Artigos

8.11: O Teorema Radon-Nikodym. Decomposição de Lebesgue


EU. Como você sabe, a integral indefinida

[ int f dm ]

é uma medida generalizada. Agora buscamos condições sob as quais uma dada medida generalizada ( mu ) pode ser representada como

[ mu = int f dm ]

para algum (f ) (a ser encontrado). Começamos com dois lemas.

Lemma ( PageIndex {1} )

Sejam (m, mu: mathcal {M} rightarrow [0, infty) ) medidas finitas em (S. ) Suponha que (S in mathcal {M}, mu S> 0 ) (ou seja, ( mu not equiv 0 )) e ( mu ) é (m ) - contínuo (Capítulo 7, §11).

Então há ( delta> 0 ) e (a ) conjunto (P in mathcal {M} ) tal que (m P> 0 ) e

[( forall X in mathcal {M}) quad mu X geq delta cdot m (X cap P). ]

Prova

Como (m < infty ) e ( mu S> 0, ) há ( delta> 0 ) de modo que

[ mu S- delta cdot m S> 0. ]

Fixe tal ( delta ) e defina uma medida assinada (Lema 2 do Capítulo 7, §11)

[ Phi = mu- delta m, ]

de modo a

[( forall Y in mathcal {M}) quad Phi Y = mu Y- delta cdot m Y; ]

por isso

[ Phi S = mu S- delta cdot m S> 0. ]

Pelo Teorema 3 do Capítulo 7, §11 (decomposição de Hahn), existe um ( Phi ) - conjunto positivo (P in mathcal {M} ) com um ( Phi ) - complemento negativo (-P = SP in mathcal {M}. )

Claramente, (m P> 0; ) para se (m P = 0, ) a (m ) - continuidade de ( mu ) implicaria ( mu P = 0 ), portanto

[ Phi P = mu P- delta cdot m P = 0, ]

ao contrário de ( Phi P geq Phi S> 0 ).

Além disso, (P supseteq Y ) e (Y in mathcal {M} ) implica ( Phi Y geq 0; ) assim por (1),

[0 leq mu Y- delta cdot m Y. ]

Tomando (Y = X cap P, ), obtemos

[ delta cdot m (X cap P) leq mu (X cap P) leq mu X, ]

conforme necessário. ( quad square )

Lemma ( PageIndex {2} )

Com (m, mu, ) e (S ) como no Lema 1, seja ( mathcal {H} ) o conjunto de todos os mapas (g: S rightarrow E ^ {*}, mathcal {M} ) - mensurável e não negativo em (S, ) tal que

[ int_ {X} g dm leq mu X ]

para cada conjunto (X ) de ( mathcal {M} ).

Então há (f in mathcal {H} ) com

[ int_ {S} f dm = max _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g dm. ]

Prova

( mathcal {H} ) não está vazio; por exemplo, (g = 0 ) está em ( mathcal {H}. ) Agora mostramos que

[( forall g, h in mathcal {H}) quad g vee h = max (g, h) in mathcal {H}. ]

Na verdade, (g vee h ) é ( geq 0 ) e ( mathcal {M} ) - mensurável em (S, ) como (g ) e (h ) são .

Agora, dado (X in mathcal {M}, ) let (Y = X (g> h) ) e (Z = X (g leq h). ) Descartando " (dm ) "por brevidade, temos

[ int_ {X} (g vee h) = int_ {Y} (g vee h) + int_ {Z} (g vee h) = int_ {Y} g + int_ {Z} h leq mu Y + mu Z = mu X, ]

prova (2).

Deixar

[k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g d m in E ^ {*}. ]

Procedendo como no Problema 13 do Capítulo 7, §6, e usando (2), pode-se facilmente encontrar uma sequência ( left {g_ {n} right } uparrow, g_ {n} in mathcal {H },) de tal modo que

[ lim _ {n rightarrow infty} int_ {S} g_ {n} dm = k. ]

(Verifique!) Definir

[f = lim _ {n rightarrow infty} g_ {n}. ]

(Existe desde ( left {g_ {n} right } uparrow. )) Pelo Teorema 4 em §6,

[k = lim _ {n rightarrow infty} int_ {S} g_ {n} = int_ {S} f. ]

Além disso, (f ) é ( mathcal {M} ) - mensurável e ( geq 0 ) em (S, ) como todos (g_ {n} ) são; e se (X in mathcal {M}, ) então

[( forall n) quad int_ {X} g_ {n} leq mu X; ]

por isso

[ int_ {X} f = lim _ {n rightarrow infty} int_ {X} g_ {n} leq mu X. ]

Assim, (f in mathcal {H} ) e

[ int_ {S} f = k = sup _ {g in H} int_ {S} g, ]

ou seja,

[ int_ {S} f = max _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g leq mu S < infty. ]

Isso completa a prova. ( Quad square )

Nota 1. Como ( mu < infty ) e (f geq 0, ) Corolário 1 em §5 mostra que (f ) pode ser finito em todos os (S. ) Além disso, (f ) é (m ) - integrável em (S. )

Teorema ( PageIndex {1} ) (Radon-Nikodym)

Se ((S, mathcal {M}, m) ) é um ( sigma ) - espaço de medida finita, se (S in mathcal {M}, ) e se

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

é uma medida generalizada (m ) - contínua, então

[ mu = int f dm text {on} mathcal {M} ]

para pelo menos um mapa

[f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right), ]

( mathcal {M} ) - mensurável em (S ).

Além disso, se (h ) é outro mapa, então (m S ) ((f neq h) = 0 )

A última parte do Teorema 1 significa que (f ) é "essencialmente único". Chamamos (f ) a derivada Radon-Nikodym ((RN) ) de ( mu, ) em relação a (m. )

Prova

Por meio de componentes (Teorema 5 no Capítulo 7, §11), tudo se reduz ao caso

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {1}. ]

Então o Teorema 4 (decomposição de Jordan) no Capítulo 7, §11, produz

[ mu = mu ^ {+} - mu ^ {-}, ]

onde ( mu ^ {+} ) e ( mu ^ {-} ) são medidas finitas (( geq 0), ) ambas (m ) - contínuas (Corolário 3 do Capítulo 7, §11). Portanto, tudo se reduz ao caso (0 leq mu < infty. )

Suponha primeiro que (m, ) também seja finito. Então, se ( mu = 0, ) apenas pegue (f = 0 ).

Se, entretanto, ( mu S> 0, ) tome (f in mathcal {H} ) como no Lema 2 e Nota 1; (f ) é não negativo, limitado e ( mathcal {M} ) - mensurável em (S ),

[ int f leq mu < infty, ]

e

[ int_ {S} f dm = k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g dm. ]

Afirmamos que (f ) é o mapa necessário.

Na verdade, vamos

[ nu = mu- int f dm; ]

então ( nu ) é um finito (m ) - medida contínua (( geq 0) ) em ( mathcal {M}. ) (Por quê?) Devemos mostrar que ( nu = 0 ).

Procurando uma contradição, suponha que ( nu S> 0. ) Então, pelo Lema 1, existem (P in mathcal {M} ) e ( delta> 0 ) tais que (m P> 0 ) e

[( forall X in mathcal {M}) quad nu X geq delta cdot m (X cap P). ]

Agora deixe

[g = f + delta cdot C_ {P}; ]

então (g ) é ( mathcal {M} ) - mensurável e ( geq 0. ) Além disso,

[ begin {alinhados} ( forall X in mathcal {M}) quad int_ {X} g = int_ {X} f + delta int_ {X} C_ {P} & = int_ { X} f + delta cdot m (X cap P) & leq int_ {X} f + nu (X cap P) & leq int_ {X} f + nu X = mu X end {alinhado} ]

por nossa escolha de ( delta ) e ( nu. ) Assim, (g in mathcal {H}. ) Por outro lado,

[ int_ {S} g = int_ {S} f + delta int_ {S} C_ {P} = k + delta m P> k, ]

contrário a

[k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g. ]

Isso prova que ( int f = mu, ) de fato.

Agora, suponha que haja outro mapa (h in mathcal {H} ) com

[ mu = int h d m = int f d m neq infty; ]

tão

[ int (f-h) dm = 0. ]

(Por quê?)

[Y = S (f geq h) text {e} Z = S (f

então (Y, Z in mathcal {M} ) (Teorema 3 de §2) e (f-h ) é constante de sinal em (Y ) e (Z. ) Além disso, por construção,

[ int_ {Y} (f-h) dm = 0 = int_ {Z} (f-h) dm. ]

Assim, pelo Teorema 1 (h) em §5, (f-h = 0 ) a.e. em (Y, ) em (Z, ) e, portanto, em (S = Y xícara Z ), ou seja,

[mS (f neq h) = 0. ]

Assim, tudo está provado para o caso (mS < infty ).

Em seguida, deixe (m ) ser ( sigma ) - finito:

[S = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} S_ {k} text {(disjunto)} ]

para alguns conjuntos (S_ {k} in mathcal {M} ) com (m S_ {k} < infty ).

