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6.3: Soma de Fator e Diferenças de Cubos - Matemática


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Quer saber mais sobre Álgebra 2? Tenho um curso passo a passo para isso. :)

Se verificarmos se algum dos termos é um cubo,

podemos ver que ambos os termos são cubos perfeitos. A diferença da fórmula de cubos diz. a ^ 3-b ^ 3. é sempre fatorado como

Desde neste caso. a = c. e . b = 2b ^ 4. Nós temos

Sabemos que estamos lidando com a diferença de cubos, porque temos dois cubos perfeitos separados por subtração.

Se verificarmos se algum dos termos é um cubo,

podemos ver que ambos os termos são cubos perfeitos. A diferença da fórmula de cubos diz. a ^ 3-b ^ 3. é sempre fatorado como

A variável. uma. será a raiz cúbica do primeiro termo e a variável. b. será a raiz cúbica do segundo termo. Então

Podemos verificar nosso trabalho distribuindo cada termo do fator binomial sobre cada termo do fator trinomial.


6.3 Produtos Especiais de Fator

Vimos que alguns binômios e trinômios resultam de produtos especiais - binômios em quadratura e conjugados de multiplicação. Se você aprender a reconhecer esses tipos de polinômios, poderá usar os padrões de produtos especiais para fatorá-los com muito mais rapidez.

Factor Perfect Square Trinomials

Alguns trinômios são quadrados perfeitos. Eles resultam da multiplicação de um binômio pelo próprio tempo. Quadratamos um binomial usando o padrão dos quadrados binomiais em um capítulo anterior.

Neste capítulo, você começará com um trinômio quadrado perfeito e o fatorará em seus fatores primos.

Aqui está o padrão - o reverso do padrão de quadrados binomiais.

Padrão de trinômios quadrados perfeitos

Se uma e b são números reais

Para fazer uso desse padrão, você deve reconhecer que um determinado trinômio se encaixa nele. Verifique primeiro se o coeficiente líder é um quadrado perfeito, a 2. a 2. Em seguida, verifique se o último termo é um quadrado perfeito, b 2. b 2. Em seguida, verifique o termo do meio - é o produto, 2 a b? 2 a b? Se tudo estiver certo, você pode escrever facilmente os fatores.

Exemplo 6.23

Como fatorar trinômios quadrados perfeitos

Solução

O sinal do meio termo determina qual padrão usaremos. Quando o termo do meio é negativo, usamos o padrão a 2 - 2 a b + b 2, a 2 - 2 a b + b 2, que fatora para (a - b) 2. (a - b) 2.

As etapas são resumidas aqui.

Como

Fatore trinômios quadrados perfeitos.

Etapa 1. O trinômio se encaixa no padrão? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 - 2 a b + b 2 O primeiro termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (a) 2 Escreva como um quadrado. O último termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escreva como um quadrado. Verifique o meio termo. É 2 a b? (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 Etapa 2. Escreva o quadrado do binômio. (a + b) 2 (a - b) 2 Etapa 3. Verifique multiplicando. Etapa 1. O trinômio se encaixa no padrão? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 - 2 a b + b 2 O primeiro termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (a) 2 Escreva como um quadrado. O último termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escreva como um quadrado. Verifique o meio termo. É 2 a b? (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 Etapa 2. Escreva o quadrado do binômio. (a + b) 2 (a - b) 2 Etapa 3. Verifique multiplicando.

Vamos trabalhar um agora onde o meio termo é negativo.

Exemplo 6.24

Solução

O primeiro e o último termos são quadrados. Veja se o termo do meio se encaixa no padrão de um trinômio quadrado perfeito. O termo do meio é negativo, então o quadrado binomial seria (a - b) 2. (a - b) 2.

O próximo exemplo será um trinômio quadrado perfeito com duas variáveis.

Exemplo 6.25

Fator: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2. 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2.

Solução

Teste cada termo para verificar o padrão.
Fator.
Verifique multiplicando.

(6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 ✓ (6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 ✓

Fator: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2. 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2.

Fator: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2. 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2.

Lembre-se de que o primeiro passo na fatoração é procurar o maior fator comum. Os trinômios quadrados perfeitos podem ter um GCF em todos os três termos e devem ser fatorados primeiro. E, às vezes, uma vez que o GCF foi fatorado, você reconhecerá um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo 6.26

Fator: 100 x 2 y - 80 x y + 16 y. 100 x 2 y - 80 x y + 16 y.

