Artigos

7: As Propriedades dos Números Reais - Matemática


Uma colcha é formada pela costura de muitas peças diferentes de tecido. As peças podem variar em cor, tamanho e forma. As combinações de diferentes tipos de peças oferecem uma possibilidade infinita de padrões. Muito parecido com os pedaços de tecido, os matemáticos distinguem entre diferentes tipos de números. Os tipos de números em uma expressão fornecem uma possibilidade infinita de resultados. Já descrevemos a contagem de números, números inteiros e inteiros. Neste capítulo, aprenderemos sobre outros tipos de números e suas propriedades.

  • 7.1: Números Racionais e Irracionais
    Um número racional é um número que pode ser escrito na forma p / q, onde p e q são inteiros eq ≠ 0. Os números racionais consistem em muitos decimais e todas as frações e inteiros, positivos e negativos. Um número irracional é um número que não pode ser escrito como a proporção de dois inteiros. Sua forma decimal não pára nem se repete. Alguns números irracionais incluem pi e as raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos. Números reais são números racionais ou irracionais.
  • 7.2: Propriedades Comutativas e Associativas (Parte 1)
    As propriedades comutativas têm a ver com ordem. Se você alterar a ordem dos números ao adicionar ou multiplicar, o resultado é o mesmo. Ao adicionar ou multiplicar três números, alterar o agrupamento dos números não altera o resultado. Isso é conhecido como propriedade associativa de adição e multiplicação, respectivamente. Portanto, adição e multiplicação são comutativas e associativas. Mas, subtração e divisão não são comutativas nem associativas.
  • 7.3: Propriedades Comutativas e Associativas (Parte 2)
    Quando temos que simplificar as expressões algébricas, muitas vezes podemos tornar o trabalho mais fácil aplicando primeiro a propriedade comutativa ou associativa, em vez de seguir automaticamente a ordem das operações. Não importa o que você esteja fazendo, é sempre uma boa ideia pensar no futuro. Ao simplificar uma expressão, pense em como serão seus passos. Por exemplo, ao adicionar e subtrair três ou mais termos envolvendo decimais, procure os termos que se combinam para fornecer números inteiros.
  • 7.4: Propriedade Distributiva
    A Propriedade Distributiva afirma que se a, b, c são números reais, então a (b + c) = ab + ac. Na álgebra, usamos a Propriedade Distributiva para remover parênteses à medida que simplificamos as expressões. Ao distribuir um número negativo, você precisa ser extremamente cuidadoso para obter os sinais corretos. Às vezes, precisamos usar a Propriedade Distributiva como parte da ordem das operações.
  • 7.5: Propriedades de Identidade, Inversos e Zero
    Adicionar zero a qualquer número não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de identidade aditiva. O oposto de um número é seu inverso aditivo. O recíproco de um número é seu inverso multiplicativo. Um número e sua recíproca se multiplicam em 1, que é a identidade multiplicativa. O produto de qualquer número real e 0 é 0. Zero dividido por qualquer número real, exceto zero é zero. Mas a divisão por zero é indefinida.
  • 7.6: Sistemas de Medição (Parte 1)
    Nesta seção, veremos como converter entre diferentes tipos de unidades, como pés para milhas ou quilogramas para libras. A ideia básica em todas as conversões de unidades será usar a forma de 1, a identidade multiplicativa, para alterar as unidades, mas não o valor de uma quantidade.
  • 7.7: Sistemas de Medição (Parte 2)
    A execução de operações aritméticas em medições com unidades mistas de medidas no sistema métrico requer o mesmo cuidado que usamos no sistema dos EUA. Muitas medições nos Estados Unidos são feitas em unidades métricas. Fazemos conversões entre os sistemas da mesma forma que fazemos dentro dos sistemas - multiplicando por fatores de conversão de unidades. Os sistemas americano e métrico usam escalas diferentes para medir a temperatura. sistema usa graus Fahrenheit. O sistema métrico usa graus Celsius.
  • 7.8: As Propriedades dos Números Reais (Exercícios)
  • 7.9: As Propriedades dos Números Reais (Resumo)

