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11.5E: Exercícios para Equações de Linhas e Planos no Espaço - Matemática


Nos exercícios 1 - 4, os pontos (P ) e (Q ) são dados. Seja (L ) a reta que passa pelos pontos (P ) e (Q ).

uma. Encontre a equação vetorial da linha (L ).

b. Encontre as equações paramétricas da linha (L ).

c. Encontre equações simétricas da linha (L ).

d. Encontre equações paramétricas do segmento de linha determinado por (P ) e (Q ).

1) (P (−3,5,9), Q (4, −7,2) )

Responder:
uma. ( vecs r = ⟨− 3,5,9⟩ + t⟨7, −12, −7⟩, , t∈R; )
b. (x = −3 + 7t, , y = 5−12t, , z = 9−7t, , t∈R; )
c. ( frac {x + 3} {7} = frac {y − 5} {- 12} = frac {z − 9} {- 7}; )
d. (x = −3 + 7t, , y = 5−12t, , z = 9−7t, , 0 le t le 1 )

2) (P (4,0,5), Q (2,3,1) )

3) (P (−1,0,5), Q (4,0,3) )

Responder:
uma. ( vecs r = ⟨− 1,0,5⟩ + t⟨5,0, −2⟩, t∈R; )
b. (x = −1 + 5t, y = 0, z = 5−2t, t∈R; )
c. ( frac {x + 1} {5} = frac {z − 5} {- 2}, y = 0; )
d. (x = −1 + 5t, y = 0, z = 5−2t, t∈ [0,1] )

4) (P (7, −2,6), Q (−3,0,6) )

Para os exercícios 5 - 8, o ponto (P ) e o vetor ( vecs v ) são fornecidos. Seja (L ) a reta passando pelo ponto (P ) com direção ( vecs v ).

uma. Encontre as equações paramétricas da linha (L ).

b. Encontre equações simétricas da linha (L ).

c. Encontre a interseção da linha com o plano (xy ).

5) (P (1, −2,3), , vecs v = ⟨1,2,3⟩ )

Responder:
uma. (x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 3 + 3t, ​​t∈R; )
b. ( frac {x − 1} {1} = frac {y + 2} {2} = frac {z − 3} {3}; )
c. ((0, −4,0) )

6) (P (3,1,5), , vecs v = ⟨1,1,1⟩ )

7) (P (3,1,5), , vecs v = vecd {QR}, ) onde (Q (2,2,3) ) e (R (3,2,3 ) )

Responder:
uma. (x = 3 + t, y = 1, z = 5, t∈R; )
b. (y = 1, z = 5; )
c. (A linha não intercepta o plano (xy ). )

8) (P (2,3,0), , vecs v = vecd {QR}, ) onde (Q (0,4,5) ) e (R (0,4,6) ) )

Para os exercícios 9 e 10, a linha (L ) é fornecida.

uma. Encontre um ponto (P ) que pertença à linha e um vetor de direção ( vecs v ) da linha. Expresso ( vecs v ) na forma de componente.

b. Encontre a distância da origem até a linha (L ).

9) (x = 1 + t, y = 3 + t, z = 5 + 4t, t∈R )

Responder:
uma. Um possível vetor de ponto e direção são (P (1,3,5) ) e ( vecs v = ⟨1,1,4⟩ ), mas essas respostas não são únicas.
b. ( sqrt {3} ) unidades

10) (−x = y + 1, z = 2 )

11) Encontre a distância entre o ponto (A (−3,1,1) ) e a linha das equações simétricas

(x = −y = −z. )

Responder:
( frac {2 sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac {2 sqrt {6}} {3} ) unidades

12) Encontre a distância entre o ponto (A (4,2,5) ) e a linha das equações paramétricas

(x = −1 − t, y = −t, z = 2, t∈R. )

Para os exercícios 13 - 14, as linhas (L_1 ) e (L_2 ) são fornecidas.

uma. Verifique se as linhas (L_1 ) e (L_2 ) são paralelas.

b. Se as linhas (L_1 ) e (L_2 ) forem paralelas, encontre a distância entre elas.

