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1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática


Estudamos as características gerais das funções, então agora vamos examinar algumas classes específicas de funções. Concluímos a seção com exemplos de funções definidas por partes e examinamos como esboçar o gráfico de uma função que foi deslocada, esticada ou refletida de sua forma inicial.

Funções Lineares e Inclinação

O tipo de função mais fácil a considerar é um Função linear. As funções lineares têm a forma (f (x) = ax + b ), onde (a ) e (b ) são constantes. Na Figura ( PageIndex {1} ), vemos exemplos de funções lineares quando a é positivo, negativo e zero. Observe que se (a> 0 ), o gráfico da linha aumenta à medida que (x ) aumenta. Em outras palavras, (f (x) = ax + b ) está aumentando em ((- ∞, ∞) ). Se (a <0 ), o gráfico da linha cai à medida que (x ) aumenta. Neste caso, (f (x) = ax + b ) está diminuindo em ((- ∞, ∞) ). Se (a = 0 ), a linha é horizontal.

Figura ( PageIndex {1} ): Essas funções lineares estão aumentando ou diminuindo em ((∞, ∞) ) e uma função é uma linha horizontal.

Conforme sugerido pela Figura, o gráfico de qualquer função linear é uma linha. Uma das características distintivas de uma linha é sua inclinação. O inclinação é a mudança em (y ) para cada mudança de unidade em (x ). A inclinação mede a inclinação e a direção de uma linha. Se a inclinação for positiva, a linha aponta para cima ao se mover da esquerda para a direita. Se a inclinação for negativa, a linha aponta para baixo ao se mover da esquerda para a direita. Se a inclinação for zero, a linha é horizontal. Para calcular a inclinação de uma linha, precisamos determinar a razão da mudança em (y ) versus a mudança em (x ). Para fazer isso, escolhemos quaisquer dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) na linha e calculamos ( dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ). Na Figura ( PageIndex {2} ), vemos que essa proporção é independente dos pontos escolhidos.

Figura ( PageIndex {2} ): Para qualquer função linear, a inclinação ((y_2 − y_1) / (x_2 − x_1) ) é independente da escolha dos pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) em a linha.

Definição: Funções Lineares

Considere a linha (L ) passando pelos pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ). Seja (Δy = y_2 − y_1 ) e (Δx = x_2 − x_1 ) as mudanças em (y ) e (x ), respectivamente. A inclinação da linha é

[m = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} = dfrac {Δy} {Δx} ]

Agora examinamos a relação entre a inclinação e a fórmula de uma função linear. Considere a função linear dada pela fórmula (f (x) = ax + b ). Conforme discutido anteriormente, sabemos que o gráfico de uma função linear é dado por uma linha. Podemos usar nossa definição de inclinação para calcular a inclinação desta linha. Como mostrado, podemos determinar a inclinação calculando ((y_2 − y_1) / (x_2 − x_1) ) para quaisquer pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) na linha . Avaliando a função (f ) em (x = 0 ), vemos que ((0, b) ) é um ponto nesta linha. Avaliando esta função em (x = 1 ), vemos que ((1, a + b) ) também é um ponto nesta linha. Portanto, a inclinação desta linha é

[ dfrac {(a + b) −b} {1−0} = a. ]

Mostramos que o coeficiente (a ) é a inclinação da reta. Podemos concluir que a fórmula (f (x) = ax + b ) descreve uma reta com inclinação (a ). Além disso, como essa linha intercepta o eixo (y ) - no ponto ((0, b) ), vemos que a interceptação em y para essa função linear é ((0, b) ). Concluímos que a fórmula (f (x) = ax + b ) nos diz a inclinação, a, e a interceptação (y ), ((0, b) ), para esta reta. Como costumamos usar o símbolo (m ) para denotar a inclinação de uma linha, podemos escrever

[f (x) = mx + b ]

para denotar o forma de declive-interceptação de uma função linear.

Às vezes, é conveniente expressar uma função linear de maneiras diferentes. Por exemplo, suponha que o gráfico de uma função linear passe pelo ponto ((x_1, y_1) ) e a inclinação da linha seja (m ). Uma vez que qualquer outro ponto ((x, f (x)) ) no gráfico de (f ) deve satisfazer a equação

[m = dfrac {f (x) −y_1} {x − x_1}, ]

esta função linear pode ser expressa por escrito

[f (x) −y_1 = m (x − x_1). ]

Chamamos esta equação de equação ponto-declive para essa função linear.

Uma vez que cada linha não vertical é o gráfico de uma função linear, os pontos em uma linha não vertical podem ser descritos usando as equações declive-interceptação ou ponto-declive. No entanto, uma linha vertical não representa o gráfico de uma função e não pode ser expressa em nenhuma dessas formas. Em vez disso, uma linha vertical é descrita pela equação (x = k ) para alguma constante (k ). Uma vez que nem a forma inclinação-interceptação nem a forma ponto-inclinação permitem linhas verticais, usamos a notação

[ax + by = c, ]

onde (a, b ) são diferentes de zero, para denotar o forma padrão de uma linha.

Definição: equação ponto-declive, equação ponto-declive e a forma padrão de uma linha

Considere uma linha passando pelo ponto ((x_1, y_1) ) com inclinação (m ). A equação

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

é o equação ponto-declive para essa linha.

Considere uma linha com inclinação (m ) e (y ) - interceptar ((0, b). ) A equação

[y = mx + b ]

é uma equação para essa linha em equação ponto-declive.

O forma padrão de uma linha é dado pela equação

[ax + by = c, ]

onde (a ) e (b ) são ambos diferentes de zero. Esta forma é mais geral porque permite uma linha vertical, (x = k ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a inclinação e as equações das linhas

Considere a linha passando pelos pontos ((11, −4) ) e ((- 4,5) ), como mostrado na Figura.

Figura ( PageIndex {3} ): Encontrar a equação de uma função linear com um gráfico que é uma linha entre dois pontos dados.

  1. Encontre a inclinação da linha.
  2. Encontre uma equação para esta função linear na forma de inclinação de ponto.
  3. Encontre uma equação para esta função linear na forma de declive-interceptação.

Solução

1. A inclinação da linha é

[m = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} = dfrac {5 - (- 4)} {- 4−11} = - dfrac {9} {15} = - dfrac {3} {5}. ]

2. Para encontrar uma equação para a função linear na forma de inclinação de ponto, use a inclinação (m = −3 / 5 ) e escolha qualquer ponto na linha. Se escolhermos o ponto ((11, −4) ), obtemos a equação

[f (x) +4 = - dfrac {3} {5} (x − 11). ]

3. Para encontrar uma equação para a função linear na forma de declive-interceptação, resolva a equação na parte b. para (f (x) ). Quando fazemos isso, obtemos a equação

[f (x) = - dfrac {3} {5} x + dfrac {13} {5}. ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Considere a linha passando pelos pontos ((- 3,2) ) e ((1,4) ).

  1. Encontre a inclinação da linha.
  2. Encontre uma equação dessa linha na forma de ponto-inclinação.
  3. Encontre uma equação dessa linha na forma de declive-interceptação.
Dica

A inclinação (m = Δy / Δx ).

Responder a

(m = 1/2 ).

Resposta b

A forma de inclinação do ponto é (y − 4 = dfrac {1} {2} (x − 1) ).

Resposta c

A forma de declive-interceptação é (y = dfrac {1} {2} x + dfrac {7} {2} ).

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Jessica sai de casa às 5:50 da manhã e sai para uma corrida de 14 quilômetros. Ela retorna para sua casa às 7h08. Responda às seguintes perguntas, presumindo que Jéssica corra em um ritmo constante.

  1. Descreva a distância (D ) (em milhas) que Jessica corre como uma função linear de seu tempo de corrida (t ) (em minutos).
  2. Esboce um gráfico de (D ).
  3. Interprete o significado da inclinação.

Solução:

uma. No momento (t = 0 ), Jéssica está em sua casa, então (D (0) = 0 ). No tempo (t = 78 ) minutos, Jessica terminou de correr (9 ) mi, então (D (78) = 9 ). A inclinação da função linear é

(m = dfrac {9−0} {78−0} = dfrac {3} {26}. )

A interceptação (y ) - é ((0,0) ), então a equação para esta função linear é

(D (t) = dfrac {3} {26} t. )

b. Para representar graficamente (D ), use o fato de que o gráfico passa pela origem e tem inclinação (m = 3/26. )

c. A inclinação (m = 3 / 26≈0,115 ) descreve a distância (em milhas) que Jessica corre por minuto, ou sua velocidade média.

Polinômios

Uma função linear é um tipo especial de uma classe mais geral de funções: polinômios. Uma função polinomial é qualquer função que pode ser escrita na forma

[f (x) = a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} +… + a_1x + a_0 ]

para algum inteiro (n≥0 ) e constantes (a_n, a + {n − 1},…, a_0 ), onde (a_n ≠ 0 ). No caso em que (n = 0 ), permitimos (a_0 = 0 ); se (a_0 = 0 ), a função (f (x) = 0 ) é chamada de função zero. O valor (n ) é chamado de grau do polinômio; a constante é chamada de coeficiente de liderança. Uma função linear da forma (f (x) = mx + b ) é um polinômio de grau 1 se (m ≠ 0 ) e grau 0 se (m = 0 ). Um polinômio de grau 0 também é chamado de função constante. Uma função polinomial de grau 2 é chamada de função quadrática. Em particular, uma função quadrática tem a forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), onde (a ≠ 0 ). Uma função polinomial de grau (3 ) é chamada de função cúbica.

Funções de energia

Algumas funções polinomiais são funções de potência. UMA Função liga-desliga é qualquer função da forma (f (x) = ax ^ b ), onde (a ) e (b ) são quaisquer números reais. O expoente em uma função de potência pode ser qualquer número real, mas aqui consideramos o caso em que o expoente é um inteiro positivo. (Consideraremos outros casos posteriormente.) Se o expoente for um inteiro positivo, então (f (x) = ax ^ n ) é um polinômio. Se (n ) for par, então (f (x) = ax ^ n ) é uma função par porque (f (−x) = a (−x) ^ n = ax ^ n ) if (n ) é par. Se (n ) for ímpar, então (f (x) = ax ^ n ) é uma função ímpar porque (f (−x) = a (−x) ^ n = −ax ^ n ) se (n ) é ímpar (Figura ( PageIndex {3} )).

