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8: Provas que envolvem conjuntos - matemática


8: Provas que envolvem conjuntos - matemática

8: Provas que envolvem conjuntos - matemática

A prova pode ser o que melhor distingue a matemática de outras disciplinas, mesmo das ciências, que são lógicas, rigorosas e em maior ou menor grau (dependendo da disciplina) baseadas na matemática. Usando um raciocínio rigoroso e logicamente correto, pretendemos provar teoremas matemáticos - isto é, demonstrar que algo é verdadeiro além de qualquer dúvida.

É impossível fornecer uma fórmula ou algoritmo para provar toda e qualquer afirmação matemática, embora certas abordagens ou estratégias apareçam repetidamente em provas bem-sucedidas, de modo que vale a pena estudar a própria prova. Claro, mesmo que o assunto seja a própria prova, precisamos provar alguma coisa, então, neste capítulo, começamos nosso estudo de Teoria dos Números, ou seja, as propriedades dos inteiros (frequentemente, mas nem sempre, os inteiros não negativos).

A ideia de prova é central para todos os ramos da matemática - nos concentramos em provas envolvendo inteiros por duas razões. Primeiro, é um assunto muito bom para aprender a escrever provas. As provas na teoria dos números são tipicamente muito claras e claras - há pouca abstração para obscurecer a compreensão dos pontos essenciais de um argumento. Em segundo lugar, os inteiros têm uma posição central na matemática e são usados ​​extensivamente em outros campos, como a ciência da computação. Embora o grande matemático do século XX G. H. Hardy se gabasse de ter feito a teoria dos números porque não havia chance de que pudesse ser interpretada como matemática aplicada, ela de fato se tornou enormemente útil e importante no estudo da computação e particularmente na criptografia. Também achamos a teoria dos números intrinsecamente interessante, um dos mais belos assuntos da matemática moderna, e ainda mais interessante por causa de suas raízes na Antiguidade. A menos que especificado de outra forma, então, o universo do discurso é o conjunto de inteiros, $ Z $.


Conteúdo

A palavra "prova" vem do latim probare (testar). Palavras modernas relacionadas são em inglês "probe", "probation" e "probabilidade", espanhol probar (cheirar ou provar, ou às vezes tocar ou testar), [6] Italiano provar (tentar) e alemão probieren (tentar). O termo legal "probidade" significa autoridade ou credibilidade, o poder do testemunho para provar fatos quando fornecido por pessoas de reputação ou status. [7]

Argumentos de plausibilidade usando dispositivos heurísticos, como imagens e analogias, precederam a prova matemática estrita. [8] É provável que a ideia de demonstrar uma conclusão surgiu primeiro em conexão com a geometria, que se originou em problemas práticos de medição de terras. [9] O desenvolvimento da prova matemática é principalmente o produto da matemática grega antiga e uma de suas maiores realizações. [10] Tales (624–546 AC) e Hipócrates de Quios (c. 470–410 AC) deram algumas das primeiras provas conhecidas de teoremas em geometria. Eudoxus (408–355 AC) e Teeteto (417–369 AC) formularam teoremas, mas não os provaram. Aristóteles (384-322 aC) disse que as definições devem descrever o conceito sendo definido em termos de outros conceitos já conhecidos.

A prova matemática foi revolucionada por Euclides (300 aC), que introduziu o método axiomático ainda em uso hoje. Ele começa com termos indefinidos e axiomas, proposições relativas aos termos indefinidos que são assumidos como evidentemente verdadeiros (do grego "axios", algo digno). Com base nisso, o método prova teoremas usando lógica dedutiva. Livro de Euclides, o Elementos, foi lido por qualquer pessoa considerada educada no Ocidente até meados do século XX. [11] Além dos teoremas da geometria, como o teorema de Pitágoras, o Elementos também cobre a teoria dos números, incluindo uma prova de que a raiz quadrada de dois é irracional e uma prova de que existem infinitos números primos.

Outros avanços também ocorreram na matemática islâmica medieval. Enquanto as primeiras provas gregas eram em grande parte demonstrações geométricas, o desenvolvimento da aritmética e da álgebra por matemáticos islâmicos permitiu provas mais gerais, sem dependência da intuição geométrica. No século 10 dC, o matemático iraquiano Al-Hashimi trabalhou com números como tais, chamados de "linhas", mas não necessariamente considerados como medidas de objetos geométricos, para provar proposições algébricas relativas à multiplicação, divisão, etc., incluindo a existência de números irracionais . [12] Uma prova indutiva para sequências aritméticas foi introduzida no Al-Fakhri (1000) por Al-Karaji, que o usou para provar o teorema binomial e as propriedades do triângulo de Pascal. Alhazen também desenvolveu o método da prova por contradição, como a primeira tentativa de provar o postulado do paralelo euclidiano. [13]

A teoria da prova moderna trata as provas como estruturas de dados definidas indutivamente, não exigindo uma suposição de que os axiomas são "verdadeiros" em qualquer sentido. Isso permite teorias matemáticas paralelas como modelos formais de um determinado conceito intuitivo, com base em conjuntos alternativos de axiomas, por exemplo, a teoria dos conjuntos axiomática e a geometria não euclidiana.

Conforme praticado, uma prova é expressa em linguagem natural e é um argumento rigoroso destinado a convencer o público da verdade de uma afirmação. O padrão de rigor não é absoluto e variou ao longo da história. Uma prova pode ser apresentada de forma diferente dependendo do público-alvo. Para obter aceitação, uma prova deve atender aos padrões comuns de rigor; um argumento considerado vago ou incompleto pode ser rejeitado.

O conceito de prova é formalizado no campo da lógica matemática. [14] Uma prova formal é escrita em uma linguagem formal ao invés de uma linguagem natural. Uma prova formal é uma sequência de fórmulas em uma linguagem formal, começando com uma suposição e, com cada fórmula subsequente, uma consequência lógica das precedentes. Essa definição torna o conceito de prova passível de estudo. De fato, o campo da teoria da prova estuda as provas formais e suas propriedades, sendo o mais famoso e surpreendente que quase todos os sistemas axiomáticos podem gerar certas afirmações indecidíveis não prováveis ​​dentro do sistema.

A definição de uma prova formal tem como objetivo capturar o conceito de provas como escrito na prática da matemática. A validade dessa definição equivale à crença de que uma prova publicada pode, em princípio, ser convertida em uma prova formal. No entanto, fora do campo dos assistentes de prova automatizados, isso raramente é feito na prática. Uma questão clássica em filosofia pergunta se as provas matemáticas são analíticas ou sintéticas. Kant, que introduziu a distinção analítico-sintético, acreditava que as provas matemáticas são sintéticas, enquanto Quine argumentou em seu 1951 "Dois Dogmas do Empirismo" que tal distinção é insustentável. [15]

As provas podem ser admiradas por sua beleza matemática. O matemático Paul Erdős era conhecido por descrever provas que ele considerou particularmente elegantes como vindas de "O Livro", um tomo hipotético contendo os mais belos métodos de provar cada teorema. O livro Provas do LIVRO, publicado em 2003, dedica-se a apresentar 32 provas que seus editores consideram particularmente agradáveis.

Edição de prova direta

Na prova direta, a conclusão é estabelecida combinando-se logicamente os axiomas, definições e teoremas anteriores. [16] Por exemplo, a prova direta pode ser usada para provar que a soma de dois inteiros pares é sempre par:

Considere dois inteiros pares x e y. Como são pares, podem ser escritos como x = 2uma e y = 2b, respectivamente, para inteiros uma e b. Então a soma x + y = 2uma + 2b = 2(uma+b) Portanto x+y tem 2 como fator e, por definição, é par. Conseqüentemente, a soma de quaisquer dois inteiros pares é par.

Esta prova usa a definição de inteiros pares, as propriedades inteiras de fechamento sob adição e multiplicação e distributividade.

Prova por indução matemática Editar

Apesar do nome, a indução matemática é um método de dedução, não uma forma de raciocínio indutivo. Na prova por indução matemática, um único "caso base" é provado, e uma "regra de indução" é provada que estabelece que qualquer caso arbitrário implica o próximo caso. Visto que, em princípio, a regra de indução pode ser aplicada repetidamente (começando do caso base provado), segue-se que todos (geralmente infinitos) casos são prováveis. [17] Isso evita ter que provar cada caso individualmente. Uma variante da indução matemática é a prova por descendência infinita, que pode ser usada, por exemplo, para provar a irracionalidade da raiz quadrada de dois. [5]

Uma aplicação comum de prova por indução matemática é provar que uma propriedade conhecida por ser válida para um número vale para todos os números naturais: [18] N = <1,2,3,4. > ser o conjunto de números naturais, e P(n) ser uma afirmação matemática envolvendo o número natural n pertencendo à N de tal modo que

  • (eu)P(1) é verdadeiro, ou seja, P(n) é verdade para n = 1 .
  • (ii)P(n+1) é verdadeiro sempre que P(n) é verdade, ou seja, P(n) é verdade implica que P(n+1) é verdade.
  • Então P(n) é verdadeiro para todos os números naturais n .

Por exemplo, podemos provar por indução que todos os inteiros positivos da forma 2n - 1 é estranho. Deixar P(n) representam "2n - 1 é ímpar ":

(eu) Para n = 1 , 2n - 1 = 2 (1) - 1 = 1, e 1 é ímpar, pois deixa um resto de 1 quando dividido por 2. Desse modo P(1) é verdade. (ii) Para qualquer n , se 2n - 1 é ímpar ( P(n)), então (2n - 1) + 2 também deve ser ímpar, porque adicionar 2 a um número ímpar resulta em um número ímpar. Mas (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) - 1, então 2 (n+1) - 1 é ímpar ( P(n+1)). Então P(n) implica P(n+1) . Desse modo 2n - 1 é ímpar, para todos os inteiros positivos n .

A frase mais curta "prova por indução" é freqüentemente usada em vez de "prova por indução matemática". [19]

Edição de prova por contraposição

Prova por contraposição infere a afirmação "se p então q"estabelecendo a declaração contrapositiva logicamente equivalente:" se não q então não p".

Por exemplo, a contraposição pode ser usada para estabelecer que, dado um inteiro x < displaystyle x>, se x 2 < displaystyle x ^ <2>> é par, então x < displaystyle x> é par:

Prova por contradição Editar

Na prova por contradição, também conhecida pela frase latina reductio ad absurdum (por redução ao absurdo), é mostrado que se alguma afirmação é assumida como verdadeira, ocorre uma contradição lógica, portanto, a afirmação deve ser falsa. Um exemplo famoso envolve a prova de que 2 < displaystyle < sqrt <2> >> é um número irracional:

Prova por construção Editar

Prova por construção, ou prova por exemplo, é a construção de um exemplo concreto com uma propriedade para mostrar que algo que possui essa propriedade existe. Joseph Liouville, por exemplo, provou a existência de números transcendentais construindo um exemplo explícito. Também pode ser usado para construir um contra-exemplo para refutar uma proposição de que todos os elementos têm uma certa propriedade.

Prova por exaustão Editar

Na prova por exaustão, a conclusão se estabelece dividindo-a em um número finito de casos e provando cada um separadamente. O número de casos às vezes pode se tornar muito grande. Por exemplo, a primeira prova do teorema das quatro cores foi uma prova por exaustão com 1.936 casos. Essa prova foi polêmica porque a maioria dos casos foi verificada por um programa de computador, não manualmente. A prova mais curta conhecida do teorema das quatro cores em 2011 [atualização] ainda tem mais de 600 casos. [20]

Prova probabilística Editar

Uma prova probabilística é aquela em que se mostra a existência de um exemplo, com certeza, usando métodos da teoria da probabilidade. A prova probabilística, como a prova por construção, é uma das muitas maneiras de mostrar teoremas de existência.

No método probabilístico, busca-se um objeto que possua uma determinada propriedade, a partir de um grande conjunto de candidatos. Atribui-se uma certa probabilidade para cada candidato a ser escolhido e, então, prova-se que existe uma probabilidade diferente de zero de que um candidato escolhido terá a propriedade desejada. Isso não especifica quais candidatos têm a propriedade, mas a probabilidade não poderia ser positiva sem pelo menos uma.

Uma prova probabilística não deve ser confundida com um argumento de que um teorema é "provavelmente" verdadeiro, um "argumento de plausibilidade". O trabalho sobre a conjectura de Collatz mostra o quão longe a plausibilidade está da prova genuína. Enquanto a maioria dos matemáticos não pensa que a evidência probabilística para as propriedades de um determinado objeto conta como uma prova matemática genuína, alguns matemáticos e filósofos argumentaram que pelo menos alguns tipos de evidência probabilística (como o algoritmo probabilístico de Rabin para testar a primalidade) são tão boas como provas matemáticas genuínas. [21] [22]

Edição de prova combinatória

Uma prova combinatória estabelece a equivalência de diferentes expressões, mostrando que contam o mesmo objeto de maneiras diferentes. Freqüentemente, uma bijeção entre dois conjuntos é usada para mostrar que as expressões para seus dois tamanhos são iguais. Alternativamente, um argumento de contagem dupla fornece duas expressões diferentes para o tamanho de um único conjunto, novamente mostrando que as duas expressões são iguais.

Edição de prova não construtiva

Uma prova não construtiva estabelece que um objeto matemático com uma certa propriedade existe - sem explicar como tal objeto pode ser encontrado. Freqüentemente, isso assume a forma de uma prova por contradição em que a inexistência do objeto se mostra impossível. Em contraste, uma prova construtiva estabelece que um determinado objeto existe, fornecendo um método para encontrá-lo. Um famoso exemplo de uma prova não construtiva mostra que existem dois números irracionais uma e b de modo que a b < displaystyle a ^> é um número racional:

Provas estatísticas em matemática pura Editar

A expressão "prova estatística" pode ser usada técnica ou coloquialmente em áreas da matemática pura, como envolvendo criptografia, séries caóticas e teoria dos números probabilística ou analítica. [23] [24] [25] É menos comumente usado para se referir a uma prova matemática no ramo da matemática conhecido como estatística matemática. Consulte também a seção "Prova estatística usando dados" abaixo.

Provas assistidas por computador Editar

Até o século XX, presumia-se que qualquer prova poderia, em princípio, ser verificada por um matemático competente para confirmar sua validade. [8] No entanto, os computadores agora são usados ​​tanto para provar teoremas quanto para realizar cálculos que são muito longos para qualquer ser humano ou equipe de humanos verificar a primeira prova do teorema das quatro cores é um exemplo de uma prova assistida por computador. Alguns matemáticos estão preocupados que a possibilidade de um erro em um programa de computador ou um erro de tempo de execução em seus cálculos coloque em questão a validade de tais provas assistidas por computador. Na prática, as chances de um erro invalidar uma prova assistida por computador podem ser reduzidas incorporando redundância e autoverificações aos cálculos e desenvolvendo múltiplas abordagens e programas independentes. Erros nunca podem ser completamente descartados no caso de verificação de uma prova por humanos também, especialmente se a prova contiver linguagem natural e requerer um profundo conhecimento matemático para descobrir as suposições e falácias ocultas potenciais envolvidas.

