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1.1: Conjuntos de Números Reais e o Plano de Coordenadas Cartesianas - Matemática


Conjuntos de Números

Embora os autores não desejem nada mais do que mergulhar rápida e profundamente na pura emoção que é Pré-cálculo, a experiência nos ensinou que uma breve revisão de algumas noções básicas é bem-vinda, se não totalmente necessária, neste estágio. Para esse fim, apresentamos um breve resumo da 'teoria dos conjuntos' e um pouco do vocabulário associado e notações que usamos no texto. Como todos os bons livros de matemática, começamos com uma definição.

Definição 1.1: Conjunto

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos que são chamados de 'elementos' do conjunto. Aqui, 'bem definido' significa que é possível determinar se algo pertence ou não à coleção, sem preconceito.

Por exemplo, a coleção de letras que compõem a palavra "smolko '' é bem definida e é um conjunto, mas a coleção dos piores professores de matemática do mundo é não bem definido, e portanto não é um conjunto (para um exemplo mais instigante, considere a coleção de todas as coisas que não se contêm - isso leva ao famoso Paradoxo de Russell). Em geral, existem três maneiras de descrever conjuntos. Eles são

Maneiras de descrever conjuntos

  1. O Método Verbal: Use uma frase para definir um conjunto.
  2. O Método Roster: Comece com uma chave esquerda ' ( {)', liste cada elemento do conjunto apenas uma vez e termine com uma chave direita ' (} )'.
  3. O Método Set-Builder: Uma combinação dos métodos verbais e de escala de serviço usando uma "variável fictícia" como (x ).

Por exemplo, seja (S ) o conjunto descrito verbalmente como o conjunto de letras que constituem a palavra "smolko ''. A descrição da lista de (S ) seria ( left {s, m, o, l, k right } ). Observe que listamos 'o' apenas uma vez, embora apareça duas vezes em "smolko". Além disso, o pedido dos elementos não importa, então ( left {k, l, m, o, s right } ) também é uma descrição de lista de (S ). UMA set-builder a descrição de (S ) é:

[ {x , | , x , text {é uma letra na palavra "smolko ''.} } ]

A maneira de ler isso é: 'O conjunto de elementos (x ) de tal modo que (x ) é uma letra na palavra "smolko. '' 'Em cada um dos casos acima, podemos usar o sinal de igual familiar' (= ) 'e escrever

[S = left {s, m, o, l, k, o right } ]

ou

[S = {x , | , x text {é uma letra na palavra "smolko ''} }. ]

Claramente (m ) está em (S ) e (q ) não está em (S ). Expressamos esses sentimentos matematicamente escrevendo (m in S ) e (q notin S ). Ao longo de sua educação matemática, você encontrou vários conjuntos de números famosos. Eles estão listados abaixo.

Conjuntos de Números

  1. O conjunto vazio: ( emptyset = {} = {x , | , x neq x } ). Este é o conjunto sem elementos. Como o número ' (0 )', ele desempenha um papel vital na matemática (... que, infelizmente, não exploraremos neste texto Pré-cálculo).
  2. Os números naturais: ( mathbb N = {1, 2, 3, ldots } ) Os pontos de reticências aqui indicam que os números naturais contêm (1 ), (2 ), (3 ), ' e assim por diante'.
  3. Os números inteiros: ( mathbb W = {0, 1, 2, ldots } )
  4. Os inteiros: ( mathbb Z = { ldots, -1, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ldots } )
  5. Os Números Racionais: ( mathbb Q = left { frac {a} {b} , | , a in mathbb Z , mbox {e} , b in mathbb Z right } ) RazãoOs números finais são os ( underline {ratio} ) s de inteiros (desde que o denominador não seja zero!) Acontece que essa é outra maneira de descrever os números racionais (Seção 9.2). é: [ mathbb Q = {x , | , x , text {possui uma representação decimal repetida ou final.} } ]
  6. Os Números Reais: ( mathbb R = {x , | , x , text {possui uma representação decimal.} } )
  7. Os números irracionais: ( mathbb P = {x , | , x , text {é um número real não racional.} } ) Dito de outra forma, um irnúmero racional é um decimal que não se repete nem termina (o exemplo clássico é o número ( pi ); consulte a Seção 10.1), mas números como ( sqrt {2} ) e (0,101001000100001 ldots ) ​​são outros bons representantes.}
  8. Os Números Complexos: ( mathbb C = {a + bi , | , a ), (b in mathbb R ) e (i = sqrt {-1} )} } ) Apesar sua importância, os números complexos desempenham apenas um papel menor no texto (eles aparecem pela primeira vez na seção 3.4 e retornam na seção 11.7).

É importante notar que todo número natural é um número inteiro, que, por sua vez, é um inteiro. Cada inteiro é um número racional (tome (b = 1 ) na definição acima para (Q )) e os números racionais são todos números reais, uma vez que possuem representações decimais (isto é, divisão longa). Se tomarmos (b = 0 ) na definição acima de ( mathbb C ), vemos que todo número real é um número complexo. Nesse sentido, os conjuntos ( mathbb N ), ( mathbb W ), ( mathbb Z ), ( mathbb Q ), ( mathbb R ) e ( mathbb C ) são 'aninhados' como as bonecas Matryoshka.

Figura ( PageIndex {1} ): Aninhamento de matryoshkas abertos. (CC BY-SA 3.0; BrokenSphere).

Na maior parte, este livro se concentra em conjuntos cujos elementos vêm dos números reais ( mathbb R ). Lembre-se de que podemos visualizar ( mathbb R ) como uma linha. Os segmentos desta linha são chamados intervalos de números. Abaixo está um resumo dos chamados notação de intervalo associado a determinados conjuntos de números. Para intervalos com pontos finais finitos, listamos o ponto final esquerdo e, em seguida, o ponto final direito. Usamos colchetes, ' ([)' ou ' (] )', se o ponto final estiver incluído no intervalo e usamos um ponto preenchido ou 'fechado' para indicar a associação no intervalo. Caso contrário, usamos parênteses, ' (()' ou ' () )' e um círculo 'aberto' para indicar que o ponto final não faz parte do conjunto. Se o intervalo não tiver pontos finais finitos, usamos os símbolos (- infty ) para indicar que o intervalo se estende indefinidamente para a esquerda e ( infty ) para indicar que o intervalo se estende indefinidamente para a direita. Visto que infinito é um conceito, e não um número, sempre usamos parênteses ao usar esses símbolos na notação de intervalo e usamos uma seta apropriada para indicar que o intervalo se estende indefinidamente em uma (ou ambas) direções.

Notação de intervalo

Sejam (a ) e (b ) números reais com (a

Conjunto de números reais Notação de intervaloRegião na Linha de Número Real
( {x , | , a ((a, b) )
( {x , | , a leq x ([a, b) )
( {x , | , a leq x ((a, b] )
( {x , | , a leq x ([a, b] )
( {x , | , a ((- infty, b) )
( {x , | , x leq b } ) ((- infty, b] )
( {x , | , a leq x leq b } ) ((a, infty) )
( {x , | , x geq a } ) ([a, infty) )
( mathbb R ) ((- infty, infty) )

Freqüentemente, teremos ocasião de combinar conjuntos. Existem duas maneiras básicas de combinar conjuntos: ( textbf {intersection} ) e ( textbf {union} ). Definimos esses dois conceitos a seguir.