Figura ( PageIndex {4} ): (a) Para qualquer número inteiro par (n ), (f (x) = ax ^ n ) é uma função par. (b) Para qualquer número inteiro ímpar (n ), (f (x) = ax ^ n ) é uma função ímpar.

Comportamento no Infinito

Para determinar o comportamento de uma função (f ) conforme as entradas se aproximam do infinito, observamos os valores (f (x) ) conforme as entradas, (x ), tornam-se maiores. Para algumas funções, os valores de (f (x) ) se aproximam de um número finito. Por exemplo, para a função (f (x) = 2 + 1 / x ), os valores (1 / x ) tornam-se cada vez mais próximos de zero para todos os valores de (x ) conforme eles ficam maiores e maior. Para esta função, dizemos “ (f (x) ) se aproxima de dois conforme x vai para o infinito” e escrevemos f (x) → 2 como x → ∞. A linha y = 2 é uma assíntota horizontal para a função (f (x) = 2 + 1 / x ) porque o gráfico da função se aproxima da linha conforme (x ) fica maior.

Para outras funções, os valores (f (x) ) podem não se aproximar de um número finito, mas, em vez disso, podem se tornar maiores para todos os valores de x à medida que aumentam. Nesse caso, dizemos “ (f (x) ) se aproxima do infinito quando (x ) se aproxima do infinito”, e escrevemos (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ). Por exemplo, para a função (f (x) = 3x ^ 2 ), as saídas (f (x) ) tornam-se maiores à medida que as entradas (x ) ficam maiores. Podemos concluir que a função (f (x) = 3x ^ 2 ) se aproxima do infinito conforme (x ) se aproxima do infinito, e escrevemos (3x ^ 2 → ∞ ) como (x → ∞ ). O comportamento como (x → −∞ ) e o significado de (f (x) → −∞ ) como (x → ∞ ) ou (x → −∞ ) podem ser definidos de forma semelhante. Podemos descrever o que acontece com os valores de (f (x) ) como (x → ∞ ) e como (x → −∞ ) como o comportamento final da função.

Para entender o comportamento final das funções polinomiais, podemos nos concentrar nas funções quadráticas e cúbicas. O comportamento para polinômios de alto grau pode ser analisado de forma semelhante. Considere uma função quadrática (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ). Se (a> 0 ), os valores (f (x) → ∞ ) como (x → ± ∞ ). Se (a <0 ), os valores (f (x) → −∞ ) como (x → ± ∞ ). Como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, a parábola abre para cima se (a> 0 ) .; a parábola abre para baixo se (a <0 ) (Figura ( PageIndex {4a} )).

Agora considere uma função cúbica (f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ). Se (a> 0 ), então (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ) e (f (x) → −∞ ) como (x → −∞ ). Se (a <0 ), então (f (x) → −∞ ) como (x → ∞ ) e (f (x) → ∞ ) como (x → −∞ ). Como podemos ver em ambos os gráficos, o termo líder do polinômio determina o final comportamento (Figura ( PageIndex {4b} )).

Figura ( PageIndex {5} ): (a) Para uma função quadrática, se o coeficiente líder (a> 0 ), a parábola abre para cima. Se (a <0 ), a parábola abre para baixo. (b) Para uma função cúbica (f ), se o coeficiente líder (a> 0 ), os valores (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ) e os valores ( f (x) → −∞ ) como (x → −∞ ). Se o coeficiente principal (a <0 ), o oposto é verdadeiro.

Zeros de funções polinomiais

Outra característica do gráfico de uma função polinomial é onde ela intercepta o eixo (x ). Para determinar onde uma função f intercepta o eixo (x ), precisamos resolver a equação (f (x) = 0 ) para (n ) o caso da função linear (f (x) = mx + b ), a interceptação (x ) - é dada pela resolução da equação (mx + b = 0 ). Neste caso, vemos que a interceptação (x ) - é dada por ((- b / m, 0) ). No caso de uma função quadrática, encontrar a (s) interceptação (ões) (x ) requer encontrar os zeros de uma equação quadrática: (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Em alguns casos, é fácil fatorar o polinômio (ax ^ 2 + bx + c ) para encontrar os zeros. Caso contrário, usamos a fórmula quadrática.

Regra: A Fórmula Quadrática

Considere a equação quadrática

[ax ^ 2 + bx + c = 0, ]

onde (a ≠ 0 ). As soluções desta equação são dadas pela fórmula quadrática

[x = dfrac {−b ± sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a}. label {quad} ]

Se o discriminante (b ^ 2−4ac> 0 ), a Equação ref {quad} nos diz que há dois números reais que satisfazem a equação quadrática. Se (b ^ 2−4ac = 0 ), esta fórmula nos diz que há apenas uma solução, e é um número real. Se (b ^ 2−4ac <0 ), nenhum número real satisfaz a equação quadrática.

No caso de polinômios de grau superior, pode ser mais complicado determinar onde o gráfico intercepta o eixo x. Em alguns casos, é possível encontrar as interceptações (x ) - fatorando o polinômio para encontrar seus zeros. Em outros casos, é impossível calcular os valores exatos das interceptações (x ). No entanto, como veremos mais adiante no texto, em casos como esse, podemos usar ferramentas analíticas para aproximar (em um grau muito alto) onde os (x ) - interceptos estão localizados. Aqui nos concentramos nos gráficos de polinômios para os quais podemos calcular seus zeros explicitamente.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Representação gráfica de funções polinomiais

Para as seguintes funções,

  1. (f (x) = - 2x ^ 2 + 4x − 1 )
  2. (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−4x )
  1. descreva o comportamento de (f (x) ) como (x → ± ∞ ),
  2. encontre todos os zeros de (f ), e
  3. esboce um gráfico de (f ).

Solução

1. A função (f (x) = - 2x ^ 2 + 4x − 1 ) é uma função quadrática.

1. Porque (a = −2 <0 ), como (x → ± ∞, f (x) → −∞. )

2. Para encontrar os zeros de (f ), use a fórmula quadrática. Os zeros são

(x = −4 ± dfrac { sqrt {4 ^ 2−4 (−2) (- 1)}} {2 (−2)} = dfrac {−4 ± sqrt {8}} {- 4} = dfrac {−4 ± 2 sqrt {2}} {- 4} = dfrac {2 ± 2 sqrt {2}} {2}. )

3.Para esboçar o gráfico de (f ), use as informações de suas respostas anteriores e combine-as com o fato de que o gráfico é uma parábola se abrindo para baixo.

2. A função (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−4x ) é uma função cúbica.

1. Porque (a = 1> 0 ), como (x → ∞ ), (f (x) → ∞ ). Como (x → −∞ ), (f (x) → −∞ ).

2.Para encontrar os zeros de (f ), precisamos fatorar o polinômio. Primeiro, quando fatoramos (x |) de todos os termos, encontramos

(f (x) = x (x ^ 2−3x − 4). )

Então, quando fatoramos a função quadrática (x ^ 2−3x − 4 ), encontramos

(f (x) = x (x − 4) (x + 1). )

Portanto, os zeros de f são (x = 0,4, −1 ).

3. Combinar os resultados das partes i. e ii., desenhe um esboço de (f ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Considere a função quadrática (f (x) = 3x ^ 2−6x + 2. ) Encontre os zeros de (f ). A parábola abre para cima ou para baixo?

Dica

Use a fórmula quádrica

Responder

Os zeros são (x = 1 ± sqrt {3} / 3 ). A parábola se abre para cima.

Modelos Matemáticos

Uma grande variedade de situações do mundo real pode ser descrita usando modelos matemáticos. Um modelo matemático é um método de simulação de situações da vida real com equações matemáticas. Físicos, engenheiros, economistas e outros pesquisadores desenvolvem modelos combinando a observação com dados quantitativos para desenvolver equações, funções, gráficos e outras ferramentas matemáticas para descrever o comportamento de vários sistemas com precisão. Os modelos são úteis porque ajudam a prever resultados futuros. Exemplos de modelos matemáticos incluem o estudo da dinâmica populacional, investigações de padrões climáticos e previsões de vendas de produtos.

Como exemplo, vamos considerar um modelo matemático que uma empresa poderia usar para descrever sua receita com a venda de um determinado item. O valor da receita (R ) que uma empresa recebe pela venda de n itens vendidos a um preço de (p ) dólares por item é descrito pela equação (R = p⋅n ). A empresa está interessada em como as vendas mudam conforme o preço do item muda. Suponha que os dados da Tabela mostrem o número de unidades que uma empresa vende em função do preço por item.

Número de unidades vendidas (n ) (em milhares) em função do preço por unidade (p ) (em dólares)
(p )68101214
(n )19.418.516.213.812.2

Na Figura, vemos no gráfico a quantidade de unidades vendidas (em milhares) em função do preço (em dólares). Observamos na forma do gráfico que o número de unidades vendidas é provavelmente uma função linear do preço por item, e os dados podem ser aproximados pela função linear (n = −1,04p + 26 ) para (0 ≤p≤25 ), onde (n ) prevê o número de unidades vendidas em milhares. Usando esta função linear, a receita (em milhares de dólares) pode ser estimada pela função quadrática

[R (p) = p⋅ (−1,04p + 26) = - 1,04p ^ 2 + 26p ]

para (0≤p≤25 ) No Exemplo ( PageIndex {1} ), usamos esta função quadrática para prever o valor da receita que a empresa recebe, dependendo do preço que a empresa cobra por item. Observe que não podemos concluir definitivamente o número real de unidades vendidas para valores de (p ), para os quais nenhum dado foi coletado. No entanto, dados os outros valores de dados e o gráfico mostrado, parece razoável que o número de unidades vendidas (em milhares) se o preço cobrado for (p ) dólares possa estar próximo dos valores previstos pela função linear (n = -1,04p + 26. )

Figura ( PageIndex {6} ): Os dados coletados para o número de itens vendidos em função do preço são aproximadamente lineares. Usamos a função linear (n = −1,04p + 26 ) para estimar esta função.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Maximizando a receita

Uma empresa está interessada em prever o valor da receita que receberá, dependendo do preço que cobra por um determinado item. Usando os dados da Tabela, a empresa chega à seguinte função quadrática para modelar a receita (R ) como uma função do preço por item (p: )

[R (p) = p⋅ (−1,04p + 26) = - 1,04p ^ 2 + 26p ]

para 0≤p≤25.