Figura 7.1 - Os fazedores de colchas sabem que reorganizando os mesmos blocos básicos, as colchas resultantes podem parecer muito diferentes. O que acontece quando reorganizamos os números em uma expressão? O valor resultante muda? Responderemos a essas perguntas neste capítulo à medida que aprendermos sobre as propriedades dos números. (crédito: Hans, domínio público)


A soma de quaisquer dois reais é sempre um número real. Isso é chamado de "propriedade de fechamento de adição" de números reais. Assim, R é fechado sob adição

Se aeb são quaisquer dois números reais, então (a + b) também é um número real. & # Xa0

Propriedade Comutativa: & # xa0

A adição de dois números reais é comutativa.

Se a e b forem quaisquer dois números reais,

Propriedade associativa :

A adição de números reais é associativa.

Se a, b e c & # xa0 forem quaisquer três números reais,

A soma de qualquer número real e zero é o próprio & # xa0number real.

Se 'a' for qualquer número real, & # xa0 então

Zero é a identidade aditiva para números reais.

(- a) é o inverso negativo ou aditivo de 'a'.

Se 'a' é um número real, & # xa0 então existe um número real (-a) tal que

O aditivo inverso de 5 é (-5)

O aditivo inverso de (-5) é 5

O inverso aditivo de 0 é o próprio 0. & # Xa0


O que são números reais?

Os números reais são os valores que você pode encontrar na reta numérica que geralmente é expressa como uma linha horizontal geométrica onde um ponto escolhido funciona como a “origem”. Os que caem do lado direito são rotulados como positivos, enquanto os do lado esquerdo são negativos. A descrição “real” foi apresentada por René Descartes, um famoso matemático e filósofo do século XVII. Ele particularmente definiu a diferença entre as raízes reais dos polinômios e suas raízes imaginárias.

Os números reais incluem números inteiros, inteiros, naturais, racionais e irracionais:

Os números inteiros são números positivos que não têm partes fracionárias nem pontos decimais, pois representam objetos inteiros sem fragmentos ou partes.

Os inteiros são números inteiros que incluem o lado negativo da reta numérica.

Também conhecidos como números de contagem, os números naturais são como números inteiros, mas o zero não é incluído, pois nada pode ser contado essencialmente como “0”.

Quanto às suas origens, Pitágoras, o antigo matemático grego proclamou que todos os números eram racionais. Os números racionais são os quocientes ou frações de dois inteiros. Onde peq são ambos inteiros eq não é equivalente a zero, p / q é um número racional. Por exemplo, 3/5 é um número racional, mas 3/0 não é.

O aluno de Pitágoras, Hippasus, discordou que todos os números eram racionais. Por meio da geometria, ele provou que alguns números eram irracionais. Por exemplo, a raiz quadrada de dois, que é 1,41, não pode ser expressa como uma fração, portanto, é irracional. Infelizmente, a realidade dos números racionais não foi aceita pelos seguidores de Pitágoras. Isso resultou no afogamento de Hippasus no mar, o que foi considerado uma punição dos deuses naquela época.


Os números reais se comportam como outros números com os quais estamos acostumados. Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir (contanto que não dividamos por zero). A ordem de adição e multiplicação não é importante, pois existe uma propriedade comutativa. Uma propriedade distributiva nos diz como a multiplicação e a adição interagem uma com a outra.

Como mencionado antes, os números reais possuem uma ordem. Dados quaisquer dois números reais x e y, sabemos que apenas uma das opções a seguir é verdadeira:


Matemática Básica Comum Série 7

Navegue pela lista de padrões básicos comuns para 7ª série de matemática. Clique no título do tópico central comum para visualizar todas as planilhas disponíveis.

Aplique propriedades de operações como estratégias para adicionar, subtrair, fatorar e expandir expressões lineares com coeficientes racionais.

Compreenda que reescrever uma expressão em diferentes formas em um contexto de problema pode lançar luz sobre o problema e como as quantidades nele estão relacionadas. Por exemplo, a + 0,05a = 1,05a significa que aumentar em 5% é o mesmo que multiplicar por 1,05.