Pelo que foi mostrado acima, em cada (S_ {k} ) existe um ( mathcal {M} ) - mapa mensurável (f_ {k} geq 0 ) tal que

[ int_ {X} f_ {k} dm = mu X ]

para todos os ( mathcal {M} ) - conjuntos (X subseteq S_ {k}. ) Corrigindo tal (f_ {k} ) para cada (k, ) definir (f: S rightarrow E ^ {1} ) por

[f = f_ {k} quad text {on} S_ {k}, quad k = 1,2, ldots. ]

Então (Corolário 3 em §1) (f ) é ( mathcal {M} ) - mensurável e ( geq 0 ) em (S ).

Pegando qualquer (X in mathcal {M}, ) conjunto (X_ {k} = X cap S_ {k}. ) Então

[X = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} X_ {k} text {(disjunto)} ]

e (X_ {k} in mathcal {M}. ) Além disso,

[( forall k) quad int_ {X_ {k}} f d m = int_ {X_ {k}} f_ {k} d m = mu X_ {k}. ]

Assim, por ( sigma ) - aditividade (Teorema 2 em §5),

[ int_ {X} fdm = sum_ {k = 1} ^ { infty} int_ {X_ {k}} fdm = sum_ {k} mu X_ {k} = mu X < infty quad ( mu text {é finito!}). ]

Assim, (f ) é o necessário, e sua "singularidade" segue como antes. ( Quad square )

Nota 2. Pela Definição 3 no §10, podemos escrever

["d mu = f dm" ]

para

[" int f dm = mu." ]

Nota 3. Usando a Definição 2 em §10 e uma prova fácil "componente a componente", mostra-se que o Teorema 1 também é válido com (m ) substituído por uma medida generalizada (s ). As fórmulas

[ mu = int f dm text {e} mS (f neq h) = 0 ]

então são substituídos por

[ mu = int f ds text {e} v_ {s} S (f neq h) = 0. ]

II. O Teorema 1 requer que ( mu ) seja (m ) - contínuo (( mu ll m). ) Queremos generalizar o Teorema 1 para levantar esta restrição. Primeiro, apresentamos um novo conceito.

Definição

Dadas duas funções de conjunto (s, t: mathcal {M} rightarrow E left ( mathcal {M} subseteq 2 ^ {S} right), ) dizemos que (s ) é ( t ) - singular ((s perp t) ) se houver um conjunto (P in mathcal {M} ) tal que (v_ {t} P = 0 ) e

[( forall X in mathcal {M} | X subseteq-P) quad s X = 0. ]

(Em seguida, dizemos brevemente "s reside em (P. )")

Para medidas generalizadas, isso significa que

[( forall X in mathcal {M}) quad s X = s (X cap P). ]

Por quê?

Corolário ( PageIndex {1} )

Se as medidas generalizadas (s, u: mathcal {M} rightarrow E ) são (t ) - singular, então é (ks ) para qualquer escalar (k ) (if (s ) tem valor escalar, (k ) pode ser um vetor).

O mesmo ocorre com (s pm u, ), desde que (t ) seja aditivo.

Prova

(Exercício! Veja o Problema 3 abaixo.)

Corolário ( PageIndex {2} )

Se uma medida generalizada (s: mathcal {M} rightarrow E ) é (t ) - contínua ((s ll t) ) e também (t ) - singular ((s perp t), ) então (s = 0 ) em ( mathcal {M}. )

Prova

Como (s perp t, ) a fórmula (3) vale para alguns (P in mathcal {M}, v_ {t} P = 0. ) Portanto, para todos (X in mathcal {M }, )

[s (X-P) = 0 text {(para} X-P subseteq-P text {)} ]

e

[v_ {t} (X cap P) = 0 text {(para} X cap P subseteq P text {).} ]

Como (s ll t, ) também temos (s (X cap P) = 0 ) pela Definição 3 (i) no Capítulo 7, §11. Assim, por aditividade,

[sX = s (X cap P) + s (X-P) = 0, ]

conforme reivindicado. ( quad square )

Teorema ( PageIndex {2} ) (decomposição de Lebesgue)

Sejam (s, t: mathcal {M} rightarrow E ) medidas generalizadas.

Se (v_ {s} ) é (t ) - finito (Definição 3 (iii) no Capítulo 7, §11), existem medidas generalizadas (s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ) de modo que

[s ^ { prime} ll t text {e} s ^ { prime prime} perp t ]

e

[s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}. ]

Prova

Seja (v_ {0} ) a restrição de (v_ {s} ) para

[ mathcal {M} _ {o} = left {X in mathcal {M} | v_ {t} X = 0 right }. ]

Como (v_ {s} ) é uma medida (Teorema 1 do Capítulo 7, §11), também é (v_ {0} ) (para ( mathcal {M} _ {0} ) é um ( sigma ) - anel; verifique!).

Assim, pelo Problema 13 no Capítulo 7, §6, fixamos (P in mathcal {M} _ {0}, ) com

[v_ {s} P = v_ {0} P = max left {v_ {s} X | X in mathcal {M} _ {0} right }. ]

Como (P in mathcal {M} _ {0}, ) temos (v_ {t} P = 0; ) portanto

[| sP | leq v_ {s} P < infty ]

(para (v_ {s} ) é (t ) - finito).

Agora defina (s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}, v ^ { prime}, ) e (v ^ { prime prime} ) pela configuração, para cada (X in mathcal {M} ),

[ begin {alinhados} s ^ { prime} X & = s (X-P); s ^ { prime prime} X & = s (X cap P); v ^ { prime} X & = v_ {s} (X-P); v ^ { prime prime} X & = v_ {s} (X cap P). end {alinhado} ]

Como (s ) e (v_ {s} ) são ( sigma ) - aditivos, também são (s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}, v ^ { prime }, ) e (v ^ { prime prime} ). (Verifique!) Assim, (s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ) são medidas generalizadas, enquanto (v ^ { prime} ) e (v ^ { prime prime} ) são medidas (( geq 0) ).

Nós temos

[( forall X in mathcal {M}) quad s X = s (XP) + s (X cap P) = s ^ { prime} X + s ^ { prime prime} X; ]

ou seja,

[s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}. ]

Da mesma forma, obtém-se (v_ {s} = v ^ { prime} + v ^ { prime prime} ).

Além disso, por (5), uma vez que (X cap P = conjunto vazio ),

[- P supseteq X text {e} X in mathcal {M} Longrightarrow s ^ { prime prime} X = 0, ]

enquanto (v_ {t} P = 0 ) (veja acima). Assim, (s ^ { prime prime} ) é (t ) - singular, residindo em (P ).

Para provar (s ^ { prime} ll t, ) é suficiente mostrar que (v ^ { prime} ll t ) (para por (4) e (6), (v ^ { prime} X = 0 ) implica ( left | s ^ { prime} X right | = 0 )).

Suponha o oposto. Então

[( existe Y em mathcal {M}) quad v_ {t} Y = 0 ]

(ou seja, (Y in mathcal {M} _ {0} )), mas

[0

Então, por aditividade,

[v_ {s} (Y cup P) = v_ {s} P + v_ {s} (Y-P)> v_ {s} P, ]

com (Y cup P in mathcal {M} _ {0}, ) contrário a

[v_ {s} P = max left {v_ {s} X | X in mathcal {M} _ {0} right }. ]

Esta contradição completa a prova. ( Quad square )

Nota 4. A função de conjunto (s ^ { prime prime} ) no Teorema 2 é limitada em ( mathcal {M}. ) De fato, (s ^ { prime prime} perp t ) produz um definir (P in mathcal {M} ) de modo que

[( forall X in mathcal {M}) quad s ^ { prime prime} (X-P) = 0; ]

e (v_ {t} P = 0 ) implica (v_ {s} P < infty. ) (Por quê?) Portanto

[s ^ { prime prime} X = s ^ { prime prime} (X cap P) + s ^ { prime prime} (XP) = s ^ { prime prime} (X cap P). ]

Como (s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}, ) temos

[ left | s ^ { prime prime} right | leq | s | + left | s ^ { prime} right | leq v_ {s} + v_ {s ^ { prime}}; ]

tão

[ left | s ^ { prime prime} X right | = left | s ^ { prime prime} (X cap P) right | leq v_ {s} P + v_ {s ^ { prime}} P. ]

Mas (v_ {s ^ { prime}} P = 0 ) por (t ) - continuidade (Teorema 2 do Capítulo 7, §11). Assim, ( left | s ^ { prime prime} right | leq v_ {s} P < infty ) on ( mathcal {M}. )

Nota 5. A decomposição de Lebesgue (s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ) no Teorema 2 é única. Para se também

[u ^ { prime} ll t text {e} u ^ { prime prime} perp t ]

e

[u ^ { prime} + u ^ { prime prime} = s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}, ]

então com (P ) como no Problema 3, (( forall X in mathcal {M}) )

[s ^ { prime} (X cap P) + s ^ { primo primo} (X cap P) = u ^ { primo} (X cap P) + u ^ { primo primo } (X cap P) ]

e (v_ {t} (X cap P) = 0. ) Mas

[s ^ { prime} (X cap P) = 0 = u ^ { prime} (X cap P) ]

por (t ) - continuidade; então (8) se reduz a

[s ^ { prime prime} (X cap P) = u ^ { prime prime} (X cap P), ]

ou (s ^ { prime prime} X = u ^ { prime prime} X ) (para (s ^ { prime prime} ) e (u ^ { prime prime} ) residem em (P )). Assim, (s ^ { prime prime} = u ^ { prime prime} ) em ( mathcal {M} ).