  1. Preveja a receita se a empresa vender o item a um preço de (p = $ 5 ) e (p = $ 17 ).
  2. Encontre os zeros desta função e interprete o significado dos zeros.
  3. Esboce um gráfico de (R ).
  4. Use o gráfico para determinar o valor de (p ) que maximiza a receita. Encontre a receita máxima.

Solução

uma. Avaliando a função de receita em (p = 5 ) e (p = 17 ), podemos concluir que

(R (5) = - 1,04 (5) ^ 2 + 26 (5) = 104, então receita = $ 104.000; )

(R (17) = - 1,04 (17) ^ 2 + 26 (17) = 141,44, então receita = $ 144.440. )

b. Os zeros desta função podem ser encontrados resolvendo a equação (- 1.04p ^ 2 + 26p = 0 ). Quando fatoramos a expressão quadrática, obtemos (p (−1,04p + 26) = 0 ). As soluções para esta equação são dadas por (p = 0,25 ). Para esses valores de (p ), a receita é zero. Quando (p = $ 0 ), a receita é zero porque a empresa está dando suas mercadorias de graça. Quando (p = $ 25 ), a receita é zero porque o preço é muito alto e ninguém vai comprar nenhum item.

c. Sabendo que a função é quadrática, também sabemos que o gráfico é uma parábola. Como o coeficiente líder é negativo, a parábola se abre para baixo. Uma propriedade das parábolas é que elas são simétricas em relação ao eixo, portanto, uma vez que os zeros estão em (p = 0 ) e (p = 25 ), a parábola deve ser simétrica em relação à linha a meio caminho entre eles, ou ( p = 12,5 ).

d. A função é uma parábola com zeros em (p = 0 ) e (p = 25 ), e é simétrica em relação à linha (p = 12,5 ), então a receita máxima ocorre a um preço de ( p = $ 12,50 ) por item. Com esse preço, a receita é (R (p) = - 1,04 (12,5) ^ 2 + 26 (12,5) = $ 162.500. )

Funções Algébricas

Ao permitir quocientes e potências fracionárias em funções polinomiais, criamos uma classe maior de funções. A função algébrica é aquele que envolve adição, subtração, multiplicação, divisão, poderes racionais e raízes. Dois tipos de funções algébricas são funções racionais e funções raiz.

Assim como os números racionais são quocientes de inteiros, as funções racionais são quocientes de polinômios. Em particular, um função racional é qualquer função da forma (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são polinômios. Por exemplo,

(f (x) = dfrac {3x − 1} {5x + 2} ) e (g (x) = dfrac {4} {x ^ 2 + 1} )

são funções racionais. UMA função raiz é uma função de potência da forma (f (x) = x ^ {1 / n} ), onde n é um número inteiro positivo maior que um. Por exemplo, f (x) = x1 / 2 = x√ é a função de raiz quadrada e (g (x) = x ^ {1/3} = sqrt [3] {x}) ) é o cubo -função raiz. Ao permitir composições de funções raiz e funções racionais, podemos criar outras funções algébricas. Por exemplo, (f (x) = sqrt {4 − x ^ 2} ) é uma função algébrica.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando Domínio e Intervalo para Funções Algébricas

Para cada uma das funções a seguir, encontre o domínio e o intervalo.

  1. (f (x) = dfrac {3x − 1} {5x + 2} )
  2. (f (x) = sqrt {4 − x ^ 2} )

Solução

1.Não é possível dividir por zero, então o domínio é o conjunto de números reais (x ) tais que (x ≠ −2 / 5 ). Para encontrar o intervalo, precisamos encontrar os valores (y ) para os quais existe um número real (x ) tal que

(y = dfrac {3x − 1} {5x + 2} )

Quando multiplicamos ambos os lados desta equação por (5x + 2 ), vemos que (x ) deve satisfazer a equação

(5xy + 2y = 3x − 1. )

A partir desta equação, podemos ver que (x ) deve satisfazer

(2y + 1 = x (3−5y). )

Se y = (3/5 ), esta equação não tem solução. Por outro lado, enquanto (y ≠ 3/5 ),

(x = dfrac {2y + 1} {3−5y} )

satisfaz esta equação. Podemos concluir que o intervalo de (f ) é ({y | y ≠ 3/5} ).

2. Para encontrar o domínio de (f ), precisamos de (4 − x ^ 2≥0 ). Quando fatoramos, escrevemos (4 − x ^ 2 = (2 − x) (2 + x) ≥0 ). Essa desigualdade se mantém se e somente se ambos os termos forem positivos ou ambos os termos forem negativos. Para que ambos os termos sejam positivos, precisamos encontrar (x ) de modo que

(2 − x≥0 ) e (2 + x≥0. )

Essas duas desigualdades reduzem a (2≥x ) e (x≥ − 2 ). Portanto, o conjunto ({x | −2≤x≤2} ) deve fazer parte do domínio. Para que ambos os termos sejam negativos, precisamos

(2 − x≤0 ) e (2 + x≥0. )

Essas duas desigualdades também se reduzem a (2≤x ) e (x≥ − 2 ). Não há valores de (x ) que satisfaçam essas duas desigualdades. Assim, podemos concluir que o domínio desta função é ({x | −2≤x≤2}. )

Se (- 2≤x≤2 ), então (0≤4 − x ^ 2≤4 ). Portanto, (0≤ sqrt {4 − x2} ≤2 ), e o intervalo de (f ) é ({y | 0≤y≤2}. )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre o domínio e o intervalo para a função (f (x) = (5x + 2) / (2x − 1). )

Dica

O denominador não pode ser zero. Resolva a equação (y = (5x + 2) / (2x − 1) ) para (x ) para encontrar o intervalo.

Responder

O domínio é o conjunto de números reais (x ) tais que (x ≠ 1/2 ). O intervalo é o conjunto ( {y | y ≠ 5/2 } ).

As funções raiz (f (x) = x ^ {1 / n} ) têm características definidoras dependendo se (n ) é ímpar ou par. Para todos os inteiros pares (n≥2 ), o domínio de (f (x) = x ^ {1 / n} ) é o intervalo ([0, ∞) ). Para todos os inteiros ímpares (n≥1 ), o domínio de (f (x) = x ^ {1 / n} ) é o conjunto de todos os números reais. Uma vez que (x ^ {1 / n} = (- x) ^ {1 / n} ) para inteiros ímpares (n ), (f (x) = x ^ {1 / n} ) é um função ímpar se (n ) for ímpar. Veja os gráficos das funções raiz para diferentes valores de (n ) na Figura.

Figura ( PageIndex {7} ): (a) Se (n ) for par, o domínio de (f (x) = sqrt [n] {x} ) é ([0, ∞) ). (b) Se (n ) for ímpar, o domínio de (f (x) = dfrac [n] {x} ) é ((- ∞, ∞) ) e a função (f ( x) = dfrac [n] {x} ) é uma função ímpar.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando Domínios para Funções Algébricas

Para cada uma das funções a seguir, determine o domínio da função.

  1. (f (x) = dfrac {3} {x ^ 2−1} )
  2. (f (x) = dfrac {2x + 5} {3x ^ 2 + 4} )
  3. (f (x) = sqrt {4−3x} )
  4. (f (x) = sqrt [3] {2x − 1} )

Solução

  1. Você não pode dividir por zero, então o domínio é o conjunto de valores (x ) tal que (x ^ 2−1 ≠ 0 ). Portanto, o domínio é ({x | x ≠ ± 1} ).
  2. Você precisa determinar os valores de (x ) para os quais o denominador é zero. Como (3x ^ 2 + 4≥4 ) para todos os números reais (x ), o denominador nunca é zero. Portanto, o domínio é ((- ∞, ∞). )
  3. Uma vez que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, o domínio é o conjunto de valores (x ) para os quais (4−3x≥0 ). Portanto, o domínio é ({x | x≤4 / 3}. )
  4. A raiz cúbica é definida para todos os números reais, então o domínio é o intervalo ((- ∞, ∞). )

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o domínio para cada uma das seguintes funções: (f (x) = (5−2x) / (x ^ 2 + 2) ) e (g (x) = sqrt {5x − 1} ).

Dica

Determine os valores de (x ) quando a expressão no denominador de (f ) for diferente de zero e encontre os valores de (x ) quando a expressão dentro do radical de (g ) for não negativa.

Responder

O domínio de (f ) é ((- ∞, ∞) ). O domínio de (g ) é ({x | x≥1 / 5}. )

Funções Transcendentais

Até agora, discutimos funções algébricas. Algumas funções, entretanto, não podem ser descritas por operações algébricas básicas. Essas funções são conhecidas como funções transcendentais porque se diz que eles “transcendem” ou vão além da álgebra. As funções transcendentais mais comuns são funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Uma função trigonométrica relaciona as proporções dos dois lados de um triângulo retângulo. Eles são (sinx, cosx, tanx, cotx, secx e cscx. ) (Discutiremos as funções trigonométricas posteriormente neste capítulo.) Uma função exponencial é uma função da forma (f (x) = b ^ x ), onde a base (b> 0, b ≠ 1 ). Uma função logarítmica é uma função da forma (f (x) = log_b (x) ) para alguma constante (b> 0, b ≠ 1, ) onde (log_b (x) = y ) se e somente se (b ^ y = x ). (Também discutimos funções exponenciais e logarítmicas posteriormente neste capítulo.)

Exemplo ( PageIndex {7} ): Classificando funções algébricas e transcendentais

Classifique cada uma das seguintes funções, a. até c., como algébrico ou transcendental.

  1. (f (x) = dfrac { sqrt {x ^ 3 + 1}} {4x + 2} )
  2. (f (x) = 2 ^ {x ^ 2} )
  3. (f (x) = sin (2x) )

Solução

  1. Uma vez que esta função envolve apenas operações algébricas básicas, é uma função algébrica.
  2. Esta função não pode ser escrita como uma fórmula que envolve apenas operações algébricas básicas, por isso é transcendental. (Observe que as funções algébricas só podem ter potências que são números racionais.)
  3. Como na parte b, esta função não pode ser escrita usando uma fórmula envolvendo apenas operações algébricas básicas; portanto, essa função é transcendental.

