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1.4: Polígonos


1.4: Polígonos

Essas propriedades se aplicam a todos os polígonos regulares, sejam convexos ou em estrela.

Um regular npolígono de lados diferentes tem simetria rotacional de ordem n.

Todos os vértices de um polígono regular estão em um círculo comum (o círculo circunscrito), ou seja, eles são pontos concíclicos. Ou seja, um polígono regular é um polígono cíclico.

Juntamente com a propriedade de lados de comprimento igual, isso implica que todo polígono regular também tem um círculo inscrito ou incircle que é tangente a todos os lados no ponto médio. Assim, um polígono regular é um polígono tangencial.

Um regular nO polígono pode ser construído com bússola e régua se e somente se os fatores primos ímpares de n são primos de Fermat distintos. Veja polígono construtível.

Edição de Simetria

O grupo de simetria de um npolígono regular com lados é um grupo diédrico Dn (da ordem 2n): D2, D3, D4,. Consiste nas rotações em Cn, junto com simetria de reflexão em n eixos que passam pelo centro. Se n é mesmo então, metade desses eixos passa por dois vértices opostos, e a outra metade pelo ponto médio de lados opostos. Se n é estranho, então todos os eixos passam por um vértice e o ponto médio do lado oposto.

Todos os polígonos simples regulares (um polígono simples é aquele que não se cruza em nenhum lugar) são convexos. Aqueles que têm o mesmo número de lados também são semelhantes.

A npolígono regular convexo com lados é denotado por seu símbolo Schläfli <n>. Para n & lt 3, temos dois casos degenerados:

Monogon <1> degenera no espaço comum. (A maioria das autoridades não considera o monogon como um polígono verdadeiro, em parte por causa disso, e também porque as fórmulas abaixo não funcionam e sua estrutura não é a de nenhum polígono abstrato.) Digon <2> um "segmento de linha dupla" Degenere no espaço comum. (Algumas autoridades não consideram o digon como um polígono verdadeiro por causa disso.)

Em certos contextos, todos os polígonos considerados serão regulares. Em tais circunstâncias, é comum abandonar o prefixo regular. Por exemplo, todas as faces de poliedros uniformes devem ser regulares e as faces serão descritas simplesmente como triângulo, quadrado, pentágono, etc.

Editar ângulos

Para um convexo regular n-gon, cada ângulo interno tem uma medida de:

Como n se aproxima do infinito, o ângulo interno se aproxima de 180 graus. Para um polígono regular com 10.000 lados (um miríade), o ângulo interno é 179,964 °. À medida que o número de lados aumenta, o ângulo interno pode chegar muito perto de 180 ° e a forma do polígono se aproxima de um círculo. No entanto, o polígono nunca pode se tornar um círculo. O valor do ângulo interno nunca pode se tornar exatamente igual a 180 °, pois a circunferência se tornaria efetivamente uma linha reta. Por esse motivo, um círculo não é um polígono com um número infinito de lados.

Edição de Diagonais

Para um regular n-gon inscrito em um círculo de raio unitário, o produto das distâncias de um determinado vértice para todos os outros vértices (incluindo vértices adjacentes e vértices conectados por uma diagonal) é igual n.

Pontos no plano Editar

Para um simples regular n-gon com circumradius R e distâncias deu de um ponto arbitrário no plano aos vértices, temos [1]

Editar pontos internos

Para um regular n-gon, a soma das distâncias perpendiculares de qualquer ponto interno ao n lados é n vezes o apótema [3]: p. 72 (o apótema é a distância do centro para qualquer lado). Esta é uma generalização do teorema de Viviani para o n= 3 caso. [4] [5]

Circumradius Edit

O circumradius R do centro de um polígono regular a um dos vértices está relacionado ao comprimento lateral s ou para o apótema uma de

A soma das perpendiculares de um n- os vértices de gon para qualquer linha tangente ao circuncírculo são iguais n vezes o circumradius. [3]: pág. 73

A soma das distâncias quadradas dos vértices de um n-gon para qualquer ponto em seu circunferência é igual a 2nR 2 onde R é o circumradius. [3]: p.73

A soma das distâncias quadradas dos pontos médios dos lados de um n-gon para qualquer ponto do circunferência é 2nR 2 − ns 2/4, onde s é o comprimento lateral e R é o circumradius. [3]: pág. 73

Edição de dissecações

Coxeter afirma que cada zonogon (a 2m-gon cujos lados opostos são paralelos e de comprimento igual) podem ser dissecados em (n 2) < displaystyle < tbinom <2> >> ou m(m-1) / 2 paralelogramos. Essas camadas são contidas como subconjuntos de vértices, arestas e faces em projeções ortogonais m-cubos. [6] Em particular, isso é verdadeiro para polígonos regulares com muitos lados uniformemente, caso em que os paralelogramos são todos losangos. A lista OEIS: A006245 fornece o número de soluções para polígonos menores.

Exemplo de dissecações para selecionar polígonos regulares de lados iguais
2m 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
Imagem
Rhombs 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300

Edição de Área

A área UMA de um regular convexo n- polígono de lados tendo lado s, circumradius R, apothem uma, e perímetro p é dado por [7] [8]

Para polígonos regulares com lado s = 1, circunradius R = 1, ou apothem uma = 1, isso produz a seguinte tabela: [9] (Observe que, como cot ⁡ x → 1 / x < displaystyle cot x rightarrow 1 / x> as x → 0 < displaystyle x rightarrow 0>, [10 ] a área quando s = 1 < displaystyle s = 1> tende a n 2/4 π < displaystyle n ^ <2> / 4 pi> conforme n < displaystyle n> fica grande.)

