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2.1: Representando Relações Proporcionais com Tabelas - Matemática


2.1: Representando Relações Proporcionais com Tabelas - Matemática

7.2.2A Representar Relacionamentos Proporcionais

Representam relações proporcionais com tabelas, descrições verbais, símbolos, equações e gráficos que são traduzidos de uma representação para outra. Determine a taxa unitária (constante de proporcionalidade ou inclinação) dada qualquer uma dessas representações.

Por exemplo: Larry dirige 114 milhas e usa 5 galões de gasolina. Sue dirige 300 milhas e usa 11,5 galões de gasolina. Use equações e gráficos para comparar a eficiência de combustível e determinar os custos de várias viagens.

Visão geral

7.2.2 Entendimentos Essenciais

Os alunos tiveram experiência anterior com situações envolvendo uma mudança em uma quantidade, efetuando uma mudança correspondente em outra. Essa experiência anterior incluiu representações gráficas, tabulares e de regra de função desses relacionamentos. Esta norma estende o entendimento prévio para situações proporcionais. Os relacionamentos proporcionais são um relacionamento linear específico. Quando essas relações proporcionais são representadas graficamente, a representação é uma linha que passa pela origem. Em outras representações de uma relação proporcional (tabular, verbal, símbolos ou equações), a ideia pode não ser inicialmente evidente, mas em cada representação uma taxa constante de mudança pode ser determinada. A partir da tradução entre essas representações, os alunos exploram essa taxa constante de mudança para determinar uma taxa unitária (constante de proporcionalidade ou inclinação). Quanto mais conexões os alunos puderem fazer entre essas formas múltiplas de representação, mais profundo será seu entendimento da relação. Com essa compreensão, os alunos serão capazes de passar para outras relações lineares que não são proporcionais (com um gráfico que é uma linha que não passa pela origem).

Todos os benchmarks padrão

7.2.2.1
Representam relações proporcionais com tabelas, descrições verbais, símbolos, equações e gráficos que são traduzidos de uma representação para outra. Determine a taxa unitária (constante de proporcionalidade ou inclinação) dada qualquer uma dessas representações.
7.2.2.2
Resolva problemas de várias etapas envolvendo relações proporcionais em vários contextos.
7.2.2.3
Use o conhecimento de proporções para avaliar a razoabilidade das soluções.
7.2.2.4
Represente situações do mundo real ou matemáticas usando equações e desigualdades envolvendo variáveis ​​e números racionais positivos e negativos.

Grupo de referência A - Relações proporcionais

Referência 7.2.2.1 Representam relações proporcionais com tabelas, descrições verbais, símbolos, equações e gráficos que são traduzidos de uma representação para outra. Determine a taxa unitária (constante de proporcionalidade ou inclinação) dada qualquer uma dessas representações.

Por exemplo: Larry dirige 114 milhas e usa 5 galões de gasolina. Sue dirige 300 milhas e usa 11,5 galões de gasolina. Use equações e gráficos para comparar a eficiência de combustível e determinar os custos de várias viagens.

O que os alunos devem saber e ser capazes de fazer [em um nível de domínio] relacionado a esses benchmarks

  • Identifique a taxa unitária usando a representação.
  • Faça uma tabela de um determinado relacionamento.
  • Escreva uma equação / função de relação proporcional.
  • Faça um gráfico de uma relação proporcional.
  • Traduzir de uma representação de uma relação proporcional para outra.

Trabalhos de séries anteriores que apóiam esse novo aprendizado incluem:

  • representar graficamente no primeiro quadrante
  • lendo tabelas
  • transformar uma regra escrita em uma equação, por exemplo, o custo, C, do almoço é $ 4,50 para cada refeição, m. C = 4.50m
  • resolver situações de proporção e taxa em várias estratégias
  • encontrar taxa de unidade dividindo ou diminuindo
  • escalar as proporções para cima ou para baixo usando a multiplicação
  • encontrando frações equivalentes
  • compreender que uma variável pode ser usada para representar uma quantidade que pode mudar frequentemente em relação a outra quantidade em mudança
  • usando variáveis ​​em vários contextos
  • usando regras de função
  • traduzindo entre regras de função, tabelas e gráficos
  • fazendo mesas
  • determinar variáveis ​​dependentes e independentes

Relacione e compare diferentes formas de representação para um relacionamento:

  • identifique funções como lineares ou não lineares e compare suas propriedades em tabelas, gráficos ou equações.

Padrões de estado de núcleo comum (CCSS)

Relações e relações proporcionais

7.RP: Analise relacionamentos proporcionais e use-os para resolver problemas matemáticos e do mundo real.

7.RP.1 Calcule taxas de unidades associadas a taxas de frações, incluindo taxas de comprimentos, áreas e outras quantidades medidas em unidades semelhantes ou diferentes. Por exemplo, se uma pessoa caminha $ frac <1> <2> $ milhas em cada $ frac <1> <4> $ hora, calcule a taxa unitária como a fração complexa $ frac < frac <1> < 2 >> < frac <1> <4>> $ milhas por hora, o equivalente a 2 milhas por hora.

