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2.6: Contagem Avançada usando PIE - Matemática


Investigar!

Você tem 11 mini tortas de limão idênticas para dar a 4 crianças. No entanto, você não quer que nenhuma criança ganhe mais do que 3 tortas. De quantas maneiras você pode distribuir as tortas?

  1. Quantas maneiras existem de distribuir as tortas sem qualquer restrição?
  2. Vamos nos livrar das maneiras como uma ou mais crianças comem tortas demais. Quantas maneiras existem de distribuir as tortas se Al receber muitas tortas? E se Bruce receber muitos? Ou gato? Ou Dent?
  3. E se duas crianças comerem muitas tortas? De quantas maneiras isso pode acontecer? Importa quais duas crianças você escolhe para superalimentar?
  4. É possível que três crianças recebam tortas demais? Em caso afirmativo, de quantas maneiras isso pode acontecer?
  5. Como você deve combinar todos os números encontrados acima para responder à pergunta original?

Suponha que agora você tenha 13 tortas e 7 filhos. Nenhuma criança pode comer mais de 2 tortas. De quantas maneiras você pode distribuir as tortas?

Estrelas e barras nos permitem contar o número de maneiras de distribuir 10 cookies para 3 crianças e soluções de números naturais para (x + y + z = 11 text {,} ) por exemplo. Uma modificação relativamente fácil nos permite colocar um limite inferior restrição nestes problemas: talvez cada criança deva obter pelo menos dois cookies ou (x, y, z ge 2 text {.} ) Isso foi feito atribuindo primeiro a cada criança (ou variável) 2 cookies (ou unidades) e depois distribuindo o resto usando estrelas e barras.

E se nós quiséssemos um limite superior restrição? Por exemplo, podemos insistir que nenhuma criança recebe mais do que 4 cookies ou que (x, y, z le 4 text {.} ) Acontece que isso é consideravelmente mais difícil, mas ainda possível. A ideia é contar todas as distribuições e depois remover aquelas que violam a condição. Em outras palavras, devemos contar o número de maneiras de distribuir 11 cookies para 3 crianças nas quais um ou mais das crianças recebe mais de 4 biscoitos. Para qualquer criança em particular, isso não é um problema; fazemos isso usando estrelas e barras. Mas como combinar o número de maneiras para a criança A, ou B ou C? Devemos usar o PIE.

O Princípio de Inclusão / Exclusão (PIE) fornece um método para encontrar a cardinalidade da união de conjuntos não necessariamente disjuntos. Nós vimos em Subseção como isso funciona com três conjuntos. Para descobrir quantas coisas estão em um ou mais dos conjuntos (A text {,} ) (B text {,} ) e (C text {,} ) devemos apenas somar o número de coisas em cada um desses conjuntos. No entanto, se houver alguma sobreposição entre os conjuntos, esses elementos serão contados várias vezes. Portanto, subtraímos as coisas em cada interseção de um par de conjuntos. Mas fazer isso remove os elementos que estão em todos os três conjuntos com muita frequência, então precisamos adicioná-los de volta. Em termos de cardinalidade dos conjuntos, temos

begin {equation *} | A xícara B xícara C | = | A | + | B | + | C | - | A cap B | - | A cap C | - | B cap C | + | A cap B cap C |. end {equação *}

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Três crianças, Alberto, Bernadette e Carlos, decidem dividir 11 biscoitos. Eles se perguntam de quantas maneiras eles poderiam dividir os cookies, desde que nenhum deles receba mais de 4 cookies (alguém que não recebe cookies é, por algum motivo, aceitável para essas crianças).

Solução

Sem a restrição “não mais que 4”, a resposta seria ({13 escolha 2} texto {,} ) usando 11 estrelas e 2 barras (separando as três crianças). Agora conte o número de maneiras que uma ou mais crianças violam a condição, ou seja, obtém pelo menos 4 cookies.

Seja (A ) o conjunto de resultados em que Alberto obtém mais de 4 biscoitos. Seja (B ) o conjunto de resultados em que Bernadette obtém mais de 4 biscoitos. Seja (C ) o conjunto de resultados em que Carlos recebe mais de 4 biscoitos. Estamos então procurando (para fins de subtração) o tamanho do conjunto (A xícara B xícara C text {.} ) Usando PIE, devemos encontrar os tamanhos de (| A | text { ,} ) (| B | text {,} ) (| C | text {,} ) (| A cap B | ) e assim por diante. Aqui está o que encontramos.

(| A | = {8 escolha 2} text {.} ) Primeiro dê a Alberto 5 biscoitos, depois distribua os 6 restantes para as três crianças sem restrições, usando 6 estrelas e 2 barras.
(| B | = {8 escolha 2} texto {.} ) Assim como acima, só que agora Bernadette recebe 5 cookies no início.
(| C | = {8 escolha 2} texto {.} ) Carlos obtém 5 cookies primeiro.
(| A cap B | = {3 escolha 2} text {.} ) Dê a Alberto e Bernadette 5 biscoitos cada, deixando 1 (estrela) para distribuir pelas três crianças (2 barras).
(| A cap C | = {3 escolha 2} text {.} ) Alberto e Carlos recebem 5 cookies primeiro.
(| B cap C | = {3 escolha 2} text {.} ) Bernadette e Carlos recebem 5 cookies primeiro.
(| A cap B cap C | = 0 text {.} ) Não é possível para as três crianças obter 4 ou mais cookies.

