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6.3: Desigualdades - Matemática


6.3: Desigualdades - Matemática

Matemática Ilustrativa 7ª Série, Unidade 6, Lição 14: Encontrando Soluções para Desigualdades no Contexto

Suponha que Elena tenha $ 5 e venda canetas por $ 1,50 cada. Seu objetivo é economizar $ 20. Poderíamos resolver a equação 1,5x + 5 = 20 para encontrar o número de canetas, x, que Elena precisa vender para economizar exatamente $ 20. Adicionando -5 a ambos os lados da equação, obtemos 1,5x = 15 e, depois, dividindo ambos os lados por 1,5, obtemos a solução x + 10 canetas.

E se Elena quiser ter algum dinheiro sobrando? A desigualdade 1,5x + 5 & gt 20 nos diz que a quantidade de dinheiro que Elena ganha precisa ser maior que $ 20. A solução da equação anterior nos ajudará a entender quais serão as soluções para a desigualdade. Sabemos que se ela vender 10 canetas, ganhará $ 20. Como cada caneta dá a ela mais dinheiro, ela precisa vender mais de 10 canetas para ganhar mais de $ 20. Portanto, a solução para a desigualdade é x & gt 10.

Lição 14.1 Soluções para Equações e Soluções para Desigualdades

A reta numérica mostra os valores de x que tornam a inequação x & gt 1 verdadeira.

  1. Resolva -x = 10
  2. Encontre 2 soluções para -x & gt 10
  3. Resolva 2x = -20
  4. Encontre 2 soluções para 2x & gt -20

Lição 14.2 Ganhando dinheiro com coisas do futebol

  1. Andre tem um emprego de verão vendendo assinaturas de revistas. Ele ganha $ 25 por semana mais $ 3 para cada assinatura que vende. Andre espera ganhar pelo menos dinheiro suficiente esta semana para comprar um novo par de chuteiras.
    uma. Deixe n representar o número de assinaturas de revistas que Andre vende esta semana. Escreva uma expressão para a quantidade de dinheiro que ele ganha esta semana.
    b. O par de chuteiras mais barato que André deseja custa US $ 68. Escreva e resolva uma equação para descobrir quantas assinaturas de revistas Andre precisa vender para comprar as chuteiras.
    c. Se Andre vendesse 16 assinaturas de revistas nesta semana, ele alcançaria seu objetivo? Explique seu raciocínio.
    d. Quais são alguns outros números de assinaturas de revistas que André poderia ter vendido e ainda assim alcançado seu objetivo?
    e. Escreva uma desigualdade expressando que André quer ganhar pelo menos $ 68.
    f. Escreva uma desigualdade para descrever o número de assinaturas que André deve vender para atingir seu objetivo.
  2. Diego planejou um orçamento de US $ 35 de seu trabalho de verão para comprar shorts e meias para o futebol. Ele precisa de 5 pares de meias e um par de shorts. As meias custam valores diferentes em lojas diferentes. Os shorts que ele quer custam $ 19,95.
    uma. Deixe x representar o preço de um par de meias. Escreva uma expressão para o custo total das meias e shorts.
    b. Escreva e resolva uma equação que diga que Diego gastou exatamente US $ 35 nas meias e nos shorts.
    c. Liste alguns outros preços possíveis para as meias que ainda permitiriam que Diego ficasse dentro de seu orçamento.
    d. Escreva uma desigualdade para representar a quantia que Diego pode gastar em um único par de meias.

Lição 14.3 Barras de granola e economias

  1. Kiran tem $ 100 salvos em uma conta bancária. (A conta não rende juros.) Ele pediu a Clare que o ajudasse a descobrir quanto ele poderia sacar a cada mês se precisasse ter pelo menos $ 25 na conta daqui a um ano.
    uma. Clare escreveu a desigualdade -12x + 100 ≥ 25, onde x representa a quantia que Kiran tira a cada mês. O que -12x representa?
    b. Encontre alguns valores de x que funcionem para Kiran.
    c. Poderíamos expressar todos os valores que funcionariam usando x ≤ _ ou x ≥ _. Qual devemos usar?
    d. Escreva a resposta à pergunta de Kiran usando notação matemática.
  2. Um professor quer comprar 9 caixas de barras de granola para uma viagem escolar. Cada caixa geralmente custa US $ 7, mas muitos supermercados estão tendo uma liquidação em barras de granola esta semana. Diferentes lojas estão vendendo caixas de barras de granola com descontos diferentes.
    uma. Se a representar o valor em dólares do desconto, o valor que o professor pagará pode ser expresso como 9 (7 - x). Nessa expressão, o que a quantidade 7 - x representa?
    b. A professora tem US $ 36 para gastar nas barras de granola. A equação 9 (7 - x) = 36 representa uma situação em que ela gasta todos os $ 36. Resolva esta equação.
    c. O que significa a solução nesta situação?
    d. O professor não precisa gastar todos os $ 36. Escreva uma desigualdade relacionando 36 e 9 (7 - x) representando esta situação.
    e. A solução para essa desigualdade deve ser x ≥ 3 ou x ≤ 3. Qual você acha que é? Explique seu raciocínio.

