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2.5: Sólidos Platônicos


Claro, vivemos em um mundo tridimensional (pelo menos!), Então apenas estudar geometria plana não faz muito sentido. Por que não pensar em alguns objetos tridimensionais também?

Definição

UMA poliedro é uma figura sólida (tridimensional) delimitada por polígonos. Um poliedro tem rostos que são polígonos planos, retos arestas onde os rostos se encontram em pares, e vértices onde três ou mais arestas se encontram.

O plural de poliedro é poliedros.

Lembre-se de que um polígono regular tem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma medida. Existe uma noção semelhante (embora um pouco mais complicada) de regular para figuras sólidas.

Definição

A rpoliedro egular tem rostos que são todos polígonos regulares idênticos (congruentes). Todos os vértices também são idênticos (o mesmo número de faces se encontram em cada vértice).

Poliedros regulares também são chamados Sólidos platônicos (nomeado para Platão).

Se você fixar o número de lados e seu comprimento, haverá um e apenas um polígono regular com esse número de lados. Ou seja, todo quadrilátero regular é um quadrado, mas pode haver quadrados de tamanhos diferentes. Todo octógono regular parece um sinal de pare, mas pode ser aumentado ou diminuído. Seu trabalho nesta seção é descobrir o que podemos dizer sobre poliedros regulares.

Por si só

Faça os seguintes exercícios sozinho ou com um parceiro. Você precisará fazer muitas cópias dos polígonos regulares abaixo. Copie e corte pelo menos:

  • 40 cópias do triângulo equilátero,
  • 15 cópias do quadrado,
  • 20 cópias do pentágono regular, e
  • 10 cópias de cada hexágono, heptágono e octógono.

Você também precisará de alguma fita.

  1. Em qualquer poliedro, pelo menos três polígonos se encontram em cada vértice. Comece com os triângulos equiláteros: Coloque três deles juntos encontrando-se em um vértice e prenda-os juntos. Em seguida, feche-os para que formem uma forma sólida. Você pode completar esta forma em um sólido platônico? Certifique-se de verificar se em cada vértice que você tem exatamente três triângulos reunião.
  2. Agora repita este processo, mas comece com quatro triângulos equiláteros em torno de um único vértice. Você pode completar isso em um sólido platônico? Certifique-se de verificar se em cada vértice que você tem exatamente quatro triângulos reunião.
  3. Repita este processo com cinco triângulos equiláteros, depois seis, depois sete e assim por diante. Continue até estar convencido de que entende o que está acontecendo com os sólidos platônicos que têm faces triangulares.
  4. Quando terminar com as faces triangulares, passe para as faces quadradas. Trabalhe sistematicamente: tente construir um sólido platônico com três quadrados em cada vértice, depois quatro, depois cinco, etc. Continue até que você possa fazer uma declaração definitiva sobre os sólidos platônicos com faces quadradas.
  5. Repita esse processo com os outros polígonos regulares cortados: pentágonos, hexágonos, heptágonos e octógonos.

Você deve ter notado que a situação para sólidos platônicos é bastante diferente da situação para polígonos regulares. Existem infinitamente vários polígonos regulares (mesmo que você não leve em consideração o tamanho). Existe um polígono regular com n lados para cada valor de n maior que 2. Mas para sólidos, temos o seguinte resultado (talvez surpreendente).

Teorema

Existem exatamente cinco sólidos platônicos.

O fato chave é que para um sólido tridimensional se fechar e formar um poliedro, deve haver menos de 360 ​​° em torno de cada vértice. Caso contrário, ele fica plano (se houver exatamente 360 ​​°) ou dobra sobre si mesmo (se houver mais de 360 ​​°).

Problema 9

Com base em seu trabalho nos exercícios, você deve ser capaz de escrever uma justificativa convincente para o teorema acima. Aqui está um esboço e você deve preencher as explicações.

  1. Se um sólido platônico tem faces que são triângulos equiláteros, menos de 6 faces devem se encontrar em cada vértice. Por quê?
  2. Se um sólido platônico tem faces quadradas, então três faces podem se encontrar em cada vértice, mas não mais do que isso. Por quê?
  3. Se um sólido platônico tem faces que são pentágonos regulares, então três faces podem se encontrar em cada vértice, mas não mais do que isso. Por quê?
  4. Hexágonos regulares não podem ser usados ​​como faces de um sólido platônico. Por quê?
  5. Da mesma forma, regular n-gons para n maior que 6 não pode ser usado como faces de um sólido platônico. Por quê?

  1. Imagem de Tom Ruen [domínio público], via Wikimedia Commons
  2. Imagem via pixababy.com, licença CC0 Creative Commons.
  3. Imagem de Aldoaldoz (Obra própria) [CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons.
  4. Imagem de By Thinkingarena (Obra própria) [CC BY-SA 4.0], via Wikimedia Commons
  5. Imagem de Robert Webb's Software Stella: http://www.software3d.com/Stella.php, via Wikimedia Commons.
  6. Imagem DTR CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons
  7. Imgae de Stephen.G.McAteer (Trabalho próprio) [CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons.
  8. Imgae via Wikimedia Commons [domínio público].
  9. Imagem pessoal [CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons.

Os segredos dos sólidos platônicos revelados


Os pitagóricos acreditavam que o Universo e tudo nele foi construído usando os sólidos platônicos. A maioria das pessoas modernas pensaria que essa noção é simplesmente boba e estariam erradas. Como se viu, em pequena escala, muitas moléculas têm o formato dos sólidos platônicos. Em grande escala, o próprio Universo parece ter sido construído usando os sólidos platônicos. Este artigo intitulado Scale Unification by Physicist, Nassim Harramein cobre isso em detalhes. O trabalho do Dr. Robert J. Moon, da Universidade de Chicago, demonstrou que mesmo átomos individuais contêm a geometria dos sólidos platônicos. O que tudo isso significa? Acho que todos nós sabemos a resposta em um nível interno profundo. Eu acredito que significa que nosso universo é uma matriz fractal que vai do infinitamente grande ao infinitamente pequeno.