7.RP.2. Reconhecer e representar relações proporcionais entre quantidades.

  • 7.RP.2b. Identifique a constante de proporcionalidade (taxa de unidade) em tabelas, gráficos, equações, diagramas e descrições verbais de relações proporcionais.
  • 7.RP.2c. Representa relações proporcionais por equações. Por exemplo, se o custo total t é proporcional ao número n de itens comprados a um preço constante p, a relação entre o custo total e o número de itens pode ser expressa como t = np.

7.RP.3 Use relações proporcionais para resolver problemas de proporção e porcentagem de várias etapas. Exemplos: juros simples, impostos, majorações e remarcações, gratificações e comissões, taxas, aumento e redução percentual, erro percentual.

Equívocos

  • A inclinação não é encontrada apenas em um gráfico. Uma taxa constante de mudança na forma tabular também é inclinada.
  • Determinando a taxa de unidade errada, dividindo na ordem errada.
  • Ao comparar as taxas por unidade, os alunos pensam que a taxa mais alta é o melhor negócio.
  • Os alunos invertem as variáveis, colocando-as nos eixos incorretos do gráfico, e confundem as variáveis ​​independentes e dependentes na equação.

Vinheta

O professor dá a cada aluno uma cédula secreta para votar em seu tipo de música favorito. Recolher as cédulas e exibir a proporção de cada grupo.

T: Ok, temos 6 alunos que gostam de música alternativa. Qual é a proporção de alunos que gostam de música alternativa?

S: Não sabemos quantos estão na classe.

T: Bem, vamos contar. Ok, temos 30 alunos na classe. Agora, qual é a proporção?

T: Sim isso está certo. Conhecemos outra maneira de escrever uma proporção, com a qual nos sentimos mais confortáveis?

S: Como uma fração, como $ frac <6> <30> $?

T: sim. Então, se temos 270 no ensino médio, quantos podemos prever que gostam de música alternativa?

T: O que nos já sabemos?

S: Que 6 das 30 alternativas gostam?

T: Correto. E se soubermos disso, como isso nos ajudará a descobrir quantas alternativas semelhantes?

T: Sim, poderíamos. Qualquer outra maneira?

S: Encontre a taxa unitária.
T:
"Sim, poderíamos. Então, se tivermos $ frac <6> <30> $, quantos seriam de 270? Como seria isso?"

(Peça a um aluno que venha ao quadro e escreva as idéias iniciais.)

Um aluno vem ao quadro e escreve: $ frac <6> <30> = frac<270>$

T: Então, como poderíamos resolver isso?

S: 0,2 é a taxa unitária, então multiplique isso por 270 alunos. Portanto, há 54 alunos na escola que gostam de música alternativa.

T: Bom trabalho. Também aprendemos como usar a multiplicação cruzada para resolver isso. Mas estou feliz que você tenha usado o que sabe sobre taxas unitárias para resolver este problema. Legal!

Recursos

Só porque um aluno pode usar o algoritmo de produto cruzado para resolver uma proporção, não significa que ele entende as relações proporcionais. O simples fato de seguir as etapas não significa que eles entendam o que recebem por uma resposta e não sabem se é proporcional.

  • Um método comum para resolver problemas de palavras envolvendo relações proporcionais é "configurar proporções e multiplicação cruzada". Este método é útil para uma gama estreita de problemas (onde as duas variáveis ​​têm exatamente dois valores cada), e não é uma boa base para a compreensão de relações proporcionais de forma mais geral (onde duas variáveis ​​podem cada uma ter valores infinitos) como aparecem na álgebra e além. É importante destacar as relações proporcionais entre as variáveis ​​nos problemas.
  • Ao ensinar como encontrar a taxa unitária, peça aos alunos que dividam na ordem do rótulo. Por exemplo, se eles estão tentando encontrar milhas por galão, eles dividiriam milhas por galões, na mesma ordem do rótulo.
  • Ao discutir o custo dos itens, os alunos precisam estar atentos ao rótulo e ver que desejam um custo mais baixo por item, mas itens mais altos por dólar, que são os mesmos termos, mas em uma ordem diferente, significando coisas completamente diferentes.
  • Certifique-se de que os alunos estão visualizando relações proporcionais em uma variedade de representações. Eles precisam reconhecer as características de cada representação que faz uma relação proporcional, por exemplo, a interceptação y de um gráfico é (0,0). Peça também aos alunos que calculem a taxa unitária para a situação proporcional de cada uma das diferentes representações, por exemplo, em um gráfico, a taxa unitária é a inclinação.
  • Os alunos devem ser capazes de relacionar expressões e equações de variáveis ​​a outras formas de representação, como tabelas, gráficos e descrições verbais. Uma forma de desenvolver competência nesta área é usar uma abordagem funcional. Dê aos alunos uma tabela de valores e peça-lhes que gerem uma regra (funções) para descrever o relacionamento. Por exemplo, considere a seguinte tabela:

A partir desta tabela, os alunos devem notar que o valor y é sempre igual a três vezes o valor x. Declarando essa relação por meio de variáveis, y = 3x, eles podem ver que o valor y dividido pelo valor x é sempre 3 e, portanto, proporcional. Adaptado de Traduzindo Palavras em Símbolos:

  • Progredindo da representação pura de uma relação proporcional para a configuração e solução de problemas proporcionalmente, seja com uma tabela, gráfico ou uma descrição escrita de uma situação de problema, os alunos devem ser capazes de criar os outros dois formulários. "À medida que os alunos entram no ensino médio, as ideias de função e variável tornam-se mais importantes. A representação de funções como padrões, por meio de tabelas, descrições verbais, descrições simbólicas e gráficos podem se combinar para promover uma compreensão flexível da ideia de função. Funções lineares recebem atenção especial. Eles se conectam às ideias de proporcionalidade e taxa, formando uma ponte que acabará por ligar a aritmética ao cálculo. A manipulação simbólica no contexto relativamente simples de equações lineares é reforçada por outros meios de encontrar soluções, incluindo gráficos à mão ou com calculadoras. " (NAEP 2009 Mathematics Framework, p. 31)
  • Bagel AlgebraUm exemplo da vida real - tirado de uma padaria, de todos os lugares - é usado para fazer os alunos pensarem em resolver um problema simbolicamente. Os alunos devem decifrar uma série de equações e interpretar os resultados para entender o que o dono da padaria está tentando fazer.
  • Medindo-seOs alunos aprendem a escrever e resolver proporções reunindo dados e calculando taxas unitárias.

Recursos adicionais de instrução

proporcional: Em matemática, duas quantidades variáveis ​​são proporcional se um deles é sempre o produto do outro por uma quantidade constante, chamada de constante de proporcionalidade. Em outras palavras, x e y são proporcionais se a proporção $ frac$ é constante. Também dizemos que uma das quantidades é proporcional à outra. Por exemplo, se a velocidade de um objeto é constante, ele percorre uma distância proporcional ao tempo de viagem.

origem: o ponto (0,0) em um sistema de eixos de coordenadas, onde os eixos xey se cruzam.

inclinação: a razão de aumento para correr conforme encontrada em um gráfico de uma linha representa a taxa de mudança de uma situação linear.

Reflexão - Questões críticas em relação ao ensino e aprendizagem desses benchmarks

  • Os alunos têm clareza sobre o que é uma relação proporcional?
  • Os alunos conseguem identificar relações que são proporcionais e aquelas que não são?
  • Dada apenas uma descrição verbal, os alunos podem determinar se a relação é proporcional?
  • O que é proporcionalidade?
  • Como a mudança pode ser mais bem representada matematicamente?
  • Como podemos usar a linguagem matemática para descrever a mudança?
  • Como podemos usar modelos matemáticos para descrever a mudança ou mudança ao longo do tempo?
  • Como os padrões, relações e funções podem ser usados ​​como ferramentas para melhor descrever e ajudar a explicar as situações da vida real?

Livro do NCTM Developing Essential Understanding of Ratio, Proportional, and Proportional Reasoning for Teaching Mathematics: Séries 6-8

Dez principais ideias sobre relacionamentos proporcionais (que os alunos devem levar para a matemática do ensino médio)

Bounds, H. M., Chapman, C., Green, T., Kaase, K., Sewell, B.H., & amp Thompson, M. (2007). Estratégias revisadas da estrutura matemática do Mississippi. Jackson, MS: Departamento de Educação do Mississippi.

Cramer, K., & amp Post, T. (1993, maio). Conectando a pesquisa ao ensino do raciocínio proporcional. Professor de matemática, 86 (5), 404-407.

Ajudando os alunos a obter compreensão e autoconfiança em álgebra. www.purplemath.com

Conselho Nacional de Professores de Matemática. (WL.). Desenvolvimento da compreensão essencial de razões, proporções e raciocínio proporcional para o ensino da matemática: 6ª-8ª série. Reston, VA: NCTM.

Dez principais ideias sobre relações proporcionais (que os alunos devem levar para a matemática do ensino médio) http://web.me.com/serpmedia/ToolPresentation/Tool___Articulation_2_files/Top%20ten%20list-1.pdf

Avaliação

  • O gráfico a seguir mostra a relação entre a quantidade de ingressos vendidos para um show de banda e a quantidade de dinheiro, em dólares, arrecadada com a venda dos primeiros 30 ingressos.

Lançamento do Sistema de Avaliação Abrangente de Massachusetts de Itens de Teste da Primavera de 2009

  • Uma porção do iogurte favorito de Lara contém 150 calorias. Qual dos gráficos a seguir mostra a relação entre o número de calorias e o número de porções do iogurte favorito de Lara?

Lançamento do Sistema de Avaliação Abrangente de Massachusetts de Itens de Teste da Primavera de 2010

  • Anita e Jerry estão lendo o mesmo livro. Os gráficos abaixo mostram o número de páginas que Anita e Jerry leram por dia durante cinco dias

Lançamento do Sistema de Avaliação Abrangente de Massachusetts de Itens de Teste da Primavera de 2010

Tirado de Amostrador de itens do MCA Math Grau 7

Tirado de Amostrador de itens do MCA Math Grau 7

* Os próximos quatro exemplos são de Cramer, K. & amp Post, T. (1993, maio). "Connecting Research to Teaching Proportional Reasoning." Professor de matemática, 86 (5), 404-407.