Você esta pronto para mais?

Jada e Diego assaram uma grande fornada de biscoitos.

  • Eles selecionaram 1/4 dos biscoitos para dar aos professores.
  • Em seguida, eles jogaram fora um biscoito queimado.
  • Eles entregaram 2/5 dos biscoitos restantes em uma casa de repouso local. = Em seguida, eles deram 3 biscoitos para algumas crianças da vizinhança.
  • Eles embrulharam 2/3 dos biscoitos restantes para guardar para os amigos.
    Depois de tudo isso, sobraram 15 biscoitos. Quantos biscoitos eles assaram?
    • Mostre a resposta

    Lição 14 Problemas Práticos

    1. A solução para 5 - 3x & gt 35 é x & gt -10 ou -10 & gt x. Qual solução é a correta? Explique como você sabe.
    2. O diretor da banda da escola determinou com base em experiências anteriores que se eles cobrarem dólares por um ingresso para o show, eles podem esperar uma participação de 1000 a 50 toneladas. O diretor usou esse modelo para descobrir que o preço do ingresso precisa ser $ 8 ou mais para que pelo menos 600 pessoas compareçam. Você concorda com esta afirmação? Por que ou por que não?
    3. Qual desigualdade é verdadeira quando o valor de x é -3?
      A. -x - 6 & lt -3,5
      B. -x - 6 & gt 3,5
      C. -x - 6 & gt -3,5
      D. x - 6 & gt -3,5
    4. Desenhe o conjunto de soluções para cada uma das seguintes desigualdades.
    5. Escreva três equações diferentes que correspondam ao diagrama da fita.
    6. Um padeiro deseja reduzir a quantidade de açúcar em suas receitas de bolo. Ele decide reduzir a quantidade usada em 1 bolo para 1/2 xícara. Ele então usa 4 1/2 xícaras de açúcar para assar 6 bolos.
      uma. Descreva como o diagrama da fita representa a história.
      b. Quanto açúcar havia originalmente em cada receita de bolo?

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    Exemplo 1 - Desigualdades gráficas

    Represente graficamente a desigualdade: & # xa0 y & lt 2x + 2

    Passo 1: Represente graficamente a desigualdade como faria com uma equação linear.

    Pense em: y = 2x + 2 ao criar o gráfico.

    Lembre-se de determinar se a linha é sólida ou pontilhada. Nesse caso, como o símbolo de desigualdade é menor que (& lt), a linha é pontilhada. Os pontos na linha NÃO são soluções!

    Passo 2: & # xa0 Determine qual lado da linha contém as soluções. Já que y é Menor que a expressão, você vai sombrear belocom a linha.

    Se você não tiver certeza de qual lado sombrear, escolha qualquer ponto no gráfico (que não esteja na linha). Você está escolhendo um ponto de teste para determinar qual lado contém as soluções.

    Vou escolher (0,0) porque este é o ponto mais fácil de substituir na desigualdade para verificar as soluções.

    Etapa 3: Substitua (0,0) na desigualdade

    Esta é uma declaração VERDADEIRA. & # Xa0 0 é menor que 2.

    Como (0,0) é uma solução e está à direita da linha, TODOS os pontos à direita da linha são soluções! & # Xa0

    Portanto, sombrearemos levemente a área à direita da linha para mostrar que este lado da linha contém todas as soluções para a desigualdade.

    Passo 4: Sombreie o lado da linha que contém as soluções para a desigualdade.

    Você notou como nossa linha limite era uma linha pontilhada por causa do símbolo menor que foi usado na desigualdade?

    Além disso, você deve ter percebido que sombreou abaixo da linha pontilhada por causa do símbolo menor que na desigualdade. No entanto, se não tiver certeza, você sempre pode escolher um ponto de teste. Sempre uso o ponto (0,0) se não estiver na linha.

    Substitua (0,0) na desigualdade original. Se a sentença matemática for verdadeira depois de substituir (0,0), isso significa que (0,0) é uma solução e você sombreia o meio plano que contém (0,0). Se a sentença matemática for falsa quando você substitui (0,0), isso significa que (0,0) não é uma solução e a outra metade do plano (ou o lado da linha que não contém (0,0) deve ser sombreado.

    Para este segundo exemplo, precisaremos reescrever a equação para que fique na forma de interceptação da inclinação antes de representarmos o gráfico. Observe também que o sinal é maior ou igual a, portanto, desta vez, representaremos graficamente uma linha sólida em vez de uma linha pontilhada. Este exemplo também demonstrará como escolher três soluções para a desigualdade.


