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2: Limites e Continuidade - Matemática


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2.4 Limites e continuidade

O limite de uma função descreve o comportamento da função quando a variável está próxima, mas não é igual a um número especificado (Figura 2.42).

Para encontrar o limite de uma função f (x) (se existir), consideramos o comportamento da função quando x se aproxima de um valor especificado.

Observe na Figura 2.52, o círculo aberto no ponto (c, L) indica que a função não está definida neste ponto.

Para calcular o limite desta função conforme x se aproxima de c, fazemos a pergunta:
À medida que o valor x da função fica cada vez mais perto de c (mas não igual a c), de qual valor o valor y da função fica cada vez mais perto? Este resultado é denominado limite (L) da função.

Como exemplo, suponha c = 3 e L = 5.

Pelo gráfico sabemos que o ponto (3, 5) não está definido para esta função.

Para calcular o limite quando x se aproxima de 3, fazemos a seguinte pergunta:
À medida que o valor x da função fica cada vez mais perto de 3 (mas não igual a 3), de qual valor o valor y da função fica cada vez mais perto? A partir do gráfico, podemos determinar que o valor de y fica cada vez mais próximo do valor de 5. Esse valor de 5 é então chamado de limite (L) da função.

Em notação matemática, escreveríamos isso como:
[latex] lim_ f (x) : = 5 [/ latex]

Figura 2.42


2: Limites e Continuidade - Matemática

Neste laboratório você usará o Mathematica para ter uma ideia visual sobre a existência e comportamento de limites de funções de duas variáveis. Você também começará a usar algumas das capacidades simbólicas do Mathematica para obter vantagem.

Vamos comparar e contrastar duas funções em relação ao seu comportamento em x = 0 = y,

Primeiro, insira essas duas funções no Mathematica definindo as funções da seguinte maneira: Os colchetes, os sublinhados e o `: = 'são necessários. A vantagem de definir uma função no Mathematica é que agora você pode avaliá-la para uma variedade de argumentos. Por exemplo, para ver como a função se parece ao longo da curva, digite e shift-return. Para avaliar a função no ponto (1,3), basta digitar e shift-return.

Produza gráficos de contorno e superfície das funções f e g. Use o seguinte formato para comandos: com as opções que desejar. Como feg agora são definidos como funções, as variáveis ​​devem ser incluídas explicitamente nos comandos de plotagem. Compare os contornos das duas funções e os gráficos de superfície das duas funções - escreva uma nota abaixo dos pares de gráficos que descrevem como as imagens que você está gerando se relacionam com a existência e inexistência do limite em zero.

Uma técnica poderosa para examinar o comportamento dos limites em muitas dimensões é examinar os limites unidimensionais ao longo de curvas paramétricas. Às vezes, são chamados de 'limites distintos'. O Mathematica é particularmente útil para fazer isso. Por exemplo, suponha que desejamos examinar o comportamento de g (x, y) ao longo da linha y = 3 x. Podemos pensar nesta linha como sendo parametrizada por x = t e y = 3 t. Então, ao longo da linha g (t) = g (t, 3 t) é uma função de apenas uma variável, t, e sabemos muito sobre as funções de uma variável. Para que uma função de muitas variáveis ​​tenha um limite em um ponto, o limite de cada curva paramétrica que passa pelo ponto deve concordar.

No Mathematica é fácil examinar o limite distinto. A sequência de comandos abaixo representa um gráfico de g (t) conforme descrito acima. Aqui está como plotar dois (ou mais) desses gráficos simultaneamente: Observe que os limites distintos de g (que sabemos ter um limite em zero) concordam em t = 0. Execute alguns cálculos semelhantes para ilustrar a inexistência do limite de f em zero.

Escolha uma função em seu dever de casa cujo comportamento de limite / continuidade pareça desconcertante para você e use alguns dos comandos da seção anterior para examinar seu comportamento.