  • Velocidade de valor ausente: Lisa e Rachel dirigiram igualmente rápido por uma estrada secundária. Lisa levou 6 minutos para dirigir 4 milhas. Quanto tempo levou para Rachel dirigir seis milhas?

Resposta: 9 minutos para dirigir 6 milhas.

  • Escala de comparação numérica: Anne e Linda estão usando mapas de estradas diferentes da cidade. No mapa de Anne, uma estrada de 7 centímetros de comprimento tem, na verdade, 24 quilômetros. No mapa de Linda, uma estrada de 23 centímetros de comprimento tem, na verdade, 72 quilômetros de extensão. Quem está usando o mapa maior da cidade?

a) Anne
b) Linda
c) seus mapas são os mesmos
d) informações insuficientes para contar
Resposta: Escolha C

Se Nick misturasse menos mistura de limonada com mais água do que ontem, sua bebida de limonada teria gosto

a) mais forte
b) mais fraco
c) exatamente o mesmo
d) informações insuficientes para contar
Resposta: Escolha B

Dois amigos martelaram uma linha de pregos em placas diferentes. Bill martelou mais pregos do que Greg. A prancha de Bill era mais curta do que a de Greg. Em que placa os pregos são martelados mais próximos?

a) Conselho de Bill
b) Conselho de Greg
c) suas unhas são espaçadas da mesma forma
d) Não há informações suficientes para contar
Resposta: Escolha a

Diferenciação

  • limite as escolhas na avaliação a 2 ou 3
  • fornecer calculadoras para todos os problemas computacionais
  • certifique-se de comparar gráficos diferentes, as escalas são as mesmas neles
  • trabalhar com parceiros que são mais fluentes no processo para fornecer suporte constante
  • Use um mapa conceitual (e outros organizadores gráficos)

  • esclarecer a definição de 'mesa' neste contexto
  • Use um mapa conceitual (e outros organizadores gráficos)

  • Os alunos podem estender o pensamento sobre a representação da relação proporcional para explorar as relações não proporcionais e comparar as duas.

Pais / Admin

Observação administrativa / em sala de aula de pares

fazendo tabelas de situações proporcionais

este padrão está se concentrando no representação (gráfica, tabular, verbal) da situação.

fazendo gráficos de situações proporcionais

certificando-se de que os alunos saibam quais são as características de uma tabela, gráfico ou equação de uma relação proporcional.

encontrar valores ausentes nessas duas representações (tabelas e equações)

perguntando aos alunos "como você pode saber se o conjunto de dados é proporcional examinando uma tabela? uma equação? um gráfico?"

fazendo a transição das representações tabulares, gráficas e verbais, traduzindo entre as três

fazer com que os alunos calculem a taxa unitária (inclinação) de todas as diferentes representações de uma relação proporcional.


Nem todos os gráficos de linhas retas representam relações proporcionais.

Existem três maneiras de saber se uma relação entre duas quantidades variáveis ​​é proporcional:

  • O gráfico da relação entre as quantidades é uma linha reta que passa pelo ponto (0, 0).
  • Você pode expressar uma quantidade em termos de outra usando uma fórmula do formulário y = kx.
  • As relações entre as quantidades variáveis ​​são constantes.

Fluxo de aula

Os alunos começam a unidade prevendo o que acontecerá em certas situações. Eles descobrem intuitivamente que podem prever as situações que são proporcionais e podem ter dificuldade em prever as que não são. Nas Lições 2–4, os alunos usam as mesmas três situações para explorar as relações proporcionais. Duas das relações são proporcionais e uma não. Eles examinam essas situações em tabelas, equações e gráficos. Após a Lição 4, os alunos percebem que uma relação proporcional é representada em um gráfico como uma linha reta que passa pela origem. Na Lição 5, eles olham para linhas retas que não representam uma relação proporcional. A lição 6 enfoca a ideia de como uma proporção que eles resolveram na sexta série se relaciona com uma relação proporcional. Eles seguem isso observando as taxas expressas como frações, encontrando a taxa unitária (a constante de proporcionalidade) e, em seguida, usando a constante de proporcionalidade para resolver um problema. Na Lição 8, os alunos ajustam sua definição de relação proporcional observando as situações e determinando se elas representam relações proporcionais e justificando seu raciocínio. Eles então aplicam o que aprenderam a uma situação sobre bandeiras e estrelas e estendem esse pensamento para comparar dois preços - examinando as equações e os gráficos. A lição Juntando tudo os faz resolver dois problemas e, em seguida, criticar o trabalho de outro aluno.

A Galeria 1 fornece aos alunos problemas adicionais de relacionamento proporcional.