Solução

Lembre-se: mantenha o fator 4y no produto final.

Verificar:

4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2 - 20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓ 4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2 - 20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓

Fator: 8 x 2 y - 24 x y + 18 y. 8 x 2 y - 24 x y + 18 y.

Fator: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q. 27 p 2 q + 90 p q + 75 q.

Diferenças de fator de quadrados

O outro produto especial que você viu no capítulo anterior foi o padrão Produto de Conjugados. Você usou isso para multiplicar dois binômios que eram conjugados. Aqui está um exemplo:

Uma diferença de fatores de quadrados para um produto de conjugados.

Diferença de padrões de quadrados

Se uma e b são números reais,

Lembre-se de que “diferença” se refere à subtração. Portanto, para usar esse padrão, você deve ter certeza de que tem um binômio no qual dois quadrados estão sendo subtraídos.

Exemplo 6.27

Como fatorar um binômio usando a diferença dos quadrados

Solução

Como

Fatore as diferenças dos quadrados.

Etapa 1. O binômio se encaixa no padrão? a 2 - b 2 Isso é uma diferença? ____ - ____ O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? Etapa 2. Escreva-os como quadrados. (a) 2 - (b) 2 Etapa 3. Escreva o produto dos conjugados. (a - b) (a + b) Etapa 4. Verifique multiplicando. Etapa 1. O binômio se encaixa no padrão? a 2 - b 2 Isso é uma diferença? ____ - ____ O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? Etapa 2. Escreva-os como quadrados. (a) 2 - (b) 2 Etapa 3. Escreva o produto dos conjugados. (a - b) (a + b) Etapa 4. Verifique multiplicando.

É importante lembrar que somas de quadrados não são fatoradas em um produto de binômios. Não há fatores binomiais que se multiplicam para obter a soma dos quadrados. Depois de remover qualquer GCF, a expressão a 2 + b 2 a 2 + b 2 é primo!

O próximo exemplo mostra variáveis ​​em ambos os termos.

Exemplo 6.28

Solução

Como sempre, você deve procurar um fator comum primeiro, sempre que tiver uma expressão para fatorar. Às vezes, um fator comum pode "disfarçar" a diferença de quadrados e você não reconhecerá os quadrados perfeitos até fatorar o GCF.

Além disso, para fatorar completamente o binômio no próximo exemplo, vamos fatorar uma diferença de quadrados duas vezes!

Exemplo 6.29

Fator: 48 x 4 y 2 - 243 y 2. 48 x 4 y 2 - 243 y 2.

Solução

Fator: 7 a 4 c 2 - 7 b 4 c 2. 7 a 4 c 2 - 7 b 4 c 2.

O próximo exemplo possui um polinômio com 4 termos. Até agora, quando isso ocorreu, agrupamos os termos em dois e fatorados a partir daí. Aqui, notaremos que os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo 6.30

Solução

Observe que os primeiros três termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Fatore agrupando os três primeiros termos.
Use o padrão trinomial quadrado perfeito.
Isso é uma diferença de quadrados? sim.
Sim - escreva-os como quadrados.
Fator como o produto de conjugados.

Você pode reescrever a solução como (x - y - 3) (x + y - 3). (x - y - 3) (x + y - 3).

Fator: x 2 - 10 x + 25 - y 2. x 2 - 10 x + 25 - y 2.

Fator: x 2 + 6 x + 9 - 4 y 2. x 2 + 6 x + 9 - 4 y 2.

Soma de fatores e diferenças de cubos

Existe outro padrão especial para fatoração, que não usamos quando multiplicamos polinômios. Este é o padrão de soma e diferença de cubos. Vamos escrever essas fórmulas primeiro e depois verificá-las por multiplicação.

Vamos verificar o primeiro padrão e deixar o segundo para você.

Soma e diferença do padrão de cubos

Os dois padrões são muito semelhantes, não é? Mas observe os sinais nos fatores. O sinal do fator binomial corresponde ao sinal do binomial original. E o sinal do meio termo do fator trinomial é o oposto do sinal no binômio original. Se você reconhecer o padrão dos sinais, isso pode ajudá-lo a memorizar os padrões.

