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10: Derivados Parciais e a Equação de Difusão


10: Derivados Parciais e a Equação de Difusão

Consideramos primeiro o caso unidimensional da condução de calor. Isso pode ser conseguido com uma haste longa e fina em uma aproximação muito boa. Assumimos que o calor é transferido apenas ao longo da haste e não lateralmente para o ambiente (haste isolada termicamente).

Figura: Distribuição de temperatura ao longo de uma haste fina aquecida

Além disso, as propriedades do material da haste homogênea, como capacidade térmica e densidade, são consideradas constantes. Agora a haste é aquecida em um ponto ou mesmo em vários pontos. O calor então flui de locais de temperatura mais alta para locais com temperaturas mais baixas. Como resultado, os pontos quentes tornam-se mais frios e os pontos frios ficam mais quentes, até que em algum ponto as temperaturas se equalizam e a haste tem uma temperatura uniforme e temporalmente constante.

Animação: distribuição de temperatura ao longo do tempo ao longo de uma haste fina aquecida

Durante a equalização de temperatura, agora consideramos uma seção infinitesimal dx em qualquer ponto. Esta seção muda sua temperatura em dT dentro do período de tempo dt devido ao calor Qn. A seguinte relação se aplica entre o calor Qn e a mudança de temperatura dT (c denota o capacidade de calor específica):

começar
& ampQ_n = m cdot c cdot textT [5px]
& ampQ_n = underbrace < overbracex> ^ cdot rho> _ cdot c cdot textT [5px]
fim

Figura: Relação entre fluxo de calor e mudança de temperatura ao longo do tempo

Na equação acima, a massa m da seção da haste foi expressa por seu volume V e sua densidade ϱ, sendo que o volume, por sua vez, pode ser descrito pela área A e pelo comprimento da seção dx.

Desde o calor Qn é transferido dentro do tempo dt, a seguinte relação se aplica entre a taxa de fluxo de calor Q *n= Qn/ dt e a mudança temporal da temperatura dT / dt:

começar
& amp frac< textt> = A cdot textx cdot rho cdot c cdot frac < textT> < textt> [5px]
ótulo
& amp dot Q_n = A cdot textx cdot rho cdot c cdot frac < textT> < textt> [5px]
fim

Na equação acima, Q *n denota o fluxo de calor líquido que aquece ou resfria a seção considerada (daí o índice & # 8220n & # 8221). Em última análise, esta equação descreve o efeito de um fluxo de calor na temperatura, mas não o causa do próprio fluxo de calor. A causa de um fluxo de calor é a presença de um gradiente de temperatura dT / dx de acordo com a lei de Fourier & # 8217s (λ denota a condutividade térmica):

Pode-se determinar o fluxo de calor líquido da seção considerada usando a lei de Fourier & # 8217s. Para isso, deve-se determinar, por um lado, qual fluxo de calor Q *dentro leva para a seção e, por outro lado, cujo fluxo de calor Q *Fora sai da seção. A diferença finalmente corresponde ao fluxo de calor líquido. O fluxo de calor líquido nada mais é do que a diferença infinitesimal dQ * nos fluxos de calor entre uma extremidade da seção e a outra extremidade:

Figura: Equação de calor com geração interna de calor

Neste ponto, para uma representação matemática correta, deve-se notar que um aumento no fluxo de calor ao longo da direção x (positiva) da haste significa que o fluxo de calor de saída é maior do que o fluxo de calor de entrada. Como resultado, o calor é removido da seção. Este calor deve ser contado negativamente para que a temperatura mude de acordo com a equação ( ref) na verdade corresponde a uma diminuição da temperatura (dT & lt0). Portanto, um sinal negativo deve ser adicionado à equação superior:

Se na equação ( ref) o fluxo de calor líquido Q *n é substituído pela diferença do fluxo de calor de entrada e saída dQ *, então a seguinte relação se aplica à mudança temporal da temperatura:

O termo dQ * / dx corresponde à primeira derivada do fluxo de calor em relação a x (gradiente de fluxo de calor) De acordo com a lei de Fourier & # 8217, isso por sua vez corresponde à segunda derivada da temperatura em relação a x. O uso da Lei de Fourier & # 8217s ( ref) na equação acima revela esta relação:

A mudança temporal da temperatura em um determinado local é, portanto, dada pela segunda derivada da distribuição de temperatura (em relação a x). A segunda derivada corresponde ao mudança do gradiente de temperatura no ponto considerado.