A segunda parte da unidade trabalha com porcentagens. Primeiro, as porcentagens estão vinculadas a relações proporcionais e, em seguida, os alunos examinam as situações de porcentagem como fórmulas, gráficos e tabelas. Em seguida, eles mudam para um novo contexto - aumento de salário - e veem as semelhanças com os impostos sobre vendas. Em seguida, os alunos exploram a redução percentual e, em seguida, analisam declarações imprecisas envolvendo porcentagens, explicando por que as declarações estão incorretas. Os alunos terminam esta sequência de aulas com uma avaliação formativa que se concentra no aumento percentual e na redução percentual e os associa a decimais.

Os alunos têm amplas oportunidades para verificar, aprofundar e aplicar sua compreensão das relações proporcionais, incluindo porcentagens, com a seleção de problemas na Galeria 2.


O início da lição apresenta a definição de constante de proporcionalidade e o processo de construção de uma fórmula para representar uma relação proporcional. Saliente que os alunos já trabalharam com a constante de proporcionalidade antes, quando trabalhavam com taxas unitárias. A taxa unitária é igual à constante de proporcionalidade. Pergunte aos alunos o seguinte:

  • Por que uma taxa unitária é um exemplo de constante de proporcionalidade?
  • Você pode pensar na constante de proporcionalidade nessa situação como uma taxa unitária? Por que ou por que não?

Matemática Ilustrativa 7ª Série, Unidade 4, Lição 3: Revisitando Relacionamentos Proporcionais

Vamos usar constantes de proporcionalidade para resolver mais problemas.

Resumo da lição 3

O diagrama a seguir mostra como usar constantes de proporcionalidade para resolver mais problemas.

Lição 3.1 Proporções de receita

Uma receita pede 1/2 xícara de açúcar e 1 xícara de farinha. Complete a tabela para mostrar quanto açúcar e farinha usar em diferentes números de lotes da receita.

Lição 3.2 O preço da corda

Dois alunos estão resolvendo o mesmo problema: em uma loja de ferragens, eles podem cortar um pedaço de corda de um rolo grande, para que você possa comprar o comprimento que quiser. O custo de 6 pés de corda é de US $ 7,50. Quanto você pagaria por 50 pés de corda, nessa taxa?

  1. Kiran sabe que pode resolver o problema dessa forma.
    Qual seria a resposta da Kiran & rsquos?
  2. Kiran quer saber se existe uma maneira mais eficiente de resolver o problema. Priya diz que pode resolver o problema com apenas 2 linhas na tabela.
    O que você acha que é o método Priya & rsquos?

Lição 3.3 Natação, Fabricação e Pintura

  1. Tyler nada a uma velocidade constante, 5 metros a cada 4 segundos. Quanto tempo ele leva para nadar 114 metros?
  2. Uma fábrica produz 3 garrafas de água com gás para cada 8 garrafas de água pura. Quantas garrafas de água com gás a empresa produz ao produzir 600 garrafas de água pura?
  3. Um certo tom de tinta azul claro é feito pela mistura de 1 1/2 quarto de tinta azul com 5 quartos de tinta branca. Quanta tinta branca você precisa para misturar com 4 litros de tinta azul?
  4. Para cada uma das três situações anteriores, escreva uma equação para representar a relação proporcional.

Você esta pronto para mais?

Diferentes sinais nervosos viajam em velocidades diferentes.
Os sinais de pressão e toque viajam cerca de 250 pés por segundo.
Sinais de dor surdos viajam cerca de 60 centímetros por segundo.

  1. Quanto tempo você leva para sentir uma formiga rastejando em seu pé?
  2. Quanto tempo leva para sentir uma dor surda no pé?

Lição 3.4 Concluindo a corrida e mais suco de laranja

  1. Lin corre 2 3/4 milhas em 2/5 de uma hora. Tyler corre 8 2/3 milhas em 4/3 de uma hora. Quanto tempo cada um leva para correr 16 quilômetros a essa taxa?
  2. Priya mistura 2 1/2 xícaras de água com 1/3 xícara de concentrado de suco de laranja. Diego mistura 12 / xícaras de água com 1/4 xícara de concentrado de suco de laranja. Quanto de concentrado cada um deles deve misturar com 100 xícaras de água para fazer suco com o mesmo sabor da receita original? Explique ou mostre seu raciocínio.

Lição 3: Problemas práticos

  1. Uma fazenda de formigas leva 3 dias para consumir 1/2 de uma maçã. Nesse ritmo, em quantos dias o formigueiro consumirá 3 maçãs?
  2. Para fazer um tom de tinta chamado verde jaspe, misture 4 litros de tinta verde com 2/3 xícaras de tinta preta. Quanta tinta verde deve ser misturada com 4 xícaras de tinta preta para fazer verde jaspe?
  3. Um avião está voando da cidade de Nova York para Los Angeles. A distância que percorre em milhas, d, está relacionada ao tempo em segundos, t, pela equação d = 0,15t.
    uma. Quão rápido está voando? Certifique-se de incluir as unidades.
    b. Quão longe ele irá viajar em 30 segundos?
    c. Quanto tempo leva para percorrer 12,75 milhas?
  4. Um dono da mercearia pode comprar morangos por US $ 1,38 o quilo.
    uma. Escreva uma equação relacionando o custo e as libras de morangos.
    b. Um pedido de morango custa $ 241,50. Quantas libras o dono da mercearia pediu?
  5. O lago da cratera no Oregon tem a forma de um círculo com um diâmetro de cerca de 5,5 milhas.
    uma. Qual é a distância em torno do perímetro do Lago da Cratera?
    b. Qual é a área da superfície do Lago da Cratera?
  6. Um pedaço de arame de 50 centímetros dobrado em um círculo. Qual é a área deste círculo?
  7. Suponha que os quadriláteros A e B sejam quadrados. A e B são necessariamente cópias em escala um do outro? Explique.