Uma afirmação que não pode ser provada nem refutada por um conjunto de axiomas é chamada de indecidível (por causa desses axiomas). Um exemplo é o postulado paralelo, que não pode ser provado nem refutado a partir dos axiomas restantes da geometria euclidiana.

Os matemáticos mostraram que existem muitas afirmações que não são nem prováveis ​​nem contestáveis ​​na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC), o sistema padrão da teoria dos conjuntos em matemática (assumindo que ZFC é consistente) ver lista de afirmações indecidíveis em ZFC .

O (primeiro) teorema da incompletude de Gödel mostra que muitos sistemas de axiomas de interesse matemático terão enunciados indecidíveis.

Embora os primeiros matemáticos, como Eudoxus de Cnido, não usassem provas, de Euclides aos desenvolvimentos matemáticos fundamentais do final dos séculos 19 e 20, as provas eram uma parte essencial da matemática. [26] Com o aumento do poder de computação na década de 1960, um trabalho significativo começou a ser feito investigando objetos matemáticos fora da estrutura do teorema da prova, [27] em matemática experimental. Os primeiros pioneiros desses métodos pretendiam que o trabalho fosse, em última análise, incorporado em uma estrutura clássica de teorema de prova, por ex. o desenvolvimento inicial da geometria fractal, [28] que foi, em última instância, tão embutida.

Edição de prova visual

Embora não seja uma prova formal, uma demonstração visual de um teorema matemático é às vezes chamada de "prova sem palavras". A imagem do lado esquerdo abaixo é um exemplo de uma prova visual histórica do teorema de Pitágoras no caso do triângulo (3,4,5).

Prova visual para o triângulo (3, 4, 5) como no Zhoubi Suanjing 500–200 aC.

Prova visual animada para o teorema de Pitágoras por rearranjo.

Uma segunda prova animada do teorema de Pitágoras.

Algumas provas visuais ilusórias, como o quebra-cabeça do quadrado que falta, podem ser construídas de uma maneira que pareça provar um suposto fato matemático, mas só o fazem na presença de pequenos erros (por exemplo, linhas supostamente retas que na verdade se dobram ligeiramente) que são imperceptível até que toda a imagem seja examinada de perto, com comprimentos e ângulos precisamente medidos ou calculados.

Edição de prova elementar

Uma prova elementar é uma prova que usa apenas técnicas básicas. Mais especificamente, o termo é usado na teoria dos números para se referir a provas que não fazem uso de análise complexa. Por algum tempo, pensou-se que certos teoremas, como o teorema dos números primos, só poderiam ser provados usando matemática "superior". No entanto, com o tempo, muitos desses resultados foram reprovados usando apenas técnicas elementares.

Edição de prova de duas colunas

Uma maneira particular de organizar uma prova usando duas colunas paralelas é freqüentemente usada como um exercício matemático em aulas de geometria elementar nos Estados Unidos. [29] A prova é escrita como uma série de linhas em duas colunas. Em cada linha, a coluna da esquerda contém uma proposição, enquanto a coluna da direita contém uma breve explicação de como a proposição correspondente na coluna da esquerda é um axioma, uma hipótese ou pode ser logicamente derivada de proposições anteriores .A coluna da esquerda é normalmente intitulada "Declarações" e a coluna da direita é normalmente intitulada "Razões". [30]

Uso coloquial de "prova matemática" Editar

A expressão "prova matemática" é usada por leigos para se referir ao uso de métodos matemáticos ou argumentar com objetos matemáticos, como números, para demonstrar algo sobre a vida cotidiana, ou quando os dados usados ​​em um argumento são numéricos. Às vezes também é usado para significar uma "prova estatística" (abaixo), especialmente quando usado para argumentar a partir de dados.

Prova estatística usando edição de dados

"Prova estatística" de dados refere-se à aplicação de estatísticas, análise de dados ou análise bayesiana para inferir proposições sobre a probabilidade dos dados. Enquanto usando prova matemática para estabelecer teoremas em estatística, geralmente não é uma prova matemática em que o premissas de onde as declarações de probabilidade são derivadas requerem evidência empírica de matemática externa para verificação. Na física, além dos métodos estatísticos, "prova estatística" pode se referir ao especialista métodos matemáticos da física aplicado para analisar dados em um experimento de física de partículas ou estudo observacional em cosmologia física. "Prova estatística" também pode se referir a dados brutos ou um diagrama convincente envolvendo dados, como gráficos de dispersão, quando os dados ou diagrama são adequadamente convincentes sem análise adicional.

Provas lógicas indutivas e análise Bayesiana Editar

As provas que usam lógica indutiva, embora consideradas de natureza matemática, procuram estabelecer proposições com um grau de certeza, que atua de maneira semelhante à probabilidade, e pode ser menos do que certeza total. A lógica indutiva não deve ser confundida com a indução matemática.

A análise bayesiana usa o teorema de Bayes para atualizar a avaliação de uma pessoa sobre a probabilidade de hipóteses quando novas evidências ou informações são adquiridas.

Provas como objetos mentais Editar

O psicologismo vê as provas matemáticas como objetos psicológicos ou mentais. Filósofos matemáticos, como Leibniz, Frege e Carnap, criticaram de várias maneiras essa visão e tentaram desenvolver uma semântica para o que consideravam a linguagem do pensamento, por meio da qual os padrões de prova matemática podem ser aplicados à ciência empírica. [ citação necessária ]

Influência dos métodos de prova matemática fora da matemática Editar

Filósofos-matemáticos como Spinoza tentaram formular argumentos filosóficos de uma maneira axiomática, por meio da qual padrões de prova matemática poderiam ser aplicados à argumentação em filosofia geral. Outros filósofos-matemáticos tentaram usar os padrões da prova matemática e da razão, sem empirismo, para chegar a afirmações fora da matemática, mas tendo a certeza de proposições deduzidas em uma prova matemática, como a de Descartes cogito argumento.


Set Theory Papers

Os papéis estão listados em ordem cronológica inversa, exceto que coloquei duas pesquisas no início para torná-las mais fáceis de encontrar.

Cardeais quase contáveis

Uma palestra expositiva, para um público matemático em geral, sobre as características fundamentais do continuum.

Características Cardinais Combinatórias do Continuum (a aparecer como um capítulo no Handbook of Set Theory (ed. M. Foreman, M. Magidor e A. Kanamori))

Este levantamento da teoria das características cardeais do continuum deve aparecer como um capítulo do "Handbook of Set Theory". Como o título indica, concentro-me nas características combinatórias que Tomek Bartoszynski escreveu um capítulo sobre as características de categoria e medida.

Este artigo, não pretendido para publicação, apresenta alguns resultados sobre os conjuntos cujos conjuntos de potência são Dedekind-finitos. Nos modelos de Fraenkel-Mostowski com suporte finito, eles coincidem com os conjuntos de órbita finita, mas os consideramos no contexto mais geral de modelos arbitrários da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha.

Axiomas e modelos para uma teoria de conjuntos estendida, em conjunto com D. L. Childs

Apresentamos os axiomas da teoria dos conjuntos estendidos (XST) e as ideias subjacentes aos axiomas. A diferença fundamental da teoria clássica dos conjuntos (ZFC) é que XST é baseado em uma relação de associação ternária, "x é um elemento de y com escopo s." O XST permite que os conjuntos tenham mais elementos com escopos grandes do que com escopos pequenos, o que facilita a formalização de alguns aspectos da teoria das categorias. Também apresentamos uma interpretação de XST em ZFC mais `` existem cardeais inacessíveis arbitrariamente grandes '', provando assim a consistência de XST em relação a esta extensão moderada de cardinais grandes de ZFC.

Regras de votação para conjuntos infinitos e álgebras booleanas (em "Advances in Logic (The North Texas Logic Conference)" ed. S. Gao, S. Jackson e Y. Zhang, AMS (Contemporary Math. 425) (2007) pp. 87 -103)

Uma regra de votação em uma álgebra booleana B é um subconjunto fechado para cima que contém, para cada elemento x em B, exatamente um de x e -x. Estudamos vários aspectos das regras de votação, com especial atenção à sua relação com os ultrafiltros. Em particular, estudamos a hipótese teórica dos conjuntos de que todas as regras de votação na álgebra booleana de subconjuntos dos conjuntos finitos módulo de números naturais são quase ultrafiltros. Definimos a noção de suporte de uma regra de votação e a usamos para descrever regras de votação que são, em certo sentido, tão diferentes quanto possível dos ultrafiltros. Por fim, consideramos quanto do axioma de escolha é necessário para garantir a existência de regras de votação.

Cardeais inacessíveis sem o axioma da escolha, juntamente com Ioanna Dimitriou e Benedikt Loewe (Fund. Math. 194 (2007) pp. 179-189)

Consideramos quatro noções de inacessibilidade forte que são equivalentes em ZFC e mostramos que não são equivalentes em ZF. Nós determinamos todas as implicações prováveis ​​entre os quatro.

Famílias loucas e seus vizinhos, juntamente com Tapani Hyttinen e Yi Zhang

Estudamos vários tipos de famílias máximas quase disjuntas, tanto em um conjunto contável quanto em cardeais regulares incontáveis. Relacionamos os invariantes cardinais associados com os números delimitadores e dominantes e também com a uniformidade do ideal insuficiente e algumas de suas generalizações.

O número de classes de quase-coerência de ultrafiltros é finito ou 2 ^ c, juntamente com Taras Banakh (em "Set Theory. Centre de Recerca Matem ` atica, Barcelona, ​​2003--2004, "ed. J. Bagaria and S Todorcevic, Trends in Mathematics, Birkhauser (2006) 257-273).

Provamos que o número de classes de quase coerência de ultrafiltros não principais nos números naturais é finito ou 2 ^ c, onde c é o cardinal do contínuo. Além disso, no último caso, a compactação de Stone-Cech de um espaço discreto contável contém um subconjunto fechado que consiste em 2 ^ c ultrafiltros não quase coerentes em pares. Obtemos algumas informações adicionais sobre esses conjuntos fechados sob certas premissas envolvendo as características cardinais u e d. Aplicando nosso resultado principal ao resto de Stone-Cech de uma meia-linha fechada, obtemos que o número de compostos desse resto é finito ou 2 ^ c.

Ultrafiltros e produtos parciais de grupos cíclicos infinitos, em conjunto com Saharon Shelah

Consideramos, para infinitos cardinais k e m, o grupo aditivo de sequências de inteiros, de comprimento k, com entradas diferentes de zero em menos de m posições. Nosso principal resultado caracteriza, em termos de cardeais, quando um desses grupos pode ser incorporado a outro. A prova envolve alguns resultados teóricos de conjuntos, um sobre famílias de conjuntos finitos e outro sobre famílias de ultrafiltros.

Por que conjuntos ?, em conjunto com Yuri Gurevich (Bull. Europ. Assoc. Theoret. Comp. Sci. 84 (2004) 139-156)

Os conjuntos desempenham um papel fundamental nos fundamentos da matemática. Por quê? Até que ponto isso é um acidente da história? Imagine que você tem a chance de conversar com matemáticos de um planeta distante. Sua matemática seria baseada em conjuntos? Quais são as alternativas para o fundamento da teoria dos conjuntos da matemática? Além disso, a teoria dos conjuntos parece desempenhar um papel significativo na ciência da computação, em particular na teoria de banco de dados e métodos formais. Existe uma boa justificativa para isso? Discutimos essas e algumas questões relacionadas.

Famílias Unsplit, Famílias Dominantes e Ultrafiltros

Estudamos alguns enfraquecimentos da propriedade de interseção finita para famílias de subconjuntos de números naturais. Os enfraquecimentos envolvem (1) exigir interseções para apenas um número fixo de conjuntos da família e (2) exigir que os conjuntos tenham elementos próximos uns dos outros, em vez de realmente se cruzarem. Esses enfraquecimentos se encaixam em uma cadeia de implicações, nenhuma das quais reversível com HC, mas quase todas consistentemente reversíveis. Também conectamos essas propriedades com propriedades de dominação enfraquecidas para famílias para funções nos números naturais. Para famílias não divididas de conjuntos, a cadeia de implicações diminui de infinitas propriedades para apenas quatro.

Soma, produtos e escolha para conjuntos finitos

Trabalhamos na teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha, portanto, somas infinitas e produtos de números cardinais podem não ser bem definidos. Consideramos o caso especial de somas ou produtos de muitas cópias contáveis ​​do mesmo número cardinal finito n. Caracterizamos os conjuntos de inteiros que podem, consistentemente com ZF, ocorrer como o conjunto de n de forma que o produto (ou a soma) de muitas cópias contáveis ​​de n seja bem definido.

Este artigo não se destina a publicação. Dos resultados principais, um é devido não a mim, mas a Paul Howard, e o outro já está essencialmente em meu artigo "Cohomology detecta falhas do axioma da escolha" (Trans. Amer. Math. Soc. 279 (1983) 257- -269).

Nearly Adequate Sets (in "Logic and Algebra", editado por Yi Zhang, Contemporary Math. 302 (2002) 33-48)

Quando uma característica cardinal do continuum é definida como a cardinalidade mínima de qualquer família de reais com uma determinada propriedade, chamamos as famílias com essa propriedade de "adequadas" para aquela característica. Em muitos casos, há enfraquecimento do "adequado" que ainda implica que a cardinalidade da família é pelo menos a característica em questão. Analisamos alguns desses enfraquecimentos. Nossos principais resultados são teoremas de partição relacionando esses enfraquecimentos entre si ou com as noções originais de adequação.

Pré-imagens finitas sob o mapa natural de beta (N x N) para (beta N) x (beta N), em conjunto com Gugu Moche (Topology Proceedings 26 (2001-2002) 407-432)

Seja i de beta (NxN) a (beta N) x (beta N) a extensão contínua do mapa de identidade de NxN. Fornecemos provas elementares de vários resultados nítidos sobre os tamanhos possíveis de pré-imagens de pontos (p, q) em N * xN *. Entre eles estão:
Se (p, q) tem apenas duas pré-imagens, então ambos p e q são pontos P, mas, assumindo a existência de pelo menos 3 ultrafiltros seletivos não isomórficos em N, há p e q tais que (p, q ) tem apenas 3 pré-imagens, mas p não é um ponto P.
Se (p, q) tem no máximo 5 pré-imagens, então pelo menos um de p e q é um ponto P, mas assumindo a existência de pelo menos 4 ultrafiltros seletivos não isomórficos em N, há p e q tais que nenhum deles é um ponto P e (p, q) tem apenas 6 pré-imagens.
Se (p, p) tem no máximo 8 pré-imagens, então p é um ponto P, mas assumindo a existência de infinitos ultrafiltros seletivos não isomórficos em N, existe um ponto não P p tal que (p, p ) tem apenas 9 pré-imagens.

