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2.4E: Transformação de equações não lineares em equações separáveis ​​(exercícios) - matemática


Q2.4.1

Dentro Exercícios 2.4.1-2.4.4 resolva a equação de Bernoulli fornecida.

1. (y '+ y = y ^ 2 )

2. ({7xy'-2y = - {x ^ 2 over y ^ 6}} )

3. (x ^ 2y '+ 2y = 2e ^ {1 / x} y ^ {1/2} )

4. ({(1 + x ^ 2) y '+ 2xy = {1 over (1 + x ^ 2) y}} )

Q2.4.2

Dentro Exercícios 2.4.5 e 2.4.6 encontre todas as soluções. Além disso, plote um campo de direção e algumas curvas integrais na região retangular indicada.

5. (y'-xy = x ^ 3y ^ 3; quad {- 3 le x le 3, 2 le y ge 2 } )

6. ({y '- {1 + x over 3x} y = y ^ 4}; quad {- 2 le x le2, -2 le y le2 } )

Q2.4.3

Dentro Exercícios 2.4.7-2.4.11 resolver o problema do valor inicial.

7. (y'-2y = xy ^ 3, quad y (0) = 2 sqrt2 )

8. (y'-xy = xy ^ {3/2}, quad y (1) = 4 )

9. (xy '+ y = x ^ 4y ^ 4, quad y (1) = 1/2 )

10. (y'-2y = 2y ^ {1/2}, quad y (0) = 1 )

11. ({y'-4y = {48x over y ^ 2}, quad y (0) = 1} )

Q2.4.4

Dentro Exercícios 2.4.12 e 2.4.13 resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução.

12. (x ^ 2y '+ 2xy = y ^ 3, quad y (1) = 1 / sqrt2 )

13. (y'-y = xy ^ {1/2}, quad y (0) = 4 )

Q2.4.5

14. Você deve ter notado que a equação logística [P '= aP (1- alpha P) ] do modelo de Verhulst para o crescimento populacional pode ser escrita na forma de Bernoulli como [P'-aP = -a alpha P ^ 2. ] Isso não é particularmente interessante, uma vez que a equação logística é separável e, portanto, solucionável pelo método estudado na Seção 2.2. Portanto, vamos considerar um modelo mais complicado, onde (a ) é uma constante positiva e ( alpha ) é uma função contínua positiva de (t ) em ([0, infty) ). A equação para este modelo é [P'-aP = -a alpha (t) P ^ 2, ] uma equação de Bernoulli não separável.

  1. Supondo que (P (0) = P_0> 0 ), encontre (P ) para (t> 0 ).
  2. Verifique se o seu resultado se reduz aos resultados conhecidos para o modelo malthusiano onde ( alpha = 0 ), e o modelo Verhulst onde ( alpha ) é uma constante diferente de zero.
  3. Supondo que [ lim_ {t to infty} e ^ {- at} int_0 ^ t alpha ( tau) e ^ {a tau} , d tau = L ] existe (finito ou infinito ), encontre ( lim_ {t to infty} P (t) ).

Q2.4.6

Dentro Exercícios 2.4.15-2.4.18 resolva a equação explicitamente.

15. (y '= {y + x sobre x} )

16. (y '= {y ^ 2 + 2xy over x ^ 2} )

17. (xy ^ 3y '= y ^ 4 + x ^ 4 )

18. (y '= {y sobre x} + sec {y sobre x} )

Q2.4.7

Dentro Exercícios 2.4.19-2.4.21 resolva a equação explicitamente. Além disso, plote um campo de direção e algumas curvas integrais na região retangular indicada.

19. (x ^ 2y '= xy + x ^ 2 + y ^ 2; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

20. (xyy '= x ^ 2 + 2y ^ 2; quad {- 4 le x le 4, -4 le y le 4 } )

21. (y '= {2y ^ 2 + x ^ 2e ^ {- (y / x) ^ 2} over 2xy}; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

Q2.4.8

Dentro Exercícios 2.4.22-2.4.27 resolver o problema do valor inicial.

22. (y '= {xy + y ^ 2 over x ^ 2}, quad y (-1) = 2 )

23. (y '= {x ^ 3 + y ^ 3 over xy ^ 2}, quad y (1) = 3 )

24. (xyy '+ x ^ 2 + y ^ 2 = 0, quad y (1) = 2 )

25. (y '= {y ^ 2-3xy-5x ^ 2 over x ^ 2}, quad y (1) = - 1 )

26. (x ^ 2y '= 2x ^ 2 + y ^ 2 + 4xy, quad y (1) = 1 )

27. (xyy '= 3x ^ 2 + 4y ^ 2, quad y (1) = sqrt {3} )

Q2.4.9

Dentro Exercícios 2.4.28-2.4.34 resolver a equação homogênea dada implicitamente.

28. (y '= {x + y sobre x-y} )

29. ((y'x-y) ( ln | y | - ln | x |) = x )

30. (y '= {y ^ 3 + 2xy ^ 2 + x ^ 2y + x ^ 3 over x (y + x) ^ 2} )

31. (y '= {x + 2y over 2x + y} )

32. (y '= {y sobre y-2x} )

33. (y '= {xy ^ 2 + 2y ^ 3 over x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2} )

34. (y '= {x ^ 3 + x ^ 2y + 3y ^ 3 over x ^ 3 + 3xy ^ 2} )

Q2.4.10

35.

  1. Encontre uma solução para o problema do valor inicial [x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-4x ^ 2, quad y (-1) = 0 tag {A} ] no intervalo ((- infty , 0) ). Verifique se esta solução é realmente válida em ((- infty, infty) ).
  2. Use o Teorema 2.3.1 para mostrar que (A) tem uma solução única em ((- infty, 0) ).
  3. Trace um campo de direção para a equação diferencial em (A) em um quadrado [ {- r le x le r, -r le y le r }, ] onde (r ) é qualquer positivo número. Represente graficamente a solução obtida em (a) neste campo.
  4. Represente graficamente outras soluções de (A) que são definidas em ((- infty, infty) ).
  5. Faça o gráfico de outras soluções de (A) que são definidas apenas em intervalos da forma ((- infty, a) ), onde é um número positivo finito.

36.

  1. Resolva a equação [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2 tag {A} ] implicitamente.
  2. Trace um campo de direção para (A) em um quadrado [ {0 le x le r, 0 le y le r } ] onde (r ) é qualquer número positivo.
  3. Seja (K ) um número inteiro positivo. (Você pode ter que tentar várias opções para (K ).) Soluções gráficas para os problemas de valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (r / 2) = {kr sobre K}, ] para (k = 1 ), (2 ),…, (K ). Com base em suas observações, encontre as condições nos números positivos (x_0 ) e (y_0 ) de modo que o problema do valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (x_0) = y_0, tag {B} ] tem uma solução única (i) em ((0, infty) ) ou (ii) apenas em um intervalo ((a, infty) ), onde (a > 0 )?
  4. O que você pode dizer sobre o gráfico da solução de (B) como (x a infty )? (Novamente, suponha que (x_0> 0 ) e (y_0> 0 ).)

37.

  1. Resolva a equação [y '= {2y ^ 2-xy + 2x ^ 2 over xy + 2x ^ 2} tag {A} ] implicitamente.
  2. Trace um campo de direção para (A) em um quadrado [ {- r le x le r, -r le y le r } ] onde (r ) é qualquer número positivo. Representando graficamente as soluções de (A), determine as condições necessárias e suficientes em ((x_0, y_0) ) de modo que (A) tenha uma solução em (i) ((- infty, 0) ) ou (ii) ((0, infty) ) de modo que (y (x_0) = y_0 ).