Contínuo

Uma função é considerada contínua se seu gráfico não tiver interrupções ou saltos repentinos. Se uma função é contínua, podemos traçar seu gráfico sem nunca levantar nosso lápis. Abaixo estão alguns exemplos de funções contínuas:

x 2 x 3

Às vezes, uma função é contínua apenas em determinados intervalos. Por exemplo, a função,

é contínuo apenas nos intervalos (- & infin, -1), (-1, 1) e (1, & infin). Isso ocorre porque em x = ± 1, f tem assíntotas verticais, que são quebras no gráfico (você também pode pensar em assíntotas verticais como saltos infinitos). A função não é definida quando x = 1 ou -1. Consulte o gráfico abaixo:

Nota: Outra maneira de dizer que uma função é contínua em todos os lugares é dizer que ela é contínua no intervalo (- & infin, & infin).

Abaixo está uma função, f, que é descontínua em x = 2 porque o gráfico salta repentinamente de 2 para 3. O ponto fechado em (2, 3) significa que o valor da função é na verdade 3 em x = 2. Isso pode ser escrito como f (2) = 3. O ponto aberto em (2, 2) significa que o valor da função se aproxima de 2 conforme você desenha o gráfico da esquerda, mas o valor da função não é realmente 2 em x = 2 (f (2) ≠ 2).

Abaixo está outro exemplo de uma função descontínua. A função é descontínua em x = 1 porque tem um buraco. Embora possamos pensar que o valor da função deve ser & frac12 em x = 1, o valor é, na verdade, 1. Isso pode ser escrito como f (1) = 1 ≠ & frac12. A função se aproxima de & frac12 conforme x se aproxima de 1 da direita e da esquerda, mas de repente salta para 1 quando x é exatamente 1:

Ponto importante, mas sutil, sobre descontinuidades: uma função que não é contínua em um determinado ponto não é necessariamente descontínua naquele ponto. Por exemplo, a função,

não é contínuo em x = -1 ou 1 porque tem assíntotas verticais nesses pontos. No entanto, não é tecnicamente correto dizer que é descontínuo em x = -1 ou 1, porque nem mesmo é definido nesses valores de x! Dizemos que é contínuo em todo o seu domínio. Por outro lado, as funções com saltos nos 2 últimos exemplos são verdadeiramente descontínuas porque são definidas no salto.

Definição formal de continuidade

Como quantificamos se uma função é contínua ou não tem saltos em um determinado ponto, assumindo que a função está definida naquele ponto? Quando uma função não tem saltos no ponto x = a, isso significa que quando x está muito perto de a, f (x) está muito perto de f (a).

Em outras palavras, uma função f é dita contínua em um ponto, a, se para qualquer número real positivo arbitrariamente pequeno ε> 0 (ε é chamado épsilon), existe um real positivo δ> 0 (δ é chamado delta) tal que sempre que x for menor que δ de a, então f (x) será menor que ε de f (a), ou seja: | x - a | garante que | f (x) - f (a) | . Por exemplo, a seguinte função é contínua em x = a:

Observe como para qualquer x no intervalo (a - δ, a + δ), f (x) fica entre o intervalo (f (a) - ε, f (a) + ε). Portanto, a função acima é contínua em a.

A função abaixo não é contínua porque em x = a, se ε for menor que a distância entre o ponto fechado e o ponto aberto, não há δ> 0 para o qual a condição
| x - a | garantias | f (x) - f (a) | . Você nunca encontrará um delta tal que todo x satisfaça | x - a | também satisfaz | f (x) - f (a) | porque a parte esquerda do gráfico está desconectada da direita.


2: Limites e Continuidade - Matemática

Descrição da palestra

Este vídeo palestra, parte da série 18.01 Cálculo de Variável Única pelo Prof. David Jerison, não possui atualmente uma descrição detalhada e o título da aula em vídeo. Se você assistiu a esta palestra e sabe do que se trata, especialmente sobre quais tópicos de matemática são discutidos, por favor, ajude-nos comentando neste vídeo com sua sugestão Descrição e título. Muito obrigado de,

