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3.5: A Equação Logística


objetivos de aprendizado

  • Descreva o conceito de capacidade de suporte ambiental no modelo logístico de crescimento populacional.
  • Desenhe um campo de direção para uma equação logística e interprete as curvas de solução.
  • Resolva uma equação logística e interprete os resultados.

As equações diferenciais podem ser usadas para representar o tamanho de uma população, pois ela varia ao longo do tempo. Vimos isso em um capítulo anterior na seção sobre crescimento exponencial e decadência, que é o modelo mais simples. Um modelo mais realista inclui outros fatores que afetam o crescimento da população. Nesta seção, estudamos a equação diferencial logística e vemos como ela se aplica ao estudo da dinâmica populacional no contexto da biologia.

Crescimento populacional e capacidade de suporte

Para modelar o crescimento da população usando uma equação diferencial, primeiro precisamos introduzir algumas variáveis ​​e termos relevantes. A variável (t ). representará o tempo. As unidades de tempo podem ser horas, dias, semanas, meses ou até anos. Qualquer problema deve especificar as unidades usadas naquele problema particular. A variável (P ) representará a população. Como a população varia ao longo do tempo, ela é considerada uma função do tempo. Portanto, usamos a notação (P (t) ) para a população em função do tempo. Se (P (t) ) é uma função diferenciável, então a primeira derivada ( frac {dP} {dt} ) representa a taxa instantânea de mudança da população em função do tempo.

Em Exponential Growth and Decay, estudamos o crescimento exponencial e o decaimento de populações e substâncias radioativas. Um exemplo de uma função de crescimento exponencial é (P (t) = P_0e ^ {rt}. ) Nesta função, (P (t) ) representa a população no tempo (t, P_0 ) representa o população inicial (população no momento (t = 0 )), e a constante (r> 0 ) é chamada de taxa de crescimento. A Figura ( PageIndex {1} ) mostra um gráfico de (P (t) = 100e ^ {0,03t} ). Aqui (P_0 = 100 ) e (r = 0,03 ).

Podemos verificar que a função (P (t) = P_0e ^ {rt} ) satisfaz o problema do valor inicial

[ dfrac {dP} {dt} = rP ]

com (P (0) = P_0. )

Esta equação diferencial tem uma interpretação interessante. O lado esquerdo representa a taxa na qual a população aumenta (ou diminui). O lado direito é igual a uma constante positiva multiplicada pela população atual. Portanto, a equação diferencial afirma que a taxa na qual a população aumenta é proporcional à população naquele momento. Além disso, afirma que a constante de proporcionalidade nunca muda.

Um problema com essa função é sua previsão de que, com o passar do tempo, a população cresce sem limites. Isso não é realista em um cenário do mundo real. Vários fatores limitam a taxa de crescimento de uma determinada população, incluindo taxa de natalidade, taxa de mortalidade, suprimento de alimentos, predadores e assim por diante. A constante de crescimento (r ) geralmente leva em consideração as taxas de natalidade e mortalidade, mas nenhum dos outros fatores, e pode ser interpretada como uma taxa de crescimento percentual líquida (nascimento menos morte) por unidade de tempo. Uma pergunta natural a se fazer é se a taxa de crescimento da população permanece constante ou se muda com o tempo. Os biólogos descobriram que, em muitos sistemas biológicos, a população cresce até que uma certa população em estado estacionário seja alcançada. Essa possibilidade não é levada em consideração com o crescimento exponencial. No entanto, o conceito de capacidade de suporte permite a possibilidade de que, em uma determinada área, apenas um certo número de um determinado organismo ou animal possa prosperar sem se deparar com problemas de recursos.

Definição: capacidade de carga

O capacidade de carga de um organismo em um determinado ambiente é definido como a população máxima desse organismo que o ambiente pode sustentar indefinidamente.

Usamos a variável (K ) para denotar a capacidade de suporte. A taxa de crescimento é representada pela variável (r ). Usando essas variáveis, podemos definir a equação diferencial logística.

Definição: Equação Diferencial Logística

Seja (K ) a capacidade de suporte de um determinado organismo em um determinado ambiente, e seja (r ) um número real que representa a taxa de crescimento. A função (P (t) ) representa a população deste organismo em função do tempo (t ), e a constante (P_0 ) representa a população inicial (população do organismo no tempo (t = 0 )). Então o equação diferencial logística é

[ dfrac {dP} {dt} = rP esquerda (1− dfrac {P} {K} direita). label {LogisticDiffEq} ]

A equação logística foi publicada pela primeira vez por Pierre Verhulst em (1845 ). Esta equação diferencial pode ser acoplada à condição inicial (P (0) = P_0 ) para formar um problema de valor inicial para (P (t). )

Suponha que a população inicial seja pequena em relação à capacidade de suporte. Então ( frac {P} {K} ) é pequeno, possivelmente próximo de zero. Assim, a quantidade entre parênteses no lado direito da Equação ref {LogisticDiffEq} é próxima a (1 ), e o lado direito desta equação é próxima a (rP ). Se (r> 0 ), então a população cresce rapidamente, assemelhando-se ao crescimento exponencial.

Porém, conforme a população cresce, a razão ( frac {P} {K} ) também cresce, porque (K ) é constante. Se a população permanecer abaixo da capacidade de suporte, então ( frac {P} {K} ) é menor que (1 ), então (1− frac {P} {K}> 0 ). Portanto, o lado direito da Equação ref {LogisticDiffEq} ainda é positivo, mas a quantidade entre parênteses fica menor e a taxa de crescimento diminui como resultado. Se (P = K ), então o lado direito é igual a zero e a população não muda.

Agora, suponha que a população comece com um valor superior à capacidade de suporte. Então ( frac {P} {K}> 1, ) e (1− frac {P} {K} <0 ). Então, o lado direito da Equação ref {LogisticDiffEq} é negativo e a população diminui. Enquanto (P> K ), a população diminui. Na verdade, nunca atinge K porque ( frac {dP} {dt} ) ficará cada vez menor, mas a população se aproxima da capacidade de suporte à medida que (t ) se aproxima do infinito. Essa análise pode ser representada visualmente por meio de uma linha de fase. UMA linha de fase descreve o comportamento geral de uma solução para uma equação diferencial autônoma, dependendo da condição inicial. Para o caso de capacidade de suporte na equação logística, a linha de fase é mostrada na Figura ( PageIndex {2} ).

Esta linha de fase mostra que quando (P ) é menor que zero ou maior que (K ), a população diminui com o tempo. Quando (P ) está entre (0 ) e (K ), a população aumenta com o tempo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Examinando a capacidade de carga de uma população de cervos

Vamos considerar a população de veados-de-cauda-branca (Odocoileus virginianus) no estado de Kentucky. O Departamento de Recursos de Peixes e Vida Selvagem de Kentucky (KDFWR) define diretrizes para caça e pesca no estado. Antes da temporada de caça de 2004, estimava-se uma população de 900.000 veados. Johnson observa: “Uma população de cervos que tem muito para comer e não é caçada por humanos ou outros predadores dobrará a cada três anos”. (George Johnson, "The Problem of Exploding Deer Populations Has No Attractive Solutions", 12 de janeiro de 2001, acessado em 9 de abril de 2015)

Esta observação corresponde a uma taxa de aumento (r = dfrac { ln (2)} {3} = 0,2311, ) então a taxa de crescimento aproximada é 23,11% ao ano. (Isso pressupõe que a população cresce exponencialmente, o que é razoável –– pelo menos no curto prazo –– com abundância de alimentos e nenhum predador.) O KDFWR também relata densidades populacionais de veados para 32 condados em Kentucky, a média dos quais é de aproximadamente 27 veados por milha quadrada. Suponha que esta seja a densidade de cervos para todo o estado (39.732 milhas quadradas). A capacidade de carga (K ) é 39.732 milhas quadradas vezes 27 veados por milha quadrada, ou 1.072.764 veados.

  1. Para esta aplicação, temos (P_0 = 900.000, K = 1.072.764, ) e (r = 0,2311. ) Substitua esses valores na Equação ref {LogisticDiffEq} e forme o problema do valor inicial.
  2. Resolva o problema do valor inicial da parte a.
  3. De acordo com este modelo, qual será a população em (3 ) anos? Lembre-se de que o tempo de duplicação previsto por Johnson para a população de veados foi de (3 ) anos. Como esses valores se comparam?

Suponha que a população conseguiu alcançar 1,200,000 O que a equação logística prevê que acontecerá à população neste cenário?

Solução

uma. O problema do valor inicial é

[ dfrac {dP} {dt} = 0,2311P left (1− dfrac {P} {1.072.764} right), , , P (0) = 900.000. enhum número]

b. A equação logística é uma equação diferencial autônoma, portanto podemos usar o método de separação de variáveis.

Passo 1: Definir o lado direito igual a zero resulta em (P = 0 ) e (P = 1.072.764. ) Isso significa que se a população começar do zero, ela nunca mudará, e se começar no carregamento capacidade, isso nunca vai mudar.

Etapa 2: Reescreva a equação diferencial e multiplique os dois lados por:

[ begin {align *} dfrac {dP} {dt} = 0,2311P left ( dfrac {1.072.764 − P} {1.072.764} right) [4pt] dP = 0.2311P left ( dfrac { 1.072.764 − P} {1.072.764} right) dt [4pt] dfrac {dP} {P (1.072.764-P)} = dfrac {0,2311} {1.072.764} dt. end {align *} ]

Etapa 3: Integre ambos os lados da equação usando decomposição parcial da fração:

[ begin {align *} ∫ dfrac {dP} {P (1.072.764 − P)} = ∫ dfrac {0.2311} {1.072.764} dt [4pt] dfrac {1} {1.072.764} ∫ left ( dfrac {1} {P} + dfrac {1} {1.072.764 − P} right) dP = dfrac {0.2311t} {1.072.764} + C [4pt] dfrac {1} {1.072.764} left ( ln | P | - ln | 1.072.764 − P | right) = dfrac {0,2311t} {1.072.764} + C. end {align *} ]

Etapa 4: multiplique os dois lados por 1.072.764 e use a regra de quociente para logaritmos:

[ ln left | dfrac {P} {1.072.764 − P} right | = 0,2311t + C_1. enhum número]

Aqui (C_1 = 1.072.764C. ) Em seguida, exponencie ambos os lados e elimine o valor absoluto:

[ begin {align *} e ^ { ln left | dfrac {P} {1.072.764 − P} right |} = e ^ {0.2311t + C_1} [4pt] left | dfrac { P} {1.072.764 - P} right | = C_2e ^ {0,2311t} [4pt] dfrac {P} {1.072.764 − P} = C_2e ^ {0,2311t}. end {align *} ]

