Artigos

8.8: Medidas do produto. Integrais Iterados


Sejam ((X, mathcal {M}, m) ) e ((Y, mathcal {N}, n) ) espaços de medida, com (X in mathcal {M} ) e (Y in mathcal {N}. ) Seja ( mathcal {C} ) a família de todos os "retângulos", ou seja, conjuntos

[A vezes B, ]

com (A in mathcal {M}, B in mathcal {N}, m A < infty, ) e (n B < infty ).

Defina uma pré-medida (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1} ) por

[s (A vezes B) = m A cdot n B, quad A vezes B in mathcal {C}. ]

Seja (p ^ {*} ) a medida externa induzida por (s ) em (X vezes Y ) e

[p: mathcal {P} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]

a medida (p ^ {*} ) induzida ("medida do produto," (p = m vezes n )) no campo ( sigma ) - ( mathcal {P} ^ {* } ) de todos os (p ^ {*} ) - conjuntos mensuráveis ​​em (X vezes Y ) (Capítulo 7, §§5-6).

Consideramos funções (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) (real estendido).

EU. Começamos com algumas definições.

Definições

(1) Dada uma função (f: X rightarrow Y rightarrow E ^ {*} ) (de duas variáveis ​​ (x, y )), deixe (f_ {x} ) ou (f ( x, cdot) ) denotam a função em (Y ) dada por

[f_ {x} (y) = f (x, y); ]

ele surge de (f ) fixando (x ).

Da mesma forma, (f ^ {y} ) ou (f ( cdot, y) ) é dado por (f ^ {y} (x) = f (x, y) ).

(2) Defina (g: X rightarrow E ^ {*} ) por

[g (x) = int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

E definir

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {X} g dm, ]

também escrito

[ int_ {X} dm (x) int_ {Y} f (x, y) dn (y). ]

Isso é chamado de integral iterada de (f ) em (Y ) e (X, ) nesta ordem.

De forma similar,

[h (y) = int_ {X} f ^ {y} dm ]

e

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {Y} h dn. ]

Observe que pelas regras de §5, essas integrais são sempre definidas.

(3) Com (f, g, h ) como acima, dizemos que (f ) é um mapa de Fubini ou tem as propriedades de Fubini (após o matemático Fubini) sse

(a) (g ) é (m ) - mensurável em (X ) e (h ) é (n ) - mensurável em (Y );

(b) (f_ {x} ) é (n ) - mensurável em (Y ) para quase todos (x ) (ou seja, para (x em XQ ), (m Q = 0); f ^ {y} ) é (m ) - mensurável em (X ) para (y in YQ ^ { primo}, n Q ^ { primo} = 0; ) e

(c) as integrais iteradas acima satisfazem

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X vezes Y} f dp ]

(o ponto principal).

Para sequências monótonas

[f_ {k}: X vezes Y rightarrow E ^ {*} quad (k = 1,2, ldots), ]

agora obtemos o seguinte lema.

Lemma ( PageIndex {1} )

If (0 leq f_ {k} nearrow f ) (pointwise) on (X times Y ) e se cada (f_ {k} ) tem propriedade Fubini (a), (b), ou (c), então (f ) tem a mesma propriedade.

Prova

Para (k = 1,2, ldots, ) conjunto

[g_ {k} (x) = int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) dn ]

e

[h_ {k} (y) = int_ {X} f_ {k} ( cdot, y) dm. ]

Por suposição,

[0 leq f_ {k} (x, cdot) nearrow f (x, cdot) ]

pontualmente em (Y. ) Assim, pelo Teorema 4 em §6,

[ int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) nearrow int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

ou seja, (g_ {k} nearrow g ) (ponto a ponto) em (X, ) com (g ) como na Definição 2.

Novamente, pelo Teorema 4 do §6,

[ int_ {X} g_ {k} dm nearrow int_ {X} g dm; ]

ou pela Definição 2,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = lim _ {k rightarrow infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {k} dn dm. ]

Da mesma forma para

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn ]

e

[ int_ {X vezes Y} f dp. ]

Logo, (f ) satisfaz (c) se tudo (f_ {k} ) o fizer.

