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2.3: Volumes de Revolução - Cascas Cilíndricas


objetivos de aprendizado

  • Calcule o volume de um sólido de revolução usando o método de cascas cilíndricas.
  • Compare os diferentes métodos para calcular um volume de revolução.

Nesta seção, examinamos o método das cascas cilíndricas, o método final para encontrar o volume de um sólido de revolução. Podemos usar este método nos mesmos tipos de sólidos que o método do disco ou o método do lavador; entretanto, com os métodos de disco e arruela, integramos ao longo do eixo de coordenadas paralelo ao eixo de revolução. Com o método de cascas cilíndricas, integramos ao longo da coordenada eixo perpendicular para o eixo de revolução. A capacidade de escolher qual variável de integração queremos usar pode ser uma vantagem significativa com funções mais complicadas. Além disso, a geometria específica do sólido às vezes torna o método de usar cascas cilíndricas mais atraente do que usar o método de arruela. Na última parte desta seção, revisamos todos os métodos para encontrar o volume que estudamos e apresentamos algumas diretrizes para ajudá-lo a determinar qual método usar em uma determinada situação.

O Método das Cascas Cilíndricas

Novamente, estamos trabalhando com um sólido de revolução. Como antes, definimos uma região (R ), limitada acima pelo gráfico de uma função (y = f (x) ), abaixo pelo (x ) - eixo, e à esquerda e à direita pelas linhas (x = a ) e (x = b ), respectivamente, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1a} ). Em seguida, revolvemos essa região em torno do eixo (y ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1b} ). Observe que isso é diferente do que fizemos antes. Anteriormente, as regiões definidas em termos de funções de (x ) giravam em torno do (x ) - eixo ou uma linha paralela a ela.

Como já fizemos muitas vezes antes, particione o intervalo ([a, b] ) usando uma partição regular, (P = {x_0, x_1,…, x_n} ) e, para (i = 1,2 ,…, N ), escolha um ponto (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ). Então, construa um retângulo sobre o intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) de altura (f (x ^ ∗ _ i) ) e largura (Δx ). Um retângulo representativo é mostrado na Figura ( PageIndex {2a} ). Quando esse retângulo é girado em torno do eixo (y ), ao invés de um disco ou uma arruela, obtemos uma casca cilíndrica, como mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Para calcular o volume desta casca, considere a Figura ( PageIndex {3} ).

A casca é um cilindro, então seu volume é a área da seção transversal multiplicada pela altura do cilindro. As seções transversais são anulares (regiões em forma de anel - essencialmente, círculos com um orifício no centro), com raio externo (x_i ) e raio interno (x_ {i − 1} ). Assim, a área da seção transversal é (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1} ). A altura do cilindro é (f (x ^ ∗ _ i). ) Então o volume da casca é

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_ {i} −π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) ( x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i − 1}). end {align *} ]

Observe que (x_i − x_ {i − 1} = Δx, ) então temos

[V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) , Δx. ]

Além disso, ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) é tanto o ponto médio do intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) e o raio médio da casca, e podemos aproximar isso por (x ^ ∗ _ i ). Então temos

[V_ {shell} ≈2π , f (x ^ ∗ _ i) x ^ ∗ _ i , Δx. ]

Outra maneira de pensar nisso é pensar em fazer um corte vertical na casca e depois abri-la para formar uma placa plana (Figura ( PageIndex {4} )).

Na realidade, o raio externo da casca é maior do que o raio interno e, portanto, a borda posterior da placa seria ligeiramente mais longa do que a borda frontal da placa. No entanto, podemos aproximar a casca achatada por uma placa plana de altura (f (x ^ ∗ _ i) ), largura (2πx ^ ∗ _ i ) e espessura (Δx ) (Figura). O volume da casca, então, é aproximadamente o volume da placa plana. Multiplicando a altura, largura e profundidade da placa, obtemos

[V_ {shell} ≈f (x ^ ∗ _ i) (2π , x ^ ∗ _ i) , Δx, ]

que é a mesma fórmula que tínhamos antes.

Para calcular o volume de todo o sólido, adicionamos os volumes de todas as cascas e obtemos

[V≈ sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx). ]

Aqui temos outra soma de Riemann, desta vez para a função (2π , x , f (x). ) Tomando o limite como (n → ∞ ), nos dá

[V = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx) = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Isso leva à seguinte regra para o método de cascas cilíndricas.

Regra: O Método das Cascas Cilíndricas

Seja (f (x) ) contínuo e não negativo. Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) ), abaixo pelo (x ) - eixo, à esquerda pela linha (x = a ), e à direita pela linha (x = b ). Então, o volume do sólido de revolução formado pela rotação (R ) em torno do eixo (y ) é dado por

[V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Agora vamos considerar um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): O método das cascas cilíndricas I

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 1 / x ) e abaixo pelo (x ) - eixo durante o intervalo ([1,3] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Solução

Primeiro devemos representar graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Figure ( PageIndex {5} ) (c) Visualizando o sólido de revolução com CalcPlot3D.

Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 3_1 left (2π , x left ( dfrac {1 } {x} right) right) , dx = int ^ 3_12π , dx = 2π , x bigg | ^ 3_1 = 4π , text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Defina R como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([1,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Use o procedimento de Exemplo ( PageIndex {1} ).

Responder

( dfrac {15π} {2} , text {unidades} ^ 3 )

Exemplo ( PageIndex {2} ): O Método das Cascas Cilíndricas II

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 2x − x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) - sobre o intervalo ([0,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado girando (R ) em torno do (y ) - eixo.