Número
dos lados
Área quando lado s = 1 Área quando circunradius R = 1 Área quando apotem uma = 1
Exato Aproximação Exato Aproximação Como um (aproximado)
fração de
área circuncircular
Exato Aproximação Como um (aproximado)
múltiplo de
área circular
n n 4 cot ⁡ (π n) < displaystyle < tfrac <4>>cot left(< frac > right)> n 2 sin ⁡ (2 π n) < displaystyle < tfrac <2>>sin left(< frac <2pi >> right)> n 2 π sin ⁡ (2 π n) < displaystyle < tfrac <2pi >>sin left(< frac <2pi >> right)> n tan ⁡ (π n) < displaystyle n tan left (< tfrac < pi>> right)> n π tan ⁡ (π n) < displaystyle < tfrac > an left(< frac > right)>
3 3 4 < displaystyle < tfrac < sqrt <3>> <4> >> 0.433012702 3 3 4 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <4> >> 1.299038105 0.4134966714 3 3 < displaystyle 3 < sqrt <3> >> 5.196152424 1.653986686
4 1 1.000000000 2 2.000000000 0.6366197722 4 4.000000000 1.273239544
5 1 4 25 + 10 5 < displaystyle < tfrac <1> <4>> < sqrt <25 + 10 < sqrt <5> >>>> 1.720477401 5 4 1 2 (5 + 5) < displaystyle < tfrac <5> <4>> < sqrt << tfrac <1> <2>> left (5 + < sqrt <5>> right ) >>> 2.377641291 0.7568267288 5 5 - 2 5 < displaystyle 5 < sqrt <5-2 < sqrt <5> >>>> 3.632712640 1.156328347
6 3 3 2 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <2> >> 2.598076211 3 3 2 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <2> >> 2.598076211 0.8269933428 2 3 < displaystyle 2 < sqrt <3> >> 3.464101616 1.102657791
7 3.633912444 2.736410189 0.8710264157 3.371022333 1.073029735
8 2 + 2 2 < displaystyle 2 + 2 < sqrt <2> >> 4.828427125 2 2 < displaystyle 2 < sqrt <2> >> 2.828427125 0.9003163160 8 (2 - 1) < displaystyle 8 left (< sqrt <2>> -1 right)> 3.313708500 1.054786175
9 6.181824194 2.892544244 0.9207254290 3.275732109 1.042697914
10 5 2 5 + 2 5 < displaystyle < tfrac <5> <2>> < sqrt <5 + 2 < sqrt <5> >>>> 7.694208843 5 2 1 2 (5 - 5) < displaystyle < tfrac <5> <2>> < sqrt << tfrac <1> <2>> left (5 - < sqrt <5>> right ) >>> 2.938926262 0.9354892840 2 25 - 10 5 < displaystyle 2 < sqrt <25-10 < sqrt <5> >>>> 3.249196963 1.034251515
11 9.365639907 2.973524496 0.9465022440 3.229891423 1.028106371
12 6 + 3 3 < displaystyle 6 + 3 < sqrt <3> >> 11.19615242 3 3.000000000 0.9549296586 12 (2 - 3) < displaystyle 12 left (2 - < sqrt <3>> right)> 3.215390309 1.023490523
13 13.18576833 3.020700617 0.9615188694 3.204212220 1.019932427
14 15.33450194 3.037186175 0.9667663859 3.195408642 1.017130161
15 [11] 17.64236291 [12] 3.050524822 0.9710122088 [13] 3.188348426 1.014882824
16 [14] 20.10935797 4 2 - 2 < displaystyle 4 < sqrt <2 - < sqrt <2> >>>> 3.061467460 0.9744953584 [15] 3.182597878 1.013052368
17 22.73549190 3.070554163 0.9773877456 3.177850752 1.011541311
18 25.52076819 3.078181290 0.9798155361 3.173885653 1.010279181
19 28.46518943 3.084644958 0.9818729854 3.170539238 1.009213984
20 [16] 31.56875757 [17] 3.090169944 0.9836316430 [18] 3.167688806 1.008306663
100 795.5128988 3.139525977 0.9993421565 3.142626605 1.000329117
1000 79577.20975 3.141571983 0.9999934200 3.141602989 1.000003290
10,000 7957746.893 3.141592448 0.9999999345 3.141592757 1.000000033
1,000,000 79577471545 3.141592654 1.000000000 3.141592654 1.000000000

De tudo n-gonos com um determinado perímetro, aquele com a maior área é regular. [19]

Alguns polígonos regulares são fáceis de construir com bússola e régua, outros polígonos regulares não são construtíveis de forma alguma. Os antigos matemáticos gregos sabiam como construir um polígono regular com 3, 4 ou 5 lados, [20]: p. xi e eles sabiam como construir um polígono regular com o dobro do número de lados de um dado polígono regular. [20]: pp. 49-50 Isso levou à questão que se colocava: é possível construir tudo regular n-gons com bússola e régua? Se não, qual n-gons são construtíveis e quais não são?

Carl Friedrich Gauss provou a construtibilidade do 17-gon regular em 1796. Cinco anos depois, ele desenvolveu a teoria dos períodos gaussianos em seu Disquisitiones Arithmeticae. Esta teoria permitiu-lhe formular uma condição suficiente para a construtibilidade de polígonos regulares:

Um regular n-gon pode ser construído com bússola e régua se n é o produto de uma potência de 2 e qualquer número de primos de Fermat distintos (incluindo nenhum).

(Um primo de Fermat é um número primo na forma 2 (2 n) + 1. < displaystyle 2 ^ <(2 ^)> + 1.>) Gauss afirmou sem prova que esta condição também era necessária, mas nunca publicou sua prova. Uma prova completa da necessidade foi dada por Pierre Wantzel em 1837. O resultado é conhecido como o Teorema de Gauss-Wantzel.

Equivalentemente, um regular n-gon é construtível se e somente se o cosseno de seu ângulo comum for um número construtível - isto é, pode ser escrito em termos das quatro operações aritméticas básicas e da extração de raízes quadradas.


O cubo contém um hexágono inclinado regular, visto como 6 bordas vermelhas em zigue-zague entre dois planos perpendiculares ao eixo diagonal do cubo.

As bordas laterais em zigue-zague de um n-antiprismo representa uma inclinação regular 2n-gon, como mostrado neste antiprisma de 17 gonal.

UMA polígono de inclinação regular no espaço 3 podem ser vistos como caminhos não planos ziguezagueando entre dois planos paralelos, definidos como as bordas laterais de um antiprisma uniforme. Todas as arestas e ângulos internos são iguais.


Os sólidos platônicos (o tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) têm polígonos de Petrie, vistos em vermelho aqui, com lados 4, 6, 6, 10 e 10, respectivamente.

De forma geral polígonos de inclinação regular pode ser definido em n-espaço. Os exemplos incluem os polígonos de Petrie, caminhos poligonais de arestas que dividem um politopo regular em duas metades e vistos como um polígono regular em projeção ortogonal.

No limite infinito polígonos de inclinação regular tornam-se apeirogônios enviesados.