O fator trinomial na soma e diferença do padrão de cubos não pode ser fatorado.

Será muito útil aprender a reconhecer os cubos dos inteiros de 1 a 10, da mesma forma que aprendeu a reconhecer os quadrados. Listamos os cubos dos inteiros de 1 a 10 na Tabela 6.1.

Exemplo 6.31

Como fatorar a soma ou diferença dos cubos

Solução

Como

Fatore a soma ou diferença dos cubos.

  1. Etapa 1. O binômio se ajusta à soma ou diferença do padrão de cubos?
    É uma soma ou diferença?
    O primeiro e o último termos são cubos perfeitos?
  2. Etapa 2. Escreva-os como cubos.
  3. Etapa 3. Use a soma ou diferença do padrão de cubos.
  4. Etapa 4. Simplifique dentro dos parênteses.
  5. Etapa 5. Verifique multiplicando os fatores.

Exemplo 6.32

Solução

Esse binômio é uma diferença. O primeiro e último
termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use a diferença do padrão de cubos.
Simplificar.
Verifique multiplicando. Vamos deixar o cheque para você.

No próximo exemplo, primeiro fatoramos o GCF. Então podemos reconhecer a soma dos cubos.

Exemplo 6.33

Solução

Fatore o fator comum.
Este binômio é uma soma O primeiro e o último
termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use o padrão de soma de cubos.
Simplificar.

Para verificar, você pode achar mais fácil multiplicar a soma dos fatores de cubos primeiro e, em seguida, multiplicar esse produto por 6 y. 6 anos Vamos deixar a multiplicação para você.

O primeiro termo no próximo exemplo é um binômio ao cubo.

Exemplo 6.34

Solução

Esse binômio é uma diferença. O primeiro e
os últimos termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use a diferença do padrão de cubos.
Simplificar.
Verifique multiplicando. Vamos deixar o cheque para você.

Meios de comunicação

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com produtos especiais de factoring.

Seção 6.3 Exercícios

A prática leva à perfeição

Factor Perfect Square Trinomials

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando o padrão de trinômios quadrados perfeitos.

75 u 4 - 30 u 3 v + 3 u 2 v 2 75 u 4 - 30 u 3 v + 3 u 2 v 2

90 p 4 + 300 p 3 q + 250 p 2 q 2 90 p 4 + 300 p 3 q + 250 p 2 q 2

Diferenças de fator de quadrados

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando o padrão de diferença de quadrados, se possível.

Soma de fatores e diferenças de cubos

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando as somas e diferenças do padrão de cubos, se possível.

Prática Mista

Nos exercícios a seguir, calcule completamente.

Exercícios de escrita

Por que era importante praticar o uso do padrão de quadrados binomiais no capítulo sobre a multiplicação de polinômios?

Como você reconhece o padrão de quadrados binomiais?

Auto-verificação

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    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Álgebra intermediária 2e
    • Data de publicação: 6 de maio de 2020
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-3-factor-special-products

    © 21 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    Soma de cubos

    Para nossa aplicação aqui, um binômio pode ser a soma de cubos se:

    • Cada termo é um número ao cubo
    • Cada termo é positivo
    • A operação no binômio é adição

    Em outras palavras, a soma dos cubos é um polinômio onde uma e b são positivos, na forma:

    Antes de aprendermos o padrão de fatoração, vamos nos certificar de que podemos identificar as partes. Se as partes são facilmente identificadas, a fatoração nada mais é do que inserir valores em uma fórmula. Preparar?

    No exemplo 1, uma = x e b = 1. No segundo exemplo, uma = 2x 2 e b = 3.

    É assim que a fórmula funciona:

    Vamos fazer a multiplicação no lado direito da equação acima para verificar se esta é a fatoração correta.


    Fatoração das diferenças de cubos


    Na página sobre a soma dos cubos mostramos que $ a ^ 3 + b ^ 3 = a ^ 2 - ab + b ^ 2 $. Podemos usar esta fórmula para encontrar uma fatoração para $ a ^ 3 - b ^ 3 $.

    Começamos escrevendo $ a ^ 3 - b ^ 3 $ como $ a ^ 3 + (-b) ^ 3 $ e, em seguida, usando o padrão de soma de cubos.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = a ^ 3 + (-b) ^ 3 & = left (a + (-b) right) left (a ^ 2 + a (-b) + (- b) ^ 2 right) & = (a - b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) end $

    Também poderíamos determinar a validade da fórmula usando os mesmos métodos que estabelecemos na lição de soma de cubos.