Divisibility of Dedekind Finite Sets, em conjunto com David Blair e Paul Howard (Journal of Mathematical Logic 5 (2005) 58-74)

Um conjunto finito de Dedekind é considerado divisível por um número natural n se puder ser particionado em pedaços de tamanho n. Estudamos vários aspectos dessa noção, bem como a noção mais forte de ser particionável em n peças de tamanho igual. Entre nossos resultados estão que os divisores de um conjunto finito de Dedekind podem consistentemente ser qualquer conjunto de números naturais (contendo 1, mas não 0), que uma potência finita de Dedekind de 2 não pode ser divisível por 3 e que um conjunto finito de Dedekind pode ser módulo 3 congruente com todos 0, 1 e 2 simultaneamente. (Nestes resultados, 2 e 3 servem como exemplos típicos, os resultados completos são mais gerais.)

Uma nota sobre extensões de densidade assintótica, conjuntamente com Ryszard Frankiewicz, Grzegorz Plebanek e Czeslaw Ryll-Nardzewski (Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002) 1581-1587)

Por densidade, queremos dizer qualquer extensão da densidade assintótica a uma medida finitamente aditiva definida em todos os conjuntos de números naturais. Consideramos densidades associadas a ultrafiltros nos números naturais e investigamos duas propriedades de aditividade de tais densidades. Em particular, mostramos que existe uma densidade cujo espaço L_1 associado está completo.

Reais necessários e recursão em reais genéricos (Ann. Pure Appl. Logic 109 (2001) 77-88)

Seja A uma relação binária em reais. Chame um conjunto X de reais adequado para A se todo real é relacionado a A a um em X. (Muitas características cardinais do continuum são definidas como a menor cardinalidade de qualquer conjunto adequado para uma certa relação.) Chame um real r necessário para A se todo conjunto adequado para A tiver um elemento em relação ao qual r é recursivo. Estudamos os reais necessários para várias relações A que surgem na teoria das características cardinais. Também estudamos a questão relacionada do que pode ser dito sobre um real no modelo básico se ele for recursivo em reais genéricos de vários tipos.

Sobre a cofinalidade de ultrapoderes, juntamente com Heike Mildenberger (J. Symbolic Logic 64 (1999) 727-736)

Provamos algumas restrições sobre as possíveis cofinalidades de ultrapoderes dos números naturais em relação aos ultrafiltros dos números naturais. As restrições envolvem três características cardinais do contínuo, o número divisor s, o número não dividido r e o número de densidade grupal g. Também provamos alguns resultados relacionados para potências reduzidas com respeito a outros filtros que não ultrafiltros.

Reductions Between Cardinal Characteristics (Set Theory (Annual Boise Extravaganza in Set Theory Conference, 1992-94) (ed. T. Bartoszynski e M. Scheepers) Contemporary Math. 192 (1996) 31-49)

Discutimos dois aspectos gerais da teoria das características cardinais do continuum, especialmente das provas de desigualdades entre tais características. O primeiro aspecto é expressar o conteúdo essencial dessas provas de uma forma que faça sentido mesmo em modelos onde as desigualdades se mantêm trivialmente (por exemplo, porque a hipótese do contínuo se mantém). Para tanto, usamos uma versão Borel da teoria de Vojtas das conexões generalizadas de Galois-Tukey. O segundo aspecto é analisar uma estrutura sequencial freqüentemente encontrada em provas de desigualdades relacionando uma característica ao mínimo (ou máximo) de duas outras. O diagrama máximo-mínimo de Vojtas, abstraído de tais situações, pode ser descrito em termos de um novo objeto de tipo superior na categoria de conexões generalizadas de Galois-Tukey. Acontece que ocorre também em outras provas de desigualdades onde nenhum mínimo (ou máximo) é mencionado.

Conectores proposicionais e a teoria dos conjuntos do Continuum (CWI Quarterly (edição especial para SMC 50 Jubilee) 9 (1996) 25-30)

Esta palestra é um levantamento de dois tópicos de interesse recente na lógica matemática, a saber, a lógica linear e as características cardinais do continuum. Tentarei explicar o suficiente sobre cada um deles para poder apontar como estão conectados. Visto que as idéias subjacentes aos dois tópicos são bastante diferentes, considero surpreendente a existência de uma conexão.

Baer encontra Baire: aplicações de argumentos de categoria e teoria dos conjuntos descritivos para Z ^, em conjunto com John Irwin (Abelian Groups and Modules (ed. K. M. Rangaswamy e D. Arnold) Marcel Dekker 193-202)

Aplicamos o teorema da categoria de Baire e outros resultados clássicos da teoria descritiva dos conjuntos ao estudo da estrutura do grupo Z ^ de infinitas sequências de inteiros e alguns de seus subgrupos.

Baire Category for Monotone Sets (From Foundations to Applications (European Logic Colloquium 1993) (ed. W. Hodges, J. M. E. Hyland, C. Steinhorn e J. Truss) Oxford Univ. Press (1996) 59-69)

Estudamos a categoria de Baire para subconjuntos de 2 ^ ômega que são fechados para baixo em relação à ordem de quase inclusão (no conjunto de potência dos números naturais, identificados com 2 ^ ômega). Mostramos que ele se comporta melhor neste contexto do que para subconjuntos gerais de 2 ^ ômega. No contexto fechado para baixo, o ideal de conjuntos escassos é primo e b-completo (onde b é o número limite), enquanto o filtro complementar é g-completo (onde g é o cardinal de densidade de grupo). Também discutimos outras características cardinais desse ideal e desse filtro, e mostramos que resultados análogos para medida no lugar da categoria não são prováveis ​​em ZFC.

Perguntas e Respostas - Uma Categoria que Surge em Lógica Linear, Teoria da Complexidade e Teoria dos Conjuntos (Advances in Linear Logic (ed. J.-Y. Girard, Y. Lafont e L. Regnier) London Math. Soc. Lecture Notes 222 (1995) 61-81)

Uma categoria usada por de Paiva para modelar a lógica linear também ocorre na análise de Vojtas das características cardinais do continuum. Seus morfismos têm sido usados ​​para descrever reduções entre problemas de pesquisa na teoria da complexidade. Descrevemos essa categoria e como ela surge nesses vários contextos. Também mostramos como esses contextos sugerem certos novos conectivos multiplicativos para a lógica linear. Talvez o mais interessante deles seja uma composição sequencial sugerida pela aplicação da teoria dos conjuntos.

Características cardinais e o produto de muitos grupos cíclicos infinitos (J. Algebra 169 (1994) 512-540)

Estudamos, do ponto de vista da teoria dos conjuntos, os subgrupos do produto direto infinito Z ^ para o qual todos os homomorfismos a Z aniquilam todos, exceto finitamente muitos dos vetores unitários padrão. Especificamente, relacionamos o menor tamanho possível de tal subgrupo a várias das características cardinais padrão do continuum. Também estudamos algumas propriedades relacionadas e cardeais, ambos teóricos de grupos e teóricos de conjuntos. Uma das propriedades teóricas dos conjuntos e o cardinal associado são combinatorialmente naturais, independentemente de qualquer conexão com a álgebra.

Sobre as partes divisíveis de grupos quocientes (Teoria de Grupo Abeliana e Tópicos Relacionados (ed. R. Goebel, P. Hill e W. Liebert) Contemporary Math. 171 (1994) 37-50)

As técnicas da teoria combinatória dos conjuntos são aplicadas ao seguinte problema algébrico. Suponha que G seja um grupo abeliano tal que, para todos os subgrupos C contáveis, a parte divisível do quociente G / C seja contável. O que se pode concluir sobre o tamanho da parte divisível de G / K quando a cardinalidade do subgrupo K é um dado cardinal incontável?

Teoremas de partição para espaços de palavras variáveis, em conjunto com Vitaly Bergelson e Neil Hindman (Proc. London Math. Soc. (3) 68 (1994) 449-476)

Furstenberg e Katznelson aplicaram métodos de dinâmica topológica à teoria de Ramsey, obtendo uma versão de densidade do teorema de partição Hales-Jewett. Inspirados em seus métodos, mas usando espaços de ultrafiltros em vez de seus espaços métricos, provamos uma generalização de um teorema de Carlson sobre palavras variáveis. Estendemos este resultado a partições de sequências finitas ou infinitas de palavras variáveis ​​e aplicamos essas extensões para fortalecer um teorema de partição de Furstenberg e Katznelson sobre subespaços combinatórios do conjunto de palavras.

Ultrafiltros: Onde Dinâmica Topológica = Álgebra = Combinatória (Topologia Proc. 18 (1993) 33-56)

Pesquisamos algumas conexões entre dinâmica topológica, semigrupos de ultrafiltros e combinatória. Como aplicação, damos uma prova, com base nas ideias de Bergelson e Hindman, do teorema da partição Hales-Jewett.

Características cardinais simples do continuum (Teoria dos Conjuntos dos Reais (ed. H. Judah) Israel Math. Conf. Proc. 6 (1993) 63-90)

Classificamos muitas características cardinais do continuum de acordo com a complexidade, no sentido da teoria descritiva dos conjuntos, de suas definições. As características mais simples (negrito Sigma ^ 0_2 e, sob restrições adequadas, Pi ^ 0_2) mostram-se com propriedades agradáveis, relacionadas à categoria de Baire. Construímos modelos de teoria de conjuntos em que (irrestrito) as características Pi ^ 0_2 em negrito se comportam de forma bastante caótica e nenhuma nova característica aparece em níveis de complexidade mais altos. Também discutimos algumas características associadas aos teoremas de partição e apresentamos, em um apêndice, uma prova simplificada do teorema de Shelah de que o número dominante é menor ou igual ao número de independência.

Ultrafiltros relacionados ao teorema das uniões finitas de Hindman e suas extensões (Logic and Combinatorics (ed. S. Simpson) Contemp. Math. 65 (1987) 89-124)

Investigamos ultrafiltros, no conjunto de subconjuntos finitos dos números naturais, que são análogos aos ultrafiltros fortemente somaáveis ​​introduzidos por Hindman no mesmo volume. Em particular, estudamos sua relação com vários tipos de ultrafiltros especiais nos números naturais e com certos fortalecimentos do teorema das uniões finitas de Hindman devido a Milliken e Taylor. A investigação também leva a alguns novos fortalecimentos do teorema de Hindman. (Agradeço a Peter Krautzberger por preparar uma versão para download deste antigo artigo e dos próximos dois.)

A existência de bases implica o axioma da escolha (Teoria dos Conjuntos Axiomática (ed. J. E. Baumgartner, D. A. Martin e S. Shelah) Contemp. Math. 31 (1984) 31-34)

O axioma da escolha segue, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, da afirmação de que todo espaço vetorial tem uma base.

Há muito tempo, comecei a escrever um livro sobre ultrafiltros. O projeto nunca passou do Capítulo 1, e mesmo o Capítulo 1 existia apenas na forma manuscrita. Este capítulo contém informações básicas e gerais sobre ultrafiltros. Na esperança de que possa ser útil para algumas pessoas, fiz a varredura (o que tinha que ser feito manualmente, uma página por vez, então agradeço enfaticamente a Robin Welshans que fez a varredura), e estou disponibilizando-o aqui . Consiste em oito seções, como arquivos PDF separados.

Uma visão teórica do modelo de alguns ultrafiltros especiais (Logic Colloquium '77 (ed. A. Macintyre, L. Pacholski e J. Paris) North-Holland, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 96 (1978) 79-90)

As definições combinatórias de tipos especiais de ultrafiltros podem frequentemente ser formuladas de forma bastante ordenada em termos de ultrapotentes associados, e alguns dos lemas combinatórios usados ​​no estudo de tais ultrafiltros têm formulações mais simples e naturais como afirmações sobre ultrapotentes. O objetivo deste artigo é fazer um levantamento de várias dessas formulações e indicar como elas podem ser usadas para provar resultados combinatórios.


Prova supremum e ínfima envolvendo um conjunto e uma inclusão de conjunto em seu conjunto de potência

Seja $ A $ um conjunto e $ subseteq $ uma ordem parcial em $ mathcal

(A) $. Sejam $ C $ e $ D $ subconjuntos de A. Prove que o supremo (menor limite superior) de $ left $ é $ C vee D $ e o ínfimo (maior limite inferior ) é $ C wedge D $.

Primeiro, vamos provar que $ C vee D subseteq E $ onde $ E $ é o supremo de $ left $. Então $ C subseteq E $ e $ D subseteq E $. Portanto, se houver um elemento em $ C $ ou $ D $, então esse elemento também estará em $ E $. Portanto, $ C vee D subseteq E $. Agora devemos provar que $ E subseteq C vee D $. Seja $ x em E $. Então $ x em C vee D $ ou $ x notin C vee D $. Suponha $ x notin C vee D $. Então $ E - left subseteq E $ e $ C vee D subseteq E - left $. Então E não é supremo. Mas foi assumido que sim. Portanto, $ x em C vee D $. Portanto, $ C vee D = E $ e $ C vee D $ é o supremo.

Procedemos de maneira semelhante. Primeiro, vamos provar que $ F subseteq C wedge D $ onde $ F $ é o ínfimo de $ left $. Então $ F subseteq C $ e $ F subseteq D $. Portanto, cada elemento em $ F $ é também um elemento em $ C $ e $ D $. Então, $ F subseteq C wedge D $. Agora, devemos provar que $ C wedge D subseteq F $. Seja $ x em C wedge D $, então $ x em F $ ou $ x notin F $. Suponha $ x notin F $, então $ F subseteq F + left $ e $ F + left subseteq C wedge D $. Portanto, $ F $ não é o mínimo. Mas foi assumido que sim. Portanto, $ x em F $. Portanto, $ C wedge D = F $ e $ C wedge D $ é o ínfimo.

Verificação? Estou um pouco preocupado com a parte em que obtemos $ E - left $ e $ F + left $.


Por que queremos provas

Uma prova é um argumento lógico que estabelece, sem qualquer dúvida, que algo é verdadeiro. Como você vai construir esse argumento? E por que os matemáticos são tão loucos por provas?