    Resolva cada desigualdade. Em seguida, verifique sua solução e represente-a graficamente em uma reta numérica.

    Subtraia 14 em ambos os lados,

    Para verificar a solução, precisamos pegar qualquer valor maior ou igual a 4 e verificar se ele satisfaz a condição ou não.

    Agora temos que aplicar 5 em vez de "x" na desigualdade dada.

    Para representar graficamente a solução, temos que desenhar uma reta numérica e sombrear a parte que satisfaz a condição dada.

    Resolva cada desigualdade. Em seguida, verifique sua solução e represente-a graficamente em uma reta numérica.

    Para verificar a solução, precisamos pegar qualquer valor menor ou igual a 2 e verificar se ele satisfaz a condição ou não.

    Agora temos que aplicar 0 em vez de "d" na desigualdade dada.

    Para representar graficamente a solução, temos que desenhar uma reta numérica e sombrear a parte que satisfaz a condição dada.

    Resolva cada desigualdade. Em seguida, verifique sua solução e faça um gráfico em uma reta numérica.

    Se virarmos a variável para o lado direito e o valor para o lado esquerdo, teremos que mudar seu sinal original.

    Para verificar a solução, precisamos pegar qualquer valor menor ou igual a 7 e verificar se ele satisfaz a condição ou não.

    Agora temos que aplicar 5 em vez de "q" na desigualdade dada.

    Para representar graficamente a solução, temos que desenhar uma reta numérica e sombrear a parte que satisfaz a condição dada.

    Resolva cada desigualdade. Em seguida, verifique sua solução e represente-a graficamente em uma reta numérica.

    Para verificar a solução, precisamos considerar qualquer valor maior que -8.

    Agora temos que aplicar -5 em vez de "y" na desigualdade fornecida.

    Para representar graficamente a solução, temos que desenhar uma reta numérica e sombrear a parte que satisfaz a condição dada.

    Resolva cada desigualdade. Em seguida, verifique sua solução e represente-a graficamente em uma reta numérica.

    Subtraia 2f em ambos os lados

    Para verificar a solução, precisamos considerar qualquer valor menor que -2.

    Agora temos que aplicar -2 em vez de "f" na desigualdade dada.

    Para representar graficamente a solução, temos que desenhar uma reta numérica e sombrear a parte que satisfaz a condição dada.

    Depois de ter passado pelas coisas dadas acima, esperamos que os alunos tenham entendido como resolver as desigualdades. & # xa0

    Além do material fornecido nesta seção, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa busca personalizada do google aqui.

    Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

    Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

    Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


    (6.3.2) & # 8211 Resolva desigualdades contendo valores absolutos

    Vamos aplicar o que você sabe sobre como resolver equações que contêm valores absolutos e o que você sabe sobre desigualdades para resolver desigualdades que contêm valores absolutos. Vamos começar com uma desigualdade simples.

    Esta desigualdade é lida, "o valor absoluto de [latex] x [/ latex] é menor ou igual a 4." Se for solicitado que você resolva [latex] x [/ latex], você deseja descobrir quais valores de [latex] x [/ latex] estão 4 unidades ou menos longe de 0 em uma linha numérica. Você pode começar pensando sobre a reta numérica e quais valores de [latex] x [/ latex] satisfariam esta equação.

    4 e [latex] −4 [/ latex] estão a quatro unidades de 0, portanto, são soluções. 3 e [latex] −3 [/ latex] também são soluções porque cada um desses valores está a menos de 4 unidades de 0. Assim como 1 e [latex] −1 [/ latex], 0,5 e [latex] −0,5 [ / latex] e assim por diante - há um número infinito de valores para [latex] x [/ latex] que irá satisfazer essa desigualdade.

    O gráfico desta desigualdade terá dois círculos fechados, em 4 e [latex] −4 [/ latex]. A distância entre esses dois valores na reta numérica é colorida em azul porque todos esses valores satisfazem a desigualdade.

    A solução pode ser escrita desta forma:

    Desigualdade: [latex] -4 leq x leq4 [/ latex]

    A situação é um pouco diferente quando o sinal de desigualdade é "maior que" ou "maior ou igual a". Considere a desigualdade simples [latex] left | x right | & gt3 [/ latex]. Novamente, você pode pensar na reta numérica e em quais valores de [latex] x [/ latex] são maiores que 3 unidades de zero. Desta vez, 3 e [latex] −3 [/ latex] não estão incluídos na solução, portanto, há círculos abertos em ambos os valores. 2 e [latex] −2 [/ latex] não seriam soluções porque não estão a mais de 3 unidades de 0. Mas 5 e [latex] −5 [/ latex] funcionariam, assim como todos os valores estendidos à esquerda de [latex] −3 [/ latex] e à direita de 3. O gráfico seria semelhante ao mostrado abaixo.