    Explicação da Fórmula - Método Direto

    Podemos verificar a fórmula de fatoração expandindo o resultado e vendo que simplifica para o original, como segue.

    $ begin blue <(ab)> (a ^ 2 + ab + b ^ 2) & = a ^ 2 blue <(ab)> + ab blue <(ab)> + b ^ 2 blue <(ab)> & = a ^ 3 - a ^ 2b + a ^ 2b - ab ^ 2 + ab ^ 2 - b ^ 3 & = a ^ 3 blue <- a ^ 2b + a ^ 2b> , , red <- ab ^ 2 + ab ^ 2> - b ^ 3 & = a ^ 3 + blue 0 + red 0 - b ^ 3 & = a ^ 3 - b ^ 3 end $

    Explicação da Fórmula --- Método de Divisão

    Outra maneira de confirmar a fórmula é encontrar uma solução para $ a ^ 3 - b ^ 3 = 0 $ e, em seguida, usar a divisão para encontrar a forma fatorada.

    Encontre uma solução para $ a ^ 3 - b ^ 3 = 0 $.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = 0 a ^ 3 & = b ^ 3 sqrt [3] & = sqrt [3] a & = b end $

    Uma das soluções é $ a = b $. Adicionando $ b $ a ambos os lados desta equação nos dá $ a - b = 0 $, o que significa que $ (a - b) $ é um fator de $ a ^ 3 - b ^ 3 $.

    Encontre o outro fator de $ a ^ 3 - b ^ 3 $ usando a divisão polinomial.

    Como $ a - b $ se divide uniformemente em $ a ^ 3 - b ^ 3 $, sabemos

    Calculadora de diferença de cubos

    Exemplo

    Mostre que $ x ^ 3 - 27 $ fatora em $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $.

    Mostre que expandir $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $ resulta em $ x ^ 3 - 27 $.

    $ begin blue <(x - 3)> (x ^ 2 + 3x + 9) & = x ^ 2 blue <(x - 3)> + 3x blue <(x - 3)> + 9 blue <(x - 3)> & = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3x ^ 2 - 9x + 9x - 27 & = x ^ 3 - 27 final $

    Etapa 1 (solução alternativa)

    Mostre que $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $ corresponde ao padrão correto para a fórmula.

    Como queremos fatorar $ x ^ 3 - 27 $, primeiro identificamos $ a $ e $ b $.

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, sabemos $ a = sqrt [3] = x $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, sabemos $ b = sqrt [3] <27> = 3 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 + b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - 27 & = ( blue x - red 3) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red 3 + red 3 ^ 2) & = (x-3) (x ^ 2 + 3x + 9) end $


    Fatoração das diferenças de cubosProblemas de prática


    Como $ blue a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ blue a = sqrt [3] = blue x $.

    Da mesma forma, como $ red b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ red b = sqrt [3] 8 = red 2 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red + red ^ 2) x ^ 3 - 8 & = ( blue x - red 2) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red <2> + red <2> ^ 2) & = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4) fim $

    Problema 2

    Como $ blue a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ blue a = sqrt [3] = blue x $.

    Da mesma forma, como $ red b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ red b = sqrt [3] 1 = red 1 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - 1 & = ( blue x - red 1) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red 1 + red 1 ^ 2) & = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) end $

    Problema 3

    Como $ blue a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ blue a = sqrt [3] <27x ^ 3> = blue <3x> $.

    Da mesma forma, como $ red b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ red b = sqrt [3] <64> = red 4 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 27x ^ 3 - 64 & = ( blue <3x> - red 4) [ blue <(3x)> ^ 2 + blue <(3x)> red <(4)> + red 4 ^ 2] & = (3x - 4) ( 9x ^ 2 + 12x + 16) end $

    $ 27x ^ 3 - 64 = (3x - 4) (9x ^ 2 + 12x + 16) $

    Problema 4

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3] <8x ^ 3> = 2x $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] <125> = 5 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 8x ^ 3 - 125 & = ( blue <2x> - red 5) [ blue <(2x)> ^ 2 + blue <(2x)> red <(5)> + red 5 ^ 2] & = (2x - 5) ( 4x ^ 2 + 10x + 25) end $