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 2_0 (2π , x (2x − x ^ 2)) , dx = 2π int ^ 2_0 (2x ^ 2 − x ^ 3) , dx = 2π left. left [ dfrac {2x ^ 3} {3} - dfrac {x ^ 4} {4} right] right | ^ 2_0 = dfrac {8π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = 3x − x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) - sobre o intervalo ([0,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {2} ).

Responder

(8π , text {unidades} ^ 3 )

Tal como acontece com o método do disco e o método do lavador, podemos usar o método das cascas cilíndricas com sólidos de revolução, girados em torno do eixo (x ), quando queremos integrar em relação a (y ). A regra análoga para este tipo de sólido é fornecida aqui.

Regra: O Método de Cascas Cilíndricas para Sólidos de Revolução em torno do eixo (x )

Seja (g (y) ) contínuo e não negativo. Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) ), à esquerda pelo eixo (y ), abaixo pela linha (y = c ) , e acima pela linha (y = d ). Então, o volume do sólido de revolução formado pela rotação (Q ) em torno do eixo (x ) - é dado por

[V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): O Método de Cascas Cilíndricas para um Sólido Revolvido em torno do eixo (x )

Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) = 2 sqrt {y} ) e à esquerda pelo eixo (y ) - para (y∈ [0,4] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (Q ) em torno do eixo (x ).

Solução

Primeiro, precisamos representar graficamente a região (Q ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {7} ).

Identifique a região sombreada (Q ). Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy = int ^ 4_0 (2π , y (2 sqrt {y})) , dy = 4π int ^ 4_0y ^ {3/2} , dy = 4π left [ dfrac {2y ^ {5/2}} {5} right] ∣ ^ 4_0 = dfrac {256π} {5} , text {unidades} ^ 3 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Defina (Q ) como a região limitada à direita pelo gráfico de (g (y) = 3 / y ) e à esquerda pelo eixo (y ) para (y∈ [1, 3] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (Q ) em torno do eixo (x ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {3} ).

Responder

(12π ) unidades3

Para o próximo exemplo, olhamos para um sólido de revolução para o qual o gráfico de uma função é girado em torno de uma linha diferente de um dos dois eixos coordenados. Para configurar isso, precisamos revisitar o desenvolvimento do método de cascas cilíndricas. Lembre-se de que encontramos o volume de uma das conchas a ser dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_i − π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i− 1}). End {align *} ]

Isso foi baseado em uma casca com um raio externo de (x_i ) e um raio interno de (x_ {i − 1} ). Se, no entanto, girarmos a região em torno de uma linha diferente do eixo (y ), teremos um raio interno e outro externo diferentes. Suponha, por exemplo, que giremos a região em torno da linha (x = −k, ) onde (k ) é alguma constante positiva. Então, o raio externo da casca é (x_i + k ) e o raio interno da casca é (x_ {i − 1} + k ). Substituindo esses termos na expressão de volume, vemos que quando uma região plana é girada em torno da linha (x = −k, ) o volume de uma casca é dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {(x_i + k) + (x_ {i − 1} + k)} {2}) (( x_i + k) - (x_ {i − 1} + k)) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( left ( dfrac {x_i + x_ {i − 2}} {2} right) + k right) Δx. End {align *} ]

Como antes, notamos que ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) é o ponto médio do intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) e pode ser aproximado por (x ^ ∗ _ i ). Então, o volume aproximado da casca é

[V_ {shell} ≈2π (x ^ ∗ _ i + k) f (x ^ ∗ _ i) Δx. ]

O restante do desenvolvimento continua como antes, e vemos que

[V = int ^ b_a (2π (x + k) f (x)) dx. ]

Também podemos girar a região em torno de outras linhas horizontais ou verticais, como uma linha vertical no meio plano direito. Em cada caso, a fórmula do volume deve ser ajustada de acordo. Especificamente, o termo (x ) - na integral deve ser substituído por uma expressão que representa o raio de uma casca. Para ver como isso funciona, considere o exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Uma região de revolução girada em torno de uma linha

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([1,2] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado girando (R ) em torno da linha (x = −1. )

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {8} ).

Observe que o raio de uma casca é dado por (x + 1 ). Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ 2_1 2π (x + 1) f (x) , dx = int ^ 2_1 2π (x + 1) x , dx = 2π int ^ 2_1 x ^ 2 + x , dx = 2π left [ dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {x ^ 2} {2} right] bigg | ^ 2_1 = dfrac { 23π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo (x ) sobre o intervalo ([0,1] ) . Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno da linha (x = −2 ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {4} ).

Responder

( dfrac {11π} {6} ) unidades3

Para nosso exemplo final nesta seção, vamos olhar para o volume de um sólido de revolução para o qual a região de revolução é limitada pelos gráficos de duas funções.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Uma região de revolução limitada pelos gráficos de duas funções

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico da função (f (x) = sqrt {x} ) e abaixo pelo gráfico da função (g (x) = 1 / x ) durante o intervalo ([1,4] ). Encontre o volume do sólido de revolução gerado girando (R ) em torno do eixo (y ).

Solução

Primeiro, represente graficamente a região (R ) e o sólido de revolução associado, como mostrado na Figura ( PageIndex {9} ).

Observe que o eixo de revolução é o eixo (y ), então o raio de uma casca é dado simplesmente por (x ). Não precisamos fazer nenhum ajuste no termo x de nosso integrando. A altura de uma casca, entretanto, é dada por (f (x) −g (x) ), então, neste caso, precisamos ajustar o termo (f (x) ) do integrando. Então, o volume do sólido é dado por

[ begin {align *} V = int ^ 4_1 (2π , x (f (x) −g (x))) , dx [4pt] = int ^ 4_1 (2π , x ( sqrt {x} - dfrac {1} {x})) , dx = 2π int ^ 4_1 (x ^ {3/2} −1) dx [4pt] = 2π left [ dfrac { 2x ^ {5/2}} {5} −x right] bigg | ^ 4_1 = dfrac {94π} {5} , text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Defina (R ) como a região limitada acima pelo gráfico de (f (x) = x ) e abaixo pelo gráfico de (g (x) = x ^ 2 ) no intervalo ([0 , 1] ). Encontre o volume do sólido de revolução formado ao girar (R ) em torno do eixo (y ).

