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3.4: (e 3.4) Regras de Diferenciação - Matemática


Encontrar derivadas de funções usando a definição da derivada pode ser um processo demorado e, para certas funções, um tanto desafiador. Por exemplo, anteriormente descobrimos que

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt {x}) = dfrac {1} {2 sqrt {x}} ]

usando um processo que envolvia a multiplicação de uma expressão por um conjugado antes de avaliar um limite. O processo que poderíamos usar para avaliar

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt [3] {x}) ]

usar a definição, embora semelhante, é mais complicado. Nesta seção, desenvolvemos regras para encontrar derivados que nos permitem contornar esse processo. Começamos com o básico.

As regras básicas

As funções (f (x) = c ) e (g (x) = x ^ n ) onde (n ) é um número inteiro positivo são os blocos de construção a partir dos quais todos os polinômios e funções racionais são construídos. Para encontrar derivados de polinômios e funções racionais de forma eficiente sem recorrer à definição limite da derivada, devemos primeiro desenvolver fórmulas para diferenciar essas funções básicas.

A Regra Constante

Primeiro aplicamos a definição de limite da derivada para encontrar a derivada da função constante, (f (x) = c ). Para esta função, tanto (f (x) = c ) e (f (x + h) = c ), obtemos o seguinte resultado:

[ begin {align} f ′ (x) & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) −f (x)} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {c − c} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {0} {h} & = lim_ {h → 0} 0 = 0. end {align} ]

A regra para diferenciar funções constantes é chamada de regra constante. Ele afirma que a derivada de uma função constante é zero; ou seja, como uma função constante é uma linha horizontal, a inclinação ou a taxa de variação de uma função constante é (0 ). Reafirmamos essa regra no teorema a seguir.

A Regra Constante

Seja (c ) uma constante. Se (f (x) = c ), então (f ′ (c) = 0. )

Alternativamente, podemos expressar esta regra como

[ dfrac {d} {dx} (c) = 0. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Aplicando a regra constante

Encontre a derivada de (f (x) = 8. )

Solução

Esta é apenas uma aplicação da regra em uma etapa:

[f ′ (8) = 0. ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre a derivada de (g (x) = - 3 ).

Dica

Use o exemplo anterior como um guia

Responder

0

A regra do poder

Nós mostramos que

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x mbox {e} dfrac {d} {dx} (x ^ {1/2}) = dfrac {1} {2} x ^ {-1/2}. ]

Neste ponto, você pode ver um padrão começando a se desenvolver para derivados da forma ( dfrac {d} {dx} (x ^ n). ) Continuamos nosso exame de fórmulas derivadas diferenciando funções de potência da forma (f (x) = x ^ n ) onde (n ) é um número inteiro positivo. Desenvolvemos fórmulas para derivadas desse tipo de função em estágios, começando com potências inteiras positivas. Antes de declarar e provar a regra geral para derivadas de funções desta forma, vamos dar uma olhada em um caso específico, ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ). À medida que avançamos nesta derivação, preste atenção especial à parte da expressão em negrito, pois a técnica usada neste caso é essencialmente a mesma que a técnica usada para provar o caso geral.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Diferenciando (x ^ 3 )

Encontre ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ).

Solução:

( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ 3 − x ^ 3} {h} )
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 − x ^ 3} {h} )Observe que o primeiro termo na expansão de ((x + h) ^ 3 ) é (x ^ 3 ) e o segundo termo é (3x ^ 2h ). Todos os outros termos contêm potências de (h ) que são dois ou mais
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3} {h} )Nesta etapa, os termos (x ^ 3 ) foram cancelados, deixando apenas os termos contendo (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {h (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2)} {h} )Fatore o fator comum de (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2) )Após cancelar o fator comum de (h ), o único termo que não contém (h ) é (3x ^ 2 ).
(= 3x ^ 2 )Vamos (h ) ir para (0 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre [ dfrac {d} {dx} (x ^ 4). ]

Dica

Use ((x + h) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3h + 6x ^ 2h ^ 2 + 4xh ^ 3 + h ^ 4 ) e siga o procedimento descrito no exemplo anterior.

Responder

(4x ^ 3 )

Como veremos, o procedimento para encontrar a derivada da forma geral (f (x) = x ^ n ) é muito semelhante. Embora seja freqüentemente imprudente tirar conclusões gerais de exemplos específicos, notamos que quando diferenciamos (f (x) = x ^ 3 ), a potência em (x ) torna-se o coeficiente de (x ^ 2 ) na derivada e a potência em (x ) na derivada diminui em 1. O teorema a seguir afirma que o regra de poder vale para todas as potências inteiras positivas de (x ). Eventualmente estenderemos esse resultado para potências inteiras negativas. Posteriormente, veremos que esta regra também pode ser estendida primeiro para potências racionais de (x ) e então para potências arbitrárias de (x ). Esteja ciente, entretanto, que esta regra não se aplica a funções nas quais uma constante é elevada a uma potência variável, como (f (x) = 3 ^ x ).

A regra do poder

Seja (n ) um número inteiro positivo. Se (f (x) = x ^ n ), então

[f ′ (x) = nx ^ {n − 1}. ]

Alternativamente, podemos expressar esta regra como

[ dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1.} ]

Prova

Para (f (x) = x ^ n ) onde (n ) é um número inteiro positivo, temos

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} ).

Dado que ((x + h) ^ n = x ^ n + nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n, )

nós vemos que

((x + h) ^ n − x ^ n = nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n. )

Em seguida, divida os dois lados por h:

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = dfrac {nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n} {h}. )

Desse modo,

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 2} + h ^ {n − 1}. )

Finalmente,

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} (nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n) )

(= nx ^ {n − 1}. )

Exemplo ( PageIndex {3} ): Aplicando a regra de potência

Encontre a derivada da função (f (x) = x ^ {10} aplicando a regra da potência.

Solução

Usando a regra de potência com (n = 10 ), obtemos

[f '(x) = 10x ^ {10−1} = 10x ^ 9. ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a derivada de (f (x) = x ^ 7 ).

Dica

Use a regra de potência com (n = 7. )

Responder

[f ′ (x) = 7x ^ 6 ]

A Soma, a Diferença e as Regras Múltiplas Constantes

Encontramos nossas próximas regras de diferenciação examinando as derivadas de somas, diferenças e múltiplos constantes de funções. Assim como quando trabalhamos com funções, existem regras que tornam mais fácil encontrar derivados de funções que adicionamos, subtraímos ou multiplicamos por uma constante. Essas regras são resumidas no teorema a seguir.

Soma, diferença e regras múltiplas constantes

Sejam (f (x) ) e (g (x) ) funções diferenciáveis ​​e (k ) uma constante. Então, cada uma das seguintes equações é válida.