Um polígono regular não convexo é um polígono estrela regular. O exemplo mais comum é o pentagrama, que possui os mesmos vértices de um pentágono, mas conecta vértices alternados.

Para um nestrela de dois lados, o símbolo Schläfli é modificado para indicar o densidade ou "estrelato" m do polígono, como <n/m>. Se m é 2, por exemplo, então cada segundo ponto é unido. Se m é 3, então cada terceiro ponto é unido. O limite do polígono circunda o centro m vezes.

As estrelas regulares (não degeneradas) de até 12 lados são:

m e n deve ser coprime, ou a figura irá degenerar.

As estrelas regulares degeneradas de até 12 lados são:

  • Tetrágono - <4/2>
  • Hexágonos - <6/2>, <6/3>
  • Octógonos - <8/2>, <8/4>
  • Eneagono - <9/3>
  • Decágonos - <10/2>, <10/4> e <10/5>
  • Dodecágonos - <12/2>, <12/3>, <12/4> e <12/6>

Dependendo da derivação precisa do símbolo Schläfli, as opiniões divergem quanto à natureza da figura degenerada. Por exemplo, <6/2> pode ser tratado de duas maneiras:

    Durante grande parte do século 20 (ver por exemplo Coxeter (1948)), geralmente tomamos o / 2 para indicar a união de cada vértice de um convexo <6> com seus vizinhos próximos a dois passos de distância, para obter a composição regular de dois triângulos , ou hexagrama.

Todos os polígonos regulares são autoduais para congruência e para ímpar n eles são autoduais em relação à identidade.

Além disso, as figuras regulares de estrelas (compostos), sendo compostas de polígonos regulares, também são autoduais.

Um poliedro uniforme tem polígonos regulares como faces, de modo que para cada dois vértices há um mapeamento de isometria um no outro (assim como há para um polígono regular).

Um poliedro quase regular é um poliedro uniforme que possui apenas dois tipos de faces alternando em torno de cada vértice.

Um poliedro regular é um poliedro uniforme que possui apenas um tipo de face.

Os poliedros convexos restantes (não uniformes) com faces regulares são conhecidos como sólidos de Johnson.

Um poliedro com triângulos regulares como faces é denominado deltaedro.

  1. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  2. ^ umabc Meskhishvili, Mamuka (2020). "Médias cíclicas de polígonos regulares e sólidos platônicos". Comunicações em Matemática e Aplicações. 11: 335–355.
  3. ^ umabcd Johnson, Roger A., Geometria Euclidiana Avançada, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  4. ^ Pickover, Clifford A, O livro de matemática, Sterling, 2009: p. 150
  5. ^ Chen, Zhibo e Liang, Tian. "O inverso do teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, pp. 390–391.
  6. ^Coxeter, Mathematical recreations and Essays, décima terceira edição, p.141
  7. ^
  8. "Referência de matemática aberta". Retirado em 4 de fevereiro de 2014.
  9. ^
  10. "Palavras matemáticas".
  11. ^ Resultados para R = 1 e uma = 1 obtido com Maple, usando definição de função:

As expressões para n= 16 são obtidos aplicando duas vezes a fórmula do meio-ângulo tangente a tan (π / 4)


Conteúdo

A palavra polígono deriva do adjetivo grego πολύς (polús) 'muito', 'muitos' e γωνία (gōnía) 'canto' ou 'ângulo'. Foi sugerido que γόνυ (gónu) 'joelho' pode ser a origem de vai. [1]

Número de lados

Os polígonos são classificados principalmente pelo número de lados. Veja a tabela abaixo.

Convexidade e não convexidade

Os polígonos podem ser caracterizados por sua convexidade ou tipo de não convexidade:

    : qualquer linha desenhada através do polígono (e não tangente a uma aresta ou canto) encontra seu limite exatamente duas vezes. Como consequência, todos os ângulos internos são menores que 180 °. Da mesma forma, qualquer segmento de linha com pontos finais no limite passa apenas por pontos internos entre seus pontos finais.
  • Não convexa: pode ser encontrada uma linha que encontra seu limite mais de duas vezes. De forma equivalente, existe um segmento de linha entre dois pontos de fronteira que passa fora do polígono. : o limite do polígono não se cruza. Todos os polígonos convexos são simples. : Não convexo e simples. Há pelo menos um ângulo interno maior que 180 °. : todo o interior é visível de pelo menos um ponto, sem cruzar nenhuma aresta. O polígono deve ser simples e pode ser convexo ou côncavo. Todos os polígonos convexos são em forma de estrela. : o limite do polígono se cruza. O termo complexo às vezes é usado em contraste com simples, mas esse uso corre o risco de confusão com a ideia de um polígono complexo como aquele que existe no plano de Hilbert complexo que consiste em duas dimensões complexas. : um polígono que se auto-cruza de forma regular. Um polígono não pode ser tanto uma estrela quanto em forma de estrela.

Igualdade e simetria

    : todos os ângulos de canto são iguais. : todas as arestas têm o mesmo comprimento. : equilátero e equiangular. : todos os cantos estão em um único círculo, chamado de circunferência. : todos os lados são tangentes a um círculo inscrito.
  • Isogonal ou transitivo de vértice: todos os cantos estão dentro da mesma órbita de simetria. O polígono também é cíclico e equiangular.
  • Isotoxal ou transitivo de borda: todos os lados estão dentro da mesma órbita de simetria. O polígono também é equilátero e tangencial.

A propriedade de regularidade pode ser definida de outras maneiras: um polígono é regular se e somente se for isogonal e isotóxico, ou equivalentemente, é cíclico e equilátero. Um polígono regular não convexo é chamado de polígono estrela regular.

Diversos

    : os lados do polígono se encontram em ângulos retos, ou seja, todos os ângulos internos são 90 ou 270 graus. com respeito a uma determinada linha eu: cada linha ortogonal a L cruza o polígono não mais do que duas vezes.