    A solução para essa desigualdade pode ser escrita desta forma:

    Desigualdade: [latex] x & lt − 3 [/ latex] ou [latex] x & gt3 [/ latex].

    Intervalo: [latex] left (- infty, -3 right) cup left (3, infty right) [/ latex]

    No vídeo a seguir, você verá exemplos de como resolver e expressar a solução para desigualdades de valor absoluto envolvendo AND e OR.

    Escrevendo soluções para desigualdades de valor absoluto

    Para qualquer valor positivo de [latex] a [/ latex] e [latex] x [/ latex], uma única variável ou qualquer expressão algébrica:

    Desigualdade de valor absoluto Desigualdade Equivalente Notação de intervalo
    [latex] left | right | le [/ latex] [látex] <-a> le le [/ latex] [latex] left [-a, a right] [/ latex]
    [latex] left | x right | lt [/ latex] [látex] <-a> lt lt [/ latex] [latex] left (-a, a right) [/ latex]
    [latex] left | x right | ge [/ latex] [látex] le text <−a> [/ latex] ou [latex] ge [/ latex] [latex] left (- infty, -a right] cup left [a, infty right) [/ latex]
    [latex] left | x right | gt text [/ latex] [latex] displaystyle lt text <−a> [/ latex] ou [latex] gt [/ latex] [latex] left (- infty, -a right) cup left (a, infty right) [/ latex]

    Vejamos mais alguns exemplos de desigualdades contendo valores absolutos.

    Exemplo

    Resolva para [latex] x [/ latex]. [latex] left | x + 3 right | gt4 [/ latex]

    Visto que esta é uma desigualdade “maior que”, a solução pode ser reescrita de acordo com a regra “maior que”.

    Verifique as soluções na equação original para ter certeza de que funcionam. Verifique o ponto final da primeira equação relacionada, [latex] −7 [/ latex] e o ponto final da segunda equação relacionada, 1.

    Tente [latex] −10 [/ latex], um valor menor que [latex] −7 [/ latex], e 5, um valor maior que 1, para verificar a desigualdade.

    Responder

    Intervalo: [latex] left (- infty, -7 right) cup left (1, infty right) [/ latex]

    Exemplo

    Resolva para [latex] y [/ latex]. [latex] displaystyle 3 left | 2y + 6 right | -9 & lt27 [/ latex]

    Comece a isolar o valor absoluto adicionando 9 a ambos os lados da desigualdade.

    Divida os dois lados por 3 para isolar o valor absoluto.

    Escreva a desigualdade de valor absoluto usando a regra “menor que”. Subtraia 6 de cada parte da desigualdade.

    Divida por 2 para isolar a variável.

    Responder

    Desigualdade: [latex] displaystyle -9 & lt , , y , , & lt3 [/ latex]

    No vídeo a seguir, você verá um exemplo de solução de desigualdades de valor absoluto de várias etapas envolvendo uma situação OR.

    No vídeo a seguir, você verá um exemplo de solução de desigualdades de valor absoluto de várias etapas envolvendo uma situação AND.

    No último vídeo a seguir, você verá um exemplo de solução de uma desigualdade de valor absoluto, onde primeiro é necessário isolar o valor absoluto.

    Identifique casos de desigualdades contendo valores absolutos que não têm soluções

    Tal como acontece com as equações, pode haver instâncias em que não haja solução para uma desigualdade.

    Exemplo

    Resolva para [latex] x [/ latex]. [latex] left | 2x + 3 right | +9 leq 7 [/ latex]

    Isole o valor absoluto subtraindo 9 de ambos os lados da inequação.

    O valor absoluto de uma quantidade nunca pode ser um número negativo, portanto, não há solução para a desigualdade.

    Responder

    Resumo

    Desigualdades absolutas podem ser resolvidas reescrevendo-as usando desigualdades compostas. A primeira etapa para resolver desigualdades absolutas é isolar o valor absoluto. A próxima etapa é decidir se você está trabalhando com uma desigualdade OR ou uma desigualdade AND. Se a desigualdade for maior que um número, usaremos OR. Se a desigualdade for menor que um número, usaremos AND. Lembre-se de que se terminarmos com um valor absoluto maior ou menor que um número negativo, não haverá solução.


    Desigualdades de várias etapas

    Desigualdades de várias etapas são resolvidos exatamente da mesma maneira que as desigualdades de um passo ou as desigualdades de dois passos. A única diferença entre eles é o número de etapas que você precisa realizar para chegar à solução. Uma vez que o número de etapas em desigualdades de várias etapas não é limitado, eles podem se tornar muito complicados. Mas, se você seguir a ordem das operações, lembre-se de tudo o que aprendeu nas lições anteriores e com um pouco de prática e raciocínio lógico, você não terá nenhum problema.