Eu conheço os sólidos platônicos e a geometria sagrada há vários anos, e ainda estou aprendendo sobre eles. Ao longo do caminho, tive muitas epifanias e ah ha monentos. Um desses monentos ocorreu enquanto assistia a um vídeo de uma apresentação de Randall Carlson chamada
Fractal Geology and Ice-Age Catastrophe. Na apresentação ele mostra uma relação entre o total dos ângulos do lado de fora dos Sólidos Platônicos e os números da Precessão. Eu dei alguns passos adiante expressando os ângulos em minutos de arco e segundos de arco e, então, por alguma razão desconhecida, decidi adicionar de 1 ao número de graus de ângulos em cada Sólido Platônico. Então fiz a mesma coisa com fatores de dez dos mesmos números. Você poderia pensar que isso resultaria em números não associados, o que não é o caso. A seguir estão os resultados.

O número total de icosaedro na superfície é 3600. Some 1:36, 1: 360, 1: 3.600, 1: 36.000 e obtenha 666, 6498, 6481800, 648018000. 6480 é 1/4 de 25920. existem 64 glifos para o Iching, existem 64 códons de DNA no Gnomo Humano. 64 é um número binário usado na computação. Não faz muito tempo que tínhamos computadores com memória de 64, 128, 256, 512 megabites. e, finalmente, existem 6480 graus dos ângulos totais da superfície do Dodecaedro.

Dodecaedro = Éter (Universo) O Dodeca é a Mãe de todos os outros sólidos platônicos. Diz-se que Metatron, que também era Enoque, construiu o Cubo de Metatron a partir de sua alma. É chamado de cubo porque se assemelha a um hipercubo. O cubo de Metatron pode ser derivado da flor da vida e é um aninhamento de todos os sólidos platônicos dentro de um dodecaedro.

Existem 6480 graus na superfície do Dodeca. Existem 64.800 graus de arco quadrado na superfície de uma esfera. Como dissemos antes, isso é 1/4 do número precessional 25920. Isso está vinculado ao sistema do calendário maia de uma forma um tanto estranha. Os maias tinham vários calendários. Um dos calendários tinha anos de 360 ​​dias. 21 de dezembro de 2012 marca o fim de um ciclo de 13 Baktun. Um Baktun tem 400 anos de 360 ​​dias, então 13 x 400 = 5200 anos x 5 = um ciclo de precessão total de 26.000 anos (de 360 ​​dias cada). Isso é um total de 65 Baktuns. Agora divida 6480/6500 = 0,996923077 x 26000 = 25920 de modo que a proporção de 64,8 a 65 seja igual a 25920 a 26000. então 4 x 6480 = 25920 = 648/650 x 26000.

Agora, vamos examinar os graus dos ângulos nos sólidos platônicos em termos de segundos de arco e minutos de arco.

Graus Arco Minutos Arco Segundos
720 43200 2592000 Raio do Sol, Precessão
1440 86400 5184000 Diâmetro do Sol, 1/5 Precessão ou 13 Baktun
2160 129600 7776000 1/2 precessão, 777 é o número de Deus
3600 216000 12960000 Idade do zodíaco, diâmetro da lua, 1/2 precessão
6480 388800 23328000 Nº de dias em 1/24 de precessão, Número de dias em 1/4 de precessão

3600 é o número de segundos de arco em # 1, 7200 é o número de segundos de arco em # 2, 14400 é o número de segundos de arco em 4, 21600 é o número de segundos de arco em 6 e 64800 é o número de segundos de arco em 18 . 1 x 2 x 4 x 6 x 18 = 864. Novamente, 864 é o número base para o diâmetro do sol.

Se elevarmos o nosso número, obtemos

720 518400 5184 é 1/4 de precessão
1440 2073600 20726 = 4 x 5184 ou 4/5 de precessão, este foi o início do atual ciclo de 13 Baktun
2160 4665600 dividido por 360 = 12960 ou metade da precessão
3600 12960000 12960 é metade da precessão
6480 41990400 dividido por 360 x 8 = 933120 1/10 dias de precessão
A fractalidade desses números é uma coisa linda. É incrível para mim que nesses números encontramos a origem de nosso próprio relógio e calendário, como mapeamos a Terra e o Céu, a velocidade de nosso sistema solar através do espaço, o diâmetro do Sol e da Lua e há muito muito mais.

Os números dos sólidos platônicos foram e são considerados sagrados. Embora não seja segredo se você está procurando entender. Na antiguidade, os números e as letras eram expressos da mesma maneira. Isso quer dizer que as letras eram números. Acredite ou não, esses sistemas ainda existem em nossos alfabetos modernos e são conhecidos como Gematria. Na língua ocidental AZ = 1-26 Lembre-se acima, encontramos os números de base para os sólidos platônicos em 1, 2, 4, 6 e 18 ou A, B, D, F e V. Nosso sistema de graduação moderno parece se assemelhar a A , B, D, F exceto e C. Como acontece que 3 em segundos de arco é o # 10800 e 1080 é a metade da era do zodíaco e é o raio da Lua, então C se encaixa na sequência.

Outro número interessante é 26, que é Z ou Omega em grego. É o fim do Alfabeto e 26.000 anos é o fim e o início do Ciclo Precessional. 26 expresso em segundos de arco é 93600. Não é por acaso que 9360000 é o número real de dias no ciclo de precessão de acordo com o Sistema de Calendário Maia. 400 x 65 = 26.000 anos de 360 ​​dias, portanto 360 x 26.000 = 9360000. Agora, para obter o período de precessão maia em nossos anos 9360000 / 365,2422 = 25626,83 anos. O uso do # 400 pelos maias é interessante porque, o diâmetro do Sol é 400 vezes o da lua. 2160 x 400 = 864000.