    $ 8x ^ 3 - 125 = (2x - 5) (4x ^ 2 + 10x + 25) $

    Problema 5

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3] = x $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] = y $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - y ^ 3 & = ( blue x - red y) ( blue x ^ 2 + blue x red y + red y ^ 2) end $

    Problema 6

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3] <216x ^ 3> = 6x $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] <27y ^ 3> = 3y $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 216x ^ 3 - 27y ^ 3 & = ( blue <6x> - red <3y>) [ blue <(6x)> ^ 2 + blue <(6x)> red <(3y)> + red <(3y)> ^ 2] & = (6x - 3y) (36x ^ 2 + 18xy + 9y ^ 2) & = 3 (2x - y) cdot 9 (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) & = 27 (2x - y) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) end $

    $ 216x ^ 3 - 27y ^ 3 = 27 (2x - y) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) $

    Problema 7

    Fatore $ 8x ^ 6 - 125y ^ 9 $ como uma diferença de cubos.

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3] <8x ^ 6> = 2x ^ 2 $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] <125y ^ 9> = 5y ^ 3 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 8x ^ 6 - 125y ^ 9 & = ( blue <2x ^ 2> - red <5y ^ 3>) [ blue <(2x ^ 2)> ^ 2 + blue <(2x ^ 2)> red <(5y ^ 3)> + red <(5y ^ 3)> ^ 2] & = (2x ^ 2 - 5y ^ 3) (4x ^ 4 + 10x ^ 2y ^ 3 + 25y ^ 6) end $

    $ 8x ^ 6 - 125y ^ 9 = (2x ^ 2 - 35 ^ 3) (4x ^ 4 + 10x ^ 2y ^ 3 + 25y ^ 6) $

    Problema 8

    Fatore $ 64x ^ <9/2> - 343y ^ 6 $ como uma diferença de cubos.

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3] <64x ^ <3/2 >> = (64x ^ <3/2>) ^ <1/3> = 4x ^ < 1/2> $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] <343y ^ <6/5 >> = (343y ^ 6) ^ <1/3> = 7y ^ 2 $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 64x ^ <3/2> - 343y ^ 6 & = left ( blue <4x ^ <1/2 >> - red <7y ^ 2> right) left [ blue < left (4x ^ <1/2> right)> ^ 2 + azul < left (4x ^ <1/2> right)> red < left (7y ^ 2 right)> + red < left (7y ^ 2 right)> ^ 2 right] & = left (4x ^ <1/2> - 7y ^ 2 right) left (16x + 28x ^ <1/2> y ^ 2 + 49y ^ 4 right) end $

    $ 64x ^ <3/2> - 343y ^ 6 = left (4x ^ <1/2> - 7y ^ 2 right) left (16x + 28x ^ <1/2> y ^ 2 + 49y ^ 4 direita) $

    Problema 9

    Fatore $ 5x ^ <12> - 135y ^ <30> $ como uma diferença de cubos.

    Fatore o fator comum.

    Como $ a $ é a raiz cúbica do primeiro termo, $ a = sqrt [3]> = x ^ 4 $.

    Da mesma forma, como $ b $ é a raiz cúbica do segundo termo, $ b = sqrt [3] <27y ^ <30>> = 3y ^ <10> $.

    Anote o formulário fatorado.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 5 left (x ^ <12> - 27y ^ <30> right) & = 5 left ( blue - red <3y ^ <10>> right) left [ blue < left (x ^ 4 right)> ^ 2 - blue < left (x ^ 4 right)> red < left (3y ^ <10> right)> + red < left (3y ^ <10> right)> ^ 2 right] & = 5 left (x ^ 4 - 3y ^ <10> right ) left (x ^ 8 - 3x ^ 4y ^ <10> + 9y ^ <20> right) end $

    $ 5x ^ <12> - 135y ^ <30> = 5 left (x ^ 4 - 3y ^ <10> right) left (x ^ 8 - 3x ^ 4y ^ <10> + 9y ^ <20> direita) $


    Fatorando a soma ou diferença de cubos - Problema 3

    Carl ensinou matemática de nível superior em várias escolas e atualmente dirige sua própria empresa de reforço escolar. Ele aposta que ninguém supera seu amor por atividades intensivas ao ar livre!

