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15.4E: Teorema de Green (exercícios)


Para os exercícios a seguir, avalie as integrais de linha aplicando o teorema de Green.

1. ( displaystyle int_C 2xy , dx + (x + y) , dy ), onde (C ) é o caminho de ((0, 0) ) para ((1, 1) ) ao longo do gráfico de (y = x ^ 3 ) e de ((1, 1) ) a ((0, 0) ) ao longo do gráfico de (y = x ) orientado no sentido anti-horário

2. ( displaystyle int_C 2xy , dx + (x + y) , dy ), onde (C ) é o limite da região situada entre os gráficos de (y = 0 ) e (y = 4 − x ^ 2 ) orientado no sentido anti-horário

Responder:
( displaystyle int_C2xy , dx + (x + y) , dy = frac {32} {3} ) unidades de trabalho

3. ( displaystyle int_C 2 arctan left ( frac {y} {x} right) , dx + ln (x ^ 2 + y ^ 2) , dy ), onde (C ) é definido por (x = 4 + 2 cos θ, ; y = 4 sin θ ) orientado no sentido anti-horário

4. ( displaystyle int_C sin x cos y , dx + (xy + cos x sin y) , dy ), onde (C ) é o limite da região situada entre os gráficos de (y = x ) e (y = sqrt {x} ) orientado no sentido anti-horário

Responder:
( displaystyle int_C sin x cos y , dx + (xy + cos x sin y) , dy = frac {1} {12} ) unidades de trabalho

5. ( displaystyle int_C xy , dx + (x + y) , dy ), onde (C ) é o limite da região situada entre os gráficos de (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) orientado no sentido anti-horário

6. ( displaystyle ∮_C (−y , dx + x , dy) ), onde (C ) consiste no segmento de linha (C_1 ) de ((- 1,0) ) a ( (1, 0) ), seguido pelo arco semicircular (C_2 ) de ((1, 0) ) de volta para ((1, 0) )

Responder:
( displaystyle ∮_C (−y , , dx + x , , dy) = π ) unidades de trabalho

Para os exercícios a seguir, use o teorema de Green.

7. Seja (C ) a curva que consiste em segmentos de linha de ((0, 0) ) a ((1, 1) ) a ((0, 1) ) e de volta a ((0 , 0) ). Encontre o valor de ( displaystyle int_C xy , dx + sqrt {y ^ 2 + 1} , dy ).

8. Avalie a integral de linha ( displaystyle int_C xe ^ {- 2x} , dx + (x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2) , dy ), onde (C ) é o limite da região entre os círculos (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ), e é uma curva orientada positivamente.

Responder:
( displaystyle int_C xe ^ {- 2x} , dx + (x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2) , dy = 0 ) unidades de trabalho

9. Encontre a circulação anti-horária do campo ( vecs F (x, y) = xy , mathbf { hat i} + y ^ 2 , mathbf { hat j} ) ao redor e sobre o limite da região delimitado por curvas (y = x ^ 2 ) e (y = x ) no primeiro quadrante e orientado no sentido anti-horário.

10. Avalie ( displaystyle ∮_C y ^ 3 , dx − x ^ 3y ^ 2 , dy ), onde (C ) é o círculo de raio orientado positivamente (2 ) centralizado na origem.

Responder:
( displaystyle ∮_C y ^ 3 , dx − x ^ 3y ^ 2 , dy = −24π ) unidades de trabalho

11. Avalie ( displaystyle ∮_C y ^ 3 , dx − x ^ 3 , dy ), onde (C ) inclui os dois círculos de raio (2 ) e raio (1 ) centrado no origem, ambas com orientação positiva.

12. Calcule ( displaystyle ∮_C −x ^ 2y , dx + xy ^ 2 , dy ), onde (C ) é um círculo de raio (2 ) centrado na origem e orientado no sentido anti-horário .

Responder:
( displaystyle ∮_C −x ^ 2y , dx + xy ^ 2 , dy = 8π ) unidades de trabalho

13. Calcule integral ( displaystyle ∮_C 2 [y + x sin (y)] , dx + [x ^ 2 cos (y) −3y ^ 2] , dy ) ao longo do triângulo (C ) com vértices ((0, 0), , (1, 0) ) e ((1, 1) ), orientados no sentido anti-horário, usando o teorema de Green.

14. Avalie integral ( displaystyle ∮_C (x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy ), onde (C ) é a curva que segue a parábola (y = x ^ 2 ) de ((0,0), , (2,4), ) então a linha de ((2, 4) ) a ((2, 0) ) e, finalmente, a linha de (( 2, 0) ) a ((0, 0) ).

Responder:
( displaystyle ∮_C (x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 ) unidades de trabalho

15. Avalie a integral de linha ( displaystyle ∮_C (y− sin (y) cos (y)) , dx + 2x sin ^ 2 (y) , dy ), onde (C ) é orientado em um caminho no sentido anti-horário em torno da região limitada por (x = −1, , x = 2, , y = 4 − x ^ 2 ) e (y = x − 2. )

Para os exercícios a seguir, use o teorema de Green para encontrar a área.

16. Encontre a área entre a elipse ( frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} = 1 ) e o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ).

Responder:
(A = 19π ; text {unidades} ^ 2 )

17. Encontre a área da região delimitada pela equação paramétrica

( vecs p (θ) = ( cos (θ) - cos ^ 2 (θ)) , mathbf { hat i} + ( sin (θ) - cos (θ) sin (θ )) , mathbf { hat j} ) para (0≤θ≤2π. )

18. Encontre a área da região limitada pelo hipociclóide ( vecs r (t) = cos ^ 3 (t) , mathbf { hat i} + sin ^ 3 (t) , mathbf { hat j } ). A curva é parametrizada por (t∈ [0,2π]. )

Responder:
(A = frac {3} {8π} ; text {unidades} ^ 2 )

19. Encontre a área de um pentágono com vértices ((0,4), , (4,1), , (3,0), , (- 1, −1), ) e ((- 2 , 2) ).

20. Use o teorema de Green para avaliar ( displaystyle int_ {C ^ +} (y ^ 2 + x ^ 3) , dx + x ^ 4 , dy ), onde (C ^ + ) é o perímetro de quadrado ([0,1] × [0,1] ) orientado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle int_ {C ^ +} (y ^ 2 + x ^ 3) , dx + x ^ 4 , dy = 0 )

21. Use o teorema de Green para provar que a área de um disco com raio (a ) é (A = πa ^ 2 ; text {unidades} ^ 2 ).

22. Use o teorema de Green para encontrar a área de um loop de uma rosa de quatro folhas (r = 3 sin 2θ ). (Dica: (x , dy − y , dx = r ^ 2 , dθ )).