Combinando tudo isso, vemos

begin {equation *} | A xícara B xícara C | = {8 escolha 2} + {8 escolha 2} + {8 escolha 2} - {3 escolha 2} - {3 escolha 2} - {3 escolha 2} + 0 = 75. fim { equação*}

Portanto, a resposta à pergunta original é ({13 escolha 2} - 75 = 78 - 75 = 3 texto {.} ) Isso faz sentido agora que o vemos. A única maneira de garantir que nenhuma criança receba mais do que 4 biscoitos é dar 4 biscoitos a duas crianças e 3 a uma criança; há três opções de criança que deve ser. Poderíamos ter encontrado a resposta muito mais rápido por meio dessa observação, mas o objetivo do exemplo é ilustrar que o PIE funciona!


2.6: Contagem Avançada usando PIE - Matemática

& pi, uma letra do alfabeto grego usada em matemática para denotar um determinado número irracional & mdash a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. O símbolo foi provavelmente adotado da palavra grega para & ldquocircumference & rdquo ou & ldquoperiphery. & Rdquo Embora tenha entrado em uso geral após um artigo de L. Euler em 1736, foi usado pela primeira vez pelo matemático britânico W. Jones em 1706. Como todos os irracionais números, & pi é uma fração decimal infinita não repetida:

Os requisitos de cálculos práticos envolvendo círculos e sólidos circulares, há muito tempo, tornaram necessário encontrar aproximações de & pi por números racionais. No segundo milênio A.C.., antigos cálculos egípcios da área de um círculo usavam a aproximação & pi & asymp 3, ou, mais precisamente, & pi & asymp (16/9) 2 = 3,16049. & hellip No século III A.C.., Arquimedes descobriu, comparando a circunferência de um círculo a polígonos regulares inscritos e circunscritos, que & pi está entre os valores

O segundo valor ainda é usado em cálculos que não requerem grande precisão. Na segunda metade do século V, o matemático chinês Tsu Ch & rsquoung-chih obteve a aproximação 3,1415927, que muito mais tarde (século 16) também foi encontrada na Europa. Esta aproximação é exata para as primeiras seis casas decimais.

A busca por uma aproximação mais exata de & pi continuou em períodos posteriores. Por exemplo, na primeira metade do século 15, al-Kashi calculou & pi para 17 casas. No início do século 17, o matemático holandês Ludolph van Ceulen obteve 32 lugares. Para necessidades práticas, no entanto, é suficiente ter valores para & pi e as expressões mais simples nas quais & pi ocorre com apenas algumas casas decimais. As obras de referência geralmente fornecem aproximações de quatro a sete casas para & pi, 1 / & pi, & pi 2 e log & pi.

O número & pi aparece não apenas na solução de problemas geométricos. Desde a época de F. Vieta (século 16), sabe-se que os limites de certas sequências aritméticas geradas por regras simples envolvem & pi. Um exemplo é a série Leibniz & rsquo (1673-74)

Esta série converge extremamente lentamente. Existem séries para calcular & pi que convergem muito mais rapidamente. Um exemplo é a fórmula

onde os valores das tangentes do arco são calculados por meio da série

A fórmula foi usada em 1962 para um cálculo de computador de π para 100.000 casas. Este tipo de cálculo é interessante em conexão com o conceito de números aleatórios e pseudo-aleatórios. O processamento estatístico mostrou que este conjunto de 100.000 dígitos exibe muitas características de uma sequência aleatória.

A possibilidade de uma definição puramente analítica de & pi é de fundamental importância para a geometria. Assim, na geometria não euclidiana & pi também ocorre em algumas fórmulas, mas não é mais a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, pois a razão não é uma constante na geometria não euclidiana. A natureza aritmética de & pi foi finalmente esclarecido por meios analíticos, entre os quais um papel crucial foi desempenhado pela notável fórmula de Euler e 2& pii = 1, onde e é a base do sistema natural de logaritmos e .

No final do século 18, J. H. Lambert e A. M. Legendre provaram que & pi é irracional. Em 1882, o matemático alemão F. Lindemann mostrou que é transcendental - isto é, não pode satisfazer nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros. O teorema de Lindemann estabeleceu conclusivamente que o problema da quadratura do círculo não pode ser resolvido por meio de um compasso e régua.


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Copyright © 2020 Jana Guerra em We Heart Teaching. Todos os direitos reservados pelo autor. Permissão para cópia apenas para uso em uma única sala de aula. Distribuição eletrônica limitada ao uso em uma única sala de aula. Não para exibição pública.


Por que a pré-álgebra é importante?

Como mencionado acima, a pré-álgebra é uma etapa crítica em sua vida educacional. Geralmente é ensinado no ensino médio, mas muitas crianças podem começar a aprender mais cedo, como crianças superdotadas e educadoras domiciliares. Felizmente, nossa calculadora de equações pré-álgebra será adequada para você, não importa a qual categoria você pertença.

Como o nome sugere, o objetivo principal desta aula é preparar os alunos para álgebra e matemática avançada. Em outras palavras, se um aluno falhar em estabelecer uma base sólida em pré-álgebra, ele provavelmente achará a matemática de nível superior mais complicada do que realmente é. Basicamente, muitos alunos não levam a pré-álgebra a sério, é por isso que eles acham a matemática muito difícil e complicada mais tarde, o que acaba levando à epidemia "Eu odeio matemática".