Ângulos

Qualquer polígono tem tantos cantos quanto lados. Cada canto tem vários ângulos. Os dois mais importantes são:

  • Ângulo interno - A soma dos ângulos internos de um simples n-gon é (n - 2) πradians ou (n - 2) × 180 graus. Isso ocorre porque qualquer n-gon (tendo n lados) podem ser considerados constituídos por (n - 2) triângulos, cada um com uma soma angular de π radianos ou 180 graus. A medida de qualquer ângulo interno de um regular convexo n-gon é (1 - 2 n) π < displaystyle left (1 - < tfrac <2>> right) pi> radianos ou 180 - 360 n < displaystyle 180 - < tfrac <360>>> graus. Os ângulos internos de polígonos de estrelas regulares foram estudados pela primeira vez por Poinsot, no mesmo artigo em que ele descreve os quatro poliedros de estrelas regulares: para um p q regular < displaystyle < tfrac

    >> -gon (a p-gon com densidade central q), cada ângulo interno é π (p - 2 q) p < displaystyle < tfrac < pi (p-2q)>

    >> radianos ou 180 (p - 2 q) p < displaystyle < tfrac <180 (p-2q)>

    >> graus. [2]

  • Ângulo externo - O ângulo externo é o ângulo suplementar ao ângulo interno. Traçando em torno de um convexo n-gon, o ângulo "virado" em um canto é o ângulo externo ou externo. Traçar todo o contorno do polígono dá uma volta completa, então a soma dos ângulos externos deve ser 360 °. Este argumento pode ser generalizado para polígonos simples côncavos, se ângulos externos que giram na direção oposta forem subtraídos do total girado. Rastreando em torno de um n-gon em geral, a soma dos ângulos externos (a quantidade total que se gira nos vértices) pode ser qualquer múltiplo inteiro d de 360 ​​°, por ex. 720 ° para um pentagrama e 0 ° para um "oito" angular ou antiparalelogramo, onde d é a densidade ou número de rotação do polígono. Veja também órbita (dinâmica).

Se o polígono não tiver interseção automática (ou seja, simples), a área sinalizada é

A área sinalizada depende da ordenação dos vértices e da orientação do plano. Normalmente, a orientação positiva é definida pela rotação (sentido anti-horário) que mapeia o eixo x positivo para o eixo y positivo. Se os vértices forem ordenados no sentido anti-horário (ou seja, de acordo com a orientação positiva), a área com sinal é positiva, caso contrário, é negativa. Em ambos os casos, a fórmula da área está correta em valor absoluto. Isso é comumente chamado de fórmula do cadarço ou fórmula do pesquisador. [5]

A área UMA de um polígono simples também pode ser calculado se os comprimentos dos lados, uma1, uma2, . uman e os ângulos externos, θ1, θ2, . θn são conhecidos, de:

A fórmula foi descrita por Lopshits em 1963. [6]

Se o polígono pode ser desenhado em uma grade igualmente espaçada de modo que todos os seus vértices sejam pontos da grade, o teorema de Pick fornece uma fórmula simples para a área do polígono com base nos números dos pontos da grade interna e limite: o primeiro número mais a metade do último número, menos 1.

Em cada polígono com perímetro p e área UMA , a desigualdade isoperimétrica p 2 & gt 4 π A < displaystyle p ^ <2> & gt4 pi A> é válida. [7]

Para quaisquer dois polígonos simples de área igual, o teorema de Bolyai-Gerwien afirma que o primeiro pode ser cortado em pedaços poligonais que podem ser remontados para formar o segundo polígono.

Os comprimentos dos lados de um polígono em geral não determinam sua área. [8] No entanto, se o polígono é cíclico, os lados Faz determinar a área. [9] De todos n-gonos com comprimentos laterais dados, aquele com a maior área é cíclico. De tudo n-gons com um determinado perímetro, aquele com a maior área é regular (e, portanto, cíclico). [10]

Polígonos regulares

Muitas fórmulas especializadas se aplicam às áreas de polígonos regulares.

A área de um polígono regular é dada em termos de raio r de seu círculo inscrito e seu perímetro p de

Este raio também é denominado seu apótema e é frequentemente representado como uma.

A área de um regular n-gon em termos de raio R de seu círculo circunscrito pode ser expresso trigonometricamente como: [11] [12]

A área de um regular n-gon inscrito em um círculo de raio unitário, com lado s e o ângulo interno α, < displaystyle alpha,> também pode ser expresso trigonometricamente como:

Auto-intersecção

A área de um polígono de auto-intersecção pode ser definida de duas maneiras diferentes, fornecendo respostas diferentes:

  • Usando as fórmulas para polígonos simples, permitimos que determinadas regiões dentro do polígono possam ter sua área multiplicada por um fator que chamamos de densidade da região. Por exemplo, o pentágono convexo central no centro de um pentagrama tem densidade 2. As duas regiões triangulares de um quadrilátero cruzado (como a figura 8) têm densidades de sinais opostos, e somando suas áreas pode dar uma área total de zero para a figura inteira. [13]
  • Considerando as regiões fechadas como conjuntos de pontos, podemos encontrar a área do conjunto de pontos fechados. Isso corresponde à área do plano coberta pelo polígono ou à área de um ou mais polígonos simples com o mesmo contorno do polígono que se intersecciona. No caso do quadrilátero cruzado, ele é tratado como dois triângulos simples. [citação necessária]

Centroid

Usando a mesma convenção para as coordenadas do vértice da seção anterior, as coordenadas do centroide de um polígono sólido simples são

Nessas fórmulas, o valor com sinal da área A < displaystyle A> deve ser usado.

Para triângulos ( n = 3), os centróides dos vértices e da forma sólida são iguais, mas, em geral, isso não é verdade para n & gt 3. O centróide do conjunto de vértices de um polígono com n vértices tem as coordenadas

A ideia de um polígono foi generalizada de várias maneiras. Algumas das mais importantes incluem:

  • Um polígono esférico é um circuito de arcos de grandes círculos (lados) e vértices na superfície de uma esfera. Ele permite o digon, um polígono com apenas dois lados e dois cantos, o que é impossível em um plano plano. Polígonos esféricos desempenham um papel importante na cartografia (elaboração de mapas) e na construção de poliedros uniformes por Wythoff.
  • Um polígono inclinado não fica em um plano plano, mas ziguezagueia em três (ou mais) dimensões. Os polígonos de Petrie dos politopos regulares são exemplos bem conhecidos.
  • Um apeirogon é uma sequência infinita de lados e ângulos, que não é fechada, mas não tem extremidades porque se estende indefinidamente em ambas as direções.
  • Um apeirogon inclinado é uma sequência infinita de lados e ângulos que não se encontram em um plano plano.
  • Um polígono complexo é uma configuração análoga a um polígono comum, que existe no plano complexo de duas dimensões reais e duas imaginárias.
  • Um polígono abstrato é um conjunto algébrico parcialmente ordenado que representa os vários elementos (lados, vértices, etc.) e sua conectividade. Um polígono geométrico real é considerado um realização do polígono abstrato associado. Dependendo do mapeamento, todas as generalizações aqui descritas podem ser realizadas.
  • Um poliedro é um sólido tridimensional delimitado por faces poligonais planas, análogo a um polígono em duas dimensões. As formas correspondentes em quatro ou mais dimensões são chamadas de politopos. [14] (Em outras convenções, as palavras poliedro e politopo são usados ​​em qualquer dimensão, com a distinção entre as duas de que um politopo é necessariamente delimitado. [15])