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Matemática Ilustrativa 7ª Série, Unidade 2, Lição 2: Apresentando Relações Proporcionais com Tabelas

Vamos resolver problemas envolvendo relacionamentos proporcionais usando tabelas.

Resumo da lição 2

O diagrama a seguir mostra como usar uma tabela para raciocinar sobre duas quantidades que estão em uma relação proporcional e entender os termos relação proporcional e constante de proporcionalidade.

Lição 2.1 Aviso e Maravilha: Toalhas de papel junto à caixa

Aqui está uma tabela que mostra quantos rolos de toalhas de papel uma loja recebe quando encomenda diferentes números de caixas.
O que você nota sobre a mesa? O que você imagina?

Lição 2.2 Alimentando uma Multidão

  1. Uma receita diz que 2 xícaras de arroz seco servirão 6 pessoas. Complete a tabela ao responder às perguntas. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.
    uma. Quantas pessoas servirão 10 xícaras de arroz?
    b. Quantas xícaras de arroz são necessárias para servir 45 pessoas?

Lição 2.3 Fazendo Massa de Pão

Uma padaria usa 8 colheres de sopa de mel para cada 10 xícaras de farinha para fazer massa de pão. Alguns dias eles assam lotes maiores e outros, eles assam lotes menores, mas sempre usam a mesma proporção de mel para farinha. Complete a tabela ao responder às perguntas. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.

  1. Quantas xícaras de farinha eles usam com 20 colheres de sopa de mel?
  2. Quantas xícaras de farinha eles usam com 13 colheres de sopa de mel?
  3. Quantas colheres de sopa de mel eles usam com 20 xícaras de farinha?
  4. Qual é a relação proporcional representada por esta tabela?

Lição 2.4 Quartos e moedas

4 quartos são iguais em valor a 10 moedas.

  1. Quantas moedas equivalem ao valor de 6 quartos?
  2. Quantas moedas equivalem ao valor de 14 quartos?
  3. Qual valor pertence ao lado de 1 na tabela? O que isso significa neste contexto?

Você esta pronto para mais?

Se considerarmos o preço do cobre em $ 3,5170 por libra.
95% · 3,11 g = 2,9545 g = 0,0065136 libras
O cobre na moeda agora vale $ 3,5170 · 0,0065136 = 0,022908, que é mais do que o valor de face de 0,01

Termos do glossário

constante de proporcionalidade
Em uma relação proporcional, os valores de uma quantidade são multiplicados pelo mesmo número para obter os valores da outra quantidade. Esse número é chamado de constante de proporcionalidade.
Neste exemplo, a constante de proporcionalidade é 3, porque 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9 e 5 · 3 = 15. Isso significa que há 3 maçãs para cada 1 laranja na salada de frutas.

relação proporcional
Em uma relação proporcional, os valores de uma quantidade são multiplicados pelo mesmo número para obter os valores da outra quantidade.
Por exemplo, nesta tabela, cada valor de p é igual a 4 vezes o valor de s na mesma linha.
Podemos escrever essa relação como p = 4s. Essa equação mostra que p é proporcional a s.

Lição 2 Problemas Práticos

  1. Quando Han faz leite com chocolate, ele mistura 2 xícaras de leite com 3 colheres de sopa de calda de chocolate. Aqui está uma tabela que mostra como fazer lotes de tamanhos diferentes.
    Use as informações da tabela para completar as declarações. Alguns termos são usados ​​mais de uma vez.
    uma. A tabela mostra uma relação proporcional entre ______________ e ______________.
    b. O fator de escala mostrado é ______________.
    c. A constante de proporcionalidade para esta relação é ______________.
    d. As unidades da constante de proporcionalidade são ______________ por ______________.
    Banco de termos: colheres de sopa de calda de chocolate, 4, xícaras de leite, xícara de leite, 3/2
  2. Um certo tom de rosa é criado adicionando 3 xícaras de tinta vermelha a 7 xícaras de tinta branca.
    uma. Quantas xícaras de tinta vermelha devem ser adicionadas a 1 xícara de tinta branca?
    b. Qual é a constante de proporcionalidade?
  3. Um mapa de um parque retangular tem comprimento de 4 polegadas e largura de 6 polegadas. Ele usa uma escala de 1 polegada para cada 30 milhas.
    uma. Qual é a área real do parque? Mostre como você sabe.
    b. O mapa precisa ser reproduzido em uma escala diferente para que tenha uma área de 6 polegadas quadradas e possa caber em um folheto. Em que escala o mapa deve ser reproduzido para caber na brochura? Mostre seu raciocínio.
  4. Noah desenhou uma cópia em escala do Polígono P e a rotulou como Polígono Q.
    Se a área do polígono P é de 5 unidades quadradas, que fator de escala Noah aplicou ao polígono P para criar o polígono Q? Explique ou mostre como você sabe.
  5. Selecione todas as proporções equivalentes entre si.
    A. 4: 7
    B. 8:15
    C. 16: 28
    D. 2: 3
    E. 20: 35