Responder:
(A = frac {9π} {8} ; text {unidades} ^ 2 )

23. Use o teorema de Green para encontrar a área sob um arco do ciclóide dada pelas equações paramétricas: (x = t− sin t, ; y = 1− cos t, ; t≥0. )

24. Use o teorema de Green para encontrar a área da região delimitada pela curva

( vecs r (t) = t ^ 2 , mathbf { hat i} + left ( frac {t ^ 3} {3} −t right) , mathbf { hat j}, ) para (- sqrt {3} ≤t≤ sqrt {3} ).

Responder:
(A = frac {8 sqrt {3}} {5} ; text {unidades} ^ 2 )

25. [T] Avalie o teorema de Green usando um sistema de álgebra computacional para avaliar o integral ( displaystyle int_C xe ^ y , dx + e ^ x , dy ), onde (C ) é o círculo dado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) e é orientado no sentido anti-horário.

26. Avalie ( displaystyle int_C (x ^ 2y − 2xy + y ^ 2) , ds ), onde (C ) é o limite do quadrado da unidade (0≤x≤1, ; 0≤y ≤1 ), percorrido no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle int_C (x ^ 2y − 2xy + y ^ 2) , ds = 3 )

27. Avalie ( displaystyle int_C frac {- (y + 2) , dx + (x − 1) , dy} {(x − 1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2} ), onde (C ) é qualquer curva fechada simples com um interior que não contém o ponto ((1, −2) ) percorrido no sentido anti-horário.

28. Avalie ( displaystyle int_C frac {x , dx + y , dy} {x ^ 2 + y ^ 2} ), onde (C ) é qualquer curva fechada simples e suave envolvendo a origem, atravessado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle int_C frac {x , dx + y , dy} {x ^ 2 + y ^ 2} = 2π )

Para os exercícios a seguir, use o teorema de Green para calcular o trabalho feito pela força ( vecs F ) em uma partícula que está se movendo no sentido anti-horário em torno do caminho fechado (C ).

29. ( vecs F (x, y) = xy , mathbf { hat i} + (x + y) , mathbf { hat j}, quad C: x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

30. ( vecs F (x, y) = (x ^ {3/2} −3y) , mathbf { hat i} + (6x + 5 sqrt {y}) , mathbf { hat j }, quad C ): limite de um triângulo com vértices ((0, 0), , (5, 0), ) e ((0, 5) )

Responder:
(W = frac {225} {2} ) unidades de trabalho

31. Avalie ( displaystyle int_C (2x ^ 3 − y ^ 3) , dx + (x ^ 3 + y ^ 3) , dy ), onde (C ) é um círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

32. Uma partícula começa no ponto ((- 2,0) ), se move ao longo do eixo (x ) - para ((2, 0) ) e, em seguida, viaja ao longo do semicírculo (y = sqrt {4 −x ^ 2} ) para o ponto inicial. Use o teorema de Green para encontrar o trabalho feito nesta partícula pelo campo de força ( vecs F (x, y) = x , mathbf { hat i} + (x ^ 3 + 3xy ^ 2) , mathbf { hat j} ).

Responder:
(W = 12π ) unidades de trabalho

33. David e Sandra estão patinando em uma lagoa sem atrito ao vento. David patina por dentro, seguindo ao longo de um círculo de raio (2 ) no sentido anti-horário. Sandra patina uma vez em torno de um círculo de raio (3 ), também no sentido anti-horário. Suponha que a força do vento no ponto ((x, y) ) é ( vecs F (x, y) = (x ^ 2y + 10y) , mathbf { hat i} + (x ^ 3 + 2xy ^ 2) , mathbf { hat j} ). Use o teorema de Green para determinar quem trabalha mais.

34. Use o teorema de Green para encontrar o trabalho feito pelo campo de força ( vecs F (x, y) = (3y − 4x) , mathbf { hat i} + (4x − y) , mathbf { hat j } ) quando um objeto se move uma vez no sentido anti-horário em torno da elipse (4x ^ 2 + y ^ 2 = 4. )

Responder:
(W = 2π ) unidades de trabalho

35. Use o teorema de Green para avaliar a integral da linha ( displaystyle ∮_C e ^ {2x} sin 2y , dx + e ^ {2x} cos 2y , dy ), onde (C ) é a elipse (9 (x − 1) ^ 2 + 4 (y − 3) ^ 2 = 36 ) orientado no sentido anti-horário.

36. Avalie a integral de linha ( displaystyle ∮_C y ^ 2 , dx + x ^ 2 , dy ), onde (C ) é o limite de um triângulo com vértices ((0,0), , ( 1,1) ), e ((1,0) ), com a orientação anti-horária.

Responder:
( displaystyle ∮_C y ^ 2 , dx + x ^ 2 , dy = frac {1} {3} ) unidades de trabalho

37. Use o teorema de Green para avaliar a integral da linha ( displaystyle int_C vecs h · d vecs r ) se ( vecs h (x, y) = e ^ y , mathbf { hat i} - sin πx , mathbf { hat j} ), onde (C ) é um triângulo com vértices ((1, 0), , (0, 1), ) e ((- 1,0 ), ) percorrido no sentido anti-horário.

38. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle int_C sqrt {1 + x ^ 3} , dx + 2xy , dy ) onde (C ) é um triângulo com vértices ((0, 0) , , (1, 0), ) e ((1, 3) ) orientados no sentido horário.

Responder:
( displaystyle int_C sqrt {1 + x ^ 3} , dx + 2xy , dy = 3 ) unidades de trabalho

39. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle int_C x ^ 2y , dx − xy ^ 2 , dy ) onde (C ) é um círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) orientado no sentido anti-horário.

40. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle int_C left (3y − e ^ { sin x} right) , dx + left (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) , dy ) onde (C ) é o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) orientado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle int_C left (3y − e ^ { sin x} right) , dx + left (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) , dy = 36π ) unidades de trabalho

41. Use o teorema de Green para avaliar a integral da linha ( displaystyle int_C (3x − 5y) , dx + (x − 6y) , dy ), onde (C ) é a elipse ( frac {x ^ 2} { 4} + y ^ 2 = 1 ) e é orientado no sentido anti-horário.

42. Seja (C ) uma curva triangular fechada de ((0, 0) ) a ((1, 0) ) a ((1, 1) ) e finalmente de volta a ((0, 0). ) Let ( vecs F (x, y) = 4y , mathbf { hat i} + 6x ^ 2 , mathbf { hat j}. ) Use o teorema de Green para avaliar ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r. )

Responder:
( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r = 2 ) unidades de trabalho

43. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle ∮_C y , dx − x , dy ), onde (C ) é um círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ) orientado em a direção horária.

44. Use o teorema de Green para avaliar a integral da linha ( displaystyle ∮_C (y + x) , dx + (x + sin y) , dy, ) onde (C ) é qualquer curva fechada simples e suave que une a origem a si mesma orientado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle ∮_C (y + x) , dx + (x + sin y) , dy = 0 ) unidades de trabalho

45. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle ∮_C left (y− ln (x ^ 2 + y ^ 2) right) , dx + left (2 arctan frac {y} {x} direita) , dy, ) onde (C ) é o círculo orientado positivamente ((x − 2) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 = 1. )

46. Use o teorema de Green para avaliar ( displaystyle ∮_C xy , dx + x ^ 3y ^ 3 , dy, ) onde (C ) é um triângulo com vértices ((0, 0), , (1 , 0), ) e ((1, 2) ) com orientação positiva.

Responder:
( displaystyle ∮_C xy , dx + x ^ 3y ^ 3 , dy = 2221 ) unidades de trabalho

47. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle int_C sin y , dx + x cos y , dy, ) onde (C ) é elipse (x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 1 ) orientado no sentido anti-horário.

48. Seja ( vecs F (x, y) = left ( cos (x ^ 5) −13y ^ 3 right) , mathbf { hat i} + 13x ^ 3 , mathbf { hat j }. ) Encontre a circulação no sentido anti-horário ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r, ) onde (C ) é uma curva que consiste na união do segmento de linha ((- 2,0) ) e ((- 1,0), ) semicírculo (y = sqrt {1 − x ^ 2}, ) o segmento de linha que une ((1, 0) ) e ((2, 0 ), ) e semicírculo (y = sqrt {4 − x ^ 2}. )

Responder:
( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r = 15π ^ 4 ) unidades de trabalho

49. Use o teorema de Green para avaliar a integral de linha ( displaystyle ∫_C sin (x ^ 3) , dx + 2ye ^ {x ^ 2} , dy, ) onde (C ) é uma curva triangular fechada que conecta os pontos ((0, 0), , (2, 2), ) e ((0, 2) ) no sentido anti-horário.

50. Seja (C ) o limite do quadrado (0≤x≤π, ; 0≤y≤π, ) percorrido no sentido anti-horário. Use o teorema de Green para encontrar ( displaystyle ∫_C sin (x + y) , dx + cos (x + y) , dy. )

Responder:
( displaystyle int_C sin (x + y) , dx + cos (x + y) , dy = 4 ) unidades de trabalho

51. Use o teorema de Green para avaliar a integral da linha ( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r, ) onde ( vecs F (x, y) = (y ^ 2 − x ^ 2) , mathbf { hat i} + (x ^ 2 + y ^ 2) , mathbf { hat j}, ) e (C ) é um triângulo delimitado por (y = 0, ; x = 3, ) e (y = x, ) orientados no sentido anti-horário.

52. Use o teorema de Green para avaliar integral ( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r, ) onde ( vecs F (x, y) = (xy ^ 2) , mathbf { hat i} + x , mathbf { hat j}, ) e (C ) é um círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r = π ) unidades de trabalho

53. Use o teorema de Green em um plano para avaliar a integral de linha ( displaystyle ∮_C (xy + y ^ 2) , dx + x ^ 2 , dy, ) onde (C ) é uma curva fechada de uma região limitada por (y = x ) e (y = x ^ 2 ) orientado no sentido anti-horário.

54. Calcule o fluxo externo de ( vecs F (x, y) = - x , mathbf { hat i} + 2y , mathbf { hat j} ) sobre um quadrado com cantos ((± 1 , , ± 1), ) onde a unidade normal está apontando para fora e orientada no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle ∮_C vecs F · vecs N , ds = 4 )

55. [T] Seja (C ) o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) orientado no sentido anti-horário. Avalie ( displaystyle ∮_C left [ left (3y − e ^ { arctan x}) , dx + (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) , dy right] ) usando um sistema de álgebra computacional.

56. Encontre o fluxo de campo ( vecs F (x, y) = - x , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} ) em (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) orientado no sentido anti-horário.

Responder:
( displaystyle ∮_C vecs F · vecs N , ds = 32π )

57. Seja ( vecs F = (y ^ 2 − x ^ 2) , mathbf { hat i} + (x ^ 2 + y ^ 2) , mathbf { hat j}, ) e deixe (C ) seja um triângulo limitado por (y = 0, , x = 3, ) e (y = x ) orientado no sentido anti-horário. Encontre o fluxo externo de ( vecs F ) por meio de (C ).