Pela Nota 4, podemos cancelar (s ^ { prime prime} ) e (u ^ { prime prime} ) em

[s ^ { prime} + s ^ { prime prime} = u ^ { prime} + u ^ { prime prime} ]

para obter (s ^ { prime} = u ^ { prime} ) também.

Nota 6. Se (E = E ^ {n} left (C ^ {n} right), ) a (t ) - finitude de (v_ {s} ) no Teorema 2 é redundante, para ( v_ {s} ) é limitado (Teorema 6 no Capítulo 7, §11).

Agora obtemos a generalização desejada do Teorema 1.

Corolário ( PageIndex {3} )

Se ((S, mathcal {M}, m) ) é um ( sigma ) - espaço de medida finita ((S in mathcal {M}), ) então para qualquer medida generalizada

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right), ]

há um único (m ) - medida singular generalizada

[s ^ { prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

e um mapa ("essencialmente" único)

[f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right), ]

( mathcal {M} ) - mensurável e (m ) - integrável em (S, ) com

[ mu = int f dm + s ^ { prime prime}. ]

(Nota 3 se aplica aqui.)

Prova

Pelo Teorema 2 e Nota 5, ( mu = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ) para algumas medidas generalizadas (únicas) (s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right), ) com (s ^ { prime} ll m ) e (s ^ { prime prime} perp m. )

Agora use o Teorema 1 para representar (s ^ { prime} ) como ( int f dm, ) com (f ) conforme declarado. Isso produz o resultado. ( Quad square )


Baixe Agora!

Nós facilitamos para você encontrar um PDF Ebooks sem qualquer escavação. E tendo acesso aos nossos e-books online ou armazenando-os no seu computador, você tem respostas convenientes com as Soluções de Integração Bartle Lebesgue. Para começar a encontrar as Soluções de Integração Bartle Lebesgue, você está certo em encontrar nosso site, que possui uma coleção abrangente de manuais listados.
Nossa biblioteca é a maior delas, com literalmente centenas de milhares de produtos diferentes representados.

Finalmente recebo este e-book, obrigado por todas essas Soluções de Integração Bartle Lebesgue que posso obter agora!

Eu não pensei que isso iria funcionar, meu melhor amigo me mostrou este site, e funciona! Eu recebo meu e-book mais procurado

wtf este grande ebook de graça ?!

Meus amigos estão tão bravos que não sabem como eu tenho todos os e-books de alta qualidade, o que eles não sabem!

É muito fácil obter e-books de qualidade)

tantos sites falsos. este é o primeiro que funcionou! Muito Obrigado

wtffff eu não entendo isso!

Basta selecionar seu clique e, em seguida, o botão de download e preencher uma oferta para iniciar o download do e-book. Se houver uma pesquisa que leve apenas 5 minutos, tente qualquer pesquisa que funcione para você.


Limites projetivos de espaços de probabilidade ☆

O teorema de Kolmogorov clássico sobre a existência de processos estocásticos foi generalizado em várias direções seguindo sua formulação abstrata por Bochner. Na primeira metade do artigo, é feita uma exposição unificada dos principais resultados do trabalho existente. A segunda metade consiste em algumas caracterizações dos sistemas projetivos admitindo limites projetivos e algumas aplicações. Os últimos incluem uma generalização de um teorema de Tulcea sobre medidas de produto envolvendo probabilidades condicionais, que agora não precisam ser regulares, e uma caracterização do martingale regular de Chow e Snell, como um sistema projetivo particular admitindo o limite projetivo. Comparações com outros trabalhos e algumas observações pertinentes são incluídas em vários lugares.


Azzam, J., David, G., Toro, T .: distância de Wasserstein e retificabilidade de medidas de duplicação: parte I. Matemática. Ann. 364(1–2), 151–224 (2016)

David, G .: Singular Sets of Minimizers for the Mumford-Shah Functional. Progresso em Matemática. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)

David, G., Kenig, C., Toro, T .: Medidas de duplicação assintoticamente ótimas e conjuntos planos de Reifenberg com constante de desaparecimento. Comum. Pure Appl. Matemática. 54, 385–449 (2001)

Federer, H .: Teoria da Medida Geométrica, Grundlehren der Mathematishen Wissenschaften 153. Springer, Berlin (1969)

Mattila, P .: Geometria de Conjuntos e Medidas em Espaços Euclidianos: Fractais e Retificabilidade. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44. Cambridge University Press, Cambridge (1995)

Preiss, D .: Geometria das medidas em (^ n ): distribuição, retificabilidade e densidades. Ann. Matemática. (2) 125(3), 537–643 (1987)

Tolsa, X .: Retificabilidade uniforme, operadores Calderón-Zygmund com kernel ímpar e quase ortogonalidade. Proc. Lond. Matemática. Soc. (3) 98(2), 393–426 (2009)

Tolsa, X .: Transporte de massa e retificabilidade uniforme. Geom. Funct. Anal. 22(2), 478–527 (2012)

Tolsa, X .: Medidas retificáveis, funções quadradas envolvendo densidades e transformada de Cauchy (2014). Pré-impressão arXiv: 1408.6979

Villani, C .: Transporte ideal: antigo e novo. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Princípios Fundamentais de Ciências Matemáticas], vol. 338. Springer, Berlin (2009)


Opções de acesso

Compre um único artigo

Acesso instantâneo ao artigo completo em PDF.

O cálculo do imposto será finalizado durante o checkout.

Inscrever-se no jornal

Acesso online imediato a todas as edições de 2019. A assinatura será renovada automaticamente anualmente.

O cálculo do imposto será finalizado durante o checkout.


Baixe Agora!

Nós facilitamos para você encontrar um PDF Ebooks sem qualquer escavação. E tendo acesso aos nossos e-books on-line ou armazenando-os em seu computador, você tem respostas convenientes com as soluções Measure And Integral Zygmund. Para começar a encontrar as soluções Measure And Integral Zygmund, você está certo em encontrar nosso site, que possui uma coleção abrangente de manuais listados.
Nossa biblioteca é a maior delas, com literalmente centenas de milhares de produtos diferentes representados.

Finalmente recebo este e-book, obrigado por todas as Soluções Zygmund de Medida e Integral que posso obter agora!

Eu não pensei que isso iria funcionar, meu melhor amigo me mostrou este site, e funciona! Eu recebo meu e-book mais procurado

wtf este grande ebook de graça ?!

Meus amigos estão tão bravos que não sabem como eu tenho todos os e-books de alta qualidade, o que eles não sabem!

É muito fácil obter e-books de qualidade)

tantos sites falsos. este é o primeiro que funcionou! Muito Obrigado

wtffff eu não entendo isso!

Basta selecionar seu clique e, em seguida, o botão de download e preencher uma oferta para iniciar o download do e-book. Se houver uma pesquisa que leve apenas 5 minutos, tente qualquer pesquisa que funcione para você.