Definição 1.2: Intersecção e União

Suponha que (A ) e (B ) sejam dois conjuntos.

  • A interseção de (A ) e (B ): (A cap B = {x , | , x in A , text {e} , , x in B } )
  • A união de (A ) e (B ): (A cup B = {x , | , x in A , text {ou} , , x in B , , text {(ou ambos)} } )

Dito de outra forma, a interseção de dois conjuntos é a sobreposição dos dois conjuntos - os elementos que os conjuntos têm em comum. A união de dois conjuntos consiste na totalidade dos elementos em cada um dos conjuntos, coletados juntos (o leitor é encorajado a pesquisar os Diagramas de Venn para uma boa interpretação geométrica desses conceitos). Por exemplo, se (A = {1,2,3 } ) e (B = {2,4,6 } ), então (A cap B = {2 } ) e (A cup B = {1,2,3,4,6 } ). Se (A = [-5,3) ) e (B = (1, infty) ), então podemos encontrar (A cap B ) e (A xícara B ) graficamente. Para encontrar (A cap B ), sombreiamos a sobreposição dos dois e obtemos (A cap B = (1,3) ). Para encontrar (A cup B ), sombreiamos cada um de (A ) e (B ) e descrevemos a região sombreada resultante para encontrar (A cup B = [-5, infty) ) .

Embora tanto a interseção quanto a união sejam importantes, temos mais oportunidade de usar união neste texto do que interseção, simplesmente porque a maioria dos conjuntos de números reais com os quais trabalharemos são intervalos ou são uniões de intervalos, como o exemplo a seguir ilustra.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Expresse os seguintes conjuntos de números usando a notação de intervalo.

  1. ( {x , | , x leq -2 , , text {ou} , , x geq 2 } )
  2. ( {x , | , x neq 3 } )
  3. ( {x , | , x neq pm 3 } )
  4. ( {x , | , -1

Solução

  1. A melhor maneira de proceder aqui é representar graficamente o conjunto de números na reta numérica e obter a resposta a partir dele. A desigualdade (x leq -2 ) corresponde ao intervalo (- infty, -2] ) e a desigualdade (x geq 2 ) corresponde ao intervalo ([2, infty) ). Como estamos procurando descrever os números reais (x ) em um destes ( textit {ou} ) o outro, temos ( {x , | , x leq -2 , , text {ou} , , x geq 2 } = (- infty, -2] cup [2, infty) ).

  1. Para o conjunto ( {x , | , x neq 3 } ), sombreamos toda a linha do número real, exceto (x = 3 ), onde deixamos um círculo aberto. Isso divide a reta de número real em dois intervalos, ((- infty, 3) ) e ((3, infty) ). Uma vez que os valores de (x ) podem estar em qualquer um desses intervalos ( textit {ou} ) o outro, temos que ( {x , | , x neq 3 } = ( - infty, 3) cup (3, infty) )

  1. Para o conjunto ( {x , | , x neq pm 3 } ), procedemos como antes e excluímos (x = 3 ) e (x = -3 ) do nosso conjunto . Isso divide a linha numérica em intervalos ( textit {três} ), ((- infty, -3) ), ((- 3,3) ) e ((3, infty) ) Uma vez que o conjunto descreve números reais que vêm do primeiro, segundo ( textit {ou} ) terceiro intervalo, temos ( {x , | , x neq pm 3 } = (- infty , -3) xícara (-3,3) xícara (3, infty) ).

  1. Representando graficamente o conjunto ( {x , | , -1

O plano de coordenadas cartesianas

Para visualizar a pura emoção que é o Pré-cálculo, precisamos unir Álgebra e Geometria. Simplificando, devemos encontrar uma maneira de desenhar coisas algébricas. Vamos começar com possivelmente a maior conquista matemática de todos os tempos: o Plano de Coordenadas Cartesianas. Imagine duas linhas de números reais se cruzando em um ângulo reto em (0 ), conforme desenhado abaixo.

A linha numérica horizontal é normalmente chamada de eixo (x )}, enquanto a linha numérica vertical é normalmente chamada de eixo (y )}; Esses rótulos podem variar dependendo do contexto da aplicação. Como acontece com a reta numérica usual, imaginamos esses eixos estendendo-se indefinidamente em ambas as direções. Footnote {Normalmente estendendo-se em direção ao infinito é indicado por setas, mas aqui, as setas são usadas para indicar o direção de valores crescentes de (x ) e (y ).}

Ter duas retas numéricas nos permite localizar as posições dos pontos fora das retas numéricas, bem como os pontos nas próprias linhas.

Por exemplo, considere o ponto (P ) na próxima página. Para usar os números nos eixos para rotular este ponto, imaginamos soltar uma linha vertical do eixo (x ) para (P ) e estender uma linha horizontal do eixo (y ) para ( P ). Este processo é algumas vezes chamado de 'projeção' do ponto (P ) para o eixo (x ) - (respectivamente (y ) -). Em seguida, descrevemos o ponto (P ) usando o par ordenado ((2, -4) ). O primeiro número do par ordenado é chamado de abscissa ou (x ) - coordenada e a segunda é chamada de ordenar ou (y ) - coordenada; novamente, os nomes das coordenadas podem variar dependendo do contexto do aplicativo. Se, por exemplo, o eixo horizontal representava o tempo, poderíamos escolher chamá-lo de eixo (t ). O primeiro número no par ordenado seria então a coordenada (t ).} Tomados em conjunto, o par ordenado ((2, -4) ) compreende o Coordenadas cartesianas do ponto (P ) (também chamadas de 'coordenadas retangulares' de (P ) - consulte a Seção 11.4 para obter mais detalhes). Na prática, a distinção entre um ponto e suas coordenadas é confusa; por exemplo, frequentemente falamos de 'o ponto ((2, -4) ).' Podemos pensar em ((2, -4) ) como instruções sobre como alcançar (P ) a partir do origem ((0, 0) ) movendo (2 ) unidades para a direita e (4 ) unidades para baixo. Observe que a ordem no par underline {ordenado} é importante (- ) se desejarmos plotar o ponto ((- 4,2) ), moveríamos para a esquerda (4 ) unidades de a origem e então mova para cima (2 ) unidades, como abaixo à direita.

Quando falamos de Plano de Coordenadas Cartesianas, queremos dizer o conjunto de todos os pares ordenados possíveis ((x, y) ) como (x ) e (y ) obtêm valores dos números reais. Abaixo está um resumo de fatos importantes sobre as coordenadas cartesianas.

Fatos importantes sobre o plano de coordenadas cartesianas

  • ((a, b) ) e ((c, d) ) representam o mesmo ponto no plano se e somente se (a = c ) e (b = d ).
  • ((x, y) ) encontra-se no eixo (x ) se e somente se (y = 0 ).
  • ((x, y) ) encontra-se no eixo (y ) se e somente se (x = 0 ).
  • A origem é o ponto ((0,0) ). É o único ponto comum a ambos os eixos.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Trace os seguintes pontos: (A (5,8) ), (B left (- frac {5} {2}, 3 right) ), (C (-5,8, -3) ), (D (4,5, -1) ), (E (5,0) ), (F (0,5) ), (G (-7,0) ), ( H (0, -9) ), (O (0,0) ).