58. [T] Seja (C ) o círculo unitário (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) percorrido uma vez no sentido anti-horário. Avalie ( displaystyle ∫_C left [−y ^ 3 + sin (xy) + xy cos (xy) right] , dx + left [x ^ 3 + x ^ 2 cos (xy) right ] , dy ) usando um sistema de álgebra computacional.

Responder:
( displaystyle ∫_C left [−y ^ 3 + sin (xy) + xy cos (xy) right] , dx + left [x ^ 3 + x ^ 2 cos (xy) right] , dy = 4.7124 ) unidades de trabalho

59. [T] Encontre o fluxo externo do campo vetorial ( vecs F (x, y) = xy ^ 2 , mathbf { hat i} + x ^ 2y , mathbf { hat j} ) através do limite do anel (R = big {(x, y): 1≤x ^ 2 + y ^ 2≤4 big } = big {(r, θ): 1≤r≤2, , 0≤ θ≤2π big } ) usando um sistema de álgebra computacional.

60. Considere a região (R ) limitada por parábolas (y = x ^ 2 ) e (x = y ^ 2. ) Seja (C ) o limite de (R ) orientado no sentido anti-horário. Use o teorema de Green para avaliar ( displaystyle ∮_C left (y + e ^ { sqrt {x}} right) , dx + left (2x + cos (y ^ 2) right) , dy. )

Responder:
( displaystyle ∮_C left (y + e ^ { sqrt {x}} right) , dx + left (2x + cos (y ^ 2) right) , dy = 13 ) unidades de trabalho

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Greenshoe

Greenshoe, ou uma "opção de distribuição em excesso", [1] é o termo comumente usado para descrever um acordo especial em uma oferta de ações, por exemplo, uma oferta pública inicial (IPO), que permite ao banco de investimento que representa os subscritores apoiar a ação após a oferta, sem colocar em risco o seu próprio capital. A opção é codificada como uma disposição no acordo de subscrição entre o subscritor líder, o gestor líder e o emissor (no caso de ações primárias) ou fornecedor (ações secundárias). [2] A disposição permite que o subscritor compre até 15% em ações adicionais da empresa ao preço da oferta. [3] [1]

O termo é derivado do nome da primeira empresa, Green Shoe Manufacturing (agora chamada Stride Rite), para permitir que os subscritores usem essa prática em um IPO. [4]

O uso de opções de greenshoe em ofertas de ações é comum por dois motivos. Primeiro, é um mecanismo legal para um subscritor estabilizar o preço das novas ações, o que reduz o risco de sua negociação abaixo do preço da oferta imediatamente após uma oferta - um resultado que prejudica a reputação comercial do emissor e do subscritor. Em segundo lugar, concede aos subscritores alguma flexibilidade na definição do tamanho final da oferta com base na demanda pós-oferta pelas ações.


620 outono de 2017

Escopo do curso. Muitas físicas do corpo fornecem a estrutura para a compreensão do comportamento coletivo de vastas montagens de partículas em interação. Este curso fornece uma introdução a este campo, apresentando-lhe as principais técnicas e conceitos, com o objetivo de lhe dar uma experiência de primeira mão em cálculos e resolução de problemas usando esses métodos.

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  • Texto:% s: Aqui estão algumas outras boas referências para o curso.


      • Física de muitas partículas,Terceira edição por G. Mahan. (Plenum, 2000). Um texto clássico sobre a física de muitos corpos. Concentra-se no método diagramatic e Greens Functions. Muito completo, mas um pouco antiquado.
          • Noções básicas de física da matéria condensada por P. W. Anderson. Uma referência clássica. Muitos de nós ainda recorremos a este livro em busca de inspiração e filosofia. Ele também possui uma excelente seleção de reimpressões importantes no verso.


          Teoria tradicional de muitos corpos e funções verdes

          • `` Métodos da Teoria Quântica de Campos em Física Estatística '' por Abrikosov, Gorkov e Dzyalozinskii. (Dover Paperback) - Texto clássico dos anos sessenta, normalmente conhecido como AGD.
          • `` Um guia para diagramas de Feynman no problema de muitos corpos por R. D. Mattuck. Uma introdução leve ao assunto. Reproduzido por Dover.
          • `` Funções verdes para Física do Estado Sólido '' S.Doniach e E. H. Sondheimer. Não tão completo quanto o AGD, mas menos ameaçador e, de alguma forma, mais gerenciável. Série Fronteiras na Física no 44.
          • `` Quantum Many Particle Systems '' por J. W. Negele e H. Orland. Infelizmente, toda a boa física está nos exercícios não resolvidos! No entanto, é o único deste conjunto a tocar no assunto de integrais funcionais.


          Abordagens mais recentes para o problema de muitos corpos.

          • R. Shankar, Rev Mod Phys 66 129 (1994). Uma revisão incrivelmente independente do grupo de renormalização e técnicas integrantes funcionais, escrita por um dos melhores expositores da física da matéria condensada.
          • `` Teorias de campo da física da matéria condensada '' por E. Fradkin. (Frontiers in Physics, Addison Wesley). Material interessante sobre as estatísticas fracionárias e o efeito Hall quântico fracionário.
          • `` Teoria Quântica de Campos na Física da Matéria Condensada '' por A. Tsvelik. (Livro de Cambridge) Muito bom para sistemas unidimensionais. Sem exercícios.
          • The Theory of Quantum Liquids, de D. Pines e P. Nozieres. Excelente introdução à teoria dos líquidos de Fermi que evita o uso da teoria de campo.
          • Física Estatística, vol II por Lifshitz e Pitaevskii. Pergammon. Livro maravilhoso sobre as aplicações de muitas físicas do corpo, principalmente a física da matéria condensada.

          Referências online (confira - este é um ótimo link).

          Horários: 12h00 na quarta-feira e 13h40 nas sextas-feiras em ARCO-212. Ocasionalmente, para compensar minha viagem, teremos uma aula adicional. Isso acontecerá provisoriamente em 10h20 dentro SEC 217 (Nota SEC não ARC!) nas segundas-feiras ocasionais. Peço perdão por este inconveniente.