38. Siga as instruções de Exercício 2.4.37 para a equação [y '= {xy + x ^ 2 + y ^ 2 over xy}. ]

39. Escolha qualquer equação homogênea não linear (y '= q (y / x) ) que desejar e plote os campos de direção no quadrado ( {- r le x le r, -r le y le r } ), onde (r> 0 ). O que acontece com o campo de direção conforme você varia (r )? Por quê?

40. Prove: se (ad-bc ne 0 ), a equação [y '= {ax + by + alpha over cx + dy + beta} ] pode ser transformada na equação não linear homogênea [{ dY over dX} = {aX + bY over cX + dY} ] pela substituição (x = X-X_0, y = Y-Y_0 ), onde (X_0 ) e (Y_0 ) são constantes adequadamente escolhidas.

Q2.4.11

Dentro Exercícios 2.4.21-2.4.43 use um método sugerido por Exercício 2.4.40 para resolver a equação dada implicitamente.

41. (y '= {-6x + y-3 over 2x-y-1} )

42. (y '= {2x + y + 1 over x + 2y-4} )

43. (y '= {-x + 3y-14 over x + y-2} )

Q2.4.12

Dentro Exercícios 2.4.44-2.4.51 encontre uma função (y_ {1} ) tal que a substituição (y = uy_ {1} ) transforme a equação dada em uma equação separável da forma (2.4.6). Em seguida, resolva a equação fornecida explicitamente.

44. (3xy ^ 2y '= y ^ 3 + x )

45. (xyy '= 3x ^ 6 + 6y ^ 2 )

46. ​​ (x ^ 3y '= 2 (y ^ 2 + x ^ 2y-x ^ 4) )

47. (y '= y ^ 2e ^ {- x} + 4y + 2e ^ x )

48. (y '= {y ^ 2 + y tan x + tan ^ 2 x over sin ^ 2x} )

49. (x ( ln x) ^ 2y '= - 4 ( ln x) ^ 2 + y ln x + y ^ 2 )

50. (2x (y + 2 sqrt x) y '= (y + sqrt x) ^ 2 )

51. ((y + e ^ {x ^ 2}) y '= 2x (y ^ 2 + ye ^ {x ^ 2} + e ^ {2x ^ {2}} )

Q2.4.13

52. Resolva o problema do valor inicial [y '+ {2 over x} y = {3x ^ 2y ^ 2 + 6xy + 2 over x ^ 2 (2xy + 3)}, quad y (2) = 2 . ]

53. Resolva o problema do valor inicial [y '+ {3 over x} y = {3x ^ 4y ^ 2 + 10x ^ 2y + 6 over x ^ 3 (2x ^ 2y + 5)}, quad y ( 1) = 1. ]

54. Prove: Se (y ) é uma solução de uma equação não linear homogênea (y '= q (y / x) ), então é (y_1 = y (ax) / a ), onde ( a ) é qualquer constante diferente de zero.

55. A generalizado Equação de Riccati tem a forma [y '= P (x) + Q (x) y + R (x) y ^ 2. tag {A} ] (Se (R equiv-1 ), (A) é um Equação de Riccati.) Seja (y_1 ) uma solução conhecida e (y ) uma solução arbitrária de (A). Let (z = y-y_1 ). Mostre que (z ) é uma solução de uma equação de Bernoulli com (n = 2 ).

Q2.4.14

Dentro Exercícios 2.4.56-2.4.59, dado que (y_ {1} ) é uma solução da equação dada, use o método sugerido por Exercício 2.4.55 para encontrar outras soluções.

56. (y '= 1 + x - (1 + 2x) y + xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

57. (y '= e ^ {2x} + (1-2e ^ x) y + y ^ 2 ); (y_1 = e ^ x )

58. (xy '= 2-x + (2x-2) y-xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

59. (xy '= x ^ 3 + (1-2x ^ 2) y + xy ^ 2 ); (y_1 = x )


Resolução de problemas e solução de equações algébricas

Abstrato

Resolver uma equação algébrica significa encontrar os valores de uma ou mais variáveis ​​de forma que a equação seja satisfeita. Para uma única variável independente, uma equação é necessária para resolver um valor único da variável. A solução ou raiz de uma equação algébrica é um valor ou um conjunto de valores da variável independente de forma que a substituição de tal valor na equação produza uma equação numericamente correta. As equações polinomiais até o quarto grau podem ser resolvidas algebricamente, mas algumas equações de quinto e grau superior não podem ser resolvidas algebricamente. As soluções para tais equações podem ser obtidas numericamente com qualquer grau de precisão desejado. Uma equação em duas variáveis ​​pode ser resolvida para uma variável em função da outra. Para resolver duas variáveis, deve-se resolver duas equações simultaneamente, mas essas equações devem ser independentes e consistentes. Equações lineares homogêneas simultâneas têm uma solução não trivial apenas quando uma certa condição de dependência é satisfeita.


Características

Este título é uma edição global da Pearson. A equipe editorial da Pearson trabalhou em estreita colaboração com educadores em todo o mundo para incluir conteúdo especialmente relevante para estudantes fora dos Estados Unidos.

· Os alunos aprendem a teoria básica de equações diferenciais enquanto exploram uma variedade de aplicações modernas em ciência e engenharia.

o Tratamento modernizado da introdução ao capítulo de sistemas e análise de plano de fase aumenta a compreensão do aluno do material.

o Organização flexível permite várias configurações de curso e ênfase (teoria, aplicações e técnicas e conceitos).

o Problemas de motivação começar a maioria dos capítulos com uma discussão de um problema de física ou engenharia

o Seções orientadas a aplicativos estão incluídos no capítulo sobre equações lineares de segunda ordem.

o Revisão de Matrizes e Equações Algébricas Lineares - O capítulo sobre métodos matriciais para sistemas lineares (Capítulo 9) começa com duas seções introdutórias sobre a teoria de sistemas algébricos lineares e álgebra matricial.

o Apêndice de Revisão das Técnicas de Integração fornece uma revisão dos métodos para integrar funções analiticamente. Isso oferece aos alunos uma atualização útil antes de iniciar o curso de equações diferenciais.

o NOVO! Exemplos foram adicionados para lidar com a variação de parâmetros, transformadas de Laplace, a função Gama e vetores próprios (entre outros).

· Oportunidades robustas para exercícios e atribuições fornecem aos instrutores flexibilidade e aos alunos uma ampla gama de prática.

o Projetos relativos ao material cobertas aparecem no final de cada capítulo. Eles podem envolver aplicativos mais desafiadores, aprofundar-se na teoria ou introduzir tópicos mais avançados.

o Exercícios, que são graduados em dificuldade e variados por tipo, incluem uma ampla variedade de aplicações, como pressão barométrica, juros compostos, a equivalência matemática de uma força de impulso e um aumento de velocidade.

o Resumos do capítulo e problemas de revisão no final de cada capítulo, ajude os alunos a compreender totalmente o aprendizado e a promover a retenção do conhecimento.

o Exercícios de redação técnica ajudar os alunos a desenvolver suas habilidades de comunicação, um aspecto essencial da atividade profissional.

o Uso opcional do software de computador Mathematica ®, MATLAB ® e Maple ™ dá aos alunos a oportunidade de conduzir experimentos numéricos e lidar com aplicativos realistas que fornecem insights adicionais sobre o assunto. Manuais online para Maple, MATLAB e Mathematica oferecem planilhas de amostra e sugestões sobre como incorporar essas tecnologias aos cursos.

MyLab ™ Math não está incluído. Alunos, se o MyLab Math for um componente recomendado / obrigatório do curso, peça ao seu instrutor o ISBN correto. O MyLab Math só deve ser adquirido quando exigido por um instrutor. Instrutores, contate seu representante Pearson para obter mais informações.

Novo! Pela primeira vez, o MyLab Math está disponível para este texto. MyLab Math é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e buscam um plano de estudo personalizado que os ajuda a absorver o material do curso e entender conceitos difíceis.