Aqui (C_2 = e ^ {C_1} ), mas depois de eliminar o valor absoluto, ele também pode ser negativo. Agora resolva para:

[ begin {align *} P = C_2e ^ {0.2311t} (1.072.764 − P) [4pt] P = 1.072.764C_2e ^ {0.2311t} −C_2Pe ^ {0.2311t} [4pt] P + C_2Pe ^ {0,2311t} = 1.072.764C_2e ^ {0,2311t} [4pt] P (1 + C_2e ^ {0,2311t} = 1.072.764C_2e ^ {0,2311t} [4pt] P (t) = dfrac {1.072.764 C_2e ^ {0,2311t}} {1 + C_2e ^ {0,23 nonumber11t}}. End {align *} ]

Etapa 5: para determinar o valor de (C_2 ), é realmente mais fácil voltar algumas etapas até onde (C_2 ) foi definido. Em particular, use a equação

[ dfrac {P} {1.072.764 − P} = C_2e ^ {0,2311t}. enhum número]

A condição inicial é (P (0) = 900.000 ). Substitua (P ) por (900.000 ) e (t ) por zero:

[ begin {align *} dfrac {P} {1.072.764 − P} = C_2e ^ {0,2311t} [4pt] dfrac {900.000} {1.072.764−900.000} = C_2e ^ {0,2311 (0)} [4pt] dfrac {900.000} {172.764} = C_2 [4pt] C_2 = dfrac {25.000} {4.799} [4pt] ≈5.209. end {align *} ]

Portanto

[ begin {align *} P (t) = dfrac {1.072.764 left ( dfrac {25000} {4799} right) e ^ {0,2311t}} {1+ (250004799) e ^ {0,2311t} } [4pt] = dfrac {1.072.764 (25000) e ^ {0,2311t}} {4799 + 25000e ^ {0,2311t}.} End {alinhar *} ]

Dividindo o numerador e o denominador por 25,000

[P (t) = dfrac {1.072.764e ^ {0,2311t}} {0,19196 + e ^ {0,2311t}}. enhum número]

A figura é um gráfico desta equação.

c. Usando este modelo, podemos prever a população em 3 anos.

[P (3) = dfrac {1.072.764e ^ {0,2311 (3)}} {0,19196 + e ^ {0,2311 (3)}} ≈978.830 , cervo não numérico ]

Isso é muito menor que o dobro da população inicial de (900.000. ) Lembre-se de que o tempo de duplicação é baseado na suposição de que a taxa de crescimento nunca muda, mas o modelo logístico leva essa possibilidade em consideração.

d. Se a população alcançou 1,200,000 cervo, então o novo problema de valor inicial seria

[ dfrac {dP} {dt} = 0,2311P left (1− dfrac {P} {1.072.764} right), , P (0) = 1.200.000. enhum número]

A solução geral para a equação diferencial permaneceria a mesma.

[P (t) = dfrac {1.072.764C_2e ^ {0.2311t}} {1 + C_2e ^ {0.2311t}} nonumber ]

Para determinar o valor da constante, volte à equação

[ dfrac {P} {1.072.764 − P} = C_2e ^ {0,2311t}. enhum número]

Substituindo os valores (t = 0 ) e (P = 1.200.000, ) você obtém

[ begin {align *} C_2e ^ {0.2311 (0)} = dfrac {1.200.000} {1.072.764−1.200.000} [4pt] C_2 = - dfrac {100.000} {10.603} ≈ − 9.431. end { alinhar*}]

Portanto

[ begin {align *} P (t) = dfrac {1.072.764C_2e ^ {0.2311t}} {1 + C_2e ^ {0.2311t}} [4pt] = dfrac {1.072.764 left (- dfrac {100.000} {10.603} direita) e ^ {0,2311t}} {1+ esquerda (- dfrac {100.000} {10.603} direita) e ^ {0,2311t}} [4pt] = - dfrac {107.276.400.000e ^ {0,2311t}} {100.000e ^ {0,2311t} −10,603} [4pt] ≈ dfrac {10.117.551e ^ {0,2311t}} {9,43129e ^ {0,2311t} −1} end {alinhar*}]

Esta equação está representada graficamente na Figura ( PageIndex {5} ).

Resolvendo a Equação Diferencial Logística

A equação diferencial logística é uma equação diferencial autônoma, então podemos usar a separação de variáveis ​​para encontrar a solução geral, como acabamos de fazer no Exemplo ( PageIndex {1} ).

Etapa 1: Definir o lado direito igual a zero leva a (P = 0 ) e (P = K ) como soluções constantes. A primeira solução indica que quando não há organismos presentes, a população nunca vai crescer. A segunda solução indica que quando a população começa na capacidade de suporte, ela nunca mudará.

Etapa 2: Reescreva a equação diferencial no formulário

[ dfrac {dP} {dt} = dfrac {rP (K − P)} {K}. ]

Em seguida, multiplique ambos os lados por (dt ) e divida ambos os lados por (P (K − P). ) Isso leva a

[ dfrac {dP} {P (K − P)} = dfrac {r} {K} dt. ]

Multiplique ambos os lados da equação por (K ) e integre:

[∫ dfrac {K} {P (K − P)} dP = ∫rdt. label {eq20a} ]

O lado esquerdo desta equação pode ser integrado usando decomposição de fração parcial. Deixamos para você verificar se

[ dfrac {K} {P (K − P)} = dfrac {1} {P} + dfrac {1} {K − P}. ]

Então a Equação ref {eq20a} torna-se

[∫ dfrac {1} {P} + dfrac {1} {K − P} dP = ∫rdt ]

[ ln | P | - ln | K − P | = rt + C ]

[ ln ∣ dfrac {P} {K − P} ∣ = rt + C. ]

Agora exponencie ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:

[e ^ { ln ∣ dfrac {P} {K − P} ∣} = e ^ {rt + C} ]

[∣ dfrac {P} {K − P} ∣ = e ^ Ce ^ {rt}. ]

Definimos (C_1 = e ^ c ) para que a equação se torne

[ dfrac {P} {K − P} = C_1e ^ {rt}. label {eq30a} ]

Para resolver esta equação para (P (t) ), primeiro multiplique ambos os lados por (K − P ) e reúna os termos contendo (P ) no lado esquerdo da equação:

[ begin {align *} P = C_1e ^ {rt} (K − P) [4pt] = C_1Ke ^ {rt} −C_1Pe ^ {rt} [4pt] P + C_1Pe ^ {rt} = C_1Ke ^ {rt}. End {align *} ]

Em seguida, fatorar (P ) do lado esquerdo e dividir ambos os lados pelo outro fator:

[ begin {align *} P (1 + C_1e ^ {rt}) = C_1Ke ^ {rt} [4pt] P (t) = dfrac {C_1Ke ^ {rt}} {1 + C_1e ^ {rt }} end {align *} ]

A última etapa é determinar o valor de (C_1. ) A maneira mais fácil de fazer isso é substituir (t = 0 ) e (P_0 ) no lugar de (P ) na Equação e resolver para (C_1 ):

[ begin {align *} dfrac {P} {K − P} = C_1e ^ {rt} [4pt] dfrac {P_0} {K − P_0} = C_1e ^ {r (0)} [4pt] C_1 = dfrac {P_0} {K − P_0}. end {align *} ]

Finalmente, substitua a expressão por (C_1 ) na Equação ref {eq30a}:

[P (t) = dfrac {C_1Ke ^ {rt}} {1 + C_1e ^ {rt}} = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt}} ]

Agora multiplique o numerador e o denominador do lado direito por ((K − P_0) ) e simplifique:

[ begin {align *} P (t) = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt} } [4pt] = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt}} ⋅ dfrac {K −P_0} {K − P_0} = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}}. end {align *} ]

Declaramos esse resultado como um teorema.

Solução da Equação Diferencial Logística

Considere a equação diferencial logística sujeita a uma população inicial de (P_0 ) com capacidade de suporte (K ) e taxa de crescimento (r ). A solução para o problema do valor inicial correspondente é dada por

[P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} ].

Agora que temos a solução para o problema do valor inicial, podemos escolher valores para (P_0, r ) e (K ) e estudar a curva de solução.Por exemplo, no Exemplo usamos os valores (r = 0,2311, K = 1.072.764, ) e uma população inicial de (900.000 ) veados. Isso leva à solução

[ begin {align *} P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} [4pt] = dfrac {900.000 (1.072.764) e ^ {0,2311t}} {(1.072.764−900.000) + 900.000e ^ {0,2311t}} [4pt] = dfrac {900.000 (1.072.764) e ^ {0,2311t}} {172.764 + 900.000e ^ {0,2311t} }. end {align *} ]

Dividindo a parte superior e inferior por (900.000 ), resulta

[P (t) = dfrac {1.072.764e ^ {0,2311t}} {0,19196 + e ^ {0,2311t}}. ]

Esta é a mesma solução original. O gráfico desta solução é mostrado novamente em azul na Figura ( PageIndex {6} ), sobreposto ao gráfico do modelo de crescimento exponencial com população inicial (900.000 ) e taxa de crescimento (0,2311 ) (aparecendo em verde). A linha tracejada vermelha representa a capacidade de carga e é uma assíntota horizontal para a solução da equação logística.

Partindo do pressuposto de que a população cresce de acordo com a equação diferencial logística, este gráfico prediz que aproximadamente (20 ) anos antes ((1984) ), o crescimento da população foi muito próximo do exponencial. A taxa de crescimento líquido naquela época seria em torno de (23,1% ) ao ano. Conforme o tempo passa, os dois gráficos se separam. Isso ocorre porque a população aumenta e a equação diferencial logística afirma que a taxa de crescimento diminui à medida que a população aumenta. No momento em que a população foi medida ((2004) ), estava perto da capacidade de suporte e a população estava começando a se estabilizar.