          Horário comercial: 9,50 Sextas-feiras ou a combinar. Tel x 9033

          Avaliação: A avaliação será feita com base em trabalhos semanais, um exame para levar para casa no meio do semestre e um exame final para levar para casa. Quero incentivar uma aula interativa e levarei isso em consideração ao avaliar!


          Contorno
          Faremos uma surtida selecionada através da lista a seguir. Os asteriscos indicam áreas que serão de alta prioridade

          • Segunda quantização. Sistemas `` livres '' - o bloco de construção do conceito de quasipartículas. *
          • Fônons e fótons, modelo de sistemas de spin (x-y) de fluidos de Fermi e Bose. Interações. *
          • Funções de Green e diagramas de Feynman. *
          • Funções verdes de temperatura finita. *
          • Aplicação dos diagramas de Feynman de temperatura finita ao (i) problema elétron-fônon * (ii) teoria do transporte.
          • Abordagem Integral Funcional (se o tempo permitir).
          • Simetria e supercondutividade quebradas. *

          Cronograma (atualmente em evolução - verifique novamente para ver o cronograma final):


          Problemas de funções e valor limite de Green, terceira edição

          Funções de Green e problemas de valor de limite, terceira edição continua a tradição das duas edições anteriores, fornecendo técnicas matemáticas para o uso de equações diferenciais e integrais para resolver problemas importantes em matemática aplicada, ciências físicas e engenharia. Esta nova edição apresenta conceitos matemáticos e ferramentas quantitativas que são essenciais para o uso eficaz de métodos computacionais modernos que desempenham um papel fundamental na solução prática de problemas de valor limite. Com uma mistura cuidadosa de teoria e aplicações, os autores preenchem com sucesso a lacuna entre a análise real, análise funcional, análise não linear, equações diferenciais parciais não lineares, equações integrais, teoria de aproximação e análise numérica para fornecer uma base abrangente para compreender e analisar matemática básica e problemas de modelagem computacional.

          Completamente atualizado e revisado para refletir os desenvolvimentos recentes, o livro inclui um novo capítulo extenso sobre as ferramentas modernas de matemática computacional para problemas de valor limite. A terceira edição apresenta vários novos tópicos, incluindo:

          Ferramentas de análise não linear para espaços de Banach

          Elemento finito e discretizações relacionadas

          Melhor e quase melhor aproximação em espaços de Banach

          Métodos iterativos para equações discretizadas

          Visão geral do espaço linear de Sobolev e Besov

          Métodos para equações não lineares

          Aplicações a equações elípticas não lineares

          Além disso, vários tópicos foram substancialmente expandidos e novo material sobre derivadas fracas e espaços de Sobolev, o teorema de Hahn-Banach, espaços reflexivos de Banach, os teoremas de Banach Schauder e Banach-Steinhaus, e o teorema de Lax-Milgram foram incorporados ao livro. Exercícios novos e revisados ​​encontrados em todo permitem que os leitores desenvolvam suas próprias habilidades de resolução de problemas e as bibliografias atualizadas em cada capítulo fornecem um extenso recurso para aplicações e pesquisas novas e emergentes.

          Com seu equilíbrio cuidadoso de matemática e aplicativos significativos, funções de Green e problemas de valor limite, terceira edição é um excelente livro para cursos sobre análise aplicada e problemas de valor limite em equações diferenciais parciais no nível de pós-graduação. É também uma referência valiosa para matemáticos, físicos, engenheiros e cientistas que usam a matemática aplicada em seu trabalho diário.

          Avaliações

          Biografias do autor

          MICHAEL HOLST, PhD, é Professor nos Departamentos de Matemática e Física da University of California, San Diego, onde também é CoDirector do Center for Computational Mathematics e do Programa de Doutorado em Ciências Computacionais, Matemática e Engenharia. O Dr. Holst publicou vários artigos nas áreas de análise aplicada, matemática computacional, equações diferenciais parciais e física matemática.


          15.4E: Teorema de Green (exercícios)

          Uma investigação do teorema de Pick

          Qual é o teorema de Pick?

          O teorema de Pick é um método útil para determinar a área de qualquer polígono cujos vértices são pontos em uma rede, uma matriz de pontos regularmente espaçada. Embora os reticulados possam ter pontos em diferentes arranjos, este ensaio usa um reticulado quadrado para examinar o teorema de Pick.

          Exemplos de polígonos cuja área pode ser calculada pelo teorema de Pick são mostrados abaixo

          Embora a área de cada figura possa ser calculada usando outros métodos (por exemplo, particionando-a em pedaços menores ou usando um retângulo ao redor), o teorema de Pick fornece uma alternativa relativamente simples. Para entender esta fórmula, duas definições são necessárias:

          Ponto Limite (B): um ponto de rede no polígono (incluindo vértices)

          Ponto Interior (eu): um ponto de rede na região interna do polígono

          O teorema de Pick usa essas definições para indicar a área de um polígono cujos vértices são pontos da rede:

          Por exemplo, a área do polígono amarelo acima requer a contagem do número de pontos de fronteira (5) e pontos internos (5). Esses valores são usados ​​na fórmula:

          Como exercício, use o Teorema de Pick para calcular a área das figuras verdes e azuis. Soluções

          Eu tinha usado o teorema de Pick regularmente em uma sala de aula, mas não entendia a matemática por trás dele. Por que isso funciona? Posso provar isso? O trabalho apresentado a seguir é minha tentativa de compreender o Teorema de Pick e responder a essas questões.

          Para construir minha compreensão da mecânica subjacente do teorema de Pick, comecei com polígonos & # 8212 retângulos muito simples com arestas verticais e horizontais. O exame desses retângulos revelou vários relacionamentos:

          Para j x k retângulo, B = 2 j + 2k.

          Para j x k retângulo, eu = (j – 1)(k – 1).

          Usando essas relações, pude verificar que o teorema de Pick calcula com precisão a área para retângulos com lados verticais e horizontais.