A mudança temporal da temperatura em um determinado ponto resulta da mudança espacial do gradiente de temperatura neste ponto. A equação do calor descreve para um estado instável a propagação da temperatura em um material.

Em geral, a temperatura não é apenas função do tempo, mas também do lugar, porque afinal a haste tem diferentes temperaturas ao longo de seu comprimento. Na equação acima, o lado esquerdo da equação é, portanto, um derivativo parcial da temperatura em relação ao tempo e o lado direito da equação é um segundo derivativo parcial com respeito ao espaço. A notação matemática correta é, portanto:

Esta equação diferencial é chamada de equação diferencial parcial parabólica (equação diferencial de segunda ordem).


10: Derivados Parciais e a Equação de Difusão

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Problema 7 dificuldade fácil

A equação de difusão bidimensional
$
frac < parcial n ( mathbf, t)> < partial t> = D left ( frac < partial ^ <2> n ( mathbf, t)> < partial x ^ <2>> + frac < partial ^ <2> n ( mathbf, t)> < parcial y ^ <2>> direita)
$
onde $ n ( mathbf, t), mathbf= (x, y) $, denota a densidade populacional no ponto $ mathbf= (x, y) $ no plano no tempo $ t $, pode ser usado para descrever a propagação de organismos. Suponha que um grande número de insetos seja liberado no momento 0 no ponto $ (0,0) $. Além disso, suponha que, em momentos posteriores, a densidade desses insetos pode ser descrita pela equação de difusão (10.50). Mostra isso
$
n (x, y, t) = frac> <4 pi D t> exp left [- frac+ y ^ <2>> <4 D t> direita]
$
satisfaz $ (10,50) $


10: Derivados Parciais e a Equação de Difusão

A ideia básica do método de diferenças finitas para resolver PDEs é substituir as derivadas espaciais e temporais por aproximações adequadas e, em seguida, resolver numericamente as equações de diferenças resultantes. Especificamente, em vez de resolver para com e contínuo, resolvemos para, onde

definir a grade mostrada na Figura 1.

As derivadas de são aproximadas em termos dos valores de nos pontos da grade. Por exemplo, sabemos que

A segunda derivada no ponto da grade pode ser aproximada usando

Em vez de usar aproximações para em termos dos valores de at como para a diferença progressiva, ou nos pontos quanto para a diferença regressiva, imaginemos, em vez disso, que a avaliemos nos pontos (fictícios), definidos de maneira óbvia. Então, usando aproximações de diferença central para as derivadas espaciais avaliadas nestes pontos,

Podemos aproximar as derivadas em relação ao tempo da mesma maneira. Por exemplo, a aproximação da diferença direta para o ponto da grade é

Deve-se notar que essas aproximações de diferenças finitas são válidas apenas para alguma ordem em ou. O erro nas aproximações é denominado erro de truncamento. É possível obter aproximações que são válidas em ordem superior usando mais pontos de grade nas aproximações. Tudo isso é muito importante, mas para nossos propósitos as aproximações fornecidas acima serão suficientes.

Usando as aproximações (3) e (4) em (2), e reorganizando, obtemos a seguinte equação de diferença que pode ser iterada para encontrar a solução aproximada para a equação (2):

Isso é chamado de esquema numérico explícito porque o cálculo de at é completamente determinado pelo nosso cálculo de at. Este esquema também é chamado de consistente porque as aproximações de diferenças finitas têm um erro de truncamento que se aproxima de zero no limite que,.

Embora este seja um método consistente, ainda não temos garantia de que a iteração da equação (5) dará uma boa aproximação para a solução verdadeira da equação de difusão (2). Um esquema numérico é denominado convergente se a solução das equações discretizadas (aqui, a solução de (5)) se aproxima da solução exata (aqui, a solução de (2)) no limite que,.