Teoria de probabilidade i, m loeve 1

ESPAÇOS E MEDIDAS CONJUNTOS, CLASSES E FUNÇÕES • 1.1 1.2 1.3 1.4 Definições e notações Diferenças, uniões e interseções Sequências e limites Indicadores de conjuntos xi 55 55 56 57 59 CONTEÚDO DO VOLUME I XII SEÇÃO DA PÁGINA Campos e campos U Classes monótonas Conjuntos de produtos Funções e funções inversas Espaços mensuráveis ​​e funções 59 60 61 62 64 * 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS * 2.1 Topologias e limites * 2.2 Pontos limite e espaços compactos * 2.3 Contabilidade e espaços métricos * 2.4 Linearidade e espaços normados 65 1.5 1.6 * 1.7 * 1.8 * 1.9 FUNÇÕES DO CONJUNTO ADITIVO 3.1 Aditividade e continuidade 3.2 Decomposição das funções do conjunto aditivo * 4 CONSTRUÇÃO DE MEDIDAS EM CAMPOS U * 4.1 Extensão das medidas * 4.2 Probabilidades do produto * 4.3 Probabilidades consistentes nos campos de Borel * 4.4 Medidas de Lebesgue-Stieltjes e funções de distribuição COMPLEMENTOS E DETALHES 66 69 72 78 83 83 87 88 88 91 93 96 100 CAPÍTULO II: FUNÇÕES MEDIDAS E INTEGRAÇÃO FUNÇÕES MEDIDAS 5.1 Números 5.2 Função numérica 5.3 Funções mensuráveis ​​103 103 105 107 MEDIDAS E CONVERGÊNCIAS 6.1 Definições e propriedades gerais 6.2 Convergência quase em todos os lugares 6.3 Convergência em medida 111 Ill 114 116 INTEGRAÇÃO 7.1 Integrais 7.2 Teoremas de convergência 118 119 125 INTEGRAIS INDEFINIDOS ITERADOS 8.1 Integrais indefinidos e decomposição de Lebesgue 8.2 Medidas do produto e integrais iterados * 8.3 Integrais iterados e espaços de produto infinito 130 130 135 137 COMPLEMENTOS E DETALHES 139 ÍNDICE Teorema de Abel, 400 Propriedade de adição, 10 Função de conjunto aditivo, 83 continuidade, 85 teorema de continuidade, 85 contável, 83 decomposição, 87 teorema de decomposição, 88 extensão, 88 teorema de extensão, 88 finito, 83, 111 finito, 83 restrição, 88 u-aditivo, 83, 111 u-fini te, 83, 111 Aderência, 66 ponto aderente, 66 Alexandrov, 190, 409 Allard, 44 Quase em todos os lugares , 112 convergência, 114 convergência mútua, 114 Quase certeza (sim), 148 convergência, 152, 248, 260 convergência mútua, 153 estabilidade, 244, 249, 274, 26 0 critério de estabilidade, 264 Convergência quase uniforme, 140 Andersen e Jessen, 92, 408 Teorema da passagem assintótica (Cont.), 36 negligibilidade uniforme, 302 átomo, 100 domínio de atração de, 360 parcial, 403 estabilidade e critérios, 364 padrão, 402 Axiomas do caso contável, 16 do caso finito, teorema da categoria de Baire, 75 funções, 109 Banach, 407 espaço, 81 base contável, 72 de um cilindro, 62 Baxter, 369, 390, 411 Bawly, 302, 410 Bernoulli, 407 caso, 12, 244, 280 estendido, 26 lei dos grandes números, 14, 244, 282 Berry, 294, 410 Billingsley, 196, 409 Bienayme, 408 igualdade, 12, 246 Blackwell, 369, 411 Bochner, 408, teorema 409, 220 Boltzmann, 42, 43 propriedade Bolzano-Weierstrass, 70 Ande