Exercício ( PageIndex {5} ):

É (f (x) = x / 2 ) uma função algébrica ou transcendental?

Responder

Algébrico

Funções definidas por partes

Às vezes, uma função é definida por diferentes fórmulas em diferentes partes de seu domínio. Uma função com essa propriedade é conhecida como função definida por partes. A função de valor absoluto é um exemplo de função definida por partes porque a fórmula muda com o sinal de (x ):

[f (x) = begin {cases} −x & x <0 x & x≥0 end {cases}. ]

Outras funções definidas por partes podem ser representadas por fórmulas completamente diferentes, dependendo da parte do domínio em que um ponto cai. Para representar graficamente uma função definida por partes, representamos graficamente cada parte da função em seu respectivo domínio, no mesmo sistema de coordenadas. Se a fórmula para uma função for diferente para (x a ), precisamos prestar atenção especial ao que acontece em (x = a ) quando representamos graficamente a função. Às vezes, o gráfico precisa incluir um círculo aberto ou fechado para indicar o valor da função em (x = a ). Examinaremos isso no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Representando graficamente uma função definida por partes

Esboce um gráfico da seguinte função definida por partes:

[f (x) = begin {cases} x + 3, & x <1 (x − 2) ^ 2, & x≥1 end {cases}. ]

Solução

Represente graficamente a função linear (y = x + 3 ) no intervalo ((- ∞, 1) ) e represente graficamente a função quadrática (y = (x − 2) ^ 2 ) no intervalo ([ 1, ∞) ). Como o valor da função em (x = 1 ) é dado pela fórmula (f (x) = (x − 2) ^ 2 ), vemos que (f (1) = 1 ). Para indicar isso no gráfico, desenhamos um círculo fechado no ponto ((1,1) ). O valor da função é dado por (f (x) = x + 2 ) para todos (x <1 ), mas não em (x = 1 ). Para indicar isso no gráfico, desenhamos um círculo aberto em ((1,4) ).

Figura ( PageIndex {8} ): Esta função definida por partes é linear para (x <1 ) e quadrática para (x≥1. )

2) Esboce um gráfico da função

(f (x) = begin {cases} 2 − x, & x≤2 x + 2, & x> 2 end {cases}. )

Solução:

Exemplo ( PageIndex {9} ): Taxas de estacionamento descritas por uma função definida por partes

Em uma cidade grande, os motoristas pagam taxas variáveis ​​para estacionar em uma garagem. Eles são cobrados $ 10 para a primeira hora ou qualquer parte da primeira hora e um adicional de $ 2 para cada hora ou parte dela, até um máximo de $ 30 para o dia. A garagem está aberta das 6h à meia-noite.

  1. Escreva uma função definida por partes que descreva o custo (C ) para estacionar na garagem como uma função de horas estacionadas (x ).
  2. Esboce um gráfico desta função (C (x). )

Solução

1. Visto que o estacionamento está aberto 18 horas por dia, o domínio para esta função é ({x | 0

[C (x) = begin {cases} 10, & 0

2. O gráfico da função consiste em vários segmentos de linha horizontal.

Exercício ( PageIndex {6} )

O custo de envio de uma carta depende do peso da carta. Suponha que o custo de enviar uma carta seja de (49 ¢ ) para a primeira onça e (21 ¢ ) para cada onça adicional. Escreva uma função definida por partes descrevendo o custo (C ) como uma função do peso (x ) para (0

Dica

A função definida por partes é constante nos intervalos (0,1], (1,2],….

Responder

[C (x) = begin {cases} 49, & 0

Transformações de funções

Vimos vários casos em que adicionamos, subtraímos ou multiplicamos constantes para formar variações de funções simples. No exemplo anterior, por exemplo, subtraímos 2 do argumento da função (y = x ^ 2 ) para obter a função (f (x) = (x − 2) ^ 2). Esta subtração representa um deslocamento da função (y = x ^ 2 ) duas unidades para a direita. Uma mudança, horizontal ou verticalmente, é um tipo de transformação de uma função. Outras transformações incluem escalas horizontais e verticais e reflexos sobre os eixos.

Um deslocamento vertical de uma função ocorre se adicionarmos ou subtrairmos a mesma constante para cada saída (y ). Para (c> 0 ), o gráfico de (f (x) + c ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) até c unidades, enquanto o gráfico de (f (x ) −c ) é um deslocamento do gráfico de unidades (f (x) ) para baixo (c ). Por exemplo, o gráfico da função (f (x) = x ^ 3 + 4 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 ) deslocado para cima (4 ) unidades; o gráfico da função (f (x) = x ^ 3−4 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 ) desviado para baixo (4 ) unidades (Figura ( PageIndex {6} )).

Figura ( PageIndex {9} ): (a) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x) + c ) é um deslocamento vertical para cima (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) ). (b) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x) −c ) é um deslocamento vertical para baixo c unidades do gráfico de (y = f (x) ).

Um deslocamento horizontal de uma função ocorre se adicionarmos ou subtrairmos a mesma constante para cada entrada (x ). Para (c> 0 ), o gráfico de (f (x + c) ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) para as unidades (c ) à esquerda; o gráfico de (f (x − c) ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) para as unidades (c ) à direita. Por que o gráfico muda para a esquerda ao adicionar uma constante e muda para a direita ao subtrair uma constante? Para responder a essa pergunta, vejamos um exemplo.

Considere a função (f (x) = | x + 3 | ) e avalie esta função em (x − 3 ). Como (f (x − 3) = | x | ) e (x − 3

Figura ( PageIndex {10} ): (a) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x + c) ) é um deslocamento horizontal para a esquerda (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) ). (b) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x − c) ) é um deslocamento horizontal para a direita (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) . )

Uma escala vertical de um gráfico ocorre se multiplicarmos todas as saídas (y ) de uma função pela mesma constante positiva. Para (c> 0 ), o gráfico da função (cf (x) ) é o gráfico de (f (x) ) escalado verticalmente por um fator de (c ).Se (c> 1 ), os valores das saídas para a função (cf (x) ) são maiores do que os valores das saídas para a função (f (x) ); portanto, o gráfico foi alongado verticalmente. Se (0

Figura ( PageIndex {11} ): (a) Se (c> 1 ), o gráfico de (y = cf (x) ) é uma extensão vertical do gráfico de (y = f (x) ). (b) Se (0

A escala horizontal de uma função ocorre se multiplicarmos as entradas (x ) pela mesma constante positiva. Para (c> 0 ), o gráfico da função (f (cx) ) é o gráfico de (f (x) ) dimensionado horizontalmente por um fator de (c ). Se (c> 1 ), o gráfico de (f (cx) ) é o gráfico de (f (x) ) comprimido horizontalmente. Se (0

Figura ( PageIndex {12} ): (a) Se (c> 1 ), o gráfico de (y = f (cx) ) é uma compressão horizontal do gráfico de (y = f (x) ). (b) Se (0

Exploramos o que acontece com o gráfico de uma função (f ) quando multiplicamos (f ) por uma constante (c> 0 ) para obter uma nova função (cf (x) ). Também discutimos o que acontece com o gráfico de uma função (f ) quando multiplicamos a variável independente (x ) por (c> 0 ) para obter uma nova função (f (cx) ). No entanto, não abordamos o que acontece com o gráfico da função se a constante (c ) for negativa. Se tivermos uma constante (c <0), podemos escrever (c ) como um número positivo multiplicado por (- 1 ); mas, que tipo de transformação obtemos quando multiplicamos a função ou seu argumento por (- 1? ) Quando multiplicamos todas as saídas por (- 1 ), obtemos uma reflexão sobre o (x ) -eixo. Quando multiplicamos todas as entradas por (- 1 ), obtemos uma reflexão sobre o eixo (y ). Por exemplo, o gráfico de (f (x) = - (x ^ 3 + 1) ) é o gráfico de (y = (x ^ 3 + 1) ) refletido sobre o eixo (x ) . O gráfico de (f (x) = (- x) ^ 3 + 1 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 + 1 ) refletido sobre o eixo (y ) - (Figura ( PageIndex {10} )).

Figura ( PageIndex {13} ): (a) O gráfico de (y = −f (x) ) é o gráfico de (y = f (x) ) refletido sobre o eixo (x ). (b) O gráfico de (y = f (−x) ) é o gráfico de (y = f (x) ) refletido sobre o eixo (y ).

Se o gráfico de uma função consiste em mais de uma transformação de outro gráfico, é importante transformar o gráfico na ordem correta. Dada uma função (f (x) ), o gráfico da função relacionada (y = cf (a (x + b)) + d ) pode ser obtido a partir do gráfico de (y = f (x) ) realizando as transformações na seguinte ordem.

  • Deslocamento horizontal do gráfico de (y = f (x) ). Se (b> 0 ), desloque para a esquerda. Se (b <0 ) deslocar para a direita.
  • Escala horizontal do gráfico de (y = f (x + b) ) por um fator de (| a | ). Se (a <0 ), reflete o gráfico sobre o eixo (y ).
  • Escala vertical do gráfico de (y = f (a (x + b)) ) por um fator de (| c | ). Se (c <0 ), reflita o gráfico sobre o eixo (x ).
  • Deslocamento vertical do gráfico de (y = cf (a (x + b)) ). Se (d> 0 ), mude para cima. Se (d <0 ), desloque para baixo.

Podemos resumir as diferentes transformações e seus efeitos relacionados no gráfico de uma função na tabela a seguir.

Transformação de (f (c> 0) )Efeito do gráfico de (f )
(f (x) + c )Deslocamento vertical para cima (c ) unidades
(f (x) -c )Deslocamento vertical para baixo (c ) unidades
(f (x + c) )Deslocar para a esquerda em (c ) unidades
(f (x-c) )Deslocar para a direita em (c ) unidades
(cf (x) )

Alongamento vertical se (c> 1 );

compressão vertical se (0

(f (cx) )

Alongamento horizontal se (0

compressão horizontal se (c> 1 )

(- f (x) )Reflexão sobre o eixo (x )
(- f (x) )Reflexão sobre o eixo (y )

Exemplo ( PageIndex {10} ): Transformando uma função

Para cada uma das funções a seguir, a. e b., esboce um gráfico usando uma sequência de transformações de uma função bem conhecida.