Dica

Dica: Use o processo de Exemplo ( PageIndex {5} ).

Responder

( dfrac {π} {6} ) unidades3

Qual método devemos usar?

Estudamos vários métodos para encontrar o volume de um sólido de revolução, mas como sabemos qual método usar? Freqüentemente, tudo se resume à escolha de qual integral é mais fácil de avaliar. A Figura ( PageIndex {10} ) descreve as diferentes abordagens para sólidos de revolução em torno do eixo (x ). Cabe a você desenvolver a tabela análoga para sólidos de revolução em torno do eixo (y ).

Vamos dar uma olhada em alguns problemas adicionais e decidir a melhor abordagem a ser tomada para resolvê-los.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Selecionando o melhor método

Para cada um dos seguintes problemas, selecione o melhor método para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado girando a região dada em torno do eixo (x ) e configure a integral para encontrar o volume (não avalie o integrante).

  1. A região limitada pelos gráficos de (y = x, y = 2 − x, ) e o eixo (x ) -.
  2. A região limitada pelos gráficos de (y = 4x − x ^ 2 ) e o eixo (x ) -.

Solução

uma.

Primeiro, esboce a região e o sólido de revolução como mostrado.

Olhando para a região, se quisermos integrar em relação a (x ), teríamos que quebrar a integral em duas partes, porque temos funções diferentes limitando a região sobre ([0,1] ) e ([1,2] ). Neste caso, usando o método de disco, teríamos

[V = int ^ 1_0 π , x ^ 2 , dx + int ^ 2_1 π (2 − x) ^ 2 , dx. enhum número]

Se usássemos o método shell em vez disso, usaríamos funções de y para representar as curvas, produzindo

[V = int ^ 1_0 2π , y [(2 − y) −y] , dy = int ^ 1_0 2π , y [2−2y] , dy. enhum número]

Nenhuma dessas integrais é particularmente onerosa, mas como o método shell requer apenas uma integral, e o integrando requer menos simplificação, provavelmente deveríamos ir com o método shell neste caso.

b.

Primeiro, esboce a região e o sólido de revolução como mostrado.

Olhando para a região, seria problemático definir um retângulo horizontal; a região é limitada à esquerda e à direita pela mesma função. Portanto, podemos descartar o método de conchas. O sólido não tem cavidade no meio, então podemos usar o método dos discos. Então

[V = int ^ 4_0π left (4x − x ^ 2 right) ^ 2 , dx nonumber ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Selecione o melhor método para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado girando a região dada em torno do eixo (x ) e configure a integral para encontrar o volume (não avalie a integral): a região limitada por os gráficos de (y = 2 − x ^ 2 ) e (y = x ^ 2 ).

Dica

Esboce a região e use Figure ( PageIndex {12} ) para decidir qual integral é mais fácil de avaliar.

Responder

Use o método de arruelas; [V = int ^ 1 _ {- 1} π left [ left (2 − x ^ 2 right) ^ 2− left (x ^ 2 right) ^ 2 right] , dx nonumber ]

Conceitos chave

  • O método de cascas cilíndricas é outro método para usar uma integral definida para calcular o volume de um sólido de revolução. Às vezes, esse método é preferível ao método dos discos ou ao método das arruelas, porque integramos em relação à outra variável. Em alguns casos, uma integral é substancialmente mais complicada do que a outra.
  • A geometria das funções e a dificuldade de integração são os principais fatores para decidir qual método de integração usar.

Equações Chave

  • Método de Cascas Cilíndricas

( displaystyle V = int ^ b_a left (2π , x , f (x) right) , dx )

Glossário

método de cascas cilíndricas
um método de calcular o volume de um sólido de revolução dividindo o sólido em cascas cilíndricas aninhadas; este método é diferente dos métodos de discos ou arruelas em que integramos em relação à variável oposta

[Calc II] Limitações em encontrar o volume de revolução usando os métodos de casca e disco / lavador.

Determine o volume do sólido obtido girando a região delimitada por y = (x-1) (x-3) 2 e o eixo x em torno do eixo y.

Para este problema, usar o método de disco / lavador pode não ser o melhor curso de ação, porque você precisaria colocar y = (x-1) (x-3) ^ 2 em termos de y, e como é & # x27s a polinômio cúbico, que não é muito prático. Portanto, faria mais sentido usar o método de casca cilíndrica, porque você pode deixar as coisas em termos de x. No entanto, esse tipo de cenário me deixou pensando. Existem situações em que nem o método shell ou disco / lavador seria realmente prático? Por exemplo, digamos que você precise encontrar o volume obtido girando a região delimitada por dois polinômios cúbicos - um em termos de y e um em termos de x. Agora, o método de cascas cilíndricas exige a reescrita em termos de x se você estiver girando em torno do eixo y / eixo vertical, e em termos de y se você estiver girando em torno do eixo x / eixo horizontal. O método do disco, conforme mencionado, envolve escrever em termos de x ao girar em torno do eixo x / eixo horizontal. e escrever em termos de y ao girar em torno do eixo y / eixo vertical. Bem, se você tiver dois polinômios cúbicos, um em termos de y e um em termos de x, os dois métodos não seriam viáveis. Direito? Então, o que você faria nessa situação? Jogue a toalha e consulte o volfrâmio alfa?