Pré-álgebra cobre muitos conceitos, muitos dos quais são suportados por nossa calculadora online para pré-álgebra. Esses conceitos incluem números inteiros, adição, subtração, multiplicação, divisão, números primos, problemas de palavras, pontos, linhas, volume, frações, probabilidades, etc.

Muitos alunos, assim como os pais, acreditam que a pré-álgebra é um passo ou ponte desnecessário para a matemática real, mas isso está longe da verdade. Por quê? Porque você não quer mergulhar em matemática avançada enquanto luta com frações e decimais simples.

A matemática é um processo completo que precisa ser levado a sério. Não se trata de sua idade ou aprovação nas aulas, mas de aprender a resolver grandes problemas dividindo-os em outros menores, o que nos leva de volta à pré-álgebra.

Cada novo conceito que você aprende durante seu curso educacional é baseado em conceitos simples, o que mostra o enorme papel que a pré-álgebra desempenha e, portanto, a grande ajuda que nossa calculadora online para pré-álgebra pode fornecer.


Dicas para pais de crianças em idade pré-escolar

Como pai de uma criança em idade pré-escolar, você provavelmente gosta de experimentar o mundo através dos olhos de seu filho (e mãos e pés!) Enquanto ele explora e aprende com grande entusiasmo. E como o primeiro professor do seu filho, você pode começar a ensinar o básico de leitura, escrita e matemática. Oferecer aos pré-escolares uma base sólida na alfabetização matemática inicial é fundamental para seu futuro sucesso acadêmico, sem mencionar a importância disso para seu funcionamento diário. Isso é especialmente verdadeiro devido às crescentes demandas do currículo de matemática em nossas escolas primárias hoje. Se seu filho frequenta a pré-escola, você pode esperar ver uma ênfase maior no ensino de matemática na primeira infância, à medida que a pré-escola se prepara para preparar os alunos para a matemática do ensino fundamental.

O que você precisa saber e fazer para ajudar seu filho em idade pré-escolar a aprender matemática? Para ajudá-lo a começar, explicaremos como os pré-escolares aprendem sobre as muitas dimensões da matemática para que você possa desenvolver isso. Você aprenderá que perguntas fazer à pré-escola do seu filho sobre o programa e a instrução de matemática. Vamos sugerir algumas atividades matemáticas divertidas e educacionais e jogos para fazer com o seu pré-escolar. E, finalmente, explicaremos como fazer parceria com professores da pré-escola para garantir que seu filho esteja no caminho certo e experimente a matemática como sendo "real" e útil ao longo do dia - na escola, em casa e enquanto brinca.

Como os pré-escolares aprendem os muitos aspectos da matemática

A maioria dos pré-escolares, mesmo sem a orientação de adultos, está naturalmente interessada em matemática como ela existe no mundo ao seu redor. Eles aprendem matemática melhor participando de jogos e projetos dinâmicos e práticos. Os pré-escolares adoram fazer perguntas e jogar jogos que envolvem muitos aspectos da matemática. A tabela abaixo lista os principais aspectos da matemática pré-escolar, junto com jogos e atividades simples que você pode usar para ajudar seu filho a aprendê-los.

Aspecto Matemático Jogos e atividades
Sentido de número Conte os alimentos na hora do lanche (por exemplo, 5 biscoitos, 20 passas, 10 cenouras infantis). Use um calendário para fazer a contagem regressiva dos dias de um aniversário ou feriado especial. Ajude seu filho a ver a conexão entre um numeral como "5", a palavra "cinco" e cinco dias no calendário. Pratique adição e subtração simples usando pequenos brinquedos e blocos. Jogue jogos de tabuleiro simples, onde seu filho move uma peça do jogo de uma posição para a outra.
Geometria Peça ao seu filho que diga o nome dos formatos de cortadores ou blocos de biscoitos. Organize os cortadores de biscoitos em padrões em uma assadeira ou toalha de mesa. Um padrão simples pode ser: círculo-estrela-círculo-estrela.
Medição Deixe seu filho ajudá-lo a medir os ingredientes para uma receita simples - de preferência uma das favoritas! Meça a altura do seu filho a cada mês ou mais, mostrando como você usa uma régua ou fita métrica. Marque sua altura em um "gráfico de crescimento" ou em uma moldura de porta. Faça o mesmo com quaisquer irmãos. Ajude seu filho a comparar sua própria altura com a dos meses anteriores e também com a altura de seus irmãos.
Linguagem matemática Converse por meio de jogos e atividades diárias que envolvam conceitos matemáticos. Peça para seu filho nomear números e formas. Ajude-o a compreender e expressar comparações como mais que / menos que, maior / menor e próximo / distante.
Relações espaciais Jogue jogos nos quais você instrua seu filho a pular para frente e para trás, para correr para longe de você ou ficar por perto. Use músicas com movimentos correspondentes para ensinar conceitos como entrar e sair, subir e descer e girar e girar.

Seu filho pode compreender (e gostar) de certos conceitos matemáticos com mais facilidade do que outros, é de se esperar alguma variação na consciência e nas habilidades matemáticas das crianças. Mesmo assim, por volta dos 3 ou 4 anos, seu filho deve entender certos conceitos matemáticos e ser capaz de realizar tarefas matemáticas relacionadas.