Para equações lineares como a equação de difusão, a questão da convergência está intimamente relacionada à questão da estabilidade do esquema numérico (um esquema é chamado de estável se não aumenta os erros que surgem no curso do cálculo). De fato, o Teorema da Equivalência Lax afirma que, para um problema de valor inicial devidamente proposto para um PDE linear e uma aproximação de diferença finita consistente, a estabilidade é a condição necessária e suficiente para a convergência. Além disso, pode-se mostrar que o esquema dado por (5) só é convergente quando

Essas questões também são muito importantes, mas este não é o lugar apropriado para examiná-las com mais detalhes. Todos os detalhes são descritos, por exemplo, em A First Course in Numerical Analysis of Differential Equations por Arieh Iserles, Cambridge University Press, 1996.

No entanto, antes de prosseguir, deixe-me enfatizar que à medida que os tamanhos e se tornam menores, o erro de truncamento de aproximar as derivadas parciais por diferenças finitas diminui. No entanto, para tamanhos menores, mais cálculos precisam ser feitos para obter soluções para o mesmo domínio e tempo total, o que leva a um aumento do erro de arredondamento. O erro total em função desses tamanhos é esboçado na Figura 2.


3. Codificando o operador de difusão discretizado em numpy & # 182

Aqui, dividiremos nosso domínio em 20 pontos de grade.

Os fluxos serão resolvidos na grade escalonada com 21 pontos.

$ u $ será resolvido na grade de 20 pontos.

Esta é uma maneira de implementar a diferença finita, usando a indexação de array.

Também podemos usar a função numpy.diff () para realizar a mesma coisa:

Aqui está uma função que calcula o fluxo difusivo $ F $ na grade escalonada, incluindo os limites.

A tendência temporal de $ u $ é apenas a convergência desse fluxo, que requer mais uma diferença finita:

Um bom exemplo & # 182

Suponha que temos um campo $ u $ inicial que tem um máximo local no interior.

A função gaussiana (curva em sino) é uma maneira conveniente de criar tal campo.

Esperançosamente, isso faz sentido. A difusão atua suavizando $ u $ reduzindo o pico e aumentando $ u $ nos flancos da saliência gaussiana.

Alguns exemplos não suaves & # 182

Use um gerador de números aleatórios para criar algumas condições iniciais ruidosas.


A difusão de calor através de uma rede cristalina ocorre por meio de dois processos. Primeiro, o calor pode ser transportado por elétrons na forma de energia cinética em rochas metálicas. Se uma região da rocha é aquecida em uma extremidade, a energia térmica excita os elétrons, dando-lhes energia extra para se moverem através da rocha de regiões de alto calor para regiões de baixo calor. Conforme os elétrons se movem, eles perdem parte dessa energia extra na forma de calor, aquecendo assim a região para a qual se moveram. Em segundo lugar, o aquecimento de uma estrutura de rede adiciona energia cinética à própria rede, aumentando as ligações vibracionais entre os átomos (pense nos átomos conectados uns aos outros por pequenas molas). O movimento desta energia vibracional através da estrutura da rede é denominado um Phonon. Ambos os modos de passagem de energia através da estrutura de rede atuam para conduzir o calor de regiões de temperatura mais alta para regiões de temperatura mais baixa, mudando a distribuição (e talvez a quantidade total) de calor dentro da rocha.

Figura ( PageIndex <4> ): Difusão de calor através de uma estrutura de cristal

Equação de fluxo de calor: uma haste 1-D

Comece com uma haste cilíndrica, de comprimento (L ) e área da seção transversal (A ), alinhada com o eixo z. Fixe a temperatura em (z = 0 ) para (T_1 ) e a temperatura de (z & gt0 ) para (z = L ) para (T_2 ), onde (T_2 & gtT_1 ). O calor, (Q ), se moverá da região de alta temperatura para a região de baixa temperatura, na direção -z.

