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2.5: Equações Exatas


Nesta seção, é conveniente escrever equações diferenciais de primeira ordem no formulário

[ label {eq: 2.5.1} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0. ]

Esta equação pode ser interpretada como

[ label {eq: 2.5.2} M (x, y) + N (x, y) , {dy over dx} = 0, ]

onde (x ) é a variável independente e (y ) é a variável dependente, ou como

[ label {eq: 2.5.3} M (x, y) , {dx over dy} + N (x, y) = 0, ]

onde (y ) é a variável independente e (x ) é a variável dependente. Uma vez que as soluções da Equação ref {eq: 2.5.2} e da Equação ref {eq: 2.5.3} muitas vezes terão que ser deixadas na forma implícita, diremos que (F (x, y) = c ) é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.1} se cada função diferenciável (y = y (x) ) que satisfaz (F (x, y) = c ) é uma solução da Equação ref {eq: 2.5.2} e cada função diferenciável (x = x (y) ) que satisfaz (F (x, y) = c ) é uma solução da Equação ref {eq: 2.5.3}

aqui estão alguns exemplos:

Tabela ( PageIndex {1} ): Exemplos de equações diferenciais exatas em três formas
Equação ref {eq: 2.5.1}Equação ref {eq: 2.5.2}Equação ref {eq: 2.5.3}
(3x ^ 2y ^ 2 , dx + 2x ^ 3y , dy = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 + 2x ^ 3y , {dy over dx} = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 , {dx over dy} + 2x ^ 3y = 0 )
((x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) + 2xy , {dy sobre dx} = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) , {dx over dy} + 2xy = 0 )
(3y sin x , dx-2xy cos x , dy = 0 ) (3y sin x-2xy cos x , {dy over dx} = 0 ) (3y sin x , {dx over dy} -2xy cos x = 0 )

Observe que uma equação separável pode ser escrita como Equação ref {eq: 2.5.1} como

[M (x) , dx + N (y) , dy = 0. enhum número]

iremos desenvolver um método para resolver a Equação ref {eq: 2.5.1} sob suposições apropriadas sobre (M ) e (N ). Este método é uma extensão do método de separação de variáveis. Antes de afirmar, consideramos um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Mostra isso

[ label {eq: 2.5.4} x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = c ]

é uma solução implícita de

[ label {eq: 2.5.5} (4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , dy = 0. ]

Solução

Em relação a (y ) como uma função de (x ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.4} implicitamente em relação a (x ), os rendimentos

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , {dy over dx} = 0. enhum número]

Da mesma forma, considerando (x ) como uma função de (y ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.4} implicitamente em relação a (y ), resulta

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) {dx over dy} + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) = 0. enhum número]

Portanto, a Equação ref {eq: 2.5.4} é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.5} em qualquer uma de suas duas interpretações possíveis.

Você pode pensar que Example ( PageIndex {1} ) é inútil, já que inventar uma equação diferencial que tem uma determinada solução implícita não é particularmente interessante. No entanto, ele ilustra o próximo teorema importante, que provaremos usando a diferenciação implícita, como no Exemplo ( PageIndex {1} ).

Teorema ( PageIndex {1} )

Se (F = F (x, y) ) tem derivadas parciais contínuas (F_x ) e (F_y ), então

[ label {eq: 2.5.6} F (x, y) = c ]

(com (c ) como uma constante) é uma solução implícita da equação diferencial

[ label {eq: 2.5.7} F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy = 0. ]

Prova

Em relação a (y ) como uma função de (x ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.6} implicitamente em relação a (x ), os rendimentos

[F_x (x, y) + F_y (x, y) , {dy over dx} = 0. enhum número]

Por outro lado, considerando (x ) como uma função de (y ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.6} implicitamente em relação a (y ) resulta

[F_x (x, y) , {dx over dy} + F_y (x, y) = 0. enhum número]

Assim, a Equação ref {eq: 2.5.6} é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.7} em qualquer uma de suas duas interpretações possíveis.

Diremos que a equação

[ label {eq: 2.5.8} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ]

é exato em um retângulo aberto (R ) se houver uma função (F = F (x, y) ) como (F_x ) e (F_y ) são contínuas, e

[ label {eq: 2.5.9} F_x (x, y) = M (x, y) quad text {e} quad F_y (x, y) = N (x, y) ]

para todos ((x, y) ) em (R ). Este uso de "exato" está relacionado ao seu uso em cálculo, onde a expressão

[F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy nonumber ]

(obtido substituindo a Equação ref {eq: 2.5.9} no lado esquerdo da Equação ref {eq: 2.5.8}) é o diferencial exato de (F ).

Exemplo ( PageIndex {1} ) mostra que é fácil resolver a Equação ref {eq: 2.5.8} se for exata e conhecemos uma função (F ) que satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.9}. As questões importantes são:

  • Questão 1. Dada uma equação Equation ref {eq: 2.5.8}, como podemos determinar se ela é exata?
  • Questão 2. Se a Equação ref {eq: 2.5.8} for exata, como encontramos uma função (F ) que satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.9}?

Para descobrir a resposta à pergunta 1, suponha que haja uma função (F ) que satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.9} em algum retângulo aberto (R ) e, além disso, (F ) tem derivadas parciais misturadas contínuas (F_ {xy} ) e (F_ {yx} ). Então, um teorema de cálculo implica que [ label {eq: 2.5.10} F_ {xy} = F_ {yx}. ] If (F_x = M ) e (F_y = N ), diferenciando o primeiro dessas equações em relação a (y ) e a segunda em relação a (x ) resulta

[ label {eq: 2.5.11} F_ {xy} = M_y quad text {e} quad F_ {yx} = N_x. ]

A partir da Equação ref {eq: 2.5.10} e da Equação ref {eq: 2.5.11}, concluímos que uma condição necessária para exatidão é (M_y = N_x ). Isso motiva o próximo teorema, que afirmamos sem prova.