A solução para a equação diferencial logística tem um ponto de inflexão. Para encontrar este ponto, defina a segunda derivada igual a zero:

[ begin {align *} P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} [4pt] P ′ (t) = dfrac {rP_0K (K − P0) e ^ {rt}} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 2} [4pt] P '' (t) = dfrac {r ^ 2P_0K (K − P_0 ) ^ 2e ^ {rt} −r ^ 2P_0 ^ 2K (K − P_0) e ^ {2rt}} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 3} [4pt] = dfrac { r ^ 2P_0K (K − P_0) e ^ {rt} ((K − P_0) −P_0e ^ {rt})} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 3}. end {align *} ]

Definindo o numerador igual a zero,

[r ^ 2P_0K (K − P_0) e ^ {rt} ((K − P_0) −P_0e ^ {rt}) = 0. enhum número]

Contanto que (P_0 ≠ K ), a quantidade inteira antes e incluindo (e ^ {rt} ) é diferente de zero, então podemos dividi-la:

[(K − P_0) −P_0e ^ {rt} = 0. enhum número]

Resolvendo para (t ),

[P_0e ^ {rt} = K − P_0 nonumber ]

[e ^ {rt} = dfrac {K − P_0} {P_0} não numérico ]

[ ln e ^ {rt} = ln dfrac {K − P_0} {P_0} não numérico ]

[rt = ln dfrac {K − P_0} {P_0} não numérico ]

[t = dfrac {1} {r} ln dfrac {K − P_0} {P_0}. enhum número]

Observe que se (P_0> K ), então essa quantidade é indefinida e o gráfico não tem um ponto de inflexão. No gráfico logístico, o ponto de inflexão pode ser visto como o ponto onde o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo. É aqui que o “nivelamento” começa a ocorrer, porque a taxa de crescimento líquida torna-se mais lenta à medida que a população começa a se aproximar da capacidade de suporte.

Exercício ( PageIndex {1} )

Uma população de coelhos em um prado é observada como sendo (200 ) coelhos no tempo (t = 0 ). Após um mês, observa-se que a população de coelhos aumentou (4% ). Usando uma população inicial de (200 ) e uma taxa de crescimento de (0,04 ), com uma capacidade de carga de (750 ) coelhos,

  1. Escreva a equação diferencial logística e a condição inicial para este modelo.
  2. Desenhe um campo de inclinação para esta equação diferencial logística e esboce a solução correspondente a uma população inicial de (200 ) coelhos.
  3. Resolva o problema do valor inicial para (P (t) ).
  4. Use a solução para prever a população após (1 ) ano.
Dica

Primeiro determine os valores de (r, K, ) e (P_0 ). Em seguida, crie o problema de valor inicial, desenhe o campo de direção e resolva o problema.

Responder

uma. ( dfrac {dP} {dt} = 0,04 (1− dfrac {P} {750}), P (0) = 200 )

b.

c. (P (t) = dfrac {3000e ^ {. 04t}} {11 + 4e ^ {. 04t}} )

d. Após (12 ) meses, a população será (P (12) ≈278 ) coelhos.

Projeto do Aluno: Equação Logística com uma População Limiar

Uma melhoria no modelo logístico inclui um população limiar. A população limite é definida como a população mínima necessária para a sobrevivência da espécie. Usamos a variável (T ) para representar a população limite. Uma equação diferencial que incorpora tanto a população limite (T ) e capacidade de suporte (K ) é

[ dfrac {dP} {dt} = - rP left (1− dfrac {P} {K} right) left (1− dfrac {P} {T} right) ]

onde (r ) representa a taxa de crescimento, como antes.

  1. A população limite é útil para biólogos e pode ser utilizada para determinar se uma determinada espécie deve ser colocada na lista de espécies ameaçadas de extinção. Um grupo de pesquisadores australianos afirma ter determinado a população limite para a sobrevivência de qualquer espécie: (5000 ) adultos. (Catherine Clabby, "A Magic Number", American Scientist 98 (1): 24, doi: 10.1511 / 2010.82.24. Acessado em 9 de abril de 2015, www.americanscientist.org/iss...a-magic-number). Portanto, usamos (T = 5000 ) como a população limite neste projeto. Suponha que a capacidade de suporte ambiental em Montana para alces seja (25.000 ). Configure a Equação usando a capacidade de carga de (25.000 ) e a população limite de (5.000 ). Suponha uma taxa anual de crescimento líquido de 18%.
  2. Desenhe o campo de direção para a equação diferencial da etapa (1 ), junto com várias soluções para diferentes populações iniciais. Quais são as soluções constantes da equação diferencial? A que essas soluções correspondem no modelo de população original (ou seja, em um contexto biológico)?
  3. Qual é a população limite para cada população inicial que você escolheu na etapa (2 )? (Dica: use o campo de inclinação para ver o que acontece com várias populações iniciais, ou seja, procure as assíntotas horizontais de suas soluções.)
  4. Esta equação pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. No entanto, é muito difícil obter a solução como uma função explícita de (t ). Usando uma população inicial de (18.000 ) alces, resolva o problema de valor inicial e expresse a solução como uma função implícita de t, ou resolva o problema de valor inicial geral, encontrando uma solução em termos de (r, K, T, ) e (P_0 ).

Conceitos chave

  • Ao estudar as funções da população, diferentes suposições - como crescimento exponencial, crescimento logístico ou população limite - levam a diferentes taxas de crescimento.
  • A equação diferencial logística incorpora o conceito de capacidade de carga. Este valor é um valor limitante da população para qualquer ambiente.
  • A equação diferencial logística pode ser resolvida para qualquer taxa de crescimento positiva, população inicial e capacidade de suporte.

Equações Chave

  • Equação diferencial logística e problema de valor inicial

( dfrac {dP} {dt} = rP (1− dfrac {P} {K}), P (0) = P_0 )

  • Solução para a equação diferencial logística / problema do valor inicial

(P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} )

  • Modelo de população limite

( dfrac {dP} {dt} = - rP (1− dfrac {P} {K}) (1− dfrac {P} {T}) )

Glossário

capacidade de carga
a população máxima de um organismo que o meio ambiente pode sustentar indefinidamente
taxa de crescimento
a constante (r> 0 ) na função de crescimento exponencial (P (t) = P_0e ^ {rt} )
população inicial
a população no momento (t = 0 )
equação diferencial logística
uma equação diferencial que incorpora a capacidade de suporte (K ) e a taxa de crescimento rr em um modelo populacional
linha de fase
uma representação visual do comportamento das soluções para uma equação diferencial autônoma sujeita a várias condições iniciais
população limite
a população mínima necessária para a sobrevivência de uma espécie

Caos e a Equação de Diferença Logística

O equação de diferença logística (ou mapa logístico) é definido da seguinte forma:

Essa equação, e suas variações mais complicadas, têm sido estudadas por ecologistas desde os anos 1950. Ele pode ser usado como um modelo simples da dinâmica populacional de muitos animais, como peixes e insetos. Dada uma população xn no enésimo ano e um valor para o parâmetro de crescimento r, esta equação retorna xn + 1 , a população para o próximo ano.

O que é especialmente interessante sobre a equação de diferença logística, porém, é a mudança qualitativa no comportamento do sistema para diferentes valores do parâmetro r. Dependendo de como definimos r, nossa população modelada pode se extinguir. Ou pode se estabelecer em um tamanho específico e ficar lá para sempre. Ou ele pode pular entre dois tamanhos, ou entre quatro tamanhos, ou até mesmo pular para todo lado caoticamente!

Portanto, como uma primeira postagem para o ano novo (e o novo blog!), Usaremos algumas das maravilhosas instalações de plotagem do Racket para explorar essa equação de diferença logística e seu comportamento caótico.

A Equação de Diferença Logística

A equação da diferença logística é dada por xn + 1= rxn(1-xn) Podemos traduzir isso diretamente em uma função Racket como esta:


Conforme mencionado, a equação é usada como um modelo muito simples de uma população animal que muda ano a ano. Aqui xn é um valor entre 0 (extinção) e 1 (população máxima possível). Então o (1-xn) term também está entre 0 e 1 e funciona para limitar o crescimento populacional & # 8211 quando xn fica grande, (1-xn) fica pequeno e vice-versa.

O parâmetro r representa a taxa de crescimento, escolhida para ser um valor entre 0 e 4.
(Por que pode ser assim? Bem, queremos xn= 1 para representar o tamanho máximo possível da população. Portanto, se olharmos para a equação logística como uma função contínua, digamos y = rx (1-x), o cálculo diz que o máximo dessa função ocorre em dy / dx = r-2rx = 0, ou seja, x = 1 / 2, para um valor de y (1/2) = r / 4.

Mas gostaríamos de usar este valor de y como o próximo valor de xn + 1 no caso da equação de diferença. Portanto, garantir que r permaneça entre 0 e 4 nos mantém dentro de 0 & # 8804 xn + 1 & # 8804 1 limite.)

Assim, com a função codificada, podemos explorar seu comportamento brincando com ela e vendo o que acontece com a população para diferentes valores do parâmetro de taxa de crescimento r.

Representando graficamente populações para diferentes valores de r

Agora, a equação da diferença logística nos diz exatamente como gerar o próximo valor para o tamanho da população dado o valor atual. Para um valor escolhido do parâmetro de taxa de crescimento r e um ponto de partida x0 no intervalo (0,1), só precisamos aplicar repetidamente a equação para gerar uma série de tamanhos de população, que podemos representar graficamente em função do tempo.

Portanto, podemos escrever uma função Racket iterate-logistic-equation que leva como argumentos o número de vezes para gerar um novo valor de população (as etapas), a taxa de crescimento r e x-init para o ponto de partida. A função então aplica iterativamente a equação logística ao valor mais recente, armazena todos eles em uma lista e então constrói vetores para os pontos do gráfico, pareando cada tamanho de população com seu índice de tempo.

A função então retorna uma lista desses pontos (vetores), que podemos passar direto para o plotter de linha na biblioteca de plotagem Racket. Podemos resumir tudo isso em uma equação-logística de plotagem de função organizada que pega o número de passos, a taxa de crescimento r e o ponto inicial x-init e exibe o gráfico para x (n). O código para tudo isso é mostrado abaixo.


Com o código escrito, simplesmente o chamamos no REPL para gerar gráficos da equação de diferença logística para diferentes valores de r:

r = 0,1 (gráfico-equação logística 20 0,1 0,4)

r = 0,6 (gráfico-equação logística 20 0,6 0,4)

r = 1,1 (gráfico-equação logística 20 1,1 0,4)

r = 2,1 (gráfico-equação logística 20 2,1 0,4)

r = 2,8 (gráfico-equação logística 20 2,8 0,4)

Como podemos ver nos gráficos, para 0 & # 8804r & lt1, o tamanho da população cai para zero e permanece lá. Ou seja, para valores da taxa de crescimento menor que 1, temos um curso estável: um tamanho populacional de 0 (extinção.)

Porém, conforme r aumenta acima de 1, ainda temos um único estado estacionário, mas desta vez não é zero, o tamanho da população converge para algum valor diferente de zero e permanece nesse equilíbrio.