411 equivalence, 377, 391 equivalence lema, 378 Andre, Desire, 47 Arcsine law, 379, 404 Asymptotic behavior teorema, 399 413 414 INDEX Borel (ian), 107, 407, 410 Can telli lemma, 240 cilindro, 93 campo, 93 , 104 função, 111, 156 funções teorema, 156 linha, 93, 107 conjuntos, 93, 104 espaço, 93, 107 lei forte dos grandes números, 18, 19, 26, 244 critério zero-um, 240 estatísticas de Bose-Einstein, 43, 44 Funcional limitado, teorema de Liapounov 80, 213, 282 conjunto, 74 totalmente, 75 variâncias, teorema de limite de 303 variâncias, 305 Bourbaki, 407 Breiman, 409 Brey, 409 Brunk, 271, 410 Cantelli, 20, 240, 409, 410 Teorema de Cantor, teorema de extensão de 74 Caratheodory, 88 Categoria primeiro, 75 segundos, teorema 75, 75 critério de convergência mútua de Cauchy, 74, 104, 114 Centralização, 244 em expectativas, 244 em medianas, função 256, 350 Critério de convergência central, 323, 326 desigualdades, 316 problema de limite, 302 teorema de limite, 321, 322 teorema estatístico, 20 Cadeia, 29 constante, 29 elementar, 29 estacionário, 39 classes encadeadas , 28 eventos, 28 variáveis ​​aleatórias, 29 Mudança do lema da variável, 190 Função (ões) característica (s), 198 teorema da composição, 226 teorema da continuidade, 204, 224 critério de convergência, 204 e dicotomia, 386 teorema da extensão, 224 propriedades gerais, 207 infinitamente decomposto , 306 integral, 202 fórmula de inversão, 199 triangular, 386 auto-decomposto, 334 estável, 338, 363 teorema de convergência uniforme, 204 Chung, 407.409.410 e Fuchs, 368, 383, 411 e Ornstein, 383, 411 Classe fechada, 59 inferior , 272 monótono, 60 de conjuntos, 55 superior, 272 Critério de convergência degenerada clássica, 290 problema de limite, 286 critério de convergência normal, 292 Classe fechada de estados, modelo 36, conjunto de 22, 66 Teorema de fechamento leis decomponíveis infinitas, 309 INDEX Lema combinatório, 378 método, 47 Compact localmente, 71 conjunto, 69 espaço, 69 Compactificação, 71 propriedades de compactação, 70 relativo, 195 relativo, critério, 195 Teorema de compactação para funções de distribuição, 181 espaços métricos, 76 espaços separados, 70 Comparação teorema das convergências, 117 lema (s), 303, 320 Complemento, 4, 56 Convergência completa, critério de convergência 180, medida 204, espaço métrico 91, teorema da completude 74, Lr-, 163 Conclusão de um espaço métrico, 77 do campo u , 91 Variável aleatória complexa, 154 Composição, 204, 283 e teorema de decomposição, lema 283, teorema 227, 206 Composto (s) Poisson, teorema 347, 237 campo u, 237 Esperança condicional, probabilidade 24, probabilidade 24 regular, Consistência 138 teorema, 94 Consistente, 93 Cadeia constante, 29 415 Funções de conjunto aditivo de continuidade - teorema, 85 teorema de funções características, 204, 224 F-, intervalo, 187 P-, conjunto, 189 função F contínua, 67 funcional, função 80 Pset, 85 Convergência em quase todos os lugares, 114 quase certo, 153 quase uniforme, 140 completo, 180 essencial, 262 em média quadrática, 260 em r-ésima média, 159 de sequências de conjuntos, 58 de tipos, 216 uniforme, 114 fraco, 180 Critério de convergência (ria) quase em toda parte, 116 central, 323, 327 completo, 204 degenerado, 290, 329 iid, 346 iid central, 348 normal, 292, 328 Poisson, 308, 329 pr.'s no espaço métrico, 190 fraco, 203 Comparação do teorema (s) de convergência, 117 dominado, 126 Fatou-Lebesgu e, 12 Lr-, 165 momentos, 186 monótonos, 125 de tipos, 216 uniformes, 204 416 INDEX Função convexa, 161 Lema da correspondência, teorema 344, 97 Contáveis ​​(ly), 16 bases, 72 classes, 57 conjuntos, 57 operações de conjuntos, 57 avaliados, 64, 106 Abrangendo aberto, regra 69, 16 c.-inequality, 157 Cramer, 271, 408, 409 Cylinder Borel, 62 product, 62 Daniell, 94, 408 Decomposable infinitamente, 308 self-, 334 Decomposition teorema (s) cadeias, 37 composição e , teorema, 283 tipo degenerado, 283 funções de distribuição, 178.200 Hahn, 87 Lebesgue, 131 tipo normal, 283 tipo Poisson, 283 Função característica degenerada, 215 critério de convergência, 290, 329 função de distribuição, 215 lei, 215 tempo aleatório, 376 variável aleatória , 215 passeio aleatório, tipo 370, 215 conjunto denso, 72 em lugar nenhum, 75 enumerável, 16 classes, 57 conjunto enumerável (cont.), 57 operações de conjunto, 57 valores, 64, 106 Diâmetro de um conjunto, 74 Dicotomia, 380 critérios, 382 Equações de diferença, 48 próprias, 56 de conjuntos, 56 Direção (ted), 67 conjuntos, 68 Dirichlet, 187 Classe disjunta, 57 eventos, conjuntos, 57 Distância de pontos , 73 pontos e conjuntos, 78 conjuntos, 77 Distribuição, 168, 172, 175 função de distribuição empírica, função 20, 20, 96, 169, 177 invariante, 39 Ld-, 370 probabilidade, 168 Doblin, 30, 302, 354, 403 , 410, 411 Domínio, 62, 108 de atração, 360 parcial, 401 padrão, 402 Teorema de convergência dominada, 126 Doubrovsky, 408 Regra da dualidade, 57 Dugue, 409 Dunford, 408 teorema de Egorov, 141 Einstein, 43, 44 Cadeia elementar, 29 INDEX Função elementar (Cont.), 64, 107 campo de probabilidade, 16 variáveis ​​aleatórias, 17, 152 Função de distribuição empírica, 20 Conjunto vazio, 4, 54 Equivalência Andersen, 377, 393 Andersen, lema, classe 378, 154 convergência, lema 245 , leis, 290 lema, série, 245 cauda, ​​245 teorema (s), 263, 379 funções de distribuição equivalente, 96 funções, 114 variáveis ​​aleatórias, 154 estados, 36 Erdos, 34 Esseen, 294, 410 Convergência essencial, 262 divergência, 262 Euler, 47 Eventos, 3, 8, 151 disjunto, elementar, 151 trocável, 45, 21 impossível, 4, 151 independente, 11, 73, 235 nulo, 152 aleatório, 5, claro, 4, 151 cauda, ​​241 Estado de retorno contínuo, 36 eventos trocáveis, 45, 373 variáveis ​​aleatórias, 373 Expectativa centrada em, 244 critério, 384 indefinido, 153 417 Expectativa (Cont.) De uma função aleatória, 156 de uma sequência, 154 de uma variável aleatória, 10, 17, 153, 154 Limites exponenciais, 266 identidades, 388, 396 Lei de Bernoulli estendida de números grandes, linha de 26 Borel, 93, 107 espaço de Borel, 93, 107 Lei forte de Borel de números grandes , 26 critério de convergência central, 326 teorema do limite central, 322 critério de convergência, 306 lema de Helly-Bray, 183 identidades, 395 Extensão, 88 de funções características, 225 de funcionais lineares, 81 de medidas, 88 Fatoração (ões) extremas, 396 amostra espaço, 392, 396 único, teorema, 389 Feller, 34, 292, 302, 353, 354, 369, 371, 383, 407, 409-411 Fermi-Di rac statistics, 42, 43 Field (s), 59 Borel, 93, 104 composto, 156 Lebesgue, 129 de resultados, probabilidade, produto, 61, 62 u-, 59 Propriedade de interseção finita, lema do intervalo 70, 45 Finetti, de, 302, 411 418 Valor finito, 64, 106 Primeira categoria, 75 teoremas de limite, 282 Fortet, 409 Frechet, 187, 408 teorema de Fubini, 136 Função (ões) conjunto aditivo, 83 Baire, 111 centralização, característica 350, 199, 202 contínuo, 67 convexo, 161 valor contável, 64, 106 valor denumerável, 64, 106 distribuição, 20, 96, 169, 177 domínio de, 62, 107 elementar, 64, 107 equivalente, 114 F contínuo, 187 finito, 105 de valor finito, 64, 106 de função, 64, 106 inverso, 63, 106 mensurável, 65, 107 definido não negativo, 219 numérico, 105 P-contínuo, 187 parte positiva de, 105 aleatório, 152, 156 intervalo de , 63 espaço de alcance, 62, 105 simples, 64, 107 cauda, ​​241 Funcional, 80 limitado, 80 contínuo, 80 linear, 80 normado, 80 ruína do jogador, 48 probabilidades geométricas, 49 Glivenko, 408 -Cantelli, 21 INDEX Gnedenko, 302 , 3 54, 407, 409, 411 Gumbel, 45 Hadamard, 30 Hahn e Rosenthal, teorema de decomposição 408 Hahn, 87 Halmos, 196, 408 Hausdorff, 408 espaço, 68 propriedade Heine-Borel, 70 Helly, 409 Helly-Bray lema, 182 estendido , 183 generalizado, 187 teorema de Helly-Bray, 184 lema de Herglotz, 220 Hewitt-Savage, 374, 411 lei zero-um, 374 espaço de Hilbert, 80 Tempo de acerto, lema 377, 374 Desigualdade de Holder, 158 princípio de Huygens, 28 propriedade de identificação, 73 Imagem, Inverso de uma classe, 63, 106 de um conjunto, 63, 106 Evento impossível, 4, 110 Integral imprópria, 130 Incrementa a desigualdade, 208 Classe indecomponível de estados, 36 Expectativa indefinida, 154 integral, 130 Classes independentes, 11, 235 eventos, 11, 235 funções aleatórias, 237 variáveis ​​aleatórias, 11, 237 vetores aleatórios, 237 campos u, 236 tentativas, Indicador (es) INDEX, 9, 59 método de, 44 Partição induzida, 64, 106 espaço de probabilidade, 168 , 171 u-field, 64 topology, 66 Desigualdade (empates) basic, 159 central, 316 Cr, 157 Holder, 158 integral, 208 Kolmogorov, 25, 247, 275 Levy, 259 Liapounov, 177 Schwarz, 158 simetrização, 259 Tchebichev, 11, 160 truncamento, 209 simetrização fraca, 258 Limite inferior, 58 Infimum, 56, 103 Decomposição infinita, 308 números, 103 Infinitamente frequentemente, 241 Integrável, 119 uniformemente, 164 Característica integral função, 202 desigualdade, 208 teorema de representação, 166 Integral (s) Daniell, 146 Darboux-Young, 144 definições, 119 propriedades elementares, 120 impróprias, 130 iteradas, teorema, 137 Kolmogorov, 145 Lebesgue, 129, 143 Lebesgue-Stiel tj es , 128 Riemann, 129 Riemann-Stieltjes, 129 419 Lema da integração por partes, 358 Interior, 66 pontos, 66 Teorema do valor intermediário, 102 Intersecção (ões), 4, 56 propriedade finita, 70 Intervalo (s), 61, 62, 104 lema finito, 397 teorema da invariância, 39 distribuição invariante, 39 função inversa, 63, 106 imagem, 63, 106 Fórmula de inversão, 199 logaritmo iterado, lei de, 219 teorema da probabilidade condicional regular, 138 Kac, 407, 410 Katz, 411 Karamata, teorema principal 354, 356 Kawata, 210, 409 Kelley, 4 08 Kemperman, 369, 393, 395, 410 Khintchine, 28, 302, 410 medida, 343 representação, 343 Kolmogorov, 30, 94, 302.407, 408, 410 abordagem, 145 desigualdades, 25, 247, 275 lei forte dos grandes números, 251 critério de três séries, 249 lei zero-um, lema de Kronecker 241, 250 Lambert, 46 Laplace, 22, 281, 286, 287, 407 Lei dos grandes números Bernoulli, 14, 26, 244, 282 Borel, forte, 18, 19 , 26, 244 clássico, 290 Kolmogorov, forte, 251 420 ÍNDICE Lei (s), 174 degenerado, 215, 281 lema de equivalência, 290 infinitamente decomposto, 308 normal, 213, 281 do logaritmo iterado, 219 Poisson, 282 probabilidade, 174 , 214 auto-decomposto, 334 estável, 326, 363 tipos de, 215 universal, 403 zero-um, 241, 374 Lebesgue, 408 abordagem, 143 teorema de decomposição, 131 