    Mostraremos como lidar com essas desigualdades neste exemplo razoavelmente difícil:

    A primeira coisa a fazer é eliminar os parênteses. Podemos fazer isso multiplicando os primeiros parênteses à esquerda por (-8) e o segundo por 6. Portanto, agora temos:

    Agora temos que colocar todos os números à direita e todas as variáveis ​​à esquerda da expressão. Observe que os únicos números que temos nesta expressão são -48 e 48. Quando os somamos, obtemos 0 como resultado. Portanto, agora a expressão se parece com esta:

    Agora, vamos realizar o resto das adições e subtrações:

    Ainda não terminamos. Ainda há mais uma etapa a ser executada, que é dividir toda a expressão por (-61). Como esse é um número negativo, lembre-se de mudar o sinal de desigualdade para o oposto. Portanto, a última etapa é assim:

    O resultado final é todo número real menor que zero.

    Esperamos que esta lição o tenha ajudado e que você tenha aprendido com ela. Se você tiver perguntas ou comentários adicionais, envie-os por meio do nosso formulário de contato e tentaremos respondê-los o mais rápido possível. Se você quiser praticar a resolução desigualdades de várias etapas um pouco mais, sinta-se à vontade para usar as planilhas de matemática abaixo.


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    Conteúdo

    O média aritmética, ou menos precisamente o média, de uma lista de n números x1, x2, . . . , xn é a soma dos números dividida por n:

    O média geométrica é semelhante, exceto que só é definido para uma lista de não negativo números reais e usa multiplicação e uma raiz no lugar de adição e divisão:

    Se x1, x2, . . . , xn & gt 0, isso é igual ao exponencial da média aritmética dos logaritmos naturais dos números:

    Reafirmando a desigualdade usando notação matemática, temos isso para qualquer lista de n números reais não negativos x1, x2, . . . , xn ,

    e essa igualdade se mantém se e somente se x1 = x2 = · · · = xn .

    Em duas dimensões, 2x1 + 2x2 é o perímetro de um retângulo com lados de comprimento x1 e x2 . Da mesma forma, 4 √ x1x2 é o perímetro de um quadrado com a mesma área, x1x2 , como aquele retângulo. Assim para n = 2 a desigualdade AM-GM afirma que um retângulo de uma determinada área tem o menor perímetro se esse retângulo também for um quadrado.

    A desigualdade total é uma extensão dessa ideia para n dimensões. Cada vértice de uma caixa n-dimensional está conectado a n arestas. Se os comprimentos dessas bordas forem x1, x2, . . . , xn , então x1 + x2 + · · · + xn é o comprimento total das arestas incidentes no vértice. Há 2 n vértices, então multiplicamos isso por 2 n uma vez que cada aresta, no entanto, encontra dois vértices, cada aresta é contada duas vezes. Portanto, dividimos por 2 e concluímos que existem 2 n−1 n arestas. Existem igualmente muitas arestas de cada comprimento en comprimentos, portanto, há 2 n-1 arestas de cada comprimento e o total de todos os comprimentos das arestas é 2 n−1 (x1 + x2 + · · · + xn) Por outro lado,

    é o comprimento total das arestas conectadas a um vértice em um cubo n-dimensional de igual volume, pois neste caso x1=. =xn . Já que a desigualdade diz

    pode ser reafirmado multiplicando por n2 n-1 para obter

    com igualdade se e somente se x1 = x2 = · · · = xn .

    Assim, a desigualdade AM-GM afirma que apenas o n-cubo tem a menor soma dos comprimentos das arestas conectadas a cada vértice entre todas as caixas n-dimensionais com o mesmo volume. [2]

    para todos os números reais positivos x, y e z. Suponha que desejamos encontrar o valor mínimo desta função. Pode ser reescrito como:

    Aplicando a desigualdade AM-GM para n = 6, obtemos

    Além disso, sabemos que os dois lados são iguais exatamente quando todos os termos da média são iguais:

    Todos os pontos (x, y, z) que satisfazem essas condições encontram-se em uma meia-linha começando na origem e são fornecidas por

    Uma aplicação prática importante em matemática financeira é calcular a taxa de retorno: o retorno anualizado, calculado por meio da média geométrica, é menor que o retorno anual médio, calculado pela média aritmética (ou igual se todos os retornos forem iguais). Isso é importante na análise de investimentos, pois o retorno médio superestima o efeito cumulativo.

    Prova usando a desigualdade de Jensen Editar

    A desigualdade de Jensen afirma que o valor de uma função côncava de uma média aritmética é maior ou igual à média aritmética dos valores da função. Uma vez que a função logaritmo é côncava, temos

    Pegando anti-registros da extrema esquerda e extrema direita, temos a desigualdade AM – GM.