Regra de Soma. A derivada da soma de uma função (f ) e uma função (g ) é a mesma que a soma da derivada de (f ) e a derivada de (g ).

[ dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) + dfrac {d} {dx} (g (x) ); ]

isso é,

[para mbox {} j (x) = f (x) + g (x), j ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

Regra de diferença. A derivada da diferença de uma função f e uma função g é a mesma que a diferença da derivada de f e a derivada de (g ):

[ dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) - dfrac {d} {dx} (g (x) ); ]

isso é,

[para mbox {} j (x) = f (x) −g (x), j ′ (x) = f ′ (x) −g ′ (x). ]

Regra múltipla constante. A derivada de uma constante c multiplicada por uma função f é a mesma que a constante multiplicada pela derivada:

[ dfrac {d} {dx} (kf (x)) = k dfrac {d} {dx} (f (x)); ]

isso é,

[para mbox {} j (x) = kf (x), j ′ (x) = kf ′ (x). ]

Prova

Fornecemos apenas a prova da regra da soma aqui. O resto segue de maneira semelhante.

Para funções diferenciáveis ​​ (f (x) ) e (g (x) ), definimos (j (x) = f (x) + g (x) ). Usando a definição de limite da derivada, temos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {j (x + h) −j (x)} {h}. ]

Substituindo (j (x + h) = f (x + h) + g (x + h) ) e (j (x) = f (x) + g (x), ) obtemos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))} {h}. ]

Reorganizando e reagrupando os termos, temos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} + dfrac {g (x + h) −g (x)} {h}). ]

Agora aplicamos a lei da soma para limites e a definição da derivada para obter

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(g (x + h) −g (x)} {h}) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Aplicando a regra do múltiplo constante

Encontre a derivada de (g (x) = 3x ^ 2 ) e compare-a com a derivada de (f (x) = x ^ 2. )

Solução

Usamos a regra de potência diretamente:

[g ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3x ^ 2) = 3 dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 3 (2x) = 6x. ]

Como (f (x) = x ^ 2 ) tem derivada (f ′ (x) = 2x ), vemos que a derivada de (g (x) ) é 3 vezes a derivada de (f (x) ). Esse relacionamento é ilustrado na Figura.

Figura ( PageIndex {1} ): A derivada de (g (x) ) é 3 vezes a derivada de (f (x) ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Aplicando regras derivadas básicas

Encontre a derivada de [f (x) = 2x ^ 5 + 7. ]

Solução

Começamos aplicando a regra para diferenciar a soma de duas funções, seguida pelas regras para diferenciar múltiplos constantes de funções e a regra para diferenciar poderes. Para entender melhor a sequência em que as regras de diferenciação são aplicadas, usamos a notação de Leibniz em toda a solução:

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} (2x ^ 5 + 7) )

(= dfrac {d} {dx} (2x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) Aplique a regra da soma.

(= 2 dfrac {d} {dx} (x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) Aplique a regra do múltiplo constante.

(= 2 (5x ^ 4) +0 ) Aplique a regra da potência e a regra da constante.

(= 10x ^ 4 ) Simplifique.

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre a derivada de [f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2 + 3. ]

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Responder

(f ′ (x) = 6x ^ 2−12x. )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a Equação de uma Linha Tangente

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de [f (x) = x ^ 2−4x + 6 ] em (x = 1 )

Solução

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto e uma inclinação. Para encontrar o ponto, calcule

[f (1) = 1 ^ 2−4 (1) + 6 = 3. ]

Isso nos dá o ponto ((1,3) ). Como a inclinação da reta tangente em 1 é (f ′ (1) ), devemos primeiro encontrar (f ′ (x) ). Usando a definição de uma derivada, temos

[f ′ (x) = 2x − 4 ]

então a inclinação da reta tangente é (f ′ (1) = - 2 ). Usando a fórmula de inclinação do ponto, vemos que a equação da reta tangente é

[y − 3 = −2 (x − 1). ]

Colocando a equação da reta na forma de inclinação-interceptação, obtemos

[y = −2x + 5. ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = 3x ^ 2−11 ) em (x = 2 ). Use a forma de inclinação de ponto.

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Responder

(y = 12x − 23 )

Derivados de ordem superior

A derivada de uma função é ela própria uma função, então podemos encontrar a derivada de uma derivada. Por exemplo, a derivada de uma função de posição é a taxa de mudança de posição ou velocidade. A derivada da velocidade é a taxa de variação da velocidade, que é a aceleração. A nova função obtida pela diferenciação da derivada é chamada de segunda derivada. Além disso, podemos continuar a obter derivadas para obter a terceira derivada, a quarta derivada e assim por diante. Coletivamente, eles são chamados de derivados de ordem superior. A notação para as derivadas de ordem superior de (y = f (x) ) pode ser expressa em qualquer uma das seguintes formas:

[f '' (x), f '' '(x), f ^ {(4)} (x),…, f ^ {(n)} (x) não numérico ]

[y '' (x), y '' '(x), y ^ {(4)} (x),…, y ^ {(n)} (x) não numérico ]

[ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}, frac {d ^ 3y} {dx ^ 3}, frac {d ^ 4y} {dx ^ 4},…, frac {d ^ ny} {dx ^ n}. ]

É interessante notar que a notação para ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) pode ser vista como uma tentativa de expressar ( frac {d} {dx} ( frac {dy} { dx}) ) de forma mais compacta. Analogamente, ( frac {d} {dx} ( frac {d} {dx} ( frac {dy} {dx})) = frac {d} {dx} ( frac {d ^ 2y} { dx ^ 2}) = frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando um segundo derivado

Para (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ), encontre (f '' (x) ).

Solução

Primeiro encontre (f ′ (x) ).

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {(2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1) - (2x ^ 2−3x + 1)} {h} )Substitua (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) e (f (x + h) = 2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1 ) em (f ′ (X) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h}. )
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {4xh + h ^ 2−3h} {h} )Simplifique o numerador.
(= displaystyle lim_ {h → 0} (4x + h-3) )Fatore (h ) no numerador e cancele com (h ) no denominador.
(= 4x − 3 )Pegue o limite.

Em seguida, encontre (f '' (x) ) tomando a derivada de (f ′ (x) = 4x − 3. )

(f '' (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f ′ (x + h) −f ′ (x)} {h} )Use (f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} ) com (f ′ (x) ) no lugar de (f (x). )
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(4 (x + h) −3) - (4x − 3)} {h} )Substitua (f ′ (x + h) = 4 (x + h) −3 ) e (f ′ (x) = 4x − 3. )
(= displaystyle lim_ {h → 0} 4 )Simplificar.
(=4)Pegue o limite.

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre (f '' (x) ) para (f (x) = x ^ 2 ).

