonometria é o uso de giroconceptos para estudar triângulos hiperbólicos.

A trigonometria hiperbólica normalmente estudada usa as funções hiperbólicas cosh, sinh etc., e isso contrasta com a trigonometria esférica que usa as funções trigonométricas euclidianas cos, sin, mas com identidades de triângulo esférico em vez de identidades de triângulo plano comum. A girotrigonometria adota a abordagem de usar as funções trigonométricas comuns, mas em conjunto com as identidades girotriangulares.

Centros triangulares Editar

O estudo dos centros dos triângulos tradicionalmente se preocupa com a geometria euclidiana, mas os centros dos triângulos também podem ser estudados na geometria hiperbólica. Usando a girotrigonometria, podem ser calculadas expressões para coordenadas trigonométricas baricêntricas que têm a mesma forma para geometria euclidiana e hiperbólica. Para que as expressões coincidam, as expressões devem não encapsular a especificação do anglesum sendo 180 graus. [14] [15] [16]

Edição de adição de giroparalelogramo

Usando a girotrigonometria, uma adição girovetor pode ser encontrada que opera de acordo com a lei do giroparalelogramo. Esta é a co-condição para a operação do gyrogrupo. A adição do giroparalelogramo é comutativa.

O lei do giroparalelogramo é semelhante à lei do paralelogramo em que um giroparalelogramo é um quadrilátero hiperbólico cujos dois girodiagonais se cruzam em seus pontos giromídicos, assim como um paralelogramo é um quadrilátero euclidiano cujas duas diagonais se cruzam em seus pontos médios. [17]

Vetores Bloch Editar

Os vetores de Bloch que pertencem à esfera unitária aberta do espaço 3 euclidiano podem ser estudados com adição de Einstein [18] ou adição de Möbius. [6]

Uma revisão de um dos livros anteriores sobre girovetores [19] diz o seguinte:

"Ao longo dos anos, tem havido um punhado de tentativas de promover o estilo não-euclidiano para uso na solução de problemas em relatividade e eletrodinâmica, cujo fracasso em atrair seguidores substanciais, agravado pela ausência de quaisquer resultados positivos deve causar uma pausa a qualquer um que esteja considerando um empreendimento semelhante. Até recentemente, ninguém estava em posição de oferecer uma melhoria nas ferramentas disponíveis desde 1912. Em seu novo livro, Ungar fornece o elemento crucial que faltava na panóplia do estilo não euclidiano: um elegante formalismo algébrico não associativo que explora totalmente a estrutura da composição da lei da velocidade de Einstein. " [20]


Horário semanal

(Volte para atualizações e mudanças!)

Os exercícios listados no livro são fortemente recomendados como prática, mas não serão coletados. As respostas para essas perguntas estão no final do livro.

Os conjuntos de problemas são coletados em sala de aula e devolvidos nas caixas de correio na frente do Escritório de Graduação (Matemática 410).

Aula Tópico Leia & # 160 e # 160 Exercícios Devido
5 de setembro Coordenadas e vetores & sect12.1, 12.2 & sect12.1: 3, 5, 11, 15 & sect12.2: 7, 13, 17, 21
7 de setembro Produto interno & sect12.3 & sect12.3: 1, 5, 7, 9, 17, 35
12 de setembro Determinantes e produto vetorial & sect12.4 & sect12.4: 1, 3, 13, 17, 19, 45 Trabalho de casa 1: & sect12.1: 14, 34, 38 & sect12.2: 20, 24. Soluções
17 de setembro Linhas e planos & sect12.5 & sect12.5: 3, 7, 17, 25, 33, 69, 71
19 de setembro Intersecções de linhas e planos, regra de Cramer Folheto da regra de Cramer & sect12.5: 19, 21, 43, 51, 57 Trabalho de casa 2: & sect12.3: 28, 52 & sect12.4: 18, 38. Soluções
24 de setembro Cônicas e quádricas & sect10.5, 12.6 & sect10.5: 7, 13, 23, 55 & sect12.6: 21-28, 43
26 de setembro Coordenadas polares & sect10.3, 10.4 & sect10.3: 17, 29, 35 & sect10.4: 1, 13, 29, 45 Trabalho de casa 3: & sect12.5: 34, 38, 62, 74, 76. Soluções
1 de outubro Análise CH. 12 e & sect10.3-10.5 Preparação para o semestre I
3 de outubro Midterm I. Estatísticas Soluções: Versão A, Versão B

Em preparação para a final, terei horário de expediente na sexta-feira, 14 de dezembro, das 3-5 horas (em Matemática 601) em vez de terça-feira. Além disso, Irena Penev terá uma sessão de revisão na quinta-feira, 13 de dezembro, das 14h às 14h, no Math 528.