Resolva problemas matemáticos e da vida real de várias etapas colocados com números racionais positivos e negativos em qualquer forma (números inteiros, frações e decimais), usando ferramentas estrategicamente. Aplique propriedades de operações para calcular com números em qualquer forma, converta entre as formas conforme apropriado e avalie a razoabilidade das respostas usando computação mental e estratégias de estimativa. Por exemplo: se uma mulher que ganha $ 25 por hora recebe um aumento de 10%, ela ganhará 1/10 adicional de seu salário por hora, ou $ 2,50, por um novo salário de $ 27,50. Se você quiser colocar uma barra de toalha de 9 3/4 polegadas de comprimento no centro de uma porta de 27 1/2 polegadas de largura, você precisará colocar a barra a cerca de 9 polegadas de cada borda. Esta estimativa pode ser usada como uma verificação no cálculo exato.

Use variáveis ​​para representar quantidades em um problema matemático ou do mundo real e construa equações e desigualdades simples para resolver problemas raciocinando sobre as quantidades.

Resolva problemas de palavras que levam a equações da forma px + q = r e p (x + q) = r, onde p, q e r são números racionais específicos. Resolva as equações dessas formas com fluência. Compare uma solução algébrica com uma solução aritmética, identificando a sequência das operações usadas em cada abordagem. Por exemplo, o perímetro de um retângulo é 54 cm. Seu comprimento é de 6 cm. Qual é a sua largura?

Resolva problemas de palavras que levam a desigualdades na forma px + q> r ou px + q

Resolva problemas envolvendo desenhos em escala de figuras geométricas, incluindo o cálculo de comprimentos e áreas reais de um desenho em escala e a reprodução de um desenho em escala em uma escala diferente.

Desenhe (à mão livre, com régua e transferidor, e com tecnologia) formas geométricas com determinadas condições. Concentre-se na construção de triângulos a partir de três medidas de ângulos ou lados, observando quando as condições determinam um triângulo único, mais de um triângulo ou nenhum triângulo.

Descreva as figuras bidimensionais que resultam do fatiamento de figuras tridimensionais, como em seções planas de prismas retangulares retos e pirâmides retangulares retas.

Conhecer as fórmulas para a área e circunferência de um círculo e usá-las para resolver problemas fornece uma derivação informal da relação entre a circunferência e a área de um círculo.

Use fatos sobre ângulos suplementares, complementares, verticais e adjacentes em um problema de várias etapas para escrever e resolver equações simples para um ângulo desconhecido em uma figura.

Resolva problemas matemáticos e do mundo real envolvendo área, volume e área de superfície de objetos bidimensionais e tridimensionais compostos de triângulos, quadriláteros, polígonos, cubos e prismas direitos.

Aplicar e estender entendimentos anteriores de adição e subtração para adicionar e subtrair números racionais representam adição e subtração em um diagrama de linha numérica horizontal ou vertical.

Descreva situações em que quantidades opostas se combinam para formar 0. Por exemplo, um átomo de hidrogênio tem carga 0 porque seus dois constituintes têm cargas opostas.

Entenda p + q como o número localizado a uma distância | q | de p, na direção positiva ou negativa dependendo se q é positivo ou negativo. Mostre que um número e seu oposto têm uma soma de 0 (são inversos aditivos). Interprete somas de números racionais, descrevendo contextos do mundo real.

Entenda a subtração de números racionais como a adição do inverso aditivo, p - q = p + (-q). Mostre que a distância entre dois números racionais na reta numérica é o valor absoluto de sua diferença e aplique esse princípio em contextos do mundo real.

Aplicar propriedades de operações como estratégias para adicionar e subtrair números racionais.

Aplicar e ampliar conhecimentos anteriores de multiplicação e divisão e de frações para multiplicar e dividir números racionais.

Entenda que a multiplicação é estendida de frações para números racionais, exigindo que as operações continuem a satisfazer as propriedades das operações, particularmente a propriedade distributiva, levando a produtos como (-1) (- 1) = 1 e as regras para a multiplicação de números assinados. Interprete produtos de números racionais, descrevendo contextos do mundo real.