Até agora, não há nada muito estranho acontecendo aqui. No entanto, suponha que continuemos aumentando a taxa de crescimento r.

r = 2,9 (gráfico-equação logística 50 2,9 0,4)

r = 3,0 (gráfico-equação logística 50 3,0 0,4)

r = 3,2 (gráfico-equação logística 50 3,2 0,4)

Aqui, estamos começando a ver a oscilação entre dois tamanhos populacionais diferentes. Nós tivemos um bifurcação & # 8211 para algum valor do parâmetro r entre 2,9 e 3,2, o comportamento qualitativo do sistema muda e, em vez de um único estado estacionário, agora temos dois estados estacionários entre os quais o tamanho da população alterna. (Então, nós tivemos um bifurcação de duplicação de período: agora temos duas etapas de tempo entre tamanhos de população repetidos.)

Podemos aumentar r ainda mais e ver o que acontece.

r = 3,4 (gráfico-equação logística 50 3,4 0,4)

r = 3,5 (gráfico-equação logística 50 3,5 0,4)

Agora temos outra bifurcação de duplicação de período, e o tamanho da população oscila entre quatro estados estacionários diferentes.

Mas se continuarmos aumentando a taxa de crescimento r agora, veremos algo realmente estranho.

r = 3,55 (gráfico-equação logística 60 3,55 0,4)

r = 3,65 (gráfico-equação logística 60 3,65 0,4)

r = 3,75 (gráfico-equação logística 60 3,75 0,4)

r = 3,90 (gráfico-equação logística 60 3,90 0,4)

Neste ponto, o tamanho da população parece pular de forma irregular, não se estabelecendo em nenhum valor específico. Nós temos caos!

Então o que aconteceu? Devemos absolutamente investigar este fenômeno. E, ao que parece, temos algumas ferramentas analíticas simples e rápidas que podemos usar para ter uma ideia do que está acontecendo.

Diagramas de teia de aranha para a equação de diferença logística

  1. Desenhe a linha conectando (x0, 0) e (x0, y (x0)). Ou seja, desenhamos uma linha a partir do eixo x em x0 até chegarmos ao gráfico de y = rx (1-x).
  2. Nossa relação xn + 1= rxn(1-xn) especifica que este valor de y (x0) é na verdade o próximo valor para x1 . Então, desenhamos uma linha horizontal na diagonal y = x. Estaremos no ponto (y (x0), y (x0)) agora (ou seja, 'definimos' x1= y (x0) .)
  3. Agora desenhamos a linha vertical conectando (x1, x1) a (x1, y (x1)) e continue desta forma para obter cada um dos pontos xn . Como veremos, dessa forma desenhamos as iterações para os tamanhos da população.


Podemos traçar os diagramas de teia de aranha para diferentes valores do parâmetro de crescimento r e diferentes pontos de partida x-init de uma forma direta a partir do Racket REPL.

r = 0,5 (gráfico-diagrama de teia de aranha 30 0,5 0,7)

r = 0,9 (gráfico-diagrama de teia de aranha 30 0,9 0,7)

Desta forma, podemos ver facilmente como a convergência para 0 poderia acontecer para 0 & # 8804r & lt1. Também podemos ver como o único estado estacionário pode ser alcançado:

r = 1,6 (gráfico-diagrama de teia de aranha 30 1,6 0,8)

r = 2,4 (gráfico-diagrama de teia de aranha 30 2,4 0,1)

Agora, lembre-se de que, quando plotamos os valores da equação de diferença logística antes, parecia que havia uma bifurcação ocorrendo em algum lugar entre r = 2,9, r = 3,0 er = 3,2, e começamos a ver oscilação entre dois estados estacionários diferentes. Uma olhada nos diagramas de teia de aranha para esses valores do parâmetro de crescimento pode nos ajudar a ver o que está acontecendo:

r = 2,9 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 2,9 0,4)

r = 3,0 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,0 0,4)

r = 3,2 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,2 0,4)

A partir dos diagramas, podemos ver que a oscilação para os dois estados estacionários parece coincidir com a sucessão de linhas verticais e horizontais no diagrama de teia de aranha convergindo para um quadrado. Podemos ver um tipo de coisa semelhante acontecendo para os quatro casos de estado estacionário:

r = 3,4 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,4 0,4)

r = 3,5 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,5 0,4)

E os diagramas de teia de aranha também nos mostram o que acontece com as iterações quando cruzamos esse limite para o comportamento caótico:

r = 3,55 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,55 0,4)

r = 3,65 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,65 0,4)

r = 3,75 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,75 0,4)

r = 3,90 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,90 0,4)

Aqui, as linhas verticais e horizontais não convergem para um ponto, ou um quadrado, ou qualquer coisa assim. Em vez disso, temos uma espiral que salta para todos os lados!

Diagrama de bifurcação para a equação de diferença logística

Vimos nos gráficos e diagramas anteriores que os valores da população em estado estacionário mudaram à medida que aumentamos o parâmetro de crescimento r. Então, talvez seja esclarecedor representar graficamente os valores do estado estacionário em relação a esse parâmetro, para que possamos ver os pontos em que as bifurcações ocorrem.

  • Iremos variar lentamente o parâmetro de bifurcação r em todo o intervalo [0,4].
  • Para cada valor do parâmetro r, iteraremos de um ponto de partida por algum número de etapas (digamos 100) e geraremos uma lista dos tamanhos de população que atingimos. Como geralmente saltamos um pouco no início da iteração, controlaremos apenas os últimos 30 ou mais pontos.
  • Em seguida, plotaremos esses valores de estado estacionário em relação ao valor do parâmetro de crescimento r.

Podemos escrever outra função Racket plot-bifurcation-diagram para fazer tudo isso, que leva um ponto inicial x-init como seu argumento e exibe o diagrama de bifurcação. A função é semelhante a esta:


Podemos então gerar o diagrama de bifurcação chamando a função do REPL como sempre. Aqui, o valor para x-init na verdade não importa muito (desde que esteja entre 0 e 1, é claro), então escolheremos arbitrariamente x-init como 0.3.

Aqui podemos ver claramente como o estado estacionário é 0 para taxas de crescimento entre 0 e 1, e que o tamanho da população em estado estacionário aumenta com r depois, até que r seja aproximadamente 3,0. Nesse ponto, temos nossa primeira bifurcação de duplicação de período: podemos ver como a curva se divide em dois ramos separados.

Temos, então, outra bifurcação de duplicação de período em cerca de r = 3,5, em que cada um dos dois ramos se divide novamente. E à medida que r continua aumentando, vemos rapidamente o início do caos, representado pela confusão de pontos espalhados no lado direito.

Curiosamente, podemos notar a partir do diagrama de bifurcação que parece que temos uma fina faixa de branco na região do caos de outra forma azul em cerca de r = 3,85. Com certeza, quando plotamos a equação de diferença logística e o diagrama de teia de aranha para esse valor da taxa de crescimento, parece que temos um comportamento um pouco mais previsível:

r = 3,85 (gráfico-equação logística 100 3,85 0,3)

r = 3,85 (gráfico-diagrama de teia de aranha 200 3,85 0,3)

Portanto, essa foi uma introdução rápida (e espero que não muito intensa!) Ao comportamento caótico que pode ser encontrado na equação das diferenças logísticas, e talvez também uma introdução ao campo fascinante da Teoria do Caos. Até a próxima vez!

[Para sua conveniência, o arquivo-fonte completo do Racket para todo o código desta postagem do blog pode ser encontrado aqui.]

Referências

Gleick, J. 1988, Caos: Fazendo uma nova ciência, 1ª ed., William Heinemann Ltd, Londres, Reino Unido.

Sternberg, S. 2010, Sistemas Dinâmicos, 1ª ed., Dover Publications Inc, Mineola, NY.


Logística

Um procedimento iterativo é usado para desenhar o Mapa Logístico.

Modelo de execução:& nbsp & nbsp & nbsp Ajuda para executar um modelo JSim.
Requer tempo de execução Java. (O modelo JSim pode levar de 10 a 20 segundos para carregar).
MacOS: Ajuste "Preferências do Sistema" -> "Segurança e Privacidade" para permitir que o aplicativo Java JSim jnlp seja executado.
Mais informações aqui.

Figura 1: O mapa logístico.


1. Introdução

A conhecida equação diferencial logística foi originalmente proposta pelo matemático belga Pierre-François Verhulst (1804-1849) em 1838, a fim de descrever o crescimento de uma população sob a suposição de que a taxa de crescimento da população era proporcional a

a população existente e

a quantidade de recursos disponíveis.

Quando este problema é "traduzido" em matemática, resulta na equação diferencial

onde denota o tempo, é a população inicial e, são constantes associadas à taxa de crescimento e à capacidade de suporte da população. Uma forma mais geral de (1.1), que será usada neste artigo, é

onde e, são constantes reais com (para excluir casos triviais).

A equação (1.2) pode ser considerada como uma equação diferencial de Bernoulli ou pode ser resolvida aplicando o método mais simples de separação de variáveis. Em qualquer caso, a solução do problema do valor inicial (1.2) é dada por

Embora, (1.2) possa ser considerada uma equação diferencial simples, no sentido de que é completamente solucionável pelo uso de técnicas elementares da teoria das equações diferenciais, ela tem inúmeras e tremendas aplicações em vários campos. A primeira aplicação de (1.2) já foi mencionada e está relacionada a problemas populacionais e, de maneira mais geral, problemas ecológicos. Outras aplicações de (1.2) aparecem em problemas de química, medicina (especialmente na modelagem do crescimento de tumores), farmacologia (especialmente na produção de medicamentos antibióticos) [1], epidemiologia [2, 3], poluição atmosférica, fluxo em um rio [4] e assim por diante.

Hoje em dia, a equação diferencial logística pode ser encontrada em muitos livros didáticos de biologia e pode ser considerada a pedra angular da ecologia. No entanto, também recebeu muitas críticas de vários ecologistas. Pode-se encontrar a base dessas críticas e vários paradoxos em [5].

No entanto, como costuma acontecer em aplicações, ao modelar um problema realista, pode-se decidir descrever o problema em termos de equações diferenciais ou em termos de equações às diferenças. Assim, o problema de valor inicial (1.2), que descreve o problema populacional estudado por Verhulst, poderia ser formulado como um problema de valor inicial de uma equação de diferença. Além disso, há uma grande literatura sobre tópicos relacionados a análogos discretos do cálculo diferencial. Neste contexto, a equação geral de diferença

é conhecida como a equação logística discreta e serve como um análogo ao problema do valor inicial (1.2) (ver, por exemplo, [6]).