Volume de revolução cil. cascas CAS comprimento do arco

alguns problemas são iguais, mas não sei como resolvê-los
obrigado.

Subhotosh Khan

Super moderador

1. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo x
y = 1 / (4 + x ^ 2) ^ (1/2), x = -2, x = 2, y = 0
2. usar cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo y
y = 1 / (1 + x ^ 2), x = 0, x = 1, y = 0

3. use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas fornecidas é girada em torno do eixo x
x = y ^ 2, y = 1, x = 0

4. use um CAS para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = e ^ xey = 0 para x = [1,2] é girada em torno do eixo y
5. encontre o comprimento exato do arco da curva ao longo do intervalo declarado
24xy = y ^ 4 + 48 de y = 2 a y = 4
6. encontre o comprimento exato do arco da curva paramétrica sem eliminar o parâmetro
x = cos2t, y = sin2t, t = [0,? / 2]
7. encontre o comprimento do arco da curva entre x = -1 e x = 8
curva é y = x ^ (2/3)


alguns problemas são iguais, mas não sei como resolvê-los
obrigado.


Uma esfera de raio # 2a # tem um orifício de raio # a # perfurado no centro. Qual é o volume restante?

Considere a seção do sólido com um plano contendo o eixo do cilindro e estabeleça um sistema de referência com origem no centro da esfera e com o eixo do cilindro no eixo # x #.

O volume do sólido remanescente é gerado pela rotação em torno deste eixo da área delimitada pelo semicírculo ou raio # 2a # e pela linha # y = a #.

Por razões de simetria, este é o dobro do volume da área do primeiro quadrante compreendida entre o quarto de círculo do raio # 2a #, cuja equação é #y = sqrt ((2a) ^ 2-x ^ 2) # e a linha # y = a #.

As duas curvas se interceptam quando:

O volume gerado pela rotação da área entre # x # e # x + dx # é então:

e integração no intervalo # (0, sqrt3 a) #:

#V = 2 int_0 ^ (sqrt3 a) pi (3a ^ 2-x ^ 2dx) #

#V = 2pi (3sqrt3a ^ 3- 3sqrt3a ^ 3/3) = 4pisqrt3a ^ 3 #

Também podemos calcular isso geometricamente, uma vez que o volume do sólido remanescente é o volume da esfera # V_s #, menos o volume do cilindro # V_c #, menos o volume das duas tampas esféricas # V_p #:

A altura das tampas esféricas é dada pela fórmula:

#V_p = pih / 6 (3a ^ 2 + h ^ 2) = pi / 6 (2-sqrt (3)) a (3a ^ 2 + ((2-sqrt (3)) a) ^ 2) = (pia ^ 3) / 6 (2-sqrt (3)) (3 + 4-4sqrt3 + 3) = (pia ^ 3) / 6 (2-sqrt (3)) (10-4sqrt3) = (pia ^ 3) / 6 (32-18sqrt3) #

A altura do cilindro é o diâmetro da esfera menos a altura das calotas:



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  • Use a notação sigma (soma) para calcular somas e potências de inteiros.
  • Use a soma das áreas retangulares para aproximar a área sob uma curva.
  • Use as somas de Riemann para aproximar a área.
  • Enuncie a definição da integral definida.
  • Explique os termos integrando, limites de integração e variável de integração.
  • Explique quando uma função é integrável.
  • Descreva a relação entre a integral definida e a área líquida.
  • Use a geometria e as propriedades de integrais definidos para avaliá-los.
  • Calcule o valor médio de uma função.

1.3. O Teorema Fundamental do Cálculo
1.4. Fórmulas de integração e o teorema da mudança líquida
1,5. Substituição
1.6. Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
1.7. Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas

Integração - Avaliação Final


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Cálculo Volume 2 - Livro e Exercício

Cálculo é projetado para o curso típico de cálculo geral de dois ou três semestres, incorporando recursos inovadores para aprimorar o aprendizado do aluno. O livro orienta os alunos através dos principais conceitos de cálculo e os ajuda a compreender como esses conceitos se aplicam às suas vidas e ao mundo ao seu redor. Devido à natureza abrangente do material, oferecemos o livro em três volumes para maior flexibilidade e eficiência. Volume 2 cobre integração, equações diferenciais, sequências e séries e equações paramétricas e coordenadas polares.

✨Conteúdo do aplicativo✨
1 integração
Introdução
1.1 Áreas de Aproximação
1.2 O Integral Definido
1.3 O Teorema Fundamental do Cálculo
1.4 Fórmulas de Integração e o Teorema da Mudança Líquida
1.5 Substituição
1.6 Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
1.7 Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
2 aplicações de integração
Introdução
2.1 Áreas entre curvas
2.2 Determinando Volumes por Fatiamento
2.3 Volumes de revolução: invólucros cilíndricos
2.4 Comprimento do Arco de uma Curva e Área de Superfície
2.5 Aplicações Físicas
2.6 Momentos e centros de massa
2.7 Integrais, funções exponenciais e logaritmos
2.8 Crescimento exponencial e decadência
2.9 Cálculo das funções hiperbólicas
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
3 técnicas de integração
Introdução
3.1 Integração por partes
3.2 Integrais trigonométricos
3.3 Substituição trigonométrica
3.4 Frações Parciais
3.5 Outras Estratégias de Integração
3.6 Integração Numérica
3.7 Integrais impróprios
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
4 Introdução às Equações Diferenciais
Introdução
4.1 Noções básicas de equações diferenciais
4.2 Campos de direção e métodos numéricos
4.3 Equações Separáveis
4.4 A Equação Logística
4.5 Equações lineares de primeira ordem
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
5 sequências e séries
Introdução
5.1 Sequências
5.2 Série Infinita
5.3 Os testes de divergência e integral
5.4 Testes de Comparação
5.5 Série Alternada
5,6 Testes de Razão e Raiz
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
6 Power Series
Introdução
6.1 Funções e séries de potência
6.2 Propriedades da Série de Potência
6.3 Série Taylor e Maclaurin
6.4 Trabalhando com a Taylor Series
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo
7 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares
Introdução
7.1 Equações Paramétricas
7.2 Cálculo de Curvas Paramétricas
7.3 Coordenadas polares
7.4 Área e comprimento do arco em coordenadas polares
7.5 Seções cônicas
Termos chave
Equações Chave
Conceitos chave
Exercícios de revisão de capítulo