Entenda que os inteiros podem ser divididos, desde que o divisor não seja zero e que cada quociente de inteiros (com divisor diferente de zero) seja um número racional. Se p e q forem inteiros, então - (p / q) = (-p) / q = p / (- q). Interprete quocientes de números racionais, descrevendo contextos do mundo real.

Aplicar propriedades de operações como estratégias para multiplicar e dividir números racionais.

Converta um número racional em decimal usando divisão longa e saiba que a forma decimal de um número racional termina em 0s ou eventualmente se repete.

Resolva problemas matemáticos e do mundo real envolvendo as quatro operações com números racionais.

Calcule taxas de unidades associadas a taxas de frações, incluindo taxas de comprimentos, áreas e outras quantidades medidas em unidades semelhantes ou diferentes. Por exemplo, se uma pessoa caminha 1/2 milha a cada 1/4 hora, calcule a taxa unitária como a fração complexa 1/2/1/4 milhas por hora, equivalente a 2 milhas por hora.

Reconhecer e representar relações proporcionais entre quantidades.

Decida se duas quantidades estão em uma relação proporcional, por exemplo, testando as razões equivalentes em uma tabela ou fazendo um gráfico em um plano de coordenadas e observando se o gráfico é uma linha reta através da origem.

Identifique a constante de proporcionalidade (taxa de unidade) em tabelas, gráficos, equações, diagramas e descrições verbais de relações proporcionais.

Representa relações proporcionais por equações. Por exemplo, se o custo total t é proporcional ao número n de itens comprados a um preço constante p, a relação entre o custo total e o número de itens pode ser expressa como t = pn.

Explique o que um ponto (x, y) no gráfico de uma relação proporcional significa em termos da situação, com atenção especial para os pontos (0, 0) e (1, r) onde r é a taxa unitária.

Use relacionamentos proporcionais para resolver problemas de proporção de várias etapas e porcentagem. Exemplos: juros simples, impostos, majorações e remarcações, gratificações e comissões, taxas, aumento e redução percentual, erro percentual.

Entenda que as estatísticas podem ser usadas para obter informações sobre uma população examinando uma amostra da população. As generalizações sobre uma população de uma amostra são válidas apenas se a amostra for representativa dessa população. Compreenda que a amostragem aleatória tende a produzir amostras representativas e apoiar inferências válidas.

Use dados de uma amostra aleatória para fazer inferências sobre uma população com uma característica de interesse desconhecida. Gere várias amostras (ou amostras simuladas) do mesmo tamanho para medir a variação nas estimativas ou previsões. Por exemplo, estime o comprimento médio da palavra em um livro por meio de uma amostra aleatória de palavras do livro e preveja o vencedor de uma eleição escolar com base em dados de pesquisa de amostra aleatória. Avalie o quão longe da estimativa ou previsão pode estar.

Avalie informalmente o grau de sobreposição visual de duas distribuições de dados numéricos com variabilidades semelhantes, medindo a diferença entre os centros expressando-a como um múltiplo de uma medida de variabilidade. Por exemplo, a altura média dos jogadores do time de basquete é 10 cm maior do que a altura média dos jogadores do time de futebol, cerca de duas vezes a variabilidade (desvio médio absoluto) em qualquer time em um gráfico de pontos, a separação entre as duas distribuições de alturas é perceptível.

Use medidas de centro e medidas de variabilidade para dados numéricos de amostras aleatórias para fazer inferências comparativas informais sobre duas populações. Por exemplo, decida se as palavras em um capítulo de um livro de ciências da sétima série são geralmente mais longas do que as palavras em um capítulo de um livro de ciências da quarta série.

Entenda que a probabilidade de um evento casual é um número entre 0 e 1 que expressa a probabilidade de o evento ocorrer. Números maiores indicam maior probabilidade. Uma probabilidade próxima de 0 indica um evento improvável, uma probabilidade em torno de 1/2 indica um evento que não é improvável nem provável e uma probabilidade próxima de 1 indica um evento provável.