    Prova pela média da média aritmética Editar

    com igualdade apenas quando todos os números são iguais. Se xeuxj , em seguida, substituindo ambos xeu e xj de (xeu + xj) / 2 deixará a média aritmética do lado esquerdo inalterada, mas aumentará a média geométrica do lado direito porque

    Assim, o lado direito será o maior quando todos os xeu s são iguais à média aritmética

    portanto, como este é o maior valor do lado direito da expressão, temos

    Esta é uma prova válida para o caso n = 2, mas o procedimento de tomar médias de pares iterativamente pode falhar em produzir n números iguais no caso n ≥ 3. Um exemplo deste caso é x1 = x2x3 : A média de dois números diferentes produz dois números iguais, mas o terceiro ainda é diferente. Portanto, nunca realmente obtemos uma desigualdade envolvendo a média geométrica de três números iguais.

    No caso geral, o processo de cálculo da média acima tende a números iguais e, portanto, prova o AM-GM.

    Edição de provas de indução

    Prova por indução # 1 Editar

    Dos números reais não negativos x1, . . . , xn , a instrução AM-GM é equivalente a

    com igualdade se e somente se α = xeu para todos eu ∈ <1, . . . , n> .

    Para a prova a seguir, aplicamos indução matemática e apenas regras bem conhecidas da aritmética.

    Base de indução: Para n = 1 a afirmação é verdadeira com igualdade.

    Hipótese de indução: Suponha que a instrução AM – GM seja válida para todas as opções de n números reais não negativos.

    Etapa de indução: Considerar n + 1 números reais não negativos x1, . . . , xn+1 ,. Sua média aritmética α satisfaz

    Se todo o xeu são iguais a α, então temos igualdade na instrução AM – GM e pronto. No caso em que alguns não são iguais a α, deve existir um número maior que a média aritmética α e outro menor que α. Sem perda de generalidade, podemos reordenar nosso xeu a fim de colocar esses dois elementos particulares no final: xn & gt α e xn+1 & lt α . Então

    e considere os n números x1, . . . , xn–1, y que são todos não negativos. Desde a

    Assim, α é também a média aritmética de n números x1, . . . , xn–1, y e a hipótese de indução implica

    em particular α & gt 0. Portanto, se pelo menos um dos números x1, . . . , xn–1 é zero, então já temos desigualdade estrita em (**). Caso contrário, o lado direito de (**) é positivo e a desigualdade estrita é obtida usando a estimativa (***) para obter um limite inferior do lado direito de (**). Assim, em ambos os casos, podemos substituir (***) por (**) para obter

    que completa a prova.

    Prova por indução # 2 Editar

    Em primeiro lugar, devemos provar que para números reais x1 & lt 1 e x2 & gt 1 segue-se

    Na verdade, multiplicando os dois lados da desigualdade x2 & gt 1 por 1 - x1 , dá

    de onde a desigualdade exigida é obtida imediatamente.

    Agora, vamos provar que para números reais positivos x1, . . . , xn satisfatório x1 . . . xn = 1, existe

    A igualdade se mantém apenas se x1 = . = xn = 1 .

    Base de indução: Para n = 2 a afirmação é verdadeira por causa da propriedade acima.

    Hipótese de indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para todos os números naturais até n – 1 .

    Etapa de indução: Considere o número natural n , ou seja, para números reais positivos x1, . . . , xn , existe x1 . . . xn = 1. Existe pelo menos um xk & lt 1, então deve haver pelo menos um xj & gt 1. Sem perda de generalidade, deixamos k =n - 1 e j = n .

    Além disso, a igualdade x1 . . . xn = 1, devemos escrever na forma de (x1 . . . xn–2) (xn–1 xn) = 1. Então, a hipótese de indução implica

    No entanto, levando em consideração a base de indução, temos

    que completa a prova.

    Para números reais positivos uma1, . . . , uman , vamos denotar

    Os números x1, . . . , xn satisfaça a condição x1 . . . xn = 1. Então nós temos

    com a igualdade válida apenas para uma1 = . = uman .

    Prova de Cauchy usando indução para frente e para trás Editar

    A seguinte prova por casos depende diretamente de regras bem conhecidas da aritmética, mas emprega a técnica raramente usada de indução para frente e para trás. É essencialmente de Augustin Louis Cauchy e pode ser encontrado em seu Cours d'analyse. [3]

    O caso em que todos os termos são iguais Editar

    Se todos os termos forem iguais:

    então a soma deles é nx1 , então sua média aritmética é x1 e o produto deles é x1 n , então sua média geométrica é x1 portanto, a média aritmética e a média geométrica são iguais, conforme desejado.

    O caso em que nem todos os termos são iguais Editar

    Resta mostrar que se não todos os termos são iguais, então a média aritmética é maior do que a média geométrica. Claramente, isso só é possível quando n & gt 1.

    Este caso é significativamente mais complexo e o dividimos em subcasos.

