Artigos

2.4: Vibrações Mecânicas - Matemática


Vejamos algumas aplicações de equações lineares de coeficientes constantes de segunda ordem.

2.4.1 Alguns exemplos

Nosso primeiro exemplo é uma massa sobre uma mola. Suponha que temos uma massa (m> 0 ) (em quilogramas) conectada por uma mola com constante de mola (k> 0 ) (em newtons por metro) a uma parede fixa. Pode haver alguma força externa (F (t) ) (em newtons) agindo sobre a massa. Finalmente, há algum atrito medido por (c geq 0 ) (em newton-segundos por metro) conforme a massa desliza ao longo do chão (ou talvez haja um amortecedor conectado).

Seja (x ) o deslocamento da massa ( (x = 0 ) é a posição de repouso), com (x ) crescendo para a direita (longe da parede). A força exercida pela mola é proporcional à compressão da mola pela lei de Hooke. Portanto, é (kx ) na direção negativa. Da mesma forma, a quantidade de força exercida pelo atrito é proporcional à velocidade da massa. Pela segunda lei de Newton, sabemos que a força é igual à massa vezes a aceleração e, portanto, (mx '' = F (t) - cx '- kx ) ou

[mx '' + cx '+ kx = F (t) ]

Este é um coeficiente constante linear de segunda ordem ODE. Estabelecemos alguma terminologia sobre esta equação. Dizemos que o movimento é

  1. forçado, if (F not equiv 0 ) (if (F ) não é identicamente zero),
  2. não forçado ou livre, se (F equiv 0 ) (se (F ) for igual a zero),
  3. amortecido, se (c> 0 ), e
  4. sem amortecimento, se (c = 0 ).

Figura 2.1: Os gráficos de ( sin theta ) e ( theta ) (em radianos).

Portanto, quando as oscilações são pequenas, ( theta ) é sempre pequeno e podemos modelar o comportamento pela equação linear mais simples

[{ theta} '' + dfrac {g} {L} theta = 0 ]

Observe os erros que obtemos com a construção da aproximação. Portanto, depois de muito tempo, o comportamento do sistema real pode ser substancialmente diferente de nossa solução. Também veremos que em um sistema massa-mola, a amplitude é independente do período. Isso não é verdade para um pêndulo. No entanto, por períodos de tempo razoavelmente curtos e pequenas oscilações (por exemplo, se o pêndulo for muito longo), a aproximação é razoavelmente boa.

Em problemas do mundo real, muitas vezes é necessário fazer esse tipo de simplificação. Portanto, é bom entender a matemática e a física da situação para ver se a simplificação é válida no contexto das questões que estamos tentando responder.

2.4.2 Movimento livre sem amortecimento

Nesta seção, consideraremos apenas o movimento livre ou não forçado, pois ainda não podemos resolver equações não homogêneas. Vamos começar com movimento não amortecido, onde (c = 0 ). Nós temos a equação

[mx '' + kx = 0 ]

Se dividirmos por (m ) e deixarmos (w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}} ), então podemos escrever a equação como

[x '' + w ^ 2_0 x = 0 ]

A solução geral para esta equação é

[x (t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

Por uma identidade trigonométrica, temos que para duas constantes diferentes (C ) e ( gamma ), temos

[A cos (w_0t) + B sin (w_0t) = C cos (w_0t - gamma) ]

Não é difícil calcular que (C = sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} ) e ( tan gamma = dfrac {B} {A} ). Portanto, deixamos (C ) e ( gamma ) serem nossas constantes arbitrárias e escrevemos (x (t) = C cos (w_0t - gamma) ).

Exercício ( PageIndex {1} ):

Justifique a identidade acima e verifique as equações para (C ) e ( gamma ). Dica: comece com ( cos ( alpha - beta) = cos ( alpha) cos ( beta) + sin ( alpha) sin ( beta) ) e multiplique por (C ) Então pense o que deveria ser ( alpha ) e ( beta ).

Embora seja geralmente mais fácil usar a primeira forma com (A ) e (B ) para resolver as condições iniciais, a segunda forma é muito mais natural. As constantes (C ) e ( gamma ) têm uma interpretação muito boa. Nós olhamos para a forma da solução

[x (t) = C cos (w_0t - gamma) ]

Podemos ver que a amplitude é (C ), (w_0 ) é a frequência (angular) e ( gamma ) é a chamada mudança de fase. A mudança de fase apenas desloca o gráfico para a esquerda ou direita. Chamamos (w_0 ) a frequência natural (angular). Essa configuração inteira é normalmente chamada de movimento harmônico simples.

Façamos uma pausa para explicar a palavra angular antes da palavra frequência. As unidades de (w_0 ) são radianos por unidade de tempo, não ciclos por unidade de tempo, como é a medida usual de frequência. Como sabemos que um ciclo é (2 pi ) radianos, a frequência usual é dada por ( dfrac {w_0} {2 pi} ). É simplesmente uma questão de onde colocamos a constante (2 pi ), e isso é uma questão de gosto.

O período do movimento é um sobre a frequência (em ciclos por unidade de tempo) e, portanto, ( dfrac {2 pi} {w_0} ). Esse é o tempo que leva para completar uma oscilação completa.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Suponha que (m = 2kg ) e (k = 8 dfrac {N} {m} ). Toda a configuração de massa e mola está em um caminhão que estava viajando em (1 dfrac {m} {s} ). O caminhão bate e, portanto, para. A massa foi mantida no lugar 0,5 metros à frente da posição de repouso. Durante a colisão, a massa se solta. Ou seja, a massa agora está se movendo para frente em (1 dfrac {m} {s} ), enquanto a outra extremidade da mola é mantida no lugar. A massa, portanto, começa a oscilar. Qual é a frequência da oscilação resultante e qual é a amplitude. As unidades são as unidades mks (metros-quilogramas-segundos).

A configuração significa que a massa estava a meio metro na direção positiva durante a colisão e em relação à parede em que a mola está montada, a massa estava se movendo para frente (na direção positiva) em (1 dfrac {m} { s} ). Isso nos dá as condições iniciais.

Portanto, a equação com as condições iniciais é

[2x '' + 8x = 0, x (0) = 0,5, x '(0) = 1 ]

Podemos calcular diretamente (w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}} = sqrt {4} = 2 ). Portanto, a frequência angular é 2. A frequência usual em Hertz (ciclos por segundo) é ( dfrac {2} {2 pi} = dfrac {1} { pi} approx 0.318 ).

A solução geral é

[x (t) = A cos (2t) + B sin (2t) ]

Se (x (0) = 0,5 ) significa (A = 0,5 ). Então (x '(t) = -2 (0,5) sin (2t) + 2B cos (2t) ). Deixando (x '(0) = 1 ), obtemos (B = 0,5 ). Portanto, a amplitude é (C = sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} = sqrt {0,25 + 0,25} = sqrt {0,5} aproximadamente 0,707 ). A solução é

[x (t) = 0,5 cos (2t) + 0,5 sin (2t) ]

Um gráfico de (x (t) ) é mostrado na Figura 2.2.

Figura 2.2: Oscilação simples sem amortecimento.

Em geral, para movimento não amortecido livre, uma solução da forma

[x (t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

corresponde às condições iniciais (x (0) = A ) e (x '(0) = w_0B ). Portanto, é fácil descobrir (A ) e (B ) a partir das condições iniciais. A amplitude e o deslocamento de fase podem então ser calculados a partir de (A ) e (B ). No exemplo, já encontramos a amplitude (C ). Vamos calcular a mudança de fase. Sabemos que ( tan gamma = dfrac {B} {A} = 1 ). Pegamos o arco tangente de 1 e obtemos aproximadamente 0,785. Ainda precisamos verificar se este ( gamma ) está no quadrante correto (e adicionar ( pi ) a ( gamma ) se não estiver). Como (A ) e (B ) são positivos, então ( gamma ) deve estar no primeiro quadrante e 0,785 radianos realmente está no primeiro quadrante.

Nota: Muitas calculadoras e softwares de computador não têm apenas a função atan para arco tangente, mas também o que às vezes é chamado de atan2. Esta função recebe dois argumentos, (B ) e (A ), e retorna a ( gamma ) no quadrante correto para você.

2.4.3 Movimento Amortecido Livre

Vamos agora nos concentrar no movimento amortecido. Vamos reescrever a equação

[mx '' + cx '+ kx = 0 ]

como

[x '' + 2px '+ w ^ 2_0x = 0 ]

Onde

[w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}}, p = dfrac {c} {2m} ]

A equação característica é

[r ^ 2 + 2pr + w ^ 2_0 = 0 ]

Usando a fórmula quadrática, obtemos que as raízes são

[r = -p pm sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ]

A forma da solução depende se obtemos raízes complexas ou reais. Obteremos raízes reais se e somente se o seguinte número não for negativo:

[p ^ 2 - w ^ 2_0 = {( dfrac {c} {2m})} ^ 2 - dfrac {k} {m} = dfrac {c ^ 2 -4km} {4m ^ 2} ]

O sinal de (p ^ 2 - w ^ 2_0 ) é o mesmo que o sinal de (c ^ 2 - 4km ). Assim, obteremos raízes reais se e somente se (c ^ 2 - 4km ) for não negativo, ou em outras palavras, se (c ^ 2 ge 4km ).

Superamortecimento

Quando (c ^ 2 - 4km> 0 ), dizemos que o sistema está superamortecido. Neste caso, existem duas raízes reais distintas (r_1 ) e (r_2 ). Observe que ambas as raízes são negativas. Como ( sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ) é sempre menor que (P ), então (-P pm sqrt {P ^ 2 - w ^ 2_0} ) é negativo.

A solução é [x (t) = C_1e ^ {r_1t} + C_2e ^ {r_2t} ]

Como (r_1, r_2 ) são negativos, (x (t) rightarrow 0 ) como (t rightarrow infty ). Assim, a massa tenderá para a posição de repouso conforme o tempo vai para o infinito. Para algumas parcelas de amostra para diferentes condições iniciais (Figura 2.3).

Figura 2.3 Movimento superamortecido para várias condições iniciais diferentes.

Observe que nenhuma oscilação acontece. Na verdade, o gráfico cruzará o eixo (x ) no máximo uma vez. Para ver o porquê, tentamos resolver (0 = C_1e ^ {r_1t} + C_2e ^ {r_2t} ). Portanto, (C_1e ^ {r_1t} = -C_2e ^ {r_2t} ) e usando as leis dos expoentes, obtemos

[ dfrac {-C_1} {C_2} = e ^ {{(r_2 - r_1)} t} ]

Esta equação tem no máximo uma solução (t ge 0 ). Para algumas condições iniciais, o gráfico nunca cruzará o eixo (x ), como fica evidente nos gráficos de amostra.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Suponha que a massa seja liberada do repouso. Isso é (x (0) = x_0 ) e (x '(0) = 0 ). Então

[x (t) = dfrac {x_0} {r_1 - r_2} (r_1e ^ {r_2t} - r_2e ^ {r_1t}) ]

Não é difícil perceber que isso satisfaz as condições iniciais.

Amortecimento crítico

Quando (c ^ 2 - 4km = 0 ), dizemos que o sistema está criticamente amortecido. Nesse caso, há uma raiz de multiplicidade 2 e essa raiz é (-P ). Portanto, nossa solução é

[x (t) = C_1e ^ {- pt} + C_2te ^ {- pt} ]

O comportamento de um sistema com amortecimento crítico é muito semelhante ao de um sistema com amortecimento excessivo. Afinal, um sistema com amortecimento crítico é, em certo sentido, o limite dos sistemas com amortecimento excessivo. Uma vez que essas equações são, na verdade, apenas uma aproximação do mundo real, na realidade nunca estamos criticamente amortecidos, é um lugar que só podemos alcançar em teoria. Estamos sempre um pouco subamortecidos ou um pouco superamortecidos. É melhor não se preocupar com o amortecimento crítico.

Subamortecimento

Figura 2.4: Movimento subamortecido com as curvas do envelope mostradas.

Quando (c ^ 2 - 4km <0 ), dizemos que o sistema está subamortecido. Nesse caso, as raízes são complexas.

[r = -p pm sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ]

[= -p pm sqrt {-1} sqrt {w ^ 2_0 - p ^ 2} ]

[= -p pm iw_1 ]

onde (w_1 = sqrt {w ^ 2_0 - p ^ 2} ). Nossa solução é

[x (t) = e ^ {- pt} (A cos (w_1t) + B sin (w_1t) ]

ou

[x (t) = Ce ^ {- pt} cos (w_1t - gamma) ]

Um exemplo de gráfico é fornecido na Figura 2.4. Observe que ainda temos que (x (t) rightarrow 0 ) como (t rightarrow infty ).

Na figura também mostramos as curvas do envelope (Ce ^ {- pt} ) e (- Ce ^ {pt} ). A solução é a linha oscilante entre as duas curvas do envelope. As curvas do envelope fornecem a amplitude máxima da oscilação em qualquer ponto do tempo. Por exemplo, se você está fazendo bungee jumping, está realmente interessado em calcular a curva de envelope para não bater no concreto com a cabeça.

A mudança de fase ( gamma ) apenas desloca o gráfico para a esquerda ou direita, mas dentro das curvas de envelope (as curvas de envelope não mudam se ( gamma ) muda).

Finalmente, observe que a pseudo-frequência angular (não a chamamos de frequência, pois a solução não é realmente uma função periódica) (w_1 ) torna-se menor quando o amortecimento (c ) (e, portanto, (P )) torna-se maior. Isso faz sentido. Quando mudamos o amortecimento apenas um pouco, não esperamos que o comportamento da solução mude dramaticamente. Se continuarmos tornando (c ) maior, então em algum ponto a solução deve começar a se parecer com a solução para amortecimento crítico ou superamortecimento, onde nenhuma oscilação acontece. Portanto, se (c ^ 2 ) se aproxima de (4km ), queremos que (w_1 ) se aproxime de 0.

Por outro lado, quando (c ) fica menor, (w_1 ) se aproxima de (w_0 ) ( (w_1 ) é sempre menor que (w_0 )), e a solução se parece cada vez mais com o movimento periódico constante da caixa não amortecida. As curvas do envelope tornam-se mais planas e planas à medida que (c ) (e, portanto, (P )) vai para 0.


Simulação numérica e análise da vibração das hastes de perfuração durante a perfuração do furo do parafuso do telhado em minas subterrâneas

A deterioração estrutural no telhado de uma mina subterrânea pode facilmente causar a queda do telhado e a deterioração é difícil de detectar. Ao fazer furos para os parafusos do telhado, há uma relação entre a vibração da haste de perfuração e as propriedades da rocha que está sendo perfurada. Este artigo analisa as vibrações transversais, longitudinais e de torção na haste de perfuração usando a teoria da vibração. Índices característicos para três tipos de vibração são determinados. Usando o software de análise de elementos finitos ABAQUS, um modelo para a vibração da haste de perfuração durante a perfuração dos furos dos parafusos do telhado foi estabelecido com base nas condições geológicas e de mineração na Mina de Carvão Guyuan, norte da China. Os resultados do modelo determinaram que as vibrações transversal e longitudinal diminuem à medida que a dureza da rocha diminui. Em ordem decrescente, o arenito, o argilito arenoso, o lamito e os entrecruzamentos fracos causam progressivamente menos vibração ao serem perfurados. A classificação para estratos que causam vibração de torção decrescente é ligeiramente diferente, sendo, em ordem decrescente, lamito, arenito, argilito arenoso e entrecruzamentos fracos. Esses resultados fornecem uma base teórica para prever condições perigosas de telhado e a presença de interbeds fracos para permitir o ajuste de esquemas de suporte de parafuso.


Visão geral

Descrição

Este título faz parte da série Pearson Modern Classics. Pearson Modern Classics são títulos aclamados a um preço acessível. Por favor visite www.pearsonhighered.com/math-classics-series para obter uma lista completa de títulos.

Para cursos tradicionais mais breves em equações diferenciais elementares que os alunos de ciências, engenharia e matemática fazem após o cálculo.

A sexta edição deste livro amplamente adotado permanece o mesmo texto de equações diferenciais clássico que sempre foi, mas foi polido e aprimorado para servir a instrutores e alunos com ainda mais eficácia. Edwards e Penney ensinam os alunos a resolver primeiro as equações diferenciais que têm as aplicações mais frequentes e interessantes. Declarações precisas e claras da existência fundamental e teoremas de exclusividade permitem a compreensão de seu papel neste assunto. Uma abordagem numérica forte enfatiza que o uso eficaz e confiável de métodos numéricos freqüentemente requer uma análise preliminar usando técnicas elementares padrão.


MEMS e microssistemas: Design, manufatura e engenharia em nanoescala, 2ª edição

Uma abordagem de projeto de engenharia para sistemas microeletromecânicos, MEMS e microsistemas continua sendo o único texto disponível para cobrir os aspectos elétricos e mecânicos da tecnologia. Nos cinco anos desde a publicação da primeira edição, ocorreram mudanças significativas na ciência e tecnologia da miniaturização, incluindo tecnologia de microssistemas e nanotecnologia. Em resposta às necessidades crescentes de engenheiros para adquirir experiência e conhecimento básico nessas áreas, este texto popular foi cuidadosamente atualizado, incluindo uma seção inteiramente nova sobre a introdução da engenharia em nanoescala.

Após uma breve introdução à história e evolução da nanotecnologia, o autor cobre os fundamentos no projeto de engenharia de nanoestruturas, incluindo técnicas de fabricação para a produção de nanoprodutos, princípios de projeto de engenharia em dinâmica molecular e fluxos de fluidos e transmissão de calor em substâncias em nanoescala.

Outros destaques da segunda edição incluem:
*

Cobertura expandida de microfabricação mais tecnologias de montagem e embalagem
*

A introdução de microgiroscópios, microfones em miniatura e tubos de calor
*

Metodologias de projeto para componentes de dispositivos de múltiplas camadas acionados termicamente
*

O uso do popular material de polímero SU-8

Apoiado por vários exemplos, estudos de caso e problemas aplicados para facilitar a compreensão e aplicação no mundo real, a segunda edição será de valor significativo para profissionais e estudantes de engenharia mecânica ou elétrica de nível sênior.


Equações diferenciais - Matemática 3113Seções 004 e 007

Sua nota final será baseada em uma curva (a ser determinada).

Política de calculadora

Datas de exames

Exame 1: sexta-feira, 30 de setembro
Exame 2: sexta-feira, 11 de novembro
Exame final:
Seção 004 Terça-feira, 13 de dezembro, 4: 30-6: 30
Seção 007 Segunda-feira, 12 de dezembro, 13h30-3h30

Política de trabalho perdido

Declaração de má conduta acadêmica

Todos os casos de suspeita de má conduta acadêmica serão encaminhados ao Reitor da Faculdade de Artes e Ciências para processo de acordo com o Código de Conduta Acadêmica da Universidade. As penalidades podem ser bastante severas. Não faça isso! Para obter mais detalhes sobre as políticas da Universidade em relação à má conduta acadêmica, consulte http://www.ou.edu/integrity/.

Os alunos também estão sujeitos às disposições do Código do Aluno da OU, que pode ser encontrado em http://judicial.ou.edu/.

Alunos com deficiência

A chave para o sucesso nas aulas de matemática

Webwork

Atribuições de computador

# Data de vencimento Tarefa Soluções
1 9 de setembro Projeto de Computador 1 slopefield.m, graphslopefield.m, slopefield.pdf
2 3 de outubro Projeto de Computador 2
21/09 Correção: última linha do loop for nos problemas 1 e 3 alterada para x = xvals (i + 1)
soluções
3 4 de novembro Projeto de Computador 3 soluções
3 7 de dezembro Projeto de Computador 4 soluções (leia as instruções.txt primeiro)

Programa Diário

22/08: Seção 1.1: exemplos de equações diferenciais, soluções gerais, problemas de valor inicial, soluções de verificação
24/08: Seção 1.1 continuação
26/08: Seção 1.2: soluções para equações da forma y '= f (x)

29/08: Seção 1.3: campos de inclinação, análise gráfica de soluções, equações independentes do tempo dx / dt = f (x), soluções de equilíbrio
31/08: Continuação da Seção 1.3: singularidade e existência de soluções, Seção 1.4: equações separáveis, y '= f (x) g (y), Webwork 1 com vencimento às 22h
02/09: Lei de Newton de resfriamento e aquecimento, um modelo simples de resistência do ar, Quiz 1, soluções

05/09: Sem aula
07/09: Seção 1.5: Equações lineares de primeira ordem, técnica de fator de integração
09/09: Seção 1.5 continuação: problemas de mistura, Seção 1.6: EDOs exatas Webwork 2 com vencimento às 22h, Projeto de computador 1 para entrega em aula, Quiz 2, soluções

12/09: Seção 1.6: equações diferenciais exatas
14/09: Seção 1.6: métodos de substituição, Webwork 3 com vencimento às 22h
16/09: Seção 2.4: Método de Euler, Questionário 3, soluções

19/09: Seção 2.5: Método de Euler aprimorado
21/09: Seção 2.1: Equação Logística, Webwork 4 com vencimento às 22h
23/09: Seção 2.2: Diagramas de fase, estabilidade, bifurcação, Quiz 4, 007 soluções, 004 soluções

26/09: Partes da Seção 1.6 e 2.3: Gravitação universal, energia potencial
28/09: Revisão, Webwork 5 vencido às 22h
30/09: Intermediário 1 - abrange os Capítulos 1 e 2, Soluções 004, Soluções 007

10/03: Seção 3.1: Introdução às equações lineares de segunda ordem
10/05: Seções 3.1-3.3: Equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes Trabalho de casa escrito para entrega na aula: Seção 2.2: 21, 23, 24, Seção 2.3: 27, sem trabalho na web, soluções de lição de casa
07/10: Sem aula

10/10: Equações de ordem superior com coeficientes constantes
12/10: Wronskians, independência linear, singularidade de existência Webwork 7 vence às 22h
10/14: Seção 3.4: Vibrações mecânicas Quiz 5 (cobre Webwork 7), 004 soluções, 007 soluções

17/10: Vibrações mecânicas continuadas
19/10: Vibrações mecânicas continuadas, correção em unidades envolvendo libras
21/10: Seção 2.6: Método Runge-Kutta, Webwork 8 com vencimento às 22h, quiz 6 soluções

24/10: Continuação do método Runge-Kutta, demonstração da aula, Teste 6 para a aula, soluções
26/10: Seção 3.5: Equações não homogêneas Webwork 9 com vencimento às 22h
28/10: Equações não homogêneas continuaram, Quiz 7, soluções

31/10: Equações não homogêneas continuação
11/02: Seção 4.1: Sistemas de primeira ordem, webwork adiado para sexta-feira
11/04: Sistemas continuadosQuiz 8, 007 soluções, 004 soluções, Webwork 10 com vencimento às 22h

11/07: Seção 4.2: Método de eliminação
11/09: Eliminação continuada, sem webwork
11/11: Midterm 2 - abrange as Seções 3.1-3.5, 004 soluções, 007 soluções

14/11: Seção 4.3: Métodos numéricos, alguns códigos de exemplo, alguns comandos vetoriais simples
16/11: Métodos numéricos continuados Webwork 11 com vencimento às 22h
18/11: Gravitação universal Quiz 9solução

21/11: Seção 5.1: Introdução aos sistemas lineares

28/11: Seção 5.2: Método de valor próprio para sistemas
30/11: Método de autovalor continuado, sem webwork
12/2: Método de autovalor continuado, sem teste

12/5: Capítulo 7: Transformada de Laplace
12/7: transformada de Laplace, Projeto de computador 4 para entrega em aula
12/9: Transformada de Laplace, Quiz 10, solução, Webwork 12 com vencimento às 22h


Lista de assuntos de engenharia mecânica

Abaixo está a lista de Assuntos de Engenharia Mecânica -

1. Termodinâmica

A termodinâmica lida com as relações entre calor, trabalho e energia. Os engenheiros usam as leis da termodinâmica na construção de um sistema mecânico. Este assunto fornece informações detalhadas sobre as leis da termodinâmica, calor, trabalho e energia.

2. Ciência de Materiais

A ciência dos materiais lida com as propriedades e aplicação do material para construção e fabricação do produto. Este assunto é sobre as diferentes estruturas do material em nível microscópico. Os alunos aprendem estrutura atômica, ligação, cristalografia, nanoestrutura, microestrutura, macroestrutura, etc. neste assunto.

3. Cinemática e Dinâmica da Máquina

Trata do estudo do movimento dos corpos com ou sem consideração às forças.

4. Desenho Mecânico

MD é um desenho técnico. É algum tipo de linguagem visual que ajuda os engenheiros a visualizar o produto. Em MD, os engenheiros desenham o primeiro ângulo e a projeção do terceiro ângulo do produto na folha. Os engenheiros usam vários símbolos, unidades e princípios técnicos para desenhar o produto. Em Desenho Mecânico, os alunos aprendem, usam e praticam todas essas técnicas de desenho.

5. Processo de Fabricação

Nesta disciplina, os alunos aprendem várias técnicas e processos de fabricação que são necessários para a fabricação de produtos.

6. Projeto da Máquina

O projeto de máquinas lida com a construção de novos componentes e do sistema mecânico com a ajuda de técnicas e princípios de engenharia.

7. Mecânica dos fluidos

A mecânica dos fluidos lida com o estudo do fluido em repouso e em movimento.

8. Resistência do material

A resistência do material lida com as forças e deformações do material. Ele fornece informações detalhadas sobre as propriedades do material, como resistência, plasticidade e elasticidade, etc.

Assuntos de Engenharia Mecânica

2.4: Vibrações Mecânicas - Matemática

Manual de choque e vibração
Páginas 1768
Clarence W. De Silva
Editor chefe

Neste manual, igual ênfase é dada à teoria e aplicação prática. Os capítulos são agrupados em fundamentos, teoria básica, teoria avançada, técnicas analíticas, técnicas numéricas, técnicas experimentais, metodologia de design, problemas práticos e soluções, aplicações, considerações regulamentares e dados úteis. Formulações analíticas, métodos numéricos, abordagens de design, técnicas de controle e ferramentas de software comerciais são apresentados e ilustrados. Equipamentos comerciais, hardware de computador e instrumentação são descritos, analisados ​​e demonstrados para aplicação em campo, implementação prática e experimentação. Exemplos e estudos de caso são fornecidos ao longo do manual para ilustrar o uso e a aplicação das informações incluídas. O material é apresentado em um formato conveniente para fácil consulta e recolhimento.

A vibração mecânica é uma manifestação do comportamento oscilatório em sistemas mecânicos, como resultado do intercâmbio repetitivo de energias cinéticas e potenciais entre os componentes do sistema, ou uma excitação forçada que é oscilatória. Essas respostas oscilatórias não se limitam a sistemas puramente mecânicos e também são encontradas em sistemas elétricos e de fluidos. Em sistemas puramente térmicos, entretanto, oscilações naturais livres não são possíveis, e uma excitação oscilatória é necessária para obter uma resposta oscilatória. O choque é a vibração causada por excitações breves, abruptas e tipicamente de alta intensidade. Som, ruído e acústica são manifestações de ondas de pressão, cujas fontes costumam ser sistemas dinâmicos vibratórios.

Baixos níveis de vibração significam ruído reduzido e um ambiente de trabalho aprimorado. A modificação e o controle da vibração podem ser cruciais para manter o alto desempenho e a eficiência da produção, e prolongar a vida útil em máquinas industriais. Consequentemente, um esforço considerável é dedicado hoje a estudar e controlar a vibração e o choque gerado por componentes de máquinas, ferramentas de máquinas, veículos de trânsito, processos de impacto, estruturas de engenharia civil, sistemas de fluxo de fluidos e aeronaves. Os problemas de ruído e acústicos podem originar-se de vibrações indesejáveis ​​e interações de fluidos e estruturas, como encontrados, por exemplo, em motores de automóveis. O ruído do motor, o ruído ambiental e o ruído dos gases de escape em alta velocidade e alta temperatura de um veículo não só causarão desconforto aos passageiros e irritação do público, como também causarão efeitos prejudiciais ao próprio veículo. Métodos e dispositivos de supressão de ruído e materiais e estruturas de absorção de som são cruciais em tais situações. Antes de projetar ou controlar um sistema para um bom desempenho vibratório ou acústico, é importante compreender, analisar e representar as características dinâmicas do sistema. Isso pode ser realizado por meios puramente analíticos, análise de computador de modelos analíticos, teste e análise de dados de teste ou por uma combinação dessas abordagens. Conclui-se que modelagem, análise, teste e projeto são todos aspectos importantes do estudo de vibração, choque e acústica.

SEÇÃO I Fundamentos e Análise
1 Análise no Domínio do Tempo Clarence W. de Silva 1-1
1.1 Introdução. 1-1
1.2 Oscilador não amortecido. 1-2
1.3 Molas Pesadas 1-12
1.4 Oscilações em Sistemas de Fluidos .. 1-14
1.5 Oscilador Simples Amortecido 1-16
1.6 Resposta Forçada .. 1-27
2 Análise Freqüência-Domínio Clarence W. de Silva .. 2-1
2.1 Introdução. 2-1
2.2 Resposta a Excitações Harmônicas. 2-2
2.3 Técnicas de transformação. 2-14
2.4 Abordagem da impedância mecânica. 2-25
2.5 Funções de transmissibilidade. 2-31
2.6 Método de Recepção 2-37
Apêndice 2A Técnicas de transformação. 2-40
3 Análise modal Clarence W. de Silva. 3-1
3.1 Introdução. 3-1
3.2 Graus de liberdade e coordenadas independentes 3-2
3.3 Representação do Sistema 3-4
3.4 Vibrações modais 3-10
3.5 Ortogonalidade dos modos naturais. 3-14
3.6 Modos estáticos e modos de corpo rígido. 3-15
3.7 Outras Formulações Modais. 3-22
3.8 Vibração forçada. 3-28
3.9 Sistemas Amortecidos. 3-32
3.10 Abordagem de espaço de estado .. 3-36
Apêndice 3A Álgebra Linear 3-41
4 Sistemas de Parâmetros Distribuídos Clarence W. de Silva 4-1
4.1 Introdução. 4-1
4.2 Vibração transversal de cabos. 4-2
4.3 Vibrações longitudinais das hastes. 4-13
4.4 Vibração de torção de eixos. 4-19
4.5 Vibração flexural de vigas. 4-26
4.6 Sistemas Contínuos Amortecidos. 4-50
4.7 Vibração de Membranas e Placas 4-52
5 Vibração aleatória Haym Benaroya. 5-1
5.1 Vibração Aleatória 5-1
5.2 Grau Único de Liberdade: A Resposta a Cargas Aleatórias 5-2
5.3 Resposta a duas cargas aleatórias. 5-7
5.4 Vibração de vários graus de liberdade .. 5-12
5.5 Multi-Degree-of-Freedom: The Response to Random Loads. 5-17
5,6 Vibração Aleatória do Sistema Contínuo 5-29

SEÇÃO II Técnicas de Computador
6 Técnicas Numéricas Marie D. Dahleh .. 6-1
6.1 Introdução. 6-1
6.2 Sistema de Grau de Liberdade Único. 6-2
6.3 Sistemas com dois ou mais graus de liberdade 6-8
6.4 Método de diferença finita para um sistema contínuo. 6-11
6.5 Métodos de Matriz 6-14
6.6 Métodos de aproximação para a frequência fundamental 6-18
6.7 Método de Elementos Finitos 6-20
7 Modelagem de vibração e ferramentas de software Datong Song, Cheng Huang e Zhong-Sheng Liu .. 7-1
7.1 Introdução. 7-1
7.2 Formulação. 7-2
7.3 Análise de vibração. 7-9
7.4 Pacotes de software comercial. 7-13
7.5 O procedimento básico de análise de vibração. 7-16
7.6 Um estudo de caso de engenharia. 7-19
7,7 Comentários .. 7-21
8 Análise de computador de sistemas multicorpos com suporte flexível Ibrahim Esat e M. Dabestani 8-1
8.1 Introdução. 8-1
8.2 Teoria. 8-2
8.3 Um exemplo numérico. 8-7
8.4 Um problema de projeto de vibração industrial. 8-11
8.5 Considerações de programação. 8-16
8,6 VIBRATIO .. 8-17
8.7 Análise. 24/08
8,8 Comentários .. 31/08
Apêndice 8A Saída VIBRATIO para Exemplo Numérico na Seção 8.3 .. 8-32
9 Aplicações de Elementos Finitos em Dinâmica Mohamed S. Gadala 9-1
9.1 Classificação do Problema e Elemento. 9-2
9.2 Tipos de análise. 9-20
9.3 Aspectos de modelagem para análise dinâmica. 9-23
9.4 Equações de movimento e métodos de solução. 9-27
9.5 Várias análises dinâmicas 9-33
9.6 Lista de verificação para análise dinâmica de FE. 9-41
10 Análise de Sinal de Vibração Clarence W. de Silva 10-1
10.1 Introdução 10-1
10.2 Espectro de frequência. 10-2
10.3 Tipos de Sinal 10-7
10.4 Análise de Fourier 10-7
10.5 Análise de sinais aleatórios. 10-18
10.6 Outros tópicos de análise de sinais. 26/10
10.7 Processamento sobreposto .. 28/10
11 Wavelets e mdash Conceitos e aplicações Pol D. Spanos, Giuseppe Failla e Nikolaos P. Politis. 11-1
11.1 Introdução 11-1
11.2 Análise de tempo e frequência ndash. 11-2
11.3 Estimativa de espectros dependente do tempo de processos estocásticos. 11-11
11.4 Simulação de campo aleatório .. 11-14
11.5 Identificação do sistema .. 11-15
11.6 Detecção de Danos 11-17
11.7 Caracterização do Material 11-18
11,8 Observações Finais .. 11-19

SEÇÃO III Choque e vibração
12 Choque mecânico Christian Lalanne 12-1
12.1 Definições. 12-2
12.2 Descrição no domínio do tempo. 12-3
12.3 Espectro de resposta ao choque. 12-4
12,4 Pyroshocks 12-17
12.5 Uso de espectros de resposta ao choque 12-18
12.6 Padrões .. 12-24
12,7 Curva de limite de dano 12-26
12.8 Máquinas de choque. 12-28
12.9 Geração de choque usando agitadores. 12-44
12.10 Controle por um espectro de resposta ao choque 12-52
12.11 Simulação de choque pirotécnico. 12-58
13 Problemas de vibração e choque de estruturas de engenharia civil Priyan Mendis e Tuan Ngo .. 13-1
13.1 Introdução 13-2
13.2 Vibração induzida por terremoto de estruturas 13-3
13.3 Efeitos dinâmicos do carregamento do vento nas estruturas. 13-22 13,4
Vibrações devido à interação da estrutura de fluido e ndash 13-33 13,5
Carga de explosão e efeitos de explosão em estruturas 13-34 13.6
Carregamento de impacto. 13-47 13,7
Vibração do piso .. 13-51 14
Estruturas de concreto armado Y.L. Mo 14-1 14,1
Introdução 14-1 14,2
Modelos Analíticos 14-6 14.3
Feixes sob excitações harmônicas. 14-18 14,4
Projeto para Explosões / Choques. 14-21

SEÇÃO IV Instrumentação e Teste
15 Instrumentação de Vibração Clarence W. de Silva 15-1
15.1 Introdução 15-1
15.2 Excitadores de vibração 15-3
15.3 Sistema de Controle .. 15-15
15.4 Especificação de desempenho. 15-21
15.5 Sensores de movimento e transdutores 15-27
15.6 Torque, força e outros sensores. 15-50
Apêndice 15A Instrumentação Virtual para Aquisição, Análise e Apresentação de Dados 15-73
16 Condicionamento e modificação de sinais Clarence W. de Silva. 16-1
16.1 Introdução 16-2
16,2 Amplificadores 16-2
16.3 Filtros Analógicos. 16-15
16.4 Moduladores e Demoduladores 16-29
16.5 Conversão Analógica e Digital 16-37
16.6 Circuitos de ponte 16-43
16.7 Dispositivos de linearização. 16-49
16.8 Circuito de modificação de sinal diverso. 16-56
16.9 Analisadores de sinais e dispositivos de exibição. 16-62
17 Ensaios de vibração Clarence W. de Silva. 17-1
17.1 Introdução 17-1
17.2 Representação de um ambiente de vibração. 17-3
17.3 Procedimentos de pré-teste 17-24
17.4 Procedimentos de teste 17-37
17.5 Algumas informações práticas. 17-52
18 Análise do modelo experimental Clarence W. de Silva. 18-1
18.1 Introdução 18-1
18.2 Formulação de Domínio de Freqüência. 18-2
18.3 Desenvolvimento de modelo experimental. 18-8
18.4 Ajuste de curva das funções de transferência. 18-10
18.5 Experiências de Laboratório. 18-18
18.6 Sistemas comerciais da EMA. 18-24

SEÇÃO V Supressão e controle de vibração
19 Amortecimento de Vibrações Clarence W. de Silva .. 19-1
19.1 Introdução 19-1
19.2 Tipos de Amortecimento. 19-2
19.3 Representação de Amortecimento na Análise de Vibração 19-9
19.4 Medição de Amortecimento. 19-16
19.5 Amortecimento da Interface 19-26
20 Teoria de Amortecimento Randall D. Peters 20-1
20.1 Prefácio .. 20-2
20.2 Introdução 20-4
20.3 Antecedentes .. 20-12
20.4 Histerese e mdash Mais detalhes. 20-19
20.5 Modelos de amortecimento. 20-20
20.6 Medições de Amortecimento 20-23
20,7 Amortecimento histérico 20-27
20.8 Falha da Teoria Comum. 20-29
20,9 Influência do Ar 20-30
20.10 Ruído e Amortecimento 20-31
20.11 Métodos de transformação. 20-34
20.12 Amortecimento histérico 20-36
20.13 Atrito Interno 20-41
20.14 Truques matemáticos e aproximações de amortecimento linear mdash 20-43
20.15 Física de atrito interno. 20-44
20.16 Zener Modelo 20-45
20.17 Em direção a um modelo universal de amortecimento. 20-48
20.18 Não linearidade. 20-58
20.19 Comentário Final 20-65
21 Técnicas Experimentais em Amortecimento Randall D. Peters. 21-1
21.1 Considerações eletrônicas. 21-2
21.2 Processamento de Dados 21-3
21.3 Escolhas de sensor. 21-7
21.4 Exemplos de amortecimento 21-8
21.5 Osciladores Acionados com Amortecimento. 21-19
21.6 Oscilador com múltiplas não linearidades. 21-21
21.7 Vários modos de vibração 21-24
21.8 Atrito interno como fonte de ruído mecânico. 21-28
21.9 Amortecimento viscoso e necessidade mdash de cuidado. 21-29
21,10 Influência do ar 21-31
22 Isolamento de estrutura e equipamento Y.B. Yang, L.Y. Lu e J.D. Yau. 22-1
22.1 Introdução 22-2
22.2 Mecanismos de sistemas de base isolada 22-4
22.3 Estrutura e sistemas de equipamentos ndash com rolamentos elastoméricos. 22-9
22.4 Sistemas de isolamento deslizante. 22-17
22.5 Sistemas de isolamento deslizante com mecanismo resiliente. 22-36
22.6 Problemas relacionados ao projeto de isolamento sísmico. 22-50
23 Controle de vibração Nader Jalili e Ebrahim Esmailzadeh 23-1
23.1 Introdução 23-1
23.2 Conceito de sistemas de controle de vibração 23-4
23.3 Projeto e implementação de sistemas de controle de vibração 23-12
23.4 Considerações práticas e tópicos relacionados. 23-38
24 Ajuste do Rotor do Helicóptero Kourosh Danai. 24-1
24.1 Introdução 24-1
24.2 Ajuste baseado em rede neural 24-4
24.3 Ajuste baseado em probabilidade. 24-5
24,4 Ajuste Adaptativo. 24-8
24.5 Estudo de caso. 24-12
24.6 Conclusão 24-17

SEÇÃO VI Monitoramento e diagnóstico
25 Monitoramento de condição da máquina e diagnóstico de falha Chris K. Mechefske .. 25-1
25.1 Introdução 25-2
25.2 Falha de Maquinário. 25-2
25.3 Estratégias de manutenção básica. 25-4
25.4 Fatores que influenciam a estratégia de manutenção 25-7
25.5 Monitoramento de condição da máquina 25-8
25.6 Seleção do transdutor. 25-10
25.7 Localização do transdutor 25-14
25.8 Instrumentação de registro e análise. 25-14
25.9 Formatos de exibição e ferramentas de análise. 25-16
25.10 Detecção de Falhas. 25-21
25.11 Diagnóstico de Falhas. 25-25
26 Sistemas de monitoramento de condição de ferramenta com base em vibração C. Scheffer e P.S. Heyns .. 26-1
26.1 Introdução 26-1
26.2 Mecânica de giro. 26-2
26.3 Gravação de Sinal de Vibração. 26-7
26.4 Processamento de sinal para monitoramento de condição de ferramenta com base em sensor. 26-11
26.5 Modelo de desgaste / tomada de decisão para monitoramento de condição de ferramenta com base em sensor. 26-15
26.6 Conclusão 26-20
27 Diagnóstico de falha das caixas de câmbio do helicóptero Kourosh Danai 27-1
27.1 Introdução 27-1
27.2 Escala de anormalidade. 27-5
27.3 A Rede Connectionist Baseada em Estrutura 27-8
27.4 Seleção de localização do sensor 27-11
27.5 Um Estudo de Caso 27-14
27.6 Conclusão 27-23
28 Supressão e monitoramento de vibração em sistemas de movimento de precisão K.K. Tan, T.H. Lee, K.Z. Tang, S. Huang, S.Y. Lim, W. Lin e Y.P. Leow .. 28-1
28.1 Introdução 28-1
28.2 Projeto mecânico para minimizar a vibração. 28-2
28.3 Filtro Notch Adaptável. 28-10
28.4 Analisador de Vibração em Tempo Real. 28-17
28.5 Insights práticos e estudo de caso. 28-29
28.6 Conclusões. 28-35

SEÇÃO VII Vibração Sísmica
29 Isolamento de Base Sísmica e Controle de Vibração Hirokazu Iemura, Sarvesh Kumar Jain e Mulyo Harris Pradono .. 29-1
29.1 Introdução 29-1
29.2 Isolamento de Base Sísmica. 29-4
29.3 Controle de vibração sísmica. 29-33
30 Vibração aleatória sísmica de estruturas de longo alcance Jiahao Lin e Yahui Zhang 30-1
30.1 Introdução 30-2
30.2 Campos de excitação aleatória sísmica. 30-11
30.3 Método de pseudoexcitação para análise de vibração aleatória estrutural 30-16
30.4 Estruturas de longo alcance sujeitas a excitações de solo aleatórias estacionárias 30-27
30.5 Estruturas de longo alcance sujeitas a excitações de solo aleatórias não estacionárias. 30-34
30.6 Conclusões. 30-39
31 Qualificação Sísmica de Equipamentos Clarence W. de Silva 31-1
31.1 Introdução 31-1
31.2 Qualificação de distribuição. 31-1
31.3 Qualificação Sísmica 31-6

SEÇÃO VIII Projeto e Aplicações
32 Projeto e Controle de Vibrações Clarence W. de Silva .. 32-1
32.1 Introdução 32-2
32.2 Especificação dos limites de vibração. 32-3
32.3 Isolamento de vibração. 32-5
32.4 Balanceamento de máquinas rotativas. 32-15
32.5 Balanceamento de máquinas alternativas. 32-26
32.6 Girando de eixos 32-33
32.7 Projeto por meio de teste modal. 32-39
32.8 Controle passivo de vibração. 32-45
32,9 Controle Ativo de Vibração. 32-61
32.10 Controle de vibrações do feixe. 32-67
Apêndice 32A Caixa de ferramentas dos sistemas de controle MATLAB. 32-73
33 Modificação Dinâmica Estrutural e Análise de Sensibilidade Su Huan Chen .. 33-1
33.1 Introdução 33-2
33.2 Modificação Dinâmica Estrutural do Modelo de Elemento Finito 33-2
33.3 Método de perturbação dos modos de vibração. 33-4
33.4 Análise de sensibilidade de projeto de modos de vibração estrutural. 33-8
33.5 Superposição modal de alta precisão para análise de sensibilidade dos modos. 33-11
33.6 Sensibilidade de Vectores Próprios para Estruturas Livres e Livres ndash. 33-13
33.7 Teoria de perturbação da matriz para modos repetidos. 33-14
33.8 Método de perturbação da matriz para autovalores com espaçamento estreito. 33-16
33.9 Teoria de perturbação da matriz para modos complexos. 33-22
34 Vibração em máquinas rotativas H. Sam Samarasekera 34-1
34.1 Introdução 34-1
34.2 Noções básicas de vibração 34-6
34.3 Análise Rotordinâmica. 34-18
34.4 Medição e técnicas de vibração. 34-39
34.5 Controle e diagnóstico de vibração. 34-39
35 Chatter regenerativo em máquinas-ferramenta Robert G. Landers. 35-1
35.1 Introdução 35-1
35.2 Chatter em operações de viragem. 35-3
35.3 Chatter em operações de fresamento de face. 35-9
35.4 Simulação no domínio do tempo. 35-14
35.5 Detecção de vibração. 35-18
35.6 Supressão de vibração 35-20
35.7 Estudo de caso. 35-24
36 Fluid-Induced Vibration Seon M. Han. 36-1
36.1 Descrição do ambiente oceânico 36-1
36,2 Forças de fluido. 36-16
36.3 Exemplos. 36-23

SEÇÃO IX Acústica
37 Níveis e decibéis de som S. Akishita .. 37-1
37.1 Introdução 37-1
37.2 Características da onda sonora. 37-1
37,3 Níveis e Decibéis 37-3
38 Audição e efeitos psicológicos S. Akishita 38-1
38.1 Introdução 38-1
38.2 Estrutura e Função do Ouvido 38-1
38.3 Resposta de frequência e volume. 38-2
38.4 Perda de Audição. 38-4
38.5 Efeitos psicológicos do ruído. 38-4
39 Critérios e regulamentos de controle de ruído S. Akishita. 39-1
39.1 Introdução 39-1
39.2 Idéias básicas por trás da política de ruído. 39-1
39.3 Legislação. 39-2
39.4 Regulamento. 39-4
39.5 Medidas de avaliação de ruído. 39-5
40 Instrumentação Kiyoshi Nagakura. 40-1
40.1 Medição da intensidade do som 40-1
40.2 Espelho e sistema de microfone ndash 40-4
40.3 Matriz de Microfones. 40-6
41 Fonte de ruído S. Akishita .. 41-1
41.1 Introdução 41-1
41.2 Radiação de Som 41-1
42 Projeto de Absorção Teruo Obata .. 42-1
42.1 Introdução 42-1
42.2 Fundamentos da absorção de som. 42-2
42.3 Materiais que absorvem o som. 42-3
42.4 Computação Característica Acústica da Parede do Composto. 42-6
42,5 Atenuação de dutos revestidos 42-10
42.6 Atenuação de Silenciadores Dissipativos. 42-12
42.7 Considerações gerais. 42-15
42.8 Exemplo prático de silenciador dissipativo. 42-17
43 Projeto de Silenciadores Reativos Teruo Obata 43-1
43.1 Introdução 43-1
43.2 Equações Fundamentais. 43-2
43.3 Efeitos de silenciosos reativos 43-3
43.4 Procedimento de Cálculo. 43-5
43.5 Faixa de Aplicação do Modelo 43-6
43.6 Exemplo prático. 43-13
44 Projeto de Isolamento Sonoro Kiyoshi Okura 44-1
44.1 Teoria do isolamento acústico. 44-1
44.2 Aplicação de isolamento acústico 44-13
45 Análise Estatística de Energia Takayuki Koizumi 45-1
45.1 Introdução 45-1
45.2 Equações de fluxo de potência. 45-2
45.3 Estimativa dos parâmetros do mar. 45-4
45,4 Aplicação em Estruturas 45-7


5 DISCUSSÃO

O presente estudo investiga a influência das vibrações mecânicas no sinal de medidas DW-MR, com foco no exemplo de uma alta b-valor DW MRS sequência e propor um método para mitigar a perda de sinal pela aplicação de um gradiente adicional. O principal conceito subjacente não elimina as vibrações mecânicas, mas visa combinar aproximadamente os estados vibracionais durante os dois gradientes de difusão, de modo que a defasagem intravoxel total seja pequena e não leve a uma perda significativa de sinal.

O sistema mecânico simplificado usado para ilustrar a transferência de vibrações dentro do tecido não representa de forma completa a complexidade da mecânica viscoelástica dos tecidos moles. Devido às simplificações adotadas e à ausência de valores precisos para as propriedades mecânicas, nenhuma análise quantitativa foi realizada, apenas os resultados qualitativos foram apresentados. O modelo revela que a aplicação do VMG antes da ponderação de difusão real ajuda a coincidir aproximadamente os padrões de deslocamento durante ambas as durações do gradiente de difusão. Isso é verdade para a primeira massa investigada que é diretamente excitada pelo impulso e também para a segunda massa que está conectada à primeira massa. Ao aplicar o VMG, ambas as massas mostram um padrão de deslocamento muito semelhante durante os gradientes de codificação de difusão, o que resultaria em uma fase acumulada muito pequena durante a ponderação de difusão. Quando o padrão de deslocamento é diferente durante os 2 gradientes de difusão (como no caso simulado sem VMG), a fase é acumulada. Quando essa fase acumulada também varia para diferentes posições dentro do tecido, a dispersão de fase resultaria em perdas de sinal dentro de um voxel. A Figura 2 mostra claramente esta variação dos padrões de deslocamento durante as 2 durações do gradiente de difusão para as 2 massas simuladas quando nenhum VMG é empregado.

Na Figura 4A, os deslocamentos medidos com VMG e TVMG igual ao tempo de difusão em um ambiente experimental real. O padrão de deslocamento é semelhante, mas mais complexo do que mostrado no modelo simplificado (Figura 2A). Na Figura 4B, os deslocamentos durante os 2 gradientes de difusão são representados. Os deslocamentos diferem quando o fantoma é medido no scanner sem a aplicação do VMG e tornam-se mais semelhantes quando o VMG é aplicado antes do DW. Este efeito é especialmente proeminente no y-direcção (ântero-posterior), enquanto o x-direção (direita-esquerda) parece ser menos afetada pela aplicação do gradiente adicional. Dentro z-direção (pés-cabeça) os deslocamentos medidos são pequenos em comparação com as outras direções.

Os deslocamentos também são visíveis durante as durações do gradiente de difusão quando a bobina é colocada na mesa de desacoplamento. No entanto, os deslocamentos quando a bobina é colocada na mesa de desacoplamento parecem ser muito semelhantes durante os gradientes de difusão e representam frequências muito mais baixas do sistema. A mesa de desacoplamento foi confeccionada com madeira, o que pode resultar em baixas frequências próprias do sistema. No entanto, componentes de alta frequência vibracional também podem ser observados na direção ântero-posterior. Isso poderia refletir potencialmente a primeira ressonância natural da mesa de desacoplamento de madeira que está predominantemente presente na direção ântero-posterior. A energia para excitar essa vibração de ressonância natural também pode ser transferida da bobina de gradiente para a mesa de desacoplamento por meio de ondas sonoras.

Não apenas o emprego do VMG é importante, mas também o momento desse gradiente adicional. A Figura 5 mostra que os padrões de deslocamento diferem muito (ainda mais em comparação com a ausência do VMG) quando o tempo VMG é muito mais curto ou mais longo do que o tempo de difusão. Quando o VMG replica a forma e a força dos gradientes DW e o tempo da preparação da difusão, a similaridade das curvas de deslocamento é muito alta.

Com base nos deslocamentos medidos, a fase acumulada pode ser estimada e comparada com a amplitude do sinal de uma varredura DW MRS. Os resultados mostrados na Figura 6 representam uma fusão de 2 experimentos, que não puderam ser realizados simultaneamente. Portanto, embora a localização dos mínimos na fase acumulada e os máximos na área do pico de metileno não correspondam totalmente, o padrão nas 2 curvas da Figura 6 parece semelhante. A Figura 6 mostra que um máximo na amplitude do sinal é obtido quando o tempo VMG em relação ao DG1 é igual ao tempo de difusão. Este valor alto do sinal corresponde a um mínimo na fase acumulada. A descoberta acima é outra ilustração da ideia de que a perda de sinal em um experimento DW MR devido a artefatos vibracionais pode ser reduzida quando os deslocamentos durante os 2 gradientes de difusão são semelhantes e, eventualmente, a fase acumulada é pequena. A Figura 6 mostra múltiplos mínimos na fase acumulada ou máximos nos valores do sinal. No entanto, a ocorrência desses valores extremos não é facilmente previsível sem o conhecimento das propriedades mecânicas exatas do sistema. No entanto, pode ser postulado sem qualquer conhecimento das propriedades do objeto que um mínimo na fase acumulada ocorre quando o tempo VMG relativo ao primeiro gradiente de difusão é igual ao tempo de difusão.

Apenas a fase acumulada não é suficiente para induzir a perda de sinal por defasagem intravoxel. Para esse efeito, uma dispersão de fase sobre o voxel 3D precisa estar presente. Para quantificar a dispersão de fase para mais de 1 ponto, a fase acumulada foi calculada em uma superfície 2D no topo do fantoma. As superfícies mostradas na Figura 7 representam a fase acumulada em cada ponto para diferentes cenários de medição. A perda de sinal ocorrerá em experimentos DW MR quando uma grande variação espacial de fase estiver presente em 1 voxel de aquisição. A variação de fase em uma superfície 2D já pode dar uma dica da perda de sinal esperada em um volume 3D. Quando o fantoma foi escaneado na mesa do scanner sem o esquema proposto, uma perda de sinal de 5% já podia ser observada na superfície 2D, enquanto era de apenas 1% quando o VMG foi empregado. Seria de se esperar que a perda de sinal em um volume 3D na mesa do scanner fosse maior sem o VMG em comparação com o caso com o VMG.

Os resultados do fantoma nos 2 fantomas medidos de WF precisam ser discutidos separadamente: No fantoma WF de 6000 rpm, o valor do ADC de lipídio é muito superestimado quando o fantoma é medido na mesa do scanner sem o método proposto. Quando o VMG é empregado, pode-se observar uma grande melhora na mensuração do valor do ADC lipídico. No fantoma WF de 11.000 rpm, a medição de ADC parece não ser muito afetada por vibrações, portanto, os 3 cenários de medição fornecem valores de ADC de lipídios muito semelhantes. As diferenças em ambos os fantomas podem ser explicadas por diferentes tamanhos de gotas de óleo dentro dos 2 fantomas, 12 resultando em diferentes propriedades viscoelásticas dos fantomas: o fantoma de 11.000 rpm é mais viscoso do que o fantoma de 6000 rpm. Portanto, o efeito das vibrações na perda geral do sinal é altamente dependente das propriedades do tecido e pode variar muito entre os diferentes tipos de tecido. Porém, deve-se observar que o VMG não causa artefatos na quantificação do ADC quando a estimativa sem o gradiente adicional já é suficiente (como pode ser visto no fantoma WF de 11.000 rpm). Portanto, a aplicação do VMG global melhora a precisão do valor medido de ADC de lipídio em fantomas.

O coeficiente de variação para a estimativa de ADC lipídico in vivo diminuiu significativamente quando o VMG foi empregado em todos os 3 voluntários. Uma estimativa correta das propriedades de difusão dos lipídios é particularmente importante quando os efeitos de alta ordem, como os efeitos de restrição à difusão, são investigados. 12 O valor ADC muda em uma célula de gordura de 80 µm de diâmetro in vivo em aproximadamente 1% por aumento do tempo de difusão de 100 ms.

Portanto, é necessária uma alta precisão na aquisição do sinal DW. O método apresentado pode ser usado para melhorar a qualidade das medições DW MR e, eventualmente, a precisão das estimativas do tamanho das gotículas de lipídios.

O estudo proposto apresenta as seguintes limitações: Primeiramente, os dados do interferômetro do laser e os dados do DW-MRS foram adquiridos posteriormente e não no mesmo fantoma. No entanto, as limitações experimentais não permitiram uma aquisição simultânea nos mesmos fantomas. Consequentemente, a ligeira incompatibilidade entre a curva de fase acumulada e a amplitude do pico de metileno na Figura 6 poderia muito provavelmente ser explicada pelos diferentes materiais fantasmas com diferentes efeitos viscoelásticos. Esta diferença nas propriedades do material leva a diferenças no deslocamento observado com diferentes frequências e amortecimento. No entanto, a tendência geral também é visível neste conjunto de dados mesclado com base em diferentes experimentos. Em segundo lugar, a dispersão de fase foi medida apenas em uma superfície 2D e não em um volume 3D. Para uma estimativa precisa do efeito de defasagem intravoxel com a perda de sinal correspondente, a fase acumulada deve ser calculada para cada ponto em um volume 3D. No entanto, a metodologia de interferômetro de laser empregada só permite medições em uma superfície sem informações de profundidade. Como os efeitos de dispersão de fase são visíveis até mesmo em uma superfície 2D, espera-se que os efeitos de dispersão de fase estejam presentes e podem ser ainda mais graves se as medições tivessem sido estendidas para uma análise 3D. As medições apresentadas não permitem uma quantificação precisa da dispersão da fase intravoxel 3D, no entanto, com base nas informações da superfície 2D, pode-se concluir que a perda de sinal deve ser reduzida quando o VMG é aplicado.

Outra forma de reduzir artefatos vibracionais em sequências ponderadas por difusão seria a redução do ruído acústico produzido pelos gradientes aplicados. Isso poderia ser alcançado combinando a frequência do gradiente de difusão variável no tempo aos mínimos da função de resposta do gradiente de varredura 24 ou reduzindo a taxa de variação dos gradientes de difusão. No entanto, as abordagens acima levariam a menos flexibilidade na seleção do tempo de sequência e, muito provavelmente, a TEs pré-prolongados.

A abordagem proposta pode ser teoricamente aplicada em outras sequências DW MR com penalidade de tempo menor ou desprezível adicionando o VMG antes do início da preparação de difusão.

Uma correspondência ainda melhor dos estados vibracionais pode ser alcançada estendendo o VMG e também adicionando outros gradientes (por exemplo, gradientes de seleção de fatia ou gradientes de spoiler) no pré-pulso de gradiente. A abordagem proposta também pode ser de interesse em imagens DW do cérebro, onde artefatos induzidos por vibração foram relatados anteriormente. 7 Especialmente em casos pediátricos, os efeitos da vibração podem ser ainda mais graves devido ao peso leve dos pacientes e à otimização típica do hardware do scanner para pesos e dimensões de adultos. 8 A tendência geral de alta b-valor difusão cerebral que permite imagens de tensor de difusão de alta resolução com rastreamento de fibra vem com o custo de gradientes de difusão mais fortes e mais longos. 9 Espera-se que esses requisitos mais exigentes no hardware do scanner de gradiente aumentem a ocorrência e a força dos artefatos de vibração. O VMG proposto não é capaz de recuperar completamente o sinal perdido, mas pode reduzir o artefato com uma penalidade menor no tempo de aquisição. Novos estudos devem se concentrar na aplicação da técnica proposta em outras medidas de DW para reduzir artefatos.


Engenharia e Projeto relacionado NC (V) Nível 2-4

O Certificado Nacional (Profissional) (Engenharia e Projetos Relacionados) é uma nova Qualificação de Engenharia e Projetos Relacionados em cada um dos Níveis 2, 3 e 4 do NQF. Esta qualificação é projetada para fornecer a teoria e prática de Engenharia e Design Relacionado. O componente prático de estudo pode ser oferecido em um ambiente de trabalho real ou em um ambiente de trabalho simulado. Isso proporcionará aos alunos a oportunidade de vivenciar situações de trabalho durante o período de estudos.

Disciplinas obrigatórias fundamentais:

  • Primeiro idioma adicional & # 8211, que deve ser o idioma de ensino e aprendizagem
  • Alfabetização Matemática ou Matemática e
  • Orientação para a vida

Assuntos Profissionais

  • Fundamentos de Engenharia
  • Tecnologia de Engenharia
  • Sistemas de Engenharia

E um dos seguintes

E um dos seguintes

E um dos seguintes

Planos da Carreira

  • Participar na concepção e construção de edifícios
  • Participar da fabricação de ferramentas, máquinas e motores
  • Participar da manutenção da operação e das máquinas
  • Extração de minerais metálicos e não metálicos
  • Projeto de poço e sistemas de ventilação
  • Interpretar e produzir desenhos de engenharia, mapas, esboços e design auxiliado por computador (CAD)
  • Extraia ferramentas, equipamentos, métodos e processos para produzir componentes

Oportunidade de carreira

  • Engenharia Metalúrgica e de Materiais
  • Montagem e Usinagem
  • Engenheiro químico
  • Engenharia Mecânica
  • Engenharia de petróleo
  • Fabricação de automóveis / li>
  • Engenharia aeroespacial
  • Fabricação de ferramentas

Lançamento das novas instalações da faculdade

# SALVAR VIDAS SALVAR O ANO ACADÊMICO

O CEO da Higher Health, Dr. Ramneek no SABC Morning Live discutindo seus planos para galvanizar os jovens como agentes de mudança social na luta contra # COVID-19

Entrevista com o Sr. Nkosi e # 038 com o Dr. Schuur


Controle ótimo intrínseco para sistemas mecânicos em Lie Group.

Os métodos tradicionais descrevem o sistema mecânico em um espaço euclidiano plano com coordenadas locais, sendo inevitável o problema causado pelas coordenadas locais, como a singularidade e ambigüidade causadas pelos ângulos de Euler [1]. O grupo de Lie é uma ferramenta eficaz e confiável para representar os estados de sistemas mecânicos em uma abordagem livre de coordenadas intrínsecas. A pose (ou seja, posição e atitude) de sistemas mecânicos pode ser descrita como um elemento do grupo de Lie e a velocidade pode ser definida no espaço tangente correspondente. Sem coordenadas locais, o modelo do sistema baseado no grupo de Lie é conciso e compacto [2].Usando o método geométrico, as características geométricas adequadas do sistema mecânico são preservadas e o ponto de vista geométrico do sistema é fornecido.

Muitos trabalhos convencionais em teoria de controle não linear foram desenvolvidos em estruturas de espaço plano com coordenadas locais [3]. No entanto, esses métodos de controle não podem ser aplicados ao sistema representado pelo grupo de Lie diretamente. Assim, é necessário um método de controle geométrico intrínseco compatível para o sistema no grupo de Lie. Bullo e Murray forneceram a condição de controlabilidade no grupo de Lie e apresentaram uma estrutura de controle PD geométrica para sistemas mecânicos totalmente atuados em SO (3) e SE (3) [4-6]. O erro de configuração foi descrito com geodésicas no grupo de Lie e a convergência exponencial da função energia foi obtida. Maithripala projetou um observador Luenberger intrínseco no grupo de Lie com informações intrínsecas e fornece um controlador de rastreamento sem coordenadas para sistemas mecânicos no grupo de Lie [7-9]. Ele também introduziu um método PID geométrico intrínseco com diferenciação covariante para sistema invariante à esquerda ou invariante à direita [3, 10]. Bullo et al. usou uma função de Morse suave como a função de erro de configuração que induziu o erro de configuração em uma coordenada da natureza no grupo de Lie. Em seguida, controladores PD geométricos em SO (3) e SE (3) foram projetados e aplicados em um quadrotor [2, 11-13]. Além disso, Lee et al. forneceu o método geométrico ótimo computacional em SO (3) [14, 15] e empregou o princípio do máximo de Pontryagin para obter soluções de um problema de tempo ótimo em malha aberta. Spindler forneceu as equações diferenciais que os controles ótimos devem satisfazer através do princípio do máximo de Pontryagin. E os resultados propostos foram aplicados a uma nave espacial [16]. Saccon et al. usou o método de controle ótimo de malha fechada semelhante a LQR no SO (3) com distância Euclidiana [17]. E Berkane e Tayebi utilizaram a distância geodésica no SO (3) para substituir a distância euclidiana e obtiveram uma analogia com a equação de Riccati [18]. No entanto, com a ignorância da cinética, essas soluções ótimas em malha fechada só funcionam para a cinemática do sistema.

Este artigo estende o método de controle ótimo de malha fechada para uma classe de sistemas mecânicos no grupo de Lie considerando tanto a cinemática quanto a cinética. Com o modelo intrínseco de uma classe de sistemas mecânicos no grupo de Lie, um loop de controle de feedback no espaço tangente correspondente é fornecido através do método de linearização de feedback, e um modelo nominal mais simples do sistema mecânico no grupo de Lie é obtido. Essa abordagem visa garantir que a solução analítica ótima seja alcançável. A função de custo é construída com base na métrica de Riemann e uma abordagem de programação dinâmica é adotada para resolver o problema de controle ótimo. A solução ótima do sistema nominal no grupo de Lie é apresentada com as soluções de viscosidade da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman. Finalmente, o método de controle ótimo intrínseco é aplicado à dinâmica de rotação do quadrotor, cuja variedade de configuração é o padrão SO (3). Os desempenhos do método de controle ótimo intrínseco são demonstrados por meio de simulações abrangentes.

2. Lie Group e Riemann Manifold

2.1. Grupo de Lie e Álgebra de Lie. O grupo de Lie G é uma variedade lisa com estrutura de grupo suave incorporada. q [membro de] G é um elemento do grupo de Lie, e seu espaço tangente é [T.sub.q] G. Se q é igual ao elemento de identidade e do grupo de Lie, o espaço tangente correspondente [T.sub.e] G é o espaço da álgebra de Lie g. O espaço da álgebra de Lie g [equivalente] [R.sup.n] é isomorfo ao espaço euclidiano e é um espaço plano, onde n denota a dimensão do grupo de Lie. Então, o espaço tangente de um elemento arbitrário no grupo de Lie pode ser obtido pela ação de translação à esquerda.

Para q, h [membro de] G, um mapa [L.sub.q]: G [seta para a direita] G, h [seta para a direita] qh, se um campo vetorial X no grupo de Lie for X (qh) = [T .sub.h] [L.sub.q] X (h), onde [T.sub.h] [L.sub.q] é o mapa tangente de [L.sub.q] em h, o campo vetorial X é invariante à esquerda e o mapa [L.sub.q] é o mapa de tradução à esquerda.

No grupo de Lie, o mapa exponencial exp: g [seta para a direita] G é um difeomorfismo local. O espaço de álgebra de Lie g pode ser usado para representar elementos do grupo de Lie G via mapa exponencial. O mapa inverso do mapa exponencial é logarítmico do mapa: G [seta para a direita] g. O mapa logarítmico pode ser considerado como um gráfico local do grupo de Lie. Cada elemento no grupo de Lie pode ser expresso no espaço da álgebra de Lie por meio do mapa logarítmico.

Para um sistema mecânico, sua postura pode ser descrita como um elemento único de um grupo de Lie e um movimento contínuo do sistema mecânico pode ser descrito como uma curva integral suave no grupo de Lie. Sua velocidade é definida no espaço tangente de cada elemento da curva integral. Uma introdução abrangente do grupo de Lie e álgebra de Lie pode ser encontrada em [19, 20].

2.2. Riemann Metric. A métrica de Riemann é um tensor de covariância de segunda ordem g: TG x TG [seta para a direita] R. Para todos os elementos q [membro de] G, [g.sub.q] é a forma bilinear definida positiva simétrica no espaço tangente [T.sub.q] G. Denotamos a métrica [g.sub.q] com o símbolo & lt & lt *, * & gt & gt. O mapa de translação em G induz um mapa tensorial inercial no espaço tangente I: TG [seta para a direita] T * G, onde T * G é o espaço dual do espaço tangente TG. Usando o tensor inercial, uma métrica de Riemann invariante à esquerda no grupo de Lie G pode ser induzida como [expressão matemática não reproduzível] é o campo vetorial de q [membro de] G.

2.3. Conexão Levi-Civita. Com a métrica Riemann & lt & lt *, * & gt em G, há uma conexão sem torção exclusiva, que é a conexão Levi-Civita. Para campos de vetor X = [X.sup.k] [E.sub.k] e Y = [Y.sup.k] [E.sub.k], a conexão Levi-Civita é dada como

[nabla] X = (d [X.sup.k] (Y) + [w.sup.k.sub.ij [Y.sup.i] [X.sub.j]) [E.sub.k] . (1)

Os termos [w.sup.k.sub.ij são os coeficientes de conexão no quadro <[E.sub.k]>. A métrica de Riemann no grupo de Lie G é invariante à esquerda, então os coeficientes de conexão são constantes, o que pode ser obtido por

[w.sup.k.sub.ij = 1/2 [C.sup.k.sub.ij] - [F.sup.ks] ([F.sub.ir] [C.sup.r.sub. js] + [F.sub.jr] [C.sup.r.sub.is]). (2)

onde [C.sup.k.sub.ij] são as constantes da estrutura do quadro <[E.sub.k]>.

2.4. Sistemas Mecânicos no Grupo Lie. Se a variedade de configuração do sistema mecânico for um grupo de Lie G, a velocidade pode ser definida no espaço tangente. A métrica de Riemann no espaço tangente pode ser usada para descrever a energia cinética do sistema mecânico. E uma função de Morse suave relacionada à configuração q [membro de] G pode ser encontrada para descrever a energia potencial [3]. As forças generalizadas são todas definidas no espaço cotangente, que é o espaço dual do espaço tangente.

Com a métrica de Riemann no grupo de Lie G, a energia cinética do sistema mecânico é definida como [expressão matemática não reproduzível], onde [expressão matemática não reproduzível], e uma função de Morse suave u (q) é usada para definir a energia potencial em q [membro de] G. Então, as equações intrínsecas de Euler-Poincare do sistema mecânico no grupo de Lie são dadas por

[expressão matemática não reproduzível] (3)

onde [f.sup.c] (q) é a força conservadora, [f.sup.d], [xi]) é a força úmida, e [f.sup.u] (q, [xi]) é a força de controle generalizada. [f.sup.c] (q), [f.sup.d] (q, [xi]), [f.sup.u] (q, [xi]) e T * G e derivada covariante [matemática expressão não reproduzível] satisfaz a condição [expressão matemática não reproduzível]. Observe o fato de que a conexão Levi-Civita é invariante à esquerda, e (3) também pode ser expressa como

[expressão matemática não reproduzível], (5)

onde [ad.sup. *. sub. [xi]] é o operador adjunto do espaço dual da álgebra de Lie [xi] [membro de] g.

3. Problema ótimo intrínseco no grupo de Lie

3.1. Declaração do problema. Para um sistema mecânico no grupo de Lie, o problema genérico de controle ótimo geométrico de segunda ordem pode ser formulado como segue. Dada a condição inicial [q.sub.0] [membro de] G, [[xi] .sub.0] [membro de] g, e [t.sub.0], consideramos o problema de otimização

[expressão matemática não reproduzível] (6)

sujeito à equação cinemática (4) e à equação cinética (5), onde C (q (t), [xi] (t), [f.sup.u] (t)) é um item de custo incremental e é descrito em uma forma quadrática [expressão matemática não reproduzível].

O item de custo incremental significa que o erro de estado geométrico e a entrada de controle são considerados na função de custo. log: G [seta para a direita] g é o mapa do logaritmo no grupo de Lie, que pode encontrar um elemento correspondente no espaço da álgebra de Lie para um elemento arbitrário do grupo de Lie. [eta] = log (q) [membro de] g são as coordenadas exponenciais do elemento q [membro de] G, e a distância geodésica entre o elemento q [membro de] G e a identidade e [membro de] G pode ser dada pela métrica das coordenadas exponenciais [expressão matemática não reproduzível]. O custo incremental é semelhante ao problema LQR no sistema linear. (1/2) [paralelo] log (q) [[paralelo] .sup.2] e (1/2) [paralelo] [xi] [[paralelo] .sup.2] representam a métrica de Riemann de erro de configuração do sistema e erro de velocidade correspondente, respectivamente. (a / 2) [paralelo] [f.sup.n] (i) [[paralelo] .sup.2] indica a energia de controle. O peso [alfa] & gt0 está relacionado ao consumo de energia de controle.

3.2. Decouple de feedback de equação dinâmica. Para o sistema (5), a equação dinâmica está no espaço da álgebra de Lie. Embora o espaço da álgebra de Lie seja plano e isomórfico ao espaço euclidiano, o sistema é acoplado. Isso pode levar a uma equação diferencial parcial extremamente complexa no problema não linear ótimo, e a solução analítica da equação diferencial parcial é quase impossível de ser obtida. Para obter a solução analítica, um loop de feedback extra é usado para desacoplar a equação dinâmica do sistema.

Com as suposições apropriadas de que a força conservativa [f.sup.c] (q) e a força úmida [f.sup.d] (q, [xi]) são todas conhecidas, o controle de feedback de dynamic (5) é projetado como

[f.sup.u] = Iv - [] ad.sup. *. sub / [xi]] + [f.sup.c] (q) + [f.sup.d] (q, [xi]) ] (7)

Em (5), o mapa tensorial inercial I dos sistemas mecânicos é positivo, e então o mapa tensorial inverso [I.sup.-1]: [T.sup. *] G [seta para a direita] TG podem ser encontrados todos os Tempo. Usando o controle de feedback (7), a equação dinâmica do sistema (5) é transferida para

onde v [membro de] 0 TG é o termo de controle virtual do sistema. E (8) é o sistema dinâmico nominal de (5) com o feedback (7). Então, o problema ótimo é considerado com a cinemática (4) e a dinâmica nominal (8).

3.3. Solução de controle otimizado Infinite Horizon. Considere o seguinte problema de controle ótimo do sistema mecânico no grupo de Lie:

[expressão matemática não reproduzível], (9)

Usando a abordagem de programação dinâmica, o problema de controle ótimo pode ser estudado olhando para a função de valor invariante no tempo V (q, [xi]), que deve ser uma equação de viscosidade única para a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman. De acordo com [21-23], a função de valor V (q, [xi]) satisfaz a equação

[expressão matemática não reproduzível] (11)

onde [expressão matemática não reproduzível] a forma de Lagrange no objetivo ótimo (9) e p é o vetor multiplicador de Lagrange. F (q, [xi], v] = [qx [xi], v] .sup.T] é o vetor de função cinética e dinâmica. Grad V é o gradiente da função de valor V (q, [xi]) e grad V = [[[derivada parcial] V / [derivada parcial] q, [derivada parcial] V / [derivada parcial] [xi]]. sup.T]. Observe que a função de valor V (q, [xi]) é invariante no tempo, então temos [derivada parcial] V / [derivada parcial] t = 0.

A função de valor V (q, [xi]) satisfaz H (q, [xi] grad V) = 0, o que significa

[expressão matemática não reproduzível] (12)

Proposição 1. O controle ótimo [v.sup. *], Que satisfaz (12), é

[expressão matemática não reproduzível] (13)

e a função de valor correspondente V (q, [xi]) é a solução da equação diferencial parcial:

[expressão matemática não reproduzível] (14)

Prova. Defina uma função [expressão matemática não reproduzível] que podemos obter

[expressão matemática não reproduzível] (15)

que é uma forma quadrática. O valor mínimo e o controle correspondente [v.sup. *] Podem ser obtidos por especialidades de uma equação quadrática. Então

[expressão matemática não reproduzível] (16)

O controle correspondente é [v.sup. *] = - (1 / [alfa]) * ([derivada parcial] V / [derivada parcial] C). E a função de valor V satisfaz a equação H = 0. Observe que a solução para a equação quadrática só é válida quando restrita a um conjunto aberto.

Proposição 2. [expressão matemática não reproduzível] é a solução da equação diferencial parcial (14) com as condições dos coeficientes:

[expressão matemática não reproduzível] (17)

Prova. Para obter o gradiente da função de valor V (q, [xi]), a derivada de tempo é necessária.

[expressão matemática não reproduzível] (18)

Observe a relação entre a derivada do tempo e as derivadas parciais, então

[expressão matemática não reproduzível] (19)

A métrica de Riemann é invariante à esquerda, o que significa

[expressão matemática não reproduzível]. (20)

Comparando (18) com (20), as derivadas parciais da função de valor podem ser expressas como

[expressão matemática não reproduzível] (21)

Tomando (21) em (14), a equação é

[expressão matemática não reproduzível] (22)

Simplificando a equação com as propriedades da métrica de Riemann, temos

[expressão matemática não reproduzível] (23)

Para fazer q e [xi] arbitrários satisfaçam a equação idêntica (23), os coeficientes devem atender às seguintes condições:

[expressão matemática não reproduzível] (24)

Em seguida, quatro conjuntos de soluções de (24) podem ser obtidos como

[expressão matemática não reproduzível] (25)

No entanto, algumas das soluções não podem garantir que a lei de controle estabilize os estados. Em seguida, escolheremos a solução adequada através da teoria da estabilidade do sistema dinâmico.

Com a Proposição 1, o controle de feedback subótimo do sistema mecânico nos grupos de Lie (4) e (8) é

[v.sup. *] = -1 / [alfa] [([k.sub.2] + [k.sub.2] [xi] + [k.sub.3] log (q)]. (26 )

Finalmente, para um sistema mecânico geral nos grupos de Lie (4) e (5), o controle ideal é

[expressão matemática não reproduzível] (27)

Observe que a estrutura topológica do controle ótimo (27) é um quadro de controle de feedback geométrico PD como mostrado em [8]. Com [k.sub.p] = [k.sub.3] e [k.sub.d] = [k.sub.2] + [k.sub.3], fica provado que se [k.sub .p] e [k.sub.d] são positivos, a lei de controle geométrica PD localmente estabiliza exponencialmente o estado q no elemento de identidade (ver [8], Teorema 6).

Observe o peso [alfa] & gt 0, para ter certeza de que a lei de controle ideal pode estabilizar os estados q e [xi], [k.sub.p] e [k.sub.d] devem ser positivos. Então [[GAMMA] .sub.l] é a única solução adequada de (24).

O controle ótimo (27) não depende das coordenadas locais. Ele usa apenas as informações intrínsecas do sistema mecânico, e o controle ideal é intrínseco. Observe que o controle ótimo (27) é muito semelhante à solução do problema LQR para um sistema linear invariante no tempo [24].

Para avaliar a eficácia do algoritmo de controle proposto (27) para uma classe de sistemas mecânicos no grupo de Lie, simulações são realizadas com o método de controle ótimo intrínseco proposto em termos de uma dinâmica de rotação quadrotor geométrica intrínseca no grupo de Lie SO (3). As simulações são desenvolvidas usando MATLAB / Simulink, e o método de integração numérica de Crouch-Grossman é adaptado para proteger a estrutura geométrica do grupo de Lie [25]. Por padrão, MATLAB / Simulink usa 16 dígitos de precisão. O intervalo de tempo da simulação é de 0,01 s.

Sem considerar a força de amortecimento [f.sup.d] (q, [xi]) e a força conservativa [f.sup.c] (q) = 0 para a dinâmica de rotação, a dinâmica de rotação geométrica livre de coordenadas do quadrotor é [26]

[expressão matemática não reproduzível] (28)

onde R [membro de] SO (3) é a configuração da rotação do quadrotor, w = [[[w.sub.1], [w.sup.2], [w.sup.3]]. sup.T ] e [R.sup.3] é a velocidade de rotação no quadro de corpo fixo, [ad.sup. *. sub.w] Jw = -wx Jw, M [membro de] T * SO (3) é o momento de controle e mapa de chapéu [??]: [R.sup.3] [seta para a direita] então (3) é um isomorfismo de álgebra de Lie

[expressão matemática não reproduzível] (29)

Suponha que o quadrotor seja de simetria axial e o tensor inercial seja dado como J = diag <0,0114,0,0114, 0,0227> kg x [m.sup.2]. As condições iniciais são dadas como [expressão matemática não reproduzível] e [w.sub.0] = [0,01 0,01 0,01]. Os ganhos de controle com pesos diferentes a são mostrados na Tabela 1. Usando a lei de controle ideal (27), os resultados de controle de regulação de horizonte infinito ideais são mostrados nas Figuras 1-6.

Com a coordenada exponencial [expressão matemática não reproduzível], o erro de configuração da atitude do quadrotor pode ser definido como [e.sub.R] = X e a função de erro de configuração é definida como [expressão matemática não reproduzível] 2-norma do vetor X e R3. A fórmula analítica do mapa logarítmico no SO (3) pode ser encontrada em [5,18]. Para o problema de controle de regulação de horizonte infinito ótimo, o erro de configuração convergirá para zero com o tempo, conforme mostrado na Figura 1. Quando [psi] (R) = 0, R = I [membro de] SO (3) e (R, 0 ) é o ponto estável da dinâmica de rotação do quadrotor (28). Os erros de configuração da atitude do quadrotor com pesos diferentes são apresentados na Figura 2. Como mostrado, maior peso a significa menos controle e pior desempenho dinâmico. Isso é análogo ao método LQR para um sistema linear.

As velocidades de rotação e entradas de momento de controle são mostradas nas Figuras 3 e 4, respectivamente. A Figura 1 indica que um a menor leva a uma velocidade de resposta do sistema mais rápida e resulta em uma largura de banda maior. Definimos o consumo total do momento de controle como [expressão matemática não reproduzível] e o consumo do controle virtual como [expressão matemática não reproduzível]. O consumo de energia de controle é mostrado na Tabela 2. Os resultados indicam que um a menor leva a uma energia de controle virtual menor. Com as mesmas condições iniciais e tensor inercial, o controle virtual menor resulta em velocidades de rotação mais lentas e momentos de controle menores.

De acordo com (9) e (27), os valores de função minimizados [J.sup. *] = 7 ([g.sub.0], [[xi] .sub.0], [t.sub.0], [v.sup. *]) de pesos diferentes a são mostrados na Figura 6.

Usando informações intrínsecas de sistemas mecânicos no grupo de Lie, um problema de controle geométrico ótimo é investigado. Um ciclo de feedback de desacoplamento é adotado para garantir que a solução analítica possa ser obtida. Usando uma abordagem de programação dinâmica, a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman é derivada para obter a solução analítica do problema de controle ótimo geométrico. A eficácia do algoritmo de controle ótimo proposto é ilustrada por meio de simulações. O trabalho futuro inclui a consideração de perturbações externas específicas e incertezas e abordagens para obter as informações intrínsecas com sensores convencionais.

Os autores declaram não haver conflito de interesses quanto à publicação deste artigo.

Este trabalho é financiado pela Fundação Nacional de Ciências Naturais da China sob o Grant no. 11572036. Os autores também agradecem a Yun Yuhang e Wang Tianning por seus comentários úteis e edição de linguagem, que melhoraram muito o manuscrito.

[1] T. Lee, "Controle de rastreamento geométrico da dinâmica de atitude de um corpo rígido em SO (3)," em Proceedings of the American Control Conference (ACC '11), pp. 1200-1205, San Francisco, Califórnia, EUA, julho de 2011.

[2] F. Bullo e A. D. Lewis, Controle Geométrico de Sistemas Mecânicos: Modelagem, Análise e Projeto para Sistemas de Controle Mecânico Simples, vol. 49, Springer Science & amp Business Media, 2004.

[3] D. H. Maithripala e J. M. Berg, "Um controlador PID intrínseco para sistemas mecânicos em grupos de Lie," Automatica, vol. 54, pp. 189-200, 2015.

[4] F. Bullo, "Invariant affine connections and controlability on lie groups", Relatório Final do Projeto para CIT-CDS 141a, California Institute of Technology, 1995.

[5] F. Bullo e R. M. Murray, "Proportional derivative (PD) control on the Euclidean group", em Proceedings of the European Control Conference, vol. 2, pp. 1091-1097, 1995.

[6] F. Bullo e R. M. Murray, "Rastreamento para sistemas mecânicos totalmente atuados: uma estrutura geométrica", Automatica, vol. 35, não. 1, pp. 17-34, 1999.

[7] D. H. Maithripala, J. M. Berg e W. P. Dayawansa, "Rastreamento quase global de sistemas mecânicos simples em uma classe geral de grupos de Lie," Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Automatic Control, vol. 51, nº 2, pp. 216-225, 2006.

[8] D. H. Maithripala, J. M. Berg e W. P. Dayawansa, "A coordinate-free approach to tracking for simple Mechanical systems on lie groups", em New Directions and Applications in Control Theory, vol. 321, pp. 223-237, 2005.

[9] D. H. Maithripala, W. P. Dayawansa e J. M. Berg, "Intrinsic observer-based Stabilization for Simple Mechanical systems on Lie groups", SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 44, não. 5, pp. 1691-1711, 2005.

[10] D. H. S. Maithripala e J. M. Berg, "Um controlador PID robusto intrínseco em grupos de Lie," em Proceedings of the 2014 53rd IEEE Annual Conference on Decision and Control, CDC 2014, pp. 5606-5611, dezembro de 2014.

[11] T. Lee, "Controle adaptativo geométrico para transporte aéreo de um corpo rígido", Matemática, 2015.

[12] T. Lee, M. Leok e N. H. McClamroch, "Controle de rastreamento geométrico de um UAV quadrotor para manobrabilidade extrema", em Proceedings of the 18th IFAC World Congress, pp. 6337-6342, setembro de 2011.

[13] T. Lee, M. Leok e N. McClamroch, "Controle de rastreamento geométrico de um UAV quadrotor em SE (3)", em Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control (CDC '10), Atlanta, Ga, EUA, dezembro de 2010.

[14] T. Lee, M. Leok e N. H. McClamroch, "Controle de atitude ótima de um corpo rígido usando cálculos geometricamente exatos em SO (3)," Journal of Dynamical and Control Systems, vol. 14, não. 4, pp. 465-487, 2008.

[15] T. Lee, Mecânica geométrica computacional e controle de corpos rígidos, Universidade de Michigan, 2008.

[16] K. Spindler, "Controle ótimo em grupos de Lie com aplicações para controle de atitude," Mathematics of Control, Signals, and Systems, vol. 11, não. 3, pp. 197-219, 1998.

[17] A. Saccon, J. Hauser e A. P. Aguiar, "Exploration of Kinematic Optimal Control on The Lie Group SO (3)," IFAC Proceedings Volumes, vol. 43, não. 14, pp. 1302-1307, 2010.

[18] S. Berkane e A. Tayebi, "Some Optimization Aspects on the Lie Group SO (3)," IFAC-PapersOnLine, vol. 48, nº 3, pp. 1117-1121, 2015.

[19] D. H. Sattinger e O. L. Weaver, grupos e álgebras de Lie com aplicações à física, geometria e mecânica, vol. 61 of Applied Mathematical Sciences, Springer Science & amp Business Media, 2013.

[20] A. Iserles, H. Z. Munthe-Kaas, S.P. N0rsett e A. Zanna, "Liegroup methods," Acta Numerica, vol. 9, pp. 215-365, 2000.

[21] A. Bressan, "Soluções de viscosidade de equações de Hamilton-Jacobi e problemas de controle ideal," Lecture Notes, 2011.

[22] M. Bardi e I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions ofHamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser, Boston, Mass, EUA, 1997.

[23] D. Liberzon, Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Princeton University Press, Princeton, NJ, EUA, 2012.

[24] P. Tsiotras, "Optimal Control with Engineering Applications (Geering, H. 2007) [Bookshelf]," IEEE Control Systems, vol. 31, nº 5, pp. 115-117, 2011.

[25] E. Hairer, C. Lubich, e G. Wanner, Integração numérica geométrica: algoritmos de preservação de estrutura para equações diferenciais ordinárias, Springer, 2006.

[26] T. Lee, "Global Exponential Attitude Tracking Controls on SO (3)," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 60, não. 10, pp. 2837-2842, 2015.

Chao Liu, Shengjing Tang e Jie Guo

Laboratório Chave de Dinâmica e Controle de Veículos de Voo, Ministério da Educação, Escola de Engenharia Aeroespacial, Instituto de Tecnologia de Pequim, Pequim 100081, China

A correspondência deve ser enviada para Shengjing Tang [email protected]

Recebido em 31 de março de 2017 Revisado em 10 de maio de 2017 Aceito em 30 de maio de 2017 Publicado em 12 de julho de 2017

Editor Acadêmico: Juan C. Marrero

Legenda: Figura 1: Valores da função de erro de configuração com pesos diferentes.

Legenda: Figura 2: Erros de configuração com pesos diferentes.

Legenda: Figura 3: Velocidades de rotação com pesos diferentes.

Legenda: Figura 4: Momentos de controle com pesos diferentes.

Legenda: Figura 5: Sinal de controle virtual ideal com pesos diferentes.


Assista o vídeo: Vibrações Mecânicas - 4 Modelos Básicos (Novembro 2021).