Aproxime a probabilidade de um evento fortuito coletando dados sobre o processo aleatório que o produz e observando sua frequência relativa de longo prazo e preveja a frequência relativa aproximada dada a probabilidade. Por exemplo, ao rolar um cubo de número 600 vezes, preveja que um 3 ou 6 seria rolado cerca de 200 vezes, mas provavelmente não exatamente 200 vezes.

Desenvolva um modelo de probabilidade e use-o para encontrar probabilidades de eventos. Compare as probabilidades de um modelo com as frequências observadas se a concordância não for boa, explique as possíveis fontes da discrepância.

Desenvolva um modelo de probabilidade uniforme atribuindo probabilidade igual a todos os resultados e use o modelo para determinar probabilidades de eventos. Por exemplo, se um aluno for selecionado aleatoriamente em uma classe, encontre a probabilidade de que Jane seja selecionada e a probabilidade de que uma garota seja selecionada.

Desenvolva um modelo de probabilidade (que pode não ser uniforme) observando as frequências nos dados gerados a partir de um processo de chance. Por exemplo, encontre a probabilidade aproximada de que uma moeda que está girando caia cara ou de que um copo de papel caia com a ponta aberta para baixo. Os resultados para o centavo girando parecem ser igualmente prováveis ​​com base nas frequências observadas?

Encontre probabilidades de eventos compostos usando listas organizadas, tabelas, diagramas de árvore e simulação.

Compreenda que, assim como com eventos simples, a probabilidade de um evento composto é a fração de resultados no espaço amostral para o qual o evento composto ocorre.

Representar espaços de amostra para eventos compostos usando métodos como listas organizadas, tabelas e diagramas de árvore. Para um evento descrito na linguagem cotidiana (por exemplo, rolando duplo seis), identifique os resultados no espaço de amostra que compõem o evento.

Projete e use uma simulação para gerar frequências para eventos compostos. Por exemplo, use dígitos aleatórios como uma ferramenta de simulação para aproximar a resposta à pergunta: Se 40% dos doadores têm sangue do tipo A, qual é a probabilidade de que serão necessários pelo menos 4 doadores para encontrar um com sangue do tipo A?


Números da 7ª série e risco de operações

Este jogo de risco da 7ª série pode ser usado para revisar conceitos importantes sobre números e operações com números racionais.

Este jogo interativo tem 3 categorias: Comparando Números Racionais, Adicionando e Subtraindo Números Racionais e Multiplicando e Dividindo Números Racionais. Este jogo de perigo pode ser jogado em computadores, iPads e outros tablets. Você não precisa instalar um aplicativo para jogar este jogo no iPad. Deixe a melhor equipe vencer!

O jogo é baseado nos seguintes padrões comuns de matemática:

CCSS 7.NS.1 Aplicar e estender entendimentos anteriores de adição e subtração para adicionar e subtrair números racionais representam adição e subtração em um diagrama de linha numérica horizontal ou vertical.

CCSS 7.NS.2.a Entenda que a multiplicação é estendida de frações para números racionais, exigindo que as operações continuem a satisfazer as propriedades das operações, particularmente a propriedade distributiva, levando a produtos como (-1) (- 1) = 1 e as regras para a multiplicação de números assinados. Interprete produtos de números racionais, descrevendo contextos do mundo real.

CCSS 7.NS.2.b Converta um número racional em decimal usando divisão longa e saiba que a forma decimal de um número racional termina em 0s ou eventualmente se repete.

CCSS 7.NS.3 Resolva problemas matemáticos e do mundo real envolvendo as quatro operações com números racionais.


7: As Propriedades dos Números Reais - Matemática

Seção 7: Propriedades de números reais

Esta seção ensina ao aluno as propriedades dos números reais na álgebra. . . . (para ler o restante deste artigo, faça login abaixo.)

O recurso que você solicitou está disponível apenas para membros atuais.