Dica

Encontramos (f ′ (x) = 2x ) em um ponto de verificação anterior. Use a equação para encontrar a derivada de (f ′ (x) )

Responder

(f '' (x) = 2 )

A regra do produto

Agora que examinamos as regras básicas, podemos começar a examinar algumas das regras mais avançadas. O primeiro examina a derivada do produto de duas funções. Embora possa ser tentador supor que a derivada do produto é o produto das derivadas, semelhante às regras de soma e diferença, a Regra do produto não segue este padrão. Para ver porque não podemos usar este padrão, considere a função (f (x) = x ^ 2 ), cuja derivada é (f ′ (x) = 2x ) e não ( dfrac {d} {dx } (x) ⋅ dfrac {d} {dx} (x) = 1⋅1 = 1. )

Regra do produto

Sejam (f (x) ) e (g (x) ) funções diferenciáveis. Então

[ dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) + dfrac {d} {dx} ( g (x)) ⋅f (x). ]

Isso é,

[se j (x) = f (x) g (x), entãoj ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

Isso significa que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a derivada da segunda função vezes a primeira função.

Prova

Começamos assumindo que (f (x) ) e (g (x) ) são funções diferenciáveis. Em um ponto-chave nesta prova, precisamos usar o fato de que, uma vez que (g (x) ) é diferenciável, também é contínuo. Em particular, usamos o fato de que, uma vez que (g (x) ) é contínuo, ( displaystyle lim_ {h → 0} g (x + h) = g (x). )

Aplicando a definição de limite da derivada a ((x) = f (x) g (x), ) obtemos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

Adicionando e subtraindo (f (x) g (x + h) ) no numerador, temos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h) + f (x) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

Depois de quebrar este quociente e aplicar a lei da soma para os limites, a derivada torna-se

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(f (x) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

Reorganizando, obtemos

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} ⋅g (x + h)) + lim_ {h → 0} ( dfrac {g (x + h) −g (x)} {h} ⋅f (x)). ]

Usando a continuidade de (g (x) ), a definição das derivadas de (f (x) ) e (g (x) ), e aplicando as leis de limite, chegamos à regra do produto ,

[j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Aplicando a regra do produto a funções constantes

Para (j (x) = f (x) g (x) ), use a regra do produto para encontrar (j ′ (2) ) se (f (2) = 3, f ′ (2) = −4, g (2) = 1 ) e (g ′ (2) = 6 ).

Solução

Uma vez que (j (x) = f (x) g (x), j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x), ) e, portanto,

[j ′ (2) = f ′ (2) g (2) + g ′ (2) f (2) = (- 4) (1) + (6) (3) = 14. ]

Exemplo ( PageIndex {8} ): Aplicando a regra do produto a binômios

Para (j (x) = (x ^ 2 + 2) (3x ^ 3−5x), ) encontre (j ′ (x) ) aplicando a regra do produto. Verifique o resultado encontrando primeiro o produto e depois diferenciando.

Solução

Se definirmos (f (x) = x ^ 2 + 2 ) e (g (x) = 3x ^ 3−5x ), então (f ′ (x) = 2x ) e (g ′ (x) = 9x ^ 2−5 ). Desse modo,

(j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) = (2x) (3x ^ 3−5x) + (9x ^ 2−5) (x ^ 2 +2). )

Simplificando, temos

[j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. ]

Para verificar, vemos que (j (x) = 3x ^ 5 + x ^ 3−10x ) e, conseqüentemente, (j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. )

Exercício ( PageIndex {6} )

Use a regra do produto para obter a derivada de [j (x) = 2x ^ 5 (4x ^ 2 + x). ]

Dica

Defina (f (x) = 2x ^ 5 ) e (g (x) = 4x ^ 2 + x ) e use o exemplo anterior como um guia.

Responder

[j ′ (x) = 10x ^ 4 (4x ^ 2 + x) + (8x + 1) (2x ^ 5) = 56x ^ 6 + 12x ^ 5. ]

A regra do quociente

Tendo desenvolvido e praticado a regra do produto, consideramos agora a diferenciação de quocientes de funções. Como vemos no teorema a seguir, a derivada do quociente não é o quociente das derivadas; em vez disso, é a derivada da função no numerador vezes a função no denominador menos a derivada da função no denominador vezes a função no numerador, tudo dividido pelo quadrado da função no denominador. A fim de compreender melhor por que não podemos simplesmente tomar o quociente dos derivados, tenha em mente que

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x, não dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 3)} { dfrac {d} {dx} (x)} = dfrac {3x ^ 2} {1} = 3x ^ 2. ]

A regra do quociente

Sejam (f (x) ) e (g (x) ) funções diferenciáveis. Então

[ dfrac {d} {dx} ( dfrac {f (x)} {g (x)}) = dfrac { dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) - dfrac {d} {dx} (g (x)) ⋅f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

Ou seja, se

[j (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ]

então

[j ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

A prova da regra do quociente é muito semelhante à prova da regra do produto, por isso é omitida aqui. Em vez disso, aplicamos esta nova regra para encontrar derivadas no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Aplicando a Regra do Quociente

Use a regra de quociente para encontrar a derivada de [k (x) = dfrac {5x ^ 2} {4x + 3}. ]

Solução

Seja (f (x) = 5x ^ 2 ) e (g (x) = 4x + 3 ). Assim, (f ′ (x) = 10x ) e (g ′ (x) = 4 ). Substituindo na regra de quociente, temos

[k ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2} = dfrac {10x (4x + 3 ) −4 (5x ^ 2)} {(4x + 3) ^ 2}. ]

Simplificando, obtemos

[k ′ (x) = dfrac {20x ^ 2 + 30x} {(4x + 3) ^ 2} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre a derivada de (h (x) = dfrac {3x + 1} {4x − 3} ).

Responder

Aplique a regra de quociente com (f (x) = 3x + 1 ) e (g (x) = 4x − 3 ).

Responder

[k ′ (x) = - dfrac {13} {(4x − 3) ^ 2}. ]

Agora é possível usar a regra de quociente para estender a regra de potência para encontrar derivadas de funções da forma (x ^ k ) onde (k ) é um número inteiro negativo.

Regra de potência estendida

Se (k ) for um número inteiro negativo, então

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

Prova

Se (k ) é um inteiro negativo, podemos definir (n = −k ), de forma que n seja um inteiro positivo com (k = −n ). Uma vez que para cada inteiro positivo (n ), (x ^ {- n} = dfrac {1} {x ^ n} ), podemos agora aplicar a regra de quociente definindo (f (x) = 1 ) e (g (x) = x ^ n ). Nesse caso, (f ′ (x) = 0 ) e (g ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). Desse modo,

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {0 (x ^ n) −1 (nx ^ {n − 1})} {(x ^ n) ^ 2}. ]

Simplificando, vemos que

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {−nx ^ {n − 1}} {x ^ {2n}} = - nx ^ {(n − 1) −2n } = - nx ^ {- n − 1}. ]

Finalmente, observe que uma vez que (k = −n ), ao substituir, temos

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

Exemplo ( PageIndex {10} ): Usando a regra de potência estendida

Encontre ( dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) ).