· Exercícios com feedback imediato - Quase 750 exercícios atribuíveis são baseados nos exercícios do livro didático e são regenerados por meio de algoritmos para dar aos alunos oportunidades ilimitadas de prática e domínio. O MyLab Math fornece feedback útil quando os alunos inserem respostas incorretas e inclui recursos de aprendizagem opcionais, incluindo Ajude-me a resolver isso, Veja um exemplo, vídeos e um eText. O instrutor pode decidir se e quando permitir que os alunos acessem os recursos de aprendizagem por atribuição ou no nível de exercício para que os alunos obtenham o nível certo de suporte ao mesmo tempo em que os preparam para trabalhar de forma independente.

· Um conjunto de vídeos instrutivos, apresentando os autores, fornece suporte significativo para os alunos e flexibilidade para os instrutores em como eles são usados. Os instrutores podem atribuir perguntas relacionadas aos vídeos para avaliar a compreensão dos conceitos pelos alunos, selecionando exercícios por meio do Guia de Tarefas Baseadas em Vídeo. Ou os instrutores podem usar os vídeos em sala de aula ou como recurso complementar sobre tópicos específicos.

· O eText interativo completo está disponível para os alunos por meio de seus cursos MyLab Math durante toda a edição, dando aos alunos acesso ilimitado ao eText em qualquer curso que use aquela edição do livro didático. O Pearson eText oferece links interativos em toda a extensão, para que os alunos possam assistir a vídeos sobre exemplos importantes enquanto leem.

· Learning Catalytics ™ ajuda os instrutores a gerar discussões em classe, personalizar palestras e promover a aprendizagem ponto a ponto com análises em tempo real. Como uma ferramenta de resposta do aluno, o Learning Catalytics usa smartphones, tablets ou laptops dos alunos para envolvê-los em tarefas e pensamentos mais interativos.

o Ajude os alunos a desenvolver habilidades de pensamento crítico.

o Monitore as respostas para descobrir onde os alunos estão tendo dificuldades.

o Confie em dados em tempo real para ajustar a estratégia de ensino.

o Agrupar alunos automaticamente para discussão, trabalho em equipe e aprendizagem entre pares.

· Acessibilidade e as realizações andam de mãos dadas. O MyLab Math é compatível com o leitor de tela JAWS e permite que tipos de problemas de múltipla escolha e resposta livre sejam lidos e interajam por meio de controles de teclado e entrada de notação matemática. O MyMathLab também funciona com ampliadores de tela, incluindo ZoomText, MAGic e SuperNova. E todos os vídeos do MyMathLab possuem legendas. Mais informações estão disponíveis emhttp: //mymathlab.com/accessibility.

· Um diário de classe abrangente com funcionalidade de relatório aprimorada permite um gerenciamento de curso eficiente.

o O painel de relatórios fornece uma visão para visualizar, analisar e relatar resultados de aprendizagem. Os dados de desempenho dos alunos são apresentados nas classes, seções e níveis do programa de uma maneira visual acessível para tornar acessíveis todas as informações necessárias para manter os alunos no caminho certo.

o Análise de Item rastreia a compreensão de toda a classe de exercícios específicos para, assim, refinar as aulas ou ajustar o programa do curso / departamento. O ensino na hora certa nunca foi tão fácil!

Novo nesta edição

Várias mudanças pedagógicas foram feitas incluindo a amplificação da distinção entre soluções de plano de fase e trajetórias reais no Capítulo 5, e incorporação de formulações matriciais e Jacobianas para sistemas autônomos.

Novos problemas adicionados aos conjuntos de exercícios lidar com tópicos como variáveis ​​de controle de axônio e oscilações de um balão cheio de hélio em uma corda. Além disso, novos problemas acompanham os novos projetos, com foco em modelos econômicos, controle de doenças, sincronização, propagação de sinal e análises de plano de fase de respostas neurais.

Novos exemplos foram adicionados para lidar com a variação de parâmetros, transformadas de Laplace, a função Gama e vetores próprios (entre outros).

Capítulo 1 tem um novo projeto chamado “Applications to Economics” que trata de modelos para uma economia agrária e também para o crescimento do capital.

Capítulo 4 contém um novo projeto chamado “Trem Gravitacional” que convida o leitor a utilizar equações diferenciais no projeto de um túnel subterrâneo de Moscou a São Petersburgo, na Rússia, usando a gravidade para propulsão.

capítulo 5 tem dois novos projetos.

◦ “The 2014-2015 Ebola Epidemic” descreve um sistema de equações diferenciais para modelagem para a propagação da doença na África Ocidental. O modelo incorpora recursos como rastreamento de contato, número de contatos, probabilidade de infecção e eficácia do isolamento.

◦ Loops com bloqueio de fase constituem o tema de um novo projeto que utiliza equações diferenciais para analisar uma técnica de medição ou correspondência de oscilações de rádio de alta frequência.

Capítulo 7, o capítulo Transformações de Laplace, foi atualizado para que os tratamentos de funções descontínuas e periódicas sejam agora divididos em duas seções que são mais apropriadas para palestras de 50 minutos: Seção 7.6 “Transformadas de funções descontínuas” e Seção 7.7 “Transformadas de funções periódicas e de potência Funções."

Capítulo 10 tem um novo projeto que amplia a análise das equações de onda e calor para explorar as equações do telégrafo e do cabo.

Apêndice G é um novo apêndice que lista software comercial e freeware para campos de direção, retratos de fase e métodos numéricos para resolver equações diferenciais.

MyLab ™ Math não está incluído. Alunos, se o MyLab Math for um componente recomendado / obrigatório do curso, peça ao seu instrutor o ISBN correto. O MyLab Math só deve ser adquirido quando exigido por um instrutor. Instrutores, contate seu representante Pearson para obter mais informações.

Pela primeira vez, o MyLab ™ Math está disponível com esta edição para equações diferenciais. MyLab Math é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e buscam um plano de estudo personalizado que os ajuda a absorver o material do curso e entender conceitos difíceis.

Exercícios com feedback imediato - Quase 750 exercícios atribuíveis são baseados nos exercícios do livro didático e são regenerados por meio de algoritmos para dar aos alunos oportunidades ilimitadas de prática e domínio. O MyLab Math fornece feedback útil quando os alunos inserem respostas incorretas e inclui recursos de aprendizagem opcionais, incluindo Ajude-me a resolver isso, Veja um exemplo, vídeos e um eText. O instrutor pode decidir se e quando permitir que os alunos acessem o auxiliar de aprendizagem - por tarefa ou no nível de exercício - para que os alunos obtenham o nível certo de suporte ao mesmo tempo que os prepara para trabalhar de forma independente.

Um novo conjunto de vídeos instrucionais fornecer suporte significativo para os alunos e flexibilidade para os instrutores em como eles são usados. Os instrutores podem atribuir perguntas relacionadas aos vídeos para avaliar a compreensão dos conceitos pelos alunos, selecionando exercícios por meio do Guia de Tarefas Baseadas em Vídeo. Ou os instrutores podem usar os vídeos em sala de aula ou como recurso complementar sobre tópicos específicos.

O eText interativo completo está disponível para os alunos por meio de seus cursos MyLab Math durante toda a edição, dando aos alunos acesso ilimitado ao eText em qualquer curso que use aquela edição do livro didático. O Pearson eText oferece links interativos em toda a extensão, para que os alunos possam assistir a vídeos sobre exemplos importantes enquanto leem.

Learning Catalytics ™ ajuda os instrutores a gerar discussões em classe, personalizar palestras e promover a aprendizagem ponto a ponto com análises em tempo real. Como uma ferramenta de resposta do aluno, o Learning Catalytics usa smartphones, tablets ou laptops dos alunos para envolvê-los em tarefas e pensamentos mais interativos.

Ajude os alunos a desenvolver habilidades de pensamento crítico.