13) (L_1: x = 1 + t, y = t, z = 2 + t, t∈R, L_2: x − 3 = y − 1 = z − 3 )

Responder:
uma. (Paralelo;)
b. ( frac { sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac { sqrt {6}} {3} ) unidades

14) (L_1: x = 2, y = 1, z = t, L_2: x = 1, y = 1, z = 2−3t, t∈R )

15) Mostre que a linha que passa pelos pontos (P (3,1,0) ) e (Q (1,4, −3) ) é perpendicular à linha com a equação (x = 3t, y = -32 + 8t, z = −9 + 6t, t∈R. )

Responder:
( vecd {PQ} = lt -2, 3, -3 gt ) é o vetor de direção da linha através dos pontos (P ) e (Q ), e o vetor de direção da linha definida pelas equações paramétricas acima é ( vecs v = lt 3, 8, 6 gt. )
Como ( vecs v cdot vecd {PQ} = -6 + 24 - 18 = 0 ), os dois vetores de direção são ortogonais.
Agora, tudo o que precisamos mostrar é que as duas linhas se cruzam.
A linha que atravessa os pontos (P (3,1,0) ) e (Q (1,4, −3) ) tem equações paramétricas: (x = 3 - 2u ), (y = 1 + 3u ) e (z = -3u ).
Definindo as coordenadas (x ) - e (z ) - das duas linhas iguais, obtemos o sistema de equações:
[3t = 3 - 2u quad text {e} quad -9 + 6t = -3u nonumber ]
Resolver este sistema usando substituição nos dá, (u = -3 ) e (t = 3 ). Conectar esses valores de (t ) e (u ) de volta às equações paramétricas dessas duas linhas nos dá o ponto de interseção com coordenadas ( left (9, -8, 9 right) ) em ambas as linhas .
Portanto, as linhas se cruzam e a linha que passa pelos pontos (P ) e (Q ) com vetor de direção ( vecd {PQ} ) é perpendicular à outra linha.

16) As linhas das equações (x = −2 + 2t, y = −6, z = 2 + 6t ) e (x = −1 + t, y = 1 + t, z = t, t∈ R, ) perpendiculares entre si?

17) Encontre o ponto de intersecção das retas das equações (x = −2y = 3z ) e (x = −5 − t, y = −1 + t, z = t − 11, t∈R. )

Responder:
( (−12,6,−4))

18) Encontre o ponto de interseção do eixo (x ) - com a linha das equações paramétricas (x = 10 + t, y = 2−2t, z = −3 + 3t, ​​t∈R. )

Para os exercícios 19 - 22, as linhas (L_1 ) e (L_2 ) são fornecidas. Determine se as linhas são igual, paralelo, mas não igual, enviesamento, ou cruzando.

19) (L_1: x = y − 1 = −z ) e (L_2: x − 2 = −y = frac {z} {2} )

Responder:
As linhas estão tortas.

20) (L_1: x = 2t, y = 0, z = 3, t∈R ) e (L_2: x = 0, y = 8 + s, z = 7 + s, s∈R )

21) (L_1: x = −1 + 2t, y = 1 + 3t, ​​z = 7t, t∈R ) e (L_2: x − 1 = frac {2} {3} (y − 4) = frac {2} {7} z − 2 )

Responder:
As linhas são iguais.

22) (L_1: 3x = y + 1 = 2z ) e (L_2: x = 6 + 2t, y = 17 + 6t, z = 9 + 3t, ​​t∈R )

23) Considere a linha (L ) de equações simétricas (x − 2 = −y = frac {z} {2} ) e o ponto (A (1,1,1). )

uma. Encontre equações paramétricas para uma linha paralela a (L ) que passa pelo ponto (A ).

b. Encontre equações simétricas de uma linha inclinada para (L ) e que passa pelo ponto (A ).

c. Encontre as equações simétricas de uma linha que cruza (L ) e passa pelo ponto (A ).

Responder:
uma. (x = 1 + t, y = 1 − t, z = 1 + 2t, t∈R )
b. Por exemplo, a linha que passa por (A ) com vetor de direção (j: x = 1, z = 1 )
c. Por exemplo, a linha que passa por (A ) e o ponto ((2,0,0) ) que pertence a (L ) é uma linha que se cruza; (L: frac {x − 1} {- 1} = y − 1 = z − 1 )

24) Considere a linha (L ) de equações paramétricas (x = t, y = 2t, z = 3, t∈R. )

uma. Encontre equações paramétricas para uma linha paralela a (L ) que passa pela origem.

b. Encontre as equações paramétricas de uma linha inclinada para (L ) que passa pela origem.

c. Encontre equações simétricas de uma linha que cruza (L ) e passa pela origem.

Para os exercícios 25 - 28, o ponto (P ) e o vetor ( vecs n ) são fornecidos.

uma. Encontre a equação escalar do plano que passa por (P ) e tem vetor normal ( vecs n ).

b. Encontre a forma geral da equação do plano que passa por (P ) e tem vetor normal ( vecs n ).