A | Tabela de Integrais
B | Tabela de Derivativos
C | Revisão do pré-cálculo


Comparando os métodos de disco e shell

Os métodos de disco e shell podem ser diferenciados da seguinte maneira. Para o método do disco, o retângulo representativo é sempre perpendicular para o eixo de rotação, enquanto para o método de casca, o retângulo representativo é sempre paralelo ao eixo de rotação, conforme mostrado na Figura 7.32.

Exemplo 7.3.3 Método Shell Preferível

Às vezes, um método é mais conveniente do que o outro. O Exemplo 7.3.3 ilustra um caso em que o método shell é preferível.
Encontre o volume para o sólido formado girando a região delimitada pelos gráficos

sobre o eixo (y ).
Solução Na Seção 7.2, o Exemplo 7.2.4 demonstrou que o Método Washer requer duas integrais para determinar o volume para este sólido. Veja a Figura 7.3.7.

$ V $ $ = pi int_ <0> ^ <1> (1 ^ <2> -0 ^ <2>) : dy + pi int_ <1> ^ <2> left [1 ^ <2> - ( sqrt) ^ <2> right] : dy : : : : $ Aplicar o método de lavadora
$ = pi int_ <0> ^ <1> 1 : dy + pi int_ <1> ^ <2> left (2-y right) : dy $ Simplificar
$ = grande pi esquerda [y direita] _ <0> ^ <1> grande + pi esquerda [2y- frac> <2> right] _ <1> ^ <2> $ Integrar
$ = pi + pi left (4-2-2 + frac <1> <2> right) = frac <3 pi> <2> $

A Figura 7.3.8 demonstra que o método shell requer apenas uma integral para encontrar o volume.

Considere o sólido formado pela rotação da região no Exemplo 7.3.3 em torno da linha vertical (x = 1 ). O sólido resultante teria um volume maior ou menor do que o sólido no Exemplo 7.3.3? Sem integrar, você deve ser capaz de raciocinar que o sólido resultante teria um volume menor porque a região "mais" estaria mais próxima do eixo. Para confirmar isso, tente resolver o integral

que dá o volume do sólido.

Exemplo 7.3.4 Volume para um pontão

Um pontão tem a forma mostrada na Figura 7.3.4. Este pontão é projetado girando o gráfico para

$ y = 1- frac> <16>, : -4 leqslant x leqslant 4 $

sobre o eixo (x ) -, onde (x ) e (y ) são medidos em pés. Encontre o volume do pontão.
Solução Consulte a Figura 7.3.10 e use o método de disco conforme mostrado.

$ V $ $ = pi int_ <-4> ^ <4> left (1- frac> <16> right) ^ : dx $ Aplique o método de disco
$ = pi int_ <-4> ^ <4> left (1- frac> <8> + frac> <256> right) : dx $ Simplificar
$ = pi left [x- frac> <24> + frac> <1280> right] _ <-4> ^ <4> $ Integrar
$ = frac <64 pi> <15> approx 13,4 text $

Para usar o método shell no Exemplo 7.3.4, resolva para (x ) em termos de (y ), na equação

e então avaliar uma integral que requer uma substituição (u ) -.
Resolver para (x ) é muito difícil, ou mesmo impossível, em alguns casos. Nesses casos, use um retângulo vertical (com largura ( Delta x )), tornando (x ) a variável de integração. A posição de orientação do eixo (horizontal ou vertical) determina o método necessário. Isso é mostrado no Exemplo 7.3.5.

Exemplo 7.3.5 Método Shell Necessário

Encontre o volume para o sólido formado girando a região delimitada pelos gráficos para (y = x ^ <3> + x + 1, : y = 1, : text : x = 1 ) sobre a linha (x = 2 ), conforme mostrado na Figura 7.36
Solução Na equação (y = x ^ <3> + x + 1 ), (x ) não é facilmente resolvido em termos (y ). (Veja a Seção 3.8 para uma discussão no final) Portanto, a variável de integração deve ser (x ), e um retângulo representativo vertical escolhido. Como o retângulo é paralelo ao eixo de rotação, use o método de casca.


Cálculo: o caderno

O estudo do Cálculo nos permite resolver problemas e articular conceitos abstratos muito além do alcance teórico da Álgebra. O poder do cálculo deriva da engenhosidade e simplicidade de sua notação. Esta linguagem matemática permite ao matemático a liberdade e imensa versatilidade para descrever problemas físicos com precisão e as ferramentas para resolvê-los. Este livro consiste em palestras sobre todos os tópicos de uma série de três cursos sobre Cálculo: Cálculo I, II e III. Pode ser usado como livro-texto ou como suplemento de outros textos. Tanto os alunos quanto os professores acharão útil para elucidar as idéias e métodos do cálculo.