          Se desejar, use o retângulo 5 x 3 acima como um exercício. Use as fórmulas para verificar se ele tem 16 pontos de limite e 8 pontos internos, bem como uma área de 15 unidades quadradas

          Essa compreensão do teorema de Pick com retângulos ajudou a lançar minha investigação dos triângulos abaixo.

          Triângulos com uma perna vertical e outra horizontal

          Dadas as propriedades compartilhadas com os retângulos descritos acima, comecei a examinar triângulos retângulos com uma perna vertical e outra horizontal. Considere a figura abaixo:

          Os triângulos verdes têm metade da área de um j x k retângulo. Como os retângulos acima, os relacionamentos existem para descrever o número de limites e pontos internos:

          O número de pontos de fronteira é j + k + 1 + h, Onde h representa o número de pontos de rede intersectados pela hipotenusa do triângulo, não incluindo os pontos finais da hipotenusa. h pode ser calculado para qualquer triângulo que seja a metade de um j x k retângulo encontrando o maior fator comum de j e k e subtraindo 1 (h = gcf (h, k) - 1). Por exemplo, o triângulo verde maior representado acima é a metade de um retângulo 4 x 8. gcf (4, 8) = 4, então h = 3. A figura verifica este cálculo.

          Lembre-se de que o número de pontos internos para um retângulo j x k é eu = (j - 1) (k - 1). Ao particionar este retângulo em dois triângulos, os pontos internos que coincidem com a hipotenusa tornam-se pontos limites. Esses pontos foram quantificados como h. Assim, o número de pontos internos para os dois triângulos é (j - 1)(k - 1) - h. Para obter o número de pontos internos de um triângulo, dividi esse valor pela metade:

          Inserindo as fórmulas para os pontos limites e pontos internos de um triângulo com uma perna vertical e uma horizontal no Teorema de Pick, eu verifiquei o cálculo correto da área:

          Conhecer a precisão do teorema de Pick neste caso permite investigar outros tipos de triângulos criados em uma rede.

          Triângulos com um lado vertical ou um lado horizontal

          Este triângulo difere dos triângulos acima porque apenas um de seus lados está alinhado vertical ou horizontalmente.

          Para verificar a precisão do Teorema de Pick com respeito a este triângulo, construí um j x k retângulo de forma que dois dos vértices do triângulo coincidam com os vértices do retângulo. Em seguida, etiquetei os lados de acordo com o esquema abaixo.

          A área do retângulo é a soma das áreas dos três triângulos. Para encontrar a área do triângulo desejado (marrom), calculei o número de pontos limites e internos. Observação h1 e h2 representam o número de pontos de rede que coincidem com o interior do segmento marcado, não o comprimento do segmento.

          Usar essas fórmulas e o teorema de Pick produz a área correta:


          Problemas de exemplo do teorema de Chebyshev & # 8217s

          Demonstraremos agora como aplicar a fórmula de Chebyshev com exemplos específicos. Esses problemas de prática do Teorema de Chebyshev & # 8217s devem lhe dar uma compreensão sobre o uso do Teorema de Chebyshev & # 8217s e como interpretar o resultado.

          Exemplo 1

          A distribuição das pontuações dos testes dos alunos está inclinada para a esquerda. Usando a regra de Chebyshev & # 8217s, estime a porcentagem das pontuações dos alunos dentro de 1,5 desvio padrão da média.
          Solução:
          O valor de k neste problema é 1,5, portanto, substituímos em 1,5 na fórmula de Chebyshev & # 8217s:
          $ 1 & # 8211 frac <1> <1,5 ^ 2> $
          Quadrando o valor de k, temos
          $ k ^ 2 = 1,5 ^ 2 = 2,25 $
          Divida 1 por 2,25
          $ frac <1> <2,25> = 0,44444 $
          Subtraia 0,4444 de 1
          $ 1 – 0.4444 = 0.5556 $
          Multiplique por 100 para converter a resposta em uma porcentagem
          $ 0,5556 cdot 100 = 55,56% $ Interpretação:
          Pelo menos 55,56% das pontuações do teste na distribuição distorcida à esquerda estão dentro de 1,5 desvio padrão da média. Ou seja, de 1,5 desvio padrão abaixo a 1,5 desvio padrão acima da média.

          Exemplo 2

          A distribuição das pontuações de crédito dos alunos é distorcida para a direita. Usando a regra de Chebyshev & # 8217s, estime a porcentagem das pontuações de crédito dentro de 2,5 desvios-padrão da média.
          Solução:
          O valor de k neste problema é 2,5, portanto, substituímos em 2,5 na fórmula de Chebyshev & # 8217s:
          $ 1 & # 8211 frac <1> <2,5 ^ 2> $
          Quadrando o valor de k, temos
          $ k ^ 2 = 2,5 ^ 2 = 6,25 $
          Divida 1 por 6,25
          $ frac <1> <6,25> = 0,16 $
          Subtraia 0,16 de 1
          $ 1 – 0.16 = 0.84 $
          Multiplique por 100 para converter a resposta em uma porcentagem
          $ 0,84 cdot 100 = 84% $ Interpretação:
          Pelo menos 84% ​​das pontuações de crédito na distribuição distorcida à direita estão dentro de 2,5 desvios-padrão da média. Ou seja, de 2,5 desvios padrão abaixo a 2,5 desvios padrão acima da média.

          Você pode inserir 1,5 e 2,5 na Calculadora de Teorema de Chebyshev & # 8217s acima e verificar os mesmos resultados mostrados aqui.


          Aumente o valor de seus ativos CAD 3D e PLM

          Amplie o uso de seus ativos de CAD 3D, traduzindo-os para outros formatos de CAD 3D ou de visualização para uso interno downstream ou para colaboração com clientes e fornecedores.

          PDF 3D

          Libere mais valor de seus dados 3DEXPERIENCE, CATIA V5, CREO, JT e NX usando Publicar em PDF 3D ou Compositor, para criar documentos ricos e inteligentes com texto e conteúdo 3D.