Monitore as respostas para descobrir onde os alunos estão tendo dificuldades.

Conte com dados em tempo real para ajustar a estratégia de ensino.

Agrupe alunos automaticamente para discussão, trabalho em equipe e aprendizagem entre pares.

Acessibilidade e as realizações andam de mãos dadas. O MyLab Math é compatível com o leitor de tela JAWS e permite que tipos de problemas de múltipla escolha e resposta livre sejam lidos e interajam por meio de controles de teclado e entrada de notação matemática. MyLab Math também funciona com ampliadores de tela, incluindo ZoomText, MAGic e SuperNova. E todos os vídeos do MyLab Math possuem legendas ocultas. Mais informações estão disponíveis em http://mymathlab.com/accessibility.

UMA diário de classe abrangente com funcionalidade de relatório aprimorada permite um gerenciamento de curso eficiente.

O painel de relatórios fornece uma visão para visualizar, analisar e relatar resultados de aprendizagem. Os dados de desempenho dos alunos são apresentados nas classes, seções e níveis do programa de uma maneira visual acessível para tornar acessíveis todas as informações necessárias para manter os alunos no caminho certo.

Análise de Item rastreia a compreensão de toda a classe de exercícios específicos para refinar as aulas ou ajustar o programa do curso / departamento. O ensino na hora certa nunca foi tão fácil!


Glossário

A solução de sistemas lineares de equações é uma das áreas mais importantes da matemática computacional. Não vamos apresentar este tópico em detalhes --- ele merece um curso especial. Em vez disso, consideramos um caso particular e muito importante quando a matriz principal é tridiagonal:

Este sistema de equações algébricas poderia ser resolvido usando o procedimento de eliminação gaussiana padrão, o que na verdade reduz o problema a uma forma triangular superior. Este estágio é geralmente conhecido como eliminação direta (FE). Uma vez concluído, o segundo estágio, que é chamado de substituição reversa (BS), envolve encontrar a solução real. Portanto, este algoritmo é geralmente chamado FEBS, ou no jargão computacional "progonka". Na engenharia, o método FEBS está associado ao cientista britânico Llewellyn H. Thomas dos laboratórios Bell que resolveu um problema simples de Poisson (veja o exemplo a seguir) usando este método em 1946. Historicamente, um proeminente matemático soviético Israel Moiseevich Gelfand (1913--2009 ) descobriu o algoritmo FEBS em 1933, sendo um estudante universitário do segundo ano. Ele pessoalmente se recusou a associar seu nome com FEBS porque, em sua opinião, era uma aplicação muito simples de eliminação gaussiana. Em vez disso, ele sugeriu chamar o algoritmo FEBS de "progonka (& pcy & rcy & ocy & gcy & ocy & ncy & kcy & acy)", e essa gíria é amplamente aceita.

Usando o procedimento de eliminação, a matriz aumentada é reduzida a uma forma triangular superior equivalente:

Algoritmo FEBS (progonka)
% estágio de eliminação

para i = 2 para n
d (i) = d (i) - u (i-1) * l (i) / d (i-1)
b (i) = b (i) - b (i-1) * l (i) / d (i-1)
endfor

x (n) = b (n) / d (n)
para i = n-1 até 1
x (i) = (b (i) - u (i) * x (i + 1)) / d (i)
endfor

Teorema: Se a matriz tridiagonal UMA é diagonalmente dominante ( (d_i & gt | l_i | + | u_i | & gt 0, quad 1 le i le n )), então o algoritmo FEBS terá sucesso em produzir a solução correta para o sistema linear original, dentro das limitações de erro de arredondamento. & # 9632

Exemplo: problema de Dirichlet para oscilador linear

Exemplo: Considere o problema de Dirichlet no intervalo [0,1]:

Dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais (x_ , x_k], ) de acordo com

Este é um sistema tridiagonal de equações lineares. Escrito na forma de vetor-matriz, temos

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2.4E: Transformação de equações não lineares em equações separáveis ​​(exercícios) - matemática

Concourse Math 18.03 Calendário de tópicos e atribuições de HW - Primavera de 2020

última atualização terça-feira, 21 de julho de 2020 12:44

Noções básicas: Equações diferenciais autónomas, campos de direção, curvas integrais, existência e unicidade de soluções (soluções gerais, soluções particulares com condições iniciais), exemplos, modelos, soluções numéricas / gráficas. Equações lineares, equações separáveis ​​(crescimento exponencial com colheita, problemas de mistura, problemas de resfriamento), perspectiva de sistema / sinal.

Notas da aula nº 1 (revisado em 2 de fevereiro de 2020)

joel / dfield / tem uma boa ferramenta para desenhar campos de direção (declive). A versão atual requer que você baixe um arquivo executável Java para seu próprio computador e execute-o localmente em sua própria máquina. Você pode personalizar várias opções. Você também pode imprimir os gráficos. [A forma como o Java é chamado varia de acordo com o computador e o sistema operacional, portanto, talvez seja necessário fornecer alguma documentação adicional.] [Também disponível aqui]

Campos de direção, curvas integrais, isóclinas, separatrizes, funis, métodos gráficos. Equações lineares, soluções homogêneas vs. soluções não homogêneas, método dos coeficientes indeterminados. Resolução de equações lineares de 1ª ordem por integração de fatores e por linearidade.

Notas da aula nº 2 (revisado em 5 de fevereiro de 2020)

Linearidade e modelos lineares, continuação Variação dos Parâmetros ODEs lineares de ordem superior perspectiva de sinal-resposta resposta do sistema linear à entrada exponencial e senoidal.

Notas da aula nº 3 (pode ser revisado)

Resposta do sistema linear ao ganho de entrada exponencial e sinusoidal, atraso de fase.

Notas da aula nº 4 (pode ser revisado)

Conjunto de Problemas # 3 (vencimento na quinta, 27 de fevereiro)
EP 1.7 (modelos de população)
EP 7.1 (soluções de equilíbrio e estabilidade)
Notas IR.6 (Modelos de resposta de entrada)
SN 4 (Soluções Sinusoidais)
SN 5 (Álgebra de Números Complexos)
C.1-C.4 (Números Complexos)
SN 6 (o exponencial complexo)

Tópicos do exame e perguntas práticas para o exame nº 1
(mesmo nome de usuário / senha das soluções)

Soluções do exame simulado 1

Dia dos Presidentes - sem aulas

[Programação de segunda-feira] Equação de valor complexo associada à entrada senoidal. A álgebra dos números complexos - os números complexos exponenciais complexos, raízes da unidade. Aplicações para trigonometria, integração e solução de EDOs (substituição complexa). Equação de valor complexo associada ao ganho de entrada sinusoidal, atraso de fase.

Notas da aula nº 5 (revisado em 19 de fevereiro de 2020)

Equações autônomas, linha de fase, equilíbrios, pontos críticos, estabilidade. ODEs de coeficiente constante linear de 2ª ordem, polinômio característico.

Aula # 6-7 Notas (pode ser revisado)

Conjunto de Problemas # 4 (devido terça-feira, 10 de março)
EP 2.1 (equações lineares de 2ª ordem)
EP 2.2 (Soluções gerais de equações lineares)
Subespaços, Span, Linear Independence, Basis of a Subespace Images e Kernel of a Matrix (RW)
Espaços Lineares Gerais (Espaços Vetoriais) e Soluções de EDOs (RW)
EP 2.3 (equações homogêneas com coeficientes constantes)
SN 19 (o Wronskian)
EP 2.4 (vibrações mecânicas)
SN 7 (batidas)
SN 8 (circuitos RLC)
SN 9 (Normalização de soluções)
SN 10 (operadores e a fórmula de resposta exponencial)
EP 2.5 (equações não homogêneas e coeficientes indeterminados)

Álgebra Linear: Subespaços, extensão, imagem e kernel, independência linear, base, dimensão, coordenadas em relação a uma base.