13 - Cálculo Vetorial - Engenharia Matemática, Volume I, Segunda Edição

Nós sabemos isso escalar é uma quantidade que é caracterizada apenas pela magnitude, enquanto vetor é uma quantidade caracterizada tanto pela magnitude quanto pela direção. Por exemplo, tempo, massa e temperatura são grandezas escalares, enquanto deslocamento, velocidade e força são grandezas vetoriais. Representamos um vetor por uma seta sobre ele. Geometricamente, representamos um vetor por um segmento de linha direcionado , Onde tem direção de P para Q. O ponto P é chamado de ponto inicial e o ponto Q é chamado de ponto final de . O comprimento deste segmento de linha é o magnitude de . Dois vetores e dizem que são igual se eles têm a mesma magnitude e direção. O produto de um vetor e um escalar m é um vetor m com magnitude |m| vezes a magnitude de com direção, a mesma ou oposta à de , de acordo com m & gt 0 ou m & lt 0. Em particular, se m = 0, então m é um vetor nulo . Um vetor com magnitude unitária é chamado de vetor unitário. Se é um vetor diferente de zero, então é um vetor unitário com a mesma direção de e é denotado por

Se são vetores e m e n são escalares (reais ou complexos), então a adição e a multiplicação escalar de vetores satisfazem as seguintes propriedades:

  1. (Lei comutativa para adição).
  2. (Lei associativa para adição).
  3. (Lei distributiva para adição).
  4. (Lei distributiva para escalares).
  5. (Existência de identidade para adição).

(Existência de identidade para adição)

Os vetores unitários nas direções de positivo x-, y-, e z- os eixos de um sistema de coordenadas retangulares tridimensionais são chamados de vetores unitários retangulares e são denotados, respectivamente, por eu, ĵ, e .

Deixar uma1, uma2, e uma3 ser as coordenadas retangulares do ponto terminal do vetor com o ponto inicial na origem O de um sistema de coordenadas retangular em três dimensões. Então, os vetores umaeu1, umaĵ2 e são chamados vetores componentes retangulares ou simplesmente vetores componentes de no x, y, e z direções, respectivamente.

A resultante (soma) de é o vetor e entao,

Além disso, a magnitude de é

Em particular, o vetor de raio ou Vetor de posição a partir de O ao ponto (x, y, z) em um espaço tridimensional é expresso como

Produto escalar ou produto escalar ou produto interno de vetores

O produto escalar ou produto escalar ou produto Interno de dois vetores e é um escalar definido por

Onde θ é o ângulo entre os vetores e e 0 ≤ θ ≤ π.

Projeção de um vetor em outro vetor.

Deixar ser a projeção do vetor no vetor . Então


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Handedness

Você geralmente não precisa se preocupar com isso, mas em alguns casos, quando você usa modelos simétricos, os UVs são orientados da maneira errada e seu T tem a orientação errada.

Para verificar se deve ser invertido ou não, a verificação é simples: TBN deve formar um sistema de coordenadas para destros, ou seja, cruz (n, t) deve ter a mesma orientação que b.

Em matemática, “o vetor A tem a mesma orientação do vetor B” se traduz como ponto (A, B) & gt0, então precisamos verificar se ponto (cruz (n, t), b) & gt 0.

Se for falso, basta inverter t:

Isso também é feito para cada vértice no final de computeTangentBasis ().


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Problema 705

Para um conjunto $ S $ e um espaço vetorial $ V $ sobre um campo escalar $ K $, defina o conjunto de todas as funções de $ S $ a $ V $
[ Fun (S, V) = . ]

Para $ f, g in Fun (S, V) $, $ z in K $, adição e multiplicação escalar podem ser definidas por
[(f + g) (s) = f (s) + g (s) , mbox (cf) (s) = c (f (s)) , mbox s em S. ]

(uma) Prove que $ Fun (S, V) $ é um espaço vetorial sobre $ K $. Qual é o elemento zero?

(b) Seja $ S_1 = $ um conjunto que consiste em um elemento. Encontre um isomorfismo entre $ Fun (S_1, V) $ e $ V $. Prove que o mapa que você encontrou é na verdade um isomorpismo linear.

(c) Suponha que $ B = $ seja uma base de $ V $. Use $ B $ para construir uma base de $ Fun (S_1, V) $.

(d) Seja $ S = $. Construir um isomorfismo linear entre $ Fun (S, V) $ e o espaço vetorial de $ n $ -uplas de $ V $, definido como
[V ^ m = <(v_1, v_2, cdots, v_m) mid v_i em V mbox 1 leq i leq m >. ]

(e) Use a base $ B $ de $ V $ para construir uma base de $ Fun (S, V) $ para um conjunto finito arbitrário $ S $. Qual é a dimensão de $ Fun (S, V) $?

(f) Seja $ W subseteq V $ um subespaço. Prove que $ Fun (S, W) $ é um subespaço de $ Fun (S, V) $.


Assista o vídeo: Grings - Álgebra Linear - Espaço Vetorial - Ex1 - Aula 20 (Novembro 2021).