Qual caminho ao redor?

Uma prova falha

Que Euclides de Alexandria, conhecido como o pai da geometria, surgiu com uma coleção de axiomas, afirmações que ele considerou claramente verdadeiras e não precisavam de mais justificativas (clique aqui para vê-las). Isso incluía (em uma forma ligeiramente diferente) a afirmação de que os ângulos internos de um triângulo somavam 180 graus. Qualquer outra afirmação sobre geometria, por exemplo o teorema de Pitágoras, deve ser deduzida desses axiomas por raciocínio dedutivo. O famoso livro de matemática de Euclides Os elementos baseou-se nesta abordagem. É um dos livros de maior sucesso da história - alguns dizem que teve mais edições do que a Bíblia.

Mas, claro, você ainda precisa ter muito cuidado com o raciocínio dedutivo, pois os erros podem facilmente escapar. Para ter certeza de que sua conclusão está certa, você precisa ter certeza de que suas suposições gerais estão corretas e que você as usou corretamente. Por exemplo, a prova na caixa à direita apenas faz uso de suposições básicas sobre como manipular equações, mas sua conclusão é que 1 = 2. Você consegue identificar a falha?

Precisamos de provas?

Por que os matemáticos insistem em provar tudo? Na vida normal, não somos tão pedantes. Se todas as evidências em um caso de assassinato apontam para um suspeito em particular, ficaremos felizes em condená-los e dizer que sua culpa foi provada "além de qualquer dúvida razoável". Mas então, nunca podemos ter certeza. Como qualquer condenado inocente lhe dirá, sempre há uma chance de eles não terem feito isso.

A matemática é talvez o único campo em que a certeza absoluta é possível, e é por isso que os matemáticos dão tanto valor às provas. Além disso, se não insistirmos em provas, podem surgir erros que não seriam facilmente detectados de outra forma. Um exemplo famoso vem dos triângulos mencionados acima. Um dos axiomas de Euclides equivale a dizer que a soma dos ângulos internos de todos os triângulos é 180 graus - ele achava que isso era tão óbvio que deveríamos simplesmente aceitar. Os matemáticos que vieram depois dele, no entanto, pensaram que poderiam fazer melhor. Eles tentaram derivar esse fato de outros axiomas de Euclides. Dessa forma, não temos apenas que acreditar, mas podemos considerá-lo como provado (assumindo que os outros axiomas estejam corretos).

Os matemáticos lutaram com essa prova por centenas de anos. Durante o século 19, tornou-se até um pouco obsessivo, tanto que o matemático Farkas Bolyai se sentiu obrigado a alertar seu filho János para ficar longe disso:

"Pelo amor de Deus, eu imploro, desista. Não tema menos do que as paixões sensuais e porque, também, pode tomar todo o seu tempo e privá-lo de sua saúde, paz de espírito e felicidade na vida."

Todos M.C. Trabalhos de Escher © 2002 Cordon Art - Baarn - Holanda (www.mcescher.com).

Mas János Bolyai perseverou e, junto com todos os outros, não conseguiu provar que os ângulos de um triângulo sempre somam 180 graus. A razão é que nem sempre é verdade. Só funciona se você desenhar o triângulo em um plano plano. Se você desenhá-lo em uma esfera, digamos uma laranja, os ângulos internos somam mais de 180 graus. Na tentativa de provar o resultado de 180 graus, matemáticos (incluindo Bolyai) tropeçaram em outra superfície muito estranha, chamada de plano hiperbólico, em que os ângulos em um triângulo somam menos de 180 graus.

O plano hiperbólico é difícil de visualizar, mas é semelhante a uma folha de couve que fica cada vez mais enrugada à medida que você se move em direção à borda (veja aqui para saber mais). Embora não encontremos essa superfície estranha na vida cotidiana, ela é muito importante. A teoria da relatividade especial de Einstein é formulada usando geometria hiperbólica. A partir da relatividade especial surgiu a teoria geral da relatividade, sem a qual os dispositivos satnav modernos e os telefones habilitados para GPS não funcionariam.

Precisamos de pessoas?

Os matemáticos muitas vezes se orgulham do fato de que tudo de que precisam para fazer seu trabalho é o cérebro, um lápis e papel. Mas nas últimas décadas isso começou a mudar: os computadores entraram na matemática e geraram muita controvérsia. A polêmica não se refere a fazer cálculos ímpares usando uma calculadora ou computador. Os matemáticos usam esses dispositivos para tornar sua vida mais fácil, assim como todo mundo. Trata-se de provas completas que dependem de computadores.

Isso pode acontecer de duas maneiras. Em provas assistidas por computador, um computador é usado para realizar um grande número de etapas que um único ser humano não poderia realizar em um período de tempo razoável. A lógica da prova em si ainda vem de um ser humano, mas se nenhuma pessoa pode verificar todos os cálculos que um computador realizou, você não pode estar 100% certo de que a prova não contém um erro, então alguns considerariam isso provas como inválidas. Veja aqui mais informações sobre provas assistidas por computador.

Nos últimos anos, os cientistas da computação também desenvolveram provadores automatizados de teoremas (ATPs) - programas de computador que podem derivar um resultado de algumas premissas básicas usando as regras da lógica e, assim, prová-lo. Até agora, os ATPs ainda precisam de muita informação humana para funcionar corretamente, mas é concebível que no futuro eles se tornem muito mais potentes. Se eles serão ou não capazes de substituir os humanos ainda está para ser visto, e é um assunto que é muito debatido. Ver O futuro da prova Para maiores informações.

Os limites da matemática

A matemática realmente cumpre a nobre afirmação de que cada afirmação que faz pode ser provada como verdadeira ou falsa, sem sombra de dúvida? Infelizmente, não inteiramente. No início do século XX, as pessoas que trabalhavam tinham que colocar toda a matemática, em vez de apenas subáreas como a geometria plana, em uma base rigorosa, garantindo que cada afirmação verdadeira pudesse ser derivada de alguns axiomas básicos. Não foi uma tarefa fácil. Uma tentativa famosa de Bertrand Russell e Alfred North Whitehead dificultou bastante a matemática: uma prova de que 1 + 1 = 2, com base em sua escolha de axiomas, abrangia algumas centenas de páginas. Seu sistema também continha uma falha. Eles não podiam mostrar que não continha nenhuma contradição.

Kurt Gödel desferiu um golpe fatal em seu sonho. Suponha que você tenha escolhido um conjunto de axiomas que você acha que deveria ser a base de toda a matemática. Esse conjunto de axiomas não seria bom se não permitisse que você definisse e tirasse conclusões sobre os números naturais e sua aritmética, então vamos supor que seu conjunto de axiomas seja forte o suficiente para fazer isso. Vamos supor também que, conforme você constrói toda a matemática a partir de seus axiomas, provando uma afirmação após a outra, você não encontra nenhuma contradição: o sistema que você pode construir com seus axiomas é livre de contradições. O que Gödel provou é que no sistema resultante sempre haverá afirmações matemáticas que você não pode provar serem verdadeiras ou falsas usando seus axiomas: sempre haverá declarações indecidíveis.

Este é um resultado bastante chocante: significa que não importa o conjunto de axiomas que você escolher, a matemática que você pode construir a partir dele sempre será incompleto. É por isso que os resultados de Gödel (na verdade eram dois separados) são chamados de teoremas de incompletude. Os matemáticos têm exemplos concretos de afirmações que não podem ser provadas usando os axiomas aceitos da matemática. Quando você se depara com uma afirmação tão indecidível, você essencialmente tem que decidir se acredita que é verdade ou não. (Para saber mais sobre os teoremas da incompletude, veja aqui.)

Infelizmente, porém, os resultados de Gödel não servem como desculpa para rasgar sua conta de impostos com o fundamento de que você não acredita nela. O tipo de matemática que as pessoas usam todos os dias, seja para calcular impostos ou construir aviões, é indiscutível. As afirmações indecidíveis que os matemáticos encontraram até agora (veja aqui alguns exemplos) não entram nessas áreas. Se um dia afirmações indecidíveis interferirem em nossas tecnologias e cálculos, os matemáticos terão que voltar à abordagem dos cientistas e basear suas opiniões sobre o que é verdadeiro ou falso em suas observações do que está acontecendo ao seu redor.


Nota técnica

Com um pouco de sorte, o próximo parágrafo deve ser irrelevante agora - eu atualizei as páginas de geometria dinâmica para usar o Geogebra 5 e o tubo do Geogebra.

Se você receber "Erro. ​​Clique para obter detalhes" onde a geometria dinâmica deve estar, pode valer a pena recarregar a página. Se isso não funcionar, provavelmente significa que o Geogebra alterou a localização de um arquivo crucial e eu não atualizei as páginas !!

Se você tiver problemas com as páginas, ou quiser entrar em contato, me avise.


Vários itens matemáticos

Atualizar: Também da Fundação Simons, há um perfil maravilhoso de meu colega de Columbia Andrei Okounkov, que tem sido muito ativo em reunir matemática e ideias da teoria quântica de campos.

16 respostas para Vários itens matemáticos

Eu gosto do riff de Scholze e # 8217 na banda de metal Liquid Tension Experiment, que foi formada em 1997

Deixe-me observar que a grande novidade na lista de seções do ICM é que existem duas novas seções de Matemática Aplicada para palestras convidadas:

17. Estatística e Análise de Dados, com 8-11 palestras (separadas de Probabilidade e Estatística, e com muito mais palestras do que estatísticas costumavam ser)

18. Modelagem Estocástica e Diferencial, com 4-6 palestras (uma seção completamente nova).

Muitas das outras seções tiveram seus alvos reduzidos em uma palestra para abrir espaço, embora eu ache que também estejam expandindo um pouco o número de palestras convidadas. Eu sabia que algo assim poderia acontecer (mas não pensei em verificar até que vi sua postagem no blog).

Aqui está uma pergunta de alguém cujo conhecimento da teoria quântica de campos é rudimentar. Alguém sabe como o novo trabalho sobre como tornar a teoria quântica de campos rigorosa discutido no artigo Quanta se encaixa com trabalhos anteriores nesta área, como teoria de campo axiomática a la Wightman, teoria quântica de campo algébrica a la Haag (mencionada brevemente), ou teoria de campo construtiva?

Eu concordo com a pergunta de Mark Hillery & # 8217s.

Também & # 8212 os comentários de Dijkgraaf & # 8217s no artigo do Quanta parecem um tanto tensos com sua palestra recente e com o artigo anterior? Se a matematização bem-sucedida do QFT nos levar a uma nova física fundamental, isso parece um projeto bem diferente do que apenas usar a física que temos para analisar coisas cada vez mais complicadas, creio eu.

Muito do novo trabalho discutido é baseado na teoria de perturbação, em princípio fornecendo uma nova estrutura matemática para a teoria de perturbação renormalizada em QFT, mais adaptada a coisas como trabalhar em variedades arbitrárias, não apenas espaço-tempo plano. Do ponto de vista dos matemáticos, o que sempre foi um objetivo é ter uma estrutura matematicamente bem definida para descrever os QFTs que os físicos usaram para obter novos resultados em topologia, ou seja, teorias de campo quântico topológico. Este novo trabalho até certo ponto fornece isso, mas até agora apenas para teorias perturbativas, enquanto os resultados mais dramáticos do TQFT usam informações não perturbativas.

Os tipos de abordagens que você menciona são motivados pelo desejo de ter uma teoria de campo quântica não perturbativa rigorosa. Os axiomas de Wightman usam crucialmente simetria de Poincaré e assinatura de Minkowski, enquanto o material de Costello é configurado para funcionar em variedades arbitrárias sem simetria de Poincaré e com assinatura euclidiana. Portanto, aqui não há muita sobreposição. Para a relação com AQFT, consulte
https://arxiv.org/abs/1711.06674
Os resultados lá são bastante limitados, este artigo é apenas sobre a teoria do campo livre.

Para QFT construtivo, mais uma vez, o objetivo é tentar construir algo fora da teoria da perturbação. O estado da arte sempre existiu QFT regularizado em rede, com o problema de como tirar o limite do contínuo. Infelizmente, não sei de muito trabalho ou progresso nisso recentemente.

S,
Em grande medida, os teóricos que estudam QFT desistiram de tentar entender mais sobre o QFT que descreve a física fundamental (porque o problema é muito difícil) e, em vez disso, trabalham em QFTs para os quais novas ideias podem dar alguns resultados, mas a relevância física desses QFTs é normalmente na física da matéria condensada.

Para a gravidade quântica, isso assume a forma de pessoas estudando principalmente modelos de brinquedos de baixa dimensão. Se isso vai nos dizer sobre a gravidade quântica 4d é bastante especulativo, mas muitas vezes eles têm relevância direta para assuntos muito diferentes, por exemplo, teoria da informação quântica ou problemas de matéria condensada (onde a dimensão baixa é relevante).

Isso pode fornecer algum contexto para reconciliar comentários de sons diferentes de Dijkgraaf & # 8217s.

As notas de palestras públicas de um curso de Sourav Chatterjee, baseado no livro QFT de Michel Talagrand & # 8217s estão em
https://statweb.stanford.edu/

Na prova matemática da fórmula & # 8220DOZZ & # 8221 (função de 3 pontos / coeficiente OPE) para a teoria de campo de Liouville 2D

Fiz uma postagem do MathOverflow em abril de 2020, onde, entre outras coisas, eu disse (sobre a prova de Mochizuki & # 8217s abc), & # 8220 acho que é razoável para os céticos da prova solicitarem que aqueles que afirmam entender a prova, e que desejam cultivar toda uma nova geração de matemáticos mais jovens para buscar IUT, para formalizar a prova em um assistente de prova. & # 8221

Tentei postar um comentário semelhante aqui no Not Even Wrong, mas não foi publicado, talvez porque Peter achou o comentário bobo. À luz de como o experimento de tensor líquido foi executado (o que não me surpreendeu em nada, exceto que eu esperava que levaria cerca de um ano, em vez de seis meses, para chegar a este ponto), talvez a sugestão não soe tão bobo mais.

no mínimo, tal movimento precisaria cortar todo o fragmento das definições e reduzir ao lema de interesse real, que é alguma declaração sobre ações monoidais (em oposição a uma declaração muito mais complicada sobre Frobenioides). E eu não me refiro ao Corolário 3.12, mas o ponto chave dentro que a prova reivindicada disso.
Isso é o que Scholze fez para o LTE, isolando a proposição técnica chave que realmente não envolve grupos abelianos condensados, e o quão longe a formalização realmente chegou.