Solução

Aplicando a regra de potência estendida com (k = −4 ), obtemos

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) = - 4x ^ {- 4−1} = - 4x ^ {- 5}. ]

Exemplo ( PageIndex {11} ): Usando a regra de potência estendida e a regra de múltiplo constante

Use a regra de potência estendida e a regra múltipla constante para encontrar (f (x) = dfrac {6} {x ^ 2} ).

Solução

Pode parecer tentador usar a regra de quociente para encontrar essa derivada, e certamente não seria incorreto fazê-lo. No entanto, é muito mais fácil diferenciar essa função reescrevendo-a primeiro como (f (x) = 6x ^ {- 2} ).

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} ( dfrac {6} {x ^ 2}) = dfrac {d} {dx} (6x ^ {- 2}) ) Reescrever ( dfrac {6} {x ^ 2} ) como (6x ^ {- 2} ).

(= 6 dfrac {d} {dx} (x ^ {- 2}) ) Aplique a regra do múltiplo constante.

(= 6 (−2x ^ {- 3}) ) Use a regra de potência estendida para diferenciar (x ^ {- 2} ).

(= - 12x ^ {- 3} ) Simplifique.

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre a derivada de (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} ) usando a regra de potência estendida.

Dica

Rewrite (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} = x ^ {- 7} ). Use a regra de potência estendida com (k = −7 ).

Responder

(g ′ (x) = - 7x ^ {- 8} ).

Combinando Regras de Diferenciação

Como vimos ao longo dos exemplos desta seção, raramente somos solicitados a aplicar apenas uma regra de diferenciação para encontrar a derivada de uma determinada função. Neste ponto, combinando as regras de diferenciação, podemos encontrar as derivadas de qualquer polinômio ou função racional. Mais tarde, encontraremos combinações mais complexas de regras de diferenciação. Uma boa regra prática para usar ao aplicar várias regras é aplicar as regras ao contrário da ordem em que avaliaríamos a função.

Exemplo ( PageIndex {12} ): Combinando regras de diferenciação

Para (k (x) = 3h (x) + x ^ 2g (x) ), encontre (k ′ (x) ).

Solução: encontrar essa derivada requer a regra da soma, a regra do múltiplo constante e a regra do produto.

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3h (x) + x ^ 2g (x)) = dfrac {d} {dx} (3h (x)) + dfrac {d} {dx} (x ^ 2g (x)) )Aplique a regra da soma.
(= 3 dfrac {d} {dx} (h (x)) + ( dfrac {d} {dx} (x ^ 2) g (x) + dfrac {d} {dx} (g (x )) x ^ 2) )Aplique a regra múltipla constante para diferenciar (3h (x) ) e a regra do produto para diferenciar (x ^ 2g (x) ).
(= 3h ′ (x) + 2xg (x) + g ′ (x) x ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {13} ): Estendendo a regra do produto

Para (k (x) = f (x) g (x) h (x) ), expresse (k ′ (x) ) em termos de (f (x), g (x), h ( x) ), e seus derivados.

Solução

Podemos pensar na função (k (x) ) como o produto da função (f (x) g (x) ) e a função (h (x) ). Ou seja, (k (x) = (f (x) g (x)) ⋅h (x) ). Desse modo,

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) ⋅h (x) + dfrac {d} {dx} (h (x)) ⋅ (f ( x) g (x)). ) Aplique a regra do produto ao productoff (x) g (x) eh (x).

(= (f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) h) (x) + h ′ (x) f (x) g (x) ) Aplicar a regra do produto a (f (x) g (x) ) )

(= f ′ (x) g (x) h (x) + f (x) g ′ (x) h (x) + f (x) g (x) h ′ (x). ) Simplifique.

Exemplo ( PageIndex {14} ): Combinando a regra do quociente e a regra do produto

Para (h (x) = dfrac {2x3k (x)} {3x + 2} ), encontre (h ′ (x) ).

Solução

Este procedimento é típico para encontrar a derivada de uma função racional.

(h ′ (x) = dfrac { dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ⋅ (3x + 2) - dfrac {d} {dx} (3x + 2) ⋅ (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) Aplicar a regra de quociente

(= dfrac {(6x ^ 2k (x) + k ′ (x) ⋅2x ^ 3) (3x + 2) −3 (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) Aplique a regra do produto para encontrar ( dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ). Use ( dfrac {d} {dx} (3x + 2) = 3 ).

(= dfrac {−6x ^ 3k (x) + 18x ^ 3k (x) + 12x ^ 2k (x) + 6x ^ 4k ′ (x) + 4x ^ 3k ′ (x)} {(3x + 2) ^ 2} ) Simplifique

Exercício ( PageIndex {9} )

Encontre ( dfrac {d} {dx} (3f (x) −2g (x)). )

Dica

Aplique a regra da diferença e a regra do múltiplo constante.

Responder

(3f ′ (x) −2g ′ (x). )

Exemplo ( PageIndex {15} ): Determinando onde uma função tem uma tangente horizontal

Determine os valores de (x ) para os quais (f (x) = x ^ 3−7x ^ 2 + 8x + 1 ) tem uma linha tangente horizontal.

Solução

Para encontrar os valores de (x ) para os quais (f (x) ) tem uma reta tangente horizontal, devemos resolver (f ′ (x) = 0 ).

Desde a

[f ′ (x) = 3x ^ 2−14x + 8 = (3x − 2) (x − 4), ]

devemos resolver ((3x − 2) (x − 4) = 0 ). Assim, vemos que a função tem linhas tangentes horizontais em (x = dfrac {2} {3} ) e (x = 4 ) como mostrado no gráfico a seguir.

Figura ( PageIndex {2} ): Esta função possui linhas tangentes horizontais em (x = 2/3 ) e (x = 4 ).

Exemplo ( PageIndex {16} ): Encontrando uma velocidade

A posição de um objeto em um eixo de coordenadas no tempo (t ) é dada por (s (t) = dfrac {t} {t ^ 2 + 1}. ) Qual é a velocidade inicial do objeto?

Solução

Uma vez que a velocidade inicial é (v (0) = s ′ (0), ) comece encontrando (s ′ (t) ) aplicando a regra de quociente:

(s ′ (t) = dfrac {1 (t2 + 1) −2t (t)} {(t ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {1 − t ^ 2} {(^ t2 + 1 ) ^ 2} ).

Depois de avaliar, vemos que (v (0) = 1. )

Exercício ( PageIndex {10} )

Encontre os valores de x para os quais a reta tangente ao gráfico de (f (x) = 4x ^ 2−3x + 2 ) tem uma reta tangente paralela à reta (y = 2x + 3. )

Dica

Resolva (f ′ (x) = 2 ).