A propósito, a letra (O ) quase sempre é reservada para a origem.

Solução

Para plotar esses pontos, começamos na origem e movemos para a direita se a coordenada (x ) - for positiva; para a esquerda se for negativo. Em seguida, movemos para cima se a coordenada (y ) - for positiva ou para baixo se for negativa. Se a coordenada (x ) - for (0 ), começamos na origem e nos movemos ao longo do eixo (y ) apenas. Se a coordenada (y ) - é (0 ), nos movemos ao longo do eixo (x ) apenas.

Os eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Eles são rotulados com algarismos romanos e procedem no sentido anti-horário ao redor do plano:

Por exemplo, ((1,2) ) fica no Quadrante I, ((- 1,2) ) no Quadrante II, ((- 1, -2) ) no Quadrante III e ((1 , -2) ) no quadrante IV. Se um ponto diferente da origem estiver nos eixos, normalmente nos referimos a esse ponto como estando no eixo positivo ou negativo (x ) (se (y = 0 )) ou no positivo ou negativo (y ) - eixo (se (x = 0 )). Por exemplo, ((0,4) ) está no eixo (y ) positivo, enquanto (- 117,0) ) está no eixo (x ) negativo. Esses pontos não pertencem a nenhum dos quatro quadrantes.

Um dos conceitos mais importantes em toda a Matemática é simetria. Existem muitos tipos de simetria em matemática, mas três deles podem ser discutidos facilmente usando coordenadas cartesianas.

Definição 1.3: Simetrias

Dois pontos ((a, b) ) e ((c, d) ) no plano são considerados

  • simétrico em relação ao eixo (x ) -} se (a = c ) e (b = -d )
  • simétrico em relação ao eixo (y )} se (a = -c ) e (b = d )
  • simétrico em relação à origem se (a = -c ) e (b = -d )

Esquematicamente,

Na figura acima, (P ) e (S ) são simétricos em relação ao eixo (x ), assim como (Q ) e (R ); (P ) e (Q ) são simétricos em relação ao eixo (y ), assim como (R ) e (S ); e (P ) e (R ) são simétricos em relação à origem, assim como (Q ) e (S ).

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Seja (P ) o ponto ((- 2,3) ). Encontre os pontos que são simétricos a (P ) sobre:

  • (x ) - eixo
  • (y ) - eixo
  • origem

Verifique sua resposta marcando os pontos.

Solução

A figura após Definição ( PageIndex {3} ) nos dá uma boa maneira de pensar sobre como encontrar pontos simétricos em termos de tomar os opostos das coordenadas (x ) - e / ou (y ) - de (P (-2,3) ).

  1. Para encontrar o ponto simétrico em torno do eixo (x ), substituímos a coordenada (y ) - por seu oposto para obter ((- 2, -3) ).
  2. Para encontrar o ponto simétrico em torno do eixo (y ), substituímos a coordenada (x ) - por seu oposto para obter ((2,3) ).
  3. Para encontrar o ponto simétrico em relação à origem, substituímos as coordenadas (x ) - e (y ) - por seus opostos para obter ((2, -3) ).

Uma maneira de visualizar os processos no exemplo anterior é com o conceito de um reflexão. Se começarmos com nosso ponto ((- 2,3) ) e fingir que o eixo (x ) - é um espelho, então o reflexo de ((- 2,3) ) através do (x ) - o eixo ficaria em ((- 2, -3) ). Se fingirmos que o eixo (y ) - é um espelho, o reflexo de ((- 2,3) ) através desse eixo seria ((2,3) ). Se refletirmos no eixo (x ) - e depois no eixo (y ), iríamos de (- 2,3) ) para ((- 2, -3) ) então para ((2, -3) ), e assim terminaríamos no ponto simétrico para ((- 2,3) ) sobre a origem. Resumimos e generalizamos esse processo a seguir.

Reflexões

Para refletir um ponto ((x, y) ) sobre o:

  1. (x ) - eixo, substitua (y ) por (- y ).
  2. (y ) - eixo, substitua (x ) por (- x ).
  3. origem, substitua (x ) por (- x ) e (y ) por (- y ).

Distância no Plano

Outro conceito importante em geometria é a noção de comprimento. Se vamos unir Álgebra e Geometria usando o Plano Cartesiano, então precisamos desenvolver uma compreensão algébrica do que significa distância no plano. Suponha que temos dois pontos, (P left (x_0, y_0 right) ) e (Q left (x_1, y_1 right), ) no plano. Por ( textbf {distância} ) (d ) entre (P ) e (Q ), queremos dizer o comprimento do segmento de linha que une (P ) com (Q ). (Lembre-se de que, dados quaisquer dois pontos distintos no plano, há uma linha única contendo ambos os pontos.) Nosso objetivo agora é criar uma fórmula algébrica para calcular a distância entre esses dois pontos. Considere a situação genérica abaixo à esquerda.

Com um pouco mais de imaginação, podemos imaginar um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento (d ), conforme desenhado acima à direita. A partir da última figura, vemos que os comprimentos das pernas do triângulo são ( left | x_1 - x_0 right | ) e ( left | y_1 - y_0 right | ) então o Teorema de Pitágoras nos dá

[ left | x_1 - x_0 right | ^ 2 + left | y_1 - y_0 right | ^ 2 = d ^ 2 ]

[ left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2 = d ^ 2 ]

(Você se lembra por que podemos substituir a notação de valor absoluto por parênteses?) Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da segunda equação e usando o fato de que a distância nunca é negativa, obtemos

equação 1.1: A fórmula da distância

A distância (d ) entre os pontos (P left (x_0, y_0 right) ) e (Q left (x_1, y_1 right) ) é:

[d = sqrt { left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2} label {distanceformula} ]

Nem sempre é o caso em que os pontos (P ) e (Q ) se prestam à construção de tal triângulo. Se os pontos (P ) e (Q ) são organizados verticalmente ou horizontalmente, ou descrevem exatamente o mesmo ponto, não podemos usar o argumento geométrico acima para derivar a fórmula da distância. Cabe ao leitor no Exercício ( ref {distanceothercases} ) verificar a Equação ( ref {distanceformula} ) para esses casos.

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Encontre e simplifique a distância entre (P (-2,3) ) e (Q (1, -3) ).

Solução

setlength { extrarowheight} {3pt}

[ begin {array} {rcl} d & = & sqrt { left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2} & = & sqrt {( 1 - (- 2)) ^ 2 + (-3-3) ^ 2} & = & sqrt {9 + 36} & = & 3 sqrt {5} end {array} ]

Portanto, a distância é (3 sqrt {5} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Encontre todos os pontos com (x ) - coordenada (1 ) que são (4 ) unidades do ponto ((3,2) ).