Se você ou o professor de seu filho acreditam que seu filho está tendo uma dificuldade especial com matemática precoce, você pode consultar seu pediatra e talvez entrar em contato com o Diretor de Educação Especial do sistema escolar público para uma triagem diagnóstica sem nenhum custo para você (disponível sob o Lei da Educação de Indivíduos com Deficiências).

Tirando a matemática do isolamento

Por gerações, a matemática foi ensinada como uma disciplina separada e não foi integrada com outras disciplinas na escola. Matemática era ensinada e falada apenas nas "aulas de matemática" e raramente era mencionada ou usada em outras aulas e atividades. Agora há uma mudança em direção ao ensino de matemática em todo o currículo, integrando-a às artes da linguagem, música, arte e atividade física. Por exemplo, os alunos que realizam um projeto de arte podem ser solicitados a incorporar e descrever a geometria por meio do uso de certas formas e padrões. Eles também podem aprender matemática por meio de histórias e músicas que incluem contagem, números e a linguagem da matemática, o clássico do Dr. Seuss, Um Peixe, Dois Peixe, Peixe Vermelho, Peixe Azul é um exemplo divertido! Esse tipo de abordagem integrada tem sido usada com sucesso como uma forma de ensinar crianças pequenas a ler, portanto, faz sentido que a mesma abordagem possa aprimorar a compreensão da matemática pelas crianças.

Pergunte sobre o programa de matemática da pré-escola

Quer seu filho já esteja matriculado na pré-escola ou você esteja procurando por uma, talvez queira fazer um trabalho de detetive sobre o programa de matemática que ele está usando. Aqui estão algumas perguntas-chave para fazer ao professor e ao diretor da pré-escola:

  • Qual programa de matemática você usa nesta escola? Você já usou isso antes e, em caso afirmativo, quão bem os alunos aprenderam? As salas de aula diferentes usam programas diferentes? Quanta instrução é "definida" pelo programa e quanto é "flexível" e criada pelo professor?
  • Como o programa é projetado para preparar as crianças para o sucesso em matemática do jardim de infância? (Observação: quando uma criança entra na escola primária pública, seu desempenho é medido em relação aos padrões e requisitos educacionais específicos do estado onde ela mora.)
  • Você mistura matemática com outras atividades e matérias no currículo geral? Se sim, você pode me dar alguns exemplos? (Se não, por que não?)
  • Como saber quando uma criança está bem ou precisa de ajuda adicional? Você faz a triagem das crianças individualmente? Você oferece aulas de matemática personalizadas para atender às necessidades deles?
  • Os professores receberam instruções e apoio sobre a melhor forma de ensinar matemática? Eles têm mentores aos quais recorrer em busca de orientação? Eles sabem o que fazer se uma criança mostrar sinais de luta?
  • Por que você escolheu esta abordagem para ensinar matemática? Há pesquisas para apoiar o uso deste programa? Você usa uma combinação de abordagens diferentes? (Lembre-se de que a pesquisa em matemática inicial é uma ciência relativamente "nova", portanto, há muito menos pesquisas do que para leitura.)

Junte-se ao professor

Se seu filho frequenta a pré-escola, certifique-se de verificar com o professor para que você possa coordenar suas aulas de matemática na escola e em casa. Sessões de orientação aos pais, conferências de pais e professores e até mesmo o voluntariado na sala de aula (e observação da ação) fornecem grandes oportunidades de aprender sobre o programa de matemática da escola e ver em primeira mão como seu próprio filho está aprendendo. Pergunte ao professor quais aspectos da matemática seu filho entende e onde ele ou ela está tendo dificuldades. Em seguida, pergunte como o professor está lidando com quaisquer dificuldades - e como você pode fazer o mesmo em casa. Analise o trabalho e os projetos que seu filho traz da escola para casa e discuta-os juntos.

Ensino doméstico para o seu pré-escolar

Se seu filho não frequenta a pré-escola e você optou por ensiná-lo em casa, você deve aprender sobre os padrões de matemática do jardim de infância em seu estado, para que possa adaptar seu ensino para preparar seu filho para atender a esses requisitos. Entre em contato com o departamento de educação do seu estado para saber mais. E pergunte ao seu distrito escolar público (ou escola primária particular) quais habilidades matemáticas eles exigem que os novos alunos do jardim de infância saibam.

Você não é uma pessoa que pensa em matemática?

E se você não for uma pessoa com mentalidade matemática? Você lutou com matemática na escola? Você conta nos dedos (não é crime!) Ou tem dificuldade para dobrar os ingredientes e o tempo de cozimento nas receitas? Muitos pais (e alguns professores!) Se intimidam com a matemática. Se isso soa como você, passe algum tempo refletindo sobre como você usa a matemática na vida diária. Considere os aspectos práticos da matemática que você está ensinando ao seu filho (ou seja, "senso numérico", linguagem da matemática, medição, geometria e relações espaciais) e pense na frequência com que você os usa com sucesso na vida diária. Quando você equilibra seu talão de cheques, calcula o consumo de combustível ou estima como os móveis novos caberão na sua sala de estar, você está usando matemática! Seu filho sentirá qualquer ansiedade ou falta de confiança que você tenha em relação à matemática, e isso pode influenciar sua própria atitude em relação ao assunto. Quanto mais confiança você tiver em sua própria habilidade matemática, maior será o sucesso ao ensinar seu filho.