Figura ( PageIndex <5> ): Fluxo de calor em uma haste 1D

A mudança no calor dentro da haste, ( Delta Q ), é dada por:

[ Delta Q = kA left (d frac direita) Delta t nonumber ]

onde (k ) é o condutividade térmica com unidades de ( frac) (watts por metro Kelvin). Portanto, ( Delta Q ) tem unidades de joules (note 1 W = 1 ( frac)). Reorganize a equação acima como,

O lado esquerdo é a mudança no calor por unidade de área por unidade de tempo, que é um fluxo de calor, dado o símbolo, (q ).

Substituindo (q ) na equação acima e, em seguida, reescrevendo o outro lado como uma derivada completa, chegamos ao Equação de fluxo de calor:

Observe que o sinal de menos mostra que o calor se move na direção -z de alta temperatura para baixa temperatura.

Equação de difusão para um volume 3-D

De maneira mais geral, devemos considerar um elemento de volume 3-D (de uma rocha) e examinar como o conteúdo de calor muda dentro desse volume em função do tempo. Considere um elemento de volume cúbico com lados de comprimento (dx ), (dy ) e (dz ) e volume, (dV = dxdydz ).

Figura ( PageIndex <6> ): Fluxo de calor em 3D

Considere o calor fluindo ao longo do eixo z. O calor que entra no volume em z + dz é (Q_z ) e o calor que sai do volume em z é (Q_z -dQ_z ). A mudança no calor dentro do volume é então:

[ Delta Q = Q_z- (Q_z-dQz) nonumber ]

[ Delta Q = Q_z- (Q_z- left ( dfrac right) (- dz)) nonumber ]

[ Delta Q = - left ( frac right) dz nonumber ]

A partir da equação do fluxo de calor (Equação ref) nós também sabemos que

Substituindo (q ) na equação por (dQ ) e, em seguida, substituindo (dQ ) na equação por ( Delta q ), encontramos,

onde (dV = Adz = dxdydz ). Se a condutividade, (k ), é independente da posição (uma constante em toda a rocha), então isso pode ser escrito como:

onde ambos os sinais negativos foram cancelados de forma que ( Delta Q ) é positivo. Esta equação afirma que as mudanças no fluxo de calor no elemento de volume da rocha são proporcionais ao curvatura (segunda derivada) do perfil de temperatura. Isso é interessante, porque geralmente pensamos na condução como sendo mais rápida onde o gradiente é maior, mas na verdade é mais rápida onde o mudança no gradiente é o maior.

O calor total dentro da rocha também pode ser considerado da perspectiva da capacidade de calor total da rocha (quanto calor a rocha pode conter), que depende do calor específico, (c ), e da densidade, ( rho ), da rocha:

[ Delta Q = c rho dV Delta T nonumber ]

Definindo as duas expressões para ( Delta Q ) iguais:

[c rho dV Delta T = k ( frac) dV dt nonumber ]

que pode ser reorganizado como,

onde (dT ) foi substituído por ( Delta T ). A combinação de constantes físicas, ( frac) é o difusividade térmica e tem unidades de (( frac) ). A difusividade térmica recebe o símbolo grego ( kappa ) (kappa). Substituindo em ( kappa ) chegamos ao Equação de difusão 1-D:

Observe que esta equação relaciona a mudança na temperatura por unidade de tempo à curvatura do perfil de temperatura na direção do fluxo de calor.

Forma completa da equação de difusão

Em geral, o fluxo de calor pode vir de qualquer direção, então a temperatura dependerá de x, y, z e t. Porque (T = T (x, y, z, t) ) e não é apenas dependente de uma variável, é necessário reescrever as derivadas na equação de difusão como derivadas parciais:

Neste caso, por exemplo, para a derivada parcial em relação ao tempo, cada uma das variáveis ​​(x, y, z) são tratadas como constantes e assim por diante para cada outra variável. Não deixe que as derivadas parciais o confundam, elas são apenas derivadas. Em geral, você ainda quer pensar nesta equação como um monte de pequenas mudanças na temperatura, ( Delta T ), ocorrendo em pequenos intervalos de tempo, ( Delta t ), e em pequenas distâncias ( ( Delta z )):