campo, 129 integral, 129 medida, 128 conjuntos, 129 Lebesgue- Campo de Stieltjes, 128 integral, 128 medida, 128 Le Cam, 193, 409 Levy, P., 199, 301, 302, 408, 410 teorema da continuidade, 204 desigualdades, 259 função (ões), 361 medida, 343 representação, 34 3 Liapounov, desigualdade 411, teorema 174, 213, 287, 289 Limite de um conjunto direcionado, 68 ao longo de uma direção, 68 inferior, 58 superior, 58 Limite de uma sequência de funções, 113 leis, 214 números, 104 conjuntos, 58 Limite problema central, 302 clássico, 286 Lindeberg, 292, 411 Linha Borel, 93, 107 real estendido, 104 real, 93, 103 Fechamento linear, 79 funcional, 80 espaço, 70 linearmente ordenado, teorema de Liouville 67, 369 Lomnicki, 409 Classe inferior , 272 variation, 87 £,completeness theorem, 163 convergence theorem, 164 spaces, 162 Lusin theorem, 140 Marcinkiewitz, 225, 254, 302, 409 Markov, 407 chain, 28 dependence, 28 inequality, 160 Lukacz, 408 Matrices, method of , 48 Matrix, transition probability, 29 Mean rth mean, 159 Measurable function, 107 sets, 60, 64, 107 space, 60, 64, 107 Measure, 84, 112 convergence in, 116 Khin tchine, 343 Lebesgue, 129 Lebesgue-Stieltjes , 128 Levy, 343 normed, 91, 151 INDEX Measure (Cont.) outer, 88 outer extension of, 89 product, 136 signed, 87 space, 112 Median, 256 centeri ng at, 256 Metric compactness theorem, 76 linear space, 79 space, 73 topology, 73 Minimal class over, 60 Minkowski inequality, 158 Moment(s) convergence problem, 187 convergence theorem, 186 kth, 157, 186 lemma, 254 rth absolute, 157, 186 Monotone class, 60 convergence theorem, 125 sequences of sets, 58 Montmort, 46 JL -measurable, 88 Multiplication lemma, 238 property, 11 rule, 24 theorem, 238 Negligibility, uniform asymptotic, 302, 314 Neighborhood, 66 Neyman, 407 Nikodym, 133, 408 Nonhereditary systems, 28 Nonrecurrent state, 31 No-return state, 31 Norm of a functional, 79 Hilbert, 80 of a mapping, 79 421 Normal approximation theorem, 300 convergence criterion, 307 decomposition theorem, 283 law, 213, 281 type, 283 Normalized distribution function, 199 Normed functional, 80 linear space, 79 measure, 91, 151 sums, 331 Nowhere dense, 75 Null set, 91, 112 state, 32 Numerical function, 105 Open covering, 69 set, 66 Ordering, partial, 67 Orthogonal random variables, 246 Outcome(s), of an experiment, field of, Outer extension, 89 measure, 88 Owen, 411 Parseval relation, 386 Parzen, 407 Petrov, 410 Physical statistics, 42 Planck, 44 Poincare recurrence theorem, 28 Poisson compound, 347 convergence criterion, 229, 329 decomposition theorem, 283 law, 282 theorem, 15 type, 283 422 INDEX Pollaczec, 396, 394, 400, 411 -Spitzer identity, 393, 400 Pollard, 34 Polya, 368, 409 Port, 369, 393, 412 Positive part, 105 state, 32 Positivity criterion, 33 Possible state(s), 370 value(s), 370 values theorem, 371 Probability, 5, 8, 16, 91, 151, 152 condi tiona!, 6, 24 convergence in, 153 convergence on metric spaces, 189, 190 distribution, 168 field, law, 214 product-theorem, 92 rule, total, 24 stability in, 244 sub, 187 transition, 29 Probability space, 91, 151, 152 induced, 168 product, 92 transition, 29 product, 92 sample, 168 Product cylinder, 62 field, 61, 62 measurable space, 61, 62, 137 measure, 136 probability, 92 probability theorem, 242 scalar, 80 set, 61 u-field, 61, 62 space , 61, 62 Prohorov, 190, 193, 264, 409 Quadratic mean convergence in, 260 Radon-Nikodym theorem, 133 extension, 134 Raikov, 283, 411 Random event, 5, function, 152, 156 sequence, 152, 155 time, 375 time identities, 390 time translations, 376 trial, variable, 6, 9, 17, 152 vector, 152, 155 walk, 47, 378, 379 Range, 63 space, 62, 105 Ranked random variables, 350 sums, 405 Ray, 369, 395, 412 Real line, 93 line, extended, 93, 107 number, 93 number extended, 93 space, 93 Recurrence, 380 criterion, 32 theorem(s), 27, 384 Recurrent state(s), 31, 380 walk, 28 Regular variation, 354 criterion, 354 Relative compactness, 190 theorem, 195 Representation theorem, 313 integral, 166 Restriction, 88 Return criterion, 32 state, 31 Riemann integral, 129 INDEX Riemann-Stieltjes integral, 129 Riesz, F., 222, rth absolute moment, 157, 186 mean, 159 Ruin, gambler's, 48 Saks,408 Savage,374 Scalar product, 80 Scheffe, 408 Schwarz inequality, 158 Section, 61, 62, 135 Self-decomposable(bili ty), 334 criterion, 3 35 Separable space, 68 Separation theorem, 68 Sequence(s) convergence equivalent, 245 random, 152, 155 tail of, 241 tail equivalent, 245 Series criterion three, 249 two, 263 Set function additive, 83 continuous, 85 countably additive, 83 finite, 82, 111 finitely, 83 u-additive, 83, 111 u-finite, 83, 11 Set(s) Borel, 93, 104 bounded, 74 closed, 66 compact, 69 dense, 72 directed, 68 empty, 4, 54 Lebesgue, 129 measurable, 60, 64, 107 null, 91, 112 open, 66 423 Set(s) (Cont.) product, 61 su bdirected, 69 totally bounded, 75 Shohat, 187 u-additive, 83, 111 u-field(s), 59 compound, 156, 235 independent, 236 induced, 64 product, 61, 62 tail, 241 Signed measure, 87 Simple function, 64, 107 random variable, 6, 152 Snell, 66 Space adjoint, 81 Banach, 79 Borel, 93, 107 compact, 69 complete, 74 Hausdorff, 68 Hilbert, 80 induced probability, 168 linear, 79 measurable, 60, 64, 107 measure, 112 metric, 73 metric linear, 79 normal, 78 normed linear, 79 probability, 91, 151, 152 product, 61, 62 product measurable, 61, 62, 137 product measure, 136 product probability, 91 range, 62, 105 sample probability, 168 separated, 68 of sets, 55 topological, 66 Sphere, 73 424 Spitzer, 369, 393, 394, 404, 410, 412 basic identity, 396 basic theorem, 401 Stability almost sure, 244 almost sure criterion, 264 and attraction criterion, 364 in probability, 244, 246 Stable characteristic function, 338 law, 338, 363 State(s) closed class of, 36 equivalent, 36 everreturn, 36 indecomposable class of, 36 nonrecurrent, 31, 380 no return, 31 nu1,32 period of, 33 positive, 32 possible, 370 recurrent, 31, 380 return, 31 transient, 380 Stationary chain, 39 Steinhaus, 409 Stiel tj es, 128, 129 Stochastic variable, 174 Stochastically independent, 11 Strong law of large numbers Borel, 18, 19, 26, 244 Kolmogorov, 241 Structure corollary, 348 theorem, 310 Subspace linear, 79 topological, 66 Sum of sets, 4, 51 Superior limit, 58 Supremum, 56, 103 Sure almost, 151 INDEX Sure (Cont.) event, 4, 151 Symmetrization, 257 inequalities, 259 inequalities, weak, 257 Tail equivalence, 245 event, 241 function, 241 of a sequence, 241 u-field, 241 Tchebichev, 409 inequality, 11, 160 theorem, 287 Tight(ness), 194 lemma, 194 and relative compactness, 195 theorem, 194 Three alternatives, 375 alternatives criteria, 399 series criterion, 249 Toeplitz lemma, 250 Topological space, 66 subspace, 66 Topology, 66 metric, 73 reduced, 66 Total(ly) bounded set, 75 probability rule, 24 variation, 87 Transition probability, 29 Trial(s) deterministic, identical, 5, independent, 5, random, repeated, 5, Triangle property, 73 Triangular characteristic function, 386 probability density, 386 INDEX Truncation, 245 inequality, 209 Tulcea, 138, 408 Tucker, 410 Two-series criterion, 251 Type(s), 215 convergence of, 216 degenerate, 215, 282 normal, 282 Poisson, 282 Ugakawa, 102 Uniform asymptotic negligibility, 302, 314 continuity, 77 convergence, 114 convergence theorem, 204 Union, 4, 56 Upper class, 272 variation, 87 Urysohn, 78 Uspe nsky, 407 Value(s), possible, 370 theorem, 371 Variable, random, 69, 17, 152 Variance, 12, 244 425 Variances, bounded, 302 limit theorem, 305 Variation lower, 87 regular, 354 slow, 354 total, 87 of truncated moments, 359 upper, 87 Vector, random, 152, 155 Wald's relation, 377, 397 Weak compactness theorem, 181 convergence, 180 convergence, to a pr., 190 symmetrization inequalities, 257 convergence, to a pr., 190 Weierstrass theorem, Wendel, 412 Zero-one criterion, Borel, 24 law, Kolmogorov, 241 law, Hewitt-Savage, 374 Zygmund, 409 Graduate Texts in Mathematics Soft and hard cover editions are available for each volume up to Vol 14, hard cover only from Vol 15 TAKEUTI/ZARING Introduction to Axiomatic Set Theory vii, 250 pages 1971 OxTOBY Measure and Category viii, 95 pages 1971 ScHAEFFER Topological Vector Spaces xi, 294 pages 1971 HILTON/STAMMBACH A Course in Homological Algebra ix, 338 pages 1971 (Hard cover edition only) MACLANE Categories for the Working Mathematician ix, 262 pages 1972 HUGHES/PIPER Projective Planes xii, 291 pages 1973 SERRE A Course in Arithmetic x, 115 pages 1973 TAKEUTI/ZARING Axiomatic Set Theory viii, 238 pages 1973 HUMPHREYS Introduction to Lie Algebras and Representation Theory xiv, 169 pages 1972 10 11 COHEN A course in Simple Homotopy Theory xii, 114 pages 1973 CONWAY Functions of One Complex Variable 2nd corrected reprint xiii, 313 pages 1975 (Hard cover edition only.) 12 13 BEALS Advanced Mathematical Analysis xi, 230 pages 1973 ANDERSON/FULLER Rings and Categories of Modules ix, 339 pages 1974 14 GoLUBITSKY/GVILLEMIN Stable Mappings and Their Singularities x, 211 pages 1974 15 BERBERIAN Lectures in Functional Analysis and Operator Theory x, 356 pages 1974 16 WINTER The Structure of Fields xiii, 205 pages 1974 17 RoSENBLATT Random Processes 2nd ed x, 228 pages 1974 18 HALMOS Measure Theory xi, 304 pages 1974 19 HALMOS A Hilbert Space Problem Book xvii, 365 pages 1974 20 HusEMOLLER Fibre Bundles 2nd ed xvi, 344 pages 1975 21 HUMPHREYS Linear Algebraic Groups xiv 272 pages 1975 22 BARNES/MAcK An Algebraic Introduction to Mathematical Logic x, 137 pages 1975 23 24 GREUB Linear Algebra 4th ed xvii, 451 pages 1975 HoLMES Geometric Functional Analysis and Its Applications x, 246 pages 1975 25 HEWITT/STROMBERG Real and Abstract Analysis 3rd printing viii, 476 pages 1975 26 MANES Algebraic Theories x, 356 pages 1976 27 KELLEY General Topology xiv, 298 pages 1975 28 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra I xi, 329 pages 1975 29 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra II x, 414 pages 1976 30 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra I: Basic Concepts xii, 205 pages 1976 31 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra II: Linear Algebra xii, 280 pages 1975 32 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra III: Theory of Fields and Galois Theory ix, 324 pages 1976 33 HIRSCH Differential Topology x, 222 pages 1976 34 SPITZER Principles of Random Walk 2nd ed xiii, 408 pages 1976 35 WERMER Banach Algebras and Several Complex Variabl