ODEs de coeficiente constante linear de 2ª ordem, polinômio característico, modos, independência de soluções e superposição de soluções Matriz Wronskiana e determinante Wronskiano sinusoidal e resposta exponencial do oscilador harmônico de soluções normalizadas. Raízes características complexas. [alguns tópicos podem ser transferidos para outras palestras]

Notas da aula # 8 (revisado em 26 de fevereiro de 2020)

Operadores lineares com coeficientes constantes (invariantes no tempo), soluções exponenciais, exemplos polinomiais característicos de soluções homogêneas com raízes reais distintas, raízes complexas puras (Lei de Hooke).

Notas da aula nº 9 (a ser revisado)

Operadores lineares invariantes no tempo (LTI) caso de raízes repetidas de operadores polinomiais característicos e a fórmula de resposta exponencial (ERF) e a fórmula de resposta de ressonância (RRF) para sinais de entrada exponencial e senoidal. Acionamento da mola de ganho e atraso de fase, substituição complexa, ganho complexo, atraso de fase Ressonância e movimento harmônico forçado.

Aula # 10 Notas (revisado em 17 de março de 2020 para incluir prova completa do RRF)

Conjunto de Problemas # 5 (devido quarta-feira, 18 de março)
SN 10 (operadores e a fórmula de resposta exponencial)
EP 2.6 (oscilações forçadas e ressonância)
SN 12 (ressonância)
Notas O (operadores diferenciais lineares)
SN 11 (coeficientes indeterminados)
SN 13 (invariância de tempo)
SN 14 (a lei do deslocamento exponencial)
SN 15 (frequência natural e taxa de amortecimento)
SN 16 (resposta de frequência)
SN 17 (ressonância, não: a ponte Tacomah Narrows)
EP 2.7 (circuitos elétricos)
Revise as notas da aula sobre Fórmula de deslocamento exponencial e variação de parâmetros.

Resumo de ODE de enésima ordem linear

Fórmula de resposta exponencial (ERF), fórmula de resposta de ressonância (RRF) Variação da regra de deslocamento exponencial dos parâmetros para sistemas de ordem superior.

Notas da aula nº 11 (pode ser revisado)

Ressonância, resposta de frequência, sistemas LTI, superposição, circuitos RLC [Circuitos RLC de resposta de frequência de ressonância Invariância de tempo]

Exemplos de variação de parâmetros e a regra de deslocamento exponencial Entradas descontínuas.

Aula # 12 Notas (revisado em 27 de março de 2020)

Resumo dos métodos para EDOs lineares, homogêneas, soluções particulares e princípios de linearidade Série de Fourier para entradas periódicas Teorema de Fourier e função onda quadrada dos coeficientes de Fourier.
Observação: O plano atual é fazer mais um & quotsurvey da Série Fourier com aplicações para EDOs & quot, em vez do tratamento completo. Você pode, se desejar, ler as coisas em mais detalhes nas notas de aula produzidas anteriormente.

Notas de apresentação do Zoom desta semana:

Linear enésima ordem Resumo Fourier I

Fourier II Fourier III

Conjunto de Problemas # 6 (vencimento quinta, 9 de abril)
EP 8.1 (funções periódicas e séries trigonométricas)
SN 20 (mais sobre a série Fourier)
EP 8.2 (série geral de Fourier e convergência)
EP 8.3 (séries de seno e cosseno de Fourier)
EP 8.4 (aplicações da série de Fourier)

Notas da aula # 13 (pode ser revisado)

Notas da aula nº 14 (revisado em 27 de março de 2020)

Esboços usados ​​nas aulas de recitação de 31 de março: pg1 pg2 pg3 pg4

Perguntas práticas e soluções para o exame nº 2
(mesmo nome de usuário / senha das soluções)

Série de Fourier: ortogonalidade, produtos internos, projeção ortogonal, Teorema de Pitágoras Aplicações a EDOs - resposta harmônica, ressonância

Função dente de serra Diferenciando e integrando a série Fourier Dicas e truques de amplificação: trig id, combinação linear, deslocamento

Esboços usados ​​nas aulas de recitação de 2 de abril (PDF de 4 páginas)

Exame # 2 Soluções

Funções generalizadas, derivadas generalizadas, funções degrau e delta. Respostas de impulso e degrau.
Observação: O plano atual é fazer mais um & quotsurvey de Funções Generalizadas e Transformações de Laplace com aplicações para EDOs & quot, em vez do tratamento completo. O objetivo é simplesmente apresentar a você as ideias e ilustrá-las com alguns exemplos. Você pode, se desejar, ler as coisas em mais detalhes nas Notas de aula e nas seguintes notas de apresentação do Zoom:

Notas da aula nº 15 (novo, pode ser revisado)

Delta-Laplace 1 Delta-Laplace 2 Delta-Laplace 3

Transformada de Laplace: propriedades básicas, regras e cálculos de amostra domínio t vs domínio s idéia de como resolver EDOs, traduzindo equações diferenciais em equações algébricas.

Aula # 16 Notas (novo, pode ser revisado)

Funções de etapa e delta. Respostas ao impulso e ao degrau, invariância do tempo de resposta ao impulso da unidade derivada generalizada Produto de convolução.

Aula # 17-18 Notas

Esboços usados ​​na aula de recitação de 9 de abril (PDF)

Solução com condições iniciais como w * q. Condições iniciais sem repouso da transformação inversa para equações de primeira ordem]. [Exemplos trabalhados de transformada e convolução de Laplace] Introdução aos sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e campos de vetores associados.

Aula # 17-18 Notas

Solução com de EDOs com condições iniciais como w * q métodos de fração parcial condições iniciais sem repouso para equações de primeira ordem

Esboços usados ​​nas aulas de recitação de 14 de abril (PDF com correções)

Introduction to vector fields and systems of 1st order ODEs reduction of order - nth order equations and systems of 1st order equations matrix representation.

Sketches used in Apr 15 Lecture (PDF w/additions/corrections)

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 1

Here's a website that has a good java-based tool for showing vector fields and flows: https://www.cs.unm.edu/

joel/dfield/ The current version requires you to download a Java executable file to your own computer and to run it locally on your own machine. You can customize various options. You can also print the graphs. [How Java is called varies on computer and operating system, so we may have to provide some additional documentation.] [Also available here]

Problem Set #8 (due Wed, Apr 29)
EP 5.1 (First-Order systems and applications)
EP 5.2 (The method of elimination)
EP 5.3 (Matrices and linear systems)
Notes LS.1 (Linear systems: Review of linear algebra)
Notes LS.2.2 (Homogeneous linear systems w/constant coefficients)
EP 5.4 (The eigenvalue methods for homogeneous systems)
SN 30 (First order systems and second order equations)
SN 31 (Phase portraits in two dimensions)
Supplement on Evolution Matrices
Supplement on Linear Coordinates, Alternate Bases, and Evolution Matrices
Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations
Phase portraits for the linear ODE examples

Sketches used in Apr 16 recitation classes (PDF w/additions/corrections)

Linear algebra: linear independence, span, basis, coordinates matrix of a linear transformation relative to a basis.

Notes on Coordinate Changes (general idea)

Sketches used in Apr 21 recitation classes (PDF)

Notes on Linear Coordinates and Change of Basis

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 1

Sketches used in Apr 22 Lecture (no video and short class)

Sketches used in Apr 23 recitation classes

Complex eigenvalues Qualitative behavior of linear systems phase plane

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 2

Sketches used in Apr 27 Lecture (PDF)

Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations

Phase portraits for the linear ODE examples

Solving System of 1st Order Linear Differential Equations, continued repeated eigenvalues decomposition of 1st order linear system into mode (block matrices) simple nonlinear system with shifted equilibrium

Sketches used in Apr 29 Lecture (PDF)

Qualitative behavior of linear systems phase plane [Eigenvalues vs coefficients Complex eigenvalues Repeated eigenvalues Defective, complete Trace-determinant plane Stability] simple nonlinear systems.