Solução

Veremos em breve que os pontos que desejamos encontrar estão na linha (x = 1 ), mas por enquanto vamos vê-los apenas como pontos da forma ((1, y) ). Visualmente,

Exigimos que a distância de ((3,2) ) a ((1, y) ) seja (4 ). A Fórmula da distância, Equação ref {fórmula da distância}, produz

[ begin {array} {rclr} d & = & sqrt { left (x_1-x_0 right) ^ 2 + left (y_1-y_0 right) ^ 2} & 4 & = & sqrt {(1-3) ^ 2 + (y-2) ^ 2} & 4 & = & sqrt {4+ (y-2) ^ 2} & 4 ^ 2 & = & left ( sqrt {4+ (y-2) ^ 2} right) ^ 2 & mbox {quadrando ambos os lados} 16 & = & 4+ (y-2) ^ 2 & 12 & = & (y- 2) ^ 2 & (y-2) ^ 2 & = & 12 & y - 2 & = & pm sqrt {12} & mbox {extraindo a raiz quadrada} y-2 & = & pm 2 sqrt {3} & y & = & 2 pm 2 sqrt {3} & end {array} ]

Obtemos duas respostas: ((1, 2 + 2 sqrt {3}) ) e ((1, 2-2 sqrt {3}). ) O leitor é encorajado a pensar sobre por que existem dois respostas.

Relacionado a encontrar a distância entre dois pontos está o problema de encontrar o ponto médio do segmento de linha conectando dois pontos. Dados dois pontos, (P left (x_0, y_0 right) ) e (Q left (x_1, y_1 right) ), o ( textbf {ponto médio} ) (M ) de (P ) e (Q ) é definido como o ponto no segmento de linha conectando (P ) e (Q ) cuja distância de (P ) é igual a sua distância de (Q ).

Se pensarmos em alcançar (M ) indo 'na metade' e 'na metade', obteremos a seguinte fórmula.

A Fórmula do Ponto Médio

O ponto médio (M ) do segmento de linha conectando (P left (x_0, y_0 right) ) e (Q left (x_1, y_1 right) ) é:

[M = left ( dfrac {x_0 + x_1} {2}, dfrac {y_0 + y_1} {2} right) label {midpointformula} ]

Se deixarmos (d ) denotar a distância entre (P ) e (Q ), deixamos como Exercício ( ref {verifymidpointformula} ) para mostrar que a distância entre (P ) e (M ) é (d / 2 ) que é igual à distância entre (M ) e (Q ). Isso é suficiente para mostrar que a Equação ( ref {midpointformula} ) fornece as coordenadas do ponto médio.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Encontre o ponto médio do segmento de linha conectando (P (-2,3) ) e (Q (1, -3) ).

Solução

[ begin {array} {rcl} M & = & left ( dfrac {x_0 + x_1} {2}, dfrac {y_0 + y_1} {2} right) & = & left ( dfrac {(- 2) +1} {2}, dfrac {3 + (- 3)} {2} direita) = left (- dfrac {1} {2}, dfrac {0} {2 } right) & = & left (- dfrac {1} {2}, 0 right) end {array} ]

O ponto médio é ( left (- frac {1} {2}, 0 right) ).

Concluímos com uma aplicação mais abstrata da Fórmula do Ponto Médio. Iremos revisitar o seguinte exemplo no Exercício ( ref {inversemidpointex2} ) na Seção 2.1.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Se (a neq b ), prove que a linha (y = x ) divide igualmente o segmento de linha com os pontos finais ((a, b) ) e ((b, a) ).

Solução

Para provar a afirmação, usamos a Equação ref {midpointformula} para encontrar o ponto médio

[ begin {array} {rcl} M & = & left ( dfrac {a + b} {2}, dfrac {b + a} {2} right) & = & left ( dfrac {a + b} {2}, dfrac {a + b} {2} right) end {array} ]

Como as coordenadas (x ) e (y ) deste ponto são iguais, descobrimos que o ponto médio está na linha (y = x ), conforme necessário.


Sistema Cartesiano

O sistema que descrevemos para rotular pontos em um plano é conhecido como o Sistema Cartesiano. Foi descrito pela primeira vez por um matemático francês chamado René Descartes no século XVII. A palavra cartesiano é derivado de Descartes.

Vimos que duas retas numéricas perpendiculares X e Y são necessárias para o sistema cartesiano.

As duas linhas X e Y juntas são chamadas de machados do sistema. Observe que & ldquoeixos & rdquo é uma palavra no plural. Se tivermos que nos referir a apenas uma das duas linhas numéricas X ou Y, teremos que usar o singular eixo.

O ponto de intersecção dos eixos é o zero do Sistema Cartesiano. Este ponto geralmente será denotado por O.

Para especificar a posição de qualquer ponto P no plano, medimos a distância x temos que viajar ao longo de X, e então a distância y temos que viajar paralelamente a Y, para ir de O a P. As distâncias podem ser negativas. Por exemplo, se você tiver que viajar direito, então x será positivo. Da mesma forma, se você tiver que viajar baixa em Y, então y será negativo.

Os dois números reais x e y ocupado juntos irá descrever a posição de P exclusivamente. Podemos escrever isso da seguinte forma: P & equiv (x, y) ou P = (x, y) Assim, a localização de P pode ser rotulada exclusivamente por dois números reais.

Para diferentes posições de P, este par de números reais será diferente.

Considere a figura a seguir e releia a discussão acima mais uma vez com referência a isto:

O par de números reais x e y que determinam exclusivamente a posição de um ponto P no plano são referidos coletivamente como o coordenadas de P.

O primeiro número real (neste caso, x) nos diz a distância que teremos que percorrer ao longo de X para chegar a P. Iremos nos referir a este número real como o x-coordenada ou abscissa de P.

O segundo número real (neste caso, y) nos diz a distância que teremos que percorrer paralelamente a Y para chegar a P. Iremos nos referir a este número real como o y-coordenada ou ordenar de P.

O x-coordenar e y-coordenada pode ser positiva, zero ou negativa, dependendo da localização de P.

Os dois eixos (X e Y) dividem o plano em quatro regiões, ou quadrantes. Eles são numerados da seguinte forma:

Em cada quadrante, os sinais das coordenadas serão diferentes:

Você pode ver por que isso é verdade? Também observamos o seguinte:

Os pontos no eixo X têm um y-coordenada de 0.

Os pontos no eixo Y têm um x-coordenada de 0.

A propriedade mais poderosa do sistema cartesiano é que, usando isso, qualquer ponto no plano pode ser rotulado de forma única:

Uma Dimensão. Em uma linha, os pontos podem ser rotulados usando apenas um número real.

Duas Dimensões. Em um plano, os pontos podem ser rotulados por meio do sistema cartesiano usando dois números reais ou coordenadas.

Suponha que você seja solicitado a plotar o ponto P = (2,3) no plano. Como você vai fazer isso? Começando de O (a origem), você moverá 2 unidades para a direita, ao longo do eixo X, e então 3 unidades para cima, paralelas ao eixo Y. O ponto que você alcançará será o ponto P:

Agora, suponha que você tenha que traçar Q ( - 3, - 2.5). Para alcançar Q (começando de O), você moverá 3 unidades para a esquerda de O e, em seguida, 2,5 unidades para baixo, paralelamente ao eixo Y. O ponto que você alcançará será o ponto Q (observe que Q está no terceiro quadrante):

Desta forma, você pode plotar qualquer ponto do plano, dadas suas coordenadas.