A palavra polígono vem do latim tardio polygōnum (um substantivo), do grego πολύγωνον (polygōnon / polugōnon), uso substantivo de neutro de πολύγωνος (polygōnos / polugōnos, o adjetivo masculino), significando "muitos ângulos". Polígonos individuais são nomeados (e às vezes classificados) de acordo com o número de lados, combinando um prefixo numérico derivado do grego com o sufixo -gon, por exemplo. Pentágono, dodecágono. O triângulo, quadrilátero e nonágono são exceções.

Além dos decágonos (10 lados) e dodecágonos (12 lados), os matemáticos geralmente usam notação numérica, por exemplo 17-gon e 257-gon. [16]

Existem exceções para contagens laterais que são mais facilmente expressas na forma verbal (por exemplo, 20 e 30), ou são usadas por não matemáticos. Alguns polígonos especiais também têm seus próprios nomes, por exemplo, o pentágono estrela regular também é conhecido como pentagrama.

Nomes de polígonos e propriedades diversas
Nome Lados Propriedades
monogon 1 Geralmente não é reconhecido como polígono, [17] embora algumas disciplinas, como a teoria dos grafos, às vezes usem o termo. [18]
digon 2 Geralmente não é reconhecido como um polígono no plano euclidiano, embora possa existir como um polígono esférico. [19]
triângulo (ou trígono) 3 O polígono mais simples que pode existir no plano euclidiano. Pode lado a lado o avião.
quadrilátero (ou tetrágono) 4 O polígono mais simples que pode se cruzar O polígono mais simples que pode ser côncavo O polígono mais simples que pode ser não cíclico. Pode lado a lado o avião.
Pentágono 5 [20] O polígono mais simples que pode existir como uma estrela regular. Um pentágono estrela é conhecido como pentagrama ou pentagrama.
hexágono 6 [20] Pode azulejar o avião.
heptágono (ou septágono) 7 [20] O polígono mais simples de forma que a forma regular não seja construtível com compasso e régua. No entanto, ele pode ser construído usando uma construção Neusis.
octógono 8 [20]
nonagon (ou eneagono) 9 [20] "Nonagon" mistura latim [novem = 9] com o grego "eneagão" é grego puro.
decágono 10 [20]
hendecágono (ou undecágono) 11 [20] O polígono mais simples, de forma que a forma regular não pode ser construída com compasso, régua e trissetor de ângulo.
dodecágono (ou duodecágono) 12 [20]
tridecágono (ou triskaidecágono) 13 [20]
tetradecágono (ou tetrakaidecágono) 14 [20]
pentadecágono (ou pentakaidecágono) 15 [20]
hexadecágono (ou hexakaidecágono) 16 [20]
heptadecagon (ou heptakaidecagon) 17 Polígono construtível [16]
octadecágono (ou octakaidecágono) 18 [20]
eneadecágono (ou eneaidecágono) 19 [20]
icoságono 20 [20]
icositetragon (ou icosikaitetragon) 24 [20]
triacontágono 30 [20]
tetracontágono (ou tessaracontágono) 40 [20] [21]
pentacontágono (ou pentecontágono) 50 [20] [21]
hexacontágono (ou hexecontágono) 60 [20] [21]
heptacontágono (ou hebdomecontágono) 70 [20] [21]
octacontágono (ou ogdoëcontagon) 80 [20] [21]
eneacontágono (ou enenecontágono) 90 [20] [21]
hectogônio (ou hecatontágono) [22] 100 [20]
257-gon 257 Polígono construtível [16]
Quiliagão 1000 Filósofos incluindo René Descartes, [23] Immanuel Kant, [24] David Hume, [25] usaram o chiliagon como um exemplo nas discussões.
miríade 10,000 Usado como um exemplo em algumas discussões filosóficas, por exemplo na de Descartes Meditações sobre a filosofia primeira
65537-gon 65,537 Polígono construtível [16]
megágono [26] [27] [28] 1,000,000 Tal como acontece com o exemplo do quilígono de René Descartes, o polígono de um milhão de lados foi usado como ilustração de um conceito bem definido que não pode ser visualizado. [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] O megágono também é usado como uma ilustração da convergência de polígonos regulares em um círculo. [36]
Apeirogon Um polígono degenerado de infinitos lados.

Construindo nomes superiores

Para construir o nome de um polígono com mais de 20 e menos de 100 arestas, combine os prefixos como segue. [20] O termo "kai" se aplica a 13-gons e superior e foi usado por Kepler, e defendido por John H. Conway para clareza de números de prefixo concatenados na nomeação de poliedros quase regulares. [22]

Dezenas e uns sufixo final
-kai- 1 -hena- -gon
20 icosi- (icosa- quando sozinho) 2 -di-
30 triaconta- (ou triconta-) 3 -tri-
40 tetraconta- (ou tessaraconta-) 4 -tetra-
50 pentaconta- (ou penteconta-) 5 -penta-
60 hexaconta- (ou hexeconta-) 6 -hexa-
70 heptaconta- (ou hebdomeconta-) 7 -hepta-
80 octaconta- (ou ogdoëconta-) 8 -octa-
90 enneaconta- (ou eneneconta-) 9 -ennea-

Os polígonos são conhecidos desde os tempos antigos. Os polígonos regulares eram conhecidos pelos gregos antigos, com o pentagrama, um polígono regular não convexo (polígono estrela), aparecendo já no século 7 a.C. em um krater de Aristófanes, encontrado em Caere e agora no Museu Capitolino. [37] [38]

O primeiro estudo sistemático conhecido de polígonos não convexos em geral foi feito por Thomas Bradwardine no século XIV. [39]

Em 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizou a ideia de polígonos para o plano complexo, onde cada dimensão real é acompanhada por uma imaginária, para criar polígonos complexos. [40]

Os polígonos aparecem em formações rochosas, mais comumente como as facetas planas de cristais, onde os ângulos entre os lados dependem do tipo de mineral do qual o cristal é feito.