Prefácio
Sobre o autor
Fórmulas
Introdução

Parte 1 Cálculo I
Capítulo 1 Funções e limites

1.1 Funções, Transformações
1.2 Funções de tangente e velocidade
1.3 Limite de uma função, leis de limite
1.4 Definição formal de um limite
1.5 Leis de Limite
1.6 Continuidade

Capítulo 2 Derivados
2.1 Derivados e taxas de variação
2.2 Derivada como uma função, fórmulas de diferenciação
2.3 Derivadas de funções trigonométricas
2.4 Aproximações Lineares e Diferenciais
2.5 Regra da Cadeia
2.6 Diferenciação Implícita
2.7 Taxas Relacionadas

Capítulo 3 Aplicações de Diferenciação
3.1 Teorema do Valor Médio
3.2 Valores Máximos e Mínimos
3.3 Problemas de Otimização
3.4 Derivados e esboço de curva
3.5 Limites no infinito
3.6 Método de Newton

Capítulo 4 Integrais
4.1 Antiderivadas
4.2 Áreas e distâncias
4.3 Integral Definido
4.4 Teorema Fundamental do Cálculo

Capítulo 5 Aplicações de Integração
5.1 Áreas Entre Curvas
5.2 Volumes de Sólidos de Revolução: Fatias
5.3 Volumes de Sólidos de Revolução: Cascas Cilíndricas
5.4 Valor médio de uma função
5.5 Integrais impróprios

Parte 2 Cálculo II
Capítulo 6 Funções Especiais, Formas Indeterminadas

6.1 Logs e Expoentes
6.2 Crescimento Exponencial e Decadência
6.3 Funções Trig Inversas
6.4 Regra de L'Hospital

Capítulo 7 Técnicas de Integração
7.1 Substituição U
7.2 Integração por partes
7.3 Integrais Trig
7.4 Substituição trigonométrica
7.5 Frações Parciais
7.6 Integração Numérica

Capítulo 8 Aplicações do Integral
8.1 Arclength
8.2 Áreas de Superfície de Revolução
8.3 Massa, Trabalho

Capítulo 9 Introdução às Equações Diferenciais
9.1 Campos de direção e método de Euler
9.2 Equações diferenciais separáveis
9.3 Equações diferenciais lineares

Capítulo 10 Cônicas, coordenadas polares e equações paramétricas
10.1 Cônicas
10.2 Coordenadas polares
10.3 Equações Paramétricas

Chapter 11 Sequences and Series
11.1 Sequences
11.2 Series
11.3 Convergence Tests
11.4 Power Series

Part 3 Calculus III
Chapter 12 Geometry in 3 Dimensions

12.1 3D coordinates
12.2 Vectors
12.3 The Dot Product
12.4 The Cross Product
12.5 Vector Equations of Lines, Planes
12.6 Vector Valued Functions
12.7 Calculus of Vector Valued Functions
12.8 Arclength
12.9 Tangent, Normal, and Binormal Vectors
12.10 Curvature
12.11 Motion in Space: Velocity and Acceleration

Chapter 13 Functions of Several Variables
13.1 Introduction
13.2 Quadratic & Cylindrical Surfaces
13.3 Limits, Continuity
13.4 Partial Derivatives
13.5 Chain Rule
13.6 Directional Derivatives, Gradients
13.7 Tangent Planes, Normal Lines
13.8 Local Maxima, Local Minima, Saddle Points
13.9 Global Maxima and Minima
13.10 Lagrange Multipliers

Chapter 14 Multiple Integrals
14.1 Double Integrals
14.2 Double Integrals in Polar Coordinates
14.3 Triple Integrals
14.4 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates
14.5 Triple Integrals in Spherical Coordinates

Chapter 15 Vector Calculus
15.1 Vector Fields
15.2 Line Integrals
15.3 Fundamental Theorem of Line Integrals
15.4 Green’s Theorem
15.5 Line Integrals Made Easy
15.6 Surface Integrals
15.7 Flux Integrals
15.8 Stokes Theorem
15.9 Divergence Theorem


Choosing Your First Math Class

The core mathematics courses for Engineering students are:

  1. MATH 1910: Calculus for Engineers
  2. MATH 1920: Multivariable Calculus for Engineers
  3. MATH 2930: Differential Equations or MATH 2940: Linear Algebra
  4. A math course chosen by major

Students must enroll in one (and only one) math course for the fall term in order to be in good academic standing in the College of Engineering. A list of the topics covered in each course is located at the bottom of this webpage. More information about good academic standing is available in the most recent Engineering Undergraduate Handbook.

Students are encouraged to consider the following when selecting their first math course during course pre-enrollment in July:

  • Satisfactory performance on a standardized advanced placement exam (CEEB or GCE) and coursework completed at another accredited college may be used toward the math requirement if the student wishes to use the credit. Consult the Engineering Handbook for details concerning how Engineering awards advanced placement and transfer credit.
  • Because your performance in the mathematics curriculum is critical to your academic success in Engineering, we encourage you to realistically assess your abilities and avoid creating a schedule that is overly ambitious or demanding your first semester.
  • You will be able to change your math enrollment during the Add/Drop period in August, after you take any desired CASE exams and meet with your faculty advisor during Orientation.

Cornell Advanced Standing Exam (CASE) for MATH 1910 and 1920

Location: TBD

You may wish to take this optional exam if:

  • you are unsure of which math course is the best match for your knowledge or skill level
  • you have no advanced placement (AP) credit for math, but wish to try to earn credit for MATH 1910 and/or MATH 1920
  • you are unsure whether to accept your AP or transfer credit, and wish to test your knowledge against what Cornell faculty would expect you to know if you were to complete the class at Cornell.

You will not lose any math credits you already earned via your scores on a standardized exam (AP, GCE, IB) or prior coursework as a result of your performance on this exam.

CASE exams are not offered for MATH 2930 or MATH 2940.

Deciding on a First Math Course

MATH 1910 (Calculus for Engineers)

You should enroll in a lecture and discussion of MATH 1910 if:

(1) You do not have advanced placement or transfer credit for MATH 1910 or

(2) You have advanced placement or transfer credit for MATH 1910 but do not wish to use it.