Exemplo 1: Trace os seguintes pontos no plano cartesiano:

  1. A (1,3, 2,4)
  2. B ( - 2.7, 3.2)
  3. C ( - 1.1, - 3.6)
  4. D (4, - 2)

Solução: Notamos que A, B, C e D estão respectivamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes:

Exemplo 2: Vários pontos são dados a você no avião:

  1. A (1,4)
  2. B ( - 3, 5)
  3. C (2, - 5)
  4. D ( - 1, - 4)
  5. E (4, 4)
  6. F (1,0)
  7. G (0, - 3)

Responda as seguintes questões:

a) Quais pontos estão no primeiro ou no terceiro quadrante?

b) Quais pontos estão no segundo do quarto quadrante?

c) Quais pontos ficam em um dos dois eixos?

Solução: Todos os sete pontos foram plotados abaixo observe este gráfico cuidadosamente:

a) A e E estão no primeiro quadrante, e D está no terceiro quadrante.

b) B encontra-se no segundo quadrante e C encontra-se no quarto quadrante.

c) F está no lado positivo do eixo X e G está no lado negativo do eixo Y.

Exemplo 3:Uma pessoa lança dois dados rolantes ao mesmo tempo. Deixe os números que aparecem no Die - 1 e morrer - 2 ser representado por x e y respectivamente. Após cada lançamento, o ponto P (x, y) é plotado no plano. Plote todas as posições possíveis de P e destaque aquelas posições para as quais a soma de x e y é 8.

Solução: Observe que em cada dado, podemos ter 6 números (inteiros de 1 a 6). Assim, se você combinar os números possíveis de ambos os dados, terá 36 pares. Por exemplo, existem seis pares com o número 3 no Dado - 1:

Ao todo, serão 36 pares (liste-os se não tiver certeza sobre isso). Agora, os pares para os quais a soma de x e y é 8, são:

Na figura a seguir, os 36 pares totais foram plotados e esses 5 pares foram destacados:

Exemplo 4: Trace cinco pontos no plano cartesiano para os quais a abscissa e a ordenada são iguais.

Solução: Vamos traçar os seguintes cinco pontos:

( - 2, - 2), ( - 1, - 1), (0, 0), (1,1), (2,2)

Observe um fato interessante. Esses cinco pontos estão na mesma linha reta:

Na verdade, se você for levar algum ponto nesta linha, sua abscissa e ordenada serão iguais! Tente. Você pode justificar intuitivamente por que isso deve ser assim?


Adição de vetores

  • & lambda (a + b) = & lambdauma + & lambdab (lei distributiva, para vetores)
  • (& lambda + & beta)uma = & lambdauma + e betab (lei distributiva para escalares)
  • 1 & middotuma = uma
  • (& menos1) e middotuma = & menosuma
  • 0 & middotuma = 0.

Generalizando exemplos bem conhecidos de vetores (velocidade e força) em física e engenharia, o matemático introduziu objetos abstratos chamados vetores. Portanto, vetores são objetos que podem ser adicionados / subtraídos e multiplicados por escalares. Essas duas operações (adição interna e multiplicação escalar externa) são consideradas para satisfazer as condições naturais descritas acima. Diz-se que um conjunto de vetores forma um Espaço vetorial (também chamado de espaço linear), se quaisquer vetores a partir dele podem ser adicionados / subtraídos e multiplicados por escalares, sujeito às propriedades regulares de adição e multiplicação. O vento, por exemplo, tem uma velocidade e uma direção e, portanto, é convenientemente expresso como um vetor. O mesmo pode ser dito de objetos em movimento, momentum, forças, campos eletromagnéticos e peso. (Peso é a força produzida pela aceleração da gravidade agindo sobre uma massa.)

A primeira coisa que precisamos saber é como definir um vetor para que fique claro para todos. Hoje, mais do que nunca, as tecnologias da informação são parte integrante de nossa vida cotidiana. É por isso que precisamos de uma ferramenta para modelar vetores em computadores. Uma das maneiras comuns de fazer isso é introduzir um sistema de coordenadas, cartesiano ou qualquer outro. Em engenharia, tradicionalmente usamos o sistema de coordenadas cartesianas que especifica qualquer ponto com uma sequência de dígitos. Cada coordenada mede uma distância de um ponto até suas projeções perpendiculares nos hiperplanos mutuamente perpendiculares.

Vamos começar com nosso familiar espaço tridimensional no qual o sistema de coordenadas cartesianas consiste em um tripleto ordenado de linhas (os eixos) que passam por um ponto comum (a origem) e são perpendiculares aos pares, também inclui uma orientação para cada eixo e uma única unidade de comprimento para todos os três eixos. Cada ponto é atribuído a distâncias a três planos perpendiculares entre si, chamados de planos coordenados (de modo que o par x e y eixos definem o z-plano, x e z eixos definem o y-avião, etc.). A construção reversa determina o ponto dado suas três coordenadas. Cada par de eixos define um plano de coordenadas. Esses planos dividem o espaço em oito trihedros, chamados octantes. As coordenadas são geralmente escritas como três números (ou fórmulas algébricas) entre parênteses e separadas por vírgulas, como em (-2.1,0.5,7). Assim, a origem tem coordenadas (0,0,0), e os pontos de unidade nos três eixos são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Não há nomes universais para as coordenadas nos três eixos. No entanto, o eixo horizontal é tradicionalmente chamado abscissa emprestado do New Latin (abreviação de abscissa linear, literalmente, "linha de corte"), e geralmente denotado por x. O próximo eixo é chamado ordenar, que veio do Novo Latim (linea), literalmente, linha aplicada de maneira ordenada, geralmente a rotularemos como y. O último eixo é chamado aplicar e geralmente denotado por z. Correspondentemente, os vetores unitários são denotados por eu (abscissa), j (ordenada), e k (aplicar), chamado de base. Uma vez que as coordenadas retangulares são configuradas, qualquer vetor pode ser expandido por meio desses vetores unitários. No caso tridimensional, cada vetor pode ser expandido como (< bf v> = v_1 < bf i> + v_2 < bf j> + v_3 < bf k>, ) onde (v_1, v_2, v_3 ) são chamadas de coordenadas do vetor v. As coordenadas são sempre especificadas em relação a uma base ordenada. Quando uma base é escolhida, um vetor pode ser expandido em relação aos vetores de base e pode ser identificado com um n-tuplo de n números reais (ou complexos) ou coordenadas. O conjunto de todos os números ordenados reais (ou complexos) é denotado por & reais n (ou & Copf n). Em geral, um vetor no espaço dimensional infinito é identificado por uma sequência infinita de números. Os vetores de coordenadas de dimensão finita podem ser representados por um vetor coluna (o que geralmente é o caso) ou um vetor linha. Iremos denotar vetores-coluna por letras minúsculas em negrito, e vetores-linha por letras minúsculas com uma seta sobreposta. Because of the way the Wolfram Language uses lists to represent vectors, Mathematica does not distinguish column vectors from row vectors, unless the user specifies which one is defined. One can define vectors using Mathematica commands: List, Table, Array, or curly brackets.