    Trinômios de fatoração. Então, atrás de mim, tenho uma expressão que estamos tentando fatorar x elevado à nona quantidade menos 5 menos y à terceira. Temos à nossa disposição duas equações de potencial diferentes. Podemos ter a diferença de quadrados ou a diferença de cubos. Eu sei disso porque estamos subtraindo, portanto, deve haver uma fórmula de diferença.

    Então, olhando para ele, dos primeiros 5 menos y ao terceiro, não há como escrever um quadrado, portanto, sei que tenho que lidar com uma diferença de cubos. Portanto, o que tenho de fazer é primeiro voltar à nossa fórmula de diferença de cubos. Então eu sei que a³ menos b³ pode ser fatorado como a menos b, o primeiro sinal concorda, a² mais ab, o segundo sinal é diferente mais b².

    Portanto, o truque para esse problema é descobrir o que é a e o que é b? Portanto, não há realmente nenhuma razão para multiplicar este 5 menos y pelo terceiro porque estamos realmente procurando por algo ao cubo, então o que podemos dizer é que b é igual a 5 menos y. Estamos lidando com b³, já temos algo ao cubo, então algo é nosso b.

    A próxima parte que precisamos olhar é x elevado à nona e queremos escrever isso como algo ao cubo também. Quando estamos lidando com expoentes, a potência para uma potência nós multiplicamos, então queremos descobrir o que precisamos colocar como nossa potência para quando multiplicarmos para obter 9. 3 vezes 3 é 9, então nosso x³ está indo para ser o nosso termo. A partir daqui, sabemos o que é a, este é a e sabemos o que é b. Podemos simplesmente substituir isso em nossa fórmula. Então, começamos com um, essa não é realmente a parte fofa, mas eu só fiz isso para descobrir o que era meu a. Ok, então a é x³, então podemos apenas conectá-lo toda vez que vermos a. Isso é x³, a é x³, então x³ ao quadrado será x elevado à sexta, então temos um mais x³ ali.

    Então, menos b do nosso primeiro termo, mas b é igual a 5 menos y, substituindo isso em, 5 menos y, colocamos isso um pouco próximo, 5 menos y e, por último, mais 5 menos y quantidade ao quadrado. Agora, poderíamos distribuir tudo isso normalmente, a maioria dos professores está perfeitamente bem deixando desta forma. Você sabe, poderíamos distribuir nosso sinal negativo, multiplicar isso, FOIL isso, mas o que realmente fizemos foi a maior parte do trabalho que é descobrir o que são nossos aeb, descobrir o fato de que temos um diferença de cubos e, em seguida, conectando nossos dois aeb na equação para fatorar.


    Revisão matemática de somas de fatoração ou diferenças de cubos

    Visão geral

    As somas ou diferenças de cubos podem ser fatoradas de forma semelhante a outras equações quadráticas. Eles seguem um padrão um pouco mais complexo do que a fatoração de equações quadráticas.

    Soma de cubos

    Uma soma de cubos é uma expressão como x 3 + a 3, em que ambos os membros da expressão são cubos perfeitos. Suponha que a expressão seja 8y 3 + 27. O monômio 8y 3 é um cubo perfeito de 2y, porque (2y) 3 é igual a 8y 3. Da mesma forma, a constante 27 é um cubo perfeito de 3, porque 3 3 é igual a 27.

    Figura 1: A soma dos cubos segue o padrão x 3 + a 3.

    Diferença de cubos

    Uma diferença de cubos é uma expressão como x 3 & # 8211 a 3, em que ambos os membros da expressão são cubos perfeitos. Suponha que a expressão seja 64x 3 - 125. O monômio 64x 3 é um cubo perfeito de 4x, porque (4x) 3 é igual a 64x 3. Da mesma forma, a constante 125 é um cubo perfeito de 5, porque 5 3 é 125. Um cubo perfeito pode ser um número real negativo, porque um número real negativo vezes um número real negativo é positivo, e um número positivo vezes um número negativo é um número negativo.

    Figura 2: A diferença dos cubos segue o padrão x 3 - a 3.