Teorema ( PageIndex {2} ): A condição de exatidão

Suponha que (M ) e (N ) sejam contínuos e tenham derivadas parciais contínuas (M_y ) e (N_x ) em um retângulo aberto (R. ) Então

[M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 não numérico ]

é exato em (R ) se e somente se

[ label {eq: 2,5.12} M_y (x, y) = N_x (x, y) ]

para todos ((x, y) ) em (R. ).

Para ajudá-lo a lembrar a condição de exatidão, observe que os coeficientes de (dx ) e (dy ) são diferenciados na Equação ref {eq: 2.5.12} com relação às variáveis ​​“opostas”; isto é, o coeficiente de (dx ) é diferenciado em relação a (y ), enquanto o coeficiente de (dy ) é diferenciado em relação a (x ).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Mostre que a equação

[3x ^ 2y , dx + 4x ^ 3 , dy = 0 não numérico ]

não é exato em qualquer retângulo aberto.

Solução

Aqui

[M (x, y) = 3x ^ 2y quad text {e} quad N (x, y) = 4x ^ 3 nonumber ]

tão

[M_y (x, y) = 3x ^ 2 quad text {e} N_x (x, y) = 12 x ^ 2. enhum número]

Portanto (M_y = N_x ) na linha (x = 0 ), mas não em qualquer retângulo aberto, então não há função (F ) tal que (F_x (x, y) = M (x, y) ) e (F_y (x, y) = N (x, y) ) para todos ((x, y) ) em qualquer retângulo aberto.

O próximo exemplo ilustra dois métodos possíveis para encontrar uma função (F ) que satisfaça a condição (F_x = M ) e (F_y = N ) se (M , dx + N , dy = 0 ) é exato.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolver

[ label {eq: 2.5.13} (4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2) , dy = 0. ]

Solução (Método 1)

Aqui [M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2, quad N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2, nonumber ] e [M_y (x, y) = N_x (x, y) = 12 x ^ 3y ^ 2 nonumber ] para todos ((x, y) ). Portanto, o teorema ( PageIndex {2} ) implica que há uma função (F ) tal que

[ label {eq: 2.5.14} F_x (x, y) = M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2 ]

e

[ label {eq: 2,5.15} F_y (x, y) = N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2 ]

para todos ((x, y) ). Para encontrar (F ), integramos a Equação ref {eq: 2.5.14} com relação a (x ) para obter

[ label {eq: 2.5.16} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + phi (y), ]

onde ( phi (y) ) é a “constante” de integração. (Aqui ( phi ) é "constante" no sentido de que é independente de (x ), a variável de integração.) Se ( phi ) é qualquer função diferenciável de (y ), então ( F ) satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.14}. Para determinar ( phi ) de modo que (F ) também satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.15}, assuma que ( phi ) é diferenciável e diferencie (F ) em relação a ( y ). Isso produz

[F_y (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + phi '(y). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.15} mostra que

[ phi '(y) = 6y ^ 2. enhum número]

Integramos isso em relação a (y ) e consideramos a constante de integração zero porque estamos interessados ​​apenas em encontrar algum (F ) que satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.14} e a Equação ref {eq: 2.5.15}. Isso produz

[ phi (y) = 2y ^ 3. enhum número]

Substituindo isso na Equação ref {eq: 2.5.16} produz

[ label {eq: 2.5.17} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3. ]

Agora o teorema ( PageIndex {1} ) implica que [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3 = c nonumber ] é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.13}. Resolver isso para (y ) produz a solução explícita

[y = left (c-x ^ 3 over2 + x ^ 4 right) ^ {1/3}. enhum número]

Solução (Método 2)

Em vez de primeiro integrar a Equação ref {eq: 2.5.14} com respeito a (x ), poderíamos começar integrando a Equação ref {eq: 2.5.15} com respeito a (y ) para obter

[ label {eq: 2.5.18} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + 2y ^ 3 + psi (x), ]

onde ( psi ) é uma função arbitrária de (x ). Para determinar ( psi ), assumimos que ( psi ) é diferenciável e diferenciamos (F ) em relação a (x ), o que produz

[F_x (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + psi '(x). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.14} mostra que

[ psi '(x) = 3x ^ 2. enhum número]

Integrar isso e, novamente, tomar a constante de integração como zero resulta

[ psi (x) = x ^ 3. enhum número]

Substituindo isso na Equação ref {eq: 2.5.18} resulta na Equação ref {eq: 2.5.17}.

A Figura ( PageIndex {1} ) mostra um campo de direção e algumas curvas integrais da Equação ref {eq: 2.5.13}.

Aqui está um resumo do procedimento usado no Método 1 deste exemplo. Você deve resumir o procedimento usado no Método 2.

HOWTO: Procedimento para resolver uma equação exata (Método 1)

  • Passo 1. Verifique se a equação [ label {eq: 2.5.19} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ] satisfaz a condição de exatidão (M_y = N_x ). Caso contrário, não prossiga com este procedimento.
  • Passo 2. Integre [{ partial F (x, y) over partial x} = M (x, y) nonumber ] em relação a (x ) para obter [ label {eq: 2.5.20} F (x, y) = G (x, y) + phi (y), ] onde (G ) é uma antiderivada de (M ) em relação a (x ), e ( phi ) é uma função desconhecida de (y ).
  • Etapa 3. Diferencie a equação ref {eq: 2.5.20} em relação a (y ) para obter [{ parcial F (x, y) over parcial y} = { parcial G (x, y) over parcial y} + phi '(y). enhum número]
  • Passo 4. Iguale o lado direito desta equação a (N ) e resolva para ( phi '); assim, [{ partial G (x, y) over partial y} + phi '(y) = N (x, y), quad text {so} quad phi' (y) = N (x, y) - { parcial G (x, y) sobre parcial y}. enhum número]
  • Etapa 5. Integre ( phi ') em relação a (y ), tomando a constante de integração como zero, e substitua o resultado na Equação ref {eq: 2.5.20} para obter (F (x, y ) ).
  • Etapa 6. Defina (F (x, y) = c ) para obter uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.19}. Se possível, resolva para (y ) explicitamente como uma função de (x ).