In mathematics and applications, it is a custom to distinguish column vectors

The concept of a vector space (also a linear space) has been defined abstractly in mathematics. Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as the 17th century however, the idea crystallized with the work of the German mathematician Hermann Günther Grassmann (1809--1877), who published a paper in 1862. A vector space is a collection of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars, the result producing more vectors in this collection. Scalars are often taken to be real numbers, but there are also vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or generally scalars in any field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called axioms (they can be found on the web page).


Vectors in Mathematica are built, manipulated and accessed similarly to matrices (see next section). However, as simple lists (“one-dimensional,” not “two-dimensional” such as matrices that look more tabular), they are easier to construct and manipulate. They will be enclosed in brackets ( [,] ) which allows us to distinguish a vector from a matrix with just one row, if we look carefully. The number of “slots” in a vector is not referred to in Mathematica as rows or columns, but rather by “size.”

Dentro Mathematica, defining vectors and matrices is done by typing every row in curly brackets:

A column vector can be constructed from curly brackets shown here < >. A comma delineates each row. The output, however, may not look like a column vector. To fix this you must call //MatrixForm on your variable representation of a row vector.

Constructing a row vector is very similar to constructing a column vector, except two sets of curly brackets are used. Again the output does look like a row vector and so //MatrixForm must be called to put the row vector in the format that you more familiar with:


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

A number line can be used to represent a number or solution of an equation that only has one variable. It is sufficient to describe the solution of one-valued equations because they all are single-dimensional. But as the number of variables in an equation increases, it is not enough. For example when the number of variables in an equation becomes two, there will be pair of numbers as a solution. This is why the concept of the number line has to be extended. There should be 2 number lines now, but how will we show our solution on it?

So, instead of a line, let’s define a plane to plot the solutions now.

Cartesian Plane, Coordinates, and Lines

Cartesian Plane:

A Cartesian plane is defined by two perpendicular number lines, X and Y. It extends to infinity in both directions. It has a centre usually denoted by O.

The horizontal line is called X-axis while the vertical line is called Y-axis.

Cartesian Coordinates:

Cartesian Coordinates are used to mark the plane about a point. How far up/down or how far left/right it is.

This is called an “ordered pair” (a pair of numbers in a special order) and usually, the numbers are separated by a comma, and parentheses are put around the whole thing like (5,4).

Abscissa and Ordinate:

Question 1: How much is the distance of the point A (5,4) from the X- Axis?

Point A (5,4) on the XY Plane is lying in such a way that it is 5 Units away from the Y Axis and 4 Units away from the X Axis.

Therefore, Point A (5,4) is 4 Units of distance away from X Axis.

Question 2: How much the distance of the point B (54, 36) from Y-Axis?

Point B (54,36) is lying on the XY Plane. It is clear that point B is 54 units away from the Y Axis and 36 Units away from the X Axis.

Hence, Point B (54, 36) is 54 Units away from Y axis.

Linear Equation in two Variables

A linear equation in two variables can be expressed to be,


where A, B are not equal to zero.

These equations have more than one solution.

x = 2 and y = 2 satisfy this equation. Similarly, (0,3) is also a solution. There are infinitely many solutions like this. All the points satisfying this equation lie on a straight line. It means that the equations in two variables represent a line on the Cartesian plane.

All the points satisfying the equation x + 2y = 6 form a line.

A linear equation in two variables can also be written in slope-intercept form to make it easier to plot and interpret on the graph. The point where a line intersects the y-axis is called intercept. It can be found by putting x = 0 and finding out the “y” through the single variable equation. The angle made by line with the positive x-axis is called the slope.

Slope Intercept Form

Usually, a linear equation in two variables is written in this form as this is the easiest way to find the slope of the line representing the equation while drawing the graph for it.

The slope-intercept form is:

where ‘m’ is the slope of the line and ‘C’ is the intercept(point of intersection of the line with the y-axis).

Observação: If the intercept ‘C’ is zero, then the equation of the lines becomes y = mx and it passes through origin.


Question: Plot the line 3x + 2y = 6 on graph.

This equation must be reduced into the slope intercept form so that we can draw this on graph.

3x + 2y = 6

2y = 6 – 3x

⇒ y= 3 – (3/2)x

⇒ y = -(3/2)x + 3

Now this equation can be plotted on graph.

Here, intercept ‘c’ = 3 and slope ‘m’ = -(3/2)

Point Slope Form:

It is used to describe the line when slope ‘m’ and one point of the line is available to us.

Intercept Form:

Used to describe the line when both x and y-axis intercept are available.

Two Point Form:

It is used when two points satisfying the equation of lines are available.

Equations of lines parallel to the x-axis or y-axis

To find the equations of the lines parallel to the x-axis or y-axis.

Let’s say there is a line XY that is parallel to the x-axis and is at a distance of 𔄝” from the x-axis. This means that all the points of the line are 5 units away from the x-axis. Thus, all the points on the line XY satisfy one condition i.e they are all 5 units away from the x-axis.

Let (x, y) be any point on the line XY, then it should satisfy, y = 5.

So, all the lines which are parallel to the x-axis will have a form of y = c where ‘c’ is the distance of the line from the x-axis.

Similarly, all the lines which are parallel to the y-axis will have a form of x = c, where ‘c’ is the distance of the line from the y-axis.

System of Linear Equations

A system of linear equations is formed when two or more linear equations work together. Since each equation represents a line on the Cartesian plane. Geometrically, finding out the solution to the system means finding out a point that satisfies both the lines i.e finding out the intersection of the lines.

For example:

2x + y = 5

-x + y = 2

Now, one might think of finding some values of x and y such that both of these equations are satisfied. Such values may or may not exist. But if they exist, they are called solution of this system of linear equations.

Solving system of linear equations

Unique Solution: This kind of solution exists only when lines intersect at some point. There is only one solution and this only possible when the slopes of the two lines are different i.e m1 ≠ m2.

No Solution: This kind of solution exists only when lines are parallel. If they are parallel, they won’t have any point of intersection between them. So, for this case, m1 = m2.

Infinite Solution: When two lines coincide on each other in this case since the lines coincide, they are infinitely many common points that satisfy both the lines. So infinite solutions exist.

(From left to right) Unique Solution, No Solution, e Infinitely many Solutions.

Question 1: Find the intersection between two lines given below:

Such a system is solved using the substitution method.

x = 3 – y



Putting this value in the equation 1,

3(3 – y) + 4y = 12

9 – 3y + 4y = 12

y = 3

So, x = 0,

Thus, the solution is (0,3).

Question 2: Find the solution of the two lines.

Taking 3 common from the second Equations,

It will become: 3 (x + y) = 3 (5)

x + y = 5

This Equation is exactly equal to the first equation. Hence, we can conclude these two lines are Parallel with each other.

Therefore, the above mentioned system of equations has No Solution.


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

In a plane, we know that we need two mutually perpendicular lines to locate the position of a point. These lines are called coordinate axes of the plane and the plane are usually called the Cartesian plane. But in real life, we do not have such a plane. In real life, to locate objects we need some extra information that as height. So now we need three things to locate a point in real life — x, y, and its height which is usually denoted by z. These are called coordinates with respect to three-dimensional space.