25) (P (0,0,0), n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )

Responder:
uma. (3x − 2y + 4z = 0 )
b. (3x − 2y + 4z = 0 )

26) (P (3,2,2), vecs n = 2 hat { imath} +3 hat { jmath} - hat {k} )

27) (P (1,2,3), vecs n = ⟨1,2,3⟩ )

Responder:
uma. ((x − 1) +2 (y − 2) +3 (z − 3) = 0 )
b. (x + 2y + 3z − 14 = 0 )

28) (P (0,0,0), vecs n = ⟨− 3,2, −1⟩ )

Para os exercícios 29-32, é fornecida a equação de um plano.

uma. Encontre o vetor normal ( vecs n ) para o plano. Expresse ( vecs n ) usando vetores de unidade padrão.

b. Encontre as interseções do plano com cada um dos eixos coordenados (suas interceptações).

c. Esboce o plano.

29) [T] (4x + 5y + 10z − 20 = 0 )

Responder:
uma. ( vecs n = 4 hat { imath} +5 hat { jmath} +10 hat {k} )
b. ((5,0,0), (0,4,0), ) e ((0,0,2) )

c.

30) (3x + 4y − 12 = 0 )

31) (3x − 2y + 4z = 0 )

Responder:
uma. ( vecs n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )
b. ((0,0,0) )

c.

32) (x + z = 0 )

33) Dado o ponto (P (1,2,3) ) e o vetor ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ), encontre o ponto (Q ) no (x ) - eixo tal que ( vecd {PQ} ) e ( vecs n ) são ortogonais.

Responder:
( (3,0,0))

34) Mostre que não existe um plano perpendicular a ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ) que passa pelos pontos (P (1,2,3) ) e (Q (2,3,4) ).

35) Encontre as equações paramétricas da linha que passa pelo ponto (P (−2,1,3) ) que é perpendicular ao plano da equação (2x − 3y + z = 7. )

Responder:
(x = −2 + 2t, y = 1−3t, z = 3 + t, t∈R )

36) Encontre as equações simétricas da linha que passa pelo ponto (P (2,5,4) ) que é perpendicular ao plano da equação (2x + 3y − 5z = 0. )

37) Mostre que a linha ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = frac {z − 2} {4} ) é paralela ao plano (x − 2y + z = 6 ).

38) Encontre o número real (α ) de modo que a linha das equações paramétricas (x = t, y = 2 − t, z = 3 + t, t∈R ) seja paralela ao plano da equação ( αx + 5y + z − 10 = 0. )

Para os exercícios 39-42, são fornecidas as equações de dois planos.

uma. Determine se os aviões são paralelo, ortogonal, ou nem.

b. Se os planos não forem paralelos nem ortogonais, encontre a medida do ângulo entre os planos. Expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo.

c. Se os planos se cruzam, encontre a linha de intersecção dos planos, fornecendo as equações paramétricas desta linha.

39) [T] (x + y + z = 0, 2x − y + z − 7 = 0 )

Responder:
uma. Os planos não são paralelos nem ortogonais.
b. (62 ° )
c. (x = -1 + 2t )
(y = -4 + t )
(z = 5 - 3t )

40) (5x − 3y + z = 4, x + 4y + 7z = 1 )

41) (x − 5y − z = 1, 5x − 25y − 5z = −3 )

Responder:
uma. Os planos são paralelos.

42) [T] (x − 3y + 6z = 4, 5x + y − z = 4 )

Para os exercícios 43 - 46, determine se a linha dada se cruza com o plano dado. Se houver interseção, indique o ponto de interseção.

43) Plano: (2x + y - z = 11 ) Linha: (x = 1 + t, , y = 3 - 2t, , z = 2 + 4t )

Responder:
Eles se cruzam no ponto ((-1, 7, -6) ).

44) Plano: (- x + 2y + z = 2 ) Linha: (x = 1 + 2t, , y = -2 + t, , z = 5 - 3t )

Responder:
Eles se cruzam no ponto ((- frac {1} {3}, - frac {8} {3}, 7) ).

5) Plano: (x - 3y + 2z = 4 ) Linha: (x = 2 - t, , y = t, , z = 4 + 2t )

Responder:
A linha não se cruza com este plano.

46) Plano: (x - 3y + 2z = 10 ) Linha: (x = 2 - t, , y = t, , z = 4 + 2t )

Responder:
A linha está, na verdade, totalmente contida neste plano, de modo que todos os pontos da linha estão no plano. Por exemplo, quando (t = 0 ) temos o ponto, ((2, 0, 4) ).

47) Mostre que as linhas das equações (x = t, y = 1 + t, z = 2 + t, t∈R, ) e ( frac {x} {2} = frac {y − 1 } {3} = z − 3 ) são inclinados e encontre a distância entre eles.