Existem várias maneiras de "terminar" com (1.4) começando em (1.1) ou (1.2) como:

iterando a função,, que dá origem à equação de diferença [7, página 43]

discretizando (1.1) usando um esquema de diferença direta para a derivada, o que dá origem à equação de diferença

onde, sendo o tamanho do passo do esquema [8], ou

por "traduzir" o problema populacional estudado por Verhulst em termos de diferenças: se é a população em estudo no momento, seu crescimento é indicado por. Assim, de acordo com as premissas e, surge o seguinte problema de valor inicial:

Observe, é claro, que todas as três equações (1.5) - (1.7) são casos especiais de (1.4).

As semelhanças entre (1.2) e (1.4) são óbvias mesmo à primeira vista. No entanto, essas semelhanças são apenas superficiais, uma vez que existem muitas diferenças qualitativas entre suas soluções. Talvez a diferença mais importante entre (1.2) e (1.4) é que, em contraste com (1.2), (a solução que é dada explicitamente em (1.3)) (1.4) (ou mesmo sua forma mais simples (1.5)) não pode ser resolvido explicitamente de forma a obter sua solução de forma fechada (exceto para certos valores dos parâmetros) (ver, por exemplo, [6, página 120] e [7, página 14]).

Além disso, (1.4) é um dos exemplos mais simples de equações autônomas discretas que levam ao caos, enquanto a solução (1.3) de (1.2) garante a regularidade de (1.2). Finalmente, vale a pena mencionar que o esquema numérico (1.6) ou outras equações de diferenças não lineares aproximações de (1.2) dadas por exemplo em [6, página 120] ou em [8, páginas 297-303] dão origem a soluções aproximadas de (1.2 ), que são qualitativamente diferentes da solução verdadeira (1.3). Essas soluções são muitas vezes chamadas de soluções espúrias. Essas soluções espúrias "desaparecem" quando melhores aproximações são usadas, por exemplo, aplicando esquemas de diferença não padronizados (ver, por exemplo, [9-11]).

Recentemente, em [12, 13] uma forma não padronizada foi proposta para resolver "numericamente" uma equação diferencial ordinária acompanhada de condições iniciais ou de contorno no plano real ou complexo. Este método foi aplicado com sucesso à equação de Duffing, ao sistema de Lorenz e à equação de Blasius. A técnica usada é baseada na transformação equivalente da equação diferencial ordinária em consideração para uma equação de diferença ordinária por meio de uma equação de operador utilizando um isomorfismo específico em espaços de Banach específicos. Um dos objetivos do presente trabalho é aplicar esta técnica a (1.2) de forma a obter a seguinte equação:

onde, são constantes, que no resto do artigo serão chamadasequação logística equivalente discreta. Deve ser mencionado neste ponto que embora a aplicação da técnica em [12] a (1.2) seja interessante por si só, seu efeito colateral, ou seja, a derivação de (1.8) é mais importante, uma vez que é proposta como o equivalente discreto de (1.2). Também é enfatizado que (1.8) é a equação logística equivalente discreta derivada por meios analíticos simples, ao contrário das versões conhecidas de equação logística discreta, como (1.4). Assim, espera-se que as soluções de (1.8) tenham comportamento semelhante àquelas da equação logística diferencial e não as características peculiares que aparecem nas soluções de (1.4) discutidas acima. Conclusivamente, o principal objetivo do presente artigo é convencer o leitor de que (1.8) merece ser chamada de equação logística equivalente discreta. Espera-se também que (1.8) possa ser uma escolha melhor para a modelagem de vários problemas, onde diferentes versões de equações logísticas discretas conhecidas são usadas até hoje.

A equação (1.8) é uma equação de diferença de Volterra não linear do tipo convolução. As equações de diferença de Volterra foram exaustivamente estudadas e existe uma enorme literatura sobre elas. Por exemplo, existem vários resultados relativos à limitação, comportamento assintótico, admissibilidade e periodicidade da solução de uma equação de diferença de Volterra. Embora a lista de artigos citados no presente trabalho não seja exaustiva, os artigos de revisão [14, 15] sobre delimitação, estabilidade e assimptoticidade das equações de diferença de Volterra devem ser mencionados (ver também as referências nesses dois artigos). A título indicativo, pode-se também mencionar os artigos [16–32], cujos resultados gerais também podem ser aplicados a equações de diferença de Volterra do tipo convolução. Além disso, em [33-36], as equações de diferença linear de Volterra do tipo convolução são estudadas exclusivamente.

Na Seção 2, (1.8) é totalmente derivado. Além disso, na mesma seção são dadas condições para a existência de uma solução única de (1.2) no espaço de Banach.

onde e de (1.8) no espaço de Banach

Deve ser mencionado neste ponto que a questão da existência de uma solução única na equação logística analógica discreta (1.4) foi estudada em [37] sob a estrutura de uma equação de diferença mais geral.

Na Seção 3, (1.8) é explicitamente resolvido aplicando o método -transform. Finalmente, na Seção 4, várias diferenças entre (1.4) e (1.8) são discutidas. Essas diferenças dizem respeito às suas soluções (consulte a Figura 1), seus diagramas de bifurcação e sua estabilidade.


3.3 Multicolinearidade

Multicolinearidade (ou colinearidade para abreviar) ocorre quando duas ou mais variáveis ​​independentes no modelo são aproximadamente determinadas por uma combinação linear de outras variáveis ​​independentes no modelo. O grau de multicolinearidade pode variar e ter diferentes efeitos no modelo. Quando ocorre colinearidade perfeita, ou seja, quando uma variável independente é uma combinação linear perfeita das outras, é impossível obter uma estimativa única dos coeficientes de regressão com todas as variáveis ​​independentes do modelo. O que Stata faz neste caso é eliminar uma variável que é uma combinação linear perfeita das outras, deixando apenas as variáveis ​​que não são exatamente combinações lineares de outras no modelo para garantir uma estimativa única dos coeficientes de regressão. Por exemplo, podemos criar artificialmente uma nova variável chamada perli como a soma de yr_rnd e refeições. Observe que o único propósito deste exemplo e a criação da variável perli é mostrar o que o Stata faz quando ocorre a colinearidade perfeita. Observe que Stata emite uma nota, informando-nos que a variável yr_rnd foi retirado do modelo devido à colinearidade. Não podemos assumir que a variável que Stata elimina do modelo é a variável & # 8220correct & # 8221 a ser omitida do modelo. Em vez disso, precisamos confiar na teoria para determinar qual variável deve ser omitida.

A multicolinearidade moderada é bastante comum, pois qualquer correlação entre as variáveis ​​independentes é uma indicação de colinearidade. Mas quando ocorre multicolinearidade severa, os erros padrão para os coeficientes tendem a ser muito grandes (inflados) e, às vezes, os coeficientes de regressão logística estimados podem ser altamente não confiáveis. Vamos considerar o seguinte exemplo. Neste modelo, a variável dependente será hiqual, e as variáveis ​​preditoras incluirão avg_ed, yr_rnd, refeições, cheio, e a interação entre yr_rnd e cheio, yxfull. Após o procedimento logit, também executaremos um teste de adequação. Observe que o teste de adequação indica que, no geral, nosso modelo se ajusta muito bem.

No entanto, observe a razão ímpar e o erro padrão para a variável yr_rnd são incrivelmente altos. Aparentemente, algo deu errado. Uma causa direta para a razão ímpar incrivelmente grande e o erro padrão muito grande é a multicolinearidade entre as variáveis ​​independentes. Podemos usar um programa chamado Collin para detectar a multicolinearidade. Você pode baixar o programa do site da ATS de programas Stata para ensino e pesquisa. (ou use & # 8220pesquisar collin& # 8221 e siga o link para acessá-lo.)

Todas as medidas na saída acima são medidas da força das inter-relações entre as variáveis. Duas medidas comumente usadas são tolerância (um indicador de quanta colinearidade que uma análise de regressão pode tolerar) e VIF (variance eunflação fator - um indicador de quanto da inflação do erro padrão pode ser causado pela colinearidade). A tolerância para uma determinada variável é 1 menos o R 2 que resulta da regressão das outras variáveis ​​nessa variável. O VIF correspondente é simplesmente 1 / tolerância. Se todas as variáveis ​​são ortogonais entre si, em outras palavras, completamente não correlacionadas entre si, tanto a tolerância quanto o VIF são 1. Se uma variável está intimamente relacionada a outra (s) variável (s), a tolerância vai para 0, e a variação da inflação fica muito grande. Por exemplo, na saída acima, vemos que a tolerância e VIF para a variável yxfull é 0,0291 e 34,34, respectivamente. Podemos reproduzir esses resultados fazendo a regressão correspondente.

Observe que o R 2 é 0,9709. Portanto, a tolerância é 1-0,9709 = 0,0291. O VIF é 1 / 0,0291 = 34,36 (a diferença entre 34,34 e 34,36 sendo um erro de arredondamento). Como regra geral, uma tolerância de 0,1 ou menos (equivalentemente VIF de 10 ou mais) é um motivo de preocupação.

Agora que vimos o que a tolerância e o VIF medem e estamos convencidos de que há um sério problema de colinearidade, o que fazemos a respeito? Observe que na regressão acima, as variáveis cheio e yr_rnd são os únicos preditores significativos e o coeficiente para yr_rnd é muito grande. Isso ocorre porque, muitas vezes, quando criamos um termo de interação, também criamos algum problema de colinearidade. Isso pode ser visto no resultado da correlação abaixo. Uma maneira de corrigir o problema de colinearidade é centralizar a variável cheio como mostrado abaixo. Nós usamos o soma comando para obter a média da variável cheioe, em seguida, gere uma nova variável chamada fullc, qual é cheio menos sua média. Em seguida, geramos a interação de yr_rnd e fullc, chamado yxfc. Finalmente, executamos o comando logit com fullc e yxfc como preditores em vez de cheio e yxfull. Lembre-se de que, se você usar uma variável centralizada como preditor, deverá criar quaisquer termos de interação necessários usando a versão centrada dessa variável (em vez da versão não centrada).

Exibimos a matriz de correlação usando o corr comando antes e depois da centralização e observe quanta mudança a centralização produziu. A centralização da variável cheio neste caso, corrigiu o problema de colinearidade e nosso modelo se ajusta bem no geral. A variável yr_rnd não é mais um preditor significativo, mas o termo de interação entre yr_rnd e cheio é. Sendo capaz de manter todos os preditores em nosso modelo, será fácil para nós interpretar o efeito de cada um dos preditores. Este método de centralização pode ser considerado um caso especial de transformação das variáveis. A transformação das variáveis ​​é o melhor remédio para a multicolinearidade quando funciona, uma vez que não perdemos nenhuma variável de nosso modelo. Mas a escolha da transformação geralmente é difícil de fazer, exceto as simples, como centralização. Outras transformações comumente usadas incluem transformação logarítmica e transformação quadrada. Outros remédios comumente sugeridos incluem a exclusão de algumas das variáveis ​​e o aumento do tamanho da amostra para obter mais informações. A primeira nem sempre é uma boa opção, pois pode levar a um modelo especificado incorretamente, e a segunda opção nem sempre é possível. Recomendamos aos nossos leitores Berry e Feldman & # 8217s Regressão Múltipla na Prática (1985, pp. 46-50) para uma discussão mais detalhada dos remédios para colinearidade.