Sketches used in May 4 Lecture (PDF)

Sketches used in May 6 Lecture (PDF)

Nonlinear systems linearization near equilibria, Jacobian matrices the nonlinear pendulum autonomous systems, predator-prey systems.

Mathematical Theory of Epidemics (Kermack, McKendrick, 1927) - 22 pages, somewhat technical, see pgs 713-714 in particular)

Practice Final Exam Problems Soluções

Exame final -- 9:00am to noon

Referências:
FH: Farlow-Hall-McDill-West, Differential Equations & Linear Algebra, Pearson/Prentice-Hall, 2nd Edition
EP: C. Henry Edwards and David E. Penney, Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice-Hall, Sixth Edition.
SN: 18.03 Supplementary Notes, available on the course website.
Notes: 18.03 Notes and Exercises available on the course website.


Numerical Analysis 9th Edition Solution Manual

Student Solutions Manual and Study Guide. Chapters 1 & 2 Preview for. Prepared by. Richard L. Burden. Youngstown State University. J. Douglas Faires. Youngstown State University. Australia • Brazil • Japan • Korea • Mexico • Singapore • Spain • United Kingdom • United States. Numerical Analysis. 9th EDITION. Richard .

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Solutions of Equations in One Variable. The Bisection Method. Numerical Analysis (9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Numerical Analysis

Solutions of many of the exercises are provided. About the name: the term “ numerical” analysis is fairly recent. A clas- sic book [170] on the topic changed names between editions, adopting the. “numerical analysis” title in a later edition [171]. The origins of the part of mathematics we now call analysis were all numerical, .

Solutions of Equations in One Variable [0.125in]3.375in0.02in

Solutions of Equations in One Variable. Newton's Method. Numerical Analysis ( 9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Syllabus for MATH 4073, Numerical Analysis I, Sec. 001 Fall 2016

Course catalog description: Solution of linear and nonlinear equations, approximation of functions, numerical integration and . Numerical Analysis, 9th edition, 2010, Brooks/Cole, ISBN-10: 0538733519,. ISBN-13: 978- . Copying solutions from a solutions manual, from someone else's work, or from the Internet is a .

MATH 132: Numerical Analysis II Spring 2015

Jan 16, 2015 . ary value problems for ordinary differential equations, and numerical solutions to partial differential . Course Materials: • Textbook: Richard L. Burden and J. Douglas Faires, Numerical Analysis, Brooks/Cole,. 9th edition (2011). • If you are looking for an introduction to MATLAB, a good reference is the book .

Kreyszig - Advanced Engineering Mathematics 9e BW

Complex Analysis,. Potential Theory. Chaps. 13-17. Basic Material. I. ••. Indivíduo. 18 . Potential Theory. PART F. Chaps. 22-23. Optimization, Graphs. Indivíduo. 22. Chap. 23. Linear Programming. Graphs, Optimization. GUIDES AND MANUALS. Maple Computer Guide. Mathematica. Computer Guide. Student Solutions Manual.

Numerical Methods for Computational Science and Engineering

May 1, 2015 . ETH Lecture 401-0663-00L Numerical Methods for CSE. Numerical Methods for. Computational Science and . The online version will always be work in progress and subject to change. (Nevertheless, structure and main . 2.7.4 Direct Solution of Sparse Linear Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 201.

Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for

May 4, 2017 . numerical methods for Civil Engineering majors during 2002-2004 and was modified to include . In these lecture notes, instruction on using Matlab is dispersed through the material on numerical . If we are trying to find a numerical solution of an equation f(x) = 0, then there are a few different ways we.

M.E. Communication Systems

fundamentals, and an engineering specialization to the solution of complex engineering problems. 2. Problem . solutions in societal and environmental contexts, and demonstrate the knowledge of, and need . Burden, R. C. and Faires, J. D., "Numerical Analysis ", 9th Edition, Cengage Learning, 2016. 3. Gross, D.

Elementary linear algebra 10th edition

New Chapter on Numerical Methods In the previous edition an assortment of topics appeared in the last chapter. . Applications There is an expanded version of this text by Howard Anton and Chris Rorres entitled . Student Solutions Manual This supplement provides detailed solutions to most theoretical exercises and.

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CS180. Required: Operating system concepts, 9th edition,. International Student Version by Abraham Silberschatz, Peter B. Galvin, and Greg. Gagne. ISBN: 978-1 -1180-9375-7. 8th edition available from Safari Books Online. Modern operating systems,. Global edition, 4th edition by Andrew S. Tanenbaum and Herbert Bos.

Quantitative Chemical Analysis

Quantitative Chemical. Analysis. SEVENTH EDITION. Daniel C. Harris. Michelson Laboratory. China Lake, California. W. H. Freeman and Company. New York . and a heterogeneous material? Complete solutions to Problems can be found in the Solutions. Manual. Short answers to numerical problems are at the back.

Student Solutions Manual for Elementary Differential Equations and

Mar 3, 2014 . 8. 2.3 Existence and Uniqueness of Solutions of Nonlinear Equations. 11. 2.4 Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations. 13. 2.5 Exact Equations. 17. 2.6 Integrating Factors. 21. Chapter 3 Numerical Methods. 25. 3.1 Euler's Method. 25. 3.2 The Improved Euler Method and Related .

Small Memory Software Patterns For Systems With Limited Memory

Nov 1, 2016 . Thank you for downloading small memory software patterns for systems with limited memory. Maybe you have knowledge that, people have search hundreds times for their chosen readings like this small memory software patterns for systems with limited memory, but end up in malicious downloads. Rather .

Efficient Numerical Methods for Nonlinear MPC and Moving Horizon

Abstract. This overview paper reviews numerical methods for solution of optimal control problems in real-time, as they arise in nonlinear model predictive control ( NMPC) as well as in moving horizon estimation (MHE). In the first part, we review numerical optimal control solution methods, focussing exclusively on a discrete .

Solutions and Applications Manual

Solutions and Applications Manual. Econometric Analysis. Sixth Edition. William H. Greene. New York University. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 . This book presents solutions to the end of chapter exercises and applications in Econometric Analysis. There . In some cases, the numerical solutions.

BENCHMARK WORKSHOP

ON THE NUMERICAL ANALYSIS OF DAMS, 9th – 11th September 2015. Lausanne, SWITZERLAND. Edited by . Analysis and Design of Dams, “ Benchmark Workshops are organised to compare numerical models between one another and/or with reference solutions, including the dissemination and publication of results”.

Applied Numerical Methods W/MATLAB

Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists. Third Edition. Steven C. Chapra. Berger Chair in Computing and Engineering. Tufts University. TM . show how a comparable solution can be generated with a simple numerical method. We end the chapter with an overview of the major areas of .

Computer science, software engineering & information technology

Feb 8, 2008 . Computing Supporting Courses for Computer Science Porgramme. 25. Computing General Education. 27 . clearly delineate objectives, methods of solution, results, and conclusions for a complex task. . Prentice Hall 2010. 3. Data and Computer Communications By William Stallings 9th Edition 2011 .


