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7.9.E: Problemas nas medidas de Lebesgue-Stieltjes - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Faça os Problemas 7 e 8 em §4 e o Problema 3 'em §5, se não tiver sido feito antes.

Exercício ( PageIndex {2} )

Prove em detalhes os Teoremas 1 a 3 em §8 para medidas LS e medidas externas.

Exercício ( PageIndex {3} )

Faça o Problema 2 em §8 para medidas LS-externas em (E ^ {1} ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Prove que (f: E ^ {1} rightarrow (S, rho) ) é à direita (esquerda) contínua em (p ) sse
[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = f (p) text {as} x_ {n} searrow p left (x_ {n} nearrow p direito).]
[Dica: modifique a prova do Teorema 1 no Capítulo 4, §2.]

Exercício ( PageIndex {5} )

Preencha todos os detalhes da prova no Teorema 2.
[Dica: Use o Problema 4.]

Exercício ( PageIndex {6} )

No Problema 8 (iv) de §4, descreva (m _ { alpha} ^ {*} ) e (M _ { alpha} ^ {*} ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Mostre que se ( alpha = c ) constante em um intervalo aberto (I subseteq E ^ {1} ) então
[( forall A subseteq I) quad m _ { alpha} ^ {*} (A) = 0. ]
Rejeite-o para intervalos não abertos (I ) (dê um contra-exemplo).

Exercício ( PageIndex {8} )

Seja (m ^ { prime}: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) uma medida topológica invariante à translação em (E ^ {1} ), com (m ^ { prime} (0,1] = c < infty. ) Prove o seguinte.
(i) (m ^ { prime} = cm ) no campo de Borel ( mathcal {B}. ) (Aqui (m: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {* } ) é a medida de Lebesgue em (E ^ {1} ).)
* (ii) Se (m ^ { prime} ) também estiver completo, então (m ^ { prime} = c m ) em ( mathcal {M} ^ {*} ).
(iii) Se (0 * (iv) Se ( mathcal {M} ^ { prime} = mathcal {B}, ) então (cm ) é a conclusão de (m ^ { prime} ) (Problema 15 em §6).
[Esboço: (i) Por aditividade e invariância de tradução,
[m ^ { prime} (0, r] = c m (0, r] ]
para racional
[r = frac {n} {k}, quad n, k in N ]
(primeiro pegue (r = n, ) então (r = frac {1} {k}, ) então (r = frac {n} {k} )).
Por continuidade à direita (Teorema 2 em §4), prove-o para o real (r> 0 ) (tome os racionais (r_ {i} searrow r )).
Por tradução, (m ^ { prime} = c m ) em intervalos semiabertos. Proceda como no Problema 13 de §8.
(iii) Consulte os Problemas 4 a 6 em §8. Observe que, pelo Teorema 2, pode-se assumir (m ^ { prime} = m _ { alpha} ) (uma medida (L S ) invariante à translação). Como (m _ { alpha} = c m ) em intervalos semiabertos, Lema 2 em §2 produz (m _ { alpha} = c m ) em ( mathcal {G} ) (conjuntos abertos). Use ( mathcal {G} ) - regularidade para provar (m _ { alpha} ^ {*} = cm ^ {*} ) e ( mathcal {M} _ { alpha} ^ {*} = mathcal {M} ^ {*} ).]

Exercício ( PageIndex {9 *} )

(LS mede em (E ^ {n}. )) Let
[ mathcal {C} ^ {*} = left { text {intervalos alf-abertos em} E ^ {n} right }. ]
Para qualquer ( operatorname {map} G: E ^ {n} rightarrow E ^ {1} ) e qualquer (( overline {a}, overline {b}] in mathcal {C} ^ {*},) definir
[ begin {alinhados} Delta_ {k} G ( overline {a}, overline {b}] & = G left (x_ {1}, ldots, x_ {k-1}, b_ {k }, x_ {k + 1}, ldots, x_ {n} right) & -G left (x_ {1}, ldots, x_ {k-1}, a_ {k}, x_ {k +1}, ldots, x_ {n} right), quad 1 leq k leq n. End {alinhado} ]
Dado ( alpha: E ^ {n} rightarrow E ^ {1}, ) conjunto
[s _ { alpha} ( overline {a}, overline {b}] = Delta_ {1} left ( Delta_ {2} left ( cdots left ( Delta_ {n} alpha ( overline {a}, overline {b}] right) cdots right) right). ]
Por exemplo, em (E ^ {2} ),
[s _ { alpha} (a, b] = alpha left (b_ {1}, b_ {2} right) - alpha left (b_ {1}, a_ {2} right) - esquerda [ alpha left (a_ {1}, b_ {2} right) - alpha left (a_ {1}, a_ {2} right) right]. ]
Mostre que (s _ { alpha} ) é aditivo em ( mathcal {C} ^ {*} ). Verifique se a ordem na qual o ( Delta_ {k} ) são aplicados é irrelevante. Configure uma fórmula para (s _ { alpha} ) em (E ^ {3} ).
[Dica: primeiro faça dois intervalos separados
[( overline {a}, overline {q}] cup ( overline {p}, overline {b}] = ( overline {a}, overline {b}], ]
como na Figura 2 no Capítulo 3, §7. Em seguida, use a indução, como no Problema 9 do Capítulo 3, §7.]

Exercício ( PageIndex {10 *} )

Se (s _ { alpha} ) no Problema 9 for não negativo, e ( alpha ) for contínuo à direita em cada variável (x_ {k} ) separadamente, chamamos ( alpha ) uma função de distribuição , e (s _ { alpha} ) é chamada de pré-medida ( alpha ) - induzida (LS ) em (E ^ {n}; ) a (LS ) medida externa (m_ { alpha} ^ {*} ) e medir
[m _ { alpha}: mathcal {M} _ { alpha} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]
em (E ^ {n} ) (obtido de (s _ { alpha} ) como mostrado em} §§5 e 6) são considerados induzidos por ( alpha. )
Para (s _ { alpha}, m _ { alpha} ^ {*}, ) e (m _ { alpha} ) assim definidos, refaça os Problemas 1-3 acima.


Escrevendo a integral de Lebesgue-Stieltjes como uma soma de medidas delta de Dirac equidistribuídas

Seja $ f: [0, 1] to mathbb R $ uma função absolutamente contínua (portanto, a fortiori da variação limitada) tal que sua variação total em qualquer intervalo aberto $ (a, b) $ é $ b-a $.

Dizemos que uma sequência $ x_k $ tomando valores em $ [0, 1] $ é equidistribuído se por qualquer intervalo aberto $ (a, b) $ ele mantém $ lim_ frac <1> # = b - a, $ onde $ # $ denota a cardinalidade de um conjunto finito.

Seja $ x_j in [0, 1] $ uma sequência equidistribuída. Isso significa que existe uma sequência $ < varepsilon_n > _$ tomando valores em $ <- 1, 1 > $ de modo que para todas as funções integráveis ​​de Riemann $ g: [0, 1] to mathbb R $ tal que a integral de Lebesgue – Stieltjes $ int_ <[0, 1 ]> g (x) df (x) $ existe, temos $ lim_ frac <1> soma_^ varejpsilon_k g (x_k) = int_ <[0, 1]> g (x) df (x)? $


Conteúdo

A integral de Lebesgue-Stieltjes

é definido quando f: [a, b] → R < displaystyle f: left [a, b right] rightarrow mathbb > é mensurável pelo Borel e limitado e g: [a, b] → R < displaystyle g: left [a, b right] rightarrow mathbb > é de variação limitada em [uma, b] e contínuo à direita, ou quando f é não negativo eg é monótono e contínuo à direita. Para começar, assuma que f é não negativo eg é monótono não decrescente e contínuo à direita. Definir C((s, t]) = g(t) − g(s) e C(<uma>) = 0 (Alternativamente, os trabalhos de construção para g contínuo à esquerda, C([s,t)) = g(t) − g(s) e C(<b>) = 0 ).

Pelo teorema de extensão de Carathéodory, há uma medida Borel única µg sobre [uma, b] que concorda com w em cada intervalo I. A medida µg surge de uma medida externa (na verdade, uma medida externa métrica) dada por

o ínfimo assumido por todas as coberturas de E por contáveis ​​muitos intervalos semi-abertos. Esta medida é às vezes chamada de [1] o Medida Lebesgue-Stieltjes associado a g.

A integral de Lebesgue-Stieltjes

é definido como a integral de Lebesgue de f com respeito à medida µg da maneira usual. Se g não é crescente, defina

a última integral sendo definida pela construção precedente.

Se g é de variação limitada e f é limitado, então é possível escrever

Onde g1(x) = V x
uma g é a variação total de g no intervalo [uma, x] , e g2(x) = g1(x) − g(x) Ambos g1 e g2 são monótonos e não decrescentes. Agora, a integral de Lebesgue-Stieltjes em relação a g é definida por

onde as duas últimas integrais são bem definidas pela construção anterior.

Daniell Integral Edit

Uma abordagem alternativa (Hewitt & amp Stromberg 1965) é definir a integral de Lebesgue-Stieltjes como a integral de Daniell que estende a integral de Riemann-Stieltjes usual. Seja g uma função contínua à direita não decrescente em [uma, b], e definir eu( f ) para ser a integral de Riemann-Stieltjes

para todas as funções contínuas f . O funcional I define uma medida de Radon em [uma, b] Este funcional pode então ser estendido para a classe de todas as funções não negativas, definindo

Para funções mensuráveis ​​do Borel, tem-se

e ambos os lados da identidade então definem a integral de Lebesgue – Stieltjes de h. A medida externa µg é definido via

Os integradores de variação limitada são tratados como descrito acima, decompondo-se em variações positivas e negativas.