Hexágonos regulares podem ocorrer quando o resfriamento da lava forma áreas de colunas compactas de basalto, que podem ser vistas na Calçada dos Gigantes na Irlanda do Norte, ou no Devil's Postpile na Califórnia.

Em biologia, a superfície do favo de mel de cera feito por abelhas é uma matriz de hexágonos, e os lados e a base de cada célula também são polígonos.

Em computação gráfica, um polígono é um primitivo usado na modelagem e renderização. Eles são definidos em um banco de dados, contendo matrizes de vértices (as coordenadas dos vértices geométricos, bem como outros atributos do polígono, como cor, sombreamento e textura), informações de conectividade e materiais. [41] [42]

Qualquer superfície é modelada como um mosaico chamado malha poligonal. Se uma malha quadrada tem n + 1 pontos (vértices) por lado, há n quadrados quadrados na malha, ou 2n triângulos quadrados, pois há dois triângulos em um quadrado. Existem (n + 1) 2 / 2(n 2) vértices por triângulo. Onde n é grande, isso se aproxima da metade. Ou, cada vértice dentro da malha quadrada conecta quatro arestas (linhas).

O sistema de imagem chama a estrutura de polígonos necessária para a cena a ser criada a partir do banco de dados. Isso é transferido para a memória ativa e, finalmente, para o sistema de exibição (tela, monitores de TV etc.) para que a cena possa ser visualizada. Durante esse processo, o sistema de imagem renderiza polígonos na perspectiva correta, prontos para a transmissão dos dados processados ​​para o sistema de exibição. Embora os polígonos sejam bidimensionais, por meio do computador do sistema eles são colocados em uma cena visual na orientação tridimensional correta.


Começamos a percorrer o gráfico a partir do ponto inferior esquerdo e continuamos até voltar a ele. No início, marcamos todas as arestas como não visitadas. Em cada iteração, você deve selecionar o próximo ponto e marcá-lo como visitado.

Para escolher o próximo ponto, escolha uma aresta com um ângulo interno máximo no sentido anti-horário.

Calculo dois vetores: vetor1 para a borda atual e vetor2 para cada próxima borda não visitada (como apresentado na imagem).

  1. Produto escalar (produto escalar). Ele retorna um valor relacionado a um ângulo entre vetores.
  2. Produto vetorial (produto vetorial). Ele retorna um novo vetor. Se a coordenada z desse vetor for positiva, o produto escalar me dá o ângulo reto no sentido anti-horário. Caso contrário (a coordenada z é negativa), calculo o ângulo obtido entre os vetores como 360 - ângulo do produto escalar.

Como resultado, obtenho uma aresta (e um próximo vértice correspondente) com o ângulo máximo.

Eu adiciono à lista de resultados cada vértice passado. A lista de resultados é o polígono de união.


Dica de ferramenta

Usado para exibir pequenos textos no topo das camadas do mapa.

Exemplo de uso

Nota sobre o deslocamento da dica de ferramenta. O folheto leva duas opções em consideração para calcular a compensação da dica de ferramenta:

  • a opção de dica de ferramenta de deslocamento: o padrão é [0, 0] e é específico para uma dica de ferramenta. Adicione um deslocamento x positivo para mover a dica de ferramenta para a direita e um deslocamento y positivo para movê-la para a parte inferior. Os negativos serão movidos para a esquerda e para cima.
  • a opção tooltipAnchor Icon: isso só será considerado para o Marker. Você deve adaptar este valor se usar um ícone personalizado.

Criação

Fábrica Descrição
L.tooltip( opções?, fonte?) Instancia um objeto Tooltip dado um objeto options opcional que descreve sua aparência e localização e um objeto source opcional que é usado para marcar a tooltip com uma referência à Camada a que se refere.

Opções

Opção Modelo Padrão Descrição
vidraça Fragmento & # x27tooltipPane & # x27 Painel do mapa onde a dica de ferramenta será adicionada.
Deslocamento Apontar Ponto (0, 0) Deslocamento opcional da posição da dica de ferramenta.
direção Fragmento & # x27auto & # x27 Direção onde abrir a dica de ferramenta. Os valores possíveis são: direito, esquerdo, superior, inferior, centro, automático. auto alternará dinamicamente entre a direita e a esquerda de acordo com a posição da dica de ferramenta no mapa.
permanente boleano falso Se deve abrir a dica de ferramenta permanentemente ou apenas ao passar o mouse.
pegajoso boleano falso Se verdadeiro, a dica de ferramenta seguirá o mouse em vez de ser fixada no centro do recurso.
interativo boleano falso Se verdadeiro, a dica de ferramenta ouvirá os eventos do recurso.
opacidade Número 0.9 Opacidade do contêiner de dica de ferramenta.
Opção Modelo Padrão Descrição
nome da classe Fragmento & # x27 & # x27 Um nome de classe CSS personalizado para atribuir ao pop-up.
Opção Modelo Padrão Descrição
atribuição Fragmento nulo String a ser mostrada no controle de atribuição, por exemplo, & quot contribuidores do © OpenStreetMap & quot. Ele descreve os dados da camada e geralmente é uma obrigação legal para os detentores de direitos autorais e fornecedores de blocos.

Eventos

Evento Dados Descrição
adicionarEvento Disparado após a camada ser adicionada a um mapa
removerEvento Disparado após a camada ser removida de um mapa
Evento Dados Descrição
popupopenPopupEvent Disparado quando um pop-up vinculado a esta camada é aberto
popupclosePopupEvent Disparado quando um pop-up vinculado a esta camada é fechado
Evento Dados Descrição
tooltipopenTooltipEvent Disparado quando uma dica de ferramenta vinculada a esta camada é aberta.
tooltipcloseTooltipEvent Disparado quando uma dica de ferramenta vinculada a esta camada é fechada.

Métodos

Adiciona a camada ao mapa ou grupo de camadas fornecido.

Remove a camada do mapa em que está ativa no momento.

Remove a camada do mapa fornecido

Retorna o HTMLElement que representa o painel nomeado no mapa. Se o nome for omitido, retorna o painel para esta camada.