Stability of Flows

The Euler Equation: Linear andNonlinear Stability/Instability

We conclude this brief article with some discussion of instabilities in the inviscid Euler equations whose existence is likely to be important as a “trigger” for the development of instabilities in high-Reynolds-number viscous flows. As we mentioned, the Euler equations are very different from the Navier–Stokes equations in their mathematical structure. The Euler equations are degenerate and nonelliptic. As such, the spectrum of the linearized operator euE is not amenable to standard spectral theory of elliptic operators. For example, unlike the Navier–Stokes operator, the spectrum of euE is not purely discrete even in bounded domains. To define euE we consider a steady Euler flow U 0 x , P 0 x , where

We assume that U 0 ∈ C ∞ . For the Euler equations, appropriate boundary conditions include zero normal component of U 0 on a rigid boundary, or periodicity conditions (i.e., flow on a torus) or suitable decay at infinity in an unbounded domain. The theorems that we will be describing have been proved mainly in the cases of the second and third conditions stated above. There are many classes of vector fields U 0 x , in two and three dimensions, that satisfy [12a] and [12b] . We write [4a] and [4b] in perturbation form as

Linear (spectral) instability of a steady Euler flow U 0 x concerns the structure of the spectrum of euE. Assuming U 0 ∈ C ∞ T n , the linear equation

defines a strongly continuous group in every Sobolev space W s , p with generator euE. We denote this group by exp L E t . For the issue of spectral instability of the Euler equation it proves useful to study not only the spectrum of euE but also the spectrum of the evolution operator exp L E t . This permits the development of an explicit formula for the growth rate of a small perturbation due to the essential (or continuous) spectrum. It was proved by Vishik (1996) that a quantity Λ, refered to as a “fluid Lyapunov exponent” gives the maximum growth rate of the essential spectrum of exp L E t . This quantity is obtained by computing the exponential growth rate of a certain vector that satisfies a specific system of ODEs over the trajectories of the flow U 0 x . This proves to be an effective mechanism for detecting instabilities in the essential spectrum which result due to high-spatial-frequency perturbations. For example, for this reason any flow U 0 x with a hyperbolic fixed point is linearly unstable with growth in the sense of the eu2-norm. In two dimensions, Λ is equal to the maximal classical Lyapunov exponent (i.e., the exponential growth of a tangent vector over the ODE x . = U 0 ( x ) ). In three dimensions, the existence of a nonzero classical Lyapunov exponent implies that Λ>0. However, in three dimensions there are also examples where the classical Lyapunov exponent is zero and yet Λ>0. We note that the delicate issue of the unstable essential spectrum is strongly dependent on the function space for the perturbations and that Λ, for a given você0, will vary with this function space. More details and examples of instabilities in the essential spectrum can be found in references in the bibliography.

In contrast with instabilities in the essential spectrum, the existence of discrete unstable eigenvalues is independent of the norm in which growth is measured. From this point of view, such instabilities can be considered as “strong.” However, for most flows U 0 x we do not know the existence of such unstable eigenvalues. For fully 3D flows there are no examples, to our knowledge, where such unstable eigenvalues have been proved to exist for flows with standard metrics. The case that has received the most attention in the literature is the “relatively simple” case of plane parallel shear flow. The eigenvalue problem is governed by the Rayleigh equation (which is the inviscid version of the Orr–Sommerfeld equation [11] ):

The celebrated Rayleigh stability criterion says that a sufficient condition for the eigenvalues λ to be pure imaginary is the absence of an inflection point in the shear profile U z . It is more difficult to prove the converse however, there have been several recent results that show that oscillating profiles indeed produce unstable eigenvalues. For example, if U z = sin mz the continued fraction proof of Meshalkin and Sinai can be adapted to exhibit the full unstable spectrum for [18] . We note the “fluid Lyapunov exponent” Λ is zero for all shear flows thus the only way the unstable spectrum can be nonempty for shear flows is via discrete unstable eigenvalues.

As we have discussed, it is possible to show that many classes of steady Euler flows are linearly unstable, either due to a nonempty unstable essential spectrum (i.e., cases where Λ>0) or due to unstable eigenvalues or possibly for both reasons. It is natural to ask what this means about the stability/instability of the full nonlinear Euler equations [14]–[16] . The issue of nonlinear stability is complex and there are several natural precise definitions of nonlinear stability and its converse instability.

One definition is to consider nonlinear stability in the energy norm eu 2 and the enstrophy norm H 1 , which are natural function spaces to measure growth of disturbances but are not “correct” spaces for the Euler equations in terms of proven properties of existence and uniqueness of solutions to the nonlinear equation. Falling under this definition is the most frequently employed method to prove nonlinear stability, which is an elegant technique developed by Arnol’d (cf. Arnol’d and Khesin (1998) and references therein). This is based on the existence of the so-called energy-Casimirs. The vorticity curl q is transported by the motion of the fluid so that at time t it is obtained from the vorticity at time t=0 by a volume-preserving diffeomorphism. In the terminology of Arnol’d, the velocity fields obtained in this manner at any two times are called isovortical. For a given field U 0 x , the class of isovortical fields is an infinite-dimensional manifold M, which is the orbit of the group of volume-preserving diffeomorphisms in the space of divergence-free vector fields. The steady flows are exactly the critical points of the energy functional E restricted to M. If a critical point is a strict local maximum or minimum of E, then the steady flow is nonlinearly stable in the space J1 of divergence-free vectors u x , t (satisfying the boundary conditions) that have finite norm,

This theory can be applied, for example, to show that any shear flow with no inflection points in the profile U z is nonlinearly unstable in the function space J1, that is, the classical Rayleigh criterion implies not only spectral stability but also nonlinear stability.

We note that Arnol’d’s stability method cannot be applied to the Euler equations in three dimensions because the second variation of the energy defined on the tangent space to M is never definite at a critical point U 0 x . This result is suggestive, but does not prove, that most Euler flows in three dimensions are nonlinearly unstable in the Arnol’d sense. To quote Arnol’d, in the context of the Euler equations “there appear to be an infinitely great number of unstable configurations.”

In recent years, there have been a number of results concerning nonlinear instability for the Euler equation. Most of these results prove nonlinear instability under certain assumptions on the structure of the spectrum of the linearized Euler operator. To date, none of the approaches prove the definitive result that in general linear instability implies nonlinear instability. As we have remarked, this is a much more delicate issue for Euler than for Navier–Stokes because of the existence, for a generic Euler flow, of a nonempty essential unstable spectrum. To give a flavor of the mathematical treatment of nonlinear instability for the Euler equations, we present one recent result and refer the interested reader to articles listed in the “ Further reading ” section for further results and discussions.

In the context of Euler equations in two dimensions, we adopt the following definition of Lyapunov stability.

Definition 4

An equilibrium solution U 0 x is called Lyapunov stable if for every ɛ>0 there exists δ>0 so that for any divergence-free vector u x , 0 ∈ W 1 + s , p , s > 2 / p , such that ‖ u ( x , 0 ) ‖ L 2 < δ the unique solution u x , t to [14]–[16] satisfies

We note that we require the initial value u x , 0 to be in the Sobolev space W 1 + s , p , s > p / 2 , since it is known that the 2D Euler equations are globally in time well posed in this function space.

Definition 5

Any steady flow U 0 x for which the conditions of Definition 4 are violated is called nonlinearly unstable in eu 2 .

Observe that the open issues (in three dimensions) of nonuniqueness or nonexistence of solutions to [14]–[16] would, under Definition 5 , be scenarios for instability.

(Nonlinear instability for 2D Euler flows). Deixar U 0 x ∈ C ∞ T 2 be satisfy [12] . Deixar Λ be the maximal Lyapunov exponent to the ODE x . = U 0 ( x ) . Assume that there exists an eigenvalue λ in the L 2 spectrum of the linear operator LE given by [15] with Reλ& gtΛ. Then in the sense of Definition 5 , U 0 x is Lyapunov unstable with respect to growth in the L 2 -norm.

The proof of this result is given in Vishik and Friedlander (2003) and uses a so-called “bootstrap” argument whose origins can be found in references in that article. We remark that the above result gives nonlinear instability with respect to growth of the energy of a perturbation which seems to be a physically reasonable measure of instability.