Coordinate Axes and Coordinate Planes

In the figure, we can see three planes intersecting each other. These planes are mutually perpendicular to each other. Lines XOX’, Y’OY and Z’OZ represent the intersection of all the planes with each other. These lines are called the x-axis, y-axis, and z-axis respectively, and they make the 3D rectangular coordinate system.

Coordinate Planes

The planes XOY, YOZ, and ZOX are called XY-plane, YZ-plane, and ZX-plane respectively. The intersection of all the planes is called the origin. These planes divide the 3-D space into 8 octants.

Coordinates of a Point in Space

Any point in 3D space is assumed to have three coordinates denoting the values of x, y, and z coordinates. In the figure below, we are given a point A(x, y, z) located in space. We drop a perpendicular from A to the x-y plane to the point M. The length of AM gives us the value of coordinate z. In the figure, LM and OL give us the value of the y and x coordinate.

Thus, to any point that is present in the space, there exists an ordered triplet (x, y, z) which gives the position of that point in the space.

Coordinates of the origin are (0, 0, 0). A point on x-axis is of the form (x, 0, 0), same goes for the points on y-axis and z-axis.

Distance between Two Points

Let’s say we have two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) in the 3-D space. The formula for calculating the distance between two points in 3-D space is similar to Euclid’s formula for the distance we have studied for 2-D space. This formula is a slight modification over the original formula that was given by Euclid.

The distance between two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) is given by,

Plane

A plane is a 2-dimensional flat surface that extended infinitely far. It is a 3-dimensional analogous to a line 2-dimensions and a point in a one-dimensional space. It is hard to draw a plane, if we are writing something on paper, it is also a plane. We are writing on a plane. The figure below shows a plane in 3-d space.

Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. Its equation is given by,

This is called intercept form of the equation of plane.

Sample Problems

Question 1: Let’s say we have a point on the x-axis, what is its y-coordinate and z-coordinate?

In the figure, the point lies on x-axis. It can be noticed that it’s coordinates for y and z are equal to zero.

Question 2: Fill in the blanks:

  1. X and Y axis together make _____ plane.
  2. All the coordinate planes divide the 3d space into _______ octants.

1. X and Y axis together make XY plane.

2. All the coordinates planes divide the 3-D space into eight octants.

Question 3: Calculate the distance between (0,0,0) and (5,4,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (5,,4,3). Let the distance be “l”

l =

=



=

=

= 5√2

Question 4: Calculate the distance between (0,0,0) and (1,2,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (1,2,3). Let the distance be “l”

l =

=



=

=

Question 5: Calculate the distance between (1,1,1) and (2,4,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (1,1,1) and (x2, y2, z2) = (2,4,3). Let the distance be “l”

l =

=

=



=

Question 6: In the figure given below, find the equation of the plane.

We know the intercept form of an equation of a plane. Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. It’s equation is given by,

Notice in the figure, a = 5, b = 4 and c = 3

So, the equation of the plane becomes,

=

=


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

  • The first number, x, is the horizontal position of the point from the origin. It is called the x-coordinate.
  • The second number, y, is the vertical position of the point from the origin. It is called the y-coordinate.

How to plot a value in a cartesian plane?

  • Quadrants I(+ve, +ve): Here both x, y values are positive i.e (x > 0, y > 0)
  • Quadrants II(-ve, +ve): Here x is negative value and y is positive value i.e (x < 0, y > 0)
  • Quadrants III(-ve, -ve): Here both x, y values are negative i.e (x < 0, y < 0)
  • Quadrants IV(+ve, -ve): Here x is positive value and y is negative value i.e (x > 0, y < 0)
  • Origin: The value where both the X-axis and Y-axis values are 0. This can be represented as O (0, 0) i.e Origin(0, 0).

Exemplos

After considering the value in X-axis and Y-axis plot them into the plane

Plot 2,3 in the plane where (2 > 0, 3 > 0). Thus they are in 1st quadrant. The plot is as the following:

Plot 2, -3 in the plane where (2 > 0, -3 < 0). Thus They are placed in the 4th quadrant. The plot is as the following:

Plot 2, 3 in the plane where (-2 < 0, -3 < 0). Thus they are in 3rd quadrant. The plot is as the following:

Plot -2, 3 in the plane where (-2 < 0, 3 > 0). Thus they are in the 2nd quadrant. The plot is as the following:

Plot 4, -4 in the plane where (4 > 0, -4 < 0). Thus they are in the 4th quadrant. The plot is as the following:


Lesson Coordinates and the Cartesian Plane

Units serve as guides to a particular content or subject area. Nested under units are lessons (in purple) and hands-on activities (in blue).

Note that not all lessons and activities will exist under a unit, and instead may exist as "standalone" curriculum.

TE Newsletter

Students learn about the Cartesian plane

Resumo

Engineering Connection

Many important engineering relationships are easily understood in the form of graphs. Graphing is essential to understanding the mathematics involved in all types of engineering. For example, civil engineers must understand graphing to be able to determine certain areas of stresses and strain within the building plans for bridges and other structures. In journal questions 1-5 (in the Assessment section), students consider the importance of creating visual representations of data, as well as possible data sources.

Objetivos de aprendizado

After this lesson, students should be able to:

  • Describe the Cartesian plane and correctly label its parts.
  • Explain the source of the name "Cartesian."
  • Describe the naming convention for coordinates in the form (x, y).
  • Explain what a function is and how to tell if a set of coordinates is a function.
  • Determine the domain and range of a set of points.
  • Plot a set of data points.
  • Explain how understanding graphing will help with solving the challenge.

Educational Standards

Each TeachEngineering lesson or activity is correlated to one or more K-12 science, technology, engineering or math (STEM) educational standards.

All 100,000+ K-12 STEM standards covered in TeachEngineering are collected, maintained and packaged by the Achievement Standards Network (ASN), a project of D2L (www.achievementstandards.org).

In the ASN, standards are hierarchically structured: first by source e.g., by state within source by type e.g., science or mathematics within type by subtype, then by grade, etc.

Common Core State Standards - Math
  • Use a pair of perpendicular number lines, called axes, to define a coordinate system, with the intersection of the lines (the origin) arranged to coincide with the 0 on each line and a given point in the plane located by using an ordered pair of numbers, called its coordinates. Understand that the first number indicates how far to travel from the origin in the direction of one axis, and the second number indicates how far to travel in the direction of the second axis, with the convention that the names of the two axes and the coordinates correspond (e.g., x-axis and x-coordinate, y-axis and y-coordinate). (Grade 5) More Details

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International Technology and Engineering Educators Association - Technology

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Worksheets and Attachments

More Curriculum Like This

Students explore the definition of a function by playing an interactive game called "Club Function." Through this activity students come to understand that one x-coordinate can only have one corresponding y-coordinate while y-coordinates can have many x-coordinates that correspond to it.

Students learn about the first attempts at machine learning and specifically about the perceptron model—a simplified model of a biological neuron.

Students learn about linear programming (also called linear optimization) to solve engineering design problems. They apply this information to solve two practice engineering design problems related to optimizing materials and cost by graphing inequalities, determining coordinates and equations from .