Em seguida, deixe (f_ {k} ) ter a propriedade (b); então (( forall k) f_ {k} (x, cdot) ) é (n ) - mensurável em (Y ) se (x in X-Q_ {k} ) ( (m Q_ {k} = 0 )). Deixar

[Q = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} Q_ {k}; ]

então (m Q = 0, ) e todos (f_ {k} (x, cdot) ) são (n ) - mensuráveis ​​em (Y, ) para (x em XQ. ) Portanto, é assim

[f (x, cdot) = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} (x, cdot). ]

Da mesma forma para (f ( cdot, y). ) Assim, (f ) satisfaz (b).

A propriedade (a) segue de (g_ {k} rightarrow g ) e (h_ {k} rightarrow h. Quad square )

Usando os Problemas 9 e 10 de §6, o leitor também verificará facilmente o seguinte lema.

Lemma ( PageIndex {2} )

(i) Se (f_ {1} ) e (f_ {2} ) são não negativos, (p ) - mapas de Fubini mensuráveis, então é (af_ {1} + b f_ {2} ) para (a, b geq 0 ).

(ii) Se, além disso,

[ int_ {X vezes Y} f_ {1} d p < infty text {ou} int_ {X vezes Y} f_ {2} d p < infty, ]

então (f_ {1} -f_ {2} ) também é um mapa Fubini

Lemma ( PageIndex {3} )

Seja (f = sum_ {i = 1} ^ { infty} f_ {i} ) (ponto a ponto), com (f_ {i} geq 0 ) em (X vezes Y ).

(i) Se todos os (f_ {i} ) são mapas de Fubini mensuráveis ​​ (p ), o mesmo ocorre com (f ).

(ii) Se o (f_ {i} ) tiver propriedades Fubini (a) e (b), então

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {i} dn dm ]

e

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {Y} int_ {X} f_ {i} dm dn. ]

II. Pelo Teorema 4 do Capítulo 7, §3, a família ( mathcal {C} ) (ver acima) é uma semifiação, sendo o produto de dois anéis,

[ {A in mathcal {M} | mA < infty } text {e} {B in mathcal {N} | nB < infty }. ]

(Verifique!) Assim, usando o Teorema 2 no Capítulo 7, §6, mostramos agora que (p ) é uma extensão de (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1}. )

Teorema ( PageIndex {1} )

A pré-medida do produto s é ( sigma ) - aditiva na semifiação ( mathcal {C}. ) Portanto

(i) ( mathcal {C} subseteq mathcal {P} ^ {*} ) e (p = s < infty ) em ( mathcal {C}, ) e

(ii) a função característica (C_ {D} ) de qualquer conjunto (D in mathcal {C} ) é um mapa de Fubini.

Prova

Seja (D = A vezes B in mathcal {C}; ) então

[C_ {D} (x, y) = C_ {A} (x) cdot C_ {B} (y). ]

(Por quê?) Assim, para um (x, C_ {D} (x, cdot) ) fixo é apenas um múltiplo de ( mathcal {N} ) - mapa simples (C_ {B}, ) portanto, (n ) - mensurável em (Y. ) Além disso,

[g (x) = int_ {Y} C_ {D} (x, cdot) dn = C_ {A} (x) cdot int_ {Y} C_ {B} dn = C_ {A} (x ) cdot nB; ]

então (g = C_ {A} cdot n B ) é ( mathcal {M} ) - simples em (X, ) com

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {X} g dm = nB int_ {X} C_ {A} dm = nB cdot m A = sD. ]

Da mesma forma para (C_ {D} ( cdot, y), ) e

[h (y) = int_ {X} C_ {D} ( cdot, y) dm. ]

Assim, (C_ {D} ) tem propriedades Fubini (a) e (b), e para todo (D in mathcal {C} )

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {D} dm dn = sD. ]

Para provar ( sigma ) - aditividade, vamos

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto),} D_ {i} in mathcal {C}; ]

tão

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}. ]

(Por quê?) Como mostrado acima, cada (C_ {D_ {i}} ) tem propriedades Fubini (a) e (b); então por (1) e Lema 3,

[sD = int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} C_ {D_ {i}} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} sD_ {i}, ]

como requerido.