Agora, considere 24 ou X expresso em segundos de arco como 86400 ou o número de segundos em um dia de 24 horas. 864000 também é o diâmetro do sol. 22 é V em segundos de arco é 79200. Tire um Zero e obtenha 7920 ou o Diâmetro da Terra. Em "The Davinci Code", de Dan Brown, aprendi que V é masculino e o V invertido é feminino. É interessante que encontramos a marca da dominação masculina ligada à Mãe Terra, Gaia e à Deusa Sofia. Assim, em 6 ou F encontramos o Diâmetro da Lua de 2160, e 24 ou X encontramos o Sol 864000 e V O diâmetro da Terra de 7920. Em gravuras antigas pode-se ver SVN significando SOL. Não é um engano. É o Sol se movendo em torno do V (Terra). Claro que o Sol não se move sobre a Terra, mas essa era a crença há 400 anos.

Parece-me que existe uma ordem estruturada no Universo, indicando que deve haver algum tipo de inteligência superior em ação. Tenho certeza de que estou irritando igualmente ateus e religiosos. Desculpe, estou apenas chamando como eu vejo. Assim, nessa matriz Fractal de realidade, nos encontramos como peixes em um aquário. Infelizmente, estamos envenenando a água da tigela e o tempo está passando. Precisamos de mais pequenos peixes para acordar. A era dos Peixes Fishys acabou e a Era de Aquário está amanhecendo. Todos nós precisamos mudar nossas mentes ou melhor, mudar nossa consciência do eu e do ego em direção a uma Humanidade unificada. Metanoia é a palavra grega original usada na Bíblia que significa "arrependimento". Em psicologia, significa "o processo de vivenciar um colapso psicótico" e subsequente reconstrução psicológica positiva ou "cura". Isso é o que precisa acontecer à humanidade como um todo. Os números que são encontrados nos sólidos platônicos, mostre-nos uma relação numérica direta entre a Precessão, o tempo, a Terra, a Lua e o Sol. Se você dedicar um tempo para estudar essas coisas, ficará atônito. Você compreenderá que sua vida tem um propósito, que a realidade é planejada Você pode até ter um surto psicótico e perceber que tudo em que acreditava ser verdade é falso.Sua mente mudará e você despertará.


Dimensão de um filósofo

Com olho de geômetra, Keith Critchlow, autor de O tempo permanece parado: uma nova luz sobre a ciência megalítica , viram algo nas esferas que ninguém havia notado antes: formas geométricas 3D sofisticadas que parecem surpreendentemente próximas aos sólidos platônicos. Ele viu todos os cinco poliedros, e combinações intrincadas deles, de uma forma contínua que sugeriu que os designers entendiam e se destacavam em geometria esférica 3D. Critchlow escreve, " O que temos são objetos claramente indicativos de um grau de habilidade matemática até agora negado ao homem neolítico por qualquer arqueólogo ou historiador matemático ."

Figura 9. Um cubo-octaedro de pedra

Todos os cinco sólidos platônicos são representados: octaedro, icosaedro, dodecaedro, tetraedro e cubo. Há também um cubo-octaedro (ver Figura 9.), onde esses dois sólidos "aninham" um dentro do outro. “Nesting” foi notado por Platão e é parte integrante do estudo das artes liberais e mostra que eles estavam experimentando várias geometrias. Os gregos ensinaram que esses cinco sólidos eram os padrões centrais da criação física. Quatro dos sólidos eram vistos como os padrões arquetípicos por trás dos quatro elementos (terra, ar, fogo e água), enquanto o quinto era considerado o padrão por trás da própria força vital, o "éter". O fato de muitos deles serem exatamente do mesmo tamanho (com 1 mm de diferença) também sugere que uma unidade de medida padrão estava sendo usada, muito parecido com o Megalithic Yard de Alexander Thom, mas em uma escala muito menor. No entanto, muitos deles não eram sólidos platônicos "perfeitos", mas sim aproximações muito próximas que mostram variações óbvias nas habilidades dos pedreiros. Essa variação pode ser vista nessas três esferas em exposição no Museu Britânico de Londres.

Figura 10. Três esferas de pedra em exibição no Museu Britânico, Londres


Simetrias de sólidos platônicos

Definição: um poliedro é regular se todas as suas faces forem o mesmo polígono regular e todos os ângulos forem iguais.

Acontece que existem apenas cinco sólidos platônicos (poliedros regulares convexos).

  • Para um n-gon regular, a soma de seus ângulos internos é (n & # 8211 2) π.
  • Portanto, o ângulo em qualquer um de seus cantos deve ser (n & # 8211 2) π / n.
  • Agora, suponha que temos r faces (cada uma n-gon regular) encontrando-se em cada vértice.
  • Como o ponto de encontro de cada face é um canto com ângulo (n & # 8211 2) π / n, temos que a soma dos ângulos é r (n & # 8211 2) π / n.
  • E como o poliedro é convexo, devemos ter r (n & # 8211 2) π / n & lt 2π.
  • Isso pode ser reescrito como (r & # 8211 2) (n & # 8211 2) & lt 4.
  • Os únicos números inteiros positivos que satisfazem isso são (n, r) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5).
  • Estes são nossos cinco sólidos platônicos!

(3,3): Tetraedro

(3,4): Octaedro

(5,3): Dodecaedro

(3,5): Icosaedro

Aqui está mais uma coisa a notar quando olhamos para pequenos grupos diédricos, vimos que Dih3 (o grupo de simetria para um triângulo regular) era isomórfico a S3 (o conjunto de permutações de três itens). Também vimos que esse isomorfismo não se manteve para grupos diédricos de ordem superior. Em outras palavras, o único polígono regular cujo grupo de simetria era algum grupo simétrico era o triângulo.

Agora vemos que o tetraedro (que podemos considerar ser a coisa mais próxima de uma versão tridimensional de um triângulo regular) tem como seu grupo de simetria S4. Em outras palavras, chegamos a S4 não movendo-se para polígonos com mais lados, mas movendo-se para uma dimensão superior!

Isso pode trazer uma conjectura à nossa mente: talvez em geral, subir dimensões seja a maneira de obter formas geométricas regulares que são isomórficas a grupos simétricos de ordem superior. Ou seja, talvez o grupo de simetria de objetos regulares "semelhantes a um triângulo" em n dimensões seja isomórfico a Sn. Portanto, isso poderia prever que há alguma versão 4D do triângulo 2D e do tetraedro 3D cujo grupo de simetria é S5. E adivinhe o que isso está certo!