Esta é a & quotEquação de difusão simplificada & quot

Estimando tempo / escala de comprimento para processos difusivos

Escala de comprimento de difusão

A versão simplificada acima da equação de difusão pode ser resolvida para ( Delta z ) para dar uma indicação de quão longe o calor pode se mover em um determinado período de tempo:

Para a terra, um bom valor médio para a difusividade térmica é ( kappa = 1x10 ^ <-6> frac). A que distância o calor se difunde através de uma rocha em 1 milhão de anos?

onde há cerca de (3,15 vezes 10 ^ 7 ) segundos por ano,

O que essa escala de comprimento nos diz? Ele não nos diz a temperatura em nenhuma distância específica, mas, em vez disso, nos diz que uma quantidade perceptível de calor terá percorrido essa distância no tempo especificado.

Escala de tempo de difusão

Outra maneira de construir sua intuição para difusão é resolver a equação de difusão simplificada para ( Delta t ):

Podemos usar essa escala de tempo para considerar a questão de quanto tempo leva para a intrusão de magma de calor afetar a rocha circundante a 100 m de distância?

O que essa escala de tempo nos diz? Ele não nos diz a temperatura na distância especificada, mas, em vez disso, nos diz que uma quantidade perceptível de calor terá atingido a distância especificada neste tempo.

É importante ter em mente que o gradiente de temperatura, que controla o fluxo de calor, muda tanto espacial quanto temporalmente, de modo que o transporte de calor é mais rápido inicialmente e mais lento posteriormente. Portanto, a escala de tempo de difusão e a escala de comprimento fornecem apenas uma estimativa da ordem de magnitude das escalas de tempo e escalas de comprimento que serão importantes no problema.

Difusividade e difusão em 1, 2 ou 3 dimensões

Observe que ( kappa ) tem unidades de ( frac), que não depende da temperatura ou do fluxo de calor. A difusividade, em geral, descreve o espalhamento de alguma quantidade (por exemplo, temperatura, concentração) através de uma área em alguma unidade de tempo. Cada processo de difusão terá sua difusividade própria, que quantifica como ocorre o processo de difusão para aquele material. Cada difusividade terá as mesmas unidades, ( frac), não importa qual processo difusivo está sendo considerado.

Se ( kappa ) for uma constante (o que geralmente é), a difusão será isotrópica (a mesma em todas as direções). No entanto, lembre-se de que, se houver diferenças iniciais nos gradientes de temperatura (devido a como ocorreu o distúrbio de temperatura inicial), a taxa de resfriamento ou aquecimento pode ser diferente em diferentes direções.

Figura ( PageIndex <1> ): Difusão de Calor em 2D

Os contornos da figura acima são análogos aos contornos de um mapa topográfico. Os contornos são espaçados próximos na direção x e, portanto, o gradiente de temperatura é grande lá. Assim, quanto maior o grau de curvatura no gráfico indica a direção de resfriamento ou aquecimento máximo.

Figura ( PageIndex <2> ): Taxas de resfriamento


Esquema Crank-Nicolson¶

A ideia do esquema Crank-Nicolson é aplicar diferenças centralizadas no espaço e no tempo, combinadas com uma média no tempo. Exigimos que o PDE seja cumprido nos pontos da malha espacial, mas entre os pontos na malha do tempo:

para (i = 1, ldots, N_x-1 ) e (n = 0, ldots, N_t-1 ).

Com diferenças centradas no espaço e no tempo, obtemos

No lado direito, temos uma expressão

Esta expressão é problemática porque (u ^<2>> _i ) não é uma das incógnitas que calculamos. Uma possibilidade é substituir (u ^<2>> _i ) por uma média aritmética:

Na notação compacta, podemos usar a notação de média aritmética ( overline^ t ):

Depois de escrever as diferenças e a média, multiplicar por ( Delta t ) e coletar todos os termos desconhecidos no lado esquerdo, obtemos

Também aqui, como no esquema Backward Euler, as novas incógnitas (u ^_), (u ^_), e (u ^_) são acoplados em um sistema linear (AU = b ), onde (A ) tem a mesma estrutura que em (14), mas com entradas ligeiramente diferentes:

para as equações de pontos internos, (i = 1, ldots, N_x-1 ). As equações para os pontos de fronteira correspondem a


1 resposta 1

Sim, é verdade que $ u_ alpha & gt u_ beta $ para $ t & gt 0, 0 & lt x & lt 1 $.