    O subcaso onde n = 2 Editar

    Se n = 2, então temos dois termos, x1 e x2 , e uma vez que (por nossa suposição) nem todos os termos são iguais, temos:

    O subcaso onde n = 2 k Editar

    Considere o caso onde n = 2 k , onde k é um número inteiro positivo. Procedemos por indução matemática.

    No caso básico, k = 1, então n = 2. Já mostramos que a desigualdade se mantém quando n = 2, então terminamos.

    Agora, suponha que para um determinado k & gt 1, já mostramos que a desigualdade vale para n = 2 k-1, e queremos mostrar que vale para n = 2 k . Para fazer isso, aplicamos a desigualdade duas vezes para 2 k-1 números e uma vez para 2 números para obter:

    onde na primeira desigualdade, os dois lados são iguais apenas se

    (neste caso, a primeira média aritmética e a primeira média geométrica são ambas iguais a x1 , e da mesma forma com a segunda média aritmética e a segunda média geométrica) e na segunda desigualdade, os dois lados são iguais apenas se as duas médias geométricas forem iguais. Uma vez que nem todos os 2 k números são iguais, não é possível que ambas as desigualdades sejam igualdades, então sabemos que:

    O subcaso onde n & lt 2 k Editar

    Se n não é uma potência natural de 2, então certamente é menos do que algum poder natural de 2, uma vez que a sequência 2, 4, 8,. . . 2 k ,. . . é ilimitado acima. Portanto, sem perda de generalidade, seja m alguma potência natural de 2 maior que n.

    Portanto, se temos n termos, vamos denotar sua média aritmética por α e expandir nossa lista de termos assim:

    Prova por indução usando cálculo básico Editar

    A seguinte prova usa indução matemática e alguns cálculos diferenciais básicos.

    Base de indução: Para n = 1 a afirmação é verdadeira com igualdade.

    Hipótese de indução: Suponha que a instrução AM – GM seja válida para todas as opções de n números reais não negativos.

    Etapa de indução: A fim de provar a declaração de n + 1 números reais não negativos x1, . . . , xn, xn+1 , precisamos provar que

    com igualdade apenas se todos os n + 1 números são iguais.

    Se todos os números forem zero, a desigualdade se mantém com igualdade. Se alguns números, mas não todos, forem zero, teremos desigualdade estrita. Portanto, podemos assumir a seguir, que todos n + 1 números são positivos.

    Nós consideramos o último número xn+1 como uma variável e definir a função

    Provar a etapa de indução é equivalente a mostrar que f(t) ≥ 0 para todos t & gt 0, com f(t) = 0 apenas se x1, . . . , xn e t são todos iguais. Isso pode ser feito analisando os pontos críticos de f usando alguns cálculos básicos.

    A primeira derivada de f é dada por

    Um ponto crítico t0 tem que satisfazer f ′(t0) = 0, o que significa

    Após uma pequena reorganização, obtemos

    que é a média geométrica de x1, . . . , xn . Este é o único ponto crítico de f. Desde a f ′ ′(t) & gt 0 para todos t & gt 0, a função f é estritamente convexa e tem um mínimo global estrito em t0 . Em seguida, calculamos o valor da função neste mínimo global:

    onde a desigualdade final se mantém devido à hipótese de indução. A hipótese também diz que podemos ter igualdade apenas quando x1, . . . , xn são todos iguais. Neste caso, sua média geométrica t0 tem o mesmo valor, portanto, a menos que x1, . . . , xn, xn+1 são todos iguais, nós temos f(xn+1) & gt 0. Isso completa a prova.

    This technique can be used in the same manner to prove the generalized AM–GM inequality and Cauchy–Schwarz inequality in Euclidean space R n .

    Proof by Pólya using the exponential function Edit

    George Pólya provided a proof similar to what follows. Deixar f(x) = e x–1 – x for all real x , with first derivative f′(x) = e x–1 – 1 and second derivative f′′(x) = e x–1 . Observe that f(1) = 0 , f′(1) = 0 and f′′(x) > 0 for all real x , hence f is strictly convex with the absolute minimum at x = 1 . Por isso x ≤ e x–1 for all real x with equality only for x = 1 .

    Consider a list of non-negative real numbers x1, x2, . . . , xn . If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean α > 0 . By n -fold application of the above inequality, we obtain that

    with equality if and only if xeu = α para cada eu ∈ <1, . . . , n>. The argument of the exponential function can be simplified:

    which produces x1 x2 · · · xnα n , hence the result [4]

    Proof by Lagrangian Multipliers Edit

    Weighted AM–GM inequality Edit

    There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers x1, x2, . . . , xn and the nonnegative weights C1, C2, . . . , Cn be given. Set C = C1 + C2 + · · · + Cn . Se C > 0 , then the inequality

    holds with equality if and only if all the xk com Ck > 0 are equal. Here the convention 0 0 = 1 is used.

    If all Ck = 1 , this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.