  1. (f (x) = - | x + 2 | −3 )
  2. (f (x) = sqrt [3] {x} +1 )

Solução:

1. Começando com o gráfico de (y = | x | ), desloque (2 ) unidades para a esquerda, reflita sobre o eixo (x ) - e então desloque para baixo (3 ) unidades.

Figura ( PageIndex {14} ): A função (f (x) = - | x + 2 | −3 ) pode ser vista como uma sequência de três transformações da função (y = | x | ).

2. Começando com o gráfico de y = x√, reflita sobre o eixo y, estique o gráfico verticalmente por um fator de 3 e mova 1 unidade para cima.

Figura ( PageIndex {15} ): A função (f (x) = sqrt [3] {x} +1 ) pode ser vista como uma sequência de três transformações da função (y = sqrt {x} ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Descreva como a função (f (x) = - (x + 1) ^ 2−4 ) pode ser representada graficamente usando o gráfico de (y = x ^ 2 ) e uma sequência de transformações

Responder

Desloque o gráfico (y = x ^ 2 ) para a 1 unidade à esquerda, reflita sobre o eixo (x ) e, em seguida, desloque 4 unidades para baixo.

Conceitos chave

  • A função de potência (f (x) = x ^ n ) é uma função par se n for par e (n ≠ 0 ), e é uma função ímpar se (n ) for ímpar.
  • A função raiz (f (x) = x ^ {1 / n} ) tem o domínio ([0, ∞) ) se n for par e o domínio ((- ∞, ∞) ) se (n ) é estranho. Se (n ) for ímpar, então (f (x) = x ^ {1 / n} ) é uma função ímpar.
  • O domínio da função racional (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são funções polinomiais, é o conjunto de x tal que (q (x) ≠ 0 ).
  • Funções que envolvem as operações básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão e potências são funções algébricas. Todas as outras funções são transcendentais. Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcendentais.
  • Uma função polinomial (f ) com grau (n≥1 ) satisfaz (f (x) → ± ∞ ) como (x → ± ∞ ). O sinal da saída como (x → ∞ ) depende do sinal do coeficiente líder apenas e se (n ) é par ou ímpar.
  • Deslocamentos verticais e horizontais, escalas verticais e horizontais e reflexões sobre os eixos (x ) - e (y ) - são exemplos de transformações de funções.

Equações Chave

  • Equação ponto-inclinação de uma linha

(y − y1 = m (x − x_1) )

  • Forma inclinação-interceptação de uma linha

(y = mx + b )

  • Forma padrão de uma linha

(ax + by = c )

  • Função polinomial

(f (x) = a_n ^ {x ^ n} + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + ⋯ + a_1x + a_0 )

Glossário

função algébrica
uma função que envolve qualquer combinação apenas das operações básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes aplicadas a uma variável de entrada (x )
função cúbica
um polinômio de grau 3; ou seja, uma função da forma (f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ), onde (a ≠ 0 )
grau
para uma função polinomial, o valor do maior expoente de qualquer termo
Função linear
uma função que pode ser escrita na forma (f (x) = mx + b )
função logarítmica
uma função da forma (f (x) = log_b (x) ) para alguma base (b> 0, b ≠ 1 ) tal que (y = log_b (x) ) se e somente se ( b ^ y = x )
modelo matemático
Um método de simulação de situações da vida real com equações matemáticas
função definida por partes
uma função que é definida de forma diferente em diferentes partes de seu domínio
equação ponto-declive
equação de uma função linear indicando sua inclinação e um ponto no gráfico da função
função polinomial
uma função da forma (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} +… + a_1x + a_0 )
Função liga-desliga
uma função da forma (f (x) = x ^ n ) para qualquer número inteiro positivo (n≥1 )
função quadrática
um polinômio de grau 2; ou seja, uma função da forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) onde (a ≠ 0 )
função racional
uma função da forma (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são polinômios
função raiz
uma função da forma (f (x) = x ^ {1 / n} ) para qualquer inteiro (n≥2 )
inclinação
a mudança em y para cada mudança de unidade em x
forma de declive-interceptação
equação de uma função linear indicando sua inclinação e y-interceptar
função transcendental
uma função que não pode ser expressa por uma combinação de operações aritméticas básicas
transformação de uma função
uma mudança, dimensionamento ou reflexo de uma função

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Funções Um para Um

Uma função f é de 1 para 1 se não houver dois elementos no domínio de f correspondendo ao mesmo elemento no intervalo de f. Em outras palavras, cada x no domínio tem exatamente uma imagem no intervalo. E nenhum y no intervalo é a imagem de mais de um x no domínio.

Se o gráfico de uma função f for conhecido, é fácil determinar se a função é 1 para 1. Use o teste de linha horizontal. Se nenhuma linha horizontal intercepta o gráfico da função f em mais de um ponto, então a função é 1-para-1.

Uma função f tem um inverso f & menos 1 (leia f inverso) se e somente se a função for 1-para-1.


Funções Cúbicas

Uma função cúbica é aquela na forma f (x) = a x 3 + b x 2 + c x + d.

A função cúbica "básica", f (x) = x 3, é representada graficamente a seguir.

A função do coeficiente a na equação geral é tornar o gráfico "mais largo" ou "mais fino", ou refleti-lo (se negativo):

A constante d na equação é o intercepto y do gráfico.

Os efeitos de bec no gráfico são mais complicados. No entanto, se você pode fatorar o lado direito da equação, pode encontrar um ou mais interceptos x e usá-los para esboçar o gráfico. (Algumas cúbicas, no entanto, não podem ser fatoradas.)

Uma função cúbica pode ter um, dois ou três interceptos x, correspondendo às raízes reais da equação cúbica relacionada.

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1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

UMA Função booleana é descrito por uma expressão algébrica que consiste em variáveis ​​binárias, as constantes 0 e 1 e os símbolos de operação lógica
Para um determinado conjunto de valores das variáveis ​​binárias envolvidas, a função booleana pode ter um valor de 0 ou 1. Por exemplo, a função booleana é definido em termos de três variáveis ​​binárias . A função é igual a 1 se e simultaneamente ou .
Cada função booleana pode ser expressa por uma expressão algébrica, como uma mencionada acima, ou em termos de uma Tabela da verdade. Uma função pode ser expressa por meio de várias expressões algébricas, por serem logicamente equivalentes, mas existe apenas uma tabela verdade única para cada função.
Uma função booleana pode ser transformada de uma expressão algébrica em um diagrama de circuito composto de portas lógicas conectadas em uma estrutura particular. Diagrama de circuito para

Formulários canônicos e padrão & # 8211
Qualquer variável binária pode assumir uma de duas formas, ou . Uma função booleana pode ser expressa em termos de variáveis ​​binárias. Se todas as variáveis ​​binárias são combinadas usando a operação AND, então há um total de combinações, uma vez que cada variável pode assumir duas formas.
Cada uma das combinações é chamada de mintermo ou produto padrão. Um mintermo é representado por Onde é o equivalente decimal do número binário ao qual o mintermo é designado.
Nota importante & # 8211 Em um mintermo, a variável binária não é inicializada se a variável for 1 e é inicializada se a variável for 0, ou seja, se o mintermo for então isso significa e .
Por exemplo, para uma função booleana em duas variáveis, os mintermos são & # 8211

De forma semelhante, se as variáveis ​​são combinadas com a operação OR, o termo obtido é chamado de maxterm ou soma padrão. Um maxtermo é representado por Onde é o equivalente decimal do número binário que o maxterm é designado.

Nota importante & # 8211 Em um maxterm, a variável binária é un-primed se a variável for 0 e é primed se a variável for 1, ou seja, se o maxterm for então isso significa e .
Por exemplo, para uma função booleana em duas variáveis, os maxtermos são & # 8211

Mintermos e Maxtermos para função em 3 variáveis ​​& # 8211

Relação entre Minterms e Maxterms & # 8211 Cada mintermo é o complemento de seu maxtermo correspondente.
Por exemplo, para uma função booleana em duas variáveis ​​& # 8211

Construindo funções booleanas & # 8211 Agora que sabemos o que são mintermos e maxtermos, podemos usá-los para construir expressões booleanas.

& # 8220A função booleana pode ser expressa algebricamente a partir de uma determinada tabela verdade, formando um mintermo para cada combinação das variáveis ​​que produz um 1 na função e, em seguida, obtendo o OR de todos esses termos.

Por exemplo, considere duas funções e com as seguintes tabelas de verdade & # 8211

A função é 1 para as seguintes combinações de – 001,100,111
Os mintermos correspondentes são- , , .
Portanto, a expressão algébrica para é-


Da mesma forma, a expressão algébrica para é-

Se usarmos a Lei De Morgans em e todos os 1 & # 8217s tornam-se 0 e todos os 0 & # 8217s tornam-se 1. Portanto, obtemos-


Sobre usar a Lei De Morgans novamente-



e



Podemos concluir do que precede que as funções booleanas podem ser expressas como um soma de mintermos ou um produto de maxtermos.

  • Exemplo 1 e # 8211 Expresse a seguinte expressão booleana nas formas SOP e POS-
  • Solução & # 8211 A expressão pode ser transformada na forma SOP adicionando variáveis ​​ausentes em cada termo, multiplicando por Onde é a variável que falta.
    Decorre do fato de que & # 8211

    Na reorganização dos mintermos em ordem crescente

    Se quisermos o formulário POS, podemos negar duplamente o formulário SOP conforme indicado acima para obter-

    Os formulários SOP e POS têm uma pequena notação de representação-

Formulários padrão & # 8211
As formas canônicas são formas básicas obtidas da tabela verdade da função. Esses formulários geralmente não são usados ​​para representar a função, pois são difíceis de escrever e é preferível representar a função no menor número possível de literais.
Existem dois tipos de formulários padrão & # 8211

  1. Soma de produtos (SOP) - Uma expressão booleana envolvendo termos AND com um ou mais literais cada, OR & # 8217 juntos.
  2. Produto das somas (POS) Uma expressão booleana envolvendo termos OR com um ou mais literais cada, AND & # 8217 juntos, por exemplo,

Perguntas do GATE CS Corner

Praticar as perguntas a seguir o ajudará a testar seus conhecimentos. Todas as perguntas foram feitas no GATE em anos anteriores ou nos testes de simulação GATE. É altamente recomendável que você os pratique.

