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15.1E: Campos Vetoriais (Exercícios) - Matemática


1. O domínio do campo vetorial ( vecs {F} = vecs {F} (x, y) ) é um conjunto de pontos ((x, y) ) em um plano, e o intervalo de ( vecs F ) é um conjunto de o que no avião?

Responder:
Vetores

Para os exercícios 2 - 4, determine se a afirmação é verdadeiro ou falso.

2. O campo vetorial ( vecs {F} = ⟨3x ^ 2,1⟩ ) é um campo gradiente para (ϕ_1 (x, y) = x ^ 3 + y ) e (ϕ_2 (x, y) = y + x ^ 3 + 100. )

3. O campo vetorial ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) é constante na direção e magnitude em um círculo unitário.

Responder:
Falso

4. O campo vetorial ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) não é um campo radial nem um campo de rotação.

Para os exercícios 5 - 13, descreva cada campo vetorial desenhando alguns de seus vetores.

5. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} )

Responder:

6. [T] ( vecs {F} (x, y) = - y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

7. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} )

Responder:

8. [T] ( vecs {F} (x, y) = , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} )

9. [T] ( vecs {F} (x, y) = 2x , hat { mathbf i} + 3y , hat { mathbf j} )

Responder:

10. [T] ( vecs {F} (x, y) = 3 , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

11. [T] ( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} + sin x , hat { mathbf j} )

Responder:

12. [T] ( vecs F (x, y, z) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} + z , hat { mathbf k} )

13. [T] ( vecs F (x, y, z) = 2x , hat { mathbf i} −2y , hat { mathbf j} −2z , hat { mathbf k} )

Responder:

14. [T] ( vecs F (x, y, z) = yz , hat { mathbf i} −xz , hat { mathbf j} )

Para os exercícios 15-20, encontre o campo vetorial gradiente de cada função (f ).

15. (f (x, y) = x sin y + cos y )

Responder:
( vecs {F} (x, y) = sin (y) , hat { mathbf i} + (x cos y− sin y) , hat { mathbf j} )

16. (f (x, y, z) = ze ^ {- xy} )

17. (f (x, y, z) = x ^ 2y + xy + y ^ 2z )

Responder:
( vecs F (x, y, z) = (2xy + y) , hat { mathbf i} + (x ^ 2 + x + 2yz) , hat { mathbf j} + y ^ 2 , hat { mathbf k} )

18. (f (x, y) = x ^ 2 sin (5y) )

19. (f (x, y) = ln (1 + x ^ 2 + 2y ^ 2) )

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {2x} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} , hat { mathbf i} + dfrac {4y} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} , hat { mathbf j} )

20. (f (x, y, z) = x cos left ( frac {y} {z} right) )

21. O que é um campo vetorial ( vecs {F} (x, y) ) com um valor em ((x, y) ) que tem comprimento unitário e aponta para ((1,0) )?

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(1 − x) , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j}} { sqrt {(1 − x ) ^ 2 + y ^ 2}} )

Para os exercícios 22 a 24, escreva fórmulas para os campos de vetor com as propriedades fornecidas.

22. Todos os vetores são paralelos ao eixo (x ) e todos os vetores em uma linha vertical têm a mesma magnitude.

23. Todos os vetores apontam para a origem e têm comprimento constante.

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j})} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

24. Todos os vetores têm comprimento unitário e são perpendiculares ao vetor posição naquele ponto.

25. Dê uma fórmula ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) para o campo vetorial em um plano que possui as propriedades que ( vecs {F} = vecs 0 ) em ((0,0) ) e que em qualquer outro ponto ((a, b), vecs F ) é tangente ao círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) e aponta no sentido horário com magnitude ( | vecs F | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).

Responder:
( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j} )

26. É o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) = ( sin x + y) , hat { mathbf i} + ( cos y + x) , hat { mathbf j} ) um campo gradiente?

27. Encontre uma fórmula para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) dado o fato de que para todos os pontos ((x, y) ), ( vecs F ) aponta para a origem e ( | vecs F | = dfrac {10} {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {−10} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} (x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j}) )

Para os exercícios 28-29, suponha que um campo elétrico no plano (xy ) causado por uma linha infinita de carga ao longo do eixo (x ) é um campo gradiente com função potencial (V (x, y) = c ln left ( frac {r_0} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ), onde (c> 0 ) é uma constante e (r_0 ) é uma distância de referência na qual o potencial é considerado zero.

28. Encontre os componentes do campo elétrico nas direções (x ) - e (y ) -, onde ( vecs E (x, y) = - vecs ∇V (x, y). )

29. Mostre que o campo elétrico em um ponto no plano (xy ) - é direcionado para fora da origem e tem magnitude ( | vecs E | = dfrac {c} {r} ), onde ( r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Responder:
( | vecs E | = dfrac {c} {| r | ^ 2} r = dfrac {c} {| r |} dfrac {r} {| r |} )

UMA linha de fluxo (ou linha de fluxo) de um campo vetorial ( vecs F ) é uma curva ( vecs r (t) ) tal que (d vecs {r} / dt = vecs F ( vecs r (t)) ) Se ( vecs F ) representa o campo de velocidade de uma partícula em movimento, então as linhas de fluxo são caminhos percorridos pela partícula. Portanto, as linhas de fluxo são tangentes ao campo vetorial.

Para os exercícios 30 e 31, mostre que a curva dada ( vecs c (t) ) é uma linha de fluxo do campo vetorial de velocidade ( vecs F (x, y, z) ).

30. ( vecs c (t) = ⟨e ^ {2t}, ln | t |, frac {1} {t}⟩, , t ≠ 0; quad vecs F (x, y, z) = ⟨2x, z, −z ^ 2⟩ )

31. ( vecs c (t) = ⟨ sin t, cos t, e ^ t⟩; quad vecs F (x, y, z) = 〈y, −x, z〉 )

Responder:
( vecs c ′ (t) = ⟨ cos t, - sin t, e ^ {- t}⟩ = vecs F ( vecs c (t)) )

Para os exercícios 32 - 34, deixe ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ), e ( vecs H = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} ) . Combine ( vecs F ), ( vecs G ) e ( vecs H ) com seus gráficos.

32.

33.

Responder:
( vecs H )

34.

Para os exercícios 35 - 38, deixe ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ), e ( vecs H = −x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ) Combine os campos vetoriais com seus gráficos em (I) - (IV).

  1. ( vecs F + vecs G )
  2. ( vecs F + vecs H )
  3. ( vecs G + vecs H )
  4. (- vecs F + vecs G )

35.

Responder:
d. (- vecs F + vecs G )

36.

37.

Responder:
uma. ( vecs F + vecs G )

38.

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.