A afirmação (i) agora segue pelo Teorema 2 no Capítulo 7, §6. Por isso

[sD = pD = int_ {X vezes Y} C_ {D} dp; ]

então, pela fórmula (1), (C_ {D} ) também tem a propriedade Fubini (c), e tudo está provado. ( quad square )

A seguir, seja ( mathcal {P} ) o ( sigma ) - anel gerado pelo semiramento ( mathcal {C} ) (então ( mathcal {C} subseteq mathcal {P } subseteq mathcal {P} ^ {*} )).

Lemma ( PageIndex {4} )

( mathcal {P} ) é a família menos definida ( mathcal {R} ) tal que

(i) ( mathcal {R} supseteq mathcal {C} );

(ii) ( mathcal {R} ) é fechado em uniões disjuntas contáveis; e

(iii) (H-D in mathcal {R} ) if (D in mathcal {R} ) e (D subseteq H, H in mathcal {C} ).

Este é simplesmente o Teorema 3 no Capítulo 7, §3, com notação alterada.

Lemma ( PageIndex {5} )

Se (D in mathcal {P} ) ( ( sigma ) - gerado por ( mathcal {C}), ) então (C_ {D} ) é um mapa Fubini.

Prova

Seja ( mathcal {R} ) a família de todos (D in mathcal {P} ) tal que (C_ {D} ) seja um mapa Fubini. Devemos mostrar que ( mathcal {R} ) satisfaz (i) - (iii) do Lema 4, e assim ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. )

(ii) Deixe

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto),} quad D_ {i} in mathcal {R}. ]

Então

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}, ]

e cada (C_ {D_ {i}} ) é um mapa Fubini. Logo, também é (C_ {D} ) pelo Lema 3. Assim, (D in mathcal {R} ), provando (ii).

(iii) Devemos mostrar que (C_ {HD} ) é um mapa Fubini se (C_ {D} ) é e se (D subseteq H, H in mathcal {C}. ) Agora , (D subseteq H ) implica

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D}. ]

(Por quê?) Além disso, pelo Teorema 1, (H in mathcal {C} ) implica

[ int_ {X vezes Y} C_ {H} d p = p H = s H < infty, ]

e (C_ {H} ) é um mapa Fubini. O mesmo ocorre com (C_ {D} ) por suposição. Então também é

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D} ]

por Lemma 2 (ii). Assim, (H-D in mathcal {R}, ) provando (iii).

Pelo Lema 4, então, ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. ) Portanto, (( forall D in mathcal {P}) C_ {D} ) é um mapa Fubini. ( quad square )

Podemos agora estabelecer um dos principais teoremas, devido a Fubini.

Teorema ( PageIndex {2} ) (Fubini I)

Suponha que (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) seja ( mathcal {P} ) - mensurável em (X vezes Y ) ( ( mathcal {P} ) como acima) rom. Então (f ) é um mapa Fubini se algum

(i) (f geq 0 ) em (X vezes Y, ) ou

(ii) um de

[ int_ {X vezes Y} | f | dp, int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm, o r int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn ]

é finito.

Em ambos os casos,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X vezes Y} f dp. ]

Prova

Primeiro deixe

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i} geq 0, D_ {i} in mathcal {P }direito),]

ou seja, (f ) é ( mathcal {P} ) - elementar, portanto, certamente (p ) - mensurável. (Por quê?) Pelos Lemas 5 e 2, cada (a_ {i} C_ {D_ {i}} ) é um mapa de Fubini. Logo, também é (f ) (Lema 3). A fórmula (2) é simplesmente propriedade de Fubini (c).

Agora pegue qualquer ( mathcal {P} ) - mensurável (f geq 0. ) Pelo Lema 2 em §2,

[f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} text {on} X vezes Y ]

para alguma sequência ( left {f_ {k} right } uparrow ) de ( mathcal {P} ) - mapas elementares, (f_ {k} geq 0. ) Como mostrado acima , cada (f_ {k} ) é um mapa Fubini. Portanto, (f ) também é pelo Lema 1. Isso resolve o caso (i).