    Proof using Jensen's inequality Edit

    Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

    Since an xk with weight Ck = 0 has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all xk are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one xk is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all xk are positive.

    Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply


    Euclidean Inner Product

    Richard Bronson , . John T. Saccoman , in Linear Algebra (Third Edition) , 2014

    Chapter 6 Review

    Important Terms

    Gram-Schmidt orthonormalization process

    least-squares straight line

    orthonormal set of vectors

    QR algorithm

    QR decomposição

    Important Concepts

    The Euclidean inner product of two vectors x e y in ℝ n is a real number obtained by multiplying corresponding components of x e y and then summing the resulting products.

    The inner product of a vector with itself is positive, unless the vector is the zero vector, in which case the inner product is zero.

    The inner product of a vector with the zero vector yields the zero scalar.

    x, y〉 = 〈y, x〉 = 〈y, x〉 for vectors x e y dentro R n .

    λx, y〉 = λx, y〉, for any real number λ.

    x + z, y〉 = 〈x, y〉 + 〈z, y〉.

    The magnitude of a vector x ∈ ℝ n is the square root of the inner product of x with itself.

    Se você e v are vectors in ℝ n , then |(u,v)| ≤ ‖você‖ ‖v‖.

    An induced inner product on two matrices of the same order is obtained by multiplying corresponding elements of both matrices and summing the results.

    An induced inner product of two polynomials is obtained by multiplying the coefficients of like powers of the variable and summing the results.

    Two vectors can be orthogonal with respect to one basis and not orthogonal with respect to another basis.

    Subtracting from a nonzero vector x its projection onto another nonzero vector a yields a vector that is orthogonal to both a and the projection of x onto a.

    An orthonormal set of vectors is an orthogonal set of unit vectors.

    An orthonormal set of a finite number of vectors is linearly independent.

    If <x1, x2, …, xn> is orthonormal basis for a vector space V , then for any vector x ∈ V , x = 〈x, x1x1 + 〈x, x2x2 + ⋯ + 〈x, xnxn.

    Every set of linearly independent vectors in an inner product space can be transformed into an orthonormal set of vectors that spans the same subspace.

    If the columns of a matrix UMA are linearly independent, then UMA can be factored into the product of a matrix Q, having columns that form an orthonormal set, and another matrix R, that is upper triangular.

    O QR algorithm is a numerical method of locating all eigenvalues of a real matrix.

    The least-squares straight line is the line that minimizes the least-squares error for a given set of data.

    Um vetor x is the least-squares solution to Ax = b se e apenas se x is a solution to the normal equation A T Ax = A T b.

    If U is a subspace of an inner product space V , then so too is the orthogonal complement of U .

    If U is a subspace of an inner product space V , then the only vector common to both U and U ┴ is the zero vector.

    If S is a spanning set for a subspace U of ℝ n (considered as column matrices) and if a matrix A is created so that each row of UMA is the transpose of the vectors in S , then U ┴ = ker(UMA).

    If U is a subspace of ℝ n , então escuro( U ) + escuro( U ┴) = n.

    If U is a subspace of ℝ n , then each vector x ∈ ℝ n can be written uniquely as x = você + você┴, where você ∈ U and você┴ ∈ U ┴.


    Unit Resources

    Multiplication of Fractions and Mixed Numbers

    Student Reference Book pages 73, 90, 93

    Student Reference Book page 242

    Fraction/Whole Number Top-It
    (Student Reference Book, page 319-320)

    Division of Fractions and Mixed Numbers

    Student Reference Book page 93

    Student Reference Book page 262

    Review: Addition and Subtraction of Positive and Negative Numbers

    Student Reference Book pages 95, 96

    Student Reference Book pages 251-252

    Credits/Debits Game
    (Student Reference Book, page 308)

    Multiplication and Division of Positive and Negative Numbers

    Student Reference Book page 97

    Top-It with Positive and Negative Numbers
    (Student Reference Book, page 337-338)

    Absolute Value
    (CCSS Ed. Only)

    The Properties of Number Systems

    Student Reference Book page 105

    Student Reference Book page 247

    Student Reference Book page 219

    Student Reference Book pages 241-243

    Student Reference Book pages 242, 243

    Name That Number
    (Student Reference Book, page 329)

    Review: Pan-Balance Problems
    (CCSS Ed.)

    Review: Pan-Balance Equations
    (3rd Ed.)

    Student Reference Book page 250

    Student Reference Book pages 250-252

    The Equivalent-Equations Method
    (CCSS Ed.)

    The Equivalent-Equations Methods
    (3rd Ed.)

    Student Reference Book pages 251-252

    Student Reference Book pages 242-244, 251-252

    Everyday Mathematics for Parents: What You Need to Know to Help Your Child Succeed

    The University of Chicago School Mathematics Project

    University of Chicago Press


    Assista o vídeo: Algebra 1 Solving Inequalities (Novembro 2021).