Responder

( dfrac {5} {8} )

Bancadas de Fórmula Um

As corridas de carros de Fórmula Um podem ser muito emocionantes de assistir e atrair muitos espectadores. Os projetistas das pistas de Fórmula Um devem garantir que haja espaço suficiente nas arquibancadas ao redor da pista para acomodar esses espectadores. No entanto, corridas de automóveis podem ser perigosas e as considerações de segurança são fundamentais. As arquibancadas devem ser colocadas onde os espectadores não corram perigo caso o motorista perca o controle do carro (Figura).

Figura ( PageIndex {3} ): A arquibancada ao lado de uma reta do autódromo do Circuito de Barcelona-Catalunha, localizada onde os espectadores não correm perigo.

A segurança é especialmente uma preocupação nas curvas. Se o motorista não diminuir a velocidade o suficiente antes de entrar na curva, o carro pode escorregar para fora da pista. Normalmente, isso resulta apenas em uma curva mais ampla, o que retarda o motorista. Mas se o piloto perder completamente o controle, o carro pode voar totalmente para fora da pista, em um caminho tangente à curva da pista.

Suponha que você esteja projetando uma nova pista de Fórmula Um. Uma seção da trilha pode ser modelada pela função (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ) (Figura). O plano atual prevê a construção de arquibancadas ao longo da primeira reta e ao redor de uma parte da primeira curva. Os planos prevêem que o canto frontal da arquibancada seja localizado no ponto ( (- 1.9,2.8 )). Queremos determinar se este local coloca os espectadores em perigo se um motorista perder o controle do carro.

Figura ( PageIndex {4} ): (a) Uma seção da pista de corrida pode ser modelada pela função (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ). (b) O canto frontal da arquibancada está localizado em ( (- 1.9,2.8 )).

  1. Os físicos determinaram que os motoristas têm maior probabilidade de perder o controle de seus carros à medida que fazem uma curva, no ponto em que a inclinação da linha tangente é 1. Encontre as coordenadas ((x, y) ) deste ponto perto da curva.
  2. Encontre a equação da linha tangente à curva neste ponto.
  3. Para determinar se os espectadores estão em perigo neste cenário, encontre a coordenada x do ponto onde a linha tangente cruza a linha (y = 2,8 ). Este ponto fica seguro à direita da arquibancada? Ou os espectadores estão em perigo?
  4. E se um motorista perder o controle antes do projeto dos físicos? Suponha que um driver perca o controle no ponto ( (- 2.5,0.625 )). Qual é a inclinação da linha tangente neste ponto?
  5. Se um motorista perder o controle conforme descrito na parte 4, os espectadores estão seguros?
  6. Você deve prosseguir com o projeto atual para a arquibancada ou as arquibancadas devem ser movidas?

Conceitos chave

  • A derivada de uma função constante é zero.
  • A derivada de uma função de potência é uma função na qual a potência em (x ) se torna o coeficiente do termo e a potência em (x ) na derivada diminui em 1.
  • A derivada de uma constante c multiplicada por uma função f é igual à constante multiplicada pela derivada.
  • A derivada da soma de uma função f e uma função g é a mesma que a soma da derivada de f e da derivada de g.
  • A derivada da diferença de uma função f e uma função g é a mesma que a diferença da derivada de f e a derivada de g.
  • A derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a derivada da segunda função vezes a primeira função.
  • A derivada do quociente de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função menos a derivada da segunda função vezes a primeira função, tudo dividido pelo quadrado da segunda função.
  • Usamos a definição de limite da derivada para desenvolver fórmulas que nos permitem encontrar derivadas sem recorrer à definição da derivada. Essas fórmulas podem ser usadas individualmente ou em combinação umas com as outras.

Glossário

regra múltipla constante
a derivada de uma constante c multiplicada por uma função f é a mesma que a constante multiplicada pela derivada: ( dfrac {d} {dx} (cf (x)) = cf ′ (x) )
regra constante
a derivada de uma função constante é zero: ( dfrac {d} {dx} (c) = 0 ), onde c é uma constante
regra de diferença
a derivada da diferença de uma função f e uma função g é a mesma que a diferença da derivada de f e a derivada de g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x) ) = f ′ (x) −g ′ (x) )
regra de poder
a derivada de uma função de potência é uma função na qual a potência em (x ) se torna o coeficiente do termo e a potência em (x ) na derivada diminui em 1: Se (n ) é um inteiro , então ( dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1} )
Regra do produto
a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a derivada da segunda função vezes a primeira função: ( dfrac {d} {dx} (f (x) g (x) ) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) )
regra do quociente
a derivada do quociente de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função menos a derivada da segunda função vezes a primeira função, tudo dividido pelo quadrado da segunda função: ( dfrac {d} {dx } ( dfrac {f (x)} {g (x))} = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2 } )
regra da soma
a derivada da soma de uma função f e uma função g é a mesma que a soma da derivada de f e a derivada de g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x) ) = f ′ (x) + g ′ (x) )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


3.4: (e 3.4) Regras de Diferenciação - Matemática

A regra do produto é a regra formal para diferenciar problemas em que uma função é multiplicada por outra.

Diferencie (x 2 + 7x + 2) (x 3 -log x)

v & # xa0 = & # xa0 x 3 - log x e ​​v '= 3x 2 - (1 / x) & # xa0

Diferencie (x 2 -1) (x 2 +2)

= & # xa0 x 2 (x 2) + 2x 2 - 1 (x 2) - 1 (2)

determine o valor de & # xa0 (fg) ′ (2).

Suponha que f e & # xa0g & # xa0 sejam funções diferenciáveis ​​em & # xa0x = 1 e & # xa0 que & # xa0

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) d (sinx) + & # xa0 sinx f '(x)

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) cosx + & # xa0 sinx f '(x)

g '( π / 4 ) & # xa0 = & # xa0 f ( π / 4 ) cos π / 4 & # xa0 + & # xa0 pecado π / 4 & # xa0f '( π / 4 )

= & # xa0 -4 (1 / √2) + (1/ √2)2

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3.4: (e 3.4) Regras de Diferenciação - Matemática

Descrição do Curso: Uma introdução às equações diferenciais parciais com foco em equações em duas variáveis. Os tópicos incluem a equação de calor e onda em um intervalo, a equação de Laplace em domínios retangulares e circulares, separação de variáveis, condições de contorno e autofunções, introdução à série de Fourier,

Horário comercial: M: 4: 30-5: 30, W: 3: 30-4: 30 Por favor, apareça pelo menos 15 minutos antes do final do horário de expediente. Posso ter outro horário de atendimento após o determinado, ou posso ter que ir para outro lugar.

Programa de Estudos Planejamos revisar a maior parte do material das primeiras quatro seções do livro. Se o tempo permitir, também cobriremos alguns tópicos de capítulos posteriores.