          Realidade estendida (XR)

          Experiências XR Colaborativas para Design, Layout de Fábrica, Treinamento, Visualização e Visual Digital Twin para AR / MR e VR. Com dados 3D fornecidos automaticamente pelo Pipeline de visualização

          Use seus ativos CAD 3D existentes

          Seus ativos de CAD 3D detêm sua propriedade intelectual e nossas soluções permitem que você obtenha mais valor desses ativos.

          Colaboração de Engenharia

          A engenharia por natureza é uma atividade colaborativa, as nossas soluções permitem-lhe colaborar de forma fácil e rápida internamente e com fornecedores.

          Visual Digital Twin

          O Visual Digital Twin oferece um modelo digital 3D rico, permitindo que ele seja sobreposto em cima de um objeto físico e rastreado. Para uso em inspeção, treinamento, embalagem e suporte de um gêmeo totalmente digital.

          Design em contexto e em escala real

          O Teorema XR permite que você entenda melhor seus produtos em escala real e no contexto, o Multi-cad permite que os engenheiros de CAD projetem no contexto com dados CAD não nativos.

          Reduza o custo de compartilhamento de dados

          Nossas soluções permitem o compartilhamento e a visualização de seus ativos CAD 3D, ajudando a reduzir custos e agilizando o tempo de lançamento no mercado.

          Apoiando você em todo o ciclo de vida

          Para garantir que você comece rapidamente e para apoiar o uso de nossas soluções ao longo do tempo, oferecemos uma variedade de pacotes de suporte para todos os estágios de uso.

          OFERECENDO MAIS VALOR DO SEU CAD 3D

          Nossos produtos e soluções permitem que os ativos CAD 3D existentes sejam usados ​​em diferentes formas: para visualização no desktop, para publicar documentos com conteúdo 3D, para trocar arquivos CAD com clientes e fornecedores e no suporte às novas tecnologias de visualização de Aumentado, Misto e Realidade virtual. Ajudamos a reduzir os custos de engenharia e fabricação, melhorar a qualidade do produto e apoiar o desenvolvimento mais rápido de produtos e processos de fabricação. Com compartilhamento de dados aprimorado e colaboração de fornecedores aproveitando as novas tecnologias de computação espacial, visualização e renderização remota, nossos produtos e soluções ajudam as empresas a chegar ao mercado mais rapidamente, melhorar a posição competitiva e obter um retorno mais rápido sobre o investimento.

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          Mathematicians are not the people who find Maths easy they are the people who enjoy how mystifying, puzzling and hard it is. Are you a mathematician?

          Comment recorded on the 24 May 'Starter of the Day' page by Ruth Seward, Hagley Park Sports College:

          "Find the starters wonderful students enjoy them and often want to use the idea generated by the starter in other parts of the lesson. Keep up the good work"

          Comment recorded on the 3 October 'Starter of the Day' page by Mrs Johnstone, 7Je:

          "I think this is a brilliant website as all the students enjoy doing the puzzles and it is a brilliant way to start a lesson."

          Each month a newsletter is published containing details of the new additions to the Transum website and a new puzzle of the month.

          The newsletter is then duplicated as a podcast which is available on the major delivery networks. You can listen to the podcast while you are commuting, exercising or relaxing.

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          Featured Activity

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          The Transum Newsletter for July 2021 has just been published. Click on the image above to read about the latest developments on this site and try to solve the puzzle of the month. You can read the newsletter online or listen to it by downloading the podcast.


          7 Reasons Your Poop Is Green—and What You Should Do About It

          By now, you&aposve probably become pretty well accustomed to how your poop looks (on a good day, it&aposs ideally dark brown, solid, and snakes around the toilet—like a perfect poop emoji). But let&aposs say one day, upon inspection, your stool has a green tinge to it—what the heck does that mean?

          Turns out, green stool is pretty common (you can likely breathe a sigh of relief). In fact, there are several reasons your poop might take on a greenish hue, including dietary changes or new prescription medications.

          Por quê? See, your stool is mostly made of your digested food and bacteria, Shanti Eswaran, MD, a gastroenterologist at Michigan Medicine, tells Saúde. "However, several other factors determine stool color, including bile content, medications like Pepto Bismol and antibiotics, and ingested pigments from things like food coloring."

          Typically, reasons for green poop fall under two categories: illness or food. Here, doctors explain, specifically, the top seven reasons your poop might have a greenish color𠅊nd what you can (or should) do about it.

          1. You’re taking antibiotics.

          If you&aposve recently been ill and taken an antibiotic, it&aposs not uncommon to see a color change in your stool, says Eswaran. "Antibiotics will alter the bacterial content of the stool, sometimes also leading to a change in stool color," she explains. It&aposs also not uncommon to have antibiotic-induced diarrhea, which could cause your stomach to hurt. Luckily, this should clear up within a few days, after you complete your course of the medication.

          2. You’ve had an infection, especially involving diarrhea.

          Not dissimilar to the reason antibiotics do a number on your poop, bacteria invading the GI tract could cause a green tinge to your stool. "Bacterial infections can also change the normal flora in the stool, changing its color," says Eswaran. "Bacterial infections—like salmonella and norovirus—will also make the stool looser and more frequent."

          Diarrhea itself always increases the odds of green stool, too. Food moving through the body too quickly may not have the necessary time for bile to break it down, which could cause your stool to remain a greenish color instead of brown.

          3. You have a liver or gastrointestinal illness.

          Heidi Moretti, RD, a dietitian focusing on functional nutrition, says it&aposs not uncommon to see green stool if you have other GI issues, especially ones that cause diarrhea. "Conditions such as colitis or IBS can also cause lighter-green stools," she says. "Food intolerances that cause diarrhea can also make this condition occur, as well."

          The liver, gallbladder and the GI system are "intimately involved with each other," says Donese Worden, NMD, a board-certified naturopathic physician and adjunct faculty member at Arizona State University. "When one is upset, the entire system is affected. Bile that is produced in the liver and stored in the gallbladder can be yellow or green, and so [green stool] might be a sign of gallbladder or liver problem."  