Em seguida, assuma (ii). Como (f ) é ( mathcal {P} ) - mensurável, então são (f ^ {+}, f _ {-}, ) e (| f | ) (Teorema 2 em §2 ) Por não serem negativos, são mapas de Fubini por caso (i).

Assim é (f = f ^ {+} - f ^ {-} ) pelo Lema 2 (ii), uma vez que (f ^ {+} leq | f | ) implica

[ int_ {X vezes Y} f ^ {+} d p < infty ]

pela nossa premissa (ii). (Os três integrais são iguais, pois (| f | ) é um mapa de Fubini.)

Assim, tudo está provado. ( Quad square )

III. Agora queremos substituir ( mathcal {P} ) por ( mathcal {P} ^ {*} ) no Lema 5 e Teorema 2. Isso funciona apenas sob certas ( sigma ) - condições de finitude, como mostrado abaixo.

Lemma ( PageIndex {6} )

Seja (D in mathcal {P} ^ {*} ) ( sigma ) - finito, ou seja,

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto)} ]

para algum (D_ {i} in mathcal {P} ^ {*}, ) com (pD_ {i} < infty ) ((i = 1,2, ldots). )

Então há (a K in mathcal {P} ) tal que (p (K-D) = 0 ) e (D subseteq K ).

Prova

Como ( mathcal {P} ) é um ( sigma ) - anel contendo ( mathcal {C}, ) ele também contém ( mathcal {C} _ { sigma}. ) Assim pelo Teorema 3 do Capítulo 7, §5, (p ^ {*} ) é ( mathcal {P} ) - regular.

Para o resto, proceda como nos Teoremas 1 e 2 no Capítulo 7, §7. ( Quad square )

Lemma ( PageIndex {7} )

Se (D in mathcal {P} ^ {*} ) for ( sigma ) - finito (Lema 6), então (C_ {D} ) é um mapa Fubini.

Prova

Por Lemma 6,

[( existe K in mathcal {P}) quad p (K-D) = 0, D subseteq K. ]

Seja (Q = KD, ) então (p Q = 0, ) e (C_ {Q} = C_ {K} -C_ {D}; ) ou seja, (C_ {D} = C_ {K} -C_ {Q} ) e

[ int_ {X vezes Y} C_ {Q} d p = p Q = 0. ]

As (K in mathcal {P}, C_ {K} ) é um mapa Fubini. Assim, pelo Lema 2 (ii), tudo se reduz a provar o mesmo para (C_ {Q}. )

Agora, como (p Q = 0, Q ) é certamente ( sigma ) - finito; então pelo Lema 6,

[( existe Z em mathcal {P}) quad Q subseteq Z, p Z = p Q = 0. ]

Novamente (C_ {Z} ) é um mapa Fubini; tão

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Z} d n d m = int_ {X vezes Y} C_ {Z} d p = p Z = 0. ]

Como (Q subseteq Z, ) temos (C_ {Q} leq C_ {Z}, ) e assim

[ begin {alinhado} int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm & = int_ {X} left [ int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn direita] dm & leq int_ {X} esquerda [ int_ {Y} C_ {Z} (x, cdot) dn direita] dm = int_ {X vezes Y} C_ {Z} dp = 0. end {alinhado} ]

De forma similar,

[ int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {Y} left [ int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm right] dn = 0. ]

Assim definindo

[g (x) = int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn text {e} h (y) = int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm, ]

temos

[ int_ {X} g dm = 0 = int_ {Y} h dn. ]

Portanto, pelo Teorema 1 (h) em §5, (g = 0 ) a.e. em (X, ) e (h = 0 ) a.e. em (Y. ) Assim, (g ) e (h ) são "quase" mensuráveis ​​(Definição 2 do §3); ou seja, (C_ {Q} ) tem a propriedade Fubini (a).

Da mesma forma, estabelece-se (b), e (3) produz a propriedade Fubini (c), uma vez que

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {X vezes Y} C_ {Q} dp = 0, ]

conforme necessário. ( quad square )

Teorema ( PageIndex {3} ) (Fubini II)

Suponha que (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) seja ( mathcal {P} ^ {*} ) - mensurável em (X vezes Y ) e satisfaça a condição (i) ou (ii) do Teorema 2.