Professor assistente: Andres Rodriguez Rey, email: [email protected] website para seções de discussão: TA website

Cálculo da nota: A nota é calculada a partir de sua pontuação nos trabalhos de casa (25%) em duas provas semestrais (25% cada) e na parte final A e na parte B (25% para cada parte). O leitor ávido terá notado que isso soma 125%: Vamos escolher as três melhores pontuações de seus exames intermediários e finais, partes A e B.

Datas dos exames: Sem exames de maquiagem!

Semestres: 4 de novembro e 25 de novembro

Tarefas de lição de casa O trabalho de casa deve ser entregue por meio do escopo de grau Escopo de notas para HW neste trimestre. Você receberá um aviso por e-mail em algum momento durante a segunda semana, notificando-o sobre a inscrição na sua série e fornecendo um link para configurar sua conta pessoal.

Você pode assistir a este vídeo que explica como digitalizar e enviar HW online.

  • estudar: 1.2.4 (b) (leia o texto na página 9) 1.2.5, 1.4.2 (K_0 é uma constante aqui, e você pode assumir c = rho = 1), 1.4.5, 1.4.6, 1.4.7
  • ligar: 1.2.9, 1.4.1a), 1.4.1d, 1.4.1h), 1.4.4, 1.4.12 (ver Eq (1.2.11) para a declaração da lei de conservação e Eq (1.2.13) para Lei de Fick )
  • Estudar: 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, 2.3.7
  • Entregar: 2.3.2d), 2.3.2e), 2.3.2g), 2.3.4, 2.3.8 (dica para (b): Seja w (x, t) a solução se alfa = 0 (fizemos isso na aula) . Agora considere a função u (x, t) = v (t) w (x, t). Insira isso no PDE para encontrar uma equação diferencial para v (t) e resolva).
  • Estudar: 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4, 2.5.1b), 2.5.1d), 2.5.1f), 2.5.1h), 2.5.16
  • Entregar: 2.4.1a), 2.4.1b), 2.4.6, 2.5.1a), 2.5.1c), 2.5.1g), 2.5.2 (Dica: a equação de Laplace corresponde ao equilíbrio da equação do calor em duas dimensões. the two different ways how to calculate the change of heat energy, see Section 1.5 for the two-dimensional case )
  • Study: 3.2.1, 3.2.3, 3.3.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6, 3.3.10, 3.3.15, 3.3.16, 3.3.18
  • Hand in: 3.2.2a), 3.2.2c), 3.2.2g), 3.2.4, 3.3.2b), 3.3.7, 3.3.13 (you do not have to provide sketches for 3.2.2 and 3.3)
  • Study: 4.4.2(b),(c), 4.4.3(b) (if stuck, have a look at the last page of the notes for Lecture 20 below), 4.4.5
  • Study: 7.7.1, 7.7.3, 7.7.8, 7.7.12, 7.8.6, 7.8.9, 7.8.10
  • Hand in: 7.7.2a), 7.7.2b), 7.7.6(b),(c)(you may use general properties of Sturm Liouville eigenvalue problems as stated in Section 5.3.2 on page 157) , 7.7.7, 7.7.16, 7.8.7, 7.8.8

Syllabus and Schedule of lectures.

Information about first midterm

CONTENT: The midterm will be a 50-minute exam, similar in nature to the practice exams, see below. You will have an additional 15 minutes to scan and upload the exam (see details below). It will cover everything up to and including HW 3: in terms of the book, this means sections 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 (without 2.5.3). I will not ask specific questions about Fourier series covered in Section 3 yet, but you have to know about it what we did in Chapters 1 and 2.

RULES: It will be an open book exam: you will be allowed to consult the textbook, your own notes or previous homework, and the notes posted on Canvas or my webpage by me or by the TAs, but no other resources may be used. In particular, you may not use any online resources, any other printed material (such as solution manuals), or any form of calculator (all arithmetic on the exam will be easy!) and you must not communicate in any way with anyone else during the exam. You will be required to write, sign and submit with your work a statement certifying that you have followed the regulations. Breaches of the rules will be reported to the Academic Integrity office.

TECHNICAL INFORMATION: The exam will be presented through Gradescope in a form similar to a homework assignment, except that it will be timed. When you log in to Gradescope you will be able to see (and/or download) a pdf copy of the exam paper. You should write your answers on your own paper, scan and upload them to Gradescope within 65 minutes - that's 50 minutes official exam time, plus 15 minutes allowance for upload time. (Please assign the pages corresponding to the questions, just as you do for homework.)

DATE AND TIME: The exam will take place during normal class time: 2-2.50pm PT (There is a time change in the US over the weekend!) Wednesday November 4. Students who currently live in different time zones for whom the time would be very inconvenient should contact me about the possibility of taking the exam at another time by Monday, November 2 . If you do so, please state where you currently live! Only students who have been approved before the exam can take it at a different time.

Practice Exam These are problems taken from another professor. There may be slightly different notations and priorities. See also the study problems posted above.

Here is a practice exam for midterm 2 from another professor. Some notations may be slightly different from this class. Ask if you are confused. See also the study problems above.

Here is a practice final. Please observe that it uses the Greek letter Delta for the Laplace operator, which we had denoted by nabla^2 (nabla = Delta upside down)


Pros and cons of differentiated instruction

The benefits of differentiation in the classroom are often accompanied by the drawback of an ever-increasing workload. Here are a few factors to keep in mind:

  • Research shows differentiated instruction is effective for high-ability students as well as students with mild to severe disabilities.
  • When students are given more options on how they can learn material, they take on more responsibility for their own learning.
  • Students appear to be more engaged in learning, and there are reportedly fewer discipline problems in classrooms where teachers provide differentiated lessons.
  • Differentiated instruction requires more work during lesson planning, and many teachers struggle to find the extra time in their schedule.
  • The learning curve can be steep and some schools lack professional development resources.
  • Critics argue there isn’t enough research to support the benefits of differentiated instruction outweighing the added prep time.

Non-polynomial Functions with Multiple Roots

When using a computer to find roots of more complicated functions it's best to understand what is going on and give the computer a guess close to your desired answer.

Exemplo 2

[Certain math software is not able to find the solution directly for us. We need to know how to properly use the tool to get the solution, either with graphs or setting up Newton's Method. This could involve giving an initial estimate for the root.]

There appear to be 2 roots, one near t = &minus1 and the other near t = 3 . However, if we look more carefully in the region near t = 3 (by zooming in), we see that there is more than one root there.

By simple substitution, we can see that one of the roots is exactly t = 3 :

Now for the root near t = 3.4 .

We will use Newton's Method to approximate the root. We need to differentiate y = 1&minus t 2 + 2 t . Since we have t as an exponent in our expression, we need to use logarithms when differentiating. [See how to differentiate logarithms in Derivative of the Logarithmic Function].