Considere primeiro o problema $ partial_t u = gamma (x) partial ^ 2_x u, , 0 & lt x & lt 1, , u (0) = u (1) = 1 ,. $ com $ gamma $ suave que é positivo em $ [0,1] $.

Lema. Se $ u (0, cdot) $ for côncavo, então $ partial ^ 2_x u (t, cdot) le 0 $ para todos $ t & gt 0 $.

Prova. Sem perda de generalidade, $ u (0, cdot) $ é suave. Defina $ w = partial ^ 2_x u $. Então $ w (0, cdot) le 0 $ e $ w $ satisfaz $ partial_t w = gamma (x) parcial ^ 2_x w + 2 gamma '(x) partial_x w + gamma' '( x) w $ Além disso, para $ x in <0,1 > $, sabemos que $ gamma (x) w (t, x) = gamma (x) partial_t u (t, x) = gamma (x) cdot 0 = 0 $ e, portanto, $ w (t, x) = 0 $ para $ x in <0,1 > $. Pelo princípio de comparação usual para soluções de equações parabólicas, $ u_(t, x) = w ( cdot, x) le 0 $ para $ t & gt 0, , 0 & lt x & lt 1 $.

Agora considere os dois problemas $ partial_t u_ alpha = alpha (x) parcial ^ 2_x u_ alpha, quad partial_t u_ beta = beta (x) parcial ^ 2_x u_ beta $ com $ alpha & lt beta $ em $ [0,1] $. Suponha também que $ alpha, beta $ são ambos contínuos. Encontre um $ gamma $ suave de modo que $ alpha & lt gamma & lt beta $. Seja $ u_ gamma $ a solução da equação do calor com esta função de coeficiente e defina $ v = u_ alpha - u_ gamma $, com os mesmos dados iniciais e de contorno. Então $ v $ satisfaz $ partial_t v = alpha (x) parcial ^ 2_x v + ( alpha (x) - gamma (x)) parcial ^ 2_x u_ gamma $ com dados $ v (0, x ) = 0, , v (t, 0) = v (t, 1) = 0 $. Como $ partial ^ 2_x u_ gamma le 0 $ e $ alpha - gamma & gt 0 $, segue-se que $ v & gt 0 $ para $ t & gt 0, , 0 & lt x & lt 1 $. Portanto, $ u_ alpha & gt u_ gamma $ neste conjunto. Pelo mesmo argumento também $ u_ gamma & gt u_ beta $ neste conjunto.


10: Derivados Parciais e a Equação de Difusão

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Este curso é sobre equações diferenciais e cobre o material que todos os engenheiros devem saber. Tanto a teoria básica quanto as aplicações são ensinadas. Nas primeiras cinco semanas, aprenderemos sobre equações diferenciais ordinárias e, na semana final, equações diferenciais parciais. O curso é composto por 56 vídeos de palestras curtas, com alguns problemas simples para resolver após cada aula. E depois de cada tópico substancial, há um pequeno teste prático. Soluções para os problemas e testes práticos podem ser encontrados nas notas de aula fornecidas pelo instrutor. O curso tem um total de seis semanas e, ao final de cada semana, há um questionário avaliado. Baixe as notas da aula: http://www.math.ust.hk/

machas / diferencial-equations-for-engineer.pdf Assista ao vídeo promocional: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

Equação diferencial ordinária, equação diferencial parcial (PDE), matemática de engenharia

Рецензии

Melhor curso. explicaram os aspectos teóricos e práticos das equações diferenciais e, ao mesmo tempo, cobriram uma parte substancial do assunto de uma maneira muito fácil e didática.

Acho que este curso é muito adequado para qualquer mente curiosa. Você pode aprender conceitos muito importantes e necessários com este curso. N nOs cursos ministrados pelo Professor Dr. Chasnov são excelentes.