Então (f ) é um mapa Fubini, desde que (f ) tenha ( sigma ) - suporte finito, ou seja, (f ) desaparece fora de algum ( sigma ) - conjunto finito (H subseteq X times Y ).

Prova

Primeiro deixe

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i}> 0, D_ {i} in mathcal {P} ^ {*} right), ]

com (f = 0 ) em (- H ) (como acima).

Como (f = a_ {i} neq 0 ) em (A_ {i}, ) devemos ter (D_ {i} subseteq H; ) então todos (D_ {i} ) são ( sigma ) - finito. (Por quê?) Assim, pelo Lema 7, cada (C_ {D_ {i}} ) é um mapa de Fubini, e também é (f. ) (Por quê?)

Se (f ) é ( mathcal {P} ^ {*} ) - mensurável e não negativo, e (f = 0 ) em (- H, ) podemos proceder como no Teorema 2, fazendo todos (f_ {k} ) desaparecem em (- H. ) Então os (f_ {k} ) e (f ) são mapas de Fubini pelo que foi mostrado acima.

Finalmente, no caso (ii), (f = 0 ) em (- H ) implica

[f ^ {+} = f ^ {-} = | f | = 0 text {on} -H. ]

Assim, (f ^ {+}, f ^ {-}, ) e (f ) são mapas de Fubini pela parte (i) e o argumento do Teorema 2. ( Quad square )

Nota 1. O ( sigma ) - suporte finito é automático se (f ) for (p ) - integrável (Corolário 1 em §5), ou se (p ) ou ambos (m ) e (n ) são ( sigma ) - finitos (consulte o Problema 3). A condição também é redundante se (f ) for ( mathcal {P} ) - mensurável (Teorema 2; veja também o Problema 4).

Nota 2. Por indução, nossas definições e Teoremas 2 e 3 se estendem a qualquer número finito (q ) de espaços de medida

[ left (X_ {i}, mathcal {M} _ {i}, m_ {i} right), quad i = 1, ldots, q. ]

Um escreve

[p = m_ {1} vezes m_ {2} ]

if (q = 2 ) e conjuntos

[m_ {1} times m_ {2} times cdots times m_ {q + 1} = left (m_ {1} times cdots times m_ {q} right) times m_ {q +1}. ]

Os teoremas 2 e 3 com suposições semelhantes afirmam que a ordem das integrações é imaterial.

Nota 3. A medida de Lebesgue em (E ^ {q} ) pode ser tratada como o produto de (q ) medidas unidimensionais. Da mesma forma para medidas de produto (L S ) (mas este método é menos geral do que o descrito nos Problemas 9 e 10 do Capítulo 7, §9).

4. Os teoremas 2 (ii) e 3 (ii) também são válidos para funções

[f: X vezes Y rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

se as Definições 2 e 3 forem modificadas da seguinte forma (de modo que façam sentido para tais mapas): Na Definição 2, defina

[g (x) = int_ {Y} f_ {x} dn ]

if (f_ {x} ) é (n ) - integrável em (Y, ) e (g (x) = 0 ) caso contrário. Da mesma forma para (h (y). ) Na Definição 3, substitua "mensurável" por "integrável".

Para a prova dos teoremas, aplique os Teoremas 2 (i) e 3 (i) a (| f |. ) Isso resulta

[ int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn = int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm = int_ {X vezes Y} | f | dp. ]

Portanto, se uma dessas integrais é finita, (f ) é (p ) - integrável em (X vezes Y, ) e assim são seus componentes (q ). O resultado segue então em notar que (f ) é um mapa Fubini (no sentido modificado) se seus componentes são. (Verifique!) Consulte também o Problema 12 abaixo.

V. Em conclusão, observe que as integrais da forma

[ int_ {D} f dp quad left (D in mathcal {P} ^ {*} right) ]

Reduzir para

[ int_ {X vezes Y} f cdot C_ {D} dp. ]

Portanto, é suficiente considerar integrais sobre (X vezes Y ).


Assista o vídeo: Cálculo B: Integrais duplas e integrais iterados. (Novembro 2021).