Let's differentiate 2 t by itself first.

Take natural log of both sides:

So for Newton's Method in this example, we would have:

We can write this more conveniently (for later steps) showing the substitution as:

Now, doing another step of Newton's Method:

We can conclude that correct to 7 decimal places, t = 3.4074505 .

Using Graphs Instead

Using a computer algebra system, we can zoom into the root and we can see (from where the graph cuts the y-axis) that t is indeed close to `3.40745`.

Now for the negative case. Deixar t0 = &minus1 be our initial guess.

`t_2` `=-1.213076633-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.213076633)` `=-1.198322474`

`t_3` `=-1.198322474-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.198322474)` `=-1.198250199`

We could continue until we obtained the required accuracy.

Comparing this to the zoomed in graph, we can see that the solution is t = &minus1.198250197 , correct to 9 decimal places.

So the solutions for 1&minus t 2 + 2 t = 0 are

correct to 5 decimal places.


Chain Rule — A Review

Given a function $g$ defined on $I$, and another function $f$ defined on $g(I)$, we can defined a composite function $f circ g$ (i.e., $f$ compose $g$) as follows:

começar [f circ g ](x) & stackrel <=>f[g(x)] qquad (forall x in I) end

In which case, we can refer to $f$ as the outer function, and $g$ as the inner function. Under this setup, the function $f circ g$ maps $I$ first to $g(I)$, and then to $f[g(I)]$.

In addition, if $c$ is a point on $I$ such that:

  • The inner function $g$ is differentiable at $c$ (with the derivative denoted by $g'(c)$).
  • The outer function $f$ is differentiable at $g(c)$ (with the derivative denoted by $f'[g(c)]$).

then it would transpire that the function $f circ g$ is tb differentiable at $c$, where:

giving rise to the famous derivative formula commonly known as the Chain Rule.

Theorem 1 — The Chain Rule for Derivative

Given an inner function $g$ defined on $I$ and an outer function $f$ defined on $g(I)$, if $c$ is a point on $I$ such that $g$ is differentiable at $c$ and $f$ differentiable at $g(c)$ (i.e., the imagem of $c$), then we have that:

as if we’re going from $f$ to $g$ to $x$.

Em inglês, o Chain Rule lê:

The derivative of a composite function at a point, is equal to the derivative of the inner function at that point, times the derivative of the outer function at its image.

As simple as it might be, the fact that the derivative of a composite function can be evaluated in terms of that of its constituent functions was hailed as a tremendous breakthrough back in the old days, since it allows for the differentiation of a wide variety of elementary functions — ranging from $displaystyle (x^2+2x+3)^4$ and $displaystyle e^$ to $ln left(frac<3+x> <2^x> ight)$ and $operatorname (2^x)$.

More importantly, for a composite function involving três functions (say, $f$, $g$ and $h$), applying the Chain Rule em dobro yields that:

(assuming that $h$ is differentiable at $c$, $g$ differentiable at $h(c)$, and $f$ at $g[h(c)]$ of course!)

In fact, extending this same reasoning to a $n$-layer composite function of the form $f_1 circ (f_2 circ cdots (f_ circ f_n) )$ gives rise to the so-called Generalized Chain Rule:

thereby showing that any composite function involving algum number of functions — if differentiable — can have its derivative evaluated in terms of the derivatives of its constituent functions em um chain-like maneiras. Daí o Chain Rule.


3.4 Derivatives as Rates of Change

In this section we look at some applications of the derivative by focusing on the interpretation of the derivative as the rate of change of a function. These applications include acceleration and velocity in physics, population growth rates in biology, and marginal functions in economics.

Amount of Change Formula

One application for derivatives is to estimate an unknown value of a function at a point by using a known value of a function at some given point together with its rate of change at the given point. If f ( x ) f ( x ) is a function defined on an interval [ a , a + h ] , [ a , a + h ] , then the amount of change of f ( x ) f ( x ) over the interval is the change in the y y values of the function over that interval and is given by

As we already know, the instantaneous rate of change of f ( x ) f ( x ) at a a is its derivative

Meios de comunicação

Here is an interesting demonstration of rate of change.

Example 3.33

Estimating the Value of a Function

Solução

Motion along a Line

Another use for the derivative is to analyze motion along a line. We have described velocity as the rate of change of position. If we take the derivative of the velocity, we can find the acceleration, or the rate of change of velocity. It is also important to introduce the idea of speed , which is the magnitude of velocity. Thus, we can state the following mathematical definitions.

Definição

The velocity of the object at time t t is given by v ( t ) = s ′ ( t ) . v ( t ) = s ′ ( t ) .

The speed of the object at time t t is given by | v ( t ) | . | v ( t ) | .

Example 3.34

Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity

A ball is dropped from a height of 64 feet. Its height above ground (in feet) t t seconds later is given by s ( t ) = −16 t 2 + 64 . s ( t ) = −16 t 2 + 64 .

  1. What is the instantaneous velocity of the ball when it hits the ground?
  2. What is the average velocity during its fall?

Solução

The first thing to do is determine how long it takes the ball to reach the ground. To do this, set s ( t ) = 0 . s ( t ) = 0 . Solving −16 t 2 + 64 = 0 , −16 t 2 + 64 = 0 , we get t = 2 , t = 2 , so it take 2 seconds for the ball to reach the ground.

Example 3.35

Interpreting the Relationship between v ( t ) v ( t ) and a ( t ) a ( t )

A particle moves along a coordinate axis in the positive direction to the right. Its position at time t t is given by s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . Find v ( 1 ) v ( 1 ) and a ( 1 ) a ( 1 ) and use these values to answer the following questions.

Solução

Example 3.36

Position and Velocity

The position of a particle moving along a coordinate axis is given by s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 . s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 .

Solução

Population Change

In addition to analyzing velocity, speed, acceleration, and position, we can use derivatives to analyze various types of populations, including those as diverse as bacteria colonies and cities. We can use a current population, together with a growth rate, to estimate the size of a population in the future. The population growth rate is the rate of change of a population and consequently can be represented by the derivative of the size of the population.

Definição

Example 3.37

Estimating a Population

The population of a city is tripling every 5 years. If its current population is 10,000, what will be its approximate population 2 years from now?

Solução

thus, in 2 years the population will be 18,000.

Changes in Cost and Revenue

In addition to analyzing motion along a line and population growth, derivatives are useful in analyzing changes in cost, revenue, and profit. The concept of a marginal function is common in the fields of business and economics and implies the use of derivatives. The marginal cost is the derivative of the cost function. The marginal revenue is the derivative of the revenue function. The marginal profit is the derivative of the profit function, which is based on the cost function and the revenue function.