A generalização dimensional superior de um triângulo e tetraedro é chamada de n-simplex. E o grupo de simetria para cada um desses simplexes é na verdade um grupo simétrico! Portanto, todos os grupos simétricos podem ser considerados descrições do conjunto de simetrias de algum tetraedro possivelmente de dimensão muito alta! Este é um pequeno e divertido trivia que eu não sei bem o que fazer.


PLATÔNICO

Poltrona

Inspirada no cubo, a Platonic Lounge Chair leva o nome dos sólidos platônicos, dos quais o cubo, simbolizando o elemento terra, faz parte.

Os cubos que compõem a moldura transmitem solidez, ao passo que a elegante linha de arabescos do assento transmite fluidez. A Platonic Lounge Chair combina nogueira, aço inoxidável e superfícies Avonite & reg em um design que combina robustez e leveza. Os três elementos estruturais distintos do Platônico permitem inúmeras combinações de materiais, cores e texturas contrastantes para um design moderno e atemporal. Foram necessários 2,5 anos de engenharia e testes de diferentes protótipos para que a cadeira platônica ganhasse vida.


Bem-vindo à página de matemática do STARKFX.com sobre os 5 sólidos platônicos!

Uma olhada na simetria, polígonos regulares, sólidos platônicos e a característica de Euler

Vamos começar jogando um joguinho com simetria. A simetria é uma das características dos objetos e ideias que os humanos procuram e acham bonitos. Até achamos a simetria nas características faciais muito atraente. Neste jogo, vamos considerar a simetria de objetos e ideias geométricas.

Se começarmos nosso jogo com 0, & # 8220zero & # 8221 dimensões, o único objeto com que temos para jogar é um ponto. Não tenho certeza de como avaliar a simetria de um ponto. A simetria geralmente envolve rotações e diferentes pontos de vista, mas é muito difícil girar qualquer coisa em ou com dimensões zero. Subindo na escada dimensional, os objetos que temos disponíveis em 1 dimensão são linhas. Novamente, eu não tenho uma sensação intuitiva de simetria em uma dimensão. Agora, quando vamos para duas dimensões, temos um mundo familiar com o qual trabalhar. Neste caso, vamos & # 8217s usar nossas linhas unidimensionais em um plano bidimensional para criar & # 8220formas regulares & # 8221 ou & # 8220 polígonos regulares & # 8221. Polígonos regulares são formas que possuem arestas (formadas por linhas) que têm o mesmo comprimento e envolvem uma área em nosso plano 2-D.

O menor número de linhas retas que posso usar para delimitar uma área no plano é 3. Portanto, minha forma regular 2-D & # 8220smallest & # 8221 é um triângulo.

Os triângulos têm uma simetria tripla. À medida que giramos o triângulo em uma rotação completa no plano 2-D, encontramos 3 ângulos de rotação distintos e uniformemente separados, nos quais nosso triângulo é indistinguível do estado não girado. Se girarmos o triângulo 1/3 de uma rotação completa, teremos um triângulo que se parece exatamente com o que era quando começamos, supondo que você não adicionou uma dimensão de cor ao seu triângulo. Observe que nosso triângulo tem 3 vértices nos quais pares de linhas se conectam. Também possui 3 arestas.

Claro, temos simetria quádrupla com um quadrado. Agora temos 4 vértices e 4 lados ou arestas.

Simetria de 5 dobras e 5 vértices com 5 arestas.

A simetria de 6 dobras nos dá um hexágono.

Podemos construir polígonos regulares de 7 lados.

Na verdade, parece não haver limite para o número de lados e vértices que podemos usar para criar polígonos regulares. Se formos para a simetria infinita, teremos um círculo. Não importa o ângulo de rotação do círculo no plano, ele aparece exatamente como antes da rotação. Nosso círculo poderia ser composto de um número infinito de linhas retas, todas infinitesimalmente curtas.

Nossa próxima etapa neste jogo é usar esses polígonos regulares para criar formas tridimensionais & # 8220 regulares & # 8221

As formas 3-D mais simétricas são os sólidos platônicos, que são formados pelo uso de polígonos regulares para as faces dessas formas. Cada sólido é cercado por faces poligonais regulares indistinguíveis umas das outras. Em outras palavras, são poliedros regulares. À medida que formamos esses poliedros regulares, descobriremos alguns limites bastante interessantes para o nosso jogo.

Vamos começar com faces triangulares. Ao construir um sólido com faces triangulares, temos que descobrir como ele ficará junto. Cada face triangular terá que compartilhar cada uma de suas arestas com outro triângulo e cada vértice deverá ser compartilhado por pelo menos 3 faces triangulares.

Na foto acima, temos as três faces que compartilham um vértice. Podemos dobrar este plano nas bordas compartilhadas e nos mover para fora do plano para começar a criar um objeto 3-D. Com apenas mais um triângulo, quatro faces no total, podemos criar um tetraedro.

Clique aqui para obter um arquivo pdf que você pode recortar e dobrar em um tetraedro.

Também podemos criar um sólido com quatro faces triangulares compartilhando um vértice.

Se dobrarmos este objeto plano, obteremos um objeto 3-D com uma base quadrada aberta, uma pirâmide sem fundo. Para criar um sólido verdadeiro e fechado, podemos usar dois deles e juntá-los na base quadrada aberta. O objeto é chamado de octaedro, um objeto de oito lados com faces triangulares idênticas.

Clique aqui para obter um arquivo pdf que você pode recortar e dobrar para fazer um octaedro. O octaedro se parece com duas pirâmides quadradas fixadas nas bases quadradas.

Agora, podemos tentar criar um objeto sólido com faces triangulares de forma que cinco faces compartilhem um vértice.

São necessárias quatro cópias desta figura para dobrar em um Icosaedro tendo 20 faces triangulares.

Clique aqui para obter um arquivo pdf que você pode recortar e dobrar em um icosaedro.

Aqui está algo muito legal! Os vértices de um icosaedro estão localizados nos cantos de retângulos dourados.