Pre-Req Knowledge

Familiarity with the coordinate plane, coordinates and equations are helpful but not required.

Introduction/Motivation

(In advance, make copies of the Work It Out Worksheet.Then prepare to shows students the 11-slide Linear Functions Presentation PowerPoint® file, which provides notes for them. The presentation is composed of three sections, delineated by three different slide background colors [blue, gray, gold]. The slides are "animated," so click the mouse [or space bar] to make the next items appear. Show slides 1-4 with the Introduction/Motivation section. Show slides 4-8 when presenting the Lesson Background information. Use slides 9-11 in conjunction with the associated activity, Club Function they are included in this lesson presentation as a teacher preview of the activity.)

(While showing slides 1-4, present the following information to students.)

Have you ever liked two things so much that you wanted to combine them to make one amazing thing? (Listen to student comments.) For example, think about peanuts and chocolate chips. Combined together, they can make peanut butter cookies with chocolate chips on top! Or what about the game of Slamball? It combines the fun of jumping on a trampoline with the rules of basketball. Both great ideas, and there are many more.

One interesting combination has to do with a French man who really liked math back in the 1600s. His name was Rene Descartes, and he liked both algebra and geometry, but back then people did not think those two topics were very much related. Decartes started looking for ways to combine them so that they could be used together for important applications. He came up with this neat way of taking numbers that belong in the realm of algebra and plotting them visually onto a geometric coordinate plane to show how they are related. This coordinate plane became known as the "Cartesian plane," named after him.

Several parts of the coordinate plane are important to understand before we can learn how to use it. In today's lesson, you will learn about it and how it is used.

(Hand out the worksheets and continue on to present students with the Lesson Background content.)

Lesson Background and Concepts for Teachers

While still showing slide 4 of the attached PPT file, cover the following information with students, as they make notes on the worksheet:

  • Take students through labeling the axes with "x" and "y," as well as adding arrows to the ends of each axis to show it goes on forever.
  • Talk about the Cartesian plane quadrants, having students label them "I, II, III and IV."
  • Point out which directions are positive (right on the x-axis and up on the y-axis) and which directions are negative (left on the x-axis and down on the y-axis), and have students mark out scales on each axis.
  • Point out the origin, the point (0,0).

While still showing slide 4, begin talking about coordinates: What does (0,0) mean? Students may say moving to 0 units to the left or right on the x-axis and moving 0 units up or down on the y-axis. Prompt them further to tell you which is x and which is y. Then tell them that we can generally write the format as (x,y), and have them fill that in on their worksheets.

Go through the process of plotting a couple of points with them. Depending on their level of familiarity with the topic, little prompting may be necessary. When they understand the concept, have them practice plotting the coordinates on the bottom of their worksheets. Then review the answers as a class and clarify any misconceptions. (This is a good stopping place for shorter class periods, as students can finish plotting points as homework.)

While showing slides 5 – 8, teach students the definition of a function. Use the slides to define relations, functions, domain, range, and linear functions. Have students do the practice problems on slide 8 and discuss their answers as a class.

For homework, assign students to complete the worksheet (if not done in class) and the Lesson 2 Practice Sheet Homework on the coordinate plane, function, domain and range.

Note: Slides 9 – 11 explain the Club Function game activity rules (only included here for teacher preview). Refer to the associated Club Function activity for detail and examples.

Associated Activities

Assessment

Practice: During the lesson (or as homework), have students complete the Work It Out Worksheet to practice plotting some coordinates on their own.

Journal Questions: At lesson end, have students create in their journals small graphs of the data points from the grand challenge data set. Graph the first 10 points. Create the appropriate scale and approximate the location of each point. Then have them write answers to the following questions.

  1. Do you see a trend forming?
  2. Draw a line approximating this trend.
  3. What did this graph tell you that you did not already know from looking at the data?
  4. Why is graphing a set of data important?
  5. Where do you think this data could have come from?

Homework: Assign students to complete the Lesson 2 Practice Sheet Homework on coordinate plane, functions, domain and range to give them practice determining whether a group of points is a function, and determining the domain and range of sets of points.

Copyright

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Supporting Program

Acknowledgements

The contents of this digital library curriculum were developed under National Science Foundation RET grant nos. 0338092 and 0742871. However, these contents do not necessarily represent the policies of the NSF, and you should not assume endorsement by the federal government.


Solved Examples on Cartesian Coordinates

William wants to throw a ball into a bucket which is placed on the coordinates (3, 10).

If William is standing on the coordinates (3, 5), how far will he have to throw the ball?

To calculate how far William will have to throw the ball, we need to calculate the distance between William and the bucket.

The x-coordinate of William's location and the bucket is 3

Thus, they are on a line parallel to the y-axis.

Hence, the distance between William and the bucket can be calculated as the difference of the y-coordinates of both the points.

Thus, William has to throw the ball (5) units away
Example 2

If point P ((3, 4)) and point Q ((5, 7-a)) lie on a line parallel to the x-axis, then what is the value of (a)?

We know that both the points P and Q lie on a line parallel to the x-axis, thus, their y-coordinates are the same.

( herefore) (a=3)
Example 3

Jacob and Ethan want to make a frame using the coordinates ((1, 2), (3, 2), (3, 0), (1, 0)).

Based on the coordinates, Jacob says that the frame will be a square while Ethan says that the frame will be a parallelogram.

Can you identify who is right?

We need to draw the above coordinates on a cartesian plane to check the shape they will form.

We can clearly see that the figure thus obtained is a square as all the four sides are equal and all the four interior angles are (90^).

( herefore) Jacob is right.
Example 4

The cartesian coordinate plane below represents a city map with 5 different locations.

Find the cartesian coordinates for each of these locations.

A - School B - Hospital C - Cinema hall D - Police department E - Zoo

School is situated at (1, 6)

Hospital is Situated at (3, 3)

Cinema Hall is situated at (-5, -4)

Police department is situated at (-2, 2)

If the four quadrants represent the following 4 states of the US:

1st Quadrant Califórnia
2nd Quadrant Florida
3rd Quadrant Texas
4th Quadrant Arizona

Can you identify in which state these points lie?
A (4, -2)
B (-3, -5)
C (1, 2)
D (-7, 1)
E (-2, -6)

Point C lies in California

In which quadrants do the points P, Q, R and S lie in?

If any of the points lie on the axes or if any of the coordinate value is zero, this is how we can represent those points:

Point P lies on the positive y-axis

Point Q lies on the positive x-axis

Point R lies on the negative y-axis

Point S lies on the negative x-axis


René Descartes (born March 31, 1596, La Haye, Touraine, France&mdashdied February 11, 1650, Stockholm, Sweden), a French mathematician, scientist, and philosopher.

René Descartes invented analytical geometry and introduced skepticism as an essential part of the scientific method. He is regarded as one of the greatest philosophers in history. His analytical geometry was a tremendous conceptual breakthrough, linking the previously separate fields of geometry and algebra.

René Descartes was a mathematician, philosopher, and scientist. He developed rules for deductive reasoning, developed a system for using letters as mathematical variables, and discovered how to plot points on a Cartesian plane.


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