Definição

We can roughly approximate

Example 3.38

Applying Marginal Revenue

In this case, the revenue in dollars obtained by selling x x barbeque dinners is given by

Use the marginal revenue function to estimate the revenue obtained from selling the 101st barbeque dinner. Compare this to the actual revenue obtained from the sale of this dinner.

Solução

First, find the marginal revenue function: M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0.06 x + 9 . M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0.06 x + 9 .

The actual revenue obtained from the sale of the 101st dinner is

The marginal revenue is a fairly good estimate in this case and has the advantage of being easy to compute.

Section 3.4 Exercises

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line.

  1. Find the velocity and acceleration functions.
  2. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8 s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8

s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10 s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10

  1. Find the velocity of the rocket 3 seconds after being fired.
  2. Find the acceleration of the rocket 3 seconds after being fired.

A ball is thrown downward with a speed of 8 ft/s from the top of a 64-foot-tall building. Após t seconds, its height above the ground is given by s ( t ) = −16 t 2 − 8 t + 64 . s ( t ) = −16 t 2 − 8 t + 64 .

  1. Determine how long it takes for the ball to hit the ground.
  2. Determine the velocity of the ball when it hits the ground.

The position of a hummingbird flying along a straight line in t t seconds is given by s ( t ) = 3 t 3 − 7 t s ( t ) = 3 t 3 − 7 t meters.

A potato is launched vertically upward with an initial velocity of 100 ft/s from a potato gun at the top of an 85-foot-tall building. The distance in feet that the potato travels from the ground after t t seconds is given by s ( t ) = −16 t 2 + 100 t + 85 . s ( t ) = −16 t 2 + 100 t + 85 .

The following graph shows the position y = s ( t ) y = s ( t ) of an object moving along a straight line.

  1. Use the graph of the position function to determine the time intervals when the velocity is positive, negative, or zero.
  2. Sketch the graph of the velocity function.
  3. Use the graph of the velocity function to determine the time intervals when the acceleration is positive, negative, or zero.
  4. Determine the time intervals when the object is speeding up or slowing down.

The cost function, in dollars, of a company that manufactures food processors is given by C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , where x x is the number of food processors manufactured.

  1. Find the marginal cost function.
  2. Use the marginal cost function to estimate the cost of manufacturing the thirteenth food processor.
  3. Find the actual cost of manufacturing the thirteenth food processor.

[T] A profit is earned when revenue exceeds cost. Suppose the profit function for a skateboard manufacturer is given by P ( x ) = 30 x − 0.3 x 2 − 250 , P ( x ) = 30 x − 0.3 x 2 − 250 , where x x is the number of skateboards sold.

  1. Find the exact profit from the sale of the thirtieth skateboard.
  2. Find the marginal profit function and use it to estimate the profit from the sale of the thirtieth skateboard.

[T] In general, the profit function is the difference between the revenue and cost functions: P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) .

  1. Find the marginal cost function.
  2. Find the revenue and marginal revenue functions.
  3. Find R ′ ( 1000 ) R ′ ( 1000 ) and R ′ ( 4000 ) . R ′ ( 4000 ) . Interpret the results.
  4. Find the profit and marginal profit functions.
  5. Find P ′ ( 1000 ) P ′ ( 1000 ) and P ′ ( 4000 ) . P ′ ( 4000 ) . Interpret the results.

A small town in Ohio commissioned an actuarial firm to conduct a study that modeled the rate of change of the town’s population. The study found that the town’s population (measured in thousands of people) can be modeled by the function P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3000 , P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3000 , where t t is measured in years.

[T] A culture of bacteria grows in number according to the function N ( t ) = 3000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , N ( t ) = 3000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , where t t is measured in hours.

  1. Find the rate of change of centripetal force with respect to the distance from the center of rotation.
  2. Find the rate of change of centripetal force of an object with mass 1000 kilograms, velocity of 13.89 m/s, and a distance from the center of rotation of 200 meters.

The following questions concern the population (in millions) of London by decade in the 19th century, which is listed in the following table.

Years since 1800 Population (millions)
1 0.8795
11 1.040
21 1.264
31 1.516
41 1.661
51 2.000
61 2.634
71 3.272
81 3.911
91 4.422
  1. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population.
  2. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.
  1. Using a calculator or a computer program, find the best-fit quadratic curve through the data.
  2. Find the derivative of the equation and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

For the following exercises, consider an astronaut on a large planet in another galaxy. To learn more about the composition of this planet, the astronaut drops an electronic sensor into a deep trench. The sensor transmits its vertical position every second in relation to the astronaut’s position. The summary of the falling sensor data is displayed in the following table.

  1. Using a calculator or computer program, find the best-fit quadratic curve to the data.
  2. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning.
  1. Using a calculator or computer program, find the best-fit cubic curve to the data.
  2. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning.
  4. Using the result from c. explain why a cubic function is not a good choice for this problem.

The following problems deal with the Holling type I, II, and III equations. These equations describe the ecological event of growth of a predator population given the amount of prey available for consumption.

[T] The populations of the snowshoe hare (in thousands) and the lynx (in hundreds) collected over 7 years from 1937 to 1943 are shown in the following table. The snowshoe hare is the primary prey of the lynx.

  1. Graph the data points and determine which Holling-type function fits the data best.
  2. Using the meanings of the parameters a a and n , n , determine values for those parameters by examining a graph of the data. Recall that n n measures what prey value results in the half-maximum of the predator value.
  3. Plot the resulting Holling-type I, II, and III functions on top of the data. Was the result from part a. correct?

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    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 1
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Local: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change

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    Differentiate the following with respect to (t):

    Expand the expression and apply the rules of differentiation

    We have not learnt a rule for differentiating a product, therefore we must expand the brackets and simplify before we can determine the derivative:

    começar g(t) &= 4left( t + 1 ight)^ <2>left( t - 3 ight) &= 4left( t^ <2>+ 2t + 1 ight) left( t - 3 ight) &= 4left( t^ <3>+ 2t^ <2>+ t - 3t^ <2>- 6t - 3 ight) &= 4left( t^ <3>- t^ <2>- 5t - 3 ight) &= 4t^ <3>- 4t^ <2>- 20t - 12 & herefore g'(t) &= 4 left( 3t^ <2> ight) - 4left( 2t ight) - 20 - 0 &= 12t^ <2>- 8t - 20 end

    Expand the expression and apply the rules of differentiation

    We have not learnt a rule for differentiating a quotient, therefore we must first simplify the expression and then we can differentiate:

    Important: always write the final answer with positive exponents.

    When to use the rules for differentiation:

    • If the question does not specify how we must determine the derivative, then we use the rules for differentiation.

    When to differentiate using first principles:

    • If the question specifically states to use first principles.
    • If we are required to differentiate using the definition of a derivative, then we use first principles.


    Assista o vídeo: Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: (Novembro 2021).