O único problema é que se precisa de uma comunidade de pessoas grande e investida o suficiente (e com experiência em formalização) para dividir o trabalho e executá-lo. E uma pessoa que entende toda a prova estando disposta a dar conselhos técnicos precisos sobre o assunto, como a Scholze forneceu à equipe de formalização. Os próximos esclarecimentos para IUT até agora não foram, aos meus olhos, dessa natureza, mas mais como koans matemáticos.

Eu concordo com o que você diz. Talvez eu deva alterar a palavra & # 8220skeptics & # 8221 para & # 8220funding agency & # 8221 (se você clicar em MathOverflow, explicarei este ponto com mais detalhes). Do ponto de vista de uma agência de financiamento que acredita que Mochizuki está agindo de boa fé, Mochizuki deve ser capaz de desempenhar o papel que Scholze fez. E a agência de financiamento pode ajudar a montar a equipe de formalização, que imagino ser formada por alunos de graduação e pós-doutorandos que se dão bem com Mochizuki.

Timothy Chow,
Não me lembro, mas provavelmente não postei seu comentário sobre o abc porque a questão da formalização da prova do Mochizuki & # 8217s parecia irrelevante por dois motivos:

1. Pareceu-me altamente improvável que isso estivesse dentro do reino da possibilidade, mesmo se alguém pensasse na situação como envolvendo uma prova convencional, mas muito complexa, com o autor da prova se comportando de maneira convencional.

2. Ficar falando sobre assistentes de prova apenas obscurece o problema real: Mochizuki se recusa a se envolver com Stix e Scholze da maneira padrão que um matemático deve responder àqueles que contestam uma prova alegada. Em vez de fornecer mais detalhes e esclarecer os argumentos contestados, ele se recusou a adicionar significativamente qualquer coisa ao seu manuscrito original, emitindo, em vez disso, documentos que destruíram de forma convincente sua própria credibilidade. Além disso, parece que ninguém ao seu redor é capaz de fornecer tais detalhes e esclarecimentos.

Dado o sucesso do experimento do tensor líquido, concordo que meu julgamento sobre 1. foi falho. Mas eu ainda acho que 2. é o ponto relevante, e discutir assistentes de prova no contexto do problema com a prova de Mochizuki & # 8217s é uma pista falsa. O problema aqui não é o tipo de coisa com que Scholze estava lutando: um argumento tão complexo que os melhores matemáticos humanos podem deixar de perceber um problema sutil. Sim, um assistente de prova pode ser a resposta. Mas o problema aqui é humano de um tipo muito diferente.

Peter, eu concordo totalmente que 2 é o ponto relevante. Eu concordo totalmente com sua caracterização da situação sociológica e concordo totalmente que o problema é humano de um tipo muito diferente do Experimento do Tensor Líquido. Mas eu discordo que & # 8220 continuar sobre os assistentes de prova obscurece o problema real. & # 8221 Muito pelo contrário! O que quero dizer com relação aos assistentes de prova é que, supondo que sejam suficientemente fáceis de usar (ponto 1), eles são idealmente adequado para abordar o problema real (humano, sociológico).

Abstratamente, temos uma pequena Comunidade A que insiste na correção de uma determinada prova e uma Comunidade B muito maior que não está convencida. Por razões sociológicas, os mecanismos usuais para resolver divergências matemáticas foram quebrados. A Comunidade A insiste que forneceu todos os detalhes e que a Comunidade B está se comportando de maneira desrespeitosa e se recusando a reconhecer a verdade. A Comunidade B, é claro, diz o mesmo sobre a Comunidade A. O ponto é que a existência de assistentes de prova significa que a Comunidade B pode dizer com justiça à Comunidade A, & # 8220Você precisa explicar sua prova a um assistente de prova antes de nós & # 8217 fornecermos você mais dinheiro. & # 8221 Se as reivindicações da Comunidade A & # 8217s forem verdadeiras, então não deve haver razão para que a Comunidade A não possa formalizar a prova. O ponto-chave é que um assistente de prova, sendo uma máquina burra, não pode ser acusado de ser desrespeitoso ou não obedecer a alguns padrões humanos de decoro.

Se a Comunidade A estiver certa e produzir uma formalização, a prova formalizada deve convencer a Comunidade B. (I & # 8217m assumindo aqui que as duas comunidades podem pelo menos concordar com um assistente de prova em que ambas confiam, e que podem concordar com um declaração que é simples o suficiente para que não haja debate sobre se a declaração formalizada captura corretamente a reivindicação em disputa. Essas suposições são razoáveis ​​neste caso, eu acho.) Por outro lado, se a Comunidade A não apresentar uma prova formalizada fornecida a quantidade razoável de tempo e dinheiro, então será cada vez mais difícil para eles explicar o que está atrasando.

O assistente de prova permite que uma agência de financiamento retenha o financiamento sem ter que se envolver em um confronto potencialmente desagradável com a Comunidade A. Se desejar, a agência pode insistir que está totalmente do lado da Comunidade A e que a Comunidade B é um bando de idiotas malvados, sua caneta está pronta para assinar o cheque assim que a Comunidade A satisfizer esse pequeno requisito burocrático de produzir uma formalização. Crucialmente, a agência de financiamento requer muito pouco conhecimento técnico para desempenhar seu papel neste drama.

Timothy Chow,
Acho que sou apenas inerentemente cético sobre as afirmações de que a solução para os problemas humanos são os & # 8220computadores & # 8221. Um colega meu gosta de afirmar que matemática é a única disciplina acadêmica em que, quando duas pessoas discordam sobre algo, elas vão para uma sala para discutir o assunto e emergem com um deles dizendo & # 8220Eu estava errado & # 8221. Isso é um exagero, mas é um ideal importante para tentar e manter. O problema aqui é uma violação das normas da comunidade projetadas para sustentar esse ideal, e não acho que os computadores possam substituir esse ideal.

Parece que assistentes de prova podem ser muito úteis quando um argumento é tão complicado que ninguém tem certeza se está certo ou não. Este último é um sucesso desse tipo, outro exemplo seria o projeto Flyspeck no caso da conjectura Kepler. Os casos em que os especialistas discordam sobre se um argumento é certo devem ser resolvidos por mais discussão, até que um lado faça com que o outro veja onde errou. Se as pessoas não puderem fazer isso, elas não estarão em posição de iniciar o projeto muito mais difícil de fazer com que um computador resolva suas diferenças.

Não há nada mágico em o assistente de prova ser um computador que qualquer terceiro neutro competente faria. Afirmo que, desde tempos imemoriais, muitas disputas humanas de todos os tipos foram resolvidas pela intervenção de um mediador imparcial em que ambos os lados confiam. Certamente você não é inerentemente cético em relação a essa afirmação? A única coisa especial aqui é que o terceiro neutro passa a ser uma máquina e, portanto, indiscutivelmente imparcial.

Eu discuti este procedimento de resolução de disputas com uma variedade de pessoas com diferentes níveis de treinamento técnico, e quase todo mundo imediatamente o entende e fica intrigado por que a comunidade matemática não o segue (eu tenho que explicar que assistentes de prova são muito mais incômodos usar do que eles possam pensar). As poucas pessoas que se recusaram são matemáticas. Inicialmente, fiquei intrigado por que o princípio de que um mediador neutro pode ajudar na resolução de disputas & o princípio de mdasha, que é óbvio para quase todos no planeta & mdash, seria tão difícil para os matemáticos entenderem, mas acho que entendo o porquê. Relaciona-se com o ponto que você acabou de fazer, que os matemáticos foram estragados pela escassez de disputas sérias em nosso campo (quando se trata de correção matemática, pelo menos). Em todos os outros campos, as disputas custam um centavo a dúzia e, portanto, todos entendem intuitivamente quais métodos estão disponíveis para resolvê-las. Os matemáticos, por outro lado, conhecem apenas um método: conversar. Como isso quase sempre funciona, nunca nos preocupamos em pensar em um Plano B para os casos em que não & # 8217t trabalhos. Se falar sobre isso não funcionar, não temos ideia do que fazer.

Outro fator que contribui, eu acho, é que os matemáticos tendem a ser surpreendentemente lentos para entender o que os computadores podem fazer por eles. Quando a prova de Appel & ndashHaken & ndashKoch do teorema das quatro cores foi publicada, os matemáticos reagiram dizendo: & # 8220Isso é incrível! Que outras provas assistidas por computador podemos apresentar? & # 8221 Alguns podem ter, mas em geral, a reação inicial da maioria dos matemáticos foi ignorar o resultado ou reclamar do papel do computador. Uma dinâmica semelhante está acontecendo com os assistentes de prova. Por exemplo, na postagem do blog de Scholze & # 8217s, ele escreveu: & # 8220Inicialmente, imaginei que o primeiro passo seria que um grupo de pessoas estudasse toda a prova em detalhes e escrevesse uma versão fortemente digerida, dividida em muitos muitos pequenos lemas, e só depois iniciar a formalização de cada lema individual. & # 8221 Os especialistas em formalização sabem há muito tempo que os assistentes de prova progrediram muito além desse estágio, mas as notícias demoraram a penetrar na consciência geral, e acho que & # 8217s em parte porque a maioria dos matemáticos tem noções preconcebidas incorretas sobre os assistentes de prova que os fazem resistir a eles em vez de extrair deles tudo o que eles valem.

Você diz que invocar um assistente de prova para ajudar a resolver diferenças é um projeto & # 8220muito mais difícil & # 8221 do que resolvê-las por discussão. Isso é verdade em circunstâncias normais, mas continuar com esse fato obscurece o problema real, que é que o método convencional de discussão humana falhou neste caso. Concordo totalmente com você que uma discussão calma é a maneira como os desacordos deve ser resolvido, mas e se esse método falhar? Então a desigualdade se inverte. A discussão humana torna-se infinitamente difícil e apelar para um assistente de prova torna-se potencialmente mais fácil.

Observe que eu & # 8217m tão cético quanto você sobre a prova de Mochizuki & # 8217s. Não espero que apareça uma prova formalizada do abc, pela simples razão de que duvido que a & # 8220Community A & # 8221 realmente tenha uma prova. Mas isso não importa. O que importa é o condicional declaração que se houver uma prova, então ela deve ser formalizada em um assistente de prova. Agora você pode contrariar isso se houver uma prova, ela deve ser explicada à Comunidade B, e isso é verdade em circunstâncias normais, mas o que a Comunidade A dirá é que a Comunidade B está sendo teimosa e desrespeitosa. Novamente, o valor de um assistente de prova é que ele não pode ser acusado de ser desrespeitoso.

Um último ponto. Não afirmo que um assistente de prova resolverá completamente o colapso sociológico colocando a Comunidade A e a Comunidade B na mesma página. Se a Comunidade A não tiver realmente uma prova, a unificação das duas comunidades provavelmente não acontecerá. Mas o que o assistente de prova pode fazer nesse caso é deixar claro para o mundo inteiro que a Comunidade B está certa e a Comunidade A está sendo irracional. No momento, não está claro para muitas pessoas de fora qual comunidade está certa. Você e eu sabemos o absurdo dos Mochizuki & # 8217s afirmarem que Scholze é um idiota, mas é mais difícil para o resto do mundo (leia: agências de financiamento japonesas) ter certeza. Isso pode mudar com um procedimento de resolução de disputas que os leigos possam entender prontamente.


8: Provas que envolvem conjuntos - matemática

Nesta seção, temos a prova de várias das propriedades que vimos no Capítulo Integrais, bem como algumas do Capítulo de Aplicações de Integrais.

Prova de: ( int > = k int > ) onde (k ) é qualquer número.

Esta é uma prova muito simples. Suponha que (F left (x right) ) seja uma anti-derivada de (f left (x right) ), ou seja, (F ' left (x right) = f left (x right) ). Então, pelas propriedades básicas dos derivados, também temos isso,

e então (k , F left (x right) ) é uma anti-derivada de (k , f left (x right) ), ou seja, (< left ( right) ^ prime> = k , f left (x right) ). Em outras palavras,

Prova de: ( int > = int > pm int >)

Esta também é uma prova muito simples. Suponha que (F left (x right) ) é uma anti-derivada de (f left (x right) ) e que (G left (x right) ) ) é uma anti-derivada de (g left (x right) ). Portanto, temos que (F ' left (x right) = f left (x right) ) e (G' left (x right) = g left (x right) ). Propriedades básicas de derivados também nos dizem que

[< left ( right) ^ prime> = , F ' left (x right) pm G' left (x right) = f left (x right) pm g left (x right) ]

e assim (, F left (x right) + G left (x right) ) é uma anti-derivada de (, f left (x right) + g left (x direita) ) e (, F left (x right) - G left (x right) ) é uma anti-derivada de (, f left (x right) - g left (x direita) ). Em outras palavras,

Prova de: ( int _ > ^ > > = - int _ > ^ > >)

A partir da definição da integral definida, temos,

Prova de: ( int _ > ^ > > = 0)

A partir da definição da integral definida, temos,

Prova de: ( int _ > ^ > > = c int _ > ^ > >)

A partir da definição da integral definida, temos,

Lembre-se de que podemos extrair constantes das somas e dos limites.

Prova de: ( int _ > ^ > > = int _ > ^ > > pm int _ > ^ > >)

Primeiro, vamos provar a fórmula para “+”. A partir da definição da integral definida, temos,

Para provar a fórmula para “-” podemos refazer o trabalho acima com um sinal de menos em vez de um sinal de mais ou podemos usar o fato de que agora sabemos que isso é verdade com um sinal de mais e usando as propriedades provadas acima como segue.

Prova de: ( int _ > ^ > > = c left ( right) ), (c ) é qualquer número.

Se definirmos (f left (x right) = c ), então, a partir da definição da integral definida, temos,

Prova de: If (f left (x right) ge 0 ) para (a le x le b ) então ( int _ > ^ > > ge 0 ).

A partir da definição da integral definida, temos,

Agora, por suposição (f left (x right) ge 0 ) e também temos ( Delta x & gt 0 ) e, portanto, sabemos que

Então, a partir das propriedades básicas dos limites, temos,

Mas o lado esquerdo é exatamente a definição da integral e então temos,

Prova de: If (f left (x right) ge g left (x right) ) para (a le x le b ) então ( int _ > ^ > > ge int _ > ^ > >).

Como temos (f left (x right) ge g left (x right) ), então sabemos que (f left (x right) - g left (x right) ge 0 ) em (a le x le b ) e, portanto, pela Propriedade 8 provada acima, sabemos que,

Também sabemos pela Propriedade 4 que,

Prova de: Se (m le f left (x right) le M ) para (a le x le b ) então (m left ( direita) le int _ > ^ > > le M left ( direito)).