Introdução ao Modelo de Regressão Logística

Olá pessoal, aprendemos sobre o modelo de regressão linear no meu artigo anterior. Hoje, neste artigo vamos aprender os fundamentos da Regressão Logística e alguns truques para encontrar a relação entre as variáveis.

Você sabe que tipo de variável é usada na regressão logística? Não se preocupe, se você não sabe, deixe-me ensinar as variáveis:

Na regressão linear simples, as variáveis ​​são uma dependente e outra independente. Na regressão linear múltipla, há mais de uma variável independente.

Entenda uma coisa se seus dados estão em forma contínua, então use apenas o modelo de regressão linear, enquanto por outro lado, se seus dados estão na forma categórica (por exemplo, positiva e negativa) e na forma binária (0,1), então use apenas regressão logística . Neste modelo, os dados foram codificados na forma binária. como 1 para positivo e 0 para negativo [apenas suposição].

Regressão Logística:

Nas estatísticas, regressão logística, ou regressão logit, ou modelo logit é um modelo de regressão em que a variável dependente (DV) é categórica.

A regressão logística mede a relação entre a variável dependente categórica e uma ou mais variáveis ​​independentes, estimando probabilidades usando uma função logística, que é a distribuição logística cumulativa. Assim, ele trata o mesmo conjunto de problemas que a regressão probit usando técnicas semelhantes, com a última usando uma curva de distribuição normal cumulativa.

A regressão logística pode ser vista como um caso especial do modelo linear generalizado e, portanto, semelhante à regressão linear. O modelo de regressão logística, entretanto, é baseado em suposições bastante diferentes (sobre a relação entre as variáveis ​​dependentes e independentes) daquelas da regressão linear. Em particular, as principais diferenças entre esses dois modelos podem ser vistas nas duas características da regressão logística a seguir.

  1. Primeiro, a distribuição condicional y | x é uma distribuição Bernoulli em vez de uma distribuição Gaussiana, porque a variável dependente é binária.
  2. Em segundo lugar, os valores previstos são probabilidades e, portanto, são restritos a (0,1) por meio da função de distribuição logística porque a regressão logística prevê o probabilidade de resultados específicos.

A regressão logística é amplamente usada em muitos campos, como médicos e mídias sociais.

Por exemplo, no campo médico, suponha que um paciente tenha uma doença (como o HIV) com base nas características observadas do paciente (idade, sexo, vários exames de sangue e exames de urina).

Outro exemplo, como se você deseja prever o resultado das eleições para algum partido nacional, ou deseja prever se o eleitor votará no congresso ou partido democrático, com base na idade, sexo, renda, casta e muitas outras características.

Um grupo de 20 alunos gasta entre 0 e 6 horas estudando para um exame. Como o número de horas gastas estudando afeta a probabilidade de o aluno ser aprovado no exame?

A tabela mostra o número de horas que cada aluno passou estudando e se eles foram aprovados (1) ou reprovados (0).


A Aplicação do Modelo de Equações Logísticas para Predizer as Características de Remineralização de Pasta Dessensibilizante

Objetivos. Um modelo matemático utilizando a equação logística de Verhulst foi desenvolvido para prever os comportamentos de remineralização da pasta dessensibilizante. Métodos. O parâmetro de entrada usado para o modelo foi obtido experimentalmente escovando vinte e um espécimes de dentina simulados por sete dias com três grupos de amostra, a saber, EB @ TiO2, Colgate Pro-relief e reparo Sensodyne (n = 7). Um microscópio eletrônico de varredura por emissão de campo (FESEM) e o software ImageJ foram usados ​​para observar e medir a proporção de% ocluída da superfície dentinária. Os ajustes do modelo para os três grupos de amostra foram realizados usando a rotina de ajuste de mínimos quadrados do MATLAB fmincon na caixa de ferramentas de otimização. Resultados. Os resultados sugerem que os parâmetros experimentais estão de acordo com o modelo. Verificou-se que o modelo de equação logística pode fazer uma previsão futura do padrão de remineralização para EB @ TiO2 e Colgate Pro-relief. Verificou-se, no entanto, que a trajetória para o reparo do Sensodyne era um pouco complexa, dificultando a previsão. Conclusões. No geral, a característica saliente deste estudo sugere que a equação logística pode ser usada para prever o comportamento de remineralização da pasta dessensibilizante no tratamento de dentes sensíveis.

1. Introdução

Na última década, a hipersensibilidade dentinária (HD) tem sido extensivamente pesquisada devido à sua prevalência generalizada e ao problema de saúde bucal doloroso perceptível que afeta muitos indivíduos [1]. Um estudo anterior [2] relatou que mais de 80% das crianças e até 43% da população adulta sofrem de dor dentária associada à DH. Mais preocupante é que a DH afeta negativamente a qualidade de vida dos pacientes odontológicos se não tratada [3]. Consequentemente, inúmeras estratégias de remineralização da dentina têm sido propostas na literatura [4, 5] para o manejo da HD. Entre eles, o uso de biomateriais, como vidro bioativo e pró-argina, tem sido relatado para ocluir efetivamente os túbulos dentinários abertos [6]. Enquanto o vidro bioativo, por exemplo, é conhecido por fornecer algum alívio substancial aos pacientes [6], a duração geral da estratégia de tratamento usando este material permanece indefinida tanto na saliva quanto sem saliva.

Embora o vidro bioativo obstrua os túbulos dentinários patentes, fornecendo cálcio (Ca 2+) e fosfato (

) íons em um ambiente oral ideal para formar apatita de hidroxicarbonato (HCA) [7, 8], em alguns pacientes, entretanto, particularmente aqueles com condições de hipossalivação e xerostomia, o fluxo de saliva é limitado [9]. Conforme relatado na literatura [10, 11], a saliva facilita a deposição da armadilha de Ca 2+ e íons nos túbulos dentinários abertos que gradualmente ocasionam o selamento ou oclusão dos túbulos. Portanto, é suficiente supor que a eficácia do vidro bioativo será menos eficaz em pacientes com fluxo limitado de saliva.

Em uma tentativa de abordar as preocupações acima mencionadas de fluxo salivar limitado, a tecnologia proargin foi desenvolvida por Kleinberg em 2002 com base no papel que a saliva desempenha na oclusão natural dos túbulos dentinários [6]. De acordo com [6], a proargin compreende arginina (um aminoácido com pH 6,5-7,5), bicarbonato, tampão de pH e carbonato de cálcio. É relatado por Hamlin et al. [12] que a interação de arginina e carbonato de cálcio em pH fisiológico posteriormente atrai uma camada rica em cálcio que se liga à superfície dentinária carregada negativamente. Isso, por sua vez, facilita a infiltração de cálcio resultando no bloqueio dos túbulos dentinários [13]. No entanto, Yang et al. [14] descobriram que o Colgate Pro-relief não apresentou alterações significativas após o tratamento e imersão em saliva artificial por 14 dias.

Dadas as diferenças nas características de oclusão dos citados biomateriais na saliva e sem saliva, um novo biomaterial a partir de resíduos de casca de ovo e dióxido de titânio (EB @ TiO2) é proposto como um material oclusor alternativo para o manejo da DH. Embora um estudo recente tenha demonstrado as características de obstrução do EB @ TiO2 [15], o tempo necessário para ocluir completa e efetivamente os túbulos dentinários em um ambiente oral simulado ainda não foi estabelecido. Igualmente essencial, e em linha com a afirmação de Schmidlin e Sahrmann [16], ainda não foi estabelecido um padrão ouro para o manejo da DH com um alívio previsível e duradouro da DH.

É importante ressaltar que a modelagem matemática oferece uma perspectiva de pesquisa diferente, superando alguns dos problemas freqüentemente encontrados em um estudo experimental [17]. Essencialmente, usando ferramentas numéricas, Ilie et al. [17] assumiu que é possível criar um ambiente controlado para enfrentar os desafios de longo período de tempo necessário para estudar efetivamente o processo biológico. Na última década, um modelo matemático diferente foi proposto por vários estudiosos para investigar tecidos duros dentais; a maioria, no entanto, concentra-se principalmente na cárie dentária e no processo de desmineralização do dente [17-19]. Apesar dos inúmeros modelos desenvolvidos para estudar os tecidos dentários, há evidências limitadas que sugerem o uso de um modelo matemático para prever os potenciais de remineralização de agentes dessensibilizantes nos túbulos dentinários. Este estudo usa o modelo de equação logística como ferramenta para a previsão da eficácia de agentes dessensibilizantes na oclusão de túbulos dentinários.

1.1. Equação Logística

A equação logística foi proposta pela primeira vez pelo trabalho seminal de Pierre-François Verhulst (1844-1845). Verhulst derivou a equação logística para descrever o crescimento autolimitado da população biológica [20]. Curiosamente, Sweilam et al. [21] afirmam que a equação logística é descrita por uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Seu relatório ressoa ainda mais com Murphy et al. [22] que observou que a equação logística é formalizada pela equação diferencial. Assim, observou-se que o modelo logístico descreve o crescimento de uma população é limitado por uma capacidade de suporte de b [22]. Portanto, a equação logística assume que a taxa de crescimento diminui linearmente com o tamanho até ser igual a zero na capacidade de carga [22].

Desde a descoberta, a equação logística tem sido amplamente utilizada em muitos campos científicos, como ecologia, química, dinamismo populacional, psicologia matemática, ciência política, geociência, estatística, economia e sociologia [23-26]. Em ecologia, por exemplo, a equação logística tem sido amplamente usada para modelar o crescimento populacional onde a taxa de reprodução é proporcional à população existente e à quantidade de recursos disponíveis [21]. Isso é expresso matematicamente da seguinte forma:

onde representa o tamanho da população, é a constante que define a taxa de crescimento, é a capacidade de suporte e representa o tempo.