Digital Design 5th Edition, de Morris Mano e Michael Ciletti

Este artigo é uma contribuição de Chirag Manwani. Se você gosta de GeeksforGeeks e gostaria de contribuir, você também pode escrever um artigo usando contrib.geeksforgeeks.org ou enviar seu artigo para [email protected] Veja o seu artigo na página principal do GeeksforGeeks e ajude outros Geeks.

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1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

Estou colocando isso na web porque alguns alunos podem achar interessante. Isso poderia ser facilmente mencionado em muitos cursos de graduação em matemática, embora não pareça aparecer na maioria dos livros didáticos usados ​​para esses cursos. Nenhum deste material foi descoberto por mim. - ES

Você deve saber que a solução de ax 2 + bx + c = 0 é

Há uma fórmula análoga para polinômios de grau três: A solução de ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 é

(Uma fórmula como esta foi publicada pela primeira vez por Cardano em 1545.) Ou, mais resumidamente,

onde p = -b / (3a), q = p 3 + (bc-3ad) / (6a 2), r = c / (3a)

Mas eu sim não recomendo que você memorize essas fórmulas.

Além do fato de ser muito complicado, existem outros motivos pelos quais não ensinamos essa fórmula para alunos de cálculo. Um dos motivos é que estamos tentando evitar ensiná-los sobre números complexos. Números complexos (ou seja, tratar pontos no plano como números) são um tópico mais avançado, melhor deixar para um curso mais avançado. Mas então os únicos números que podemos usar no cálculo são os números reais (ou seja, os pontos na linha). Isso nos impõe algumas restrições - por exemplo, não podemos calcular a raiz quadrada de um número negativo. Agora, a fórmula de Cardan tem a desvantagem de poder colocar essas raízes quadradas em jogo em etapas intermediárias de cálculo, mesmo quando esses números não aparecem no problema ou em sua resposta.

Por exemplo, considere a equação cúbica x 3 -15x-4 = 0. (Esse exemplo foi mencionado por Bombelli em seu livro em 1572.) Esse problema tem coeficientes reais e três raízes reais para suas respostas.(Dica: uma das raízes é um pequeno inteiro positivo agora você consegue encontrar todas as três raízes?) Mas se aplicarmos a fórmula de Cardano a este exemplo, usaremos a = 1, b = 0, c = -15, d = -4 , e descobrimos que precisamos obter a raiz quadrada de -109 no cálculo resultante. Em última análise, as raízes quadradas dos números negativos seriam canceladas posteriormente no cálculo, mas esse cálculo não pode ser compreendido por um estudante de cálculo sem uma discussão adicional sobre números complexos.

Também existe uma fórmula análoga para polinômios de grau 4, mas é muito pior escrever que nem vou tentar aqui.


1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

Encontrando Domínio e Intervalo

· Encontre o domínio de uma função de raiz quadrada.

· Encontre o domínio e o intervalo de uma função na forma algébrica.

As funções são uma correspondência entre dois conjuntos, chamados de domínio e a alcance. Ao definir uma função, você geralmente indica que tipo de números o domínio (x) e alcance (f (x)) os valores podem ser. Mas mesmo que você diga que são números reais, isso não significa que tudo números reais podem ser usados ​​para x. Também não significa que todos os números reais podem ser valores de função, f(x) Pode haver restrições no domínio e no intervalo. As restrições dependem em parte do modelo de função.

Neste tópico, todas as funções serão restritas a valores de números reais. Ou seja, apenas números reais podem ser usados ​​no domínio e apenas números reais podem estar no intervalo.

Restringindo o domínio

Existem duas razões principais pelas quais os domínios são restritos.

· Você não pode tirar a raiz quadrada (ou outra raiz par) de um número negativo, pois o resultado não será um número real.

Em que tipo de funções esses dois problemas ocorreriam?

Divisão por 0 pode acontecer sempre que a função tem uma variável no denominador de uma expressão racional. Ou seja, é algo para procurar em funções racionais. Veja esses exemplos e observe que "divisão por 0" não significa necessariamente que x é 0!

Se x = 0, você estaria dividindo por 0, então x ≠ 0.

Se x = 3, você estaria dividindo por 0, então x ≠ 3.

Embora você possa simplificar esta função para

f (x) = 2, quando x = 1 a função original incluiria divisão por 0. Então x ≠ 1.

Ambos x = 1 e x = −1 tornaria o denominador 0. Novamente, esta função pode ser simplificada para , mas quando x = 1 ou x = -1 o original função incluiria divisão por 0, então x ≠ 1 e x ≠ −1.

Este é um exemplo com não restrições de domínio, embora haja uma variável no denominador. Desde a x 2 ≥ 0, x 2 + 1 nunca pode ser 0. O mínimo que pode ser é 1, então não há perigo de divisão por 0.

Raízes quadradas de números negativos pode acontecer sempre que a função tem uma variável em um radical com uma raiz par. Olhe para esses exemplos e observe que "raiz quadrada de uma variável negativa" não significa necessariamente que o valor sob o sinal do radical é negativo! Por exemplo, se x = −4, então -x = - (- 4) = 4, um número positivo.

Restrições ao Domínio

Se x & lt 0, você tiraria a raiz quadrada de um número negativo, então x ≥ 0.

Se x & lt −10, você tiraria a raiz quadrada de um número negativo, então x ≥ −10.

Quando é -x negativo? Apenas quando x é positivo. (Por exemplo, se x = - 3, então - x = 3. Se x = 1, então - x = - 1.) Isso significa x ≤ 0.

x 2 - 1 deve ser positivo, x 2 - 1 & gt 0.

Então x 2 e gt 1. Isso acontece apenas quando x é maior que 1 ou menor que - 1: x ≤ - 1 ou x ≥ 1.

Existem não restrições de domínio, embora haja uma variável sob o radical. Desde a

x 2 ≥ 0, x 2 + 10 nunca pode ser negativo. O mínimo que pode ser é 10, então não há perigo de tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Os domínios podem ser restritos se:

· A função é uma função racional e o denominador é 0 para algum valor ou valores de x.

· A função é uma função radical com um índice par (como uma raiz quadrada), e o radicand pode ser negativo para algum valor ou valores de x.

Lembre-se, aqui o intervalo é restrito a todos os números reais. O intervalo também é determinado pela função e pelo domínio. Considere esses gráficos e pense sobre quais valores de y são possíveis e quais valores (se houver) não são. Em cada caso, as funções têm valor real, ou seja, x e f(x) só podem ser números reais.

Função quadrática, f(x) = x 2 – 2x – 3

Lembre-se da função quadrática básica: f(x) = x 2 deve ser sempre positivo, então f(x) ≥ 0 nesse caso. Em geral, as funções quadráticas sempre possuem um ponto com valor máximo ou maior (se abre para baixo) ou um valor mínimo ou menor (se abre para cima, como o anterior). Isso significa que a faixa de uma função quadrática sempre estará restrita a estar acima do valor mínimo ou abaixo do valor máximo. Para a função acima, o intervalo é f(x) ≥ −4.

Outras funções polinomiais com graus pares terão restrições de intervalo semelhantes. Funções polinomiais com chance graus, como f(x) = x 3, não terá restrições.

Função radical, f(x) =

As funções de raiz quadrada parecem metade de uma parábola, virada de lado. O fato de que a porção da raiz quadrada deve ser sempre positiva restringe o alcance da função básica, , para apenas valores positivos. Mudanças nessa função, como o negativo na frente do radical ou a subtração de 2, podem alterar o intervalo. O intervalo da função acima é f(x) ≤ −2.

Função racional, f(x) =

As funções racionais podem parecer complicadas. Não há nada na função que obviamente restrinja o alcance. No entanto, as funções racionais têm assíntotas—Linhas que o gráfico obterá perto para, mas nunca cruze ou mesmo toque. Como você pode ver no gráfico acima, a restrição de domínio fornece uma assíntota, x = 6. O outro é a linha y = 1, que fornece uma restrição ao intervalo. Neste caso, não há valores de x para qual f(x) = 1. Portanto, o intervalo para esta função são todos os números reais, exceto 1.

Determinando Domínio e Alcance

Encontrar o domínio e a gama de funções diferentes é muitas vezes uma questão de se perguntar: quais valores podem esta função não ter?

Quais são o domínio e o alcance da função de valor real f(x) = x + 3?

Isto é um linear função. Lembre-se de que as funções lineares são linhas que continuam para sempre em cada direção.

Qualquer número real pode ser substituído por x e obter uma saída significativa. Para algum número real, você sempre pode encontrar um x valor que fornece esse número para a saída. A menos que uma função linear seja uma constante, como f(x) = 2, não há restrição no intervalo.

O domínio e o intervalo são todos números reais.

Quais são o domínio e o alcance da função de valor real f(x) = −3x 2 + 6x + 1?

Isto é um quadrático função. Não há expressões racionais ou radicais, então não há nada que restrinja o domínio. Qualquer número real pode ser usado para x para obter uma saída significativa.

Porque o coeficiente de x 2 é negativo, ele abrirá para baixo. Com funções quadráticas, lembre-se de que existe um valor máximo (maior) ou um valor mínimo (menor). Neste caso, existe um valor máximo.

O vértice, ou ponto de viragem, está em (1, 4). No gráfico, você pode ver que f(x) ≤ 4.

O domínio contém todos os números reais e a faixa contém todos os números reais f(x) de tal modo que f(x) ≤ 4.

Você pode verificar se o vértice está realmente em (1, 4). Uma vez que uma função quadrática tem duas metades de imagem espelhada, a linha de reflexão tem que estar no meio de dois pontos com o mesmo y valor. O vértice deve estar na linha de reflexão, porque é o único ponto que não tem uma imagem espelhada!

No exemplo anterior, observe que quando x = 2 e quando x = 0, o valor da função é 1. (Você pode verificar isso avaliando f(2) e f(0).) Ou seja, ambos (2, 1) e (0, 1) estão no gráfico. A linha de reflexão aqui é x = 1, então o vértice deve estar no ponto (1, f(1)). Avaliando f(1) dá f(1) = 4, então o vértice está em (1, 4).