Kristin Stanberry é escritora e editora especializada em questões de paternidade, educação e saúde / bem-estar do consumidor. Suas áreas de especialização incluem dificuldades de aprendizagem e AD / HD, tópicos sobre os quais ela escreveu extensivamente para a Schwab Learning and GreatSchools.


Gráficos circulares / gráficos circulares / gráficos circulares

Um gráfico de pizza (também chamado de gráfico de pizza ou gráfico circular) faz uso de setores em um círculo. O ângulo de um setor é proporcional à frequência dos dados.

A fórmula para determinar o ângulo de um setor em um gráfico circular é:

Estude as seguintes etapas de construção de um gráfico circular ou gráfico de pizza:
Passo 1: Calcule o ângulo de cada setor, usando a fórmula.

Etapa 2: desenhe um círculo usando um compasso.

Etapa 3: use um transferidor para desenhar o ângulo de cada setor.

Etapa 4: rotule o gráfico circular e todos os seus setores.

Exemplo:
Em uma escola, há 750 alunos no Ano 1, 420 alunos no Ano 2 e 630 alunos no Ano 3. Desenhe um gráfico circular para representar o número de alunos nesses grupos.

Solução:
Número total de alunos = 750 + 420 + 630 = 1.800.

Desenhe o círculo, meça em cada setor. Identifique cada setor e o gráfico de pizza.

Como construir um gráfico circular ou gráfico de pizza a partir de uma tabela de porcentagens ou frações?

Passos para fazer um gráfico circular:

  1. Determine qual é a porcentagem dos dados de cada categoria.
  2. Determine qual porcentagem de 360 ​​graus representa cada categoria.
  3. Divida o círculo.

Como fazer um gráfico de pizza usando um transferidor e uma bússola?

Este vídeo mostra como construir um gráfico circular a partir dos dados fornecidos.

Como construir um gráfico circular com base na porcentagem de cada setor?

Como desenhar um gráfico de pizza?

Este vídeo mostra como desenhar um gráfico de pizza calculando os ângulos de uma mesa.

Exemplo: A tabela mostra a cor favorita de 18 pessoas. Exiba as informações como um gráfico de pizza.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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Como construir seus próprios comandos

O comando newcommand é usado para criar seus próprios comandos. Começaremos com um exemplo:

As declarações de newcommand estão no preâmbulo. Cada um está na forma

newcommand[número de argumentos]

O nome do novo comando, que deve começar com um , é o nome que você usará no documento para usar o comando. O número de argumentos é quantas entradas serão enviadas para o comando. A definição é apenas um código LaTeX normal, com # 1, # 2, # 3, etc., colocado onde você deseja que as entradas sejam colocadas quando o novo comando for chamado.

Novos comandos podem ser usados ​​para todos os tipos de propósitos, não apenas para tornar os comandos matemáticos que você usará muito mais fáceis de chamar. Por exemplo, tente isto:

No exemplo acima, criamos um novo comando chamado prob. Cada vez que chamamos prob, fornecemos 5 argumentos, um para a pergunta e um para cada uma das escolhas múltiplas.

No preâmbulo e na definição de prob, você verá alguns novos comandos LaTeX:

newcounter cria uma variável de contador chamada prob_num

setcounter <1> defineprob_num como igual a 1.

Na definição de prob, os comandos bigskip e medskip criam um espaço vertical.

árabe imprime o valor atual do contador prob_num como um numeral árabe.

stepcounter incrementa o contador prob_num em 1.

nopagebreak [4] diz ao LaTeX para não quebrar a página entre o problema e as escolhas, a menos que seja realmente necessário.

Os comandos hfill colocam um espaço aproximadamente igual entre as opções.

Depois de construir um corpo de comandos personalizados que você usará em muitos documentos LaTeX, você deve aprender a criar seu próprio pacote para não ter que copiar todos os comandos personalizados de um documento para outro.


Soluções Yahtzee

Aqui é mais fácil encontrar a probabilidade de não obter um seis. Cada vez que você rola, a probabilidade de não obter um seis é 5/6, portanto, a probabilidade de não obter um seis é (5/6) 3 = 125/216. Portanto, a probabilidade de obter pelo menos um seis é 1 - (125/216) = 91/216, ou cerca de 0,4213.

No primeiro lançamento, você não conseguirá um 1 ou 6 com probabilidade 4/6 = 2/3. A probabilidade de você falhar duas vezes é então (2/3) 2 = 4/9, então você obtém sucesso com probabilidade 1 - (4/9) = 5/9 = 0,5555.

No primeiro lançamento, você não conseguirá um 4 com probabilidade 5/6. A probabilidade de você falhar duas vezes é (5/6) 2 = 25/36, então você obtém sucesso com probabilidade 1 - (25/36) = 11/36 ou cerca de 0,3056. Portanto, a probabilidade de sucesso neste caso é menor do que no caso anterior. Isso ocorre porque aqui você está procurando uma reta "interna", então apenas um número funciona, enquanto no problema anterior você estava procurando uma reta "externa" e tinha dois números que funcionariam.