Senha esquecida?
Se você é um membro atual e tem Esqueceu sua senha, insira seu endereço de e-mail abaixo e sua senha será enviada para você.

Se sua associação expirou e você deseja renová-la, visite a página de renovação.

Resultados superiores que custam menos!
- Ace Exams e ganhe confiança.
- 95% dos alunos aumentam as notas.
- 90% mais barato do que um professor particular!

Características principais em resumo
- Aprenda no seu próprio ritmo, 24 horas por dia, 7 dias por semana.
- Aprenda resolvendo problemas passo a passo.
- Faça uma pausa, retroceda e reproduza conforme necessário.
- Milhares de alunos bem-sucedidos!


Incluído na sua assinatura:
- Acesso a todos os cursos atuais e futuros.
- 1000 aulas de vídeo.
- Planilhas para cursos selecionados.
- Fóruns de discussão apenas para membros.
- Novos cursos lançados com freqüência.


O papel de uma equação algébrica básica é fornecer uma declaração matemática formal de um problema lógico. Uma equação algébrica de primeira ordem deve ter uma quantidade desconhecida e outros termos que são conhecidos. A tarefa de resolver uma equação algébrica é isolar a quantidade desconhecida de um lado da equação para avaliá-la numericamente. Usando x como o desconhecido e outras letras para representar quantidades conhecidas, considere a seguinte equação de exemplo:

A estratégia para resolver essa equação é a aplicação repetida da regra de ouro da álgebra para coletar termos semelhantes e isolar a quantidade x em um lado da equação.


Qualquer ponto em uma linha

Uma característica de identificação dos números reais é que eles podem ser representados em uma reta numérica. Pense em uma linha horizontal. O ponto central, ou a origem, é zero. À direita estão todos os números positivos e à esquerda estão os pontos negativos. Qualquer ponto na linha seria considerado um número real. Você pode encontrar um número racional nesta linha, como & frac34 ou 72,3, e você também encontrará um número irracional como pi. Por estarem em uma linha, seus tamanhos podem ser comparados. Um pode ser maior ou menor que o outro, eles podem ser ordenados e você pode usá-los em adição, subtração, multiplicação e divisão.

Portanto, todos esses números racionais e irracionais, incluindo frações, são considerados números reais. Os números reais que incluem pontos decimais são conhecidos como números de ponto flutuante porque o decimal flutua dentro dos números. Inteiros ou números inteiros não podem ser números de ponto flutuante.


7: As Propriedades dos Números Reais - Matemática

  • Reveja as propriedades básicas dos números reais, bem como subconjuntos importantes, particularmente em relação à linha real
  • Use a notação de intervalo para representar porções da linha real
  • Defina o valor absoluto
  • Estude algumas características básicas de números complexos

Quando aprendemos a contar pela primeira vez, estamos aprendendo um conjunto ordenado de números: geralmente, os chamados números naturais (1, 2, 3.). À medida que ganhamos uma compreensão mais profunda dos números, adicionamos o número 0, formando o números inteiros (0, 1, 2, 3.). Também podemos adicionar valores negativos dos números naturais, expandindo nossa visão para inteiros (. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.) e, finalmente, todos os números intermediários entre quaisquer dois inteiros sucessivos (valores decimais). Todos esses números, incluindo os inteiros e todos os números possíveis entre eles, são chamados de conjunto de numeros reais.

Assim como acontece com os números naturais que aprendemos primeiro como crianças, os números reais são ordenados, que podemos definir intuitivamente como o conceito de que, dado um par de números reais únicos, um deles é maior que o outro (e, inversamente, um é menor que o outro). Assim, podemos ilustrar os números reais usando uma reta numérica - neste caso, o linha real ou linha de número real. Cada número real tem um ponto correspondente na linha, e essa linha é geralmente desenhada horizontalmente com a direção da direita representando o valor crescente e a direção da esquerda representando o valor decrescente. O número real correspondente a um determinado ponto na linha é chamado de coordenada. Abaixo está uma ilustração da reta do número real. Por razões práticas óbvias, nem todos os números reais podem ser mostrados, então geralmente mostramos as coordenadas de um subconjunto dos números reais (geralmente, inteiros, mas diferentes situações exigem diferentes subconjuntos). Um ponto de coordenada é mostrado para o número 1.5.