Equações diferenciais parciais

Para aprender como resolver uma equação diferencial parcial (pde), primeiro definimos uma série de Fourier. Em seguida, derivamos a equação de difusão unidimensional, que é um pde para a difusão de um corante em um tubo. Prosseguimos para resolver este pde usando o método de separação de variáveis.

Преподаватели

Jeffrey R. Chasnov

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OK. Estamos nos estágios finais de resolução da equação de difusão. Fizemos a separação das variáveis ​​ansatz, então escrevemos a concentração, que é uma função da posição no tempo, como um produto de duas funções uma que é apenas função de xea segunda que é apenas função de t. Substituindo na equação de difusão, fomos capazes de obter duas equações diferenciais ordinárias, uma para X, X duplo primo mais lambda X igual a zero, que mostramos dá autovalores e autofunções como soluções quando você tinha as condições de contorno de dois pontos de limite X sub zero é igual a zero e X sub L é igual a zero. Então, dissemos que a solução dessa equação ocorre para X diferente de zero, quando lambda n assume esses valores discretos n ao quadrado Pi ao quadrado sobre L ao quadrado, e então a função correspondente é seno n Pi x sobre L, n aqui é um positivo inteiro. A segunda equação que obtivemos ao separar as variáveis ​​foi a equação T, ou seja, T prime mais lambda DT é igual a zero, mas agora determinamos que lambda é lambda n para que possamos colocar lambda n na equação T. Essa equação é muito fácil de resolver. Estamos procurando uma função cuja derivada seja igual a lambda n D vezes a função, que & # x27s apenas a função exponencial com o argumento adequado. Portanto, podemos escrever a solução aqui. Então, T de t, há uma constante na frente, mas vamos absorver essa constante em nossas soluções quando fizermos o princípio da superposição. Então, deixe-me definir a constante igual a um. Portanto, temos uma função exponencial e ela deve ser menos lambda n D vezes T que será menos n ao quadrado Pi ao quadrado D dividido por L ao quadrado vezes t. Então, isso depende de n também por causa de lambda n, então posso colocar um subscrito n aqui. Temos nosso xn e nosso tn aqui. Podemos colocá-los juntos, portanto, construímos essas funções U, posso chamá-las de U sub n, que é uma função de x e t, é igual a X sub n que é seno n Pi x sobre L, vezes T sub n, que é a função exponencial de e elevado ao menos n ao quadrado Pi ao quadrado aqui dividido por L ao quadrado. Assim, em nosso ansatz, assumimos que U era igual ax vezes t. O que encontramos então é um monte de soluções desse tipo, e um monte inteiro significa um número infinito de soluções desse tipo, de um seno vezes uma função exponencial. Portanto, isso é válido para n igual a um, dois, três, até o infinito. OK. Etapa final, Princípio da Superposição. Então, aplicamos o princípio da superposição válido para equações diferenciais homogêneas lineares, e então obtemos a solução geral. Então, a ideia aqui é escrever a solução geral. Assim, a solução geral para U, é U de xt igual à soma de n igual a um ao infinito dessas funções, multiplicado por uma constante. Então, podemos chamar essa constante de b sub n, e então temos um seno n Pi x sobre L, e temos uma função exponencial e elevado ao menos n ao quadrado, Pi ao quadrado D vezes t dividido por L ao quadrado. OK. Essa é a nossa solução geral para a concentração U. Porém, em um determinado problema, você vai especificar qual é a concentração no tubo em T igual a zero, isso é chamado de condição inicial. Então, qual seria a condição inicial? O problema que vamos resolver no próximo vídeo é quando todo o corante está concentrado bem no meio do tubo em t igual a zero e, em seguida, pergunte como o corante inicial se difunde ao longo do comprimento do tubo. Aqui, podemos ser muito mais gerais. Podemos dizer que, U de x em t igual a zero é apenas alguma função de x. Portanto, essa é a concentração inicial de corante no tubo em função de x. Então, o que acontece se colocarmos t igual a zero nesta expressão? Então obtemos f de x é igual à soma de n igual a um ao infinito, de b sub n vezes seno n Pi x sobre L, vezes e elevado a zero, que é um. Portanto, a função exponencial se torna uma. Espero que você reconheça isso, esta é uma série de senos de Fourier, uma série de senos de Fourier. Esse foi o propósito de apresentar a série Fourier no início deste módulo. Porque precisamos disso agora na solução final do PDE. Na verdade, Joseph Fourier inventou a série de Fourier porque precisava dela na solução final do PDE. Portanto, sabemos o que é bn, a partir da análise da série de Fourier. Sabemos que b sub n, então, é igual a dois sobre L vezes a integral de zero a L de f de x vezes seno n Pi x sobre Ldx. Isso completa a solução da equação de difusão. Então, deixe-me revisar rapidamente o que fizemos. Estávamos resolvendo a equação de difusão. Usamos a técnica de separação de variáveis. Em um vídeo anterior, resolvemos a equação x. Neste vídeo, resolvemos então a equação t. Então, notamos que encontramos um monte de soluções que satisfazem x vezes t, que são fornecidas pelo uso de U sub n aqui, uma função seno vezes uma função exponencial. Então aplicamos o princípio da superposição, então temos a solução geral para a concentração. Agora, estamos sendo muito específicos, quais são as condições iniciais do corante? Qual é a concentração em t igual a zero? Especificamos isso como alguma função f de x. No próximo vídeo, iremos especificar mais detalhadamente qual f de x será em um problema de exemplo. Depois de fazer isso, vemos que f de x é realmente escrito como uma série senoidal de Fourier para a qual podemos então determinar os coeficientes b sub n em termos de uma integral de f de x. Eu & # x27m Jeff Chasnoff, obrigado por assistir, e vejo você no próximo vídeo.