In order to apply Theorem 6 to a specific 2D flow it is necessary to know that the linear operator euE has an eigenvalue with Reλ& gtΛ. As we have discussed, such knowledge is lacking for a generic flow U 0 x . Once again, we turn to shear flows. As we noted Λ=0 for shear flows, any shear profile for which unstable eigenvalues have been proved to exist provides an example of nonlinear instability with respect to growth in the energy.

We conclude with the observation that it is tempting to speculate that, given the complexity of flows in three dimensions, most, if not all, such inviscid flows are nonlinearly unstable. It is clear from the concept of the fluid Lyapunov exponent that stretching in a flow is associated with instabilities and there are more mechanisms for stretching in three, as opposed to two, dimensions. However, to date there are virtually no mathematical results for the nonlinear stability problem for fully 3D flows and many challenging issues remain entirely open.


Simplify and Expand

The simplify command finds the simplest form of an equation.
Simplify[expr,assum] does simplification using assumptions.
Expand[expr,patt] leaves unexpanded any parts of expr that are free of the pattern patt.
ExpandAll[expr] expands out all products and integer powers in ant part of exps.
ExpandAll[expr,patt] avoids expanding parts of expr that do not contain terms matching the pattern patt.

Um de Mathematica’s most useful features for new users is algebraic manipulation. The program enables the user to avoid tedious exercises in simplification, expansion, and manipulation of algebraic expressions. For example, rather than spending odious amounts of time using the distributive property, Mathematica allows the user to quickly discover that ( (x-1)(x-7)(x+2)(x-4) = x^4 -10,x^3 + 15, x^2 + 50, x -56. )


2.4E: Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations (Exercises) - Mathematics

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu.

Office hours (tentative): Mon 2:30-3:30 p.m., Thu 1:20-2:30 p.m., or by appointment.

Pré-requisitos: Introduction to Partial Differential Equations (MATH 4163) or permission of instructor.

Course catalog description: First order equations, Cauchy problem for higher order equations, second order equations with constant coefficients, linear hyperbolic equations. (Sp)

  • PDEs arising in mechanics, electrodynamics, heat propagation, fluid dynamics.
  • Laplace's equation, harmonic functions, Dirichlet's Principle, Gauss Mean Value Theorem and its inverse, Maximum Principle, regularity of harmonic functions, Liouville's Theorem.
  • Classical Fourier transform (FT) and its inverse, solving PDEs by using FT. Distributions: definition, convergence, derivatives, extension of the FT to distributions, properties, examples.
  • Fundamental solutions of Laplace's and Poisson's equations, Green's functions, method of images, inversion.
  • Heat equation, solution using the FT, uniqueness, fundamental solutions, non-homogeneous problem, Duhamel's principle.
  • Wave equation. Solution in 1D: D'Alembert's formula, uniqueness by the energy method. Solution in 3D: fundamental solution, Kirchhoff's formula, Hadamard's method of descent, Huygens' principle. Fundamental solutions, non-homogeneous problems.
  • Banach spaces, Hilbert spaces, weak derivatives, Sobolev spaces. Existence of a weak solution of the Poisson's equation. Embedding theorems for Sobolev spaces.
  • Eigenfunction expansions, existence and properties of eigenvalues of certain types of operators, variational principle for the principal eigenvalue.
  • (If time permits) First-order PDEs: linear, quasilinear (Burgers' equation), and nonlinear (Hamilton-Jacobi equation).

    S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. From modelling to theory. Springer, 2008.

We will also use parts of the following books, freely available online for OU students:

    A. C. King, J. Billingham, S. R. Otto. Differential Equations. Linear, nonlinear, ordinary, partial. Cambridge University Press, 2003.
  • Homework 1, due Thu, Jan 23.
  • Homework 2, due Thu, Jan 30.
  • Homework 3, due Thu, Feb 6.
  • Homework 4, due Thu, Feb 13.
  • Homework 5, due Fri, Feb 21, at 4 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 6, due Fri, Feb 28, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 7, due Fri, Mar 6, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 8, due Wed, Apr 9, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 9, due Fri, Apr 18, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 10, due Fri, May 2, at 5 p.m. in 802 PHSC.

    Lecture 1 (Tue, Jan 14):Basic partial differential equations: classification of partial differential equations (PDEs), arbitrariness in the general solution of a PDE of order k for a function of m variables a detailed derivation of the heat equation c&rhovocêt=&nabla&sdot(k&nablavocê)+&Psi(x,t) (where &Psi(x,t) is the volume density of the power of the heat sources inside the domain), or, for constant k, vocêt=&alpha 2 &Deltavocê+&psi(x,t) derivation of the the boundary conditions for the heat equation: Dirichlet condition (the temperature is controlled at the boundary), Neumann condition (the heat flux is controlled at the boundary), Robin condition (convective heat exchange with the surroundings) [Sec. 1.2]

Classificação: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

Coursework Weight
Homework (lowest grade dropped) 30%
Two midterm exams (20% each) 40%
Exame final 30%

Homework: It is absolutely essential to solve the assigned homework problems! Homework assignments will be given regularly throughout the semester and will be posted on this web-site. The homework will be due at the começar of class on the due date. Each homework will consist of several problems, of which some pseudo-randomly chosen problems will be graded. Your lowest homework grade will be dropped. Your homework should have your name clearly written on it, and should be stapled. No late homeworks will be accepted!

Exams: There will be two in-class midterms and a comprehensive in-class final exam.
Tentative dates for the midterms are February 25 (Tuesday) and April 17 (Thursday).
The final exam is scheduled for May 9 (Friday), 1:30-3:30 p.m.
All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

Comparecimento: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also strongly encouraged. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

Policy on W/I grades : From January 13 to January 27, you can withdraw from the course without record of grade. From January 28 to February 21, graduate students can withdraw from the course with an automatic "W" (for undergraduate students this period is January 28 to March 28). After this you may petition to the Dean to withdraw and receive a "W" or "F" grade according to your standing in the class. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates in the Academic Calendar!

The grade of "I" (Incomplete) is não intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

Academic misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. As penalidades podem ser bastante severas. Don't do it!
For details on the University's policies concerning academic integrity see the Student's Guide to Academic Integrity no Academic Integrity web-site. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Academic Integrity Code. Please check out the web-site of the OU Student Conduct Office.

Students with disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


Nonlinear Regression Equations

While a linear equation has one basic form, nonlinear equations can take many different forms. The easiest way to determine whether an equation is nonlinear is to focus on the term “nonlinear” itself. Literally, it’s not linear. If the equation doesn’t meet the criteria above for a linear equation, it’s nonlinear.

That covers many different forms, which is why nonlinear regression provides the most flexible curve-fitting functionality. Here are several examples from Minitab’s nonlinear function catalog. Thetas represent the parameters and X represents the predictor in the nonlinear functions. Unlike linear regression, these functions can have more than one parameter per predictor variable.

Nonlinear function One possible shape
Power (convex): Theta1 * X^Theta2
Weibull growth: Theta1 + (Theta2 - Theta1) * exp(-Theta3 * X^Theta4)
Fourier: Theta1 * cos(X + Theta4) + (Theta2 * cos(2*X + Theta4) + Theta3

Here is an example of a nonlinear regression model of the relationship between density and electron mobility.

The nonlinear equation is so long it that it doesn't fit on the graph:

Mobility = (1288.14 + 1491.08 * Density Ln + 583.238 * Density Ln^2 + 75.4167 * Density Ln^3) / (1 + 0.966295 * Density Ln + 0.397973 * Density Ln^2 + 0.0497273 * Density Ln^3)

Linear and nonlinear regression are actually named after the functional form of the models that each analysis accepts. I hope the distinction between linear and nonlinear equations is clearer and that you understand how it’s possible for linear regression to model curves! It also explains why you’ll see R-squared displayed for some curvilinear models even though it’s impossible to calculate R-squared for nonlinear regression.