    Fatorando a soma dos cubos

    A soma dos cubos x 3 + a 3 segue um padrão especial. Um fator é (x + a), e o outro fator é um polinômio quadrático que já está em termos mais simples, (x 2 - ax + a 2). Multiplicar (x + a) (x 2 - ax + a 2) é o mesmo que adicionar x (x 2 & # 8211 ax + a 2) + a (x 2 - ax + a 2). O primeiro termo é x 3 & # 8211 ax 2 + a 2 x, e o segundo termo é ax 2 - a 2 x + a 3. Colocando os termos juntos, a expressão inteira é x 3 - ax 2 + a 2 x –a 2 x + a 3. Simplificada, a expressão é a soma dos cubos x 3 + a 3. Suponha que a expressão seja 8y 3 +27. Seguindo o padrão, ele pode ser fatorado como (2y + 3) (4y 2 & # 8211 6y + 9).

    Fatorando a diferença de cubos

    A diferença de cubos x 3 - a 3 também segue um padrão especial. Um fator é (x & # 8211 a), e o outro fator é um polinômio quadrático semelhante à soma dos cubos, também já em termos mais simples, (x 2 + ax + a 2). Multiplicar (x & # 8211 a) (x 2 + ax + a 2) é o mesmo que adicionar x (x 2 + ax + a 2) - a (x 2 + ax + a 2). Simplificada, a expressão é a diferença de cubos x 3 & # 8211 a 3. Suponha que a expressão seja x 3 - 216. Seguindo o padrão, ela pode ser fatorada como (x & # 8211 6) (x 2 + 6x + 36). Isso é a mesma coisa que x (x 2 + 6x + 36) - 6 (x 2 + 6x + 36). Juntando os termos, a expressão inteira é x 3 + 6x 2 + 36x & # 8211 6x 2 - 36x & # 8211 216.

    Figura 3: O padrão para fatorar a soma de dois cubos ou a diferença de dois cubos.

    A sigla SOAP é uma maneira fácil de lembrar a sequência da soma ou diferença dos cubos. Se a expressão a ser fatorada é uma soma de cubos x 3 + a 3, o primeiro fator (x + a) tem o mesmo sinal que x 3 + a 3. A primeira operação (x 2 & # 8211 ax) no segundo fator (x 2 - ax + b 2) tem o sinal oposto como x + a. A segunda operação no segundo fator (ax + b 2) é sempre positiva. Se a expressão a ser fatorada é uma diferença de cubos x 3 - a 3, a sequência também segue SOAP. O primeiro fator é (x & # 8211 a), o mesmo sinal. A primeira operação (x 2 + ax) no segundo fator (x 2 + ax + b 2) tem o sinal oposto como (x & # 8211 a) e a segunda operação (ax + b 2) é sempre positiva. A prova de fatoração da soma dos cubos ou da diferença dos cubos será explorada em aulas de matemática universitária mais avançadas.

    Figura 4: Um mnemônico para lembrar a ordem dos sinais. (Até flutua!)

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    Em matemática, a soma de dois cubos aparece como um polinômio e deve ser simplificada em alguns casos. Matematicamente, é possível expressar a soma de dois cubos como produto de duas expressões por fatoração.

    Conhecimento requerido

    Para fatorar (ou fatorar) a soma de dois cubos, você deve aprender o seguinte conceito matemático.

    Em matemática, a fórmula da soma de dois cubos é escrita na forma algébrica de duas maneiras.

    Passos

    A fatoração (ou fatoração) de uma expressão que contém dois cubos pode ser realizada em duas etapas simples.

    1. Escreva cada termo da expressão em forma de cubo.
    2. Fatorar o polinômio como produto de duas expressões usando a fórmula da soma dos cubos.

    Exemplo

    Etapa & # 8211 1

    O polinômio dado $ 64x ^ 3 + 1 $ tem dois termos, mas ambos não estão completamente na forma de soma de dois cubos, mas podem ser expressos na soma de dois cubos por exponenciação.

    Etapa & # 8211 2

    Agora, use a fórmula da soma de dois cubos para fatorá-la. De acordo com $ a ^ 3 + b ^ 3 $ $ , = , $ $ (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2-ab) $.

    Portanto, a expressão algébrica $ (4x) ^ 3 + 1 ^ 3 $ é fatorada como $ (4x + 1) (16x ^ 2 + 1-4x) $ matematicamente pela soma de dois cubos.


    Assista o vídeo: Diferença e soma de cubos Com exercícios. Fatoração - Aula 5 (Dezembro 2021).