MATH 1920 (Multivariable Calculus for Engineers)

You should enroll in a lecture and discussion of MATH 1920 if:

(1) You have advanced placement credit — a score of 5 on the College Board (CEEB) AP Calculus BC exam (not the AB exam) or a score of A, B, or C on the General Certificate of Education (GCE) Advanced (A-Level) exam in Math or Pure Math (if taken in Singapore) — and plan to use this credit in place of MATH 1910 or

(2) You have earned transfer credit for MATH 1910 from another institution (must be pre-approved) or

(3) You plan to complete MATH 1910 this summer at Cornell or an equivalent course at another institution (must be pre-approved).

MATH 2930 (Differential Equations for Engineers) or MATH 2940 (Linear Algebra for Engineers)

You should enroll in a lecture and discussion of MATH 2930 ou MATH 2940 only if you have already earned credit for both MATH 1910 and MATH 1920, through Cornell, advanced placement, transfer credit, or a combination of the two (confirmed by the Engineering Advising Office).

Please remember: Detailed information and step by step instructions for selecting all of your courses, including math, will be available prior to the start of fall course pre-enrollment in July. Additionally, you will have an opportunity to adjust your fall course enrollment during Add/Drop in late August, after you take any desired CASE exams and meet with your faculty advisor during Orientation.

What if I don’t yet know my AP exam scores and/or I plan to take the CASE?

If you have taken an advanced placement exam (CEEB, GCE A-Level, or IB) but do not know your final results, or you wish to take the CASE exam for math during Orientation, select a class in July based on your expected results or how confident you feel about the topics.

Transferring Credit

Credit will be awarded for a math course taken at another institution only if the course is highly comparable in both content and rigor to MATH 1910, 1920, 2930, or 2940. The student must provide a syllabus that includes an outline of the topics covered in the course, as well as the final exam or sample exams. If the course was taken online, the student must also provide proof that the final exam was proctored on the university’s campus by the department running the program rather than by a proctor agreed upon by the student and the program. More information about what qualifies for transfer credit will be sent to you prior to July.

Courses equivalent to MATH 1110 (Calculus I) are not evaluated for transfer credit in Engineering. Differential Equations courses may be transferrable if a substantial part of the course involves partial differential equations. Credit for MATH 2930 will not be awarded for courses that cover only ordinary differential equations.


2.3: Volumes of Revolution - Cylindrical Shells

COURSE OVERVIEW

AP Calculus is one of the most rigorous and challenging mathematics classes that is offered at our high school. The course is for students that have completed coursework in Algebra I, Algebra II, Geometry and Pre-Calculus with Trigonometry. The course emphasize that students work with functions graphically, numerically, analytically and verbally. The course gives emphasis to the connections between these representations.

COURSE RESOURCES
Primary textbook:
Calculus: Concepts and Applications
Key Curriculum Press, ©2005, ISBN 1-55953-654-3,
Paul A. Foerster

Supplemental Resources:
Calculus: Concepts and Applications Instructor&rsquos Resource Book
Key Curriculum Press, ©2005, ISBN 1-55953-656-X
Paul A. Foerster

Multiple-Choice & Free-Response Questions in Preparation for the AP Calculus (AB) Examination (8th Edition)
D & S Marketing Systems, Inc., ©2003
David Lederman and Lin McMullin
.
STUDENT EVALUATION
Students will evaluated on tests and quiz scores, oral presentations, written reports, assignments, past AP Exams, use of Geometer&rsquos Sketch Pad for explorations of concepts, open-ended questions requiring written explanation and working in collaborative groups. Throughout the course students will be indirectly evaluated on the use of a graphing calculator. For example, students will have to integrate and differentiate functions numerically using a graphing calculator. Students will also use a graphing calculator to examine extrema and behavior of functions, find limits and determine differentiability and continuity.

COURSE OUTLINE

CHAPTER 1 (10 days)
Limits, Derivatives, Integrals, and Integrals
1-1 The Concept of Instantaneous Rate
1-2 Rate of Change by Equation, Graph, or Table
1-3 One Type of Integral of a Function
1-4 Definite Integrals by Trapezoids, from Equations and Data

CHAPTER 2 (16 days)
Properties of Limits
2-1 Numerical Approach to the Definition of Limit
2-2 Graphical and Algebraic Approaches to the Definition of Limit
2-3 The Limit Theorems
2-4 Continuity and Discontinuity
2-5 Limits Involving Infinity
2-6 The Intermediate Value Theorem and Its Consequences

CHAPTER 3 (18 days)
Derivatives, Antiderivatives, and Indefinite Integrals
3-1 Graphical Interpretation of Derivative
3-2 Difference Quotients and One Definition of Derivative
3-3 Derivative Functions, Numerically and Graphically
3-4 Derivative of the Power Function and Another Definition of Derivative
3-5 Displacement, Velocity, and Acceleration
3-6 Introduction to Sine, Cosine, and Composite Functions
3-7 Derivatives of Composite Functions&mdashThe Chain Rule
3-8 Proof and Application of Sine and Cosine Derivatives
3-9 Exponential and Logarithmic Functions

CHAPTER 4 (25 days)
Products, Quotients, and Parametric Functions
4-1 Combinations of Two Functions
4-2 Derivative of a Product of Two Functions
4-3 Derivative of a Quotient of Two Functions
4-4 Derivatives of the Other Trigonometric Functions
4-5 Derivatives of Inverse Trigonometric Functions
4-6 Differentiability and Continuity
4-7 Derivatives of a Parametric Function
4-8 Graphs and Derivatives of Implicit Relations
4-9 Related Rates