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Na unidade 1, os alunos da sexta série têm a oportunidade de estudar um conceito que é novo para eles: proporções. Eles aprendem como usar a linguagem de razão para descrever a associação entre duas ou mais quantidades, expandindo suas habilidades para analisar relações e ver padrões multiplicativos. Os alunos aprendem muitas maneiras de representar proporções, começando com desenhos discretos e trabalhando em tabelas abstratas. Essas representações tornam-se ferramentas importantes em seu kit de ferramentas de proporções, permitindo que os alunos sejam estratégicos sobre quais ferramentas usar para diferentes problemas (MP.5). Quando os alunos trabalham com tabelas e linhas numéricas duplas, eles descobrem como a estrutura pode iluminar um relacionamento, especialmente ao comparar situações de múltiplas proporções (MP.7).

Ao longo da unidade, os alunos veem problemas semelhantes apresentados a eles em diferentes aulas. Isso serve para apoiar os alunos no aprendizado de novas estratégias para resolver problemas de proporção e para comparar e contrastar diferentes abordagens. Ao final da unidade, os alunos devem ser capazes de selecionar uma estratégia que consideram melhor para um problema e explicar sua escolha.

Na quarta e quinta séries, os alunos aprenderam a diferença entre as comparações multiplicativas e aditivas e interpretaram a multiplicação como uma forma de dimensionar. Os alunos acessarão esses conceitos anteriores nesta unidade à medida que investigam padrões e estruturas em tabelas de proporções e usam a multiplicação para criar proporções equivalentes.

O trabalho que os alunos fazem nesta unidade se conecta diretamente à Unidade 2: Taxas e Porcentagem e reaparece na Unidade 6: Equações e Desigualdades quando os alunos analisam e representam graficamente as relações entre as variáveis ​​independentes e dependentes. Depois da sexta série, os alunos estendem sua compreensão das proporções e taxas para investigar as relações proporcionais na sétima série. Isso estabelece a base para o estudo de funções, equações lineares e sistemas de equações, que os alunos estudarão na oitava série e no ensino médio.

Esta unidade inclui o padrão específico de MA 6.RP.3e, que se refere a um tipo específico de problema de razão sobre a massa e o volume de um objeto. Embora esse contexto seja específico para este padrão MA, ele apresenta um exemplo do mundo real de problemas de razão que vale a pena resolver.

Ritmo: 21 dias de instrução (18 aulas, 2 dias flexíveis, 1 dia de avaliação).

Para obter orientação sobre como ajustar o ritmo para o ano letivo de 2020-2021 devido ao fechamento de escolas, consulte nossos Ajustes recomendados de escopo e sequência da 6ª série.


2.1: Representando Relações Proporcionais com Tabelas - Matemática

Unidade 4 da 7ª série: Relacionamentos proporcionais

7.A.2.2 Resolva problemas de várias etapas envolvendo relações proporcionais envolvendo distância-tempo, aumento ou redução percentual, descontos, gorjetas, preços unitários, números semelhantes e outras situações matemáticas e do mundo real.
CCRS AF: Resolva problemas aritméticos de rotina de duas e três etapas envolvendo conceitos como taxa e proporção, imposto adicionado, porcentagem de desconto e estimativa usando um determinado valor médio no lugar dos valores reais.
7.A.2.3 Use o raciocínio proporcional para resolver problemas matemáticos e do mundo real envolvendo razões.
7.A.2.4 Use o raciocínio proporcional para avaliar a razoabilidade das soluções.
7.A.1.1 Describe that the relationship between two variables, x and y, is proportional if it can be expressed in the form y/x=k or y=kx distinguish proportional relationships from other relationships, including inversely proportional relationships ( xy=k or y=k/x).
7.A.2.1 Represent proportional relationships with tables, verbal descriptions, symbols, and graphs translate from one representation to another. Determine and compare the unit rate (constant of proportionality, slope, or rate of change) given any of these representations.
7.A.1.2 Recognize that the graph of a proportional relationship is a line through the origin and the coordinate (1,r), where both r and the slope are the unit rate (constant of proportionality, k).
7.GM.3.1 Demonstrate an understanding of the proportional relationship between the diameter and circumference of a circle and that the unit rate (constant of proportionality) is pi and can be approximated by rational numbers such as 22/7 and 3.14.
7.GM.3.2 Calculate the circumference and area of circles to solve problems in various contexts, in terms of and using approximations for pi .

How do you set up a proportional relationship?

What is the difference between a proportional relationship and an inverse proportional relationship?

How do you translate a proportional relationship in a given form (i.e.-verbal descriptions) to another form such as in a table, in a graph or with symbols?

How does the slope represent the unit change or unit rate?