Dado (m le f left (x right) le M ), podemos usar a Propriedade 9 em cada desigualdade para escrever,

Então, pela Propriedade 7 na integral esquerda e direita para obter,

Prova de: ( left | > ^ > >> certo | le int _ > ^ > right | dx >> )

Primeiro, vamos notar que podemos dizer o seguinte sobre a função e o valor absoluto,

Se usarmos agora a Propriedade 9 em cada desigualdade que obtemos,

Sabemos que podemos fatorar o sinal negativo da integral esquerda para obter,

Finalmente, lembre-se que se ( left | p right | le b ) then (- b le p le b ) e, claro, isso funciona ao contrário também, então devemos ter,

Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I

Se (f left (x right) ) for contínuo em ( left [ certo então,

é contínuo em ( left [ direita] ) e é diferenciável em ( esquerda ( right) ) e isso,

[g ' left (x right) = f left (x right) ]

Prova

Suponha que (x ) e (x + h ) estejam em ( left ( direito)). Então temos,

Agora, usando a Propriedade 5 das Propriedades Integrais, podemos reescrever a primeira integral e, em seguida, fazer uma pequena simplificação como segue.

Finalmente, assuma que (h ne 0 ) e obtemos,

Vamos agora assumir que (h & gt 0 ) e uma vez que ainda estamos assumindo que (x + h ) estão em ( left ( right) ) sabemos que (f left (x right) ) é contínuo em ( left [ right] ) e então pelo Teorema do Valor Extremo sabemos que existem números (c ) e (d ) em ( left [ right] ) de modo que (f left (c right) = m ) é o mínimo absoluto de (f left (x right) ) em ( left [ right] ) e que (f left (d right) = M ) é o máximo absoluto de (f left (x right) ) em ( left [ direito]).

Então, pela propriedade 10 das propriedades integrais, sabemos que temos,

Agora divida ambos os lados por h para obter,

e então use ( eqref) para obter,

[começarf left (c right) le frac < right) - g left (x right) >> le f left (d right) label fim]

Em seguida, se (h & lt 0 ) podemos passar pelo mesmo argumento acima, exceto que estaremos trabalhando em ( left [ right] ) para chegar exatamente à mesma desigualdade acima. Em outras palavras, ( eqref) é verdadeiro, desde que (h ne 0 ).

Agora, se tomarmos (h to 0 ), também temos (c to x ) e (d to x ) porque ambos (c ) e (d ) estão entre ( x ) e (x + h ). Isso significa que temos os dois limites a seguir.

[ mathop < lim> limits_ f left (c right) = mathop < lim> limits_ f left (c right) = f left (x right) hspace <0.25in> hspace <0.25in> hspace <0.25in> mathop < lim> limits_ f left (d right) = mathop < lim> limits_ f left (d right) = f left (x right) ]

mas o lado esquerdo disso é exatamente a definição da derivada de (g left (x right) ) e assim obtemos isso,

[g ' left (x right) = f left (x right) ]

Então, mostramos que (g left (x right) ) é diferenciável em ( left ( direito)).

Agora, o Teorema no final da seção Definição da Derivada nos diz que (g left (x right) ) também é contínuo em ( left ( direito)). Finalmente, se pegarmos (x = a ) ou (x = b ), podemos passar por um argumento semelhante que usamos para obter ( eqref) usando limites unilaterais para obter o mesmo resultado e, portanto, o teorema no final da seção Definição da Derivada também nos dirá que (g left (x right) ) é contínuo em (x = a ) ou (x = b ) e, portanto, (g left (x right) ) também é contínuo em ( left [ direito]).

Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II

Suponha que (f left (x right) ) seja uma função contínua em ( left [ right] ) e também suponha que (F left (x right) ) seja qualquer anti-derivada para (f left (x right) ). Então,

Prova

Primeiro deixe (g left (x right) = int _ << , a >> ^ << , x >> <> ) e então sabemos da Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo que (g ' left (x right) = f left (x right) ) e então (g left (x right) ) ) é uma anti-derivada de (f left (x right) ) em ( left [ direito]). Além disso, suponha que (F left (x right) ) seja qualquer anti-derivado de (f left (x right) ) em ( left [ right] ) que queremos escolher. Então, isso significa que devemos ter,

[g ' left (x right) = F' left (x right) ]

Então, pelo Fato 2 na seção Teorema do Valor Médio, sabemos que (g left (x right) ) e (F left (x right) ) podem diferir por não mais do que uma constante aditiva em (deixou( direito)). Em outras palavras, para (a & lt x & lt b ) temos,

[F left (x right) = g left (x right) + c ]

Agora porque (g left (x right) ) e (F left (x right) ) são contínuos em ( left [ right] ), se tomarmos o limite disso como (x to ) e (x to ) podemos ver que isso também é válido se (x = a ) e (x = b ).

Assim, para (a le x le b ) sabemos que (F esquerda (x direita) = g esquerda (x direita) + c ). Vamos usar isso e a definição de (g left (x right) ) para fazer o seguinte.

Observe que na última etapa usamos o fato de que a variável usada na integral não importa e, portanto, poderíamos mudar os (t ) 's para (x )' s.

Valor Médio da Função

O valor médio de uma função (f left (x right) ) no intervalo ( left [ right] ) é dado por,

Prova

Sabemos que o valor médio de (n ) números é simplesmente a soma de todos os números divididos por (n ), então vamos começar com isso. Vamos dar um intervalo ( left [ right] ) e dividi-lo em (n ) subintervalos de comprimento,

Agora, a partir de cada um desses intervalos, escolha os pontos (x_1 ^ *, x_2 ^ *, ldots, x_n ^ * ) e observe que realmente não importa como escolhemos cada um desses números, contanto que eles venham do intervalo apropriado. Podemos então calcular a média dos valores da função (f left ( direita), f esquerda ( right), ldots, f left ( right) ) por computação,

Agora, de nossa definição de ( Delta x ), podemos obter a seguinte fórmula para (n ).

e podemos conectar isso em ( eqref) para obter,

Vamos agora aumentar (n ). Isso significa que estamos tirando a média de mais e mais valores de função no intervalo e, portanto, quanto maior escolhermos (n ), melhor se aproximará do valor médio da função.

Se tomarmos o limite quando (n ) vai para o infinito, devemos obter o valor médio da função. Ou,

Podemos fatorar o ( frac <1> <> ) fora do limite como fizemos e agora o limite da soma deve parecer familiar, pois essa é a definição da integral definida. Então, colocando uma integral definida, obtemos a fórmula que buscávamos.

O Teorema do Valor Médio para Integrais

Se (f left (x right) ) é uma função contínua em ( left [ direita] ) então há um número (c ) em ( esquerda [ right] ) de modo que,

Prova

Vamos começar definindo,

Uma vez que (f left (x right) ) é contínuo, sabemos a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I que (F left (x right) ) é contínuo em ( left [ direita] ), diferenciável em ( esquerda ( direita) ) e que (F ' esquerda (x direita) = f esquerda (x direita) ).

Agora, a partir do Teorema do Valor Médio, sabemos que existe um número (c ) tal que (a & lt c & lt b ) e que,

[F left (b right) - F left (a right) = F ' left (c right) left ( direito)]

No entanto, sabemos que (F ' left (c right) = f left (c right) ) e,

O trabalho feito pela força (F left (x right) ) (assumindo que (F left (x right) ) é contínuo) ao longo do intervalo (a le x le b ) é,

Prova

Vamos começar dividindo o intervalo (a le x le b ) em (n ) subintervalos de largura ( Delta x ) e de cada um desses intervalos escolher os pontos (x_1 ^ *, x_2 ^ *, ldots, x_n ^ * ).

Agora, se (n ) é grande e porque (F left (x right) ) é contínuo, podemos assumir que (F left (x right) ) não variará muito em cada intervalo e assim no intervalo (i ) th podemos assumir que a força é aproximadamente constante com um valor de (F left (x right) approx F left ( direito)). O trabalho em cada intervalo é então de aproximadamente,

O trabalho total sobre (a le x le b ) é então aproximadamente,

Finalmente, se tomarmos o limite disso, pois (n ) vai para o infinito, faremos o trabalho exato. Então,

Isso, no entanto, nada mais é do que a definição da integral definida e, portanto, o trabalho feito pela força (F left (x right) ) sobre (a le x le b ) é,


8: Provas que envolvem conjuntos - matemática

Começamos com duas perguntas de aquecimento. Primeiro, por que a matemática é parte integrante do currículo K-12? As respostas são óbvias e comuns: ensinar habilidades básicas para ajudar as crianças a aprenderem a pensar logicamente para preparar os alunos para a vida produtiva e para o trabalho e para desenvolver cidadãos alfabetizados quantitativamente.

Segundo, e mais problemático: como o raciocínio matemático promove esses objetivos? Isso não é de todo evidente, uma vez que depende muito da interpretação do "raciocínio matemático". Às vezes, essa frase denota a metodologia distintamente matemática de raciocínio axiomático, dedução lógica e inferência formal. Outras vezes, sinaliza uma arte quantitativa e geométrica muito mais ampla que combina análise e intuição com raciocínio e inferência, tanto rigorosa quanto sugestiva. Essa ambigüidade confunde qualquer análise e deixa espaço para muitas perguntas.

1. O raciocínio matemático é matemático?

Epistemologicamente, o raciocínio é a base da matemática. Como a ciência verifica por meio da observação, a matemática depende da lógica. A descrição da matemática como a "ciência de tirar as conclusões necessárias" feita há mais de um século pelo filósofo C. S. Peirce ainda ressoa entre os matemáticos de hoje. Por exemplo, um relatório contemporâneo de matemáticos sobre matemática escolar afirma que "a essência da matemática está nas provas" [Ross, 1997].

No entanto, a matemática hoje abrange uma vasta paisagem de métodos, procedimentos e práticas em que o raciocínio é apenas uma entre muitas ferramentas [por exemplo, Mandelbrot, 1994 Thurston, 1994 Denning, 1997]. A computação e a computação gráfica abriram novas fronteiras, tanto da teoria quanto da aplicação, que não poderiam ter sido exploradas por gerações anteriores de matemáticos. Essa fronteira revelou descobertas matemáticas surpreendentes, por exemplo, que fenômenos determinísticos podem exibir um comportamento aleatório de que a repetição pode ser a fonte do caos, bem como da precisão, e que a incerteza não é totalmente aleatória, uma vez que a regularidade sempre emerge [Steen, 1990].

Foram necessários métodos matemáticos inovadores para alcançar esses insights - métodos que não estavam vinculados exclusivamente à inferência formal. Isso significa que o raciocínio matemático agora inclui o tipo de instinto exibido por um bom engenheiro que encontra soluções que funcionam sem se preocupar com provas formais? Inclui os tipos de inferências de dados "ruidosos" que definem a prática moderna da estatística? O raciocínio matemático deve ser simbólico ou dedutivo? Deve empregar números e álgebra? E quanto às inferências visuais, indutivas e heurísticas? E quanto às novas arenas da matemática experimental e da resolução de problemas assistida por computador? O que, de fato, é distintamente matemático no raciocínio matemático?

2. O raciocínio matemático é útil?

Para a maioria dos problemas encontrados em livros de matemática, o raciocínio matemático é bastante útil. Mas com que frequência as pessoas encontram problemas de livros didáticos na vida real? No trabalho ou na vida diária, outros fatores, além do raciocínio estrito, costumam ser mais importantes. Às vezes, a intuição e o instinto fornecem melhores guias; às vezes, as simulações de computador são mais convenientes ou mais confiáveis; às vezes, as regras práticas ou estimativas imprecisas são tudo o que é necessário.

Em circunstâncias normais, as pessoas empregam a matemática de duas maneiras bastante diferentes: aplicando fórmulas ou procedimentos conhecidos para resolver problemas padrão ou enfrentando problemas complexos por meio de estratégias matemáticas típicas (por exemplo, traduzir para outro ambiente procurando padrões de raciocínio por analogia generalizando e simplificando a exploração casos específicos abstraídos para remover detalhes irrelevantes). Raramente se envolvem em deduções rigorosas, características da matemática formal. No trabalho e em casa, cálculos sofisticados de várias etapas baseados em matemática baseada em medições concretas são muito mais comuns do que cadeias de raciocínio lógico que levam a provas matemáticas [Forman & amp Steen, 1995]. Não é a metodologia de dedução formal que torna a matemática útil para o trabalho comum, tanto quanto os hábitos matemáticos de resolução de problemas e as habilidades matemáticas de cálculo [Packer, 1997].

As pessoas podem fazer matemática sem raciocinar? Muitos certamente estão usando métodos de rotina arraigados como hábito. As pessoas podem raciocinar sem usar matemática? Obviamente que sim, mesmo sobre situações (por exemplo, jogos de azar, investimentos) que os matemáticos veriam como intrinsecamente matemáticas. Essas poucas pessoas que empregam matemática avançada necessariamente se engajam em algumas formas de raciocínio matemático, embora mesmo para elas o papel desempenhado pelo raciocínio possa ser inconsciente ou subordinado a outros meios de investigação e análise. Mas quanto raciocínio matemático é realmente necessário para os tipos de matemática que as pessoas fazem em suas vidas e trabalham? A prática matemática comum realmente requer muito raciocínio matemático?

3. O raciocínio matemático é um objetivo apropriado da matemática escolar?

Os professores de matemática freqüentemente afirmam que todos os tipos de pensamento crítico e solução de problemas são realmente exemplos de raciocínio matemático. Mas os empregadores têm uma visão diferente, enraizada em um paradoxo: graduados em matemática ou ciência da computação geralmente têm menos sucesso do que outros graduados na resolução de problemas que surgem em ambientes reais de trabalho. Freqüentemente, os alunos treinados em matemática tendem a buscar soluções precisas ou rigorosas, independentemente de o contexto justificar tal abordagem. Para os empregadores, essa abordagem distintamente "matemática" frequentemente não é o meio preferido de resolver a maioria dos problemas que surgem em contextos autênticos. O pensamento crítico e a resolução de problemas sobre os tipos de problemas que surgem em situações reais de trabalho são frequentemente mais bem aprendidos em outras disciplinas ou em contextos integrativos [Brown, 1995].

Os objetivos da matemática escolar parecem mudar a cada década, de "compreensão conceitual" na nova matemática dos anos 60 para "habilidades básicas" nos anos 70 de volta ao básico, de "resolução de problemas" na pragmática década de 80 para "poder matemático" em os anos 90 inspirados em padrões. O "raciocínio matemático" será o próximo? Não é provável. Em seu significado estrito (dedutivo), o raciocínio matemático dificilmente é suficiente para apoiar os objetivos públicos da matemática escolar. Todo mundo precisa da prática da matemática. Mas quem realmente precisa entender a matemática? Quem realmente precisa de raciocínio matemático? Pode-se argumentar que todo graduado do ensino médio precisa ser capaz de pensar matematicamente em vez de apenas ter um desempenho matemático?