          4. You’re eating a ton of green veggies.

          The food you eat may also cause your food, of the natural or artificial variety, may also cause your poop to turn green, Emily Haller, RDN, a registered dietician at Michigan Medicine&aposs Taubman GI Clinic, tells Saúde. "Green vegetables and fruits contain chlorophyll, which is the pigment that gives plants and algae their green color," she says. "Generally, a small serving of green vegetables won&apost change stool color, but larger servings of green vegetables such as spinach, kale, broccoli, bok choy, green peppers, etc. could contribute to green stool."

          Haller says it&aposs "completely normal and healthy" to have green poop as the result of eating your veggies—so definitely keep doing it. "Not only are these vegetables tasty, but they are full of vitamins, minerals and fiber," she says.

          5. You’ve been consuming green dyes (think: frosting and ice cream).

          On the other hand, it&aposs also possible to have green stool after consuming highly-pigmented mint ice cream or frosted cookies. "Some packaged or processed foods contain food dye," says Haller. "Green, blue, and yellow food coloring can also turn your poop green." In this case, the green poop is a sign you might be overdoing it on the processed stuff.

          6. You’re taking iron supplements.

          Iron supplements are notoriously difficult on the stomach, with side effects like diarrhea, nausea and upset stomach this is why those with an inflammatory bowel condition or ulcer will want to check with their doctor before taking𠅋ut most people may just see a color change as a side effect. "Iron supplements can give your stools a greenish tinge, or can look just generally darker," says Moretti. "This is okay and normal," as long as it&aposs not associated with discomfort, of course.

          7. You’re on the birth control shot.

          If you&aposve recently started getting the birth control shot, you might be seeing changes to your stool. Depo-Provera (medroxyprogesterone) has been known to cause green poop as a side effect – although why that occurs is still up for debate. Worden notes "anything that changes hormones can also affect the biliary system," including the liver and gallbladder, and if what you consume isn&apost being broken down normally, it could increase the odds of green stool.

          Should you ever worry about green poop—and when should you call your doctor?

          Green stool in and of itself is "not necessarily a cause for concern," says Eswaren. If you see another color change, however, she&aposd want to hear from you ASAP. "Red blood in the stool or black tarry stool is not normal and should be addressed right away," Eswaren says.

          If you have green poop with diarrhea that&aposs not clearing up, or one of your medications seems to be causing a sour stomach along with tinged stool, then you&aposd want to contact your doctor for new or different treatment.

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          Independent Random Variables

          In some cases, the probability distribution of one random variable will not be affected by the distribution of another random variable defined on the same sample space. In those cases, the joint distribution functions have a very simple form, and we refer to the random variables as independent.

          Definition (PageIndex)

          Discrete random variables (X_1, X_2, ldots, X_n) are independente if the joint pmf factors into a product of the marginal pmf's:
          $p(x_1, x_2, ldots, x_n) = p_(x_1)cdot p_(x_2) cdots p_(x_n).label$
          It is equivalent to check that this condition holds for the cumulative distribution functions.

          Recall the definition of independent eventos (Definition 2.3.2): (A) and (B) are independent events if (P(Acap B) = P(A) P(B)). This is the basis for the definition of independent random variables because we can write the pmf's in Equation ef in terms of events as follows:
          $p(x,y) = P(X=x ext Y=y) = P(cap) = P(X=x) P(Y=y) = p_X(x) p_Y(y) otag$
          In the above, we use the idea that if (X) and (Y) are independent, then the event that (X) takes on a given value (x) is independent of the event that (Y) takes the value (y).

          Example (PageIndex)

          Consider yet again the discrete random variables defined in Example 5.1.1. According to the definition, (X) and (Y) are independent if
          $p(x,y) = p_X(x)cdot p_Y(y), otag$
          para todospairs ((x,y)). Recall that the joint pmf for ((X,Y)) is given in Table 1 and that the marginal pmf's for (X) and (Y) are given in Table 2. Note that, for ((x,y) = (0,-1)), we have the following
          $p(0,-1) = frac<1><8>, p_X(0) = frac<1><8>, p_Y(-1) = frac<1> <8>quadRightarrowquad p(0,-1) eq p_X(0)cdot p_Y(-1). otag$
          Thus, (X) and (Y) are nãoindependent, or in other words, (X) and (Y) are dependente. This should make sense given the definition of (X) and (Y). The winnings earned depend on the number of heads obtained. So the probabilities assigned to the values of (Y) will be affected by the values of (X).

          We also have the following very useful theorem about the expected value of a product of independent random variables, which is simply given by the product of the expected values for the individual random variables.

          Theorem (PageIndex)

          If (X) and (Y) are independent random variables, then ( ext[XY] = ext[X] ext[Y]).

          Assume (X) and (Y) are independent random variables. If we let (p(x,y)) denote the joint pmf of ((X, Y)), then, by Definition 5.1.3, (p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)), for all pairs ((x,y)). Using this fact and Theorem 5.1.1, we have
          começar
          exto[XY] &= mathop_<(x,y)>xycdot p(x,y) = mathop_<(x,y)>xycdot p_X(x)p_Y(y)
          &= sum_xsum_y xyp_(x)P_Y(y) = sum_x xp_X(x) left(sum_y p_Y(y) ight) = sum_x xp_X(x) ext[Y]
          &= ext[Y]sum_x xp_X(x) = ext[Y] ext[X].
          end

          Theorem 5.1.2 can be used to show that two random variables are nãoindependent: if ( ext[XY] eq ext[X] ext[Y]), then (X) and (Y) não podebe independent. However, beware using Theorem 5.1.2 to show that random variables are independent. Note that Theorem 5.1.2 assumesthat (X) and (Y) are independent and then the property about the expected value follows. The other direction does not hold. In other words, if ( ext[XY] = ext[X] ext[Y]), then (X) and (Y) may or may not be independent.