Quais são o domínio e o alcance da função de valor real ?

Isto é um radical função. O domínio de uma função radical é qualquer x valor para o qual o radicand (o valor sob o sinal do radical) não é negativo. Que significa x + 5 ≥ 0, então x ≥ −5.

Uma vez que a raiz quadrada deve ser sempre positiva ou 0, . Que significa .

O domínio são todos números reais x Onde x ≥ −5, e o intervalo é todos os números reais f(x) de tal modo que f(x) ≥ −2.

Quais são o domínio e o alcance da função de valor real ?

Isto é um racional função. O domínio de uma função racional é restrito onde o denominador é 0. Neste caso, x + 2 é o denominador, e este é 0 apenas quando x = −2.

Para o intervalo, crie um gráfico usando um utilitário gráfico e procure assíntotas:

Uma assíntota, uma assíntota vertical, está em x = -2, como você deve esperar da restrição de domínio. A outra, uma assíntota horizontal, parece estar em torno y = 3. (Na verdade, é de fato y = 3.)

O domínio é composto por todos os números reais, exceto −2, e o intervalo é composto por todos os números reais, exceto 3.

Você pode verificar a assíntota horizontal, y = 3. É possível para ser igual a 3? Escreva uma equação e tente resolvê-la.

Como a tentativa de resolver termina com uma afirmação falsa - 0 não pode ser igual a 6! - a equação não tem solução. Não há valor de x para qual , então isso prova que o intervalo é restrito.

Encontre o domínio e o intervalo da função de valor real f(x) = x 2 + 7.

A) O domínio contém todos os números reais e a faixa contém todos os números reais f(x) de tal modo que

B) O domínio contém todos os números reais x de tal modo que x ≥ 0 e o intervalo é todos os números reais f(x) de forma que f(x) ≥ 7.

C) O domínio é todo números reais x de tal modo que x ≥ 0 e o intervalo são todos números reais.

D) O domínio e o intervalo são todos números reais.

A) O domínio contém todos os números reais e a faixa contém todos os números reais f(x) de tal modo que

Correto. As funções quadráticas não têm restrições de domínio. Desde a x 2 ≥ 0, x 2 + 7 ≥ 7.

B) O domínio contém todos os números reais x de tal modo que x ≥ 0 e o intervalo é todos os números reais f(x) de forma que f(x) ≥ 7.

Incorreta. Valores negativos podem ser usados ​​para x. A resposta correta é: O domínio contém todos os números reais e a faixa contém todos os números reais f(x) de tal modo que f(x) 7.

C) O domínio é todos os números reais x de tal modo que x ≥ 0 e o intervalo são todos números reais.

Incorreta. Valores negativos podem ser usados ​​para x, mas o intervalo é restrito porque x 2 ≥ 0. A resposta correta é: O domínio são todos os números reais e o intervalo é todos os números reais f(x) de tal modo que f(x) 7.

D) O domínio e o intervalo são todos números reais.

Incorreta. Embora seja verdade que as funções quadráticas não têm restrições de domínio, o intervalo é restrito porque x 2 ≥ 0. A resposta correta é: O domínio são todos os números reais e o intervalo é todos os números reais f(x) de tal modo que f(x) 7.

Embora uma função possa ser dada como “valor real”, pode ser que a função tenha restrições ao seu domínio e intervalo. Pode haver alguns números reais que não podem fazer parte do domínio ou do intervalo. Isso é particularmente verdadeiro com funções racionais e radicais, que podem ter restrições de domínio, alcance ou ambos. Outras funções, como funções quadráticas e funções polinomiais de grau par, também podem ter restrições ao seu alcance.


Mudar e dimensionar uma função

Nós temos uma função e com algumas operações simples, podemos deslocar a função ao longo dos eixos xey e também dimensioná-la (reduzi-la e ampliá-la).

Vamos usar um polinômio de segundo grau para este exemplo: .

O gráfico desta função é semelhante a este:

Podemos adicionar algumas constantes às funções que nos permitirão mudar e escalar: . No nosso caso, começamos deixando e seja 1, e e seja 0, o que nos dá o mesmo .


1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

· Compreender o círculo unitário, ângulo de referência, lado terminal, posição padrão.

· Encontre os valores exatos da função trigonométrica para ângulos que medem 30 °, 45 ° e 60 ° usando o círculo unitário.

· Encontre os valores exatos da função trigonométrica de qualquer ângulo cujo ângulo de referência mede 30 °, 45 ° ou 60 °.

· Determine os quadrantes onde seno, cosseno e tangente são positivos e negativos.

Os matemáticos criam definições porque têm uma utilidade na solução de certos tipos de problemas. Por exemplo, as seis funções trigonométricas foram originalmente definidas em termos de triângulos retângulos porque isso era útil na solução de problemas do mundo real que envolviam triângulos retângulos, como encontrar ângulos de elevação. O domínio, ou conjunto de valores de entrada, dessas funções é o conjunto de ângulos entre 0 ° e 90 °. Agora você vai aprender novo definições para essas funções em que o domínio é o conjunto de tudo ângulos. As novas funções terão os mesmos valores das funções originais quando a entrada for um ângulo agudo. Em um triângulo retângulo, você só pode ter ângulos agudos, mas verá a definição estendida para incluir outros ângulos.

Um uso para essas novas funções é que elas podem ser usadas para encontrar comprimentos laterais desconhecidos e medidas angulares em qualquer tipo de triângulo. Essas novas funções podem ser usadas em muitas situações que não têm nada a ver com triângulos.

Antes de examinar as novas definições, você precisa se familiarizar com a maneira padrão como os matemáticos desenham e rotulam ângulos.

Pela geometria, você sabe que um ângulo é formado por dois raios. Os raios se encontram em um ponto denominado vértice.

Na trigonometria, os ângulos são colocados em eixos de coordenadas. O vértice é sempre colocado na origem e um raio é sempre colocado no positivo x-eixo. Este raio é chamado de lado inicial do ângulo. O outro raio é chamado de lado terminal do ângulo. Este posicionamento de um ângulo é chamado posição padrão. A letra grega theta () é freqüentemente usada para representar uma medida de ângulo. Dois ângulos na posição padrão são mostrados abaixo.

Quando um ângulo é desenhado na posição padrão, ele tem uma direção. Observe que há pequenas setas curvas no desenho acima. O da esquerda vai no sentido anti-horário e é definido como um ângulo positivo. O da direita vai no sentido horário e é definido como um ângulo negativo. Se você usasse um transferidor para medir os ângulos, obteria 50 ° em ambos os casos. Nos referimos ao primeiro como um ângulo de 50 ° e ao segundo como um ângulo.

Por que você teria ângulos negativos? Como acontece com todas as definições, é uma questão de conveniência. Uma nave espacial em uma órbita circular ao redor do equador da Terra pode estar viajando em qualquer uma das duas direções. Portanto, pode-se dizer que ele percorreu um ângulo para indicar que foi na direção oposta de uma nave espacial que passou por um ângulo de 50 °. Por que o sentido anti-horário é positivo? Isso é apenas uma convenção - algo com que os matemáticos concordaram - porque uma forma deve ser positiva e a outra negativa.

Para ver como os ângulos positivos resultam da rotação no sentido anti-horário e os ângulos negativos resultam da rotação no sentido horário, tente o exercício interativo abaixo. Insira uma medida de ângulo na caixa chamada "Ângulo" e pressione Enter ou use o controle deslizante para mover o lado terminal do ângulo θ através dos quadrantes.

Este é um miniaplicativo Java criado usando GeoGebra de www.geogebra.org - parece que você não tem o Java instalado, visite www.java.com

Desenhe um ângulo de 160 ° na posição padrão.

O ângulo é positivo, então você começa no x-eixo e vá 160 ° no sentido anti-horário.

Desenhe um ângulo na posição padrão.

O ângulo é negativo, então você começa no x-eixo e vá 200 ° no sentido horário. Lembre-se de que 180 ° é uma linha reta. Isso o levará ao negativo x-eixo, e então você tem que ir 20 ° mais longe.

Observe que os lados dos terminais nos dois exemplos acima são iguais, mas representam ângulos diferentes. Esses pares de ângulos são considerados ângulos coterminais.

Para cada ângulo desenhado na posição padrão, há um ângulo relacionado conhecido como ângulo de referência. Este é o ângulo formado pelo lado terminal e o x-eixo. O ângulo de referência é sempre considerado positivo e tem um valor entre 0 ° e 90 °. Dois ângulos são mostrados abaixo na posição padrão.

Você pode ver que o lado terminal do ângulo de 135 ° e o x-eixo formam um ângulo de 45 ° (isso ocorre porque os dois ângulos devem somar 180 °). Este ângulo de 45 °, mostrado em vermelho, é o ângulo de referência para 135 °. O lado terminal do ângulo de 205 ° e o x- o eixo forma um ângulo de 25 °. É 25 ° porque. Este ângulo de 25 °, mostrado em vermelho, é o ângulo de referência para 205 °.

Aqui estão mais dois ângulos na posição padrão.

O lado terminal do ângulo de 300 ° e o x-eixo formam um ângulo de 60 ° (isso ocorre porque os dois ângulos devem somar 360 °). Este ângulo de 60 °, mostrado em vermelho, é o ângulo de referência para 300 °. O lado terminal do ângulo de 90 ° e o x- o eixo forma um ângulo de 90 °. O ângulo de referência é igual ao ângulo original neste caso. Na verdade, qualquer ângulo de 0 ° a 90 ° é igual ao ângulo de referência.

Qual é o ângulo de referência para 100 °?

O lado do terminal está no quadrante II. O ângulo original e o ângulo de referência juntos formam uma linha reta ao longo do x-eixo, então sua soma é 180 °.


1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

Natasha Glydon

Médicos e enfermeiras usam a matemática todos os dias, ao mesmo tempo que prestam cuidados de saúde a pessoas em todo o mundo. Médicos e enfermeiras usam matemática quando escrevem prescrições ou administram medicamentos. Os profissionais médicos usam a matemática para desenhar gráficos estatísticos de epidemias ou taxas de sucesso de tratamentos. A matemática se aplica a raios-x e tomografias. Os números fornecem uma abundância de informações para profissionais médicos. É reconfortante para o público em geral saber que nossos médicos e enfermeiras foram devidamente treinados pelo estudo da matemática e seus usos para a medicina.