Baixe Agora!

Nós facilitamos para você encontrar um PDF Ebooks sem qualquer escavação. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo . To get started finding Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Nossa biblioteca é a maior delas, com literalmente centenas de milhares de produtos diferentes representados.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo I can get now!

Eu não pensei que isso iria funcionar, meu melhor amigo me mostrou este site, e funciona! Eu recebo meu e-book mais procurado

wtf este grande ebook de graça ?!

Meus amigos estão tão bravos que não sabem como eu tenho todos os e-books de alta qualidade, o que eles não sabem!

É muito fácil obter e-books de qualidade)

tantos sites falsos. este é o primeiro que funcionou! Muito Obrigado

wtffff eu não entendo isso!

Basta selecionar seu clique e, em seguida, o botão de download e preencher uma oferta para iniciar o download do e-book. Se houver uma pesquisa que leve apenas 5 minutos, tente qualquer pesquisa que funcione para você.


Baixe Agora!

Nós facilitamos para você encontrar um PDF Ebooks sem qualquer escavação. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure Theory Integration Exercises With Solution . To get started finding Measure Theory Integration Exercises With Solution , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Nossa biblioteca é a maior delas, com literalmente centenas de milhares de produtos diferentes representados.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure Theory Integration Exercises With Solution I can get now!

Eu não pensei que isso iria funcionar, meu melhor amigo me mostrou este site, e funciona! Eu recebo meu e-book mais procurado

wtf este grande ebook de graça ?!

Meus amigos estão tão bravos que não sabem como eu tenho todos os e-books de alta qualidade, o que eles não sabem!

É muito fácil obter e-books de qualidade)

tantos sites falsos. este é o primeiro que funcionou! Muito Obrigado

wtffff eu não entendo isso!

Basta selecionar seu clique e, em seguida, o botão de download e preencher uma oferta para iniciar o download do e-book. Se houver uma pesquisa que leve apenas 5 minutos, tente qualquer pesquisa que funcione para você.


Πραγματική Ανάλυση (μεταπτ.)

Το μεταπτυχιακό μάθημα «Πραγματική Ανάλυση» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, «Real and Complex Analysis, 3rd Edition».

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μπορεί να στηριχθούμε σε άλλα βιβλία ή σημειώσεις.

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει κατά 20% από τα σετ ασκήσεων που θα λύνει κάθε εβδομάδα, κατά 30% από το ενδιάμεσο διαγώνισμα (περί την 7η εβδομάδα του εξαμήνου) και κατά 50% από το τελικό διαγώνισμα.

Κάθε εβδομάδα, συνήθως Πέμπτη, θα σας δίνω από ένα φυλλάδιο ασκήσεων, τις λύσεις των οποίων θα πρέπει να μου επιστρέψετε μια βδομάδα μετά, στο μάθημα.

Θα πρέπει οι λύσεις που θα παραδίδετε να είναι σωστές, σύντομες (χωρίς να μακρυγορείτε αλλά και χωρίς να αφήνετε απ' έξω κάτι σημαντικό) και να είναι δικές σας . Το να παραδώσετε ασκήσεις που έχετε γράψει από άλλους δεν επιτρέπεται. Μπορείτε φυσικά να συζητάτε τα προβλήματα με άλλους αλλά η λύση που θα μου δίνετε θα πρέπει να είναι γραμμένη από σας και να έχει κατανοηθεί πλήρως από εσάς. Το να μου δίνετε ασκήσεις που δεν έχετε λύσει δε βοηθάει ούτε και μένα (γιατί δε θα καταλαβαίνω αν έχετε πρόβλημα να κατανοήσετε κάτι) αλλά ούτε και σας.

Περιοδικά θα ζητώ από κάποιους από σας να μας παρουσιάσουν τη λύση κάποιας άσκησης στο μάθημα.

Είδαμε τι είναι μια σ-άλγεβρα πάνω σε ένα σύνολο . Σε ένα τέτοιο μετρήσιμο χώρο ορίζεται έπειτα η έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης , όπου είναι ένας μετρικός (ή, γενικότερα, τοπολογικός) χώρος. Κάναμε μια πολύ σύντομη ανασκόπηση του τι είναι μετρική και μετρικός χώρος και ορίσαμε επίσης την έννοια του τοπολογικού χώρου (αν και κυρίως θα χρησιμοποιούμε μετρικούς χώρους). Δείξαμε τέλος ότι η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης με μια μετρήσιμη συνάρτηση διατηρεί τη μετρησιμότητα (Θεώρημα 1.7 του βιβλίου σας). Διαβάστε μόνοι σας και το Θεώρημα 1.8 που είναι πολύ παρόμοιο.

Όσοι από εσάς έχετε ξεχάσει τα περί μετρικών χώρων ή δεν τα μάθατε ποτέ, θα πρέπει να θυμηθείτε διάφορα βασικά. Αρχίστε διαβάζοντας τις πρώτες 17 σελίδες από τις πολύ καλές σημειώσεις του συναδέλφου κ. Μήτση.

Την Πέμπτη θα πάρετε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων, με παράδοση μια βδομάδα μετά.

Διατήρηση της μετρησιμότητας από αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, όπως και από μέγιστα, ελάχιστα, sup και inf, καθώς και limsup, liminf και lim μετρησίμων συναρτήσεων.

σ-άλγεβρα που παράγεται από μια οικογένεια συνόλων. Σύνολα Borel σ' ένα τοπολογικό χώρο. Σύνολα και παραδείγματα.

Οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και αλγεβρικές πράξεις με τα άπειρα.

Απλές συνάρτήσεις (μη αρνητικές προς το παρόν) και θεώρημα μονότονης προσέγγισης κάθε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης από κάτω από ακολουθία απλών συναρτήσεων.

Μη αρνητικά μέτρα και μιγαδικά μέτρα.

Σήμερα είδαμε μερικά παραδείγματα χώρων μέτρου (κυρίως το counting measure, τη μάζα Dirac) και έπειτα ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη αρνητική συνάρτηση και από αυτό τον ορισμό και το θέωρημα που δείξαμε την προηγούμενη φορά που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση από μια αύξουσα ακολουθία απλών ορίσαμε και το ολοκλήρωμα οποασδήποτε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης. Είδαμε διάφορες ιδιότητες του ολοκληρώματος και καταλήξαμε να αποδείξουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης καθώς και το πόρισμά του για την ολοκλήρωση κατά όρους σειράς μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε επίσης με ποια μεθοδολογία μπορεί κανείς να μεταγράψει κάποια θεωρήματα που αφορούν ολοκληρώματα σε αντίστοιχα θεωρήματα που αφορούν σειρές, χρησιμοποιώντας το counting measure.

Αποδείξαμε το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Dominated Convergence Theorem). Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιγαδικών (και πραγματικών) συναρτήσεων και πλέον δε μιλάμε μόνο για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα, τριγωνική ανισότητα). Μιλήσαμε για το τι σημαίνει για μια ιδιότητα να ισχύει «σχεδόν παντού» και το πώς μπορεί κανείς σε διάφορα θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, να απαιτεί τις υποθέσεις του να ισχύουν μόνο σχεδόν παντού (και όχι κατ' ανάγκην παντού). Είδαμε ότι μια σειρά συγκλίνει σχεδόν παντού όταν η σειρά των ολοκληρωμάτων των απολύτων όρων συγκλίνει και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αλλάξουμε το ολοκλήρωμα με το άθροισμα.

Έχουμε ουσιαστικά τελειώσει με το Κεφάλαιο 1 του βιβλίου.

  1. Παρακαλώ πολύ γράφετε πιο καθαρά. Σε ορισμένες περιπτώσεις μου είναι δύσκολο να καταλάβω τι γράφετε. Δεν είστε γιατροί και δεν είμαι φαρμακοποιός.
  2. Κοιτάτε τις λύσεις που ανεβάζω και συγκρίνετε με τις δικές σας. (Καλό είναι να κρατάτε ένα αντίγραφο των ασκήσεων που μου δίνετε μήπως και είτε αργήσω να τα διορθώσω ή χαθεί κάτι. Όσοι έχετε smartphone ένα πολύ καλό πρόγραμμα για «σκανάρισμα» εγγράφων είναι το camscanner.)
  3. Κάποιοι μου γράφουν μερικές φοβερά πολύπλοκες λύσεις που σχεδόν σίγουρα τις έχουν διαβάσει από κάπου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τις καταλαβαίνουν. Αν δε καταλαβαίνετε κάτι μην το γράφετε. Ο βαθμός που θα πάρετε στα φυλλάδια των ασκήσεων δεν είναι τόσο μεγάλος. Είναι πολύ προτιμότερο αν δε καταλαβαίνετε μια άσκηση να μην τη γράφετε, ώστε κι εγώ να βλέπω πού έχετε δυσκολίες.
  4. Προσπαθείτε να μη γράφετε πάρα πολλά. (Ορισμένα γραπτά είναι κανονική οικολογική καταστροφή.) Είναι κι αυτό μια τέχνη που πρέπει να μάθετε, το να μην υπερεξηγείτε αυτά που θα όφειλαν να είναι προφανή. Αλλιώς ο αναγνώστης δεν καταλαβαίνει ποιο κομμάτι της λύσης σας είναι το σημαντικό.
  5. Δεν εναλλάσουμε όρια χωρίς αιτιολόγηση (το είδα σε μερικά γραπτά). Τα δύο όρια και της διπλής ακολουθίας δεν είναι κατ' ανάγκη ίσα. Πάρτε π.χ. την .
  6. Σε πολλά γραπτά είδα τη συνεπαγωγή «η είναι σ.π. πεπερασμένη, άρα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε σ.π.» Αυτό είναι λάθος (σοβαρό). Σχεδόν παντού πεπερασμένη δε συνεπάγεται ότι είναι φραγμένη η . Πάρτε π.χ. την για . Είναι παντού πεπερασμένη αλλά σίγουρα όχι φραγμένη.
  7. Όπυ βάζω στα γραπτά το σημάδι +++ σημαίνει ότι θα ήθελα να επεξηγήσετε περισσότερο το σημείο αυτό.