Se tentarmos dar mais um passo, encontramos um pequeno problema. Se tentarmos criar um sólido com faces triangulares de forma que 6 triângulos compartilhem um vértice, podemos obter esta figura bidimensional:

Não funcionou!

O que, é claro, é uma figura perfeitamente boa em duas dimensões, mas não há como dobrá-la na terceira dimensão. Os triângulos já ocupam todo o espaço 2-D! Simplesmente não podemos criar um poliedro regular 3-D com faces triangulares com 6 faces compartilhando um vértice.

Observe que o ângulo dentro de cada triângulo equilátero é 60 graus, de modo que ter 6 triângulos compartilhando um vértice ocupa todos os 360 graus e não podemos nos mover para a terceira dimensão.

Tudo bem, vamos passar a usar um polígono regular diferente para o rosto. Depois do triângulo, o próximo passo é o quadrado. Precisamos de pelo menos 3 quadrados para compartilhar um vértice a fim de dobrar em um poliedro regular tridimensional.

Isso funcionará para formar um cubo, ou hexaedro (6 faces).

Clique aqui para obter um arquivo pdf que você pode recortar e dobrar em um hexaedro (cubo).

Agora, se tentarmos formar um sólido com faces quadradas de forma que 4 faces compartilhem um vértice, encontraremos o mesmo problema de quando tentamos obter 6 triângulos. Os quadrados, com ângulos internos de 90 graus, preenchem todo o 360 graus, de modo que eles só podem ficar planos e, portanto, atingimos nosso limite.

Isso não funcionou

A seguir, vamos tentar as faces pentagonais e, é claro, começaremos com três faces compartilhando um vértice.

É bastante óbvio que não seremos capazes de ir além de três pentágonos até um vértice, não há mais espaço para colocar outro pentágono compartilhando o vértice. Mas, podemos usar esses três. O sólido que obtemos é um Dodecaedro.

Aqui está um layout 2-D que pode ser dobrado em um Dodecaedro:

Ou você pode clicar aqui para uma versão * .pdf para imprimir, que pode ser cortada e dobrada em um dodecaedro.

SÓLIDO VERTICES ARESTAS ROSTOS FORMA DE ROSTO
Tetraedro 4 6 4 Triângulo
Hexaedro 8 12 6 Quadrado
Octaedro 6 12 8 Triângulo
Dodecaedro 20 30 12 Pentágono
Icosaedro 12 30 20 Triângulo

Agora descobrimos que esgotamos completamente os possíveis sólidos platônicos. Existem apenas cinco possíveis. Isso ocorre porque usamos os triângulos primeiro e encontramos apenas três sólidos platônicos possíveis que poderiam ser feitos com faces triangulares. Estes eram o Tetraedro com 3 faces por vértice, o Octaedro com 4 faces por vértice e o Icosaedro com 5 faces por vértice. Quando tentamos mais de 5 faces triangulares por vértice, descobrimos que todo o espaço 2-D foi preenchido com polígonos regulares triangulares de modo que não havia maneira de dobrar no espaço 3-D, eles ficam planos. Descobrimos que apenas 3 faces quadradas por vértice eram possíveis, formando o Hexaedro (ou cubo) e preenchemos todo o espaço 2-D quando tentamos usar 4 faces quadradas por vértice, elas ficam planas novamente. Então descobrimos que apenas 3 faces pentagonais por vértice eram possíveis formando o dodecaedro e nós mais do que preenchemos o espaço 2-D quando tentamos encaixar 4 faces pentagonais por vértice, elas nem mesmo ficaram planas, teríamos que dobrar cada enfrentar a si mesmo. Agora, se tentarmos usar faces hexagonais, descobriremos que podemos até mesmo usar 3 por vértice, uma vez que 3 hexágonos para um vértice já usam todo o espaço 2-D e podemos dobrar em 3-D.

3 hexágonos vencidos e # 8217t funcionam

Cada polígono mais alto usará mais do que todo o espaço 2-D com apenas 3 polígonos, uma vez que os ângulos entre os lados são ainda maiores do que no hexágono. Então nós encontramos todos os cinco sólidos platônicos possíveis.

Características de Euler

Vamos dar uma olhada em outra coisa interessante relacionada a essa limitação. Pegue um lápis e em um pedaço de papel, com os olhos fechados, desenhe uma linha aleatória rabiscando por todo o papel. Coloque um ponto em cada lugar onde a linha se cruza e nos pontos inicial e final. Conte o número de pontos e chame-os de vértices e atribua este número à variável V para vértices. Conte as linhas entre os vértices e atribua este número à variável E para bordas. Agora conte o número de regiões distintas criadas por seu desenho de linha irregular e inclua a região fora do desenho como uma. Atribua este número à variável F (número de regiões).

Agora aqui está algo mágico, Posso dizer-lhe isso V-E + F = 2. Este número é sempre 2. Prove isso para você mesmo começando com o desenho mais simples que você pode fazer e contar V, E e F e você encontrará V-E + F = 2 e, em seguida, faça outro mais complicado e depois um mais complicado e então você verá que conforme cria vértices e regiões e arestas, você sempre mantém essa relação chamada de Características de Euler V-E + F = 2.

Agora, vamos dar uma olhada nos sólidos platônicos. Eles têm a mesma característica!

SÓLIDO VERTICES (V) EDGES (E) FACES (F) V-E + F
Tetraedro 4 6 4 2
Hexaedro 8 12 6 2
Octaedro 6 12 8 2
Dodecaedro 20 30 12 2
Icosaedro 12 30 20 2

Agora dê uma olhada nisso, vamos S seja o número de lados em cada região (face), deixe C seja o número de arestas que emanam de cada vértice (o mesmo para cada vértice em um sólido regular). Então, o número de arestas no sólido regular é uma vez que cada aresta é compartilhada por 2 vértices. Se multiplicarmos o número de faces F, pelo número de lados por face S, então dividirmos pelo número de arestas por vértice, C, então obtemos o número de vértices, V.