4. Os professores podem ensinar raciocínio matemático?

O Terceiro Estudo Internacional de Matemática e Ciências (TIMSS) documentou que os professores de matemática dos EUA se concentram em ensinar os alunos a fazer matemática e não em entender o que fazem [NCES, 1996]. Existem muitas razões para isso, incluindo a autoimagem dos professores da matemática como um conjunto de habilidades, a exigência dos pais de que as crianças dominem o básico antes de avançar para tarefas de ordem superior e o ambiente restritivo dos testes exigidos pelo estado que enfatizam os cálculos de rotina.

Muitos acreditam que a reforma curricular baseada no raciocínio matemático nunca terá sucesso, uma vez que há muito poucos professores preparados para fazer justiça a tal objetivo. Mesmo que professores dispostos e capazes possam ser encontrados (ou educados), o público permitirá que eles ensinem raciocínio matemático na escola? O medo da "matemática difusa" [Cheney, 1997] pode restringir até mesmo os professores que desejam enfatizar a compreensão?

5. O raciocínio matemático pode ser ensinado?

Assim como não sabemos realmente o que é o raciocínio matemático, também não sabemos muito sobre como ele se desenvolve. A pesquisa apóia algumas conclusões gerais. Primeiro, os alunos bem-sucedidos são matematicamente ativos [Anderson, Reder e Simon, 1996]. As estratégias passivas (memorização, exercício, modelos) têm muito menos probabilidade do que as tarefas ativas (discussão, projetos, trabalho em equipe) de produzir habilidades duradouras ou compreensão profunda. Em segundo lugar, os alunos de matemática bem-sucedidos são mais propensos a se envolver em atividades reflexivas (ou "metacognitivas") [Resnick, 1987]. Os alunos que pensam sobre o que estão fazendo e por que estão fazendo isso têm mais sucesso do que aqueles que apenas seguem as regras que lhes foram ensinadas.

Também sabemos que os alunos são diferentes: nenhuma estratégia funciona para todos os alunos, nem mesmo para o mesmo aluno em todas as circunstâncias. A teoria das inteligências múltiplas de Howard Gardner [Gardner, 1983, 1995] apóia a prática de professores experientes que criam vários meios para os alunos abordarem diferentes tópicos. Diversas experiências fornecem contextos implícitos nos quais o raciocínio matemático pode emergir. Mas podemos ter certeza de que ela acabará por surgir? Alguns alunos, ou alguns tipos de raciocínio, podem exigir instrução explícita? Existem alguns tipos de raciocínio matemático que só podem ser desenvolvidos por meio da construção e reflexão do aluno? Se alguns tipos de raciocínio matemático não podem ser ensinados explicitamente, é apropriado exigi-lo de todos os graduados do ensino médio?

6. As habilidades levam à compreensão?

Embora o desempenho matemático geralmente envolva uma mistura de habilidades, conhecimentos, procedimentos, compreensão, raciocínio e aplicação, o mantra público para melhorar a educação matemática concentra-se em habilidades, conhecimento e desempenho - o que os alunos "sabem e são capazes de fazer". A essa agenda pública os educadores matemáticos consistentemente acrescentam raciocínio e compreensão - por que e como a matemática funciona dessa forma.

Professores experientes sabem que conhecimento e desempenho não são indicadores confiáveis ​​de raciocínio ou compreensão. A compreensão profunda deve estar bem conectada. Em contraste, a compreensão superficial é inerte, útil principalmente em contextos cuidadosamente prescritos, como aqueles encontrados em salas de aula de matemática típicas [Glaser, 1992]. Pessoas com compreensão bem conectada atribuem importância a padrões diferentes e são mais capazes de se engajar no raciocínio matemático. Além disso, alunos com diferentes níveis de habilidades podem ser igualmente capazes de lidar com tarefas que requerem raciocínio matemático mais sofisticado [Cai, 1996].

No entanto, o público valoriza (e, portanto, exige) a educação matemática não tanto pelo seu poder de aprimorar o raciocínio, mas pelas habilidades quantitativas que são tão necessárias no mundo de hoje. Não é que os adultos desvalorizem a compreensão, mas que eles esperam primeiro as habilidades básicas [Wadsworth, 1997]. Eles acreditam em uma ordem natural de aprendizagem - primeiro as habilidades, depois o raciocínio de ordem superior. Mas as habilidades conduzem naturalmente ao entendimento? Ou é o contrário - que a compreensão ajuda a proteger as habilidades? A proficiência com fatos e procedimentos matemáticos aumenta necessariamente o raciocínio matemático? Por outro lado, o raciocínio matemático pode se desenvolver em alguns alunos, mesmo que eles não tenham uma compreensão firme dos fatos e das habilidades básicas? A relação das habilidades com o raciocínio poderia ser semelhante à da ortografia com a escrita - em que a proficiência em uma não está relacionada com a proficiência na outra?

7. O exercício pode ajudar a desenvolver o raciocínio matemático?

Os críticos da prática educacional atual acusam métodos de "treinar e matar" para dois crimes contra a matemática: desinteresse e ansiedade. Ambos fazem com que muitos alunos evitem o assunto assim que têm uma escolha. No entanto, apesar dos esforços sérios para focar a matemática no raciocínio, um em cada dois alunos pensa que aprender matemática é principalmente memorização [Kenney & amp Silver, 1997].

E eles podem ter razão. A pesquisa mostra de forma bastante convincente que a competência real vem apenas com uma prática extensiva [Bjork & amp Druckman, 1994]. No entanto, a prática certamente não é suficiente para garantir a compreensão. Tanto a evidência da pesquisa quanto a sabedoria da experiência sugerem que os alunos que podem recorrer a fatos matemáticos recordados e deduzidos fazem mais progresso do que aqueles que confiam em um sem o outro [Askew & amp Dylan, 1995].

No entanto, as crianças que podem recitar fatos de multiplicação podem ainda não entender por que as respostas são como são ou reconhecer quando a multiplicação é uma operação apropriada, muito menos entender como as proporções se relacionam com a multiplicação.Alunos do ensino médio que memorizam provas em um curso de geometria tradicional podem mostrar boa memória de teoremas-chave, mas são totalmente incapazes de ver como as idéias dessas provas podem ser usadas em outros contextos. Existe, de fato, alguma evidência real de que a recordação praticada leva ao raciocínio e à compreensão?

8. A prova é essencial para a matemática?

Apesar do domínio da prova como metodologia dos cursos de matemática avançada, os avanços contemporâneos na matemática aplicada, auxiliada por computador e assim chamada "experimental" restauraram à prática matemática muito do espírito livre de eras anteriores. Na verdade, essas inovações recentes levaram alguns a proclamar a "morte" da prova - que, embora a prova ainda seja útil em alguns contextos, pode não ser mais a condição sine qua non da verdade matemática [Horgan, 1993]. Embora essa afirmação seja calorosamente contestada por muitos matemáticos importantes, ela ressoa com diversas preocupações pedagógicas sobre a adequação (ou eficácia) da prova como uma ferramenta para aprender matemática. A incerteza sobre o papel da prova na matemática escolar levou o NCTM em seus Padrões [NCTM, 1989] a recorrer a eufemismoshem "justificar", "validar", "testar conjecturas", "seguir argumentos lógicos". Raramente os Padrões usam o termo cristalino "prova".

Na verdade, a maioria das pessoas entende "prova" de uma forma pragmática, em vez de filosófica: forneça evidências suficientes para serem convincentes. Para muitas pessoas, a prova equivale ao teste legal civil da "preponderância da evidência", outros exigem o padrão mais estrito de "além da dúvida razoável". Nos usos rotineiros da matemática, o que funciona tem precedência sobre o que pode ser provado. Então, quanta compreensão da prova formal é necessária para a prática rotineira da matemática? Provavelmente não muito. Mas quanto é necessário para um estudo avançado de matemática? Sem dúvida, muito.

9. As provas de aprendizagem aumentam o raciocínio matemático?

Nada separa os matemáticos pesquisadores e educadores matemáticos uns dos outros como os debates sobre o papel da prova na matemática escolar. A prova é fundamental para o raciocínio matemático, embora haja muito pouco acordo sobre como, quando, por que ou a quem ensiná-la. Sua adequação para a matemática escolar sempre foi questionável, tanto no campo da pedagogia quanto na relevância.

O vocabulário da verdade matemática, rigor e certeza não é um habitat natural para a maioria dos alunos, seu mundo é mais empírico, dependendo de modelagem, interpretação, aplicações. Apenas alguns poucos alunos no ensino médio compreendem a prova como os matemáticos - como uma dedução logicamente rigorosa de conclusões a partir de hipóteses [Dreyfus, 1990]. Os alunos geralmente têm muito pouca compreensão do que "prova" significa em matemática, nem muita apreciação de sua importância [Schoenfeld, 1994]. Poderia a introdução precoce de provas realmente fazer mais para impedir do que melhorar o desenvolvimento do raciocínio matemático?

Embora os matemáticos frequentemente defendam a inclusão de provas nos currículos escolares para que os alunos possam aprender a natureza lógica da matemática [Ross, 1997], a contribuição potencial mais significativa da prova na educação matemática pode ser seu papel na comunicação da compreensão matemática [Hanna & amp Jahnke, 1996]. A questão importante sobre a prova pode não ser se ela é crucial para entender a natureza da matemática como uma ciência lógica dedutiva, mas se ela ajuda alunos e professores a se comunicarem matematicamente. Será, talvez, a prova na sala de aula mais apropriada como meio do que como fim?

10. A "ansiedade matemática" impede o raciocínio matemático?

A matemática é talvez a única entre as disciplinas escolares por ser uma das principais causas de ansiedade. Muitos estudantes acreditam profundamente que não sabem fazer matemática e, portanto, aprendem a evitá-la, alguns ficam tão paralisados ​​com a perspectiva que exibem evidências fisiológicas de ansiedade aguda [Buxton, 1991 Tobias, 1993]. Pode parecer óbvio que qualquer pessoa que sofra, mesmo que ligeiramente de "ansiedade matemática", não se envolveria em muito raciocínio matemático. Mas não é esse o caso. Muitos alunos (e adultos) que temem matemática são, na verdade, perfeitamente capazes de pensar matematicamente, e o fazem com bastante frequência - principalmente em suas tentativas de evitar a matemática! O que eles realmente temem não é a matemática em si, mas a matemática escolar [Cockcroft, 1982].

Tanto a pesquisa quanto o bom senso dizem que a ansiedade é reduzida quando os indivíduos podem controlar as incertezas [Bjork & amp Druckman, 1994]. Quando as porcentagens e proporções aparecem como enigmas impossíveis, o pânico se instala. Mas quando o raciocínio autoconstruído - sob o controle do indivíduo - assume o controle, muitos raciocínios matemáticos válidos podem surgir, muitas vezes de uma forma não ensinada na escola. Como as escolas podem respeitar a abordagem única de cada aluno em relação ao raciocínio matemático e, ao mesmo tempo, ensinar o que a sociedade espera (e examina)? A redução do pânico resultaria em um raciocínio aprimorado? Este é um caso em que menos pode ser mais - onde a instrução reduzida pode resultar em uma compreensão mais profunda?

11. As atividades cooperativas aumentam a compreensão individual?

Os argumentos para a aprendizagem cooperativa e o trabalho em equipe vêm de duas fontes bastante diferentes: primeiro, daqueles (principalmente no mundo da educação) que veem essas atividades como estratégias eficazes para aprender o raciocínio matemático e, segundo, daqueles (principalmente no mundo dos negócios) que veem o cooperativismo atividades como essenciais para funcionários produtivos [SCANS, 1991]. Os defensores imaginam as aulas de matemática como comunidades onde os alunos se envolvem em práticas matemáticas colaborativas entre si e com seus professores [Silver, Kilpatrick & amp Schlesinger, 1990]. Nessas aulas, os alunos se engajavam regularmente em formas autênticas de prática matemática, inventando estratégias, discutindo sobre abordagens e justificando seu trabalho.

Os pais muitas vezes se opõem à justificativa dos educadores para o trabalho em equipe, uma vez que veem a matemática como uma disciplina ideal na qual as realizações individuais podem ser objetivamente medidas e recompensadas. Eles se preocupam tanto com o fato de que as crianças que estão acima da média serão retidas por alunos mais lentos quanto com o fato de que aquelas que estão atrasadas serão instruídas não por professores, mas por outras crianças. Ironicamente, apesar de sua desconfiança no trabalho em equipe em disciplinas como matemática, a maioria dos pais e alunos admira o trabalho em equipe em organizações esportivas e musicais. (Claro, nos esportes e na música - assim como no local de trabalho - o sucesso não atinge os indivíduos, mas a equipe como um todo.) Apesar dessas objeções, há evidências consideráveis ​​de que a aprendizagem cooperativa é eficaz, especialmente para crianças [Bjork & amp Druckman, 1994]. Para alunos do ensino médio e adultos, no entanto, as evidências são mais confusas. Os alunos mais velhos trazem para grupos cooperativos motivações individuais mais fortes, experiências complexas em interações sociais e, muitas vezes, alguma atitude defensiva ou constrangimento em relação ao aprendizado.

Os empregadores valorizam o trabalho em equipe porque ele produz resultados que nenhum indivíduo poderia realizar sozinho. Mas pode o trabalho em equipe na sala de aula também produzir raciocínio em um nível mais alto do que poderia ser realizado por qualquer membro individual de uma equipe? Como resultado, os membros individuais de uma equipe aprenderão mais matemática? Como as atividades em grupo promovem o raciocínio matemático nos indivíduos? Ainda mais difícil e importante: como os educadores matemáticos podem obter apoio público para atividades cooperativas?

12. As calculadoras e os computadores podem aumentar o raciocínio matemático?

Em casa e no trabalho, calculadoras e computadores são "ferramentas de poder" que removem os obstáculos humanos ao desempenho matemático. Por exemplo, planilhas e pacotes estatísticos são usados ​​por profissionais tanto para estender o poder da mente quanto para substituí-lo - realizando inúmeros cálculos sem erros ou esforço. Os alunos certamente precisam aprender esses usos estimulantes da tecnologia.

Mas, além disso, calculadoras e computadores são responsáveis ​​por um "renascimento da matemática experimental" [Mandelbrot, 1994]. Eles fornecem aos educadores ferramentas maravilhosas para gerar e validar padrões que podem ajudar os alunos a aprender a raciocinar matematicamente. Os jogos de computador podem ajudar as crianças a dominar as habilidades básicas; tutores inteligentes podem ajudar os alunos mais velhos a dominar os procedimentos algébricos. Muitos educadores argumentaram que, uma vez que a programação impõe rigor lógico, linguagens de computador como Logo e ISETL podem ajudar os alunos a aprender a raciocinar.