A probabilidade de não lançarmos um seis em duas tentativas com um dado é (5/6) 2, então a probabilidade de não lançarmos um 6 quando lançamos três dados duas vezes cada é (5/6) 6 e assimetrico 0,3349. Portanto, a probabilidade de rolar pelo menos três 6's é 1 - 0,3349 = 0,6651.

Para terminar com exatamente quatro seis, precisamos ter sucesso (ou seja, lançar um seis em duas tentativas) com dois dados e falhar com o outro dado. Pela distribuição binomial, isso ocorre com probabilidade 3 & middot (11/36) 2 & middot (25/36) & asymp 0,1945.

Para um Yahtzee, devemos ter sucesso com todos os 3 dados que ocorrem com probabilidade (11/36) 3 = 0,0285.

Existem 6 ^ 2 = 36 resultados possíveis quando recolocamos o 1 e o 4. Primeiro calculamos o número de resultados diferentes que resultam em uma mão particular e usamos isso para determinar a probabilidade de cada mão. Por exemplo, a probabilidade de lançar um 2 e um 6 é 2/36, uma vez que poderíamos lançar o 2 e depois o 6, ou o 6 e depois o 2. As probabilidades de cada uma das mãos são:

Observe que um seis emparelhado com qualquer outro número pode ocorrer de duas maneiras, mas um par de seis ocorre apenas de uma maneira. É por isso que a terceira e a quarta linhas têm mais um na coluna de número de resultados.

Em seguida, para cada um dos resultados possíveis do primeiro lançamento, calculamos a probabilidade de obter uma sequência grande ou pequena no terceiro lançamento. Para as mãos 6-2 e 1-2, já temos nosso grande straight, então terminamos. Para a mão 6 - (não 2), nós relançamos o dado não-2. Temos 1/6 de chance de conseguir um dois e uma grande sequência, e 5/6 de chance de não conseguir um 2 e ter apenas uma pequena sequência. Para 2 - (não 1 ou 6 mãos) vamos manter o 2,3,4,5 e relançar um dado, dando-nos 1/3 de chance de rolar uma grande sequência e 2/3 de chance de ter apenas uma pequena reta. No caso em que não tiramos 2 ou 6 no segundo lançamento, a situação para nosso terceiro lançamento é a mesma que a situação para nosso segundo lançamento, então a tabela acima dá as probabilidades de cada resultado.

Combinando esses resultados, vemos que a probabilidade de uma grande reta é

1/18 + 1/18 + (1/4) & middot (1/6) + (7/36) & middot (1/3) + (4/9) & middot (1/18 + 1/18) & assymp 0,267.

A probabilidade de uma pequena sequência (mas não de uma grande sequência) é

(1/4) & middot (5/6) + (7/36) & middot (2/3) + (4/9) & middot (1/4 + 7/36) & assymp 0,535.

A probabilidade de não acertar nada é (4/9) 2 e asymp 0,198.

Se rolarmos novamente apenas um dado, então em nosso segundo lançamento temos 1/6 de chance de rolar um 2 e obter uma grande sequência. Também temos 1/6 de chance de obter um 6 e uma pequena sequência. Nesse caso, em nosso terceiro lançamento, temos 1/6 de chance de rolar 2 e obter uma grande sequência. No entanto, 2/3 das vezes não obtemos nem 2 nem 6 em nosso primeiro lançamento, caso em que nossa situação não muda. Portanto, nossa chance de obter uma grande reta é

1/6 + (1/6) e meio (1/6) + (2/3) e meio (1/6) e assimétrico 0,306

A probabilidade de obter apenas uma pequena sequência é

(1/6) e meio (5/6) + (2/3) e meio (1/6) = 0,25.

A chance de não conseguir uma reta é (2/3) 2 = 4/9 e asymp 0,444. Portanto, relançar apenas o 4 dá a você uma chance um pouco maior de obter a reta grande, mas uma probabilidade muito menor de pelo menos terminar com uma reta pequena. Se você só precisa de uma seqüência grande, relançar apenas os quatro é a melhor estratégia, mas se uma seqüência pequena também for valiosa, relançar o 1 e o 4 pode ser um movimento melhor.

Lembre-se de que o número de maneiras de escolher m coisas fora de n é Um exemplo concreto de que precisaremos em um minuto é Existem 6 ^ 5 = 7776 resultados para o primeiro lançamento. O número destes que levam aos diferentes padrões de mãos é o seguinte:

Padrão & nbsp Fórmula para resultados & nbsp & nbsp Resultados totais & nbsp
5 6 6
4 - 1 6 e middot C5,4 & middot 5 150
3 - 2 6 e middot C5,3 & middot 5 300
3 - 1 - 1 6 e middot C5,3 & middot 5 e middot 4 120
2 - 2 - 1 & nbsp C6,2 & middot C5,2 & middot C3,2 & middot 4 & nbsp 1800
2 - 1 - 1 - 1 6 e middot C5,2 & middot 5 e middot 4 e middot 3 3600
& nbsp 1 - 1 - 1 - 1 - 1 & nbsp 6 e middot 5 e middot 4 e middot 3 e middot 2 720

Para explicar, 4-1 significa quatro de um número e um de outro. Existem 6 valores que podemos escolher para os quatro do mesmo tipo, C5,4 maneiras de escolher os dados que mostrarão este número e 5 valores para atribuir ao dado restante. O padrão de mão 2-2-1 é talvez o mais complicado. Existem C6,2 maneiras de escolher os dois valores que aparecerão duas vezes, C5,2 maneiras de escolher os dois dados que mostrarão o par mais alto, C3,2 maneiras de escolher os dados para o par mais baixo e 4 valores para o dado restante.