Usado pelo controle de atribuição, retorna a opção de atribuição.

Vincula um pop-up à camada com o conteúdo transmitido e configura os ouvintes de eventos necessários. Se uma Função for passada, ela receberá a camada como o primeiro argumento e deve retornar uma String ou HTMLElement.

Removes the popup previously bound with bindPopup .

Opens the bound popup at the specified latlng or at the default popup anchor if no latlng is passed.

Closes the popup bound to this layer if it is open.

Opens or closes the popup bound to this layer depending on its current state.

Returns true if the popup bound to this layer is currently open.

Sets the content of the popup bound to this layer.

Returns the popup bound to this layer.

Binds a tooltip to the layer with the passed content and sets up the necessary event listeners. If a Function is passed it will receive the layer as the first argument and should return a String or HTMLElement .

Removes the tooltip previously bound with bindTooltip .

Opens the bound tooltip at the specified latlng or at the default tooltip anchor if no latlng is passed.

Closes the tooltip bound to this layer if it is open.

Opens or closes the tooltip bound to this layer depending on its current state.

Returns true if the tooltip bound to this layer is currently open.

Sets the content of the tooltip bound to this layer.

Returns the tooltip bound to this layer.

Adds a listener function ( fn ) to a particular event type of the object. You can optionally specify the context of the listener (object the this keyword will point to). You can also pass several space-separated types (e.g. 'click dblclick' ).

Adds a set of type/listener pairs, e.g.

Removes a previously added listener function. If no function is specified, it will remove all the listeners of that particular event from the object. Note that if you passed a custom context to on , you must pass the same context to off in order to remove the listener.

Removes a set of type/listener pairs.

Removes all listeners to all events on the object.

Fires an event of the specified type. You can optionally provide an data object — the first argument of the listener function will contain its properties. The event can optionally be propagated to event parents.

Returns true if a particular event type has any listeners attached to it.

Behaves as on(…) , except the listener will only get fired once and then removed.

Adds an event parent - an Evented that will receive propagated events

Removes an event parent, so it will stop receiving propagated events


How to find the area of a polygon?

Area of a polygon can be calculated by using the area of a polygon formula. To calculate the area of a regular polygon, follow the below steps:

  1. Identify and write down the given values to calculate the polygon area.
  2. Write down the formula for polygon area.
  3. Substitute the values in the formula to get the area of the polygon.

Suppose we have a polygon which has each side of 6 cm. There are a total of 7 sides in the polygon. Calculate the area of the polygon.

Step 1: Identify and write down the given values to calculate the polygon area. Here we have:

uma= 6 cm, n = 7

Step 2: Write down the formula for the polygon area.

A = (1/4) na 2 cot (&pi/n) = nr 2 tan (&pi/n)

According to the given values, we will use the (1/4) na 2 cot (&pi/n) part of the equation. If the radius of the polygon would have been known instead of side length, we should use nr 2 tan (&pi/n) part of the equation. Both of them can calculate the area of the polygon.

Step 3: Substitute the values in the formula to get the area of the polygon.

A = (1/4) na 2 cot (&pi/n) = (1/4) 7 × 6 2 cot (3.1415/7)

A = (1/4) × 252 × cot (0.4488) = (1/4) × 252 × 2.07

A = 130.41 cm 2

So, a polygon with a total of 7 sides with each side of 6 cm will have an area of 130.41 cm 2 . 7 sided polygons are referred to as septagon. Refer to the below image:


1.4: Polygons

The fastest and smallest JavaScript polygon triangulation library. 2.5KB gzipped.

The library implements a modified ear slicing algorithm, optimized by z-order curve hashing and extended to handle holes, twisted polygons, degeneracies and self-intersections in a way that doesn't guarantee correctness of triangulation, but attempts to always produce acceptable results for practical data.

Why another triangulation library?

The aim of this project is to create a JS triangulation library that is fast enough for real-time triangulation in the browser, sacrificing triangulation quality for raw speed and simplicity, while being robust enough to handle most practical datasets without crashing or producing garbage. Some benchmarks using Node 0.12:

(ops/sec) pts earcut libtess poly2tri pnltri polyk
OSM building 15 795,935 50,640 61,501 122,966 175,570
dude shape 94 35,658 10,339 8,784 11,172 13,557
holed dude shape 104 28,319 8,883 7,494 2,130 n/a
complex OSM water 2523 543 77.54 failure failure n/a
huge OSM water 5667 95 29.30 failure failure n/a

The original use case it was created for is Mapbox GL, WebGL-based interactive maps.

If you want to get correct triangulation even on very bad data with lots of self-intersections and earcut is not precise enough, take a look at libtess.js.

Signature: earcut(vertices[, holes, dimensions = 2]) .

  • vertices is a flat array of vertex coordinates like [x0,y0, x1,y1, x2,y2, . ]
  • holes is an array of hole índices if any (e.g. [5, 8] for a 12-vertex input would mean one hole with vertices 5–7 and another with 8–11).
  • dimensions is the number of coordinates per vertex in the input array ( 2 by default).

Each group of three vertex indices in the resulting array forms a triangle.

If you pass a single vertex as a hole, Earcut treats it as a Steiner point.

If your input is a multi-dimensional array (e.g. GeoJSON Polygon), you can convert it to the format expected by Earcut with earcut.flatten :

After getting a triangulation, you can verify its correctness with earcut.deviation :

Returns the relative difference between the total area of triangles and the area of the input polygon. 0 means the triangulation is fully correct.