- A Equipe CosmoLearning

Índice de Curso

  1. Derivados, inclinação, velocidade, taxa de variação
  2. Limites, continuidade, limites trigonométricos
  3. Fórmulas de Diferenciação
  4. Regra da cadeia e diferenciação implícita
  5. Diferenciação implícita e inversos
  6. Exponencial, Log, Diferenciação Logarítmica, Funções Hiperbólicas
  7. Funções hiperbólicas (cont.) E revisão
  8. Aproximações lineares e quadráticas
  9. Desenho de curva
  10. Problemas de máximo-mínimo
  11. Taxas relacionadas
  12. Método de Newton e outras aplicações
  13. Teorema do valor médio e desigualdades
  14. Diferenciais e antiderivados
  15. Equações diferenciais e separação de variáveis
  16. Integrais definidos
  17. Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo
  18. Segundo Teorema Fundamental
  19. Aplicações para logaritmos e geometria
  20. Volumes por discos e cascas
  21. Trabalho, valor médio e probabilidade
  22. Integração numérica
  23. Revisão do exame 3

Descrição do Curso

Este curso introdutório ao cálculo cobre a diferenciação e integração de funções de uma variável, com aplicações.


1 continuidade e 2 problemas de leis de limite

OK, este problema é difícil, mas não tenho ideia do que o webassign quer de mim, mano
Considere os intervalos para os quais o numerador e o denominador são contínuos.

é contínuo no intervalo

é contínuo e diferente de zero no intervalo 6


Avalie o limite, se houver. (Se não houver resposta, digite DNE.)


Avalie o limite, se houver. (Se não houver resposta, digite DNE.)

Stapel

Super moderador

Seu copy-n-paste de sua avaliação online não está sendo exibido corretamente, pelo menos não para aqueles de nós que não conseguem acessar a fonte online de seu material. (Suponho que sua postagem tenha ficado tão confusa porque o conteúdo está sendo exibido de forma diferente para você.)

Para aprender a digitar matemática como texto, revise Este artigo.

Imagino que você queira dizer algo mais ou menos o seguinte:

. . . . . limite, x - & gt 16, (20 + sqrt [x]) / sqrt [20 + x]

Por favor responda com confirmação ou então correções.

Você quer dizer que & quotis não difícil em tudo & quot.

Não escrevemos o software, nem configuramos sua atribuição. Também não podemos saber o que o & quotback end & quot está esperando. Desculpe.

Considere os intervalos para os quais o numerador e o denominador são contínuos.


2: Limites e Continuidade - Matemática

Os problemas a seguir envolvem a CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL. A função y = f (x) é contínua no ponto x = a se as seguintes três condições forem satisfeitas:

A função f é dita contínua em um intervalo I se f for contínua em cada ponto x em I. Aqui está uma lista de alguns fatos bem conhecidos relacionados à continuidade:

1. A SOMA das funções contínuas é contínua.

2. A DIFERENÇA de funções contínuas é contínua.

3. O PRODUTO de funções contínuas é contínuo.

4. O QUOCIENTE de funções contínuas é contínuo em todos os pontos x onde o DENOMINADOR NÃO É ZERO.

5. A COMPOSIÇÃO FUNCIONAL das funções contínuas é contínua em todos os pontos x onde a composição está devidamente definida.

6. Qualquer polinômio é contínuo para todos os valores de x.

A maioria dos problemas que se seguem são médios. Alguns são um tanto desafiadores. Todos os limites são determinados SEM o uso da Regra de L'Hopital. Se você vai tentar esses problemas antes de olhar para as soluções, você pode evitar erros comuns usando a definição passo a passo acima de continuidade em um ponto e os fatos bem conhecidos, e dando consideração cuidadosa à forma indeterminada durante o cálculo dos limites. Será necessário conhecimento dos limites unilaterais. Para uma revisão dos limites e formas indeterminadas clique aqui.

      PROBLEMA 1: Determine se a seguinte função é contínua em x = 1.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 1.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 2.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 3.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 4.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 5.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 6.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 7.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 8.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 9.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 10.

    1 $ space cr 5 - 3x , & if $ -2 le x le 1 $ space cr displaystyle <6 over x-4> , & if $ x

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 11.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 12.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 13.

    Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 14.

    Mostre que f é contínuo para todos os valores de x. Mostre que f é diferenciável para todos os valores de x, mas que a derivada, f ', NÃO é CONTÍNUA em x = 0.

    Clique AQUI para retornar à lista original de vários tipos de problemas de cálculo.

    Seus comentários e sugestões são bem vindos. Envie qualquer correspondência por e-mail para Duane Kouba clicando no seguinte endereço:


    PLANILHA DE LIMITES E CONTINUIDADE COM RESPOSTAS

    Para encontrar as fórmulas, visite "Fórmulas na avaliação dos limites".