Portanto, agora podemos ver que 2 vezes a soma dos Lados por face e das arestas por vértice deve ser maior do que o produto dos lados por face e das arestas por vértice. Nesse caso, vemos que 2 (3 + 3) & gt3 & times3 que corresponde a um tetraedro, 2 (3 + 4) & gt3 & times4 que corresponde a um octaedro, 2 (3 + 5) & gt3 & times5 que corresponde a um icosaedro e quando tentamos 2 ( 3 + 6) = 3 vezes6 o sinal maior não se aplicava e não temos um sólido platônico com faces triangulares e seis faces por vértice. Também vemos 2 (4 + 3) & gt4 & times3 que corresponde a um hexaedro (cubo), mas 2 (4 + 4) & lt4 & times4 e 2 (5 + 3) & gt3 & times5, que corresponde a um dodecaedro, mas 2 (5 + 4) & lt5 & times4.

Portanto, a característica de Euler pode ser usada para deduzir que existem apenas 5 sólidos platônicos possíveis.


2.5: Sólidos Platônicos

Aqui está a mesma tabela sem todas as casas decimais repetidas:

Nota: & Oslash = 1.618033989, ou ( / & macr5 + 1) / 2, a Seção Áurea.









Centroid para: Centroid para: Centroid para:

V (s = 1) s & sup3 V (r = 1) r & sup3 Área de superfície (s = 1) s & sup2 Área de superfície (r = 1) r & sup2 Central & lt Diédrico & lt Superfície & lt Vértice Mid - Edge Rosto Médio lado / raio
Tetraedro 1/6 / & macr2 8/9 / & macr3 / & macr3 8 / / & macr3 109,4712206 & deg 70.52877936 & deg 60 e graus / & macr3 / (2 / & macr2) 1 / (2 / & macr2) 1 / (2 / & macr6) 2 / & macr2 / / & macr3
Octaedro 2/3 / & macr2 4 / 3 2 / & macr3 4 / & macr3 90 e graus 109,4712206 & deg 60 e graus 1 / / & macr2 1/2 1 / / & macr6 / & macr2
Cubo 1.0 8/3 / & macr3 6.0 8.0 70.52877936 & deg 90 e graus 90 e graus / & macr3 / 2 1 / / & macr2 1 / 2 2 / / & macr3
Icosaedro 5 e Oslash e sup2 / 6 20 & Oslash & sup2 / 3 (& Oslash & sup2 + 1) ^ 3/2 5 / & macr3 20 / & macr3 /
(& Oslash & sup2 + 1)
63.4349488 & deg 138,1896852 & deg 60 e graus / & macr (& Oslash & sup2 + 1) / 2 & Oslash / 2 & Oslash & sup2 / (2 / & macr3) 2 / / & macr (& Oslash & sup2 + 1)
Dodecaedro 5 e Oslash ^ 5 /
2 (& Oslash & sup2 + 1)
20 & Oslash & sup2 / (3 / & macr3) (& Oslash & sup2 + 1) 15 & Oslash & sup2 / / & macr (& Oslash & sup2 + 1) 20 /
/ & macr (& Oslash & sup2 + 1)
41.81031488 & deg 116.5650512 & deg 108 e deg ( / & macr3) & Oslash /
2
& Oslash e sup2 / 2 & Oslash & sup3 /
2 / & macr (& Oslash & sup2 + 1)
2 / ( / & macr3) e Oslash




































Neste gráfico, podemos ver uma série de coisas:
1) Incluí 2 maneiras diferentes de medir esses sólidos, ambas úteis: a primeira mantendo o comprimento de cada lado igual, e a segunda considerando cada sólido inscrito em uma esfera de raio igual. A coluna lateral / raio descreve a relação entre os volumes e as áreas de superfície para cada sólido. Para Volume, use (s / r) & sup3 ao converter entre V (s) e V (r).
Para Área de superfície, use (s / r) & sup2. Para s = k ou r = k, o volume sempre aumentará k vezes mais rápido que a área da superfície.
2) O tetraedro tem o menor volume com a maior área de superfície, o dodecaedro tem o maior volume com a menor área de superfície. A proporção entre o volume e a área de superfície aumenta à medida que descemos no gráfico.
3) Os ângulos centrais diminuem à medida que avançamos no gráfico. Isso faz sentido, pois há mais vértices, portanto, menos espaço entre os vértices.
4) A relação entre o lado e o raio também diminui à medida que o volume aumenta. Isso também faz sentido, pois para obter mais volume, o raio deve aumentar. À medida que o raio aumenta, nos sólidos com mais vértices, há menos área de superfície na esfera sobre a qual se espalhar.
5) o & lt central do tetra = diédrico & lt de octa, o & lt central do octa = o diedro & lt do cubo. Portanto, a octa é criada a partir do tetra usando os mesmos triângulos equiláteros das faces e aplicando o ângulo tetra central a ele. E assim para o cubo. Isso está em consonância com a geometria desses sólidos, que é a geometria / & macr2 e / & macr3.
Este padrão quebra quando chegamos ao icosaedro e ao dodecaedro, que são geometria / & macr5.


Supermario & # 8217s Amazing Adventure

Os sólidos platônicos, também chamados de sólidos regulares ou poliedros regulares, são poliedros convexos com faces equivalentes compostas por polígonos congruentes convexos regulares. Existem exatamente cinco desses sólidos (Steinhaus 1999, pp. 252-256): o cubo, dodecaedro, icosaedro, octaedro e tetraedro, como foi provado por Euclides na última proposição do Elementos. The Platonic solids are sometimes also called “cosmic figures” (Cromwell 1997), although this term is sometimes used to refer collectively to both the Platonic solids e Kepler-Poinsot solids (Coxeter 1973).

The Platonic solids were known to the ancient Greeks, and were described by Plato in his Timaeus ca. 350 BC. In this work, Plato equated the tetrahedron with the “element” fire, the cube with earth, the icosahedron with water, the octahedron with air, and the dodecahedron with the stuff of which the constellations and heavens were made (Cromwell 1997). Predating Plato, the neolithic people of Scotland developed the five solids a thousand years earlier. The stone models are kept in the Ashmolean Museum in Oxford (Atiyah and Sutcliffe 2003).