  • Fixed a rare race condition where the split routine would choose bad diagonals.
  • Fixed a rare race condition in the "cure local intersections" routine.
  • Fixed a rare race condition where a hole that shares a point with the outer ring would be handled incorrectly.
  • Fixed a bug where a closing point wouldn't be filtered as duplicate, sometimes breaking triangulation.
  • Added earcut.deviation function for verifying correctness of triangulation.
  • Added earcut.flatten function for converting GeoJSON-like input into a format Earcut expects.
  • Changed the algorithm to avoid filtering colinear/duplicate vertices unless it can't triangulate the polygon otherwise. Improves performance on simpler shapes and fixes some 3D use cases.
  • Improved robustness and reliability of the triangulation algorithm.
  • Improved performance by up to 15%.
  • Significantly improved source code clarity.
  • Fixed a z-curve hashing bug that could lead to unexpected results in very rare cases involving shapes with lots of points.
  • Fixed yet another rare race condition (multiple holes connected with colinear bridges).
  • Fixed crash on empty input.
  • Breaking: changed the API to accept a flat input array of vertices with hole indices and return triangle indices. It makes the indexed output much faster than it was before (up to 30%) and improves memory footprint.
  • Fixed indexed output to produce indices not multiplied by dimension and work with any number of dimensions.
  • Added a second argument to earcut that switches output format to flat vertex and index arrays if set to true .
  • Significantly improved performance for polygons with self-intersections (e.g. big OSM water polygons are now handled 2-3x faster)
  • Significantly improved performance on polygons with high number of vertices by using z-order curve hashing for vertex lookup.
  • Slightly improved overall performance with better point filtering.
  • Improved performance on polygons with holes by switching from Held to Eberly hole elimination algorithm
  • More robustness fixes and tests

Exemplos

Specifying Coordinates

Create a single polygon by specifying the ( x,y ) coordinates of each vertex. Then, add two more polygons to the figure.

Create a red square with vertices at (0,0) , (1,0) , (1,1) , and (0,1) . Specify x as the x -coordinates of the vertices and y as the y -coordinates. patch automatically connects the last ( x,y ) coordinate with the first ( x,y ) coordinate.

Create two polygons by specifying x and y as two-column matrices. Each column defines the coordinates for one of the polygons. patch adds the polygons to the current axes without clearing the axes.

Specifying Categorical and Duration Coordinates

Define X as a vector of categorical values, and define Y as a vector of duration values. The patch function uses a sorted list of categories, so the x -axis might display them in a different order than you expect. To specify the order, call the reordercats function. Then, create a red patch to visualize the data.

Specifying Faces and Vertices

Create a single polygon by specifying the coordinates of each unique vertex and a matrix that defines how to connect them. Then, add two more polygons to the figure.

Create a red square with corners at (0,0) , (1,0) , (1,1) , and (0,1) . Specify v so that each row defines the ( x,y ) coordinates for one vertex. Then, specify f as the vertices to connect. Set the color by specifying the FaceColor property.

Create two polygons by specifying f as a two-row matrix. Each row defines the face for one patch.

Different Polygon Face Colors

Create two polygons and use a different color for each polygon face. Use a colorbar to show how the colors map into the colormap.

Create the polygons using matrices x and y . Specify c as an column vector with two elements since there are two polygon faces, and add a colorbar.

Alternatively, you can get the same result when using f and v instead. When you create the polygons, set FaceVertexCData to a column vector with two elements since there are two polygon faces. Set FaceColor to 'flat' .

Interpolated Polygon Face Colors

Interpolate colors across polygon faces by specifying a color at each polygon vertex, and use a colorbar to show how the colors map into the colormap.

Create the polygons using matrices x and y . Specify c as a matrix the same size as x and y defining one color per vertex, and add a colorbar.

Alternatively, you can get the same result using f and v instead. When you create the polygons, set FaceVertexCData to a column vector with one value per vertex and set FaceColor to 'interp' .

Polygon Edges Without Faces

Create a polygon with green edges and do not display the face. Then, create a second polygon with a different color for each edge.

Use a different color for each edge by specifying a color for each vertex and setting EdgeColor to 'flat' .

Polygons Using Structure

Use a structure to create two polygons. First, create a structure with fields names that match patch property names. Then, use the structure to create the polygons.

Semitransparent Polygons

Create two semitransparent polygons by setting the FaceAlpha property to a value between 0 and 1 .

Create Multicolored Line

Create a multicolored line with markers at each vertex. Interpolate the colors and use a colorbar to show how the values map to the colormap.

Create the data. Set the last entry of y to NaN so that patch creates a line instead of a closed polygon. Define a color for each vertex using the y values. The values in c map to colors in the colormap.

Create the line. Show markers at each vertex and set the EdgeColor to 'interp' to interpolate the colors between vertices. Add a colorbar.


Find the area of a polygon with the given vertices? A(1, 4), B(-2, -2) C(-7, -2), D(-4, 4) Please show work.

Consider that the polygon ABCD is composed of the triangle ABC and ACD.

To find the area of a triangle whose vertices coordinates are given we can use the Cramer's Rule, described in:
Finding the area of a triangle using the determinant of a matrix

Evaluating the determinant of the Cramer's Rule we get:
#S_(triangle) =(1/2)|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|#
#S_(triangle)=(1/2)|x_1*(y_2-y_3)+x_2*(y_3-y_1)+x_3*(y_1-y_2)|#

Explicação:

If we plot those points we'll see that A and D are in the same line ( #y=4# ) parallel to the x-axis and that B and C also are in the same line ( #y=-2# ) also parallel to the x-axis.

Beyond that, since A and D are in the same line and also B and C are in the same line
#DA=|x_A-x_D|=|1+4|=5#
#BC=|x_B-x_B|=|-7+2|=5#
=> #DA=BC#

Two segments of line of the same size in lines parallel to each other, yet the segments are not aligned: it means that the polygon is a parallelogram, whose equation of area is #base*height# .

The separation or distance between the two lines ( #y=4# and #y=-2# ) give us the height. The separation is #4-(-2)=6# linear units.

So the area of the polygon ABCD, a parallelogram, is
#S_(ABCD)=base*height=5*6=30#


Detalhes

The coordinates can be passed in a plotting structure (a list with x and y components), a two-column matrix, . See xy.coords .

It is assumed that the polygon is to be closed by joining the last point to the first point.

The coordinates can contain missing values. The behaviour is similar to that of lines , except that instead of breaking a line into several lines, NA values break the polygon into several complete polygons (including closing the last point to the first point). See the examples below.

When multiple polygons are produced, the values of density , angle , col , border , and lty are recycled in the usual manner.

Shading of polygons is only implemented for linear plots: if either axis is on log scale then shading is omitted, with a warning.

Self-intersecting polygons may be filled using either the “odd-even” or “non-zero” rule. These fill a region if the polygon border encircles it an odd or non-zero number of times, respectively. Shading lines are handled internally by R according to the fillOddEven argument, but device-based solid fills depend on the graphics device. The windows , pdf and postscript devices have their own fillOddEven argument to control this.


Assista o vídeo: Suma de los ángulos internos de un polígono regular (Novembro 2021).