    (1) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (2) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (3) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (4) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (5) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (6) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (7) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (8) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (9) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (10) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (11) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (12) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (13) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (14) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (15) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite

    (16) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite

    (17) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (18) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (19) & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (20) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (21) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (22) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (23) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (24) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite

    (25) & # xa0 Avalie o seguinte limite

    (26) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (27) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    (28) & # xa0 & # xa0 Avalie o seguinte limite & # xa0

    Além do material fornecido acima, & # xa0 se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

    Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

    Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

    Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


    Continuidade e limite da função de raiz quadrada: O limite em 0 não existe?

    Digamos que haja f (x) = sqrt (x), quero encontrar o limite da função em x = 0, então eu tenho que verificar os limites do lado direito e esquerdo:

    lim x- & gt0 + sqrt (x) = sqrt (0) = 0
    lim x- & gt0 - sqrt (x) = ?? (a função não está definida em um pequeno intervalo à esquerda de zero)

    então, esse limite não existe certo?

    É dito que se f (x) é contínuo em x = a, e uma está dentro do intervalo f (x) & gt = 0, então g (x) = sqrt (f (x)) seria contínuo em uma
    , e se a estiver na borda de g (x)? quero dizer que é um zero da função g (x) (como 0 é o zero para sqrt (x)), esta função não seria descontínua em x = a?

    Membro Elite

    Digamos que haja f (x) = sqrt (x), quero encontrar o limite da função em x = 0, então eu tenho que verificar os limites do lado direito e esquerdo:

    lim x- & gt0 + sqrt (x) = sqrt (0) = 0
    lim x- & gt0 - sqrt (x) = ?? (a função não está definida em um pequeno intervalo à esquerda de zero)

    então, esse limite não existe certo?

    É dito que se f (x) é contínuo em x = a, e uma está dentro do intervalo f (x) & gt = 0, então g (x) = sqrt (f (x)) seria contínuo em uma
    , e se a estiver na borda de g (x)? quero dizer que é um zero da função g (x) (como 0 é o zero para sqrt (x)), esta função não seria descontínua em x = a?

    Delta

    Novo membro

    Delta

    Novo membro

    Dr. Peterson

    Membro Elite

    Normalmente afirma-se que uma função não tem limite em um limite de seu domínio (fechado), porque um dos limites unilaterais não existe. Se o seu livro ou outro contexto diz isso, vá em frente.

    Também é possível, em algumas circunstâncias, estender o conceito de limite para abranger esse caso, especialmente se você pensar no domínio como tudo o que existe, de modo que não haja pontos fora dele. Se o seu livro permitir isso, vá em frente.

    O que você fez, entretanto, foi se referir a fontes não identificadas (& quotit é dito que & quot) sem contexto. Você pode identificá-los e citar suas definições? A existência de um limite depende de como você os define.

    Delta

    Novo membro

    Verdadeiro. Meu livro afirma que o limite na borda de uma função de raiz quadrada não existe.

    Dr. Peterson

    Membro Elite

    É dito que se f (x) é contínuo em x = a, e uma está dentro do intervalo f (x) & gt = 0, então g (x) = sqrt (f (x)) seria contínuo em uma
    , e se a estiver na borda de g (x)? quero dizer que é um zero da função g (x) (como 0 é o zero para sqrt (x)), esta função não seria descontínua em x = a?

    Verdadeiro. Meu livro afirma que o limite na borda de uma função de raiz quadrada não existe.

    Você quer dizer a segunda pergunta? Bem, meu livro afirma isso.

    Portanto, a definição do livro, como a maioria, diz que a função raiz quadrada não tem limite em 0, mas também diz que g (x) = √ (f (x)) é contínua em todo o domínio de f. Em particular, para dar um exemplo muito simples, se f (x) = x, então f é contínuo em 0, e 0 está no intervalo onde f (x) & gt = 0, então g (x) = √x é contínuo em 0. Isso parece inconsistente, certo?

    Temos mais algumas perguntas a fazer ao livro: Primeiro, se você citou exatamente, & quot dentro do intervalo & quot significa a mesma coisa que & quot dentro do intervalