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13.4: Planos tangentes, aproximações lineares e o diferencial total


objetivos de aprendizado

  • Determine a equação de um plano tangente a uma determinada superfície em um ponto.
  • Use o plano tangente para aproximar uma função de duas variáveis ​​em um ponto.
  • Explique quando uma função de duas variáveis ​​é diferenciável.
  • Use o diferencial total para aproximar a mudança em uma função de duas variáveis.

Nesta seção, consideramos o problema de encontrar o plano tangente a uma superfície, que é análogo a encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva quando a curva é definida pelo gráfico de uma função de uma variável, (y = f (x) ). A inclinação da reta tangente no ponto (x = a ) é dada por (m = f ′ (a) ); qual é a inclinação de um plano tangente? Aprendemos sobre a equação de um plano em Equações de linhas e planos no espaço; nesta seção, vemos como isso pode ser aplicado ao problema em questão.

Planos Tangentes

Intuitivamente, parece claro que, em um plano, apenas uma linha pode ser tangente a uma curva em um ponto. No entanto, no espaço tridimensional, muitas linhas podem ser tangentes a um determinado ponto. Se essas linhas estiverem no mesmo plano, elas determinam o plano tangente naquele ponto. Uma maneira mais intuitiva de pensar em um plano tangente é assumir que a superfície é lisa naquele ponto (sem cantos). Então, uma linha tangente à superfície naquele ponto em qualquer direção não tem nenhuma mudança abrupta na inclinação porque a direção muda suavemente. Portanto, em uma vizinhança pequena o suficiente ao redor do ponto, um plano tangente toca a superfície apenas naquele ponto.

Definição: linhas tangentes

Seja (P_0 = (x_0, y_0, z_0) ) um ponto em uma superfície (S ), e seja (C ) qualquer curva passando por (P_0 ) e totalmente em (S ). Se as linhas tangentes a todas as curvas (C ) em (P_0 ) estão no mesmo plano, então este plano é chamado de plano tangente para (S ) em (P_0 ) (Figura ( PageIndex {1} )).

Para que um plano tangente a uma superfície exista em um ponto dessa superfície, é suficiente que a função que define a superfície seja diferenciável naquele ponto. Definimos o termo plano tangente aqui e, em seguida, exploramos a ideia intuitivamente.

Definição: planos tangentes

Seja (S ) uma superfície definida por uma função diferenciável (z = f (x, y), ) e seja (P_0 = (x_0, y_0) ) um ponto no domínio de (f ). Então, a equação do plano tangente a (S ) em (P_0 ) é dada por

[z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0). label {tanplane} ]

Para ver por que essa fórmula está correta, vamos primeiro encontrar duas linhas tangentes à superfície (S ). A equação da linha tangente à curva que é representada pela interseção de (S ) com o traço vertical dado por (x = x_0 ) é (z = f (x_0, y_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) ). Da mesma forma, a equação da linha tangente à curva que é representada pela interseção de (S ) com o traço vertical dado por (y = y_0 ) é (z = f (x_0, y_0) + f_x ( x_0, y_0) (x − x_0) ). Um vetor paralelo à primeira linha tangente é ( vecs a = , hat { mathbf j} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf k} ); um vetor paralelo à segunda linha tangente é ( vecs b = hat { mathbf i} + f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf k} ). Podemos pegar o produto cruzado desses dois vetores:

[ begin {align *} vecs a times vecs b & = (, hat { mathbf j} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf k}) × (, hat { mathbf i} + f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf k}) [4pt] & = begin {vmatrix} hat { mathbf i} & hat { mathbf j} & hat { mathbf k} [4pt] 0 & 1 & f_y (x_0, y_0) [4pt] 1 & 0 & f_x (x_0, y_0) end {vmatrix} [4pt] & = f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf i} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k}. end {align *} ]

Este vetor é perpendicular a ambas as linhas e, portanto, é perpendicular ao plano tangente. Podemos usar este vetor como um vetor normal para o plano tangente, junto com o ponto (P_0 = (x_0, y_0, f (x_0, y_0)) ) na equação para um plano:

[ begin {align *} vecs n · ((x − x_0) , hat { mathbf i} + (y − y_0) , hat { mathbf j} + (z − f (x_0, y_0)) , hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] (f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf i} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k}) · ((x − x_0) , hat { mathbf i} + (y − y_0) , hat { mathbf j} + (z − f (x_0, y_0)) , hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) - (z −f (x_0, y_0)) & = 0. end {align *} ]

Resolver esta equação para (z ) nos dá a Equação ref {tanplane}.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando um plano tangente

Encontre a equação do plano tangente à superfície definida pela função (f (x, y) = 2x ^ 2−3xy + 8y ^ 2 + 2x − 4y + 4 ) no ponto ((2, −1) . )

Solução

Primeiro, devemos calcular (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ), então usar a Equação com (x_0 = 2 ) e (y_0 = −1 ):

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 4x − 3y + 2 [4pt] f_y (x, y) & = - 3x + 16y − 4 [4pt] f (2, - 1) & = 2 (2) ^ 2−3 (2) (- 1) +8 (−1) ^ 2 + 2 (2) −4 (−1) + 4 = 34 [4pt] f_x (2 , −1) & = 4 (2) −3 (−1) + 2 = 13 [4pt] f_y (2, −1) & = - 3 (2) +16 (−1) −4 = −26 . end {align *} ]

Então a Equação ref {tanplane} torna-se

[ begin {align *} z & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4pt] z & = 34 +13 (x − 2) −26 (y - (- 1)) [4pt] z & = 34 + 13x − 26−26y − 26 [4pt] z & = 13x − 26y − 18. end {align *} ]

(Veja a figura a seguir).

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre a equação do plano tangente à superfície definida pela função (f (x, y) = x ^ 3 − x ^ 2y + y ^ 2−2x + 3y − 2 ) no ponto ((−1, 3) ).

Dica

Primeiro, calcule (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ), então use a Equação ref {tanplane}.

Responder

(z = 7x + 8y − 3 )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando outro plano tangente

Encontre a equação do plano tangente à superfície definida pela função (f (x, y) = sin (2x) cos (3y) ) no ponto ((π / 3, π / 4). )

Solução

Primeiro, calcule (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ), então use a Equação ref {tanplane} com (x_0 = π / 3 ) e (y_0 = π / 4 ):

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 2 cos (2x) cos (3y) [4pt] f_y (x, y) & = - 3 sin (2x) sin ( 3y) [4pt] f left ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} right) & = sin left (2 left ( dfrac {π} {3} direita) direita) cos esquerda (3 esquerda ( dfrac {π} {4} direita) direita) = esquerda ( dfrac { sqrt {3}} {2} direita) esquerda (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac { sqrt {6}} {4} [4pt] f_x left ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} right) & = 2 cos left (2 left ( dfrac {π} {3} right) right) cos left (3 left ( dfrac {π} {4} direita) direita) = 2 esquerda (- dfrac {1} {2} direita) esquerda (- dfrac { sqrt {2}} {2} direita) = dfrac { sqrt {2}} {2} [4pt] f_y left ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} right) & = - 3 sin left (2 left ( dfrac {π} {3} right) right) sin left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = - 3 left ( dfrac { sqrt {3 }} {2} right) left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac {3 sqrt {6}} {4}. end {align *} ]

Então a Equação ref {tanplane} torna-se

[ begin {align *} z & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4pt] & = - dfrac { sqrt {6}} {4} + dfrac { sqrt {2}} {2} left (x− dfrac {π} {3} right) - dfrac {3 sqrt {6} } {4} left (y− dfrac {π} {4} right) [4pt] & = dfrac { sqrt {2}} {2} x− dfrac {3 sqrt {6} } {4} y− dfrac { sqrt {6}} {4} - dfrac {π sqrt {2}} {6} + dfrac {3π sqrt {6}} {16} end {alinhar *} ]

Um plano tangente a uma superfície nem sempre existe em todos os pontos da superfície. Considere a função por partes

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4pt ] 0, & & (x, y) = (0,0) end {casos}. label {oddfunction} ]

Segue o gráfico desta função.

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de uma função que não possui plano tangente na origem. Figura dinâmica alimentada por CalcPlot3D.

Se (x = 0 ) ou (y = 0 ), então (f (x, y) = 0, ) então o valor da função não muda em (x )- ou (y )-eixo. Portanto, (f_x (x, 0) = f_y (0, y) = 0 ), de modo que (x ) ou (y ) se aproximam de zero, essas derivadas parciais permanecem iguais a zero. Substituí-los na equação resulta em (z = 0 ) como a equação da reta tangente. No entanto, se abordarmos a origem de uma direção diferente, teremos uma história diferente. Por exemplo, suponha que nos aproximamos da origem ao longo da linha (y = x ). Se colocarmos (y = x ) na função original, ela se tornará

[f (x, x) = dfrac {x (x)} { sqrt {x ^ 2 + (x) ^ 2}} = dfrac {x ^ 2} { sqrt {2x ^ 2}} = dfrac {| x |} { sqrt {2}}. ]

Quando (x> 0, ) a inclinação desta curva é igual a ( sqrt {2} / 2 ); quando (x <0 ), a inclinação desta curva é igual a (- ( sqrt {2} / 2). ) Isso apresenta um problema. Na definição do plano tangente, presumimos que todas as retas tangentes que passam pelo ponto (P ) (neste caso, a origem) estão no mesmo plano. Este claramente não é o caso aqui. Quando estudamos funções diferenciáveis, veremos que esta função não é diferenciável na origem.

Aproximações Lineares

Lembre-se de aproximações lineares e diferenciais que a fórmula para a aproximação linear de uma função (f (x) ) no ponto (x = a ) é dada por

[y≈f (a) + f '(a) (x − a). ]

O diagrama para a aproximação linear de uma função de uma variável aparece no gráfico a seguir.

A linha tangente pode ser usada como uma aproximação da função (f (x) ) para valores de (x ) razoavelmente próximos de (x = a ). Ao trabalhar com uma função de duas variáveis, a linha tangente é substituída por um plano tangente, mas a ideia de aproximação é praticamente a mesma.

Definição: Aproximação Linear

Dada uma função (z = f (x, y) ) com derivadas parciais contínuas que existem no ponto ((x_0, y_0) ), a aproximação linear de (f ) no ponto ((x_0 , y_0) ) é dado pela equação

[L (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0). label {aprox} ]

Observe que esta equação também representa o plano tangente à superfície definida por (z = f (x, y) ) no ponto ((x_0, y_0) ). A ideia por trás do uso de uma aproximação linear é que, se houver um ponto ((x_0, y_0) ) no qual o valor preciso de (f (x, y) ) é conhecido, então, para valores de (( x, y) ) razoavelmente perto de ((x_0, y_0) ), a aproximação linear (ou seja, plano tangente) produz um valor que também é razoavelmente próximo do valor exato de (f (x, y) ) (Figura). Além disso, o plano usado para encontrar a aproximação linear também é o plano tangente à superfície no ponto ((x_0, y_0). )

Exemplo ( PageIndex {3} ): Usando uma aproximação de plano tangente

Dada a função (f (x, y) = sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2} ), aproxime (f (2.1,2.9) ) usando o ponto ((2,3) ) para ((x_0, y_0). ) Qual é o valor aproximado de (f (2.1,2.9) ) com quatro casas decimais?

Solução

Para aplicar a equação ref {aprox}, primeiro devemos calcular (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = 2 ) e (y_0 = 3: )

[ begin {align *} f (x_0, y_0) & = f (2,3) = sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2} = sqrt {41−16−9 } = sqrt {16} = 4 [4pt] f_x (x, y) & = - dfrac {4x} { sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2}} text {so} ; f_x (x_0, y_0) = - dfrac {4 (2)} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - 2 [4pt] f_y (x, y) & = - dfrac {y} { sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2}} text {so} ; f_y (x_0, y_0) = - dfrac {3} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - dfrac {3} {4}. end {align *} ]

Agora, substituímos esses valores na Equação ref {aprox}:

[ begin {align *} L (x, y) & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4pt ] & = 4−2 (x − 2) - dfrac {3} {4} (y − 3) [4pt] & = dfrac {41} {4} −2x− dfrac {3} {4 } y. end {align *} ]

Por último, substituímos (x = 2,1 ) e (y = 2,9 ) em (L (x, y): )

[L (2,1,2,9) = dfrac {41} {4} −2 (2,1) - dfrac {3} {4} (2,9) = 10,25−4,2−2,175 = 3,875. enhum número ]

O valor aproximado de (f (2.1,2.9) ) com quatro casas decimais é

[f (2.1,2.9) = sqrt {41−4 (2,1) ^ 2− (2,9) ^ 2} = sqrt {14,95} ≈3,8665, não numérico ]

que corresponde a um erro de (0,2% ) na aproximação.

Exercício ( PageIndex {2} )

Dada a função (f (x, y) = e ^ {5−2x + 3y}, ) aproximar (f (4.1,0.9) ) usando o ponto ((4,1) ) para (( x_0, y_0) ). Qual é o valor aproximado de (f (4.1,0.9) ) com quatro casas decimais?

Dica

Primeiro calcule (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = 4 ) e (y_0 = 1 ), então use Equação ref {aprox}.

Responder

(L (x, y) = 6−2x + 3y, ) então (L (4,1,0.9) = 6−2 (4,1) +3 (0,9) = 0,5 ) (f (4,1,0.9) = e ^ {5−2 (4,1) +3 (0,9)} = e ^ {- 0,5} ≈0,6065. )

Diferenciabilidade

Ao trabalhar com uma função (y = f (x) ) de uma variável, diz-se que a função é diferenciável em um ponto (x = a ) se (f ′ (a) ) existe. Além disso, se uma função de uma variável é diferenciável em um ponto, o gráfico é "suave" nesse ponto (ou seja, não existem cantos) e uma linha tangente é bem definida nesse ponto.

A ideia por trás da diferenciabilidade de uma função de duas variáveis ​​está ligada à ideia de suavidade naquele ponto. Nesse caso, uma superfície é considerada lisa no ponto (P ) se um plano tangente à superfície existir naquele ponto. Se uma função é diferenciável em um ponto, então existe um plano tangente à superfície naquele ponto. Lembre-se da fórmula (Equação ref {tanplane}) para um plano tangente em um ponto ((x_0, y_0) ) é dado por

[z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) nonumber ]

Para que um plano tangente exista no ponto ((x_0, y_0), ) as derivadas parciais devem, portanto, existir naquele ponto. No entanto, esta não é uma condição suficiente para a suavidade, conforme ilustrado na Figura. Nesse caso, as derivadas parciais existiam na origem, mas a função também tinha um canto no gráfico na origem.

Definição: funções diferenciáveis

Uma função (f (x, y) ) é diferenciável em um ponto (P (x_0, y_0) ) se, para todos os pontos ((x, y) ) em um (δ ) disco ao redor de (P ), podemos escrever

[f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), label { diff1} ]

onde o termo de erro (E ) satisfaz

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . label {diff2} ]

O último termo na Equação ref {diff1} é como o termo de erro e representa o quão próximo o plano tangente está da superfície em uma pequena vizinhança ( (δ ) disco) do ponto (P ). Para que a função (f ) seja diferenciável em (P ), a função deve ser suave, ou seja, o gráfico de (f ) deve estar próximo ao plano tangente para pontos próximos a (P ) .

Exemplo ( PageIndex {4} ): Demonstrando Diferenciabilidade

Mostre que a função (f (x, y) = 2x ^ 2−4y ) é diferenciável no ponto ((2, −3). )

Solução

Primeiro, calculamos (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = 2 ) e (y_0 = −3, ) então usamos a Equação ref {diff1}:

[ begin {align *} f (2, −3) & = 2 (2) ^ 2−4 (−3) = 8 + 12 = 20 [4pt] f_x (2, −3) & = 4 (2) = 8 [4pt] f_y (2, −3) & = - 4. end {align *} ]

Portanto (m_1 = 8 ) e (m_2 = −4, ) e a Equação ref {diff1} torna-se

[ begin {align *} f (x, y) & = f (2, −3) + f_x (2, −3) (x − 2) + f_y (2, −3) (y + 3) + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8 (x − 2) −4 (y + 3) + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8x − 16−4y − 12 + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 8x − 4y − 8 + E (x, y) [4pt] E (x , y) & = 2x ^ 2−8x + 8. end {align *} ]

A seguir, calculamos o limite na Equação ref {diff2}:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x + 0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2x ^ 2−8x + 8} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 (x ^ 2−4x + 4)} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 (x − 2) ^ 2} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} } [4pt]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 ((x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2)} { sqrt {(x − 2) ^ 2+ (y + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} 2 sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} [4pt]
& = 0. end {align *} ]

Como (E (x, y) ≥0 ) para qualquer valor de (x ) ou (y ), o limite original deve ser igual a zero. Portanto, (f (x, y) = 2x ^ 2−4y ) é diferenciável no ponto ((2, −3) ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Mostre que a função (f (x, y) = 3x − 4y ^ 2 ) é diferenciável no ponto ((- 1,2) ).

Dica

Primeiro, calcule (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = −1 ) e (y_0 = 2 ), em seguida, use a Equação ref {diff2} para encontrar (E (x, y) ). Por último, calcule o limite.

Responder

[ begin {align *} f (−1,2) & = - 19, quad f_x (−1,2) = 3, quad f_y (−1,2) = - 16, quad E (x , y) = - 4 (y − 2) ^ 2. [4pt]
lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim_ {(x, y) → (−1,2)} dfrac {−4 (y − 2) ^ 2} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2}} [4pt]
& ≤ lim _ {(x, y) → (−1,2)} dfrac {−4 ((x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2)} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} - 4 sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2} [4pt]
& = 0. end {align *} ]

Esta função de (Equação ref {oddfunction})

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4pt ] 0, & & (x, y) = (0,0) end {cases} nonumber ]

não é diferenciável na origem (Figura ( PageIndex {3} )). Podemos ver isso calculando as derivadas parciais. Esta função apareceu anteriormente na seção, onde mostramos que (f_x (0,0) = f_y (0,0) = 0 ). Substituindo esta informação nas Equações ref {diff1} e ref {diff2} usando (x_0 = 0 ) e (y_0 = 0 ), obtemos

[ begin {align *} f (x, y) & = f (0,0) + f_x (0,0) (x − 0) + f_y (0,0) (y − 0) + E (x , y) [4pt] E (x, y) & = dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}. end {align *} ]

Calculando

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} ]

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac { dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2}. end {align *} ]

Dependendo do caminho percorrido até a origem, esse limite assume valores diferentes. Portanto, o limite não existe e a função (f ) não é diferenciável na origem, conforme mostrado na figura a seguir.

Diferenciabilidade e continuidade para funções de duas ou mais variáveis ​​estão conectadas, o mesmo que para funções de uma variável. Na verdade, com alguns ajustes de notação, o teorema básico é o mesmo.

TEOREMA: Diferenciabilidade Implica Continuidade

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​com ((x_0, y_0) ) no domínio de (f ). Se (f (x, y) ) é diferenciável em ((x_0, y_0) ), então (f (x, y) ) é contínuo em ((x_0, y_0). )

A observação mostra que, se uma função é diferenciável em um ponto, ela é contínua nesse ponto. No entanto, se uma função é contínua em um ponto, ela não é necessariamente diferenciável nesse ponto. Por exemplo, a função discutida acima (Equação ref {oddfunction})

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4pt ] 0, & & (x, y) = (0,0) end {cases} nonumber ]

é contínuo na origem, mas é não diferenciável na origem. Essa observação também é semelhante à situação no cálculo de variável única.

Podemos explorar mais a conexão entre continuidade e diferenciabilidade em um ponto. O próximo teorema diz que se a função e suas derivadas parciais são contínuas em um ponto, a função é diferenciável.

Teorema: Continuidade das primeiras parciais implica diferenciabilidade

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​com ((x_0, y_0) ) no domínio de (f ). Se (f (x, y) ), (f_x (x, y) ), e (f_y (x, y) ) todos existem em uma vizinhança de ((x_0, y_0) ) e são contínuos em ((x_0, y_0) ), então (f (x, y) ) é diferenciável lá.

Lembre-se de que mostramos anteriormente que a função na Equação ref {oddfunction} não era diferenciável na origem. Vamos calcular as derivadas parciais (f_x ) e (f_y ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} ]

e

[ dfrac {∂f} {∂y} = dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}}. ]

A contraposição do teorema anterior afirma que, se uma função não é diferenciável, pelo menos uma das hipóteses deve ser falsa. Vamos explorar a condição de que (f_x (0,0) ) deve ser contínuo. Para que isso seja verdade, deve ser verdade que

[ lim _ {(x, y) → (0,0)} f_x (x, y) = f_x (0,0) ]

por isso

[ lim _ {(x, y) → (0,0)} f_x (x, y) = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}}. ]

Seja (x = ky ). Então

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} & = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {((ky) ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {(k ^ 2y ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {| y | ^ 3 (k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {1} {(k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} lim_ {y → 0} dfrac {| y |} {y}. end {align *} ]

Se (y> 0 ), então esta expressão é igual a (1 / (k ^ 2 + 1) ^ {3/2} ); se (y <0 ), então é igual a (- (1 / (k ^ 2 + 1) ^ {3/2}) ). Em ambos os casos, o valor depende de (k ), portanto, o limite não existe.

Diferenciais

Em aproximações lineares e diferenciais, estudamos primeiro o conceito de diferenciais. O diferencial de (y ), escrito (dy ), é definido como (f ′ (x) dx ). O diferencial é usado para aproximar (Δy = f (x + Δx) −f (x) ), onde (Δx = dx ). Estender essa ideia à aproximação linear de uma função de duas variáveis ​​no ponto ((x_0, y_0) ) produz a fórmula para o diferencial total de uma função de duas variáveis.

Definição: Diferencial Total

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​com ((x_0, y_0) ) no domínio de (f ), e seja (Δx ) e (Δy ) seja escolhido de forma que ((x_0 + Δx, y_0 + Δy) ) também esteja no domínio de (f ). Se (f ) é diferenciável no ponto ((x_0, y_0) ), então as diferenciais (dx ) e (dy ) são definidas como

[dx = Δx ]

e

[dy = Δy. ]

O diferencial (dz ), também chamado de diferencial total de (z = f (x, y) ) em ((x_0, y_0) ), é definido como

[dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy. label {total} ]

Observe que o símbolo (∂ ) não é usado para denotar o diferencial total; em vez disso, (d ) aparece na frente de (z ). Agora, vamos definir (Δz = f (x + Δx, y + Δy) −f (x, y). ) Usamos (dz ) para aproximar (Δz ), então

[Δz≈dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy. ]

Portanto, o diferencial é usado para aproximar a mudança na função (z = f (x_0, y_0) ) no ponto ((x_0, y_0) ) para valores dados de (Δx ) e (Δy ). Como (Δz = f (x + Δx, y + Δy) −f (x, y) ), isso pode ser usado posteriormente para aproximar (f (x + Δx, y + Δy): )

[f (x + Δx, y + Δy) = f (x, y) + Δz≈f (x, y) + fx (x_0, y_0) Δx + f_y (x_0, y_0) Δy. ]

Veja a figura a seguir.

Uma dessas aplicações dessa ideia é determinar a propagação do erro. Por exemplo, se estivermos fabricando um gadget e estivermos errados em uma determinada quantidade ao medir uma determinada quantidade, o diferencial pode ser usado para estimar o erro no volume total do gadget.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Aproximação por diferenciais

Encontre o diferencial (dz ) da função (f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 ) e use-o para aproximar (Δz ) no ponto ((2, −3 ). ) Use (Δx = 0,1 ) e (Δy = −0,05. ) Qual é o valor exato de (Δz )?

Solução

Primeiro, devemos calcular (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = 2 ) e (y_0 = −3: )

[ begin {align *} f (x_0, y_0) & = f (2, −3) = 3 (2) ^ 2−2 (2) (- 3) + (- 3) ^ 2 = 12 + 12 + 9 = 33 [4pt] f_x (x, y) & = 6x − 2y [10pt] f_y (x, y) & = - 2x + 2y [4pt] f_x (x_0, y_0) & = fx (2, −3) [4pt] & = 6 (2) −2 (−3) = 12 + 6 = 18 [10pt] f_y (x_0, y_0) & = f_y (2, −3) [4pt] & = - 2 (2) +2 (−3) [4pt] & = - 4−6 = −10. end {align *} ]

Em seguida, substituímos essas quantidades na Equação ref {total}:

[ begin {align *} dz & = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy [4pt] dz & = 18 (0,1) −10 (−0,05) = 1,8 + 0,5 = 2,3 . end {align *} ]

Esta é a aproximação de (Δz = f (x_0 + Δx, y_0 + Δy) −f (x_0, y_0). ) O valor exato de (Δz ) é dado por

[ begin {align *} Δz & = f (x_0 + Δx, y_0 + Δy) −f (x_0, y_0) [4pt] & = f (2 + 0.1, −3−0.05) −f (2 , −3) [4pt] & = f (2,1, −3,05) −f (2, −3) [4pt] & = 2,3425. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o diferencial (dz ) da função (f (x, y) = 4y ^ 2 + x ^ 2y − 2xy ) e use-o para aproximar (Δz ) no ponto ((1, −1 ) ). Use (Δx = 0,03 ) e (Δy = −0,02 ). Qual é o valor exato de (Δz )?

Dica

Primeiro, calcule (f_x (x_0, y_0) ) e (f_y (x_0, y_0) ) usando (x_0 = 1 ) e (y_0 = −1 ), então use a Equação ref {total} .

Responder

(dz = 0,18 )

(Δz = f (1,03, −1,02) −f (1, −1) = 0,180682 )

Diferenciabilidade de uma função de três variáveis

Todos os resultados anteriores para diferenciabilidade de funções de duas variáveis ​​podem ser generalizados para funções de três variáveis. Primeiro, a definição:

Definição: Diferenciabilidade em um ponto

Uma função (f (x, y, z) ) é diferenciável em um ponto (P (x_0, y_0, z_0) ) se para todos os pontos ((x, y, z) ) em a ( δ ) disco em torno de (P ) podemos escrever

[f (x, y) = f (x_0, y_0, z_0) + f_x (x_0, y_0, z_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0, z_0) (y − y_0) + f_z (x_0, y_0, z_0) (z − z_0) + E (x, y, z), ]

onde o termo de erro E satisfaz

[ lim _ {(x, y, z) → (x_0, y_0, z_0)} dfrac {E (x, y, z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0. ]

Se uma função de três variáveis ​​é diferenciável em um ponto ((x_0, y_0, z_0) ), então ela é contínua lá. Além disso, a continuidade das primeiras derivadas parciais naquele ponto garante a diferenciabilidade.

Conceitos chave

  • O análogo de uma linha tangente a uma curva é um plano tangente a uma superfície para funções de duas variáveis.
  • Planos tangentes podem ser usados ​​para aproximar valores de funções próximos a valores conhecidos.
  • Uma função é diferenciável em um ponto se for "suave" naquele ponto (ou seja, não existem cantos ou descontinuidades nesse ponto).
  • O diferencial total pode ser usado para aproximar a mudança em uma função (z = f (x_0, y_0) ) no ponto ((x_0, y_0) ) para valores dados de (Δx ) e (Δy ).

Equações Chave

  • Plano tangente

(z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )

  • Aproximação linear

(L (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )

  • Diferencial total

(dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy ).

  • Diferenciabilidade (duas variáveis)

(f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), )

onde o termo de erro (E ) satisfaz

( displaystyle lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 ).

  • Diferenciabilidade (três variáveis)

(f (x, y) = f (x_0, y_0, z_0) + f_x (x_0, y_0, z_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0, z_0) (y − y_0) + f_z (x_0, y_0, z_0) (z − z_0) + E (x, y, z), )

onde o termo de erro (E ) satisfaz

( displaystyle lim _ {(x, y, z) → (x_0, y_0, z_0)} dfrac {E (x, y, z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0 ).

Glossário

diferenciável

uma função (f (x, y) ) é diferenciável em ((x_0, y_0) ) se (f (x, y) ) pode ser expressa na forma (f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), )

onde o termo de erro (E (x, y) ) satisfaz ( lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0 ) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 )

aproximação linear
dada uma função (f (x, y) ) e um plano tangente à função em um ponto ((x_0, y_0) ), podemos aproximar (f (x, y) ) para pontos próximos a ((x_0, y_0) ) usando a fórmula do plano tangente
plano tangente
dada uma função (f (x, y) ) que é diferenciável em um ponto ((x_0, y_0) ), a equação do plano tangente à superfície (z = f (x, y) ) é dado por (z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )
diferencial total
o diferencial total da função (f (x, y) ) em ((x_0, y_0) ) é dado pela fórmula (dz = f_x (x_0, y_0) dx + fy (x_0, y_0) dy )

Conceitos chave

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  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 3
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-key-concepts

    © 21 de dezembro de 2020 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-Compartilhamento pela Licença 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    Índice

    Prefácio
    1 vetores no avião
    1.1 Vetores e operações vetoriais
    1.2 O Produto Interno
    1.3 Algumas aplicações de vetores (opcional)
    Exercícios de revisão para o Capítulo Um
    2 funções vetoriais, diferenciação vetorial e equações paramétricas em R2
    2.1 Funções vetoriais e equações paramétricas
    2.2 A Equação da Linha Tangente a uma Curva Paramétrica
    2.3 A Diferenciação e Integração de uma Função Vetorial
    2.4 Algumas Fórmulas de Diferenciação
    2,5 comprimento do arco revisitado
    2.6 Comprimento do Arco como um Parâmetro
    2.7 Velocidade, aceleração, força e impulso
    2.8 Curvatura e o vetor de aceleração (opcional)
    Exercícios de revisão para o capítulo dois
    3 vetores no espaço
    3.1 O Sistema de Coordenadas Retangulares no Espaço
    3.2 Vetores em R3
    3.3 Linhas em R3
    3.4 O produto cruzado de dois vetores
    3.5 Aviões
    3.6 Superfícies Quádricas
    3.7 O Espaço Rn e o Produto Escalar
    3.8 Funções Vetoriais e Equações Paramétricas em R3
    3.9 Coordenadas cilíndricas e esféricas
    Exercícios de revisão para o capítulo três
    4 Diferenciação de funções de duas ou mais variáveis
    4.1 Funções de duas ou mais variáveis
    4.2 Limites e continuidade
    4.3 Derivados Parciais
    4.4 Derivados Parciais de Ordem Superior
    4.5 Diferenciabilidade e o Gradiente
    4.6 As Regras da Corrente
    4.7 Planos tangentes, linhas normais e gradientes
    4.8 Derivados direcionais e o gradiente
    4.9 Campos de vetores conservadores e o gradiente (opcional)
    4.10 O Diferencial Total e Aproximação
    4.11 Campos de vetor exatos ou como obter uma função de seu gradiente
    4.12 Máximos e mínimos para uma função de duas variáveis
    4.13 Máximos e mínimos restritos - multiplicadores de Lagrange
    Exercícios de revisão para o capítulo quatro
    5 Integração Múltipla
    5.1 Volume sob uma superfície e o duplo integral
    5.2 O cálculo de integrais duplos
    5.3 Densidade, Massa e Centro de Massa (Opcional)
    5,4 Integrais Duplos em Coordenadas Polares
    5.5 Área de Superfície
    5.6 O Triplo Integral
    5.7 O Triplo Integral em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
    Exercícios de revisão para o capítulo cinco
    6 Introdução à análise vetorial
    6.1 Campos Vetoriais
    6.2 Trabalho, Integrais de Linha no Plano e Independência de Caminho
    6.3 Teorema de Green & # 39s no plano
    6.4 Integrais de linha no espaço
    6.5 Integrais de superfície
    6.6 Divergência e curvatura de um campo vetorial em R3
    6.7 Teorema de Stokes & # 39s
    6.8 O Teorema da Divergência
    6.9 Mudando Variáveis ​​em Integrais Múltiplos e o Jacobiano
    Exercícios de revisão para o Capítulo Seis
    7 matrizes e sistemas lineares de equações
    7.1 Matrizes
    7.2 Produtos Matrix
    7.3 Sistemas Lineares de Equações
    7.4 Matrizes e Sistemas Lineares de Equações
    7.5 O Inverso de uma Matriz Quadrada
    7.6 A Transposição de uma Matriz
    Exercícios de revisão para o Capítulo Sete
    8 determinantes
    8.1 Definições
    8.2 Propriedades dos Determinantes
    8.3 Determinantes e Inversos
    8.4 Regra de Cramer e # 39s (opcional)
    Exercícios de revisão para o Capítulo Oito
    9 Espaços vetoriais e transformações lineares
    9.1 Espaços Vetoriais
    9.2 Subespaços
    9.3 Independência Linear, Combinação Linear e Span
    9.4 Base e Dimensão
    9.5 Mudança de base (opcional)
    9.6 Transformações Lineares
    9.7 Propriedades de transformações lineares: intervalo e kernel
    9.8 O grau e a nulidade de uma matriz
    9.9 A representação matricial de uma transformação linear
    9.10 Valores próprios e vetores próprios
    9.11 Se o tempo permitir: um modelo de crescimento populacional
    9.12 Matrizes e diagonalização semelhantes
    Exercícios de revisão para o capítulo nove
    10 Cálculo em Rn
    10.1 Teorema de Taylor em n Variáveis
    10.2 Funções Inversas e o Teorema da Função Implícita: I
    10.3 Funções de Rn para Rm
    10.4 Derivados e a Matriz Jacobiana
    10.5 Funções inversas e o teorema da função implícita: II
    Exercícios de revisão para o capítulo dez
    11 Equações diferenciais ordinárias
    11.1 Introdução
    11.2 Equações de primeira ordem - Separação de variáveis
    11.3 Equações Exatas (Opcional)
    11.4 Equações Lineares de Primeira Ordem
    11.5 Circuitos elétricos simples (opcional)
    11.6 Equações diferenciais lineares de segunda ordem: Teoria
    11.7 Usando uma solução para encontrar outra
    11.8 Equações homogêneas com coeficientes constantes: raízes reais
    11.9 Equações homogêneas com coeficientes constantes: raízes complexas
    11.10 Equações não homogêneas: o método dos coeficientes indeterminados
    11.11 Equações não homogêneas: variação de constantes
    11.12 Equações de Euler
    11.13 Movimento Vibratório (Opcional)
    11.14 Mais em circuitos elétricos (opcional)
    11.15 Equações diferenciais lineares de ordem superior
    11.16 Solução Numérica de Equações Diferenciais: Métodos de Euler & # 39s
    Exercícios de revisão para o Capítulo Onze
    12 Matrices And Systems Of Differential Equations
    12.1 The Method of Elimination for Linear Systems with Constant Coefficients
    12.2 Linear Systems: Theory
    12.3 The Solution of Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients: The Method of Determinants
    12.4 Matrices and Systems of Linear First-Order Equations
    12.5 Fundamental Sets and Fundamental Matrix Solutions of a Homogeneous System of Differential Equations
    12.6 The Computation of the Principal Matrix Solution to a Homogeneous System of Equations
    12.7 Nonhomogeneous Systems
    12.8 An Application of Nonhomogeneous Systems: Forced Oscillations (Optional)
    Review Exercises for Chapter Twelve
    13 Taylor Polynomials, Sequences, And Series
    13.1 Taylor's Theorem and Taylor Polynomials
    13.2 A Proof of Taylor's Theorem, Estimates on the Remainder Term, and a Uniqueness Theorem (Optional)
    13.3 Approximation Using Taylor Polynomials
    13.4 Sequences of Real Numbers
    13.5 Bounded and Monotonic Sequences
    13.6 Geometric Series
    13.7 Infinite Series
    13.8 Series with Nonnegative Terms I: Two Comparison Tests and the Integral Test
    13.9 Series with Nonnegative Terms II: The Ratio and Root Tests
    13.10 Absolute and Conditional Convergence: Alternating Series
    13.11 Power Series
    13.12 Differentiation and Integration of Power Series
    13.13 Taylor and Maclaurin Series
    13.14 Using Power Series to Solve Ordinary Differential Equations (Optional)
    Review Exercises for Chapter Thirteen
    Appendix 1 Mathematical Induction
    Appendix 2 The Binomial Theorem
    Appendix 3 Complex Numbers
    Appendix 4 Proof Of The Basic Theorem About Determinants
    Appendix 5 Existence And Uniqueness For First Order Initial Value Problems
    Table Of Integrals
    Answers to Odd-Numbered Problems and Review Exercises
    Index


    Tangent Planes

    We can use the direction of the normal line to define a plane. With a = f x ⁢ ( x 0 , y 0 ) , b = f y ⁢ ( x 0 , y 0 ) and P = ( x 0 , y 0 , f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) , the vector n → = ⟨ a , b , - 1 ⟩ is orthogonal to f at P . The plane through P with normal vector n → is therefore tangent to f at P .

    Definition 13.7.3 Tangent Plane

    Let z = f ⁢ ( x , y ) be differentiable on an open set S containing ( x 0 , y 0 ) , where a = f x ⁢ ( x 0 , y 0 ) , b = f y ⁢ ( x 0 , y 0 ) , n → = ⟨ a , b , - 1 ⟩ and P = ( x 0 , y 0 , f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) .

    The plane through P with normal vector n → is the tangent plane to f at P . The standard form of this plane is

    a ⁢ ( x - x 0 ) + b ⁢ ( y - y 0 ) - ( z - f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) = 0 .

    Example 13.7.6 Finding tangent planes

    Find the equation of the tangent plane to z = - x 2 - y 2 + 2 at ( 0 , 1 ) .

    Solution Note that this is the same surface and point used in Example 13.7.3 . † † margin: Figure 13.7.6: Graphing a surface with tangent plane from Example 13.7.6 . There we found n → = ⟨ 0 , - 2 , - 1 ⟩ and P = ( 0 , 1 , 1 ) . Therefore the equation of the tangent plane is

    The surface z = - x 2 - y 2 + 2 and tangent plane are graphed in Figure 13.7.6 .

    Example 13.7.7 Using the tangent plane to approximate function values

    The point ( 3 , - 1 , 4 ) lies on the surface of an unknown differentiable function f where f x ⁢ ( 3 , - 1 ) = 2 and f y ⁢ ( 3 , - 1 ) = - 1 / 2 . Find the equation of the tangent plane to f at P , and use this to approximate the value of f ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) .

    Solution Knowing the partial derivatives at ( 3 , - 1 ) allows us to form the normal vector to the tangent plane, n → = ⟨ 2 , - 1 / 2 , - 1 ⟩ . Thus the equation of the tangent line to f at P is:

    2 ⁢ ( x - 3 ) - 1 / 2 ⁢ ( y + 1 ) - ( z - 4 ) = 0 ⇒ z = 2 ⁢ ( x - 3 ) - 1 / 2 ⁢ ( y + 1 ) + 4 . (13.5)

    Just as tangent lines provide excellent approximations of curves near their point of intersection, tangent planes provide excellent approximations of surfaces near their point of intersection. So f ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) ≈ z ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) = 3.7 .

    This is not a new method of approximation. Compare the right hand expression for z in Equation ( 13.5 ) to the total differential:

    d ⁢ z = f x ⁢ d ⁢ x + f y ⁢ d ⁢ y and z = 2 ⏟ f x ⁢ ( x - 3 ) ⏟ d ⁢ x + - 1 / 2 ⏟ f y ⁢ ( y + 1 ) ⏟ d ⁢ y ⏟ d ⁢ z + 4 .

    Thus the “new z -value” is the sum of the change in z (i.e., d ⁢ z ) and the old z -value (4). As mentioned when studying the total differential, it is not uncommon to know partial derivative information about a unknown function, and tangent planes are used to give accurate approximations of the function.


    Horizontal and Vertical Tangent Lines

    Sometimes we want to know at what point(s) a function has either a horizontal ou vertical tangent line (if they exist). For a horizontal tangent line ( 0 slope), we want to get the derivative, set it to 0 (or set the numerator to 0 ), get the (x) value, and then use the original function to get the (y) value we then have the point. (We also have to make sure that that the denominator isn’t 0 at these points).

    For a vertical tangent line (undefined slope), we want to get the derivative, set the bottom or denominator to 0 , get the (x) value, and then use the original function to get the (y) value we then have the point. (We also to have to make sure the numerator isn’t 0 at these points).

    Note that where functions have vertical tangent lines, they are not differentiable at that point.

    To get the point(s) of the horizontal tangent line, set this to 0 (which means setting the numerator to 0 ) and solve for (x): (displaystyle frac<<<^<2>>-5>><<<^<2>>>>=0,,,,<^<2>>-5=0,,,,,x=pm sqrt<5>).

    Plug these (x) values into the original function to get the corresponding (y) values: (displaystyle fleft( > ight)=sqrt<5>+frac<5><>>cdot frac<>><>>=2sqrt<5>). Similarly, (displaystyle fleft( <-sqrt<5>> ight)=-sqrt<5>+frac<5><<-sqrt<5>>>cdot frac<>><>>=-2sqrt<5>). Thus, the points where there is a horizontal tangent line are (left( ,2sqrt<5>> ight)) and (left( <-sqrt<5>,-2sqrt<5>> ight)).

    We can see that the numerator can never be 0 , so there are no horizontal tangent lines.

    To get the point(s) of the vertical tangent line, set the denominator to 0 and solve for (x) : (displaystyle 3sqrt[3] <<<< ight)>>^<2>>>>=0,,,,, < ight)>^<2>>=0,,,,x=1).

    To get the point(s) of the horizontal tangent line, set this to 0 (which means setting the numerator to 0 ), and solve for (x) : (displaystyle frac<<3x-1>><<2sqrt>>=0,,,,3x-1=0,,,,,x=frac<1><3>). (We notice that this (x) value doesn’t make the denominator 0 ).

    Plug this (x) value into the original function to get the corresponding (y) value: (displaystyle fleft( <3>> ight)=<<3>> ight)>^<<2>>>>-,,<<3>> ight)>^<<2>>>>approx -.385). The point where there is a horizontal tangent line is (displaystyle left( <3>,-.385> ight)).

    To get the point(s) of the vertical tangent line, set the denominator to 0 and solve for (x): (displaystyle 2sqrt=0,,,,x=0) (We notice that this x value doesn’t make the numerator 0 ) Plug this (x) value into the original function to get the corresponding (y) value: (displaystyle fleft( 0 ight)=<<0>^<<2>>>>-<<0>^<<2>>>>=0) the point where there is a vertical tangent line is (left( <0,0> ight)) (on an endpoint!). Again, note that this point is non-differentiable.


    13.4: Tangent Planes, Linear Approximations, and the Total Differential

    For a function of one variable, we can construct the (unique) tangent line to the function at a given point using information from the derivative. The derivative at a point tells us the slope of the tangent line from which we can find the equation of the tangent line:

    The graph below shows the function y(x)=x^2-3x+3 with the tangent line throught the point (3,3).

    For functions of two variables (a surface), there are many lines tangent to the surface at a given point. If we have a nice enough function, all of these lines form a plane called the tangent plane to the surface at the point. The tangent plane to the surface z=-x^2-y^2 at the point (0,2) is shown below. The logical questions are under what conditions does the tangent plane exist and what is the equation of the tangent plane to a surface at a given point.

    The Tangent Plane

    Let P_0(x_0,y_0,z_0) be a point on the surface z=f(x,y) where f(x,y) is a differentiable function. The equation of any plane passing through P_0 has the form A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. If we divide through by C and set a=-A/C and b=-B/C then we have a(x-x_0)+b(y-y_0)-(z-z_0)=0. If we hold y constant (say y=y_0 for convenience), then we have a curve H=f(x,y_0) passing through P_0 in the surface z=f(x,y) and a line z-z_0=a(x-x_0) passing through P_0 in the plane.

    As illustrated by the figure, we want this line in the plane to be tangent to the surface z=f(x,y) at P_0 and thus tangent to the curve in the surface. This means we want the number a to be the slope of the tangent line to the curve H=f(x,y_0). This slope is by definition the partial derivative of f with respect to x at (x_0,y_0). Hence, a=f_x(x_0,y_0). By holding x constant, we can similarly show b=f_y(x_0,y_0). Therefore, the equation of the plane tangent to the surface z=f(x,y) at the point P_0(x_0,y_0,z_0) is

    Notice the similarity between the formula for the tangent line given in the introduction and the formula for the tangent plane. We can easily identify the normal vector to the plane:

    This vector is also then normal to the surface z=f(x,y) at the point P_0(x_0,y_0,z_0).

    Exemplo

    To find the equation of the tangent plane to the surface z=2x^2-xy^3 at the point (1,2), we first need to find the partials of z with respect to x and y at (1,2):

    Then, a normal vector to the surface at (1,2) is <-4,-12,-1> which implies the equation of the tangent plane to the surface at (1,2) is -4(x-1)-12(y-2)-(z+6)=0 or equivalently 4x+12y+z=22.

    Differentials

    Given a function y=f(x) and a point (c,f(c)) on the curve, the quantity

    is the change in y along the curve y=f(x) produced by a change (delta)x in x. The differential dy=f '(x)dx is the change in y along the tangent line at c produced by a change dx in x. The differential closely approximates (delta)y for small (delta)x=dx (see the figure below) and is much easier to compute. We seek a similar approximation for functions of two variables.

    For a function z=f(x,y) the quantity

    is the change in z along the surface z=f(x,y) produced by small changes (delta)x and (delta)y in x and y, respectively. To find a corresponding formula for dz, consider a point P_0(x_0,y_0,z_0) on the surface with tangent plane

    This equation implies the surface has height z_0 at (x_0,y_0) and height

    when x_0 and y_0 are changed by dx and dy, respectively. Thus, the change in the height of the tangent plane is

    This is the total differential of z=f(x,y) at (x_0,y_0), and it closely approximates the functional change (delta)z for small (delta)x=dx and (delta)y=dy.

    Exemplo

    The total differential of the function z=ln(xy)+x^2+y is

    If x changes from 1 to 1.05 and y changes from 2 to 1.98, then the values of dz and (delta)z are


    13.4: Tangent Planes, Linear Approximations, and the Total Differential

    Approximation by Differentials

    A method for approximating the value of a function near a known value. The method uses the tangent line at the known value of the function to approximate the function's graph. In this method Δx and Δy represent the changes in x e y for the function, and dx e dy represent the changes in x e y for the tangent line.

    (sqrt <10>) is near so we will use (fleft( x ight) = sqrt x ) with and Note that

    (eqalign < sqrt <10>&= fleft( ight) &approx fleft( x ight) + f'left( x ight)Delta x &= sqrt x + frac<1><<2sqrt x >>Delta x &= sqrt 9 + frac<1><<2sqrt 9 >>left( 1 ight) &= 3frac<1> <6>>) .

    Thus we see that (sqrt <10>approx 3frac<1> <6>= 3.166ar 6). This is very close to the correct value of (sqrt <10>approx 3.1623).


    APEX Calculus

    Subsection 14.4.1 Tangent Lines

    Derivatives and tangent lines go hand-in-hand. Given (y=f(x) ext<,>) the line tangent to the graph of (f) at (x=x_0) is the line through (ig(x_0,f(x_0)ig)) with slope (fp(x_0) ext<>) that is, the slope of the tangent line is the instantaneous rate of change of (f) at (x_0 ext<.>)

    When dealing with functions of two variables, the graph is no longer a curve but a surface. At a given point on the surface, it seems there are many lines that fit our intuition of being “tangent” to the surface.

    In Section 13.3.2 we introduced the concept of the tangent plane, which could be thought of as consisting of all possible lines tangent to the surface at a given point. In this section, we explore this idea in more detail.

    In Figure 14.4.1 we see lines that are tangent to curves in space. Since each curve lies on a surface, it makes sense to say that the lines are also tangent to the surface. The next definition formally defines what it means to be “tangent to a surface.”

    Definition 14.4.2 . Directional Tangent Line.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0)) and let (vec u = la u_1, u_2 a) be a unit vector.

    The line (ell_x) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la 1,0,f_x(x_0,y_0) a) is the .

    The line (ell_y) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la 0,1,f_y(x_0,y_0) a) is the .

    The line (ell_) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la u_1,u_2,D_f(x_0,y_0) a) is the .

    It is instructive to consider each of three directions given in the definition in terms of “slope.” The direction of (ell_x) is (la 1,0,f_x(x_0,y_0) a ext<>) that is, the “run” is one unit in the (x)-direction and the “rise” is (f_x(x_0,y_0)) units in the (z)-direction. Note how the slope is just the partial derivative with respect to (x ext<.>) A similar statement can be made for (ell_y ext<.>) The direction of (ell_) is (la u_1,u_2,D_f(x_0,y_0) a ext<>) the “run” is one unit in the (vec u) direction (where (vec u) is a unit vector) and the “rise” is the directional derivative of (z) in that direction.

    Definition 14.4.2 leads to the following parametric equations of directional tangent lines:

    Example 14.4.3 . Finding directional tangent lines.

    Find the lines tangent to the surface (z=sin(x) cos(y)) at ((pi/2,pi/2)) in the (x) and (y) directions and also in the direction of (vec v = la -1,1 a ext<.>)

    The partial derivatives with respect to (x) and (y) are:

    At ((pi/2,pi/2) ext<,>) the (z)-value is 0.

    Thus the parametric equations of the line tangent to (f) at ((pi/2,pi/2)) in the directions of (x) and (y) are:

    The two lines are shown with the surface in Figure 14.4.4.(a).

    To find the equation of the tangent line in the direction of (vec v ext<,>) we first find the unit vector in the direction of (vec v ext<:>) (vec u = la -1/sqrt<2>,1/sqrt<2> a ext<.>) The directional derivative at ((pi/2,pi,2)) in the direction of (vec u) is

    Thus the directional tangent line is

    The curve through ((pi/2,pi/2,0)) in the direction of (vec v) is shown in Figure 14.4.4.(b) along with (ell_(t) ext<.>)

    Example 14.4.5 . Finding directional tangent lines.

    Let (f(x,y) = 4xy-x^4-y^4 ext<.>) Find the equations of tudo directional tangent lines to (f) at ((1,1) ext<.>)

    First note that (f(1,1) = 2 ext<.>) We need to compute directional derivatives, so we need ( abla f ext<.>) We begin by computing partial derivatives.

    Thus ( abla f(1,1) = la 0,0 a ext<.>) Let (vec u = la u_1,u_2 a) be any unit vector. The directional derivative of (f) at ((1,1)) will be (D_f(1,1) = la 0,0 acdot la u_1,u_2 a = 0 ext<.>) It does not matter what direction we choose the directional derivative is always 0. Therefore

    Figure 14.4.6 shows a graph of (f) and the point ((1,1,2) ext<.>) Note that this point comes at the top of a “hill,” and therefore every tangent line through this point will have a “slope” of 0.

    That is, consider any curve on the surface that goes through this point. Each curve will have a relative maximum at this point, hence its tangent line will have a slope of 0. The following section investigates the points on surfaces where all tangent lines have a slope of 0.

    Subsection 14.4.2 Normal Lines

    When dealing with a function (y=f(x)) of one variable, we stated that a line through ((c,f(c))) was tangent to (f) if the line had a slope of (fp(c)) and was normal (or, perpendicular, orthogonal) to (f) if it had a slope of (-1/fp(c) ext<.>) We extend the concept of normal, or orthogonal, to functions of two variables.

    Let (z=f(x,y)) be a differentiable function of two variables. By Definition 14.4.2, at ((x_0,y_0) ext<,>) (ell_x(t)) is a line parallel to the vector (vec d_x=la 1,0,f_x(x_0,y_0) a) and (ell_y(t)) is a line parallel to (vec d_y=la 0,1,f_y(x_0,y_0) a ext<.>) Since lines in these directions through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) are tangent to the surface, a line through this point and orthogonal to these directions would be orthogonal, ou normal, to the surface. We can use this direction to create a normal line.

    The direction of the normal line is orthogonal to (vec d_x) and (vec d_y ext<,>) hence the direction is parallel to (vec d_n = vec d_x imes vec d_y ext<.>) It turns out this cross product has a very simple form:

    It is often more convenient to refer to the opposite of this direction, namely (la f_x,f_y,-1 a ext<.>) This leads to a definition.

    Definition 14.4.7 . Normal Line.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0)) where

    A nonzero vector parallel to (vec n=la a,b,-1 a) is to (f) at (P=ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<.>)

    The line (ell_n) through (P) with direction parallel to (vec n) is the to (f) at (P ext<.>)

    Thus the parametric equations of the normal line to a surface (f) at (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) is:

    Example 14.4.8 . Finding a normal line.

    Find the equation of the normal line to (z=-x^2-y^2+2) at ((0,1) ext<.>)

    We find (z_x(x,y) = -2x) and (z_y(x,y) = -2y ext<>) at ((0,1) ext<,>) we have (z_x = 0) and (z_y = -2 ext<.>) We take the direction of the normal line, following Definition 14.4.7, to be (vec n=la 0,-2,-1 a ext<.>) The line with this direction going through the point ((0,1,1)) is

    The surface (z=-x^2-y^2+2 ext<,>) along with the found normal line, is graphed in Figure 14.4.9.

    The direction of the normal line has many uses, one of which is the definition of the tangent plane which we define shortly. Another use is in measuring distances from the surface to a point. Given a point (Q) in space, it is a general geometric concept to define the distance from (Q) to the surface as being the length of the shortest line segment (overline) over all points (P) on the surface. This, in turn, implies that (overrightarrow) will be orthogonal to the surface at (P ext<.>) Therefore we can measure the distance from (Q) to the surface (f) by finding a point (P) on the surface such that (overrightarrow) is parallel to the normal line to (f) at (P ext<.>)

    Example 14.4.10 . Finding the distance from a point to a surface.

    Let (f(x,y) = 2-x^2-y^2) and let (Q = (2,2,2) ext<.>) Find the distance from (Q) to the surface defined by (f ext<.>)

    This surface is used in Example 14.4.5, so we know that at ((x,y) ext<,>) the direction of the normal line will be (vec d_n = la -2x,-2y,-1 a ext<.>) A point (P) on the surface will have coordinates ((x,y,2-x^2-y^2) ext<,>) so (overrightarrow = la 2-x,2-y,x^2+y^2 a ext<.>) To find where (overrightarrow) is parallel to (vec d_n ext<,>) we need to find (x ext<,>) (y) and (c) such that (coverrightarrow = vec d_n ext<.>)

    egin c(2-x) amp = -2x c(2-y) amp = -2y c(x^2+y^2) amp = -1 end

    In each equation, we can solve for (c ext<:>)

    The first two fractions imply (x=y ext<,>) and so the last fraction can be rewritten as (c=-1/(2x^2) ext<.>) Then

    This last equation is a cubic, which is not difficult to solve with a numeric solver. We find that (x= 0.689 ext<,>) hence (P = (0.689,0.689, 1.051) ext<.>) We find the distance from (Q) to the surface of (f) is

    We can take the concept of measuring the distance from a point to a surface to find a point (Q) a particular distance from a surface at a given point (P) on the surface.

    Example 14.4.11 . Finding a point a set distance from a surface.

    Let (f(x,y) = x-y^2+3 ext<.>) Let (P = ig(2,1,f(2,1)ig) = (2,1,4) ext<.>) Find points (Q) in space that are 4 units from the surface of (f) at (P ext<.>) That is, find (Q) such that ( orm>=4) and (overrightarrow) is orthogonal to (f) at (P ext<.>)

    We begin by finding partial derivatives:

    The vector (vec n=la 1,-2,-1 a) is orthogonal to (f) at (P ext<.>) For reasons that will become more clear in a moment, we find the unit vector in the direction of (vec n ext<:>)

    Thus a the normal line to (f) at (P) can be written as

    An advantage of this parametrization of the line is that letting (t=t_0) gives a point on the line that is (abs) units from (P ext<.>) (This is because the direction of the line is given in terms of a unit vector.) There are thus two points in space 4 units from (P ext<:>)

    The surface is graphed along with points (P ext<,>) (Q_1 ext<,>) (Q_2) and a portion of the normal line to (f) at (P ext<.>)

    Subsection 14.4.3 Tangent Planes

    We can use the direction of the normal line to define a plane. With (a=f_x(x_0,y_0) ext<,>) (b=f_y(x_0,y_0)) and (P = ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<,>) the vector (vec n=la a,b,-1 a) is orthogonal to (f) at (P ext<.>) (See Definition 13.3.10.) The plane through (P) with normal vector (vec n) is therefore tangent to (f) at (P ext<.>)

    When we introduced the tangent plane in Section 13.3, we computed the normal vector to be (vec=la -f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1 a ext<.>) Here, for convenience, we take the negative of this vector, and use (vec=la f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1 a ext<.>)

    Definition 14.4.13 . Tangent Plane.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0) ext<,>) where (a = f_x(x_0,y_0) ext<,>) (b=f_y(x_0,y_0) ext<,>) (vec n= la a,b,-1 a) and (P=ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<.>)

    The plane through (P) with normal vector (vec n) is the to (f) at (P ext<.>) The standard form of this plane is

    Example 14.4.14 . Finding tangent planes.

    Find the equation of the tangent plane to (z=-x^2-y^2+2) at ((0,1) ext<.>)

    Note that this is the same surface and point used in Example 14.4.8. There we found (vec n = la 0,-2,-1 a) and (P = (0,1,1) ext<.>) Therefore the equation of the tangent plane is

    The surface (z=-x^2-y^2+2) and tangent plane are graphed in Figure 14.4.15.

    Example 14.4.16 . Using the tangent plane to approximate function values.

    The point ((3,-1,4)) lies on the surface of an unknown differentiable function (f) where (f_x(3,-1) = 2) and (f_y(3,-1) = -1/2 ext<.>) Find the equation of the tangent plane to (f) at (P ext<,>) and use this to approximate the value of (f(2.9,-0.8) ext<.>)

    Knowing the partial derivatives at ((3,-1)) allows us to form the normal vector to the tangent plane, (vec n = la 2,-1/2,-1 a ext<.>) Thus the equation of the tangent line to (f) at (P) is:

    Just as tangent lines provide excellent approximations of curves near their point of intersection, tangent planes provide excellent approximations of surfaces near their point of intersection. So (f(2.9,-0.8) approx z(2.9,-0.8) = 3.7 ext<.>)

    This is not a new method of approximation. Compare the right hand expression for (z) in Equation (14.4.1) to the total differential:

    Thus the “new (z)-value” is the sum of the change in (z) (i.e., (dz)) and the old (z)-value (4). As mentioned when studying the total differential, it is not uncommon to know partial derivative information about a unknown function, and tangent planes are used to give accurate approximations of the function.

    Subsection 14.4.4 The Gradient and Normal Lines, Tangent Planes

    The methods developed in this section so far give a straightforward method of finding equations of normal lines and tangent planes for surfaces with explicit equations of the form (z=f(x,y) ext<.>) However, they do not handle implicit equations well, such as (x^2+y^2+z^2=1 ext<.>) There is a technique that allows us to find vectors orthogonal to these surfaces based on the gradient.

    Definition 14.4.17 . Gradient.

    Let (w=F(x,y,z)) be differentiable on a set (D) that contains the point ((x_0,y_0,z_0) ext<.>)

    The of (F) is ( abla F(x,y,z) = la f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z) a ext<.>)

    Recall that when (z=f(x,y) ext<,>) the gradient ( abla f = la f_x,f_y a) is orthogonal to level curves of (f ext<.>) An analogous statement can be made about the gradient ( abla F ext<,>) where (w= F(x,y,z) ext<.>) Given a point ((x_0,y_0,z_0) ext<,>) let (c = F(x_0,y_0,z_0) ext<.>) Then (F(x,y,z) = c) is a that contains the point ((x_0,y_0,z_0) ext<.>) The following theorem states that ( abla F(x_0,y_0,z_0)) is orthogonal to this level surface.

    Theorem 14.4.18 . The Gradient and Level Surfaces.

    Let (w=F(x,y,z)) be differentiable on a set (D) containing ((x_0,y_0,z_0)) with gradient ( abla F ext<,>) where (F(x_0,y_0,z_0) = c ext<.>)

    The vector ( abla F(x_0,y_0,z_0)) is orthogonal to the level surface (F(x,y,z)=c) at ((x_0,y_0,z_0) ext<.>)

    The gradient at a point gives a vector orthogonal to the surface at that point. This direction can be used to find tangent planes and normal lines.

    Example 14.4.19 . Using the gradient to find a tangent plane.

    Find the equation of the plane tangent to the ellipsoid (frac <12>+frac<6>+frac<4>=1) at (P = (1,2,1) ext<.>)

    We consider the equation of the ellipsoid as a level surface of a function (F) of three variables, where (F(x,y,z) = frac <12>+frac<6>+frac<4> ext<.>) The gradient is:

    At (P ext<,>) the gradient is ( abla F(1,2,1) = la 1/6, 2/3, 1/2 a ext<.>) Thus the equation of the plane tangent to the ellipsoid at (P) is

    The ellipsoid and tangent plane are graphed in Figure 14.4.20.

    Tangent lines and planes to surfaces have many uses, including the study of instantaneous rates of changes and making approximations. Normal lines also have many uses. In this section we focused on using them to measure distances from a surface. Another interesting application is in computer graphics, where the effects of light on a surface are determined using normal vectors.

    The next section investigates another use of partial derivatives: determining relative extrema. When dealing with functions of the form (y=f(x) ext<,>) we found relative extrema by finding (x) where (fp(x) = 0 ext<.>) We can começar finding relative extrema of (z=f(x,y)) by setting (f_x) and (f_y) to 0, but it turns out that there is more to consider.

    Exercises 14.4.5 Exercises

    Terms and Concepts

    Explain how the vector (vec v=la 1,0,3 a) can be thought of as having a “slope” of 3.

    Explain how the vector (vec v=la 0.6,0.8, -2 a) can be thought of as having a “slope” of (-2 ext<.>)


    Snapshots


    Calculus: The Language of Change

    Calculus with Computers
    1.1 Previews of Coming Attractions
    1.2 An Introduction to Computing
    1.3 Linearity in Local Coordinates
    1.4 Derivatives for Explicit Formulas
    1.5 Review of High School Math
    1.6 Free Advice

    Linear Functions with CAS

    Derivatives as Limits by CAS

    Using Calculus to Model Epidemics
    2.1 The First Model
    2.2 Shortening the Time Steps
    2.3 The Continuous Variable Model
    2.4 Analysis of Change
    2.5 Long-Term Change
    2.6 Calculus and the S-I-R Invariant
    2.7 Chapter Summary
    2.8 Projects

    Linearity vs. Local Linearity
    3.1 Approximation of Ox-bows
    3.2 Graphical Increments
    3.3 Algebra of Microscopes
    3.4 Symbolic Increments
    3.5 Projects

    Differential Equations and Derivatives
    4.1 The Cool Canary
    4.2 Instantaneous Rates of Change
    4.3 Projects

    Symbolic Increments
    5.1 The Gap for Power Functions
    5.2 Moving the Microscope
    5.3 Trigonometric Derivatives
    5.4 Derivatives of Log and Exp
    5.5 Continuity and the Derivative
    5.6 Projects and Theory

    Symbolic Differentiation
    6.1 Rules for Special Functions
    6.2 The Superposition Rule
    6.3 The Product Rule
    6.4 The Chain Rule
    6.5 General Exponentials
    6.6 Derivative of the Natural Log
    6.7 Combined Symbolic Rules
    6.8 Review - Inside the Microscope
    6.9 Projects

    Related Rates and Implicit Derivatives
    7.1 Differentiation with Parameters
    7.2 Implicit Differentiation
    7.3 Implicit Tangents and Derivatives
    7.4 Related Rates
    7.5 Implicitly Linked Variables
    7.6 Projects

    The Natural Log and Exponential
    8.1 The Official Natural Exponential
    8.2 e as a "Natural" Base
    8.3 Growth of Log, Exp, and Powers
    8.4 Official Properties
    8.5 Projects

    Exact Solution of y'=k y
    Exponentials and Percentage
    Orders of Infinity
    Rapid Exponential Growth
    Slow Logarithmic Growth

    Graphs and the Derivative
    9.1 Graphs from Formulas
    9.2 Graphs Without Formulas
    9.3 Ups and Downs of the Derivative
    9.4 Bending & the Second Derivative
    9.5 Graphing Differential Equations
    9.6 Projects

    Velocity, Acceleration, and Calculus
    10.1 Acceleration
    10.2 Galileo's Law of Gravity
    10.3 Projects

    Maxima and Minima in One Variable
    11.1 A Graphical Minimum
    11.2 Critical Points
    11.3 Max - min with Endpoints
    11.4 Max - min without Endpoints
    11.5 Supply and Demand
    11.6 Constrained Max-Min
    11.7 Max-min with Parameters
    11.8 Projects

    Basic Integration
    12.1 Slice Approximations
    12.2 Distance When Speed Varies
    12.3 The Definite Integral
    12.4 Computer Summation
    12.5 The Algebra of Summation
    12.6 The Algebra of Integration
    12.7 Fundamental Theorem, Part 1
    12.8 Fundamental Theorem, Part 2

    Sums with CASs
    The Disk Method
    Numerical Approximation

    Symbolic Integration
    13.1 Indefinite Integrals
    13.2 Fórmulas Integrais Específicas
    13.3 Superposição de Antiderivados
    13.4 & quotSubstituição & quot para Integrais
    13.5 Mudança de Limites de Integração
    13.6 Trig Substituições
    13.7 Integração por peças
    13.8 Integrais impossíveis

    Aplicações de Integração
    14.1 O Comprimento de uma Curva
    14.2 Princípio de Duhamel
    14.3 Integrais geométricos
    14,4 Integrais impróprios

    Geometria vetorial básica
    15.1 Coordenadas cartesianas
    15.2 Vetores de posição
    15.3 Geometria da adição de vetor
    15.4 Multiplicação escalar
    15.5 Diferenças e deslocamentos
    15.6 Ângulos e projeções
    15,7 Produto Cruzado em 3 Dimensões
    15.8 Léxico de geometria e álgebra

    Curvas Paramétricas
    16.1 A linha paramétrica vetorial
    16.2 Círculos Paramétricos
    16.3 Curvas polares
    16.4 Curvas Paramétricas 3-D
    16.5 Tangentes e vetores de velocidade
    16.6 Projetos

    Gráficos em várias variáveis
    17.1 O Plano Explicativo em 3-D
    17.2 Fatias verticais e arame de frango
    17.3 Equações Lineares Implícitas
    17.4 Gráficos de gradientes e contornos
    17.5 Fatias e contornos horizontais
    17.6 Explícito, Implícito, Paramétrico
    17,7 Linhas, Curvas e Planos

    Diferenciação em várias variáveis
    18.1 Derivados Parciais e Totais
    18.2 Exemplos de Diferenciação Parcial
    18.3 Aproximações diferenciais
    18.4 Geometria do Diferencial
    18.5 O Significado do Gradiente
    18.6 Diferenciação implícita (novamente)
    18.7 Exercícios de revisão

    Otimização de Diversas Variáveis
    19.1 Pontos Críticos para Investigar
    19.2 Existência de Valores Extremos
    19.3 Regiões compactas
    19.4 Restrições implícitas
    19.5 Extrema não compacto em 2-D
    19.6 Projetos no máximo - mínimo

    Sistemas Dinâmicos Discretos
    20.1 Modelos para ajuste de preço
    20.2 Teias de Aranha
    20.3 O Sistema Linear
    20.4 Crescimento Logístico
    20.5 Cálculo e não linearidade
    20.6 Projetos

    Sistemas Dinâmicos Contínuos em 1-D
    21.1 Crescimento exponencial e decadência
    21.2 Leis de crescimento logístico
    21.3 Alguma Teoria Útil
    21.4 Separação de Variáveis
    21,5 Projetos

    Sistemas Dinâmicos Contínuos em 2-D
    22.1 Teoria Básica em 2-D
    22.2 Solução geométrica em 2-D
    22.3 Fluxos vs. Soluções Explícitas
    22.4 Análise de fluxo de modelos
    22.5 Projetos

    Sistemas Dinâmicos Lineares
    23.1 A Equação do Amortecedor
    23.2 Sistemas de coeficiente constante
    23.3 Soluções Exponenciais Simbólicas
    23.4 Rotação e Fórmula de Euler
    23.5 Soluções Básicas
    23.6 Superposição e todas as soluções
    23.7 IVPs de segunda ordem
    23,8 Projetos

    Séries geométricas
    25.1 Série Geométrica: Convergência
    25.2 Convergência por comparação
    25.3 Juros Compostos

    Power Series
    26.1 Cálculo da Série de Potência
    26.2 O Teste de Razão
    26.3 Integração da Série
    26.4 Diferenciação de séries de potência

    The Edge of Convergence
    27.1 Série Alternada
    27.2 Série Telescópica
    27.3 Integrais em comparação com as séries
    27.4 Comparações de Limite
    27,5 Série Fourier

    Avaliação do ensino médio com computação
    28.1 Funções Lineares
    28,2 Polinômios
    28.3 Funções de fórmulas
    28.4 Funções de energia
    28.5 Funções Trig
    28.6 Logs e exponenciais
    28.7 Encadeamento ou Composição
    28.8 Parâmetros
    28.9 Identidades Funcionais

    Números complexos
    29.1 Álgebra de Números Complexos
    29.2 Geometria dos Números


    Assista o vídeo: APROXIMAÇÃO LINEAR APLICAÇÃO DO PLANO TANGENTE (Novembro 2021).