Proportional relationships express how quantities change in relationship to each other.

Student will set up and solve multi-step proportional relationships to determine percent increase or decrease, distance-time, discounts and tips, and unit pricing.

Estimate solutions to two- and three-step arithmetic problems using a given average value for the rate or proportion, the percentage off or taxes off.

Calculate the rate of change.

Represent a proportional relationship in a table, graph, or algebraic expression

Identify whether a graph represents a proportional relationship

Constant of Proportionality

Discounts, tips, percentage off

Circumference, diameter, radius,

π ≈ 3.14 (What does it represent?)

Slope of a line represents unit rate/unit change

Constant of proportionality

Proportions are represented in various forms: in a table, on a graph, with symbols, or with verbal descriptors.

INTRO TO RATIOS AND PROPORTIONS

Diagnostic assessment of proportions and ratios.

Define ratio determine the relationship between percent and ratio.

Investigate that proportionality is a multiplicative process and not an additive process.

Compare quantities using ratios and proportions

Represent proportional relationships with a table

Represent proportional relationships with a table and translate to a graph

Explain the rate of change represented on a graph as the constant rate of proportionality

Identify whether a graph represents a proportional relationship

Represent proportional relationships with a table, graph, and algebraic expression

Identify whether an algebraic expression represents a proportional relationship

Explore proportions by examining the relationships between parts of a circle

Explain the relationship between the circumference and the radius to explain the number

Calculate the circumference of a circle to show proportional relationships

Calculate the area of a circle to show proportional relationships

Define a rate Determine the unit rate of ratios in measurement context: scale problems

Determine the unit rate of ratios in measurement context (DAY 2)

Solve unit rate and ratio problems: discount, tip, and tax

Solve unit rate and ratio problems (DAY 2)

Solve unit rate and ratio problems: rate of driving, reading, etc.

Solve unit rate and ratio problems: rate of driving, reading, etc. (DAY 2)

Represent unit rate on a graph and explain the constant of proportionality

Review how to find the percentage of a number (out of 100) what percentage of a number is another number

Connect ratios (to 100) and percents (out of 100)

Review how to cross multiply and reduce fractions and why this works.

For the circle applications: Proportional relationships can be written as y=kx. Circumference is directly proportional with the diameter (not the radius). Yes, you can say it is directly proportional with twice the radius, but that is a waste and not usually done in mathematics. Our formula for circumference comes from the relationship between the diameter and the circumference. You could say that the Area of a Circle is directly proportional with the square of its radius, but I think that is a little above the intentions for 7th grade.


Respond to this Question

Álgebra

This is the functions practice 1) which table of values does not represent a function? 2) given the function y=2x+3, what output values will result from the input values shown in the table? 3) which values for x and y will make

Álgebra

which equation represents the relationship shown in the table below? x | 0 | 1 | 2 | 3 | __________________ y | -3 | -1 | 1 | 3 | a.) y = -x - 3 b.) y = x - 3 c.) y = 2x - 3 d.) y = -2x + 3

This is for the pretest. What is the solution to the system of equations pictured below? A.(-3,5) B.(-3,-2) C(3,4) D.(1,2) E(6,-2) When writing in slope intercept form what does the 'm" Represent? What is the 'b'? A. M is the x

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How can I calculate an equation that represents the relationship between x and y? I have a table as my source, but this is for interpolation vs extrapolation residuals and there is no y intercept to start my equation.

Math-please check

5. Find three solutions of the equation y=9x-4. (A) (-5, -49), (-2, -22), (3, 23) (B) (-5, -49), (2, -22), (3, 23)*** (C) (-5, -49), (-2, -22), (-3, 23) (D) (5, -49), (-2, 22), (-3, 23) 9.Which is a rule that describes the

Which statement best explains if the graph correctly represents the proportional relationship y = −2x? A coordinate plane is shown. Points are graphed at 2 comma 4 and negative 1 comma 2. The points are joined by a line. No, the

1. Which equation below matches the relationship shown in the table? Table- X: 0, 1, 2 Y: 0.5,3.5, 6.5 A. y=2x+0.5 B. y=2x+2 C. y=3x D. y=3x+0.5 Please help, thank you. BTW I would share my answer for anyone to check but I am not

The following table shows a proportional relationship between w and z. w=18 and z=2. Write an equation to describe the relationship between w and z.

Álgebra

Which equation represents the data in the table? d 1 2 3 4 5 t 9 13 17 21 25 A. t = 2d + 7 B. t = 5d + 3 C. t = 8d – 3 D. t = 4d + 5

Álgebra

The table shows how much a carpenter charges for work. Is the relationship shown by the data in the table linear. Explain your answer. hours worked Amount Charged($) 1 25 2 40 3 60 4 80 my answer is: 40-25 = 15 60-40= 20 80-60=20

Drag each response to the correct location on the table. Each response can be used more than once, but not all responses will be used. Consider the two exponential equations shown. Identify the attributes for each equation to

Write the equation that represents the data in the table shown. Explain your answer. x -6 -1 0 3 5 y -26 -6 -2 10 18 I am so confused on this. What do I do?


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