CHAPTER 5 (25 days)
Definite and Indefinite Integrals
5-1 A Definite Integral Problem
5-2 Linear Approximations and Differentials
5-3 Formal Definition of Antiderivative and Indefinite Integral
5-4 Riemann Sums and the Definition of Definite Integral
5-5 The Mean Value Theorem and Rolle&rsquos Theorem
5-6 The Fundamental Theorem of Calculus
5-7 Definite Integral Properties and Practice
5-8 Definite Integrals Applied to Area and Other Problems
5-9 Volume of a Solid by Plane Slicing
5-10 Definite Integrals Numerically by Grapher and by Simpson&rsquos Rule

CHAPTER 6 (15 days)
The Calculus of Exponential and Logarithmic Functions
6-1 Integral of the Reciprocal Function: A Population Growth Problem
6-2 Antiderivative of the Reciprocal Function and Another Form of the Fundamental Theorem
6-4 The Number e, Exponential Functions, and Logarithmic Differentiation
6-5 Limits of Indeterminate Forms: l&rsquoHospital&rsquos Rule
6-6 Derivative and Integral Practice for Transcendental Functions

CHAPTER 7 (14 days)
The Calculus of Growth and Decay
7-1 Direct Proportion Property of Exponential Functions
7-2 Exponential Growth and Decay
7-4 Graphical Solution of Differential Equations by Using Slope Fields
7-5 Numerical Solution of Differential Equations by Using Euler&rsquos Method

CHAPTER 8 (14 days)
The Calculus of Plane and Solid Figures
8-2 Critical Points and Points of Inflection
8-3 Maxima and Minima in Plane and Solid Figures

CHAPTER 10 (14 days)
The Calculus of Motion&mdashAverages, Extremes
10-1 Introduction to Distance and Displacement for Motion Along a Line
10-2 Distance, Displacement, and Acceleration for Linear Motion
10-3 Average Value Problems in Motion and Elsewhere
10-4 Minimal Path Problems
10-5 Maximum and Minimum Problems in Motion and Elsewhere

AFTER THE AP EXAM
CHAPTER 8
The Calculus of Plane and Solid Figures
8-4 Volume of a Solid of Revolution by Cylindrical Shells
8-5 Length of a Plane Curve&mdashArc Length

CHAPTER 9
Algebraic Calculus Techniques for the Elementary Functions
9-1 Introduction to the Integral of a Product of Two Functions
9-2 Integration by Parts&mdashA Way to Integrate Products
9-3 Rapid Repeated Integration by Parts

CORRELATIONS TO AP COURSE DESCRIPTION

I. Functions, Graphs, and Limits

2. Limits of functions (including one-sided limits)

  • An intuitive understanding of the limiting process
  • Calculating limits using algebra
  • Estimating limits from graphs or tables of data

3. Asymptotic and unbounded behavior

  • Understanding asymptotes in terms of graphical behavior
  • Describing asymptotic behavior in terms of limits involving infinity
  • Comparing relative magnitudes of functions and their rates of change (e.g., contrasting exponential growth, polynomial growth, and logarithmic growth)

4. Continuity as a property of functions

  • An intuitive understanding of continuity (Close values of the domain lead to close values of the range)
  • Understanding continuity in terms of limits
  • Geometric understanding of graphs of continuous functions (intermediate value theorem and extreme value theorem)

1. Concept of the derivative

  • Derivative presented graphically, numerically, and analytically
  • Derivative interpreted as an instantaneous rate of change
  • Derivative defined as the limit of the difference quotient
  • Relationship between differentiability and continuity

Sections 1-2, 3-5, and throughout
Sections 3-2 and 3-4

  • Slope of a curve at a point. Examples are emphasized, including points at which there are vertical tangents and points at which there are no tangents.
  • Tangent line to a curve at a point and local linear approximation
  • Instantaneous rate of change as the limit of average rate of change
  • Approximate rate of change from graphs and tables of values

3. Derivative as a function

  • Corresponding characteristics of graphs of f and f′
  • Relationship between the increasing and decreasing behavior of f and the sign of f′
  • The mean value theorem and its geometric consequences
  • Equations involving derivatives. Verbal descriptions are translated into equations involving derivatives and vice versa.
  • Corresponding characteristics of the graphs of f, f&rsquo and f&rsquo&rsquo
  • Relationship between the concavity of f and the sign of f&rsquo&rsquo
  • Points of inflection as places where concavity changes

5. Applications of derivatives

  • Analysis of curves, including the notion of monotonicity and concavity
  • Optimization, both absolute (global) and relative (local) extrema
  • Modeling rates of change, including related rates problems
  • Use of implicit differentiation to find the derivative of an inverse function
  • Interpretation of the derivative as a rate of change in varied applied contexts, including velocity, speed, and acceleration
  • Geometric interpretation of differential equations via slope fields and the relationship between slope fields and solution curves for differential equations

6. Computation of derivatives

  • Knowledge of derivatives of basic functions, including power, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric functions.
  • Basic rules for the derivatives of sums, products, and quotients of functions
  • Chain rule and implicit differentiation

Sections 3-4, 3-8, 3-9, 4-4, and 4-5

1. Interpretation and properties of definite integrals

  • Computation of Riemann sums using left, right, and midpoint evaluation points
  • Definite integral as a limit of the rate of change of a quantity over an interval interpreted as the change of the quantity over the interval:
  • Basic properties of definite integrals (e.g., additivity and linearity)

2. Applications of integrals (includes finding the area of a region, the volume of a solid with known cross sections, the average value of a function, and the distance traveled by a particle along a line)


Assista o vídeo: Cálculo 1 - Volume por Cascas Cilíndricas Exercício Resolvido (Novembro 2021).