Schläfli (1852) proved that there are exactly six regular bodies with Platonic properties (i.e., regular polytopes) in four dimensions, three in five dimensions, and three in all higher dimensions. However, his work (which contained no illustrations) remained practically unknown until it was partially published in English by Cayley (Schläfli 1858, 1860). Other mathematicians such as Stringham subsequently discovered similar results independently in 1880 and Schläfli’s work was published posthumously in its entirety in 1901 (Hovinga).

If is a polyhedron with congruent (convex) regular polygonal faces, then Cromwell (1997, pp. 77-78) shows that the following statements are equivalent.

1. The vertices of all lie on a sphere.

4. All the solid angles are equivalent.

5. All the vertices are surrounded by the same number of faces.

Let (sometimes denoted ) be the number of polyhedron vertices, (or ) the number of graph edges, and (or ) the number of faces. The following table gives the Schläfli symbol, Wythoff symbol, and C&R symbol, the number of vertices , edges , and faces , and the point groups for the Platonic solids (Wenninger 1989). The ordered number of faces for the Platonic solids are 4, 6, 8, 12, 20 (Sloane’s A053016 in the order tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron), which is also the ordered number of vertices (in the order tetrahedron, octahedron, cube, icosahedron, dodecahedron). The ordered number of edges are 6, 12, 12, 30, 30 (Sloane’s A063722 in the order tetrahedron, octahedron = cube, dodecahedron = icosahedron).

Solid Schläfli symbol Wythoff symbol C&R Symbol Group
cube 3 2 4 8 12 6
dodecahedron 3 2 5 20 30 12
icosahedron 5 2 3 12 30 20
octahedron 4 2 3 6 12 8
tetrahedron 3 2 3 4 6 4

The duals of Platonic solids are other Platonic solids and, in fact, the dual of the tetrahedron is another tetrahedron. Let be the inradius of the dual polyhedron (corresponding to the insphere, which touches the faces of the dual solid), be the midradius of both the polyhedron and its dual (corresponding to the midsphere, which touches the edges of both the polyhedron and its duals), the circumradius (corresponding to the circumsphere of the solid which touches the vertices of the solid) of the Platonic solid, and the edge length of the solid. Since the circumsphere and insphere are dual to each other, they obey the relationship


2.5: Platonic Solids

The Platonic solids

The tetrahedron, octahedron and icosahedron have triangular faces, the cube has square faces and the dodecahedron has pentagonal faces. Consider each face of a Platonic solid divided into its sectors. The table below lists their numbers of corners, sides & triangular sectors.

Number of vertices = V number of edges = E number of faces = F number of sectors in a face = m.

Number of corners = C = V + F number of sides = e = E + mF number of triangles = T = mF (m = 3 for tetrahedron, octahedron & icosahedron m = 4 for cube m = 5 for dodecahedron).

Geometrical composition of the five Platonic solids

Total = C + e + T


Embodiment of the holistic parameter 550

a) Geometry of faces
The lowest row in the table indicates that there are 550 corners, sides & triangles in the 50 faces of the five Platonic solids. The Divine Name ELOHIM with number value 50 that is associated with Binah, the third Sephirah in the Tree of Life, prescribes the five regular polyhedra with 50 vertices and 500 (=50×10) other geometrical elements. This demonstrates par excellence the formative, or shape-determining, nature of the archetypes embodied in this Sephirah heading the Pillar of Judgement (one of the Kabbalistic titles of Binah is "Aima," the divine mother). The shapes of the regular polyhedra require 550 geometrical elements to create them, where 550 = 10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 10(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 ), i.e., this number is the sum of 50 squares of integers. They include 100 corners of 180 triangles, where 100 (the 50th even integer) = 10 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 . This illustrates how the Pythagorean Decad (10=1+2+3+4) and the integers 1, 2, 3 & 4 symbolized by the four rows of dots in the tetractys symbolizing the Decad express the geometry of the Platonic solids. Their holistic character is demonstrated by the fact that their faces are composed of 550 geometrical elements, for this is the number of SLs in the 91 Trees of Life that make up CTOL:

(SL = Sephirothic level, denoted by the black dots in the diagram above). Every single, geometrical element composing the faces of the five Platonic solids corresponds to an SL of CTOL. Notice also that 550 = 10×55, where 55 is the tenth number after the beginning of the famous Fibonacci sequence of numbers:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .

550 is, therefore, not only ten times the sum of the first ten integers after 0 but also ten times the tenth Fibonacci number after 0! This beautiful property points to a deep involvement of the Fibonacci numbers in the sacred geometry of the Platonic solids. This is confirmed in Article 50 (Parts 1 & 2) (WEB, PDF). As 550 = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100, the tetractys array of the first ten integers multiplied by 10:

naturally reproduces the geometrical composition of the triangles making up the five Platonic solids! This is because:

The 550 geometrical elements making up the faces of the five Platonic solids consist of their 50 vertices and 500 other elements. This 50:500 division manifests in the superposed outer and inner Tree of Life as the 50 intrinsic yods other than Sephiroth that belong solely to the former and as the 500 yods belonging only to the (7+7) enfolded polygons that surround their centres (see here). O 50 vertices of the five Platonic solids correspond to the outer Tree of Life with 50 intrinsic yods and the 500 extra geometrical elements needed to construct the faces of the Platonic solids correspond to the inner Tree of Life with 500 intrinsic yods. Four of these extra elements are the centres of the faces of the tetrahedron. They correspond to the four yods on the root edge shared by the (7+7) enfolded polygons.


The 550 SLs in CTOL correspond to the 550 geometrical elements making up the faces of the 5 Platonic solids when they are divided into their sectors.