Pense em qualquer número, independentemente do número, você sempre pode pensar em um número maior ou menor do que aquele que você escolheu. Assim, dizemos que a reta do número real se estende até infinidade em ambas as direções positivas e negativas. O que é ilustrado acima é uma parte da linha real. Observe cuidadosamente, entretanto, que o infinito (normalmente escrito como & # 8734) não é um número real - ele simplesmente representa o fato de que a linha real se estende indefinidamente. Na direção positiva (direita), a linha real se estende em direção a + & # 8734 (infinito positivo) na direção negativa (esquerda), ela se estende em direção a & # 8211 & # 8734 (infinito negativo).

Podemos ainda dividir os números reais em duas classes distintas: números racionais e números irracionais. UMA número racional é qualquer número real que pode ser expresso exatamente como uma fração cujo numerador é um inteiro e cujo denominador é um inteiro diferente de zero. Ou seja, um número racional é uma fração onde uma é um inteiro e b é um número inteiro diferente de zero. Na forma decimal, um número racional é um decimal final (como 2, 1,375 e & # 82110,5) ou um decimal repetido (como 0,3333.). A Número irracional, por outro lado, não pode ser escrito como uma fração com um numerador e denominador inteiros. Os números irracionais na forma decimal são decimais não repetidos e não terminados. Exemplos de números irracionais incluem e & # 960. Números racionais e números irracionais são mutuamente exclusivos: eles não têm números em comum. Além disso, eles abrangem todo o conjunto de números reais, ou seja, se você adicionar o conjunto de números racionais ao conjunto de números irracionais, obterá o conjunto inteiro de números reais. Cada um desses conjuntos possui um número infinito de membros.

Problema prático: Desenhe a linha real e adicione pontos para as coordenadas & # 82111, 2 e & # 960.

Solução: Uma parte relevante da linha real é mostrada abaixo. As coordenadas dos pontos listados são mostradas acima da linha apenas para maior clareza.

Problema prático: Determine quais dos seguintes são números racionais e quais são irracionais: 0, 1, & # 960,, 0,11111. .

Solução: Um número racional é qualquer número real que pode ser escrito como uma fração cujo numerador e denominador são inteiros (na forma decimal, isso significa um número que é um decimal final ou repetitivo). Portanto, 0, 1, 0,111111. e são racionais. Os números & # 960 e são irracionais porque não podem ser expressos exatamente como frações envolvendo apenas números inteiros.

Como não podemos listar todos os números reais entre, digamos, 1 e 2, precisamos de alguma forma para identificar as partes contínuas da reta do número real. Para isso, podemos usar notação de intervalo. Um intervalo tem dois pontos de extremidade que definem o menor número e o maior número nesse intervalo - chamaremos esses números uma e b para generalidade. A intervalo aberto (a, b) é o conjunto de todos os números reais x de tal modo que uma & lt x & lt b. UMA intervalo fechado [a, b] é o conjunto de todos os números reais x de tal modo que umaxb. (Em outras palavras, um intervalo aberto é o conjunto de todos os números reais entre uma e b excluindo um e b, e um intervalo fechado é o conjunto de todos os números reais entre uma e b Incluindo uma e b.) Também podemos nos referir a intervalos semiabertos (a, b], Onde uma & lt xb, e [a, b), Onde umax & lt b. A intervalo infinito é um intervalo que se estende a + & # 8734 ou & # 8211 & # 8734: observe que, como & # 8734 não é um número real, no entanto, sempre usamos a notação "aberta" para essa parte do intervalo. Assim, (& # 8211 & # 8734, uma] é tudo x de modo que & # 8211 & # 8734 & lt xuma, e (b, & # 8734) é tudo x de tal modo que b & lt x & lt & # 8734.

Problema prático: Escreva notação de intervalo para cada um dos seguintes conjuntos de números reais x.