É um erro comum omitir a Etapa 6 no procedimento acima. No entanto, é importante incluir esta etapa, uma vez que F não é em si uma solução da Equação ref {eq: 2.5.19}. Muitas equações podem ser convenientemente resolvidas por qualquer um dos dois métodos usados ​​em Exemplo ( PageIndex {3} ). No entanto, às vezes a integração necessária em uma abordagem é mais difícil do que na outra. Nesses casos, escolhemos a abordagem que requer integração mais fácil.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva a equação

[ label {eq: 2.5.21} left (ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ {2} x right) dx + xe ^ {xy} tan x , dy = 0 ]

Solução

Deixamos para você verificar se (M_y = N_x ) em qualquer retângulo aberto onde ( tan x ) e ( sec x ) estão definidos. Aqui devemos encontrar uma função F tal que

[ label {eq: 2.5.22} F_x (x, y) = ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x ]

e

[ label {eq: 2.5.23} F_y (x, y) = xe ^ {xy} tan x. ]

É difícil integrar a Equação ref {eq: 2.5.22} em relação a (x ), mas é fácil integrar a Equação ref {eq: 2.5.23} em relação a (y ). Isso produz

[ label {eq: 2.5.24} F (x, y) = e ^ {xy} tan x + psi (x). ]

Diferenciar isso em relação a (x ) produz

[F_x (x, y) = y e ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x + psi '(x). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.22} mostra que ( psi '(x) = 0 ). Portanto, ( psi ) é uma constante, que podemos tomar como zero na Equação ref {eq: 2.5.24}, e

[e ^ {xy} tan x = c, nonumber ]

é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.21}.

Tentar aplicar nosso procedimento a uma equação diferencial que não é exata levará ao fracasso na Etapa 4, uma vez que a função

[N - frac { partial G} { partial y} nonumber ]

não será independente de (x ) if (M_y neq N_x ) e, portanto, não pode ser a derivada de uma função de (y ) sozinha. O exemplo ( PageIndex {5} ) ilustra isso.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Verifique se a equação

[ label {eq: 2.5.25} 3x ^ 2y ^ 2 , dx + 6x ^ 3y , dy = 0 ]

não é exato, e mostra que o procedimento para resolver equações exatas falha quando aplicado à Equação ref {eq: 2.5.25}.

Solução

Aqui [M_y (x, y) = 6x ^ 2y quad text {e} quad N_x (x, y) = 18x ^ 2y, nonumber ]

então a Equação ref {eq: 2.5.25} não é exata. No entanto, vamos tentar encontrar uma função (F ) tal que

[ label {eq: 2.5.26} F_x (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 ]

e

[ label {eq: 2.5.27} F_y (x, y) = 6x ^ 3y. ]

Integrando a Equação ref {eq: 2.5.26} com relação a (x ) rendimentos

[F (x, y) = x ^ 3y ^ 2 + phi (y), nonumber ]

e diferenciar isso em relação a (y ) rendimentos

[F_y (x, y) = 2x ^ 3y + phi '(y). enhum número]

Para que esta equação seja consistente com a Equação ref {eq: 2.5.27},

[6x ^ 3y = 2x ^ 3y + phi '(y), nonumber ]

ou

[ phi '(y) = 4x ^ 3y. enhum número]

Isso é uma contradição, já que ( phi ') deve ser independente de (x ). Portanto, o procedimento falha.


Resolvendo Equações Diferenciais Exatas - Exemplos 2

Lembre-se da página de Equações diferenciais exatas que uma equação diferencial da forma $ M (x, y) + N (x, y) frac = 0 $ é considerado exato se existe uma função $ psi (x, y) $ tal que $ frac < partial> < partial x> psi (x, y) = M (x, y) $ e $ frac < partial> < partial y> psi (x, y) = N (x, y) $.

Além disso, notamos que um diferencial é exato se e somente se $ frac < partial> < partial y> M (x, y) = frac < partial> < partial x> N (x, y) $ (e sob algumas condições na continuidade de $ M $, $ N $, $ frac < partial M> < partial y> $ e $ frac < partial N> < partial x> $.

Veremos agora mais alguns exemplos de resolução de equações diferenciais exatas.


Etapa 3 :

Parábola, encontrando o vértice:

3.1 Encontre o vértice de y = 2x 2 -5x-1

As parábolas têm um ponto mais alto ou mais baixo denominado Vértice. Nossa parábola se abre e, portanto, tem um ponto mais baixo (também conhecido como mínimo absoluto). Sabemos disso antes mesmo de traçar "y" porque o coeficiente do primeiro termo, 2, é positivo (maior que zero).

Cada parábola possui uma linha vertical de simetria que passa por seu vértice. Por causa dessa simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois interceptos x (raízes ou soluções) da parábola. Ou seja, se a parábola tiver de fato duas soluções reais.

As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto jogado para cima, após algum período de tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, lançado para cima, pode atingir. Por esta razão, queremos ser capazes de encontrar as coordenadas do vértice.

Para qualquer parábola, Ax 2 + Bx + C, a coordenada x do vértice é dada por -B / (2A). No nosso caso, a coordenada x é 1,2500

Conectando-se à fórmula da parábola 1.2500 para x, podemos calcular a coordenada y:
y = 2,0 * 1,25 * 1,25 - 5,0 * 1,25 - 1,0
ou y = -4,125

Parábola, vértice gráfico e interceptações X:

Gráfico raiz para: y = 2x 2 -5x-1
Eixo de simetria (tracejado) = < 1.25>
Vértice em = < 1.25,-4.12>
x -Intercepts (Roots):
Root 1 em = <-0.19, 0.00>
Root 2 em =

Resolva a equação quadrática completando o quadrado

3.2 Resolvendo 2x 2 -5x-1 = 0 completando o quadrado.

Divida ambos os lados da equação por 2 para ter 1 como o coeficiente do primeiro termo:
x 2 - (5/2) x- (1/2) = 0

Adicione 1/2 a ambos os lados da equação:
x 2 - (5/2) x = 1/2

Agora a parte mais inteligente: pegue o coeficiente de x, que é 5/2, divida por dois, resultando em 5/4 e, finalmente, eleve ao quadrado, resultando em 25/16

Adicione 25/16 a ambos os lados da equação:
No lado direito, temos:
1/2 + 25/16 O denominador comum das duas frações é 16 Adicionando (8/16) + (25/16) dá 33/16
Assim, adicionando os dois lados, finalmente obtemos:
x 2 - (5/2) x + (25/16) = 33/16

Adicionar 25/16 completou o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
x 2 - (5/2) x + (25/16) =
(x- (5/4)) • (x- (5/4)) =
(x- (5/4)) 2
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde a
x 2 - (5/2) x + (25/16) = 33/16 e
x 2 - (5/2) x + (25/16) = (x- (5/4)) 2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(x- (5/4)) 2 = 33/16

Vamos nos referir a esta equação como Eq. # 3.2.1

O Princípio da Raiz Quadrada diz que quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais.