The picture above shows how the 550 geometrical elements correspond to the 550 SLs in CTOL. Seven overlapping Trees of Life have 46 SLs. This is also the number of SLs below the top of the seventh Tree of Life in CTOL. They correspond to the 46 vertices of all the Platonic solids except the tetrahedron. The remaining 504 geometrical elements comprise 252 more elements in the lower halves of the five Platonic solids and 252 elements in their upper halves. The former correspond to the 252 SLs in the next 42 Trees up to the top (298th SL) of the highest Tree in 49 overlapping Trees of Life counting the top of the 7-tree, there are 252 SLs up to the top of the 49-tree. The latter correspond to the 252 SLs in the next 42 Trees up to the top (550th SL) of the 91st Tree. The upper halves (excluding vertices) correspond to the six cosmic superphysical planes with 42 subplanes mapped by 42 Trees, whilst the lower halves (again, excluding vertices) correspond to the six superphysical planes with 42 subplanes mapped by 42 Trees. The 46 vertices correspond to the 46 SLs of seven Trees mapping the physical plane. As will be revealed in the discussion of the Sri Yantra in the next section, this 46:252:252 division exists as well in the representation of the seven cosmic planes/CTOL by the Sri Yantra.

b) Yod composition of tetractys sectors of faces
When the mF sectors of the faces of a Platonic solid with (E+mF) sides become tetractyses, they have [2(E+mF) = 2E + 2mF] hexagonal yods on their sides and (V + F = 2 + E) corners, using Euler's formula for a convex polyhedron:

Therefore, the number of yods lining the sides of the mF tetractyses in the faces of a Platonic solid = 2E + 2mF + 2 + E = 2 + 3E + 2mF. "2" denotes two diametrically vertices (two adjacent vertices, in the case of the tetrahedron). For the five Platonic solids, ∑ E = 90 and ∑ mF = 180 (see table above). The number of yods lining the sides of the 180 tetractyses in the 50 faces of the five Platonic solids = ∑ (2+3E+2mF) = 5×2 + 3×90 + 2×180 = 640, Onde 640 is the number value of Shemesh, the Mundane Chakra of Tiphareth. They include 50 vertices and 50 corners of sectors at the centres of their faces. Hence, (6405050=540) hexagonal yods line the sides of their 180 tetractyses. (10+540=550) yods line these sides other than the 40 vertices and the centres of the 50 faces that surround axes passing through the two diametrically opposite vertices of each Platonic solid (any two adjacent vertices, in the case of the tetrahedron). The 550 boundary yods correspond to the 550 SLs in CTOL. The 10 vertices lying on the axes of the five Platonic solids (their "poles") correspond to the 10 SLs that belong to the highest Tree in CTOL. The 540 hexagonal yods on the sides of the 180 tetractyses making up their 50 faces correspond to the 540 SLs in the 90 Trees below it. This is another way in which the five Platonic solids represent CTOL.

The number of yods in a Type B n-gon = 15n + 1 (see Section 2 in Power of the polygons /General view ) 30n yods surround the centres of two separate, Type B n-gons. The first four separate, regular polygons of the inner Tree of Life are the triangle (n=3), square (n=4), pentagon (n=5) & hexagon (n=6). They have (3+4+5+6=18) corners. The number of yods surrounding the eight centres of the first (4+4) separate, Type B polygons = ∑ 30n = 30×18 = 540. They are the counterpart of the 540 hexagonal yods that line the 270 sides of the 180 tetractyses in the 50 faces of the five Platonic solids when these faces are Type A polygons. The holistic nature of the first (4+4) regular polygons is discussed in Article 48. This examplifies the Tetrad Principle discussed in Article 1 when it is applied to the regular polygons.

91 corners of triangles inside 5 Platonic solids
Suppose that the centre of each Platonic solid is joined to its vertices. This creates E internal triangles, where E is the number of its edges. When each triangle is Type A, the Platonic solid has 3E sectors of its internal triangles. They have (E+1) corners. Noting that the five Platonic solids have 90 edges, the number of sectors of their internal triangles = 3∑E = 3×90 = 270. The number of their corners = ∑(E+1) = 90 + 5 = 95. This is the number value of Madim, the Mundane Chakra of Geburah. Next, suppose that the five Platonic solids lie inside one another, sharing only a common centre. The number of internal corners = 91. This is the number of Trees of Life in CTOL:

The interiors of the five Platonic solids sharing the same centre have 91 corners that correspond to the 91 Trees in CTOL. The tetrahedron has six edges that are sides of six internal Type A triangles. Their 18 sectors have seven corners. Inside the remaining four Platonic solids are 252 sectors with (91−7=84) corners. This 7:84 division in the 91 corners corresponds to the 7-tree mapping the physical plane and to the 84 Trees above it in CTOL. It also corresponds to the 84 coloured hexagonal yods in the Cosmic Tetractys that are outside the seven coloured hexagonal yods in its central tetractys. The octahedron and the icosahedron have 126 sectors of 42 internal Type A triangles with 42 corners other than their centres. Likewise, the cube and the dodecahedron have 42 corners in their interiors other than centres. One set of 42 corners corresponds to the 42 Trees of Life above the 7-tree in the 49-tree mapping the cosmic physical plane and to the 42 coloured hexagonal yods in the six smaller 1st-order tetractys in the Cosmic Tetractys the other set of 42 corners corresponds to the 42 Trees above the 49-tree and to the 42 coloured hexagonal yods in the six larger 1st-order tetractyses in the Cosmic Tetractys. Remarkably, we see that the tetrahedron corresponds to the 7-tree mapping the physical plane, the octahedron & icosahedron correspond to the 42 Trees mapping the six superphysical planes and the cube & dodecahedron corresponds to the next 42 Trees mapping the six cosmic superphysical planes. There are three other possible combinations. However, the combination scheme just discussed seems the correct one, intuitively speaking, as the cube & dodecahedron have more external corners than the three other pairs of Platonic solids with 42 internal corners, a property that makes their correspondence with the cosmic superphysical planes more appropriate than these others pairs. The essential point that needs to be made here is the amazing fact that, constructed from Type A triangles, the five Platonic solids embody the same 7:42:42 pattern that exists for the physical plane with seven subplanes, the six superphysical planes with 42 subplanes and the six cosmic superphysical planes with 42 subplanes. This pattern must exist in the set of Platonic solids, the Cosmic Tetractys and CTOL because, being holistic systems, they must display analogous structural parameters.


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