Prescrições e medicamentos

Regularmente, os médicos prescrevem aos seus pacientes várias doenças. As prescrições indicam um medicamento específico e quantidade de dosagem. A maioria dos medicamentos tem diretrizes para quantidades de dosagem em miligramas (mg) por quilograma (kg). Os médicos precisam descobrir quantos miligramas de medicamento cada paciente precisará, dependendo de seu peso. Se o peso de um paciente só é conhecido em libras, os médicos precisam converter essa medida em quilogramas e, em seguida, encontrar a quantidade de miligramas para a prescrição. Há uma diferença muito grande entre mg / kg e mg / lbs, por isso é fundamental que os médicos entendam como converter com precisão as medidas de peso. Os médicos também devem determinar quanto tempo uma receita vai durar. Por exemplo, se um paciente precisa tomar seu medicamento, digamos um comprimido, três vezes ao dia. Então, um mês de pílulas equivale a aproximadamente 90 pílulas. No entanto, a maioria dos pacientes prefere prescrições de dois ou três meses para fins de conveniência e seguro. Os médicos devem ser capazes de fazer esses cálculos mentalmente com rapidez e precisão.

Os médicos também devem considerar quanto tempo o medicamento permanecerá no corpo do paciente. Isso determinará com que freqüência o paciente precisa tomar o medicamento para manter uma quantidade suficiente do medicamento no corpo. Por exemplo, um paciente toma um comprimido pela manhã que contém 50 mg de um determinado medicamento. Quando o paciente acorda no dia seguinte, seu corpo já lavou 40% da medicação. Isso significa que 20 mg foram eliminados e apenas 30 mg permanecem no corpo. O paciente continua a tomar o comprimido de 50 mg todas as manhãs. Isso significa que na manhã do segundo dia, o paciente tem os 30 mg restantes do primeiro dia, bem como outros 50 mg da manhã do segundo dia, que é um total de 80 mg. Enquanto isso continua, os médicos devem determinar com que frequência um paciente precisa tomar seus medicamentos e por quanto tempo, a fim de manter o medicamento suficiente no corpo do paciente para funcionar de maneira eficaz, mas sem overdose.

A quantidade de medicamento no corpo após a ingestão de um medicamento diminui em certa porcentagem em um determinado período (talvez 10% a cada hora, por exemplo). Essa redução percentual pode ser expressa como um número racional, 1/10. Portanto, a cada hora, se o valor no final da hora diminuir em 1/10, o valor restante será 9/10 do valor no início da hora. Essa diminuição racional constante cria uma sequência geométrica. Assim, se o paciente toma um comprimido que contém 200mg de um determinado medicamento, a diminuição da medicação em seu corpo a cada hora pode ser observada na tabela a seguir. O Começar coluna contém o número de mg da droga restante no sistema no início da hora e o Fim coluna contém o número de mg do medicamento remanescente no sistema no final da hora.

Hora Começar Fim
1 200 9/10 x 200 = 180
2 180 9/10 x 180 = 162
3 162 9/10 x 162 = 145,8
. . .

A sequência de números mostrada acima é geométrica porque há uma proporção comum entre os termos, neste caso 9/10. Os médicos podem usar essa ideia para decidir rapidamente com que frequência um paciente deve tomar o medicamento prescrito.

Os enfermeiros também usam proporções e proporções ao administrar medicamentos. Os enfermeiros precisam saber quanto medicamento um paciente precisa, dependendo de seu peso. Os enfermeiros precisam ser capazes de compreender as ordens do médico. Essa ordem pode ser dada como: 25 mcg / kg / min. Se o paciente pesa 52kg, quantos miligramas ele deve receber em uma hora? Para fazer isso, os enfermeiros devem converter microgramas (mcg) em miligramas (mg). Se 1mcg = 0,001mg, podemos encontrar a quantidade (em mg) de 25mcg estabelecendo uma proporção.

Pela multiplicação cruzada e divisão, vemos que 25mcg = 0,025mg. Se o paciente pesar 52kg, ele receberá 0,025 (52) = 1,3mg por minuto. São 60 minutos em uma hora, então em uma hora o paciente deve receber 1,3 (60) = 78mg. Os enfermeiros usam razões e proporções diariamente, além de converter unidades importantes. Eles têm & ldquoshortcuts & rdquo especiais que usam para fazer essa matemática com precisão e eficiência em um curto período de tempo.

Os números fornecem aos médicos muitas informações sobre a condição do paciente. As contagens de leucócitos são geralmente fornecidas como um valor numérico entre 4 e 10. No entanto, uma contagem de 7,2 na verdade significa que existem 7200 leucócitos em cada gota de sangue (cerca de um microlitro). Da mesma forma, a medida da creatinina (uma medida da função renal) em uma amostra de sangue é dada como X mg por decilitro de sangue. Os médicos precisam saber que uma medida de 1,3 pode significar alguma extensão de insuficiência renal. Os números ajudam os médicos a entender a condição do paciente. Eles fornecem medidas de saúde, que podem ser sinais de alerta de infecção, enfermidade ou enfermidade.

Em termos de medicina e saúde, o Índice de Massa Corporal (IMC) de uma pessoa é uma medida útil. Seu IMC é igual ao seu peso em libras, vezes 704,7, dividido pelo quadrado da sua altura em polegadas. Esse método nem sempre é preciso para pessoas com massa muscular muito alta porque o peso do músculo é maior do que o peso da gordura. Nesse caso, a medição calculada do IMC pode ser enganosa. Existem máquinas especiais que localizam uma pessoa e rsquos IMC. Podemos encontrar o IMC de uma mulher de 145 libras com 5 & rsquo6 & rdquo de altura da seguinte maneira.

Primeiro, precisamos converter a medida de altura de 5 & rsquo6 & rdquo em polegadas, que é 66 & rdquo. Então, o IMC da mulher seria:

Este é um índice de massa corporal normal. Um IMC normal é menor que 25. Um IMC entre 25 e 29,9 é considerado excesso de peso e um IMC maior que 30 é considerado obeso. As medições de IMC fornecem aos médicos informações sobre a saúde de um paciente. O médico pode usar essas informações para sugerir conselhos de saúde aos pacientes. A imagem abaixo é uma tabela de IMC que fornece uma aproximação dos índices de massa corporal saudáveis ​​e não saudáveis.

Uma das maneiras mais avançadas que os profissionais médicos usam a matemática é por meio de tomografias computadorizadas. A tomografia computadorizada é um tipo especial de raio-x denominado tomografia axial computadorizada. Um raio-x regular pode fornecer apenas uma visão bidimensional de uma parte específica do corpo. Então, se um osso menor estiver escondido entre a máquina de raios-X e um osso maior, o osso menor não poderá ser visto. É como uma sombra.

É muito mais benéfico ver uma representação tridimensional dos órgãos do corpo e dos órgãos, especialmente o cérebro. As tomografias permitem que os médicos vejam lado de dentro o cérebro, ou outro órgão do corpo, com uma imagem tridimensional. Em uma tomografia computadorizada, a máquina de raios-X se move ao redor do corpo examinando o cérebro (ou qualquer parte do corpo que está sendo examinada) de centenas de ângulos diferentes. Em seguida, um computador reúne todas as digitalizações e cria uma imagem tridimensional. Cada vez que a máquina de raios-X dá uma volta completa ao redor do cérebro, ela produz uma imagem de uma fatia fina do cérebro, começando no topo da cabeça e descendo em direção ao pescoço. A visão tridimensional criada pela tomografia computadorizada fornece muito mais informações aos médicos do que uma simples radiografia bidimensional.

A matemática desempenha um papel crucial na medicina e, como a vida das pessoas está envolvida, é muito importante que enfermeiras e médicos sejam muito precisos em seus cálculos matemáticos. Os números fornecem informações para médicos, enfermeiras e até mesmo pacientes. Os números são uma forma de comunicar informações, o que é muito importante na área médica.

Outra aplicação da matemática à medicina envolve um litotritor. Este é um dispositivo médico que usa a propriedade de uma elipse para tratar cálculos biliares e cálculos renais. Para saber mais, visite o Litotripsia página.


O Math Central é patrocinado pela University of Regina e pelo The Pacific Institute for the Mathematical Sciences.


1.3: Classes Básicas de Funções - Matemática

Uma função de poder é uma função da forma,

Onde uma & ne 0 é uma constante e p é um número real. Alguns exemplos de funções de energia incluem:

Funções raiz, como exemplos de funções de potência. Graficamente, as funções de potência podem se assemelhar a funções exponenciais ou logarítmicas para alguns valores de x. No entanto, como x fica muito grande, as funções de potência e as funções exponenciais ou logarítmicas começam a divergir umas das outras. Uma função de crescimento exponencial ultrapassará uma função de potência crescente para grandes valores de x. Por outro lado, funções de potência crescentes irão superar as funções logarítmicas para grandes valores de x.

Domínio e alcance

O domínio de uma função de potência depende do valor da potência p. Veremos cada caso separadamente.

1. p é um número inteiro não negativo

O domínio são todos números reais (ou seja, (& menos & infin, & infin)).

2. p é um número inteiro negativo

O domínio contém todos os números reais, não incluindo zero (ou seja, (& menos & infin, 0) & xícara (0, & infin) ou <x|x & ne 0>). Iremos revisitar este caso quando estudarmos funções racionais.

3. p é um número racional expresso em termos mais baixos como r / s e s é até

UMA. p & gt 0

O domínio é um número real não negativo (ou seja, [0, & infin) ou <x|x & ge 0>).

B. p & lt 0

O domínio é números reais positivos (ou seja, (0, & infin) ou <x|x & gt 0>).

4. p é um número racional expresso em termos mais baixos como r / s e s é chance

UMA. p & gt 0

O domínio é composto por números reais.

B. p & lt 0

O domínio são todos os números reais, não incluindo o zero.

5. p é um número irracional

UMA. p & gt 0

O domínio contém todos os números reais não negativos.

B. p & lt 0

O domínio contém todos os números reais positivos.

Na próxima seção, estudaremos os gráficos das funções de potência.