Observe que a raiz quadrada de
(x- (5/4)) 2 é
(x- (5/4)) 2/2 =
(x- (5/4)) 1 =
x- (5/4)

Agora, aplicando o Princípio da Raiz Quadrada à Eq. # 3.2.1 obtemos:
x- (5/4) = √ 33/16

Adicione 5/4 a ambos os lados para obter:
x = 5/4 + √ 33/16

Uma vez que uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
x 2 - (5/2) x - (1/2) = 0
tem duas soluções:
x = 5/4 + √ 33/16
ou
x = 5/4 - √ 33/16

Observe que √ 33/16 pode ser escrito como
√ 33 / √ 16 que é √ 33/4

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática

3.3 Resolvendo 2x 2 -5x-1 = 0 pela Fórmula Quadrática.

De acordo com a Fórmula Quadrática, x, a solução para Ax 2 + Bx + C = 0, onde A, B e C são números, muitas vezes chamados de coeficientes, é dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

Em nosso caso, A = 2
B = -5
C = -1

Consequentemente, B 2 - 4AC =
25 - (-8) =
33

Aplicando a fórmula quadrática:

√ 33, arredondado para 4 dígitos decimais, é 5,7446
Portanto, agora estamos olhando para:
x = (5 ± 5,745) / 4


A tentativa de uma solução

(y 3 + kxy 4 -2 * x) dx + (3xy 2 + 20x 2 y 3) dy = 0

dM / dy = d / dy (y 3 + kxy 4 -2 * x) = 4 * k * y 3 * x + 3 * y 2

dN / dx = d / dx (3xy 2 + 20x 2 y 3) = 40 * x * y 3 + 3 * y 2

Depois disso, realmente não tenho ideia de como continuar com isso.

K tem que ser 10.
Mas nesta equação em particular é muito fácil de detectar, mas e se as duas partes forem muito diferentes, como devo proceder?

K tem que ser 10.
Mas nesta equação em particular é muito fácil de detectar, mas e se as duas partes forem muito diferentes, como devo proceder?

obrigado também, por encontrar a solução da equação atual depois de encontrar k = 10

eu faço
integral (40 * x * y 3 + 3 * y 2) dx = 20 * x 2 * y 3 + 3 * x * y 2
integral (40 * x * y 3 + 3 * y 2) dy = 10 * y 4 * x + y 3

Procuro os mesmos termos em ambos os resultados, mas aqui vejo que não há.

então c = 20 * x 2 * y 3 + 3 * x * y 2 + 10 * y 4 * x + y 3

obrigado também, por encontrar a solução da equação atual depois de encontrar k = 10

eu faço
integral (40 * x * y 3 + 3 * y 2) dx = 20 * x 2 * y 3 + 3 * x * y 2
integral (40 * x * y 3 + 3 * y 2) dy = 10 * y 4 * x + y 3

Procuro os mesmos termos em ambos os resultados, mas aqui vejo que não há.

então c = 20 * x 2 * y 3 + 3 * x * y 2 + 10 * y 4 * x + y 3

Não. Integre M em relação ax, tendo em mente que pode haver uma "constante" de integração que seria uma constante ou uma função de y apenas, digamos g (y).
Em seguida, integre N com respeito ay, também tendo em mente que poderia haver uma "constante" de integração que seria uma constante ou uma função de x apenas, digamos h (x).

O que você está fazendo aqui é presumir que existe uma equação F (x, y) = C. Se você tirar a derivada total de ambos os lados, obterá
$ frac < partial F> < partial x> dx + frac < partial F> < partial y> dy = 0 $
Aqui, M = ## frac < partial F> < partial x> ## e N = ## frac < partial F> < partial y> ##, e você está tentando reconstruir F a partir de seu duas derivadas parciais.


Carta

Vivo-Truyols, van der Wal e Schoenmakers contribuíram com um artigo para este Journal (1) no qual estudaram a perda de capacidade de pico teórica em gradiente e separações isocráticas LC X LC online. Junto com várias outras questões, os autores consideraram a contribuição do alargamento do pico extra-coluna para os efeitos de alargamento da coluna normal há muito observados por aqueles que estudam HPLC.

Como parte de sua discussão, os autores derivaram uma equação aproximada, mas, no entanto, formidável relacionando a capacidade de pico isocrático com a contagem de placas (N), fator de resolução (Rs), tempos de retenção dos primeiros e últimos picos (tR, 1 e TR, n), coeficiente de alargamento (d 2) e tempo de injeção ou amostragem (t),

A derivação da equação (1) (eq 16 na ref 1) foi apresentada em um adendo de informações suplementares. Lá, os autores invocaram uma recursão e duas expansões da série de Taylor.

Encontramos uma solução exata que depende da solução analítica para uma integral em vez do primeiro termo de uma expansão em série. A derivação detalhada é anexada como informação suplementar. A equação é

Em que sinh -1 é o arco seno hiperbólico, e & # x003c3ex é a medida da largura do pico devido ao alargamento extra-coluna, que é igual a t / d. Conforme mostrado em nosso suplemento e na figura ao lado, no limite de & # x003c3ex aproxima-se de zero, esta equação torna-se idêntica à equação derivada por Grushka para a capacidade de pico isocrático (2). Curiosamente, quando & # x003c3ex é totalmente dominante sobre & # x003c3col (alargamento da coluna) esta equação torna-se idêntica em forma à equação para capacidade de pico em cromatografia de gradiente, assumindo uma largura de pico constante (2). A equação (3) prevê o comportamento observado nos extremos de alargamento extra-coluna forte e insignificante.