Responder:
( frac {1} { sqrt {6}} = frac { sqrt {6}} {6} ) unidades

48) Mostre que as linhas das equações (x = −1 + t, y = −2 + t, z = 3t, t∈R, ) e (x = 5 + s, y = −8 + 2s, z = 7s, s∈R ) são inclinados e encontre a distância entre eles.

49) Considere o ponto (C (−3,2,4) ) e o plano da equação (2x + 4y − 3z = 8 ).

uma. Encontre o raio da esfera com centro (C ) tangente ao plano dado.

b. Encontre o ponto P de tangência.

Responder:
uma. (r = frac {18} { sqrt {29}} = frac {18 sqrt {29}} {29} )
b. (P (- frac {51} {29}, frac {130} {29}, frac {62} {29}) )

50) Considere o plano da equação (x − y − z − 8 = 0. )

uma. Encontre a equação da esfera com centro (C ) na origem que é tangente ao plano dado.

b. Encontre as equações paramétricas da linha que passa pela origem e o ponto de tangência.

51) Duas crianças estão brincando com uma bola. A garota joga a bola para o garoto. A bola viaja no ar, faz uma curva de (3 ) ft para a direita e cai (5 ) ft de distância da garota (veja a figura a seguir). Se o plano que contém a trajetória da bola é perpendicular ao solo, encontre sua equação.

Responder:
(4x − 3y = 0 )

52) [T] John aloca (d ) dólares para consumir mensalmente três bens dos preços (a, b ) e (c ). Neste contexto, a equação do orçamento é definida como (ax + by + cz = d, ) onde (x≥0, y≥0 ), e (z≥0 ) representam o número de itens comprados de cada uma das mercadorias. O orçamento definido é dado por ({(x, y, z) | ax + by + cz≤d, x≥0, y≥0, z≥0}, ) e o plano do orçamento é a parte do plano da equação (ax + by + cz = d ) para a qual (x≥0, y≥0 ), e (z≥0 ). Considere (a = $ 8, b = $ 5, c = $ 10, ) e (d = $ 500. )

uma. Use um CAS para representar graficamente o conjunto de orçamento e plano de orçamento.

b. Para (z = 25, ) encontre a nova equação de orçamento e represente graficamente o orçamento definido no mesmo sistema de coordenadas.

53) [T] Considere ( vecs r (t) = ⟨ sin t, cos t, 2t⟩ ) o vetor posição de uma partícula no tempo (t∈ [0,3] ), onde o componentes de ( vecs r ) são expressos em centímetros e o tempo é medido em segundos. Seja ( vecd {OP} ) o vetor posição da partícula após (1 ) seg.

uma. Determine o vetor velocidade ( vecs v (1) ) da partícula após (1 ) seg.

b. Encontre a equação escalar do plano que é perpendicular a (v (1) ) e passa pelo ponto (P ). Este plano é chamado de plano normal para o caminho da partícula no ponto (P ).

c. Use um CAS para visualizar o caminho da partícula junto com o vetor velocidade e o plano normal no ponto (P ).

Responder:
uma. ( vecs v (1) = ⟨ cos 1, - sin 1, 2⟩ )
b. (( cos 1) (x− sin 1) - ( sin 1) (y− cos 1) +2 (z − 2) = 0 )
c.

54) [T] Um painel solar é montado no telhado de uma casa. O painel pode ser considerado como posicionado nos pontos de coordenadas (em metros) (A (8,0,0), B (8,18,0), C (0,18,8), ) e ( D (0,0,8) ) (veja a figura a seguir).

uma. Encontre a forma geral da equação do plano que contém o painel solar usando os pontos (A, B, ) e (C ), e mostre que seu vetor normal é equivalente a ( vecd {AB} × vecd {AD}. )

b. Encontre as equações paramétricas da linha (L_1 ) que passa pelo centro do painel solar e tem vetor de direção ( vecs s = frac {1} { sqrt {3}} hat { imath} + frac {1} { sqrt {3}} hat { jmath} + frac {1} { sqrt {3}} hat {k}, ) que aponta para a posição do Sol em um determinado momento de dia.

c. Encontre as equações simétricas da linha (L_2 ) que passa pelo centro do painel solar e é perpendicular a ele.

d. Determine o ângulo de elevação do Sol acima do painel solar usando o ângulo entre as linhas (L_1 ) e (L_2 ).

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

Exercícios e LaTeX editados por Paul Seeburger

Problemas 15 e 43 - 46 criados por Paul Seeburger