Capítulo 2: Fundamentos de Semicondutores

A equação de continuidade descreve um conceito básico, a saber, que uma mudança na densidade de portadores ao longo do tempo é devido à diferença entre o fluxo de entrada e saída de portadores mais a geração e menos a recombinação. O fluxo de portadores e as taxas de recombinação e geração são ilustrados na Figura 2.9.1.

A taxa de mudança das portadoras entre x e x + d x é igual à diferença entre o fluxo de entrada e o fluxo de saída mais a geração e menos a recombinação:

onde n (x, t) é a densidade do portador, A é a área, G n(x, t) é a taxa de geração e R n(x, t) é a taxa de recombinação. Usando uma expansão da série Taylor,

esta equação pode ser formulada em função da derivada da corrente:

e da mesma forma para os buracos encontrados:

Uma solução para essas equações pode ser obtida substituindo a expressão para o elétron e a corrente de buraco, (2.7.31) e (2.7.32). Isso então produz duas equações diferenciais parciais em função da densidade do elétron, a densidade do buraco e o campo elétrico. O próprio campo elétrico é obtido a partir da lei de Gauss.

Uma generalização em três dimensões produz as seguintes equações de continuidade para elétrons e lacunas:

2.9.2. A equação de difusão

Na região quase neutra - uma região contendo portadoras móveis, onde o campo elétrico é pequeno - a corrente é devida apenas à difusão. Além disso, podemos usar o modelo de recombinação simples para a taxa de recombinação líquida, uma vez que as taxas de recombinação dependem apenas da densidade de portadores minoritários. Isso leva às equações de difusão dependentes do tempo para elétrons em material tipo p e para lacunas em material tipo n:

2.9.3. Solução de estado estacionário para a equação de difusão

No estado estacionário, as derivadas parciais em relação ao tempo são zero, produzindo:

A solução geral para essas equações diferenciais de segunda ordem são:

onde L n e eu p são os comprimentos de difusão dados por:

As constantes de difusão, D n e D p, são obtidos usando as relações de Einstein (2.7.29) e (2.7.30). As equações de difusão também podem ser escritas em função do excesso> / i> densidades de portadores, d n e d p, que estão relacionadas às densidades de portadores totais, n e p, e as densidades de equilíbrio térmico, n 0 e P 0, de:

A equação de difusão será usada para calcular a corrente de difusão nas junções p-n e transistores bipolares.