Uma comparação das equações exatas e aproximadas dos Vivo-Truyols é mostrada na Figura 1. O eixo vertical mostra dois conjuntos de proporções. A primeira é a razão das capacidades de pico teóricas calculadas com a Eq. (1) para aquelas calculadas sem alargamento de coluna extra (usando a Eq. (3) na ref 2). A segunda é uma razão semelhante calculada usando a equação exata, Eq. (3). O eixo horizontal é a proporção do desvio padrão extra-coluna (& # x003c3ex) para o desvio padrão da coluna (& # x003c3col) Quando as proporções & # x003c3ex/ & # x003c3col são extremos, ambas as equações exata e aproximada concordam completamente. No entanto, para proporções na faixa média (0-1), diferenças de cerca de 2,5% são encontradas. As suposições nesses cálculos são que N = 10.000 placas, t (tempo de amostragem) varia de 1 ms a 40 s, o primeiro tempo de retenção de pico é de 120 s e o último tempo de retenção de pico é de 600 s, e Rs = 1.0.

Razões teóricas de capacidade de pico em função da razão de alargamento extra-coluna para coluna para as equações exatas e aproximadas.


1. Introdução

As equações diferenciais fracionárias são generalizações das equações diferenciais clássicas de ordem inteira. Nas últimas décadas, as equações diferenciais fracionárias têm sido o foco de muitos estudos devido ao seu aparecimento frequente em várias aplicações na física, biologia, engenharia, processamento de sinais, identificação de sistemas, teoria de controle, finanças e dinâmica fracionária. Muitos artigos investigaram alguns aspectos das equações diferenciais fracionárias, como a existência e unicidade de soluções para problemas do tipo Cauchy, os métodos para soluções explícitas e numéricas e a estabilidade das soluções [1-8]. Em [9], Jafari et al. aplicou o método de sub-equação fracionária para construir soluções exatas do modelo de Duffing de reação generalizada fracionária e equação fracionária de Sharma-Tasso-Olver não linear. Em [10], Baleanu et al. estudou a existência e a unicidade da solução para um problema de valor de contorno de equação diferencial fracionária não linear usando métodos de ponto fixo. Em [11], Nyamoradi et al. investigou a existência de soluções para o problema do valor limite multiponto de uma inclusão diferencial de ordem fracionária.

Entre as investigações para equações diferenciais fracionárias, a pesquisa em busca de soluções exatas e soluções numéricas de equações diferenciais fracionárias é um tópico importante. Muitos métodos poderosos e eficientes foram propostos para obter soluções numéricas e soluções exatas de equações diferenciais fracionárias até o momento. Por exemplo, esses métodos incluem o método de decomposição de Adomian [12-14], o método iterativo variacional [15-22], o método de perturbação de homotopia [23-26], o método de transformação diferencial [27], o método de diferença finita [28 ], o método dos elementos finitos [29], o método da subequação fracionária de Riccati [30–32] e assim por diante. Nessas investigações, notamos que muitos autores buscaram soluções exatas e numéricas para equações diferenciais parciais fracionárias (FPDEs) no sentido da derivada de Riemann-Liouville modificada (por exemplo, ver [16, 17, 30–34]). Com base nesses métodos, uma variedade de equações diferenciais fracionárias foi investigada.

Neste artigo, propomos um novo método de sub-equação fracionária para estabelecer soluções exatas para equações diferenciais parciais fracionárias (FPDEs) no sentido da derivada de Riemann-Liouville modificada definida por Jumarie [35], que é uma versão fracionária do conhecido ( Método G ′ / G) [36–39]. Este método é baseado no seguinte ODE fracionário:

onde D ξ α G (ξ) denota o derivado de Riemann-Liouville modificado de ordem α para G (ξ) com respeito a ξ.

O restante deste trabalho está organizado da seguinte forma. Na Seção 2, apresentamos algumas definições e propriedades da derivada de Riemann-Liouville modificada de Jumarie e a expressão para D ξ α G (ξ) G (ξ) relacionada à Eq. (1). Na Seção 3, damos a descrição do método de subequações fracionárias para resolver FPDEs. Em seguida, na Seção 4, aplicamos esse método para estabelecer soluções exatas para a equação de Fokas fracionária no espaço-tempo, as equações de onda longa dispersivas (2 + 1) -dimensionais no espaço-tempo fracionárias e a equação de Sawada-Kotera de quinta ordem no espaço-tempo fracionário . Algumas conclusões são apresentadas ao final do artigo.


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6.5 Equações Polinomiais

Gastamos um tempo considerável aprendendo como fatorar polinômios. Vamos agora olhar para as equações polinomiais e resolvê-las usando fatoração, se possível.

Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

Equação Polinomial

UMA equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial.

O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

Já resolvemos equações polinomiais de grau um. As equações polinomiais de grau um são equações lineares na forma a x + b = c. a x + b = c.

Agora vamos resolver equações polinomiais de grau dois. Uma equação polinomial de grau dois é chamada de equação quadrática. Listados abaixo estão alguns exemplos de equações quadráticas:

A última equação não parece ter a variável ao quadrado, mas quando simplificamos a expressão à esquerda, obteremos n 2 + n. n 2 + n.

Equação quadrática

Uma equação da forma a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 é chamada de equação quadrática.

Para resolver equações quadráticas, precisamos de métodos diferentes daqueles que usamos para resolver equações lineares. Veremos um método aqui e depois vários outros em um capítulo posterior.

Use a propriedade de produto zero

Iremos primeiro resolver algumas equações quadráticas usando a propriedade de produto zero. A Propriedade de Produto Zero diz que se o produto de duas quantidades é zero, então pelo menos uma das quantidades é zero. A única maneira de obter um produto igual a zero é multiplicar pelo próprio zero.

Propriedade de Produto Zero

Agora usaremos a propriedade do produto zero para resolver uma equação quadrática.