Se mantivermos o número mais comum, o número de cópias que teremos será

Cópias, eu 1 2 3 4 5
Resultados 720 5400 1500 150 6
& nbsp Probabilidade, q (i) & nbsp 0.092593 0.694444 0.19201 0.019290 0.000772

A distribuição binomial nos diz que a probabilidade de obter m sucessos em n tentativas quando a probabilidade de sucesso é p é O primeiro fator fornece o número de maneiras de escolher as m tentativas nas quais o sucesso ocorre. O segundo dá a probabilidade de qualquer resultado particular com m sucessos e n-m falhas. Disto se segue que, se tivermos eu de um número antes de um lançamento e, após o lançamento, teremos i + k desse número com probabilidade Evaluating these probabilities gives the following transition probability matrix

from/to 1 2 3 4 5
1 625/1296 (125 · 4)/1296 (25 · 6)/1296 (5 · 4)/1296 1/1296
2 0 125/216 (25 · 3)/216 (5 · 3)/216 1/216
3 0 0 25/36 (5 · 2)/36 1/36
4 0 0 0 5/6 1/6
5 0 0 0 0 1

Expressed as decimals the matrix becomes

from/to 1 2 3 4 5
1 0.482253 0.385802 0.115741 0.015432 0.000772
2 0 0.578704 0.347222 0.069444 0.004630
3 0 0 0.694444 0.277778 0.027778
4 0 0 0 0.833333 0.166667
5 0 0 0 0 1

To compute the probability of j of the given type of die after 2 rolls when we start with eu of that type of die we square our transition matrix: In words, to go from eu of a kind to j of a kind in two steps we must be at some state k after one step. Summing the probability of going from eu para k and then from k para j over all possible k values gives the total probability of going from eu para j. The result is

from/to 1 2 3 4 5
1 0.232568 0.409320 0.270151 0.079244 0.008717
2 0 0.334898 0.442065 0.194509 0.028528
3 0 0 0.482253 0.424383 0.093364
4 0 0 0 0.694444 0.305556
5 0 0 0 0 1

To calculate the probability r(j) of ending up with j of a kind it remains to sum This is the sum over all possible eu of getting eu of a kind on the first roll and then transitioning to j of a kind over the next two rolls, which gives the total probability of ending up with j of a kind using our strategy. This can also be obtained by multiplying the row vector with elements the q(eu) with the matrix p 2 (eu,j) Performing this computation yields

copies, j 1 2 3 4 5
  Probability, r(j)   0.021534 0.270468 0.424601 0.237294 0.045211

Thus the probability of a Yahtzee is roughly 1/22, while the chance of getting four of a kind is more than 1/4. With filling boxes in the upper section in mind, note that 28% of the time we will end up with only 2 or 1.

We can use the same techniques as for the previous problem, but now we must consider situations where after one roll we keep the dice of certain number, but after the next roll we end up with the most common number being something different.

First note that if we start with three or more of the same number than this type of situation can not occur at most we could end up with two of some other number after our next roll. Therefore the bottom three rows of our transition matrix remain unchanged.

If we get all different numbers after one of our rolls then we are going to re-roll all of the dice (it would not affect our Yahtzee probability if instead we kept one die, why?). Therefore the elements of the first row of our new transition matrix are just the probabilities q(eu) of getting eu of a kind on our first roll.

For the second row, we begin by noting that if we are keeping two dice of some number then we can not get four or five of some different number on the next roll. Therefore the probabilities p(2,4) and p(2,5) are unchanged. However, it is possible that all three of the dice that we re-roll will be the same number (but different from our original number). Since there are five different numbers that we could roll, this occurs with probability 5 · (1/6) 3 = (5/216) &asymp 0.023148. Therefore the new probability p(2,3) is (5/216) greater than the old probability, giving a value of (80/216) &asymp 0.37037. These rolls of three of a new kind of number were previously counted as transitions from two of a kind to two of a kind, so the probability p(2,2) must decrease by (5/216), giving a new value of (120/216) &asymp 0.55556. Therefore, our new transition matrix is

from/to 1 2 3 4 5
1 0.092593 0.694444 0.19201 0.019290 0.000772
2 0 0.555556 0.370370 0.069444 0.004630
3 0 0 0.694444 0.277778 0.027778
4 0 0 0 0.833333 0.166667
5 0 0 0 0 1

In this problem we re-rolled if we had no matching dice. Therefore, before our first roll we are in the same situation as if we had rolled no matching dice on the previous turn. Therefore, taking the cube of the transition matrix, the first row will give us the probability of each outcome after three turns. The cubed transition matrix is


2.6: Advanced Counting Using PIE - Mathematics

Remember the rule in the following way. Each time, differentiate a different function in the product and add the two terms together. In the list of problems which follows, most problems are average and a few are somewhat challenging. In most cases, final answers to the following problems are given in the most simplified form.

Click HERE to see a detailed solution to problem 1.

Click HERE to see a detailed solution to problem 2.

Click HERE to see a detailed solution to problem 3.