Outra aplicação típica da equação logística é na medicina, onde a equação diferencial logística é usada para modelar o crescimento de tumores ou estudar a reação da farmacocinética [20]. Aqui, a aplicação da equação logística pode ser considerada uma extensão do uso acima mencionado no âmbito da ecologia, onde

é o tamanho do tumor no momento t [21]. Dado o poder preditivo da equação logística, este trabalho teve como objetivo desenvolver um modelo matemático (modelo de equação logística) para estudar as capacidades de remineralização de três pastas dessensibilizantes, a saber, EB @ TiO2, pró-argina e vidro bioativo (NovaMin), na saliva e sem saliva.

2. Materiais e métodos

Dióxido de titânio anatase de qualidade alimentar (CAS No: 13463677) foi adquirido da Sigma-Aldrich (Alemanha). O ácido cítrico mono-hidratado foi fornecido pela Merck (África do Sul). Duas marcas diferentes de pasta de dente, a saber, Sensodyne repair (GlaxoSmithKline, Reino Unido) e Colgate Pro-relief (Colgate-Palmolive, Polônia), foram compradas em um shopping popular localizado em Durban (África do Sul).

2.1. Preparação de Composto de Dióxido de Titânio-Casca de Ovo (EB @ TiO2)

O compósito casca de ovo e dióxido de titânio foi preparado de acordo com o método relatado na literatura [15]. 20 g do pó de casca de ovo fina foram modificados pela adição de 5 g de dióxido de titânio anatase (≤15 µm). A mistura foi posteriormente moída em moinho de bolas por 200 min para obter o composto de dióxido de titânio e casca de ovo (EB @ TiO2).

2.2. Parâmetro de entrada experimental

O parâmetro experimental foi obtido a partir do teste de remineralização realizado em nosso laboratório. Vinte e um espécimes de dentina medindo 5 mm × 5 mm × 1 mm foram preparados seccionando perpendicularmente ao longo eixo dos dentes abaixo da junção esmalte-dentinária usando uma serra de diamante de baixa velocidade em condições de resfriamento com água. Um modelo sensível foi simulado embebendo as amostras em solução de ácido cítrico a 4% em peso por 2 min. As amostras foram então distribuídas aleatoriamente em três grupos, a saber, EB @ TiO2, Colgate Pro-relief e reparo Sensodyne (n = 7).

Cada espécime dos respectivos grupos foi escovado duas vezes ao dia (manhã e noite) por sete dias com uma escova de dente alimentada com bateria alcalina de 1,5 V (Oralwise, China) por 1 min e deixada secar por 30 s antes do enxágue com água deionizada. A escovação foi realizada em temperatura ambiente com 100 mg de cada um dos respectivos dentifrícios. A pasta de EB @ TiO2 foi preparado misturando 100 mg do pó com 200 µL de água desionizada. Após cada protocolo de escovação, os espécimes foram imersos em saliva ou sem saliva. Usando um microscópio eletrônico de varredura por emissão de campo (FESEM Carl Zeiss) operando em condições atmosféricas controladas a 20 kV, examinamos a superfície da dentina após cada dia de escovação. As proporções de túbulos ocluídos foram calculadas usando o software ImageJ (National Institute of Health, EUA, http://imagej.nih.gov./ij). Isso foi calculado dividindo a área dos túbulos ocluídos pela área total dos túbulos usando imagens de ampliação de 1500 × (n = 7). Os valores médios da relação da área ocluída foram avaliados com a análise de variância de 1 via (ANOVA). Isso foi seguido por um teste de comparação múltipla com correção de Bonferroni (α = 0.05).

2.3. Descrição do Modelo

O modelo matemático considera que o tamanho dos túbulos dentinários (S) e a quantidade de depósitos de cálcio e fosfato (UMA) influenciam significativamente o tempo (t) necessário para ocluir completa e efetivamente os túbulos dentinários.

2.3.1. Modelo Logístico

O seguinte modelo de equação logística foi proposto:

onde é a porcentagem de túbulos ocluídos, é a taxa de oclusão, é o valor máximo de e é o tempo para completar a remineralização dos túbulos dentinários. Salvo indicação em contrário, tomaremos

uma vez que é o valor máximo de.

2.3.2. Solução Analítica para o Modelo

Usando o método de resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem (método de separação de variáveis), obtemos a solução analítica da equação do modelo (3):

e está em t = 0 (ou seja, valor inicial de X) Análises posteriores no modelo (2) mostram que o modelo tem dois pontos de equilíbrio: o ponto de equilíbrio trivial

e o ponto de equilíbrio positivo

. A realização de análises de estabilidade sobre os dois estados de equilíbrio mostra que o ponto de equilíbrio positivo é globalmente estável. Isso é facilmente estabelecido como

. Este resultado mostra que é possível aumentar a capacidade de carga. Por outro lado, o ponto de equilíbrio trivial é instável. Isso mostra que será difícil diminuir a zero.

2.3.3. Ajuste de modelo e estimativa de parâmetro

Um ajuste de modelo e estimativa de parâmetro foram conduzidos usando nosso modelo para ajustar dados reais para as três amostras (EB @ TiO2, Colgate Pro-relief e reparo Sensodyne) para os dois casos: com saliva e sem saliva. O objetivo dessas análises é mostrar que o modelo que consideramos pode ser usado para estudar, bem como fazer previsões futuras sobre essas amostras. Para o ajuste do modelo, consideramos a capacidade de carga (Kx) como 100% enquanto a taxa de crescimento é estimada a partir dos ajustes do modelo para todas as amostras. Os ajustes do modelo foram realizados usando a rotina de ajuste de mínimos quadrados do MATLAB fmincon na caixa de ferramentas de otimização.

3. Resultados

3.1. Parâmetro Experimental

A Tabela 1 descreve as taxas de% da área ocluída dos espécimes de dentina escovados em sete dias com ou sem saliva artificial. No EB @ TiO2-grupo tratado, as taxas de% de área ocluída observadas para as amostras com saliva foram significativamente maiores do que aquelas sem saliva para os dias 2, 3, 4, 6 e 7 (

) Nenhuma diferença foi observada entre os dois grupos no dia 5 (

) Por outro lado, o grupo sem saliva foi maior do que o grupo com saliva no dia 1 ().


A estrada para o caos

Até agora observamos que quando $ lambda & gt1 $ temos um único ponto fixo em $ x ^ < star> = 1-1 / lambda $ que perde estabilidade em um valor crítico $ lambda_ <2> = 3 $ quando um emerge um período estável de 2 ciclos. Se aumentarmos $ lambda $ além de $ lambda_ <3> = 3.449. $ veremos que o período-2-ciclo também perde estabilidade. Ele é substituído por um período de 4 ciclos novo, estável e atraente. Os pontos que compõem este ciclo são pontos fixos estáveis ​​do mapa quádruplo [h = g circ g = f circ f circ f circ f. ] Agora acontece que este período de 4 ciclos não permanece estável por muito tempo, mas em $ lambda_ <4> = 3,54409. $ é substituído por um período estável de 8 ciclos e assim por diante.

O que é importante notar é que os pontos críticos em que estes textbf ocorrer, ou melhor, a separação torna-se cada vez menor e, eventualmente, em [ lambda _ < infty> = 3,569946. ] nós temos uma período de infinito. Isso significa que embora tenhamos um `` ciclo '' que é atraente, seu período é infinito, então nunca se repete, não é mais realmente periódico. Em vez disso, tornou-se aperiódico e caótico. Isso foi muito confuso para as pessoas que primeiro olharam para o mapa logístico simples. Podemos calcular a proporção [ delta = lim_ frac < lambda_- lambda_> < lambda_- lambda_> = 4.669] O limite é conhecido como Constante de Feigenbaum. Esta é uma constante universal que reaparece continuamente em sistemas como o mapa logístico e está intimamente ligada a sistemas caóticos.

O que é ainda mais intrigante é que as soluções periódicas como o período de 2 ciclos, 4 ciclos etc., embora não sejam mais estáveis ​​no regime caótico, ainda existem como repelentes. Portanto, para $ lambda & gt lambda _ < infty> $, temos um conjunto muito denso e infinito de órbitas periódicas no sistema, todas instáveis. Na verdade, eles têm que em forma no sistema de alguma forma, então, na verdade, para cada ponto $ x $, temos um conjunto infinito de órbitas periódicas arbitrariamente próximas a ele.


Exploração da dinâmica produzida pela equação logística discreta

Temos duas opções para explorar o comportamento de equações, como a logística discreta. Primeiro, dadas as condições iniciais, por exemplo, um número inicial de plantas em germinação e valores para os parâmetros K e X, podemos gerar uma série de valores de plantas como fizemos para o modelo independente da densidade. Esta é uma abordagem de simulação para o processo exploratório: ela nos mostrará o que a equação (modelo) pode fazer, mas não necessariamente nos dirá muito sobre por que o faz. Se quisermos saber por quê, temos que realizar alguma forma de análise matemática, que é conhecida como abordagem analítica. Algumas técnicas analíticas são detalhadas após as simulações.

Os valores de N gerados a partir de simulações usando a equação 5.4 são exibidos na Fig. 5.4. Começando com 10 plantas em germinação, a Fig. 5.4a mostra um diagrama de fluxo da sequência de cálculos na simulação (tais simulações podem ser escritas em pacotes de planilhas amplamente disponíveis). Este é um processo iterativo no qual geramos um valor para Nt + 1 e então o usamos como o novo Nt e assim por diante. Você deve verificar os primeiros poucos valores de iteração fornecidos na Fig. 5.4b.

(b)

Fig. 5.4 (a) Diagrama de fluxo da seqüência de cálculos mostrando como gerar valores sucessivos de Nt usando a equação logística discreta (equação 5.4). Mudança na densidade (Nt) com o tempo gerado a partir da equação logística discreta com K = 100 e 200 e X tomando os valores: (b) 2, (c) 3,1, (d) 3,5 e (e) 4. Todos os gráficos começam com N1 = 10.

Fig. 5.4 (a) Diagrama de fluxo da seqüência de cálculos mostrando como gerar valores sucessivos de Nt usando a equação logística discreta (equação 5.4). Mudança na densidade (Nt) com o tempo gerado a partir da equação logística discreta com K = 100 e 200 e X tomando os valores: (b) 2, (c) 3,1, (d) 3,5 e (e) 4. Todos os gráficos começam com N1 = 10.