Exemplo 6.44

Como resolver uma equação quadrática usando a propriedade de produto zero

Resolva: (5 n - 2) (6 n - 1) = 0. (5 n - 2) (6 n - 1) = 0.

Solução

Resolva: (3 m - 2) (2 m + 1) = 0. (3 m - 2) (2 m + 1) = 0.

Resolva: (4 p + 3) (4 p - 3) = 0. (4 p + 3) (4 p - 3) = 0.

Como

Use a propriedade Zero Product.

  1. Etapa 1. Defina cada fator igual a zero.
  2. Etapa 2. Resolva as equações lineares.
  3. Etapa 3. Verifique.

Resolva equações quadráticas por fatoração

A propriedade Zero Product funciona muito bem para resolver equações quadráticas. A equação quadrática deve ser fatorada, com zero isolado em um lado. Portanto, devemos ter certeza de começar com a equação quadrática na forma padrão, a x 2 + b x + c = 0. a x 2 + b x + c = 0. Então, devemos fatorar a expressão à esquerda.

Exemplo 6.45

Como resolver uma equação quadrática por fatoração

Solução

Como

Resolva uma equação quadrática por fatoração.

Antes de fatorar, devemos ter certeza de que a equação quadrática está na forma padrão.

Resolver equações quadráticas por fatoração fará uso de todas as técnicas de fatoração que você aprendeu neste capítulo! Você reconhece o padrão especial do produto no próximo exemplo?

Exemplo 6.46

Solução

Deixamos o cheque com você.

No próximo exemplo, o lado esquerdo da equação é fatorado, mas o lado direito não é zero. Para usar a Propriedade do Produto Zero, um lado da equação deve ser zero. Vamos multiplicar os fatores e, em seguida, escrever a equação no formato padrão.

Exemplo 6.47

Resolva: (3 x - 8) (x - 1) = 3 x. (3 x - 8) (x - 1) = 3 x.

Solução

Resolva: (2 m + 1) (m + 3) = 1 2 m. (2 m + 1) (m + 3) = 1 2 m.

No próximo exemplo, quando fatoramos a equação quadrática, obteremos três fatores. No entanto, o primeiro fator é uma constante. Sabemos que o fator não pode ser igual a 0.

Exemplo 6.48

Solução

A Propriedade de Produto Zero também se aplica ao produto de três ou mais fatores. Se o produto for zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Podemos resolver algumas equações de grau maior que dois usando a Propriedade do Produto Zero, assim como resolvemos equações quadráticas.

Exemplo 6.49

Resolva: 9 m 3 + 100 m = 60 m 2. 9 m 3 + 100 m = 60 m 2.

Solução

Resolva: 8 x 3 = 24 x 2 - 18 x. 8 x 3 = 24 x 2 - 18 x.

Resolva: 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y. 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y.

Resolva Equações com Funções Polinomiais

Conforme nosso estudo de funções polinomiais continua, muitas vezes será importante saber quando a função terá um determinado valor ou quais pontos estão no gráfico da função. Nosso trabalho com a Propriedade do Produto Zero nos ajudará a encontrar essas respostas.

Exemplo 6.50

Para a função f (x) = x 2 + 2 x - 2, f (x) = x 2 + 2 x - 2,

Solução

Para a função f (x) = x 2 - 2 x - 8, f (x) = x 2 - 2 x - 8,

Para a função f (x) = x 2 - 8 x + 3, f (x) = x 2 - 8 x + 3,

A propriedade Zero Product também nos ajuda a determinar onde a função é zero. Um valor de x onde a função é 0, é chamado de zero da função.

Zero de uma função

Exemplo 6.51

Para a função f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8, f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8, encontre

Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptos do gráfico da função

Solução

Ⓐ Para encontrar os zeros da função, precisamos encontrar quando o valor da função é 0.

Para a função f (x) = 2 x 2 - 7 x + 5, f (x) = 2 x 2 - 7 x + 5, encontre

Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

Para a função f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15, f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15, encontre

Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

Resolva aplicativos modelados por equações polinomiais

A estratégia de solução de problemas que usamos anteriormente para aplicativos que se traduzem em equações lineares funcionará tão bem para aplicativos que se traduzem em equações polinomiais. Copiaremos a estratégia de solução de problemas aqui para que possamos usá-la como referência.

Como

Use uma estratégia de resolução de problemas para resolver problemas com palavras.

  1. Passo 1. Leitura o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Passo 2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Passo 4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Etapa 5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
  6. Etapa 6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Etapa 7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Começaremos com um problema de número para praticar a tradução de palavras em uma equação polinomial.

Exemplo 6.52

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 323. Encontre os inteiros.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando. Procuramos dois inteiros consecutivos.
Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Seja n = o primeiro inteiro. n = o primeiro inteiro.
n + 2 = próximo inteiro ímpar consecutivo n + 2 = próximo inteiro ímpar consecutivo
Etapa 4. Traduzir em uma equação. Repita o problema em uma frase. O produto dos dois inteiros ímpares consecutivos é 323.
n (n + 2) = 323 n (n + 2) = 323
Etapa 5. Resolva a equação. n 2 + 2 n = 323 n 2 + 2 n = 323
Traga todos os termos de lado. n 2 + 2 n − 323 = 0 n 2 + 2 n − 323 = 0
Factor the trinomial. ( n − 17 ) ( n + 19 ) = 0 ( n − 17 ) ( n + 19 ) = 0
Use a propriedade Zero Product.
Solve the equations.
n − 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19 n − 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19
There are two values for n that are solutions to this problem. So there are two sets of consecutive odd integers that will work.
If the first integer is n = 17 n = 17 If the first integer is n = −19 n = −19
then the next odd integer is then the next odd integer is
n + 2 n + 2 n + 2 n + 2
17 + 2 17 + 2 − 19 + 2 − 19 + 2
19 19 − 17 − 17
17 , 19 17 , 19 − 17 , −19 − 17 , −19
Step 6. Check the answer.
The results are consecutive odd integers
17 , 19 and − 19 , −17 . 17 , 19 and − 19 , −17 .
17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓ 17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓
Both pairs of consecutive integers are solutions.
Step 7. Answer the question The consecutive integers are 17, 19 and − 19 , −17 . − 19 , −17 .