Click HERE to see a detailed solution to problem 4.

Click HERE to see a detailed solution to problem 5.

The following problems require use of the chain rule.

Click HERE to see a detailed solution to problem 7.

Click HERE to see a detailed solution to problem 8.

Click HERE to see a detailed solution to problem 9.

Click HERE to see a detailed solution to problem 10.

Click HERE to see a detailed solution to problem 11.

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Click HERE to see a detailed solution to problem 14.

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This is called the triple product rule . Compare it with the ordinary product rule to see the similarities and differences.

Click HERE to see a detailed solution to problem 16.

Click HERE to see a detailed solution to problem 17.

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Click HERE to see a detailed solution to problem 19.

Click HERE to see a detailed solution to problem 20.

Click HERE to return to the original list of various types of calculus problems.

Your comments and suggestions are welcome. Please e-mail any correspondence to Duane Kouba by clicking on the following address :


Report Card Comments for Math

_______ has a good attitude towards the math work at this grade level. Please continue to work on ______ nightly.

_______ has worked hard in math this quarter. However, her progress has been slower than I would have liked. Can we meet to discuss some helpful strategies?

_______ would benefit from more practice with _____. If possible, could you please spend some time nightly on this skill?

At this point, _______ has successfully learned _____________. He is now able to start nightly practice of ____________.

Thank you for your interest in our room. It would be helpful if _______ practiced his/her _______________ nightly.

_______ is struggling with motivation in learning math. I know he/she can put in more effort than he/she has been recently. If possible, could you please reinforce this nightly?

_______ still needs strengthening in the concept of _______.

_______ is having trouble with many of the basic skills in math. Can we meet to discuss some helpful strategies?

_______ has a true enthusiasm and gift for math. His effort is reflected in his high grade. He is also an excellent classmate, as he frequently assists other students with concepts, not answers.

Arithmetic and Operations

At this point, _______ has successfully learned all of the addition facts through ten. He is now able to start nightly practice of the subtraction facts through ten.

________ has done well learning the multiplication table. Howeverm it would be helpful if _______ practiced his/her multiplication facts nightly.

_______ has difficulty retaining math processes of addition, etc.

_______ understands the plus, minus, and equal signs, and uses them to make number statements.

_______ understands and uses basic facts of addition and subtraction to ____.

_______ can use manipulatives to add and subtract.

_______ understands basic equations and can solve for one variable.

_______ understands basic equations and can solve for multiple variables.

_______ can [add/subtract/multiply/divide] basic fractions.

_______ can [add/subtract/multiply/divide] advanced fractions and mixed numbers.

_______ understands and can solve [pre-algebraic/algebraic] expressions and equations.

Numbers and Number Sense

_______ can work with numbers up to ___ with understanding.

_______ is still reversing some numbers.

_______ understands place value up to _____.

_______ can use manipulatives to show place value to _____.

_______ can count to ______.

_______ relies heavily on concrete objects.

_______ is beginning to memorize the number facts.

_______ does not know his math facts well.

_______ understands and can represent [basic/intermediate/advanced] fractions.

_______ understands the basic concepts of decimal notation.

_______ understands and can [add/subtract/multiply/divide] using decimal notation.

_______ knows how to identify and work with number patterns.

Money and Measurement

_______ understands the basics of money and coins (pennies, dimes, nickels).

_______ understands the types of currency (pennies, dimes, nickels, quarters, dollars).

_______ understands how to use coins and bills of different denominations to pay for items and make change.

_______ understands the basics of financial literacy and the role of currency in personal and economic affairs.

_______ understands and can use basic units of measure for length, width, and height, including [inches/feet/centimeters/meters].

_______ understands and can use basic units of measure for volume, mass, and weight, including [ounces/pounds/tons/kilograms].

_______ understands and can use basic units of measure for distance of travel [and/or> time, including [feet/yards/miles/kilometers, seconds/minutes/hours].

_______ understands and can use basic units of measure for temperature, including [Fahrenheit/Centigrade].

_______ knows how to tell time by reading a clock, and can effectively use seconds, minutes, and hours to describe time.

_______ can use a ruler to measure [inches/feet/yards/milimeters/centimeters/meters].

_______ has learned how to convert U.S. measurements to metric measurements, including [milimeters/centimeters/meters/kilometers, kilograms, Centigrade].

_______ effectively uses common measurement tools including [ruler, protractor, scale, thermometer, clock] to solve measurement problems.

Geometria

_______ knows the basic shapes.

_______ understands the differences between 2-dimensional and 3-dimensional shapes.

_______ knows the basic angles and types of triangles.

_______ understands the basic concept[s] of [area/perimeter].

_______ understands the basic concept[s] of [volume/mass].

_______ understands and can use the basic concept[s] of [area/perimeter] to solve problems.

_______ understands and can use the basic concept[s] of [volume/mass] to solve problems.

_______ understands and can use the basic concept[s] of [points/lines] to solve problems.

_______ understands and can use advanced gemotric concepts to solve problems.

Graphs and Charts

_______ is able to create graphs using simple data.

_______ understands several methods of graphing.

_______ can effectively synthesize and present complex data in [bar graphs, line graphs, pie charts, visualizations, tables], and explain correlations.


Assista o vídeo: HELP MATEMÁTICA BÁSICA - Equação Sinistra #246 (Novembro 2021).