Conjuntos de números reais

Agrupamento ou classificando é uma técnica familiar nas ciências naturais para lidar com a imensa diversidade de coisas do mundo real. Por exemplo, em biologia, plantas e animais são divididos em vários filos e, em seguida, em classes, ordens, famílias, gêneros e espécies. Da mesma forma, os números reais podem ser agrupados ou classificados destacando-se características importantes possuídas por alguns números, mas não por outros. Usando a ideia de um definir, a classificação de números reais pode ser realizada com clareza e precisão.

UMA definir pode ser pensado como uma coleção de objetos. A maioria dos conjuntos considerados neste tutorial são conjuntos de números reais. Qualquer um dos objetos em um conjunto é chamado de elemento, ou membro, do conjunto. Os conjuntos são denotados por letras maiúsculas, como $ A $, $ B $ e $ C $, ou por colchetes $ < cdots > $ símbolos que encerram os elementos do conjunto. Assim, se escrevermos $ <1,2,3,4,5 > $, queremos dizer o conjunto cujos elementos são os números $ 1,2,3,4 $ e $ 5 $. Dois conjuntos são considerados igual se eles contêm precisamente os mesmos elementos.

Conjuntos de números e relações entre tais conjuntos podem muitas vezes ser visualizados pelo uso de um linha numérica ou eixo coordenado. Uma reta numérica é construída fixando um ponto $ O $ chamado de origem e outro ponto $ U $ chamou o ponto de unidade em linha reta $ L $. A distância entre $ O $ e $ U $ é chamada de distância unitária e pode ser $ 1 $ polegada, $ 1 $ centímetro ou $ 1 $ unidade de qualquer medida que você escolher. Se a linha $ L $ for horizontal, é comum colocar $ U $ à direita de $ O $.

Cada ponto $ P $ na linha $ L $ agora recebe um "endereço numérico" ou coordenada $ x $ representando sua distância atribuída da origem, medida em termos da unidade dada. Assim, para $ x = pm d $, onde $ d $ é a distância entre $ O $ e $ P $, o sinal de mais ou menos é usado para indicar se $ P $ deve estar à direita ou à esquerda de $ O $. Obviamente, a origem $ O $ é atribuída à coordenada $ 0 $ (zero), e ao ponto de unidade $ U $ é atribuída a coordenada $ 1 $. Na escala numérica resultante, cada ponto $ P $ tem uma coordenada numérica correspondente $ x $ e cada número real $ x $ é a coordenada de um ponto determinado exclusivamente $ P $. É conveniente usar uma ponta de seta na linha numérica para indicar a direção na qual as coordenadas numéricas estão aumentando.

Um conjunto de números pode ser ilustrado em uma linha numérica sombreando ou colorindo os pontos cujas coordenadas são membros dos conjuntos.

Números Racionais e Decimais

Usando a divisão longa, você pode expressar um número racional como um decimal. Por exemplo, se você dividir $ 2 $ por $ 5 $, obterá $ frac <2> <5> = 0,4 $, um decimal final. Da mesma forma, se você dividir $ 2 $ por $ 3 $, obterá $ frac <2> <3> = 0,666666 ldots $, um número decimal repetitivo sem fim. Um decimal repetido, como $ 0,66666 ldots $, é geralmente escrito como $ 0. Overline 6 $, onde a barra superior indica o dígito ou dígitos que se repetem, portanto, $ frac <2> <3> = 0. overline 6 $ .

(a) $ & # 8211 frac <3> <5> = & # 8211 0,6 $
(b) $ frac <3> <8> = 0,375 $
(c) $ frac <<17>> <6> = 2,83333 ldots = 2,8 overline 3 $
(d) $ frac <3> <7> = 0,428571428571428571 ldots = 0. overline <428571> $

Expresse cada decimal de terminação como um quociente de inteiros.
(a) $ 0,7 $
(b) $ & # 8211 0,63 $
(c) $ 1,075 $


Assista o vídeo: Oppfriskningskurs i matematikk for voksne, del 4. Naturlige, rasjonale, irrasjonale og reelle tall (Dezembro 2021).