Είδαμε κατ' αρχήν την έννοια του θετικού γραμμικού συναρτησοειδούς, παρατηρήσαμε ότι στο γραμμικό χώρο το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης

υπάρχει (το ξανααποδείξαμε) και είναι θετικό γραμμικό συναρτησοειδές και έπειτα αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz (Θ. 2.14 στο βιβλίο του Rudin). Δείξαμε πώς από το θεώρημα αυτό συνάγεται η ύπαρξη του μέτρου Lebesgue, ενός μέτρου που ορίζεται σε μια σ-άλγεβρα μεγαλύτερη από τη Borel σ-άλγεβρα, και που γενικεύει το ολοκλήρωμα Riemann (που το έχουμε μόνο για συνεχείς ή, έστω, τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) σε όλες τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις στο ή στο . Δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, πως π.χ. δίνει μέτρο 0 σε κάθε αριθμήσιμο σύνολο. Δεν είναι απαραίτητο όμως γιαένα σύνολο να είναι αριθμήσιμο για να έχει μέτρο Lebesgue 0 και ξεκινήσαμε να βλέπουμε το παράδειγμα του τριαδικού συνόλου του Cantor ως ένα παράδειγμα συνόλου μέτρου 0 που έχει τον πληθάριμο του συνεχούς. Δεν είπαμε ακόμη το παράδειγμα συνόλου στο που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο (Θ. 2.22).

Μια συνοπτική περιγραφή του μέτρου και ολοκληρώματος Lebesgue, με έμφαση στη χρήση του και σχεδόν καθόλου στην έννοια της μετρησιμότητας, μπορείτε να βρείτε στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. Ίσως να σας φανεί χρήσιμη μαζί με τις ασκήσεις που περιέχονται εκεί.

Μιλήσαμε με λεπτομεια για το σύνολο του Cantor (ένα υπαριθμήσιμο σύνολο στο που έχει μέτρο Lebesgue μηδέν). Το σύνολο Cantor (του οποίου υπάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει πολλές ενδιαφάουσες ιδιάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει πολλές ενδιαφάουσες ιδιάρχουν πολλές παραλλαγές). Ρίξτε μια ματιά εδώ.

Αποδείξαμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα (& # 1672.22 στο Rudin - δεν πήγαμε πέαι από κει στο Κεφ. 2).

Από το Κεφ. 3 αποδείξαμε την ανισότητα του Jensen για κυρτές συναρτήσεις (που είδαμε ότι αποτελεί κατά κάποιον τρόπο μια γενίκευση του ορισμού της κυρτότητας συνάρτησης) και αποδείξαμε επίσης και την ανισότητα του H & # 246lder (Θ. 3.5 στο Rudin).

Δείξαμε σήμερα ξανά την ανισότητα H & # 246lder (χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Young: για και ) Από την ανισότητα H & # 246lder δείξαμε μετά την ανισότητα του Minkowski που είναι η τριγγική μετά την ανισότητα του Minkowski που είναι η τριγγική. . Είδαμε ότι αυτές οι ανισότητες μας δίνουν (χρησιμοποιώντας το medida de contagem) και τις αντίστοιχες ανισότητες για πεπερασμένα αθροίσματα και σειρές. Αποδείξαμε ότι οι χώροι είναι πλήρεις μετρικοί χώροι.

Δείξαμε ότι σε κάθε χώρο μέτρου οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους χώρους , . (Για το χώρο πρέπει κανείς να επιτρέψει και απλές συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα στα οποία είναι σταθερές μπορούν να έχουν και άπειρο μέτρο. Για τους ολοκληρωτικούς χώρους αυτό δε χρειάζεται.)

Δείξαμε έπειτα ότι ο χώρος (συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα) είναι επίσης πυκνές στους , , φτάνει ο χώρος να είναι ένας τοπικά συμπαγής μετρικός χώρος. Η πυκνότητα αυτή δεν ισχύει για το .

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο δείξαμε ότι οι ολοκληρωτικοί χώροι είναι διαχωρίσιμοι, ότι δηλ. έχουν κάποιο αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Αυτό δεν ισχύει για τον και το αποδείξαμε.

Σήμερα κάναμε μια μικρή εισαγωγή στους χώρους Hilbert. Ξεκινήσαμε το Κεφ. 4 και καλύψαμε τις έννοιες μέχρι και το Θ. 4.11 (διάσπαση χώρου Hilbert στο άθροισμα ενός κλειστού υπόχωρου και του ορθογωνίου συμπληρώματου βτουππρώματός νεθουγρολους νελους νελους.

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για χώρους Hilbert. Αποδείξαμε το θεώρημα αναπαράστασης 4.12 και μιλήσαμε μετά για ορθοκανονικά σύνολα. Υπολογίσαμε την ορθογώνια προβολή του πάνω σε ένα υπόχωρο που παράγεται από ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο , και είδαμε ότι οι συντελεστές της προβολής ως προς τα είναι οι αριθμοί . Mais de αποδείξαμε την ανισότητα του Bessel για κάθε ορθοκανονικό σύνολο. Καταλήξαμε με το Θ. 4.18 που συνοψίζει κάποιες βασικές έννοιες για ορθοκανονικά σύνολα και αναπτύγματα ως προς αυτα.

Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει την Πέμπτη 3-11-2016, την ώρα του μαθήματος. Να είστε στην αίθουσα ακριβώς στις 9:00 (η αίθουσα ενδέχεται να αλλάξει-θα ενημερωθείτε). Εκείνη την εβδομάδα δε θα έχετε να παραδώσετε ασκήσεις (αλλά θα παραλάβετε νέο φυλλάδυας παραδώσετε ασκήσεις (αλλά θα παραλάβετε νέο φυλλάδυας τηνγτμων.

Μπορείτε εδώ να δείτε ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος της 3-11-2016. Το διαγώνισμα θα έχει διάρκεια 2 ώρες. Θα εξεταστείτε σε 5 (μάλλον) θέματα τα οποία θα σας είναι άγνωστα χωρίς αυτό να σημαίναι όκοτι είαναι όκοτι ειναι. Θα πάρετε και 2ο υπόδειγμα το επόμενο Σαββατοκύριακο. Δε θα έχετε να παραδώσετε φυλλάδιο ασκήσεων την εβδομάδα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος.

Μιλήσαμε κατ 'αρχήν για τους χώρους και (χώροι 1-περιοδικών συναρτήσεων) και για την ορθοκανονική βάση

χωρίς όμως να αποδείξουμε την πληρότητα των εκθετικών. Είδαμε ότι οι συντελεστές Fourier

ορίζονται ευρύτερα για όλες τις συναρτήσεις στο (με άλλα λόγια για όλες τις 1-περιοδικές συναρτήσεις στο που είναι ολοκληρώσιμες στο . Μιλήσαμε επίσης για τον μετασχηματισμό Fourier

που ορίζεται για κάθε και αποδείξαμε το Λήμμα Riemann-Lebesgue (δηλ. ) και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο .

Μιλήσαμε επίσης για τον πυρήνα του Dirichlet και για τον πυρήνα του Fejer.

Αυτά που είπαμε (και που θα πούμε και την Πέμπτη) μπορείτε να τα βρείτε στα Κεφ. 2 και 3 του βιβλίου αυτού.

Συνεχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για ανάλυση Fourier περιοδιών συναρτήσεων. Αποδείξαμε το Θεώρημα του Fejer που λέει ότι οι Cesaro μέσοι όροι των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier μια συνεχούς περιοδικής συνάρτησης συγκλίνουν ομοιόμορφα στη συνάρτηση. Αυτό έχει ως συνέπεια την πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) στο ρο .

Στο μάθημα της Τρίτης θα ασχοληθούμε με λύση ασκήσεων και δε θα καλύψουμε νέα & # 171ύλη & # 187.

Σήμερα ασχοληθήκαμε με διάφορες από τις ασκήσεις των υποδειγμάτων διαγωνίσματος.

Το διαγώνισμα θα γίνει στην Α208. Παρακαλώ να είστε εκεί στις 9:00 ακριβώς.


Assista o vídeo: Fubinis Theorem (Dezembro 2021).