Calculadoras e computadores possuem um enorme potencial para a matemática. Dependendo de como são usados, eles podem aprimorar o raciocínio matemático ou substituí-lo, desenvolver o raciocínio matemático ou limitá-lo. No entanto, a julgar pelas evidências públicas, o efeito real das calculadoras na escola é tão frequentemente negativo quanto positivo: para cada aluno que aprende a usar planilhas, parece haver vários que pegam uma calculadora para somar números de um dígito ou dividir por 10. Por que as consequências das calculadoras na matemática escolar são tão misturadas? Por que existe uma lacuna tão grande entre as aspirações e as realizações?

13. Por que tantos alunos acham que a matemática é uma cultura estrangeira?

Um número significativo de crianças considera a matemática escolar opaca. Parte da dificuldade das crianças em aprender matemática escolar reside em seu fracasso em reconciliar as regras da matemática escolar com sua própria intuição matemática desenvolvida de forma independente [Freudenthal, 1983 Resnick, 1987]. Muito frequentemente, suposições arraigadas - como gramática "regular" aplicada em contextos onde regras de irregularidade - impedem o aprendizado.

Até que ponto o ambiente matemático da casa de uma criança afeta o modo como a criança reage à matemática na escola? Muitas pessoas acreditam que certos povos ou culturas são mais adequados para a matemática do que outros. A próspera - e controversa - especialidade da etnomatemática documenta, além de qualquer dúvida razoável, que todas as sociedades desenvolveram alguma forma de matemática e que essas formas refletem as culturas nas quais emergem. Os matemáticos historicamente alertas podem reconhecer semelhanças e diferenças na matemática de diferentes culturas e podem traçar a influência das culturas umas nas outras na evolução da matemática [Joseph, 1992]. Portanto, existem diferenças culturais inegáveis ​​na matemática.

Mas existem diferenças culturais no desenvolvimento do raciocínio matemático? Aqui, a evidência é menos definitiva. Matemáticos de classe mundial surgiram de sociedades em todo o mundo, mas certas culturas colocam maior ênfase nos tipos de rigor e raciocínio que dão à matemática seu poder especial. Os alunos que crescem nessas culturas têm maior probabilidade de reconhecer uma zona de conforto na matemática escolar, enquanto os alunos que crescem em culturas que vêem o mundo por outras lentes podem sentir que a matemática escolar é uma cultura estrangeira. Por que alguns alunos veem a matemática como a única disciplina acolhedora na escola, enquanto outros a veem como a mais estrangeira das culturas? Por que, de fato, algumas crianças acham a matemática tão irracionalmente difícil?

14. O contexto é essencial para o raciocínio matemático?

Por pelo menos uma década, tanto pesquisadores educacionais quanto reformadores têm pregado a mensagem da "cognição situada" ou "aprendizado contextualizado". Por muito mais tempo, cientistas e engenheiros reclamaram com os matemáticos por persistirem com a instrução livre de contexto [Rutherford, 1997]. Recentemente, educadores vocacionais juntaram-se ao coro, citando a persistente falta de contexto nos cursos de matemática como um dos principais impedimentos para a aprendizagem do aluno [Bailey, 1997 Hoachlander, 1997]. No entanto, de acordo com um relatório do National Research Council, não há evidências consistentes de que o desempenho é aprimorado quando a aprendizagem ocorre no ambiente em que as habilidades serão desempenhadas [Bjork & amp Druckman, 1994].

O contexto pode afetar a aprendizagem de duas maneiras opostas: geralmente, aumenta a motivação e a aprendizagem de longo prazo, mas também pode limitar a utilidade do que é aprendido. O conhecimento muitas vezes fica vinculado ao contexto quando é ensinado em apenas um contexto. Qualquer pessoa que já tenha ensinado matemática já ouviu reclamações de professores de outras disciplinas de que os alunos parecem não saber nada da matemática que deveriam ter aprendido nas aulas de matemática. O problema generalizado do conhecimento compartimentado levou muitos educadores a supor que a transferência de conhecimento de um assunto para outro é atípica. Na verdade, a transferência ocorre, mas não tão sistematicamente ou previsivelmente como gostaríamos.

Quão situada está a cognição matemática? A instrução no contexto facilita a aprendizagem da matemática? Limita ou aumenta a probabilidade de transferência para outros domínios? Quando, se alguma vez, o raciocínio matemático se transfere para outros domínios?

15. Os alunos devem realmente construir seu próprio conhecimento?

Um dos objetivos mais amplamente aceitos da comunidade matemática é que os alunos devem compreender a matemática que realizam. Por séculos, os educadores sabem que a compreensão só cresce com o aprendizado ativo. Isso levou, no jargão dos educadores matemáticos, a uma crença generalizada de que os alunos "constroem" seu próprio entendimento [Davis, Maher, & amp Noddings, 1990 Hiebert & amp Carpenter, 1992]. Nesta visão, a compreensão não pode ser fornecida por instrutores, não importa o quão habilidosos sejam, mas deve ser criada pelos alunos em suas próprias mentes.

O construtivista postula que as crianças aprendem enquanto tentam resolver problemas significativos. Nessa visão, o entendimento emerge da reflexão catalisada por questões [Campbell & amp Johnson, 1995]. O papel principal do professor não é instruir, mas sim propor problemas e fazer perguntas que levem os alunos a refletir sobre o seu trabalho e a justificar o seu raciocínio. Dessa forma, atividades como explicar, justificar e exemplificar não apenas demonstram compreensão, mas também ajudam a criá-la.

De acordo com os defensores, o construtivismo foca a educação no aluno (o que acontece na mente dos alunos), na investigação (buscando as perguntas certas, não apenas nas respostas certas) na relevância (questões de interesse natural para as crianças) e na atividade (aprendendo com as duas mãos e mente) [Brooks & amp Brooks, 1993]. No entanto, os críticos [por exemplo, Anderson et al., 1996 Wu, 1996] afirmam que os métodos construtivistas facilmente subestimam a importância tanto da didática (instrução sistemática) quanto do exercício (prática sistemática). Qual é o equilíbrio apropriado entre o aprendizado dirigido pelo professor e o aprendizado inspirado pelo aluno? Os alunos precisam construir tudo sozinhos? O que deve ser memorizado e o que deve ser construído?

16. Quantas matemáticas existem?

A matemática vive em muitos ambientes - matemática doméstica, matemática escolar, matemática de rua, matemática comercial, matemática profissional - e muitos alunos que têm sucesso em um mundo matemático fracassam em outro. Embora tudo isso seja matemática, esses ambientes oferecem contextos fundamentalmente diferentes nos quais os alunos aprendem e utilizam a matemática. Pode-se imaginar que, como as inteligências múltiplas [Gardner, 1983], pode haver matemática múltipla [Grubb, 1997].

Evidências de múltiplas matemáticas são abundantes. A pesquisa documenta o que pais e professores sabem por experiência dolorosa - que muitas crianças vêem a matemática escolar como desconectada da criação de sentido e do mundo da experiência cotidiana [Silver, Kilpatrick & amp Schlesinger, 1990 Schoenfeld, 1991]. A separação generalizada de símbolos de significado e de cálculo de raciocínio é uma herança de um sistema educacional cujo propósito histórico era separar o prático do abstrato e os trabalhadores dos estudiosos [Resnick 1987]. Apenas para uma elite o raciocínio abstrato ou de ordem superior era um objetivo (muito menos uma realização) da educação. A escola ajudou a fomentar a visão do público de diferentes matemáticas para diferentes propósitos.

Essa história encoraja um mito difundido sobre a aprendizagem da matemática - que o raciocínio matemático é apropriado apenas para os dez por cento dos alunos que estão destinados a carreiras matematicamente ricas em ciências e engenharia. No entanto, no local de trabalho de hoje, o pensamento matemático é necessário para mais alunos do que antes. No entanto, alguns alunos aprendem matemática melhor nas aulas de matemática, alguns em ciências ou cursos de oficina e alguns no trabalho ou em casa. Essas configurações oferecem matemática diferente? Em que circunstâncias a matemática abstrata é apropriada? Quando a matemática concreta é melhor? Podemos confiar que os alunos saberão que tipo de matemática é melhor para eles em contextos específicos? Os professores sabem o suficiente para decidir? Alguém?

17. Como nosso cérebro faz matemática?

Pesquisas recentes em neurociência começaram a abrir uma janela para o que até então estava muito além do alcance da ciência: o mecanismo neural da cognição. Curiosamente, esta pesquisa sugere um mecanismo darwiniano de diversidade e seleção que opera dentro do cérebro da mesma forma que funciona entre as espécies em um ecossistema [Edelman, Abbott 1992, Mudança 1994 & amp Connes, 1995]. Tal mecanismo pode ajudar a explicar os estágios de criatividade matemática observados na obra clássica de Jacques Hadamard [1945] de preparação (tentativa e erro), incubação (frequentemente subconsciente), iluminação (frequentemente repentina) e verificação (requer raciocínio). Segundo essa teoria, o raciocínio matemático depende das mesmas duas forças da evolução das espécies: um mecanismo de geração de diversidade (alternativas) e uma estratégia de seleção que estabiliza as escolhas ótimas entre essa diversidade.

Qual é, de fato, o mecanismo neural do pensamento matemático? Esta é agora uma questão pesquisável e as implicações de tal pesquisa são profundas. Pela primeira vez, podemos conectar o pensamento matemático à biologia do cérebro. Agora sabemos, por exemplo, que a memória envolve várias estruturas anatomicamente diferentes. Como a compreensão aprimorada da fisiologia levou o desempenho dos atletas ao limite do potencial humano, será que em breve seremos capazes de melhorar cientificamente o desempenho matemático dos indivíduos? Podemos identificar a bioquímica do raciocínio matemático? A neurociência pode ajudar os educadores a compreender o problema incômodo da transferência? Ou da relação das habilidades com o raciocínio?

18. Nosso cérebro é como um computador?

Tendemos ingenuamente a pensar no cérebro como um computador - especialmente quando ele está envolvido em atividades matemáticas. Armazene fatos básicos na memória, forneça algoritmos-chave para cálculo e aperte um botão. Muito da pedagogia orientada para o exercício da educação matemática tradicional está enraizada nesta metáfora. Na verdade, como a neurociência contemporânea revela, o cérebro é menos como um computador a ser programado ou um disco a ser preenchido do que como um ecossistema a ser nutrido [Abbott, 1996 ECS, 1996, 1997].

Embora a evidência contra a metáfora do cérebro como computador seja esmagadora [por exemplo, padrões de recuperação de vítimas de derrame], o paradigma persiste em grande medida por falta de uma alternativa convincente. Mas isso pode estar prestes a mudar. A pesquisa na interseção da genética evolutiva e da neurociência sugere diferenças neurológicas potencialmente importantes entre as capacidades cognitivas que são evolutivamente primitivas (por exemplo, contagem) e aquelas como a aritmética (para não mencionar a álgebra!) Que são construções sociais mais recentes [Geary, 1995] . A capacidade de raciocínio é criada por um processo em constante mudança de seleção natural de grupos de neurônios que respondem aos objetivos de um indivíduo (chamados de "valores" por Edelman [1992]). Assim, tanto os processos de cognição quanto os elementos sobre os quais esses processos atuam - se você quiser, procedimentos e fatos - estão sujeitos às pressões evolutivas da diversidade e seleção dentro do cérebro vivo.

19. A capacidade para matemática é inata?

Durante anos, linguistas e neurocientistas estudaram a maneira como os bebês aprendem a linguagem em um esforço para compreender a relação da linguagem humana com o patrimônio genético de nossa espécie. À medida que as crianças desenvolvem naturalmente suas próprias regras de gramática - regularizando verbos irregulares, por exemplo - elas também inventam regras para explicar os padrões que vêem ao seu redor. Na medida em que fazer padrões é uma atividade matemática [Steen, 1988 Devlin, 1994], as crianças que aprendem a linguagem estão fazendo matemática!

Há evidências abundantes de que crianças pequenas, sozinhas, desenvolvem regras matemáticas simples que usam para resolver problemas em seu ambiente [Resnick, 1987]. No entanto, esses padrões muitas vezes levam a equívocos matemáticos - por exemplo, que a multiplicação torna as coisas maiores - que persistem apesar das evidências e instruções contrárias subsequentes [Askew & amp Dylan, 1995]. Isso significa que crianças pequenas têm a mesma capacidade inata de aprender matemática e linguagem? Como o raciocínio matemático poderia ser aprimorado se os bebês fossem banhados em um ambiente tão rico em padrões matemáticos quanto em linguagem natural?

20. A escola é tarde demais?

Embora certos aspectos do cérebro sejam determinados pela genética e pelo ambiente no útero, tanto os neurônios quanto as sinapses crescem e mudam rapidamente durante os primeiros anos de vida. O modo como crescem é determinado pelo ambiente da criança. O que eles se tornam - após cinco ou seis anos - determina em um grau considerável a capacidade cognitiva da criança e do adulto. Embora grande parte do cérebro seja formado no nascimento, muito permanece plástico, passível de ser moldado pela experiência. A capacidade de pensamento abstrato é particularmente plástica. O crescimento da sinapse ocorre em uma taxa fenomenal até os dois ou três anos de idade e, então, diminui gradualmente pelo resto da vida [ECS, 1997]. "Use-o ou perca-o" é uma descrição adequada do cérebro inicial.

Todos sabem da importância da estimulação auditiva para a aprendizagem de uma língua nos primeiros anos de vida. Pesquisas recentes forneceram evidências bastante firmes de que a estimulação musical nesses primeiros anos aumenta a capacidade de abstração espacial e matemática mais tarde na vida [Rauscher & amp Shaw, 1997]. (Se a estimulação musical precoce aumenta a musicalidade é menos claro.) Aparentemente, o banho acústico da estrutura aural fornecido pela música clássica faz pelos centros abstratos do cérebro o que os fonemas auditivos fazem pela aprendizagem da linguagem.

Esta pesquisa leva a muitas questões que dificilmente são abordadas na educação matemática. Existem "janelas" para aprender aritmética ou álgebra, ou para raciocínio matemático, como certamente existem para aprender línguas? O que, além da música, pode aumentar a capacidade do cérebro jovem para o pensamento matemático? Quão sensível é a habilidade matemática ao ambiente sensorial de um bebê? Como o aprendizado muda a fisiologia do cérebro? Será que algum dia seremos capazes de esculpir a capacidade das crianças de raciocínio matemático?

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