Suponha que γ : [uma, b] → R 2 é uma curva retificável no plano e ρ : R 2 → [0, ∞) é Borel mensurável. Então, podemos definir o comprimento de γ em relação à métrica euclidiana ponderada por ρ como sendo

Uma função f é considerado "regular" em um ponto a se as mãos direita e esquerda limitarem f (uma+) e f (uma-) existem, e a função assume um valor médio

Dadas duas funções U e V de variação finita, se em cada ponto pelo menos um de U ou V é contínuo ou U e V são ambos regulares, então uma integração por fórmula de partes para a integral de Lebesgue-Stieltjes é válida: [2]

Aqui, as medidas de Lebesgue-Stieltjes relevantes estão associadas às versões contínuas à direita das funções U e V, ou seja, para U

Um resultado alternativo, de importância significativa na teoria do cálculo estocástico, é o seguinte. Dadas duas funções U e V de variação finita, que são ambas contínuas à direita e têm limites à esquerda (são funções càdlàg), então

onde Δvocêt = você(t) − você(t-). Esse resultado pode ser visto como um precursor do lema de Itô e é útil na teoria geral da integração estocástica. O termo final é Δvocê(t) ΔV(t) = d[você, V], que surge da covariação quadrática de U e V. (O resultado anterior pode então ser visto como um resultado pertencente à integral de Stratonovich.)

Lebesgue Editar integração

Quando g(x) = x para todo x real, então µg é a medida de Lebesgue, e a integral de Lebesgue-Stieltjes f em relação a g é equivalente à integral de Lebesgue de f .

Integração de Riemann-Stieltjes e teoria da probabilidade Editar

Onde f é uma função contínua com valor real de uma variável real ev é uma função real não decrescente, a integral de Lebesgue-Stieltjes é equivalente à integral de Riemann-Stieltjes, caso em que frequentemente escrevemos

para a integral de Lebesgue-Stieltjes, deixando a medida µv permanecem implícitos. Isso é particularmente comum na teoria da probabilidade, quando v é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória de valor real X, caso em que

(Consulte o artigo sobre a integração Riemann-Stieltjes para obter mais detalhes sobre como lidar com esses casos.)


Gurman, V.I., Vyrozhdennye zadachiimum’nogo upravleniya (Degenerate Problems of Optimal Control), Moscou: Nauka, 1977.

Gurman, V.I., Printsip rasshireniya v zadachakh upravleniya (Principle of Extension in the Control Problems), Moscou: Nauka, 1985.

Miller, B.M. e Rubinovich, E.Ya., Controle Impulsivo em Sistemas Contínuos e Discreto-Contínuos, New York: Kluwer, 2003. Traduzido sob o título Optimizatsiya dinamicheskikh sistem s boost’snymi upravleniyami, Moscou: Nauka, 2005.

Zavalishchin, S.T. e Sesekin, A.N., Impul’snye protsessy: modeli i prilozheniya, Moscou: Nauka, 1991. Traduzido sob o título Sistemas de Impulso Dinâmico: Teoria e Aplicações, Dorderecht: Kluwer, 1997.

Dykhta, V.A. e Samsonyuk, O.N., Optimal’noe boost’snoe upravlenie s prilozheniyami (Optimal Impulsive Control with Appendices), Moscou: Fizmatlit, 2000.

Goncharova, E.V. e Staritsyn, M.V., Optimal Impulsive Control Problems with State and Mixed Constraints, Dokl. Matemática., 2011, vol. 84, nº 3, pp. 882–885.

Goncharova, E. e Staritsyn, M., Optimization of Measure-driven Hybrid Systems, J. Optim. Theory Appl., 2012, vol. 153, não. 1, pp. 139-156.

Arutyunov, A.V., Karamzin, D.Yu., e Pereira, F., On Constrained Impulsive Control Problems, J. Math. Sci., 2010, vol. 165, pp. 654–688.

Miller, B.M., Condição de otimização no problema de controle para um sistema descrito por uma equação diferencial de medida, Autom. Controle remoto, 1982, vol. 43, não. 6, parte 1, pp. 752–761.

Miller, B.M., Method of Discontinuous Time Change in Problems of Control for Impulse and Discrete-Continuous Systems, Autom. Controle remoto, 1993, vol. 54, não. 12, parte 1, pp. 1727–1750.

Miller, B.M., The Generalized Solutions of Nonlinear Optimization Problems with Impulse Control, SIAM J. Control Optim., 1996, vol. 34, pp. 1420–1440.

Karamzin, D.Yu., Necessary Conditions of the Minimum in an Impulse Optimal Control Problem, J. Math. Sci., 2006, vol. 139, não. 6, pp. 7087–7150.

Miller, B. e Bentsman, J., Optimal Control Problems in Hybrid Systems with Active Singularities, Nonlin. Anal., 2006, vol. 65, não. 5, pp. 999–1017.

Boccadoro, M., Wardi, Y., Egerstedt, M., e Verriest, E., Optimal Control of Switching Surfaces in Hybrid Dynamical Systems, Discrete Event Dyn. Syst .: Teoria Appl., 2005, vol. 15, não. 4, pp. 433–448.

Brogliato, B., Mecânica de impacto não suave. Modelos, dinâmica e controle, Londres: Springer, 2000.

Dykhta, V.A., Variatsionnyi printsip maksimuma i kvadratichnye usloviya opt’nosti Impuls’snykh i osobykh rezhimov (Princípio Variacional das Condições Máximas e Quadráticas para Otimização dos Modos Impulsivos e Especiais), Irkutsk: Irkutsk. Gos. Ekonom. Akad., 1995.

Sesekin, A.N., On Continuous Dependence on the Right Sides and Stability of the Approximated Solutions of the Differential Equations Envolvendo Products of Discontinuous Functions by Generalized functions, Diferem. Uravn., 1986, no. 11, pp. 2009–2011.

Sesekin, A.N., On the Sets of Discontinuous Solutions of Nonlinear Differential Equations, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1994, no. 6, pp. 83–89.

Motta, M. e Rampazzo, F., Trajetórias espaço-temporais de sistemas não lineares dirigidos por controles ordinários e impulsivos, Diferem. Integr. Equat., 1995, vol. 8, pp. 269-288.


7.9.E: Problemas nas medidas de Lebesgue-Stieltjes - Matemática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA 501 - OUTONO 1999 - PÁGINA DE ARQUIVO

& quotOmnia disce, videbis postea nihil esse superfluum. Coarctata scientia jucunda non est. ''

Hugo de São Vitor (c. 1078 ou 1096? - 1141)

DIRETÓRIO

  • Livro (s):
    • Requerido: Richard L. Wheeden e Antoni Zygmund, Medida e Integral: Uma Introdução à Análise Real, ISBN 0-8247-6499-4.
    • 03/09/99 e 07/09/99 Notas de reuniões de classe [* primeiras 20 páginas]
    • (Antigas) notas de espaço métrico do Math 503 outono de 1988
    • Todas as coisas do filtro * em um só lugar, junto com as provas de equivalência lógica para as várias formas do axioma de escolha. Leia o que você precisa. Última revisão 0930 EDT 16/09/99.
    • Topologia geral 1 * incluindo material sobre teoremas de Arzela-Ascoli e amp Baire. Última revisão 0900 EDT 25/09/99.
    • 23/09/99 Condições necessárias e suficientes para Riemann [-Stieltjes] Integrabilidade [* 23/09/99]
    • 9/10/99 ff. Integração de BV e Riemann-Stieltjes [* Nova versão 9/26/99 - consulte a nota]
    • 28/09/99 Teorema de Stone-Weierstrass [* 28/09/99]
    • Topologia geral 2 * incluindo muitas coisas com o nome G. Cantor. Última revisão 1330 EDT 10/03/99.
    • O material introdutório sobre sigma-álgebras, medidas, etc. pode ser encontrado no início de Wheeden & amp Zygmund's Ch. 10, pág. 161 ff.
    • Lebesgue Medida 1 [* agora completo (8 páginas). Se você tiver as páginas 1-6, copie apenas as páginas 7-8 (embora tenha ocorrido um pequeno erro de digitação na página 2). Abrange 30/09/99 a 05/10. Última revisão 1020 EDT 10/06/99.]
    • Mais integração Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes [* não editado - as referências da página acompanham o livro texto RV de Royden. Vou deixar isso postado como está, mas em breve será reescrito e repostado para estar de acordo com o Ch. De W & amp Z. 11 e conecte-se ao material de integração R-S acima. 30/09/99]
    • (Antigo) Notas de Stone-Weierstrass do Math 502 Spring 1997 incluindo, por exemplo, a abordagem de Bernstein, o teorema de Bohman-Korovkin e diversas peças de análise [não obrigatório]
    • Medida de Lebesgue 2 [* coloca a bagunça de convergência dominada em 19/10/99 em uma forma que um ser humano poderia possivelmente entender, e dá um registro dos outros procedimentos daquela data.]
    • Omitiremos & sect4 de Wheeden & amp Zygmund's Ch. 5 até que tenhamos os teoremas de Fubini-Tonelli (cap. 6) disponíveis. O material é mais fácil de entender em um contexto & quotidimensional & quot, e pode-se fazer identificações a posteriori com integrais de Riemann-Stieltjes em seu lazer.
    • Medida 3 de Lebesgue [* Os teoremas de Tonelli e Fubini em R ^ (n + m) um pouco diferentes do livro didático, e pode-se achar o contra-exemplo divertido.]
    • Abstract Measures 1 [* Definições, a decomposição de Hahn-Jordan, a rede de medidas finitas em um espaço mensurável e os espaços L ^ p. Há pouco mais de 20 pp. Aqui: as 8 primeiras contêm correções de um erro de digitação menor na postagem anterior sem outras alterações, mas o material restante é novo (08/11/99).]
    • Abstract Measures 2 [* Mais do mesmo (pp. 21-45), através da decomposição atômica / contínua, a decomposição absolutamente contínua / singular e o teorema de Radon-Nikodym e algum material espacial de Hilbert. Erros de digitação na postagem original foram corrigidos (27/11/99).]
    • Medidas abstratas 3 [* Conclui o material espacial de Hilbert (pp. 45-51) (30/11/99).]
    • Medidas abstratas 4 [* Produtos de espaços de medida finitos (pp. 52-57) (12/06/99). Essas notas serão concluídas com produtos infinitos de espaços de probabilidade e permanecerão postadas até o semestre da primavera.]
    • Anúncios e materiais de exames:
      • Exame intermediário 28/10/99. Livro fechado. As perguntas serão escolhidas entre as vinte perguntas a seguir. * Observe o erro de digitação na pergunta 4: A função & quotg & quot de duas variáveis ​​foi chamada de & quotf & quot em alguns lugares na primeira postagem dessas perguntas. Isso foi reparado na versão que agora (1855 EDT 14/10/99) postada. Desculpas a todos, obrigado a N. Fefferman por encontrar isso. Também pergunta 14: para um l. s. c. para obter um mínimo finito, deve-se exigir que seja finito em algum lugar. (Reparado em 1815 EDT 19/10/99.) As funções na questão 20 devem ser consideradas mensuráveis.
      • O exame final está marcado para 13h às 16h EST na quarta-feira, 15 de dezembro (mesmo local, Hill 423). Provavelmente podemos ultrapassar o tempo que recebemos no quarto, se necessário, mas não por muito tempo. As perguntas serão tiradas de entre as vinte perguntas habituais: aqui estão elas. Vinte perguntas. Se você não olhou para isso recentemente, verifique os reparos em qq. 13 e 20. (14/12/99)
      • Aqui, agora que a poeira baixou, estão as soluções para as vinte questões apresentadas para a final. Colaboradores incluem Aaron, Aobing, Eva, Jonathan, Kia, Laura, Matt, Michael, Pieter, Sa & # 154a, Stephen e seu humilde servo, que assume a responsabilidade por quaisquer erros no arquivo.

      O (s) asterisco (s) * nas listas anteriores indicam arquivos em tipo pequeno cuja legibilidade em alguns terminais pode ser marginal. É quase certo que você esteja usando um leitor Acrobat para ler esses arquivos: clicar em um ícone de ampliação e selecionar & quotfigurar visível & quot pode melhorar as coisas. Você pode descobrir que a melhor solução para o problema de legibilidade é produzir cópias impressas (ou obtê-las do instrutor, se você não puder produzi-las).

      • Wheeden e Zygmund Ch. 1: 3, 9, 12, 13, 14 (em R ^ n), 17, 18 (use o teorema da estrutura (1.10) não imite a prova do teorema de Tietze para espaços normais ou métricos). Devido - oh, digamos 21/9 ou assim.
      • Os exemplos 2, incluindo problemas W e amp Z do cap. 2. Vencimento por volta de 08/10.
      • Aplicações do Teorema da Categoria de Baire para sua diversão. Sem data de vencimento.
      • Wheeden e Zygmund Ch. 3: 9, 12 (generalize para R ^ n x R ^ m), 13, 14. Estes não são devidos, em vez disso, leia para a prova! Você também pode tentar fazer 27 por um argumento de teorema de categoria sem uma construção explícita. Você precisará de uma norma sobre as funções contínuas de variação limitada de forma que este espaço (vetor normatizado) seja completo na métrica (tente | f (a) | + V [fa, b]).
      • Wheeden e Zygmund Ch. 4: 3, 11, 12, 18, 20. O último deles pode ser estendido para o caso em que E é qualquer subconjunto compacto de R ^ n, uma vez que temos o teorema da extensão de Tietze nessa configuração. Novamente, isso não é devido, nunca, mas achei que seria bom escolher alguns exercícios interessantes deste capítulo e de seu predecessor.
      • Wheeden e Zygmund Ch. 5: 2, 3 (qual é o problema?), 6, 9, 10, 11, 13, 20, 21. Vou escolher alguns desses para entregar após o meio do semestre.

      Nota: Esta versão foi corrigida da versão postada anteriormente. As modificações começam por volta de p. 22, portanto, você não precisa reimprimir nada, exceto o que o Acrobat pensará que estão nas páginas 22–33 (as últimas páginas são marcadas com & quot31-cont. & Quot para manter a consistência mais tarde).


      A teoria da integral / medida de lebesgue é crítica para a admissão na MFE?

      Olá, sou um estudante de graduação em matemática que pretende se inscrever no programa MFE nos EUA e no Reino Unido este ano. E este semestre inicial será meu último semestre na graduação.
      Achei bastante óbvio estudar a teoria da medida / integral de lebesgue neste semestre, pois ouvi dizer que é significativamente benéfico para a matemática financeira rigorosa. Eu também pensei nisso enquanto lia alguns periódicos sobre as pdes estocásticas.
      O problema é que o tempo das aulas se sobrepõe aos cursos obrigatórios para a graduação, que são variáveis ​​complexas, e parece que não tenho escolha a não ser desistir de fazer o curso de teoria da medida, já que o curso de teoria da medida é apenas o curso opcional de graduação.
      Então, eu queria saber se seria prejudicial para a decisão de admissão se eu não tivesse feito este curso. De acordo com o requisito de admissão de cada estado dos sites da MFE, os planos de fundo matemáticos necessários incluem apenas álgebra linear, probabilidade e estatística, cálculo. (E apenas algumas escolas mencionam a análise real que se refere ao PMA de Rudin, não a teoria da medida ou qualquer estudo elaborado sobre Integrais de Lebesgue)
      Alguém poderia dar uma ideia sobre esse assunto? Estou muito nervoso porque isso é algo que eu nunca esperava.


      O Exame Preliminar é oral e dura duas horas. Deve ser cursada até o final do sexto semestre e aprovada até o final do sétimo semestre. O aluno escolhe o Examinador Chefe com o conselho e consentimento do Comitê de Pós-Graduação e com o consentimento do Examinador Chefe proposto. O Examinador Chefe, ao aceitar sua tarefa, implicitamente se oferece para ser o supervisor da dissertação do aluno se o exame for aprovado.

      Nenhum aluno terá permissão para fazer o exame preliminar antes de ser aprovado no Ph.D. Exame Completo Escrito.

      Aproximadamente metade do Exame Preliminar será conduzida pelo examinador chefe, que fará perguntas na área que o aluno escolheu como especialidade. A outra metade do exame será dedicada a perguntas formuladas por outros docentes, sobre dois ou mais temas relacionados com a área de especialização. A descrição exata dos tópicos a serem incluídos no exame é determinada pelo examinador chefe, que também será responsável por designar examinadores para cobrir esses tópicos. A comissão examinadora é composta pelo Examinador Principal, pelos examinadores dos outros tópicos e por qualquer outro corpo docente que deseje participar. Todos os professores presentes podem votar sobre o resultado do exame. O aluno será considerado aprovado se o Examinador Chefe e pelo menos metade dos outros professores presentes votar a favor da aprovação.

      O Exame Preliminar deve ser anunciado pelo menos uma semana antes de sua realização. Embora qualquer membro do corpo docente possa comparecer, o Examinador Chefe, os examinadores elementares e o Presidente de Pós-Graduação (ou seu substituto) devem estar presentes durante todo o exame. O exame será moderado pelo Presidente de Graduação, ou um substituto designado.

      Se reprovado, o exame preliminar pode ser repetido, no todo ou em parte, apenas uma vez. Um aluno reprovado no exame pela segunda vez é automaticamente dispensado do programa. Em caso de repetição do exame, o aluno não é obrigado a ter a mesma banca examinadora, ou a ter os mesmos tópicos. A falha em refazer e passar no exame preliminar no prazo de um semestre resultará na dispensa do programa.

      Um aluno de doutorado que tenha concluído todos os trabalhos do curso para o grau, mas não tenha passado no exame preliminar, deve se inscrever a cada semestre de outono e primavera para 1 hora de semestre do curso número 9994, "Preparação para o Exame Preliminar". O aluno deve estar inscrito no 9994 do semestre em que o exame é realizado, incluindo a sessão de verão. Um aluno que tenha de refazer o exame preliminar total ou parcialmente deve se registrar novamente para 1 hora semestral de 9994 no semestre em que o exame será repetido.

      Regulamentos que regem os exames departamentais

      Repetição de exames: Alunos que buscam aprovação no Ph.D. O requisito de exame abrangente pode fazer cada seção do exame no máximo duas vezes. Um aluno reprovado em uma seção do doutorado. exame duas vezes ainda pode buscar uma aprovação de mestrado no Ph.D. exame ou pode fazer o Exame Completo de Mestrado.


      Intuição

      A integral de Lebesgue funciona calculando o valor de uma integral com base em valores y y y em vez de valores x x x.

      Deixar

      f (x) = <1 4 se 0 ≤ x ≤ 3 4 1 2 se 3 4 & lt x ≤ 1. f (x) = begin frac <1> <4> text 0 leq x leq frac <3> <4> frac <1> <2> text frac <3> < 4> & ltx leq 1. end f (x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 4 1 se 0 ≤ x ≤ 4 3 2 1 se 4 3 & lt x ≤ 1.

      Qual é o valor de ∫ 0 1 f (x) d x int_0 ^ 1 f (x) , dx ∫ 0 1 f (x) d x?

      Este gráfico consiste em dois segmentos de linha, então a área abaixo dele pode ser considerada como dois retângulos, então a integral tem valor 3 4 ⋅ 1 4 + 1 4 ⋅ 1 2 = 5 16. frac <3> <4> cdot frac <1> <4> + frac <1> <4> cdot frac <1> <2> = frac <5> <16>. 4 3 ⋅ 4 1 + 4 1 ⋅ 2 1 = 1 6 5. No entanto, quando usamos a integral de Riemann, na verdade pensamos nisso de maneira um pouco diferente: estamos desenhando muitos retângulos menores e usando-os para "aproximar" os retângulos grandes, embora neste caso a aproximação seja exata.

      A integral de Lebesgue pensa sobre esse problema de uma maneira diferente: a função f f f assume apenas os valores 1 4 frac14 4 1 e 1 2 frac12 2 1, então consideramos o tamanho dos conjuntos nos quais f f f assume esses valores. Eles são 3 4 frac34 4 3 e 1 4 frac14 4 1 respectivamente, então a área total deve ser 1 4 ⋅ 3 4 + 1 2 ⋅ 1 4 = 5 16. □ frac <1> <4> cdot frac <3> <4> + frac <1> <2> cdot frac <1> <4> = frac <5> <16>. _ square 4 1 ⋅ 4 3 + 2 1 ⋅ 4 1 = 1 6 5. □

      Nesse caso, a distinção entre as duas formas de pensar sobre a área não tem sentido, mas, como mostra o exemplo a seguir, nem sempre é assim.

      Em essência, a integral de Lebesgue analisa a frequência com que uma função atinge um determinado valor, em vez do valor de uma função em um ponto específico. De acordo com Reinhard Siegmund-Schultze [1], o próprio Lebesgue explicou essa ideia em uma carta a Paul Montel, escrevendo

      "Tenho que pagar uma certa quantia, que coletei no bolso. Tiro as notas e moedas do bolso e as entrego ao credor na ordem em que as encontro, até atingir a soma total. Esta é a integral de Riemann. Mas posso proceder de forma diferente. Depois de tirar todo o dinheiro do bolso, ordeno as notas e moedas de valores idênticos e pago as várias pilhas, uma após a outra, ao credor. Este é o meu integral."

      Se a equação acima for verdadeira para inteiros positivos de coprime a a a e b b b, encontre a + b a + b a + b.


      A integral de Lebesgue é de fato mais geral do que a integral de Riemann.
      Usando a teoria da medida, também podemos desenvolver a integral de Lebesgue-Stieltjes, e esta é uma generalização da integral de Riemann-Stieltjes.

      Então, sim, o artigo provavelmente poderia ser escrito com Lebesgue em vez de Riemann. Mas pode haver diferenças técnicas entre os dois.

      Existe uma distinção entre & quotIntegração de Lebesgue & quot e & quotintegração em relação à medida de Lebesgue & quot? Minha impressão é que a & quotMedida de Lebesgue & quot na reta do número real é uma medida particular que implementa a noção usual de comprimento, então a medida de um único ponto seria zero. Por outro lado, a & quotIntegração de Lebesgue & quot é definida em relação a uma medida arbitrária?

      Para que a Integração Lebesgue inclua a integração Riemann-Stieljes como um caso especial, é necessário usar outras medidas além da medida Legesgue? (Estou pensando no exemplo específico de definição de uma integração que pode integrar uma função de densidade de probabilidade discreta pelo método de atribuição de medida diferente de zero a certos pontos isolados e transformando & quotintegração & quot em soma.)

      sim. A integração de Lebesgue é definida em relação a uma medida. O procedimento é o mesmo, mas medidas diferentes fornecem integrais diferentes.

      A medida de Lebesgue é derivada da função definida ## m ((a, b]) = b-a ##.
      A medida Stieljes é derivada da função definida ## m (a, b]) = g (b) -g (a) ## para alguma função monotonicamente crescente g.


      Matemática (MATEMÁTICA)

      Esta é uma cópia arquivada do catálogo 2019-2020. Para acessar a versão mais recente do catálogo, visite http://utoledo-public.courseleaf.com.

      Funções e modelagem do MATH 5010 para matemática do ensino médio

      Introdução à teoria das funções por meio da modelagem. Os assuntos incluem funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, interpolação e modelagem de conjuntos de dados por mínimos quadrados e outros métodos. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      Conceitos de cálculo do MATH 5040 para matemática do ensino médio

      Introdução à ideia básica do cálculo. Os assuntos incluem limites, continuidade, a derivada e suas aplicações, integral indefinida e definida, Teorema Fundamental do Cálculo, avaliação de integrais. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      Termo oferecido: Verão

      Conceitos de teoria dos números MATH 5060 para matemática de nível médio

      Introdução à teoria básica dos números. Os assuntos incluem história da teoria dos números, números primos, fatoração única, algoritmo euclidiano, relações pitagóricas, sistemas numéricos e transformações. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      Conceitos de geometria MATH 5070 para matemática do ensino médio

      Geometria descritiva em 2 e 3 dimensões, uso de axiomas e definições nos teoremas de prova, geometria euclidiana formal, transformações. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      MATH 5080 - História da Matemática para Matemática do Ensino Médio

      Estudo da história da matemática desde a antiguidade até o século 20, concentrando-se no desenvolvimento da aritmética, álgebra, geometria e cálculo. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      Conceitos de probabilidade MATH 5110 para matemática de nível médio

      Introdução à teoria da probabilidade, princípios de contagem e combinatória, risco, coincidência, expectativa e probabilidade condicional, distribuições de probabilidade. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      Conceitos de estatística do MATH 5120 para matemática do ensino médio

      Introdução às ideias fundamentais da estatística, incluindo técnicas de amostragem, descritiva, variância, intervalos de confiança, correlação e regressão. Crédito de pós-graduação em matemática apenas para alunos de educação.

      MATH 5220 Teoria de Interesse

      Este curso cobre a medição de juros, certas anuidades, taxas de rendimento, amortização e fundos de amortização, títulos e outros títulos e aplicação da teoria dos juros.

      MATH 5260 Atuarial Mathematics I

      Distribuições de sobrevivência e tábuas de vida, seguro de vida, anuidades de vida, prêmios e reservas de benefícios e funções múltiplas de vida são alguns tópicos abordados neste curso.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Álgebra Linear I MATH 5300

      Teoria dos espaços vetoriais e transformações lineares, incluindo tópicos como matrizes, determinantes, produtos internos, autovalores e autovetores e formas racionais e canônicas de Jordan.

      Termo oferecido: Outono

      Álgebra Linear II MATH 5310

      Operadores normais e de Hermit, formas multilineares, teorema espectral e outros tópicos.

      Pré-requisitos: MATH 5300 com uma nota mínima de D-

      MATH 5330 Resumo Álgebra I

      Aritmética dos inteiros, fatoração única e teoria do grupo aritmético modular incluindo subgrupos normais, grupos de fatores, grupos cíclicos, permutações, homomorfismos, teoremas de isomorfismo, grupos abelianos e p-grupos.

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5340 Abstract Algebra II

      Teoria dos anéis incluindo domínios integrais, campo de quocientes, homomorfismos, ideais, domínios euclidianos, anéis polinomiais, espaços vetoriais, raízes de polinômios e extensões de campo.

      Pré-requisitos: MATH 5330 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Álgebra Linear Aplicada MATH 5350

      Matrizes, sistemas de equações, espaços vetoriais, transformações lineares, determinantes, autovalores e autovetores, inversos generalizados, classificação, métodos numéricos e aplicações em várias áreas da ciência.

      Pré-requisitos: MATH 1890 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Verão

      Estruturas discretas e algoritmos de análise MATH 5380

      Estruturas matemáticas discretas para aplicações em ciência da computação, como teoria dos grafos, combinatória, teoria dos grupos, assintótica, relações de recorrência e análise de algoritmos.

      Pré-requisitos: MATH 3320 com uma nota mínima de D- ou MATH 5330 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5450 Introdução à topologia I

      Espaços métricos, espaços topológicos, mapas contínuos, bases e sub-bases, operadores de fechamento e interiores, produtos, subespaços, somas, quocientes, axiomas de separação, compactação e compactação local.

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Introdução à topologia II do MATH 5460

      Conectividade e conectividade local, convergência, metrização, espaços funcionais. Os grupos fundamentais e suas propriedades, abrangendo espaços, aplicações clássicas, por ex. Teorema da Curva de Jordan, Teorema Fundamental da Álgebra, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

      Pré-requisitos: MATH 5450 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 5540 Geometria Diferencial Clássica I

      Curvas suaves no espaço euclidiano incluindo as fórmulas de Frenet. Superfícies imersas com o mapa de Gauss, curvaturas principais e formas fundamentais. Superfícies especiais incluindo superfícies reguladas e superfícies mínimas.Geometria intrínseca incluindo o Teorema Egregium de Gauss.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Geometria Diferencial Clássica MATH 5550 II

      Tensores, campos vetoriais e a abordagem de Cartan à teoria de superfícies, o Teorema de Bonnet e a construção de superfícies via soluções da Equação de Gauss. Geodésica, transporte paralelo e campos de Jacobi. Teoremas de natureza global como o Teorema de Hilbert ou o Teorema de Hopf-Rinow.

      Pré-requisitos: MATH 5540 com uma nota mínima de D-

      Métodos Estatísticos Avançados MATH 5600 I

      Noções básicas de estatística descritiva, desenhos de estudo e inferência estatística. Propriedades de, e suposições necessárias para, inferência para médias, variâncias e proporções de uma e duas amostras de estudos emparelhados e não emparelhados. Introdução à ANOVA com comparações múltiplas e regressão múltipla. Avaliação e diagnóstico do modelo. Um software estatístico será empregado. Oportunidades para aplicar procedimentos a dados reais. Ênfase colocada nas bases para abordagens em estatísticas introdutórias.

      Termo oferecido: Outono

      Métodos Estatísticos Avançados MATH 5610 II

      Conceitos e métodos estatísticos / bioestatísticos. As categorias de assuntos amplos que podem ser incluídos são desenho do estudo, análise de dados longitudinais, análise de sobrevivência, regressão logística, modelos de efeitos aleatórios e mistos. Outros tópicos aplicáveis ​​aos projetos de consultoria estatística atuais ou relacionados à análise de dados moderna podem ser introduzidos. Um software estatístico apropriado será empregado.

      Pré-requisitos: MATH 5600 com uma nota mínima de C-

      Termo oferecido: Primavera

      Modelos estatísticos lineares MATH 5620

      Regressão múltipla, análise de variância e covariância, modelos lineares gerais e construção de modelos para modelos lineares. Os projetos experimentais incluem projetos unilaterais, blocos aleatórios, quadrados latinos, fatoriais e aninhados.

      Pré-requisitos: MATH 6650 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Teoria MATH 5630 e métodos de pesquisas por amostragem

      A base matemática para a estimativa em vários contextos de amostragem, incluindo probabilidade proporcional ao tamanho da amostra, amostragem estratificada, amostragem por conglomerados em dois estágios e amostragem dupla, é desenvolvida.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      MATH 5640 Statistical Computing

      Computação estatística moderna, incluindo ferramentas de programação, metodologias de programação modernas, design de estruturas de dados e algoritmos, computação numérica e gráficos. Tópicos adicionais selecionados de estudos de simulação, inversão de transformações integrais de probabilidade, amostragem de rejeição, amostragem de importância, integração de Monte Carlo, bootstrapping e otimização.

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5680 - Introdução à Teoria da Probabilidade

      Espaços de probabilidade, variáveis ​​aleatórias, distribuições de probabilidade, momentos e funções geradoras de momentos, teoremas limite, transformações e distribuições amostrais.

      Pré-requisitos: (MATH 3190 com uma nota mínima de D- e MATH 5350 com uma nota mínima de D-)

      Termo oferecido: Verão, outono

      MATH 5690 - Introdução à Estatística Matemática

      Distribuições de amostragem, estimativa de ponto, estimativa de intervalo, teste de hipóteses, regressão e análise de variância.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Métodos de Análise Numérica MATH 5710 I

      Solução numérica de interpolação polinomial aritmética de ponto flutuante de equações não lineares Método de Newton. Os tópicos prováveis ​​incluem: diferenciação numérica e integração resolvendo sistemas de equações lineares Eliminação Gaussiana Decomposição LU Método de Gauss-Seidel.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Métodos MATH 5720 De Análise Numérica II

      Os tópicos prováveis ​​incluem: Computação de autovalores e autovetores resolvendo sistemas de equações não lineares aproximações de mínimos quadrados aproximações racionais splines cúbicas Fast Fourier transforma soluções numéricas para problemas de valor inicial equações diferenciais ordinárias e parciais.

      Pré-requisitos: MATH 5710 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 5740 Advanced Applied Mathematics I

      Séries e soluções numéricas para equações diferenciais ordinárias, funções especiais, funções ortogonais, problemas de Sturm-Liouville, auto-junção, análise vetorial.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5750 Advanced Applied Mathematics II

      Continuação da análise vetorial, introdução à análise complexa, equações diferenciais parciais, séries de Fourier e integrais.

      Pré-requisitos: MATH 5740 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Cálculo Avançado MATH 5780

      Extrema para funções de uma ou mais variáveis, multiplicadores de Lagrange, formas indeterminadas, teoremas de função inversa e implícita, convergências uniformes, séries de potências, transformações, Jacobianos, integrais múltiplos.

      Pré-requisitos: MATH 2850 com uma nota mínima de D-

      Equações diferenciais ordinárias MATH 5800

      Teoria moderna de transformadas de equações diferenciais e teoremas de existência de métodos de matriz e soluções de série e outros tópicos selecionados.

      Pré-requisitos: MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Equações diferenciais parciais MATH 5810

      Equações de primeira e segunda ordem métodos numéricos separação de soluções variáveis ​​de equações de calor e de onda usando técnicas de autofunção e outros tópicos selecionados.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 5820 - Introdução à Análise Real I

      Um tratamento rigoroso do Cálculo em uma e várias variáveis. Tópicos a serem incluídos: as sequências do sistema de números reais e a teoria do espaço métrico elementar em série, incluindo compactação, conectividade e completude do Integral de Riemann

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5830 - Introdução à Análise Real II

      Funções diferenciáveis ​​nos Teoremas da Função Implícita e Inversa sequências e séries de funções contínuas Teorema de Stone-Weierstrass Teorema de Arsela-Ascoli introdução à teoria da medida Integração de Lebesgue o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

      Pré-requisitos: MATH 5820 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 5860 Cálculo de Variações e Teoria de Controle Ótimo I

      Condições para um extremo (equações de Euler, condições de canto de Erdman, condições de Legendre, Jacobi e Weierstrass, campos de extremos, integral invariante de Hilbert)) Método de Raleigh-Ritz problemas isoperimétricos de Lagrange, problemas de Mayer-Bolza. Recomendado: MATH 5820.

      Pré-requisitos: MATH 1890 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 5870 Cálculo de Variações e Teoria de Controle Ótimo II

      Princípio máximo de Pontryagin necessário e condições suficientes para controle ótimo, controlabilidade, controle ótimo de tempo, existência de controles ótimos, relação com o cálculo das variações.

      Pré-requisitos: MATH 5860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Variáveis ​​Complexas MATH 5880

      Funções analíticas Teorema de Cauchy da série de Taylor e Laurent, mapeamentos conformados de integrais de contorno, continuação analítica e aplicações.

      Pré-requisitos: MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Verão

      MATH 5970 Industrial Math Practicum

      Os alunos devem submeter à aprovação do orientador um relatório sobre a solução de um problema prático envolvendo matemática. O problema deve ser retirado de uma empresa, departamento universitário ou unidade governamental.

      Tópicos em matemática de MATH 5980

      Tópicos especiais em matemática.

      Termo oferecido: Primavera Verão

      Programação linear e não linear MATH 6180

      Algoritmo simplex, algoritmo elipsoidal, método de Karmarkar, métodos de pontos interiores, análise convexa elementar, condições de otimalidade e dualidade para problemas suaves, programação convexa, algoritmos e sua convergência.

      Pré-requisitos: MATH 5820 com uma nota mínima de D-

      Otimização Dimensional Infinita MATH 6190

      Introdução à análise não linear, problemas de otimização abstrata em espaços abstratos, aplicações ao cálculo de variações, teoria de controle ótimo e teoria dos jogos.

      Álgebra I da MATEMÁTICA 6300

      Ações de grupo, teoremas de Sylow, grupos de permutação, grupos nilpotentes e solucionáveis, grupos abelianos, anéis, domínios de fatoração únicos, campos.

      Pré-requisitos: MATH 5340 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATEMÁTICA 6310 Álgebra II

      Extensões de campo, teoria de Galois, módulos, anéis Noetherianos e Artinianos, produtos tensores, anéis primitivos, anéis e módulos semi-simples, teorema de Wedderburn-Artin.

      Pré-requisitos: MATH 6300 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Topologia I do MATH 6400

      Espaços topológicos, funções contínuas, compactação, espaços de produto, teorema de Tychonov, espaços quocientes, compactação local, teoria da homotopia, o grupo fundamental, espaços de cobertura.

      Pré-requisitos: MATH 4450 com uma nota mínima de D- ou MATH 5450 com uma nota mínima de D- ou MATH 7450 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Topologia II do MATH 6410

      Teoria da homologia, excisão, álgebra homológica, teorema do ponto fixo de Brouwer, cohomologia, variedades diferenciais, orientação, feixes tangentes, teorema de Sard, teoria do grau.

      Pré-requisitos: MATH 6400 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 6440 Geometria Diferencial I

      Introdução à geometria diferencial. Os tópicos incluem variedades diferenciáveis, campos de vetores, feixes de tensores, o teorema de Frobenius, o teorema de Stokes, grupos de Lie.

      Pré-requisitos: MATH 6410 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Geometria Diferencial II MATH 6450

      Os tópicos incluem conexões em variedades, geometria Riemanniana, o teorema de Gauss-Bonnet. Outros tópicos podem incluir: espaços homogêneos e simétricos, superfícies mínimas, teoria de Morse, teoria da comparação, vetor e feixes principais.

      Pré-requisitos: MATH 6440 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Equações diferenciais ordinárias MATH 6500

      Existência, unicidade e dependência de condições iniciais e parâmetros, sistemas planares não lineares, sistemas lineares, teoria de Floquet, equações de segunda ordem, teoria de Sturm-Liouville.

      Termo oferecido: Verão, outono

      Equações diferenciais parciais MATH 6510

      Sistemas quase lineares de primeira ordem de equações diferenciais parciais, problemas de valor de contorno para a equação de calor e onda, problema de Dirichlet para a equação de Laplace, soluções fundamentais para Laplace, equações de calor e de onda.

      Termo oferecido: Primavera Verão

      Sistemas Dinâmicos MATH 6520 I

      Os tópicos incluem o teorema da caixa de fluxo, mapas de Poincaré, atratores, conjuntos de limite w, estabilidade de Lyapunov, subvariedades invariantes, sistemas hamiltonianos e variedades simpléticas.

      Pré-requisitos: MATH 6500 com uma nota mínima de D-

      Sistemas Dinâmicos MATH 6530 II

      Os tópicos podem incluir bifurcações locais de campos de vetores, estabilidade global, teoremas ergódicos, sistemas integráveis, dinâmica simbólica, teoria do caos.

      Pré-requisitos: MATH 6520 com uma nota mínima de D-

      Consultoria Estatística MATH 6600

      Aplicações reais de dados de vários métodos estatísticos, concepção e análise de projetos, incluindo experiência em consultoria estatística. Pode ser repetido por crédito.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Consultoria Estatística MATH 6610 II

      Aplicações reais de dados de vários métodos estatísticos, concepção e análise de projetos, incluindo experiência em consultoria estatística.

      Termo oferecido: Primavera

      Análise de dados categóricos MATH 6620

      Métodos importantes e técnicas de modelagem usando modelos lineares generalizados e enfatizando a modelagem loglinear e logit.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Estatísticas não paramétricas MATH 6630

      Métodos estatísticos baseados em métodos de contagem e classificação projetados para serem eficazes na presença de dados contaminados ou erros de especificação de distribuição de erros.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de C-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Tópicos em estatísticas do MATH 6640

      Tópicos selecionados a partir de uma variedade de métodos estatísticos modernos, como análise de sobrevivência, regressão não linear, métodos de Monte Carlo, etc.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Inferência Estatística MATH 6650

      Estimativa, teste de hipótese, previsão, estatística suficiente, teoria da estimativa e teste de hipótese, inferência simultânea, modelos teóricos de decisão.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 6670 Medir Probabilidade Teórica

      Análise real, espaços e medidas de probabilidade, variáveis ​​aleatórias e funções de distribuição, independência, expectativa, lei dos grandes números, teorema do limite central, leis zero-um, funções características, expectativas condicionais dadas uma s-álgebra, martingales.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Teoria da Estatística MATEMÁTICA 6680

      Famílias exponenciais, suficiência, completude, otimalidade, equivariância, eficiência. Estimativa bayesiana e minimax. Testes imparciais e invariantes, testes uniformemente mais poderosos. Propriedades assintóticas para estimativa e teste. Intervalos de confiança mais precisos.

      Pré-requisitos: MATH 5960 com uma nota mínima de D- ou (MATH 6650 com uma nota mínima de D- e MATH 6670 com uma nota mínima de D-)

      Termo oferecido: Primavera

      Estatísticas multivariadas MATH 6690

      Distribuições amostrais normais multivariadas, testes T e MANOVA, testes em matrizes de covariância, inferência simultânea, análise discriminante, componentes principais, análise de cluster e análise fatorial.

      Pré-requisitos: MATH 5690 com uma nota mínima de D- ou MATH 6650 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 6720 Métodos de Física Matemática I

      Funções analíticas, resíduos, método da descida mais íngreme, equações diferenciais complexas, singularidades regulares, representação integral, espaços vetoriais reais e complexos, grupos de matrizes, espaços de Hilbert, transformações de coordenadas.

      Termo oferecido: Outono

      MATH 6730 Métodos de Física Matemática II

      Operadores auto-adjuntos, funções especiais, polinômios ortogonais, equações diferenciais parciais e separação de variáveis, problemas de valor de contorno, funções de Green, equações integrais, análise de tensores, métricas e curvatura, cálculo de variações, grupos finitos e representações de grupos.

      Pré-requisitos: MATH 6720 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Análise Real MATH 6800 I

      Completude, conectividade e compactação em espaços métricos, continuidade e convergência, teorema de Stone-Weierstrass, medida de Lebesgue e integração na linha real, teoremas de convergência, teoremas de Egorov e Lusin, derivadas, funções de variação limitada.

      Pré-requisitos: MATH 4830 com uma nota mínima de D- ou MATH 5830 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise Real II do MATH 6810

      Teorema de cobertura de Vitali, funções absolutamente contínuas, integração de Lebesgue-Stieltjes, teorema de representação de Riesz, espaços de Banach, espaços Lp, medidas abstratas, teorema de Radon-Nikodym, medidas em espaços de Hausdorff localmente compactos.

      Pré-requisitos: MATH 6800 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Análise Funcional MATH 6820 I

      Os tópicos incluem espaços vetoriais topológicos, espaços de Banach, convexidade, o teorema de Hahn-Banch, topologias fracas e fortes, espaços Lp e dualidade.

      Pré-requisitos: MATH 6810 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise Funcional II do MATH 6830

      Os tópicos incluem o Teorema de Mackey-Ahrens, álgebras de Banach, espectros em álgebras de Banach, álgebras de Banach comutativas, operadores ilimitados, o teorema espectral, tópicos de análise funcional.

      Pré-requisitos: MATH 6820 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Análise Complexa MATH 6840 I

      Funções analíticas elementares, integração complexa, teorema do resíduo, sequências infinitas de funções analíticas, expansões de Laurent, funções inteiras.

      Pré-requisitos: MATH 6800 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise do Complexo MATH 6850 II

      Funções meromórficas, mapeamento conforme, funções harmônicas e o problema de dirichlet, teorema de mapeamento de Riemann, monodromia, funções algébricas, superfícies de Riemann, funções elípticas e a função modular.

      Pré-requisitos: MATH 6840 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 6860 Medir Probabilidade Teórica I

      Concentre-se na teoria da medida e probabilidade. Medidas e suas extensões, integração, teoremas de convergência, medidas de produto. Espaços de probabilidade, variáveis ​​aleatórias e funções de distribuição, independência, expectativa, lei dos grandes números, teorema do limite central, leis zero-um, funções características.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Co-requisitos: MATH 6800

      Análise não linear I de MATH 6870

      O instrutor selecionará um subconjunto entre os seguintes tópicos: Teoria dos graus de dimensão finita, algumas aplicações para equações não lineares. Preliminares sobre teoria do operador e cálculo diferencial em espaços normados Grau topológico em espaços de Banach (teorema de ponto fixo de Schuder e teoria de Leray-Schauder), não ressonância e grau topológico, condições e variações de Lazer-Leach, técnicas variacionais, incluindo o princípio de Ekeland e suas aplicações Teorema de Mountain Pass, ressonância e soluções periódicas, Teoria de Lusternik-Schnirelmann, Teorema de Poincare'-Birkhoff. Teoria da bifurcação: lema de Morse e suas aplicações. Teorema de Rabinowitz e teorema de Krasnoselski e suas aplicações. Estabilidade das soluções e número de soluções globais para um problema não linear.

      Pré-requisitos: MATH 6500 com uma nota mínima de D- e MATH 6510 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise Não Linear II MATH 6880

      O instrutor selecionará um subconjunto entre os seguintes tópicos: Teoria da perturbação geométrica singular. Outros métodos topológicos: extensões do grau de Leray-Schauder e aplicações a equações diferenciais parciais. Teorema do cobordismo enquadrado e cohomotopia estável. Aplicações à existência de soluções globais. Operadores monótonos e teorema mini-max. Teoremas de funções implícitas generalizadas, KAM e problemas de conjugação.Teoria dos Pontos Críticos e Sistemas Hamiltonianos Métodos de Grau Topológico em Problemas de Valor Limite Não Linear Formas normais, redução da variedade central e bifurcações em sistemas dinâmicos de dimensão infinita.

      Pré-requisitos: MATH 6500 com uma nota mínima de D- e MATH 6510 com uma nota mínima de D- e MATH 6870 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Colóquio MATH 6930

      Palestras ministradas por matemáticos visitantes e membros da equipe sobre áreas de interesse atual em matemática.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      MATH 6940 Proseminar

      Problemas e técnicas de ensino de matemática no ensino fundamental, ensino supervisionado, seminário em métodos de preparação.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Tese de Mestrado MATH 6960

      Tópicos de MATH 6980 em ciências matemáticas

      Tópicos especiais em matemática ou estatística.

      Termo oferecido: Primavera, verão, outono

      MATEMÁTICA 6990 Leituras em matemática

      Leituras em áreas da Matemática de interesse mútuo do aluno e do professor.

      Termo oferecido: Primavera, verão, outono

      Álgebra Linear I MATH 7300

      Teoria dos espaços vetoriais e transformações lineares, incluindo tópicos como matrizes, determinantes, produtos internos, autovalores e autovetores e formas racionais e canônicas de Jordan.

      Termo oferecido: Outono

      Álgebra Linear II MATH 7310

      Operadores normais e de Hermit, formas multilineares, teorema espectral e outros tópicos.

      Pré-requisitos: MATH 5300 com uma nota mínima de D-

      MATEMÁTICA 7330 Álgebra Abstrata I

      Aritmética dos inteiros, fatoração única e teoria do grupo aritmético modular incluindo subgrupos normais, grupos de fatores, grupos cíclicos, permutações, homomorfismos, teoremas de isomorfismo, grupos abelianos e p-grupos.

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7340 Abstract Algebra II

      Teoria dos anéis incluindo domínios integrais, campo de quocientes, homomorfismos, ideais, domínios euclidianos, anéis polinomiais, espaços vetoriais, raízes de polinômios e extensões de campo.

      Pré-requisitos: MATH 5330 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Álgebra Linear Aplicada MATH 7350

      Matrizes, sistemas de equações, espaços vetoriais, transformações lineares, determinantes, autovalores e autovetores, inversos generalizados, classificação, métodos numéricos e aplicações em várias áreas da ciência.

      Pré-requisitos: MATH 1890 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Estruturas discretas e algoritmos de análise MATH 7380

      Estruturas matemáticas discretas para aplicações em ciência da computação, como teoria dos grafos, combinatória, teoria dos grupos, assintótica, relações de recorrência e análise de algoritmos.

      Pré-requisitos: MATH 3320 com uma nota mínima de D- ou MATH 5330 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7450 - Introdução à topologia I

      Espaços métricos, espaços topológicos, mapas contínuos, bases e sub-bases, operadores de fechamento e interiores, produtos, subespaços, somas, quocientes, axiomas de separação, compactação e compactação local.

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Introdução à topologia II do MATH 7460

      Conectividade e conectividade local, convergência, metrização, espaços funcionais. Os grupos fundamentais e suas propriedades, abrangendo espaços, aplicações clássicas, por ex. Teorema da Curva de Jordan, Teorema Fundamental da Álgebra, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

      Pré-requisitos: MATH 5450 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 7540 Geometria Diferencial Clássica I

      Curvas suaves no espaço euclidiano incluindo as fórmulas de Frenet. Superfícies imersas com o mapa de Gauss, curvaturas principais e formas fundamentais. Superfícies especiais incluindo superfícies reguladas e superfícies mínimas. Geometria intrínseca incluindo o Teorema Egregium de Gauss.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Geometria Diferencial Clássica MATH 7550 II

      Tensores, campos vetoriais e a abordagem de Cartan à teoria de superfícies, o Teorema de Bonnet e a construção de superfícies via soluções da Equação de Gauss. Geodésica, transporte paralelo e campos de Jacobi. Teoremas de natureza global como o Teorema de Hilbert ou o Teorema de Hopf-Rinow.

      Pré-requisitos: MATH 5540 com uma nota mínima de D-

      Métodos Estatísticos Avançados MATH 7600 I

      Noções básicas de estatística descritiva, desenhos de estudo e inferência estatística. Propriedades de, e suposições necessárias para, inferência para médias, variâncias e proporções de uma e duas amostras de estudos emparelhados e não emparelhados. Introdução à ANOVA com comparações múltiplas e regressão logística e múltipla. Avaliação e diagnóstico do modelo. Um software estatístico será empregado. Oportunidades para aplicar procedimentos a dados reais. Ênfase colocada nas bases para abordagens em estatísticas introdutórias.

      Termo oferecido: Outono

      Métodos Estatísticos Avançados MATH 7610 II

      Conceitos e métodos estatísticos / bioestatísticos. As categorias de assuntos amplos que podem ser incluídos são projeto de estudo, análise de dados longitudinais, análise de sobrevivência, regressão logística, modelos de efeitos aleatórios e mistos e estatísticas Bayesianas. Outros tópicos aplicáveis ​​aos projetos de consultoria estatística atuais ou relacionados à análise de dados moderna podem ser introduzidos. Um software estatístico apropriado será empregado.

      Pré-requisitos: MATH 5600 com uma nota mínima de C-

      Termo oferecido: Primavera

      Modelos estatísticos lineares MATH 7620

      Regressão múltipla, análise de variância e covariância, modelos lineares gerais e construção de modelos para modelos lineares. Os projetos experimentais incluem projetos unilaterais, blocos aleatórios, quadrados latinos, fatoriais e aninhados.

      Pré-requisitos: MATH 6650 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Teoria MATH 7630 e métodos de pesquisas por amostragem

      A base matemática para a estimativa em vários contextos de amostragem, incluindo probabilidade proporcional ao tamanho da amostra, amostragem estratificada, amostragem por conglomerados em dois estágios e amostragem dupla, é desenvolvida.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Computação Estatística MATH 7640

      Computação estatística moderna, incluindo ferramentas de programação, metodologias de programação modernas, design de estruturas de dados e algoritmos, computação numérica e gráficos. Tópicos adicionais selecionados de estudos de simulação, inversão de transformações integrais de probabilidade, amostragem de rejeição, amostragem de importância, integração de Monte Carlo, bootstrapping e otimização.

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7680 - Introdução à Teoria da Probabilidade

      Espaços de probabilidade, variáveis ​​aleatórias, distribuições de probabilidade, momentos e funções geradoras de momentos, teoremas limite, transformações e distribuições amostrais.

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7690 - Introdução à Estatística Matemática

      Distribuições de amostragem, estimativa de ponto, estimativa de intervalo, teste de hipóteses, regressão e análise de variância.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Métodos de análise numérica MATH 7710 I

      Solução numérica de interpolação polinomial aritmética de ponto flutuante de equações não lineares Método de Newton. Os tópicos prováveis ​​incluem: diferenciação numérica e integração resolvendo sistemas de equações lineares Eliminação Gaussiana Decomposição LU Método de Gauss-Seidel.

      Termo oferecido: Outono

      Métodos MATH 7720 De Análise Numérica II

      Os tópicos prováveis ​​incluem: Computação de autovalores e autovetores resolvendo sistemas de equações não lineares aproximações de mínimos quadrados aproximações racionais splines cúbicas Fast Fourier transforma soluções numéricas para problemas de valor inicial equações diferenciais ordinárias e parciais.

      Pré-requisitos: MATH 5710 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 7740 Advanced Applied Mathematics I

      Séries e soluções numéricas para equações diferenciais ordinárias, funções especiais, funções ortogonais, problemas de Sturm-Liouville, auto-junção, análise vetorial.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7750 Advanced Applied Mathematics II

      Continuação da análise vetorial, introdução à análise complexa, equações diferenciais parciais, séries de Fourier e integrais.

      Pré-requisitos: MATH 5740 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Equações diferenciais ordinárias MATH 7800

      Teoria moderna de transformadas de equações diferenciais e teoremas de existência de métodos de matriz e soluções de série e outros tópicos selecionados.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Equações diferenciais parciais MATH 7810

      Equações de primeira e segunda ordem métodos numéricos separação de soluções variáveis ​​de equações de calor e de onda usando técnicas de autofunção e outros tópicos selecionados.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D- ou MATH 2860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 7820 - Introdução à Análise Real I

      Um tratamento rigoroso do Cálculo em uma e várias variáveis. Tópicos a serem incluídos: as sequências do sistema de números reais e a teoria do espaço métrico elementar em série, incluindo compactação, conectividade e completude do Integral de Riemann

      Pré-requisitos: MATH 3190 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 7830 - Introdução à Análise Real II

      Funções diferenciáveis ​​nos Teoremas da Função Implícita e Inversa sequências e séries de funções contínuas Teorema de Stone-Weierstrass Teorema de Arsela-Ascoli introdução à teoria da medida Integração de Lebesgue o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

      Pré-requisitos: MATH 5820 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 7860 Cálculo de variações e teoria de controle ideal I

      Condições para um extremo (equações de Euler, condições de canto de Erdman, condições de Legendre, Jacobi e Weierstrass, campos de extremais, integral invariante de Hilbert) Método de Raleigh-Ritz problemas isoperimétricos de Lagrange, problemas de Mayer-Bolza.

      Pré-requisitos: MATH 5820 com uma nota mínima de D-

      MATH 7870 Cálculo de variações e teoria de controle ideal II

      Princípio máximo de Pontryagin necessário e condições suficientes para controle ótimo, controlabilidade, controle ótimo de tempo, existência de controles ótimos, relação com o cálculo das variações.

      Pré-requisitos: MATH 5860 com uma nota mínima de D-

      Variáveis ​​Complexas MATH 7880

      Funções analíticas Teorema de Cauchy da série de Taylor e Laurent, mapeamentos conformados de integrais de contorno, continuação analítica e aplicações.

      Pré-requisitos: MATH 3860 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Tópicos em matemática do MATH 7980

      Tópicos especiais em matemática.

      Programação linear e não linear MATH 8180

      Algoritmo simplex, algoritmo elipsoidal, método de Karmarkar, métodos de pontos interiores, análise convexa elementar, condições de otimalidade e dualidade para problemas suaves, programação convexa, algoritmos e sua convergência.

      Pré-requisitos: MATH 5820 com uma nota mínima de D- ou MATH 7820 com uma nota mínima de D-

      Otimização Dimensional Infinita MATH 8190

      Introdução à análise não linear, problemas de otimização abstrata em espaços abstratos, aplicações ao cálculo de variações, teoria de controle ótimo e teoria dos jogos.

      Pré-requisitos: MATH 6150 com uma nota mínima de D- ou MATH 6810 com uma nota mínima de D- ou MATH 8150 com uma nota mínima de D- ou MATH 8810 com uma nota mínima de D-

      MATEMÁTICA 8300 Álgebra I

      Ações de grupo, teoremas de Sylow, grupos de permutação, grupos nelpotentes e solucionáveis, grupos abelianos, anéis, domínios de fatoração únicos, campos.

      Pré-requisitos: MATH 5340 com uma nota mínima de D- ou MATH 7340 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8310 Algebra II

      Extensões de campo, teoria de Galois, módulos, anéis Noetherianos e Artinianos, produtos tensores, anéis primitivos, anéis semi-simples e módulos, o teorema de Wedderburn-Artin.

      Pré-requisitos: MATH 6300 com uma nota mínima de D- ou MATH 8300 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Teoria do Anel MATH 8320 I

      Teoria radical, anéis de quocientes, Teorema de Goldie, condições da cadeia, dimensões dos anéis, teoria dos módulos, tópicos em anéis comutativos.

      Pré-requisitos: MATH 6310 com uma nota mínima de D- ou MATH 8310 com uma nota mínima de D-

      MATH 8330 Ring Theory II

      Tópicos avançados em teoria dos anéis. Os tópicos possíveis incluem anéis de grupo, álgebras envolventes, sequências quase divididas, anéis PI, anéis de divisão, anéis autoinjetivos e anéis ordenados.

      Pré-requisitos: MATH 6310 com uma nota mínima de D- ou MATH 8310 com uma nota mínima de D-

      MATH 8340 Grupo Teoria I

      Tópicos fundamentais da teoria dos grupos. Os tópicos possíveis incluem grupos livres, apresentações, produtos livres e amálgamas, grupos de permutação, grupos abelianos, grupos nilpotentes e solucionáveis, subnormalidade, extensões, o teorema de Schur-Zassenhaus, o homomorfismo de transferência, métodos lineares, análise local.

      Pré-requisitos: MATH 6310 com uma nota mínima de D- ou MATH 8310 com uma nota mínima de D-

      Teoria de Grupo MATH 8350 II

      Tópicos avançados em teoria de grupo. Os tópicos possíveis incluem cohomologia de grupos, grupos localmente finitos, teoria do caráter, teoria da representação modular, teoria da representação de grupos simétricos e clássicos, grupos simples finitos, teoria dos grupos geométricos.

      Pré-requisitos: MATH 6310 com uma nota mínima de D- ou MATH 8310 com uma nota mínima de D-

      Topologia I do MATH 8400

      Espaços topológicos, funções contínuas, compactação, espaços de produto, teorema de Tychonov, espaços quocientes, compactação local, teoria da homotopia, o grupo fundamental, espaços de cobertura.

      Pré-requisitos: MATH 7450 com uma nota mínima de D- ou MATH 4450 com uma nota mínima de D- ou MATH 5450 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Topologia II do MATH 8410

      Teoria da homologia, excisão, álgebra homológica, teorema do ponto fixo de Brouwer, cohomologia, variedades diferenciais, orientação, feixes tangentes, teorema de Sard, teoria do grau.

      Pré-requisitos: MATH 6400 com uma nota mínima de D- ou MATH 8400 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 8440 Geometria Diferencial I

      Introdução à geometria diferencial. Os tópicos incluem variedades diferenciáveis, campos de vetores, feixes de tensores, o teorema de Frobenius, o teorema de Stokes, grupos de Lie.

      Pré-requisitos: MATH 6410 com uma nota mínima de D- ou MATH 8410 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8450 Geometria Diferencial II

      Os tópicos incluem conexões em variedades, geometria Riemanniana, o teorema de Gauss-Bonnet. Outros tópicos podem incluir: espaços homogêneos e simétricos, superfícies mínimas. Teoria de Morse, teoria da comparação, vetores e feixes principais.

      Pré-requisitos: MATH 6440 com uma nota mínima de D- ou MATH 8440 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Equações diferenciais ordinárias MATH 8500

      Existência, unicidade e dependência de condições iniciais e parâmetros, sistemas planares não lineares, sistemas lineares, teoria de Floquet, equações de segunda ordem, teoria de Sturm-Liouville.

      Termo oferecido: Outono

      Equações diferenciais parciais MATH 8510

      Sistemas quase lineares de primeira ordem de equações diferenciais parciais, problemas de valor de contorno para a equação de calor e onda, problema de Dirichlet para a equação de Laplace, soluções fundamentais para Laplace, equações de calor e de onda.

      Termo oferecido: Primavera

      Sistemas Dinâmicos MATH 8520 I

      Os tópicos incluem o teorema da caixa de fluxo, mapas de Poincare, atratores, conjuntos de limite w, estabilidade de Lyapunov, subvariedades invariantes, sistemas hamiltonianos e variedades simpléticas.

      Pré-requisitos: MATH 6500 com uma nota mínima de D- ou MATH 8500 com uma nota mínima de D-

      Sistemas Dinâmicos MATH 8530 II

      Os tópicos podem incluir bifurcações locais de campos de vetores, estabilidade global, teoremas ergódicos, sistemas integráveis, dinâmica simbólica, teoria do caos.

      Pré-requisitos: MATH 6520 com uma nota mínima de D- ou MATH 8520 com uma nota mínima de D-

      MATH 8540 Equações diferenciais parciais I

      Os tópicos possíveis podem incluir: o Teorema de Cauchy-Kovalevskaya, equações diferenciais parciais não lineares de primeira ordem, teoria dos espaços de Sobolev, PDEs lineares de segunda ordem do tipo elíptico, hiperbólico e parabólico.

      Pré-requisitos: MATH 6510 com uma nota mínima de D- ou MATH 8510 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8550 Equações diferenciais parciais II

      Tópicos selecionados em Equações diferenciais parciais de interesse atual, enfatizando a teoria não linear. Os tópicos possíveis podem incluir: Superfícies mínimas, aplicações do princípio do máximo de Hopf, problemas de valor limite livre, mapas harmônicos, equações de evolução geométrica e a equação de Navier-Stokes.

      Pré-requisitos: MATH 6540 com uma nota mínima de D- ou MATH 8540 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Consultoria Estatística MATH 8600

      Aplicações reais de dados de vários métodos estatísticos, concepção e análise de projetos, incluindo experiência em consultoria estatística. Pode ser repetido por crédito.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      MATH 8610 Consultoria Estatística II

      Aplicações reais de dados de vários métodos estatísticos, concepção e análise de projetos, incluindo experiência em consultoria estatística.

      Termo oferecido: Primavera

      Análise de dados categóricos MATH 8620

      Métodos importantes e técnicas de modelagem usando modelos lineares generalizados e enfatizando a modelagem loglinear e logit.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D- ou MATH 7680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Estatísticas não paramétricas MATH 8630

      Métodos estatísticos baseados em métodos de contagem e classificação projetados para serem eficazes na presença de dados contaminados ou erros de especificação de distribuição de erros.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de C- ou MATH 7680 com uma nota mínima de C-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      MATH 8640 Tópicos em estatísticas

      Tópicos selecionados a partir de uma variedade de métodos estatísticos modernos, como análise de sobrevivência, regressão não linear, métodos de Monte Carlo, etc.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Inferência Estatística MATH 8650

      Estimativa, teste de hipótese, previsão, estatística suficiente, teoria da estimativa e teste de hipótese, inferência simultânea, modelos teóricos de decisão.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D- ou MATH 7680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8670 Medir Probabilidade Teórica

      Análise real, espaços e medidas de probabilidade, variáveis ​​aleatórias e funções de distribuição, independência, expectativa, lei dos grandes números, teorema do limite central, leis zero-um, funções características, expectativas condicionais dadas uma s-álgebra, martingales.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D- ou MATH 7680 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8680 Teoria da Estatística

      Famílias exponenciais, suficiência, completude, otimalidade, equivariância, eficiência. Estimativa bayesiana e minimax. Testes imparciais e invariantes, testes uniformemente mais poderosos. Propriedades assintóticas para estimativa e teste. Intervalos de confiança mais precisos.

      Termo oferecido: Primavera

      Estatísticas multivariadas MATH 8690

      Distribuições amostrais normais multivariadas, testes T e MANOVA, testes em matrizes de covariância, inferência simultânea, análise discriminante, componentes principais, análise de cluster e análise fatorial.

      Pré-requisitos: MATH 5690 com uma nota mínima de D- ou MATH 6650 com uma nota mínima de D- ou MATH 8650 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      MATH 8720 Métodos de Física Matemática I

      Funções analíticas, resíduos, método da descida mais íngreme, equações diferenciais complexas, singularidades regulares, representação integral, espaços vetoriais reais e complexos, grupos de matrizes, espaços de Hilbert, transformações de coordenadas.

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8730 Métodos de Física Matemática II

      Operadores auto-adjuntos, funções especiais, polinômios ortogonais, equações diferenciais parciais e separação de variáveis, problemas de valor de contorno, funções de Green, equações integrais, análise de tensores, métricas e curvatura, cálculo de variações, grupos finitos e representações de grupos.

      Pré-requisitos: MATH 6720 com uma nota mínima de D- ou MATH 8720 com uma nota mínima de D-

      Análise Real MATH 8800 I

      Completude, conectividade e compactação em espaços métricos, continuidade e convergência, teorema de Stone-Weierstrass, medida de Lebesgue e integração na linha real, teoremas de convergência, teoremas de Egorov e de Lusin, derivadas, funções de variação limitada.

      Pré-requisitos: MATH 7830 com uma nota mínima de D- ou MATH 4830 com uma nota mínima de D- ou MATH 5830 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise Real II do MATH 8810

      Teorema de cobertura de Vitali, funções absolutamente contínuas, integração de Lebesgue-Stieltjes, teorema de representação de Reisz, espaços de Banach, espaços Lp, medidas abstratas, teorema de Radon-Nikodym, medidas em espaços de Hausdorff localmente compactos.

      Pré-requisitos: MATH 6800 com uma nota mínima de D- ou MATH 8800 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Análise Funcional MATH 8820 I

      Os tópicos incluem espaços vetoriais topológicos, espaços de Banach, convexidade, o teorema de Hahn-Banach, topologias fracas e fortes, espaços Lp e dualidade.

      Pré-requisitos: MATH 6810 com uma nota mínima de D- ou MATH 8810 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise Funcional II do MATH 8830

      Os tópicos incluem o Teorema de Mackey-Ahrens, álgebras de Banach, espectros em álgebras de Banach, álgebras de Banach comutativas, operadores ilimitados, o teorema espectral, tópicos de análise funcional.

      Pré-requisitos: MATH 6820 com uma nota mínima de D- ou MATH 8820 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Análise Complexa MATH 8840 I

      Funções analíticas elementares, integração complexa, teorema do resíduo, sequências infinitas de funções analíticas, expansões de Laurent, funções inteiras.

      Pré-requisitos: MATH 6800 com uma nota mínima de D- ou MATH 8800 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      Análise do Complexo MATH 8850 II

      Funções meromórficas, mapeamento conforme, funções harmônicas e o problema de Dirichlet, teorema do mapeamento de Riemann, monodromia, funções algébricas, superfícies de Riemann, funções elípticas e a função modular.

      Pré-requisitos: MATH 6840 com uma nota mínima de D- ou MATH 8840 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Análise não linear I do MATH 8860

      Grau topológico em espaços de Banach (teorema de ponto fixo de Schuder e teoria de Leray-Schauder), grau de não ressonância e topológico, condições e variações de Lazer-Leach, técnicas variacionais incluindo princípio de Ekeland e suas aplicações e teorema de Mountain Pass, ressonância e soluções periódicas, Lusternik -Schnirelmann Theory, Poincare'-Birkhoff Theorem. Teoria da bifurcação: lema de Morse e suas aplicações. Teorema de Rabinowitz e teorema de Krasnoselski e suas aplicações. Estabilidade das soluções e número de soluções globais para um problema não linear.

      Pré-requisitos: MATH 8500 com uma nota mínima de D- e MATH 8510 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Outono

      MATH 8870 Medir Probabilidade Teórica II

      Foco em processos estocásticos. Expectativas condicionais, martingales, passeios aleatórios, cadeias de markov, teorema ergódico, movimento browniano.

      Pré-requisitos: MATH 5680 com uma nota mínima de D- e MATH 6860 com uma nota mínima de D- e MATH 8860 com uma nota mínima de D-

      Co-requisitos: MATH 6800

      Análise Não Linear II MATH 8880

      O instrutor com base em seus interesses e nos interesses e necessidades dos alunos participantes do curso selecionará um subconjunto entre os seguintes tópicos: Teoria da perturbação geométrica singular Outros métodos topológicos: extensões do grau Leray-Schauder e aplicações a equações diferenciais parciais. Teorema do cobordismo enquadrado e cohomotopia estável. Aplicações à existência de soluções globais. Operadores monótonos e teorema mini-max. Teoremas de funções implícitas generalizadas, KAM e problemas de conjugação. Teoria dos pontos críticos e sistemas hamiltonianos.

      Pré-requisitos: MATH 8500 com uma nota mínima de D- e MATH 8510 com uma nota mínima de D- e MATH 8870 com uma nota mínima de D-

      Termo oferecido: Primavera

      Problemas do MATH 8890 em álgebra, topologia e análise

      Prática na resolução de problemas em álgebra de pós-graduação, topologia e análise. Suplementa 6300-10, 6400-10 e 6800-10 e prepara os alunos para o exame de qualificação de doutorado.

      Colóquio MATH 8930

      Palestras ministradas por matemáticos visitantes e membros da equipe sobre áreas de interesse atual em matemática.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      MATH 8940 Proseminar

      Problemas e técnicas de ensino de matemática no ensino fundamental, ensino supervisionado, seminário em métodos de preparação.

      Termo oferecido: Primavera Outono

      Dissertação MATH 8960

      Tópicos de MATH 8980 em ciências matemáticas

      Tópicos especiais em matemática ou estatística.

      Termo oferecido: Primavera, verão, outono

      MATEMÁTICA 8990 Leituras em matemática

      Leituras em áreas da Matemática de interesse mútuo do aluno e do professor.

      Termo oferecido: Primavera, verão, outono

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      Assista o vídeo: Sea f Lebesgue-Medible en 0,1 Demuestra que fdμ 1fdμ 1 Teoría de la Medida (Novembro 2021).