(e)

A dinâmica da população modelo ao longo do tempo em diferentes valores de X pode ser resumida como segue. Em X = 2, a população se aproxima de um valor de equilíbrio de K / 2 no qual permanece (Fig 5.4b), ou seja, este parece ser um valor de equilíbrio estável. Lembre-se do Capítulo 2 que o equilíbrio é definido como a densidade populacional para a qual ou ao redor da qual uma população se moverá, enquanto a estabilidade descreve a tendência de uma população de permanecer ou mover-se em direção ao equilíbrio ou em torno dele. Vimos que a dinâmica independente da densidade só pode produzir um estado estacionário se X = 1. Em contraste, a dependência da densidade permite um equilíbrio estável ecologicamente viável com diferentes valores de X. Em X = 3.1 (Fig. 5.4c), a população oscila entre duas densidades, isso é conhecido como um ciclo de limite de dois pontos. Em X = 3,5 (Fig. 5.4d), ciclos limite de quatro pontos são produzidos, enquanto em X = 4 (Fig. 5.4e) os ciclos inicialmente regulares se rompem, de modo que a população flutua, aparentemente de forma imprevisível, entre uma série de densidades. Isso é conhecido como dinâmica caótica: a definição matemática de caos e sua importância na ecologia é considerada a seguir. Nesta equação os valores de K não afetam a dinâmica e apenas contribuem para o tamanho do equilíbrio.

Para ter certeza da estabilidade do equilíbrio com X = 2, precisamos deslocar a população do equilíbrio assumido e verificar seu retorno.Isso pode ser conseguido executando o modelo a partir de diferentes condições iniciais e mostraria que o equilíbrio de 50 é de fato estável; na verdade, é globalmente estável para todos os valores ecologicamente realistas. A 'estabilidade global' deve ser qualificada para acomodar uma falha no modelo, que é que ele irá falhar se os valores de Nt excederem K (porque 1 - Nt / K torna-se negativo). O ciclo de limite de dois pontos também é estável para um determinado valor de X (dentro da faixa de valores que dá os ciclos de dois pontos), a população sempre flutuará entre as mesmas duas densidades de modo que agora haja dois equilíbrios estáveis. Em contraste, a dinâmica caótica não possui essa propriedade. Aqui, a sequência particular de valores depende das condições iniciais, embora o tamanho das flutuações seja determinado pelos valores de X e K.

A possibilidade de dinâmica caótica significa que, se dinâmicas 'aleatórias' ou imprevisíveis forem registradas, isso não significa necessariamente que os mecanismos subjacentes sejam aleatórios (estocásticos). Parte ou toda a 'aleatoriedade' poderia ser produzida por processos determinísticos previsíveis expressos como caos. Assim, se a mudança da população é descrita pela equação logística discreta, cada tamanho da população em t + 1 (Nt + 1) é dado por um valor particular de Nt. Podemos ver isso claramente traçando Nt + i contra Nt (Fig. 5.5a) usando os valores dos parâmetros para X e K de 4 e 100 (Fig. 5.4e). O sistema caótico mostra a relação matemática da logística discreta: uma equação quadrática. Um ajuste através dos pontos dá (como esperado) um ajuste perfeito indicado por r2 de 1. Os coeficientes de -0,04 e +4 concordam com a equação 5.5 (-X / K para Nt2 e X para Nt). Isso pode ser comparado com uma sequência verdadeiramente aleatória de valores onde Nt + 1 plotado contra Nt é uma nuvem de pontos (Fig. 5.5b).

O desafio de detectar o caos na dinâmica populacional real é, portanto, distingui-lo de eventos aleatórios. O primeiro estudo a tentar detectar o caos em populações de laboratório e de campo foi feito por Hassell et al. (1976). Eles usaram a técnica de assumir um modelo matemático subjacente (descrito pela equação Nt + 1 = XNt (1 + aNt) -b discutida acima) e determinar os valores de X, aeb para diferentes populações de insetos. Eles foram então capazes de comparar esses valores com aqueles conhecidos por produzirem ciclos limite e caos (Fig. 5.6). Portanto, Hassell e seus colegas estavam testando se o modelo que é ajustado aos dados tem valores de parâmetro que gerariam o caos. Os valores dos parâmetros de b e X para cada espécie foram sobrepostos nas regiões de diferentes comportamentos dinâmicos previstos pelo modelo, por exemplo, equilíbrio estável, ciclos limites e caos.

Apenas uma espécie apresentou valores consistentes com a dinâmica caótica e outra consistente com os ciclos limites. Todas as outras populações estavam na região de equilíbrio estável. É importante notar que a população aparentemente caótica era uma população de laboratório de varejeira estudada por Nicholson (1954). O


Prefácio à Terceira Edição xiii

1 Introdução ao Modelo de Regressão Logística 1

1.2 Ajustando o Modelo de Regressão Logística 8

1.3 Teste para a Significância dos Coeficientes 10

1.4 Estimativa de intervalo de confiança 15

1.5 Outros Métodos de Estimativa 20

1.6 Conjuntos de dados usados ​​em exemplos e exercícios 22

1.6.2 O Estudo de Baixo Peso ao Nascer 24

1.6.3 O Estudo Longitudinal Global de Osteoporose em Mulheres 24

1.6.4 O Estudo de Colocação de Adolescentes 26

1.6.5 O Estudo de Lesões por Queimadura 27

1.6.8 O Estudo de Polifarmácia 31

2 O Modelo de Regressão Logística Múltipla 35

2.2 O Modelo de Regressão Logística Múltipla 35

2.3 Ajustando o Modelo de Regressão Logística Múltipla 37

2.4 Teste para a Significância do Modelo 39

2.5 Estimativa de intervalo de confiança 42

2.6 Outros Métodos de Estimativa 45

3 Interpretação do Modelo de Regressão Logística Ajustada 49

3.2 Variável Independente Dicotômica 50

3,3 Variável Independente Policotômica 56

3.4 Variável Independente Contínua 62

3.5 Modelos Multivariáveis ​​64

3.6 Apresentação e Interpretação dos Valores Ajustados 77

3.7 Uma Comparação de Regressão Logística e Análise Estratificada para Tabelas 2 e vezes 2 82

4 Estratégias e métodos de construção de modelos para regressão logística 89

4.2 Seleção Objetiva de Covariáveis ​​89

4.2.1 Métodos para examinar a escala de uma covariada contínua no Logit 94

4.2.2 Exemplos de seleção objetiva 107

4.3 Outros métodos para selecionar covariáveis ​​124

4.3.1 Seleção Stepwise de Covariáveis ​​125

4.3.2 Melhor Regressão Logística de Subconjuntos 133

4.3.3 Selecionando covariáveis ​​e verificando sua escala usando polinômios fracionários multivariáveis ​​139

4.4 Problemas Numéricos 145

5 Avaliando o Ajuste do Modelo 153

5.2 Medidas resumidas de adequação 154

5.2.1 Estatística de qui-quadrado de Pearson, desvio e soma dos quadrados 155

5.2.2 Os testes Hosmer & ndashLemeshow 157

5.2.3 Tabelas de Classificação 169

5.2.4 Área sob a curva de característica de operação do receptor 173

5.2.5 Outras Medidas Resumidas 182

5.3 Diagnóstico de Regressão Logística 186

5.4 Avaliação de ajuste por meio de validação externa 202

5.5 Interpretação e Apresentação dos Resultados de um Modelo de Regressão Logística Ajustado 212

6 Aplicação de regressão logística com diferentes modelos de amostragem 227

6.3 Estudos de caso-controle 229

6.4 Ajustando Modelos de Regressão Logística para Dados de Pesquisas Amostrais Complexas 233

7 Regressão logística para estudos de caso-controle combinados 243

7.2 Métodos para avaliação de ajuste em um 1 & ndashM Estudo Pareado 248

7.3 Um exemplo usando o modelo de regressão logística em um estudo correspondente 1 & ndash1 251

7.4 Um exemplo usando o modelo de regressão logística em um 1 & ndashM Estudo Pareado 260

8 Modelos de Regressão Logística para Resultados Multinomiais e Ordinais 269

8.1 O Modelo de Regressão Logística Multinomial 269

8.1.1 Introdução ao Modelo e Estimativa dos Parâmetros do Modelo 269

8.1.2 Interpretar e avaliar a significância dos coeficientes estimados 272

8.1.3 Estratégias de construção de modelos para regressão logística multinomial 278

8.1.4 Avaliação de Estatísticas de Ajuste e Diagnóstico para o Modelo de Regressão Logística Multinomial 283

8.2 Modelos de Regressão Logística Ordinal 289

8.2.1 Introdução aos Modelos, Métodos para Ajuste e Interpretação dos Parâmetros do Modelo 289

8.2.2 Estratégias de construção de modelos para modelos de regressão logística ordinal 305

9 Modelos de regressão logística para a análise de dados correlacionados 313

9.2 Modelos de regressão logística para a análise de dados correlacionados 315

9.3 Métodos de estimativa para modelos de regressão logística de dados correlacionados 318

9.4 Interpretação de Coeficientes de Modelos de Regressão Logística para a Análise de Dados Correlacionados 323

9.4.1 Modelo de Média Populacional 324

9.4.2 Modelo específico de cluster 326

9.4.3 Métodos de estimativa alternativos para o modelo específico de cluster 333

9.4.4 Comparação da Média da População e do Modelo Específico de Cluster 334

9.5 Um Exemplo de Modelagem de Regressão Logística com Dados Correlacionados 337

9.5.1 Escolha do Modelo para Análise de Dados Correlacionados 338

9.5.2 Modelo de Média Populacional 339

9.5.3 Modelo específico de cluster 344

9.5.4 Pontos adicionais a considerar ao ajustar modelos de regressão logística para dados correlacionados 351

9.6 Avaliação do Ajuste do Modelo 354

9.6.1 Avaliação do Ajuste do Modelo Médio da População 354

9.6.2 Avaliação de Ajuste de Modelo Específico de Cluster 365

10 tópicos especiais 377

10.2 Aplicação de métodos de pontuação de propensão na modelagem de regressão logística 377

10.3 Métodos Exatos para Modelos de Regressão Logística 387

10.5 Problemas de tamanho de amostra ao ajustar modelos de regressão logística 401

10.6 Métodos Bayesianos para Regressão Logística 408

10.6.1 O Modelo de Regressão Logística Bayesiana 410

10.6.3 Um Exemplo de Análise Bayesiana e Sua Interpretação 419

10.7 Outras funções de link para modelos de regressão binária 434

10.8.1 Distinguindo Mediadores de Confundidores 441

10.8.2 Implicações para a interpretação de um coeficiente de regressão logística ajustada 443

10.8.3 Por que se ajustar para um mediador? 444

10.8.4 Usando Regressão Logística para Avaliar Mediação: Premissas 445

10.9 Mais sobre interação estatística 448

10.9.1 Escala aditiva versus multiplicativa & ndashRisk Difference versus Odds Ratio 448

10.9.2 Estimando e testando a interação aditiva 451


Assista o vídeo: CRESCIMENTO EXPONENCIAL EDO Equações Diferenciais Separáveis (Dezembro 2021).