The product of two consecutive odd integers is 255. Find the integers.

The product of two consecutive odd integers is 483 Find the integers.

Were you surprised by the pair of negative integers that is one of the solutions to the previous example? The product of the two positive integers and the product of the two negative integers both give positive results.

In some applications, negative solutions will result from the algebra, but will not be realistic for the situation.

Example 6.53

A rectangular bedroom has an area 117 square feet. The length of the bedroom is four feet more than the width. Find the length and width of the bedroom.

Solução

Step 1. Read o problema. In problems involving
geometric figures, a sketch can help you visualize
the situation.
Step 2. Identify what you are looking for. We are looking for the length and width.
Step 3. Name what you are looking for. Let w = w = the width of the bedroom.
The length is four feet more than the width. w + 4 = w + 4 = the length of the garden
Step 4. Translate into an equation.
Restate the important information in a sentence. The area of the bedroom is 117 square feet.
Use the formula for the area of a rectangle. A = l · w A = l · w
Substitute in the variables. 117 = ( w + 4 ) w 117 = ( w + 4 ) w
Step 5. Solve the equation Distribute first. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
Get zero on one side. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
Factor the trinomial. 0 = w 2 + 4 w − 117 0 = w 2 + 4 w − 117
Use a propriedade Zero Product. 0 = ( w 2 + 13 ) ( w − 9 ) 0 = ( w 2 + 13 ) ( w − 9 )
Solve each equation. 0 = w + 13 0 = w − 9 0 = w + 13 0 = w − 9
Desde a C is the width of the bedroom, it does not
make sense for it to be negative. We eliminate that value for C.
−13 = w 9 = w −13 = w 9 = w
w = 9 w = 9 Width is 9 feet.
Find the value of the length. w + 4 w + 4
9 + 4 9 + 4
13 Length is 13 feet.
Step 6. Check the answer.
Does the answer make sense?


Yes, this makes sense.
Step 7. Answer the question. The width of the bedroom is 9 feet and
the length is 13 feet.

A rectangular sign has an area of 30 square feet. The length of the sign is one foot more than the width. Find the length and width of the sign.

A rectangular patio has an area of 180 square feet. The width of the patio is three feet less than the length. Find the length and width of the patio.

We will use this formula to in the next example.

Example 6.54

A boat’s sail is in the shape of a right triangle as shown. The hypotenuse will be 17 feet long. The length of one side will be 7 feet less than the length of the other side. Find the lengths of the sides of the sail.

Solução

Step 1. Read the problem
Step 2. Identify what you are looking for. We are looking for the lengths of the
sides of the sail.
Step 3. Name what you are looking for.
One side is 7 less than the other.
Let x = x = length of a side of the sail.
x − 7 = x − 7 = length of other side
Step 4. Translate into an equation. Since this is a
right triangle we can use the Pythagorean Theorem.
a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Substitute in the variables. x 2 + ( x − 7 ) 2 = 17 2 x 2 + ( x − 7 ) 2 = 17 2
Step 5. Solve the equation
Simplificar.
x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 289 x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 289
2 x 2 − 14 x + 49 = 289 2 x 2 − 14 x + 49 = 289
É uma equação quadrática, então obtenha zero de um lado. 2 x 2 − 14 x − 240 = 0 2 x 2 − 14 x − 240 = 0
Factor the greatest common factor. 2 ( x 2 − 7 x − 120 ) = 0 2 ( x 2 − 7 x − 120 ) = 0
Factor the trinomial. 2 ( x − 15 ) ( x + 8 ) = 0 2 ( x − 15 ) ( x + 8 ) = 0
Use a propriedade Zero Product. 2 ≠ 0 x − 15 = 0 x + 8 = 0 2 ≠ 0 x − 15 = 0 x + 8 = 0
Solve. 2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
Desde a x is a side of the triangle, x = −8 x = −8 does not
make sense.
2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
Find the length of the other side.
If the length of one side is
then the length of the other side is



8 is the length of the other side.
Step 6. Check the answer in the problem
Do these numbers make sense?

Step 7. Answer the question The sides of the sail are 8, 15 and 17 feet.

Justine wants to put a deck in the corner of her backyard in the shape of a right triangle. The length of one side of the deck is 7 feet more than the other side. The hypotenuse is 13. Find the lengths of the two sides of the deck.

A meditation garden is in the shape of a right triangle, with one leg 7 feet. The length of the hypotenuse is one more than the length of the other leg. Find the lengths of the hypotenuse and the other leg.

The next example uses the function that gives the height of an object as a function of time when it is thrown from 80 feet above the ground.

Example 6.55

Dennis is going to throw his rubber band ball upward from the top of a campus building. When he throws the rubber band ball from 80 feet above the ground, the function h ( t ) = −16 t 2 + 64 t + 80 h ( t ) = −16 t 2 + 64 t + 80 models the height, h, of the ball above the ground as a function of time, t. Achar:

ⓐ the zeros of this function which tell us when the ball hits the ground, ⓑ when the ball will be 80 feet above the ground, ⓒ the height of the ball at t = 2 t = 2 seconds.

Solução

ⓐ The zeros of this function are found by solving h ( t ) = 0 . h ( t ) = 0 . This will tell us when the ball will hit the ground.

ⓑ The ball will be 80 feet above the ground when h ( t ) = 80 . h ( t ) = 80 .

Genevieve is going to throw a rock from the top a trail overlooking the ocean. When she throws the rock upward from 160 feet above the ocean, the function h ( t ) = −16 t 2 + 48 t + 160 h ( t ) = −16 t 2 + 48 t + 160 models the height, h, of the rock above the ocean as a function of time, t. Achar:

ⓐ the zeros of this function which tell us when the rock will hit the ocean, ⓑ when the rock will be 160 feet above the ocean, ⓒ the height of the rock at t = 1.5 t = 1.5 seconds.

Calib is going to throw his lucky penny from his balcony on a cruise ship. When he throws the penny upward from 128 feet above the ground, the function h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 128 h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 128 models the height, h, of the penny above the ocean as a function of time, t. Achar:

ⓐ the zeros of this function which is when the penny will hit the ocean, ⓑ when the penny will be 128 feet above the ocean, ⓒ the height the penny will be at t = 1 t = 1 seconds which is when the penny will be at its highest point.

Meios de comunicação

Access this online resource for additional instruction and practice with quadratic equations.

Section 6.5 Exercises

A prática leva à perfeição

Use the Zero Product Property

Nos exercícios a seguir, resolva.

Solve Quadratic Equations by Factoring

Nos exercícios a seguir, resolva.

Solve Equations with Polynomial Functions

Nos exercícios a seguir, resolva.

In the following exercises, for each function, find: ⓐ the zeros of the function ⓑ the x-intercepts of the graph of the function ⓒ the y-intercept of the graph of the function.

Solve Applications Modeled by Quadratic Equations

Nos exercícios a seguir, resolva.

The product of two consecutive odd integers is 143. Find the integers.

The product of two consecutive odd integers is 195. Find the integers.

The product of two consecutive even integers is 168. Find the integers.

The product of two consecutive even integers is 288. Find the integers.

The area of a rectangular carpet is 28 square feet. The length is three feet more than the width. Find the length and the width of the carpet.

A rectangular retaining wall has area 15 square feet. The height of the wall is two feet less than its length. Find the height and the length of the wall.

The area of a bulletin board is 55 square feet. The length is four feet less than three times the width. Find the length and the width of the a bulletin board.

A rectangular carport has area 150 square feet. The width of the carport is five feet less than twice its length. Find the width and the length of the carport.

A pennant is shaped like a right triangle, with hypotenuse 10 feet. The length of one side of the pennant is two feet longer than the length of the other side. Find the length of the two sides of the pennant.

A stained glass window is shaped like a right triangle. The hypotenuse is 15 feet. One leg is three more than the other. Find the lengths of the legs.

A reflecting pool is shaped like a right triangle, with one leg along the wall of a building. The hypotenuse is 9 feet longer than the side along the building. The third side is 7 feet longer than the side along the building. Find the lengths of all three sides of the reflecting pool.

A goat enclosure is in the shape of a right triangle. One leg of the enclosure is built against the side of the barn. The other leg is 4 feet more than the leg against the barn. The hypotenuse is 8 feet more than the leg along the barn. Find the three sides of the goat enclosure.

Juli is going to launch a model rocket in her back yard. When she launches the rocket, the function h ( t ) = −16 t 2 + 32 t h ( t ) = −16 t 2 + 32 t models the height, h, of the rocket above the ground as a function of time, t. Achar:

ⓐ the zeros of this function, which tell us when the rocket will be on the ground. ⓑ the time the rocket will be 16 feet above the ground.

Gianna is going to throw a ball from the top floor of her middle school. When she throws the ball from 48 feet above the ground, the function h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 48 h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 48 models the height, h, of the ball above the ground as a function of time, t. Achar:

ⓐ the zeros of this function which tells us when the ball will hit the ground. ⓑ the time(s) the ball will be 48 feet above the ground. ⓒ the height the ball will be at t = 1 t = 1 seconds which is when the ball will be at its highest point.

Exercícios de escrita

Explain how you solve a quadratic equation. How many answers do you expect to get for a quadratic equation?

Give an example of a quadratic equation that has a GCF and none of the solutions to the equation is zero.

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

ⓑ Overall, after looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Por que ou por que não?

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    • Authors: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Book title: Intermediate Algebra 2e
    • Publication date: May 6, 2020
    • Local: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-5-polynomial-equations

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    How to Find the Equation of a Tangent Line

    Este artigo foi coautor de Jake Adams. Jake Adams é um tutor acadêmico e proprietário da Simplifi EDU, uma empresa de tutoria online com sede em Santa Monica, Califórnia, que oferece recursos de aprendizagem e tutores online para disciplinas acadêmicas K-College, preparação para SAT & amp ACT e inscrições para admissões em faculdades. Com mais de 14 anos de experiência em tutoria profissional, Jake se dedica a fornecer a seus clientes a melhor experiência de tutoria online e acesso a uma rede de excelentes tutores de graduação e pós-graduação das melhores faculdades de todo o país. Jake é bacharel em Negócios Internacionais e Marketing pela Pepperdine University.

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    Unlike a straight line, a curve's slope constantly changes as you move along the graph. Calculus introduces students to the idea that each point on this graph could be described with a slope, or an "instantaneous rate of change." The tangent line is a straight line with that slope, passing through that exact point on the graph. To find the equation for the tangent, you'll need to know how to take the derivative of the original equation.


    SOLUTION: solve the following equations (give the exact answer) and then approximate the answer by rounding to 3 decimal places. 2/5=4/1+e^6x

    But for various reasons I suspect that what you meant was:

    If I am correct, then please use parentheses to clarify your expressions. Por exemplo:
    2/5=4/(1+e^(6x))
    If I am wrong about your equation then the rest of this will not help you.

    First let's eliminate the fractions by multiplying both sides by the lowest common denominator, :


    Next let's isolate the base and its exponent. Subtracting 2:

    • Choosing a base of logarithm that matches the base of the exponent will result in the simplest possible expression for the solution.
    • Choosing a base of logarithm that your calculator "knows" (base 10, "log", or base e, "ln") will result in an expression that will be easy to convert into a decimal approximation.

    Next we use a property of logarithms, , which let's us move the exponent of the argument out in front. (It is this very property that is the reason we use logarithms on equations like this. It give us a way to move the exponent, where the variable is, out in front where we can then "get at" the variable with "regular" algebra.) Using this property we get:

    By definition ln(e) = 1. (This is why matching the bases of the exponent and logarithm leads to the simplest possible expression for the solution.)

    Now we can solve for x. Dividing by 6:

    This is an exact expression for the solution to your equation. You were also asked to find a rounded decimal approximation for the answer. I'll leave that up to you and your calculator. (Just make sure you find ln(9) first and then divide by 6.)


    Watch the video: EDO-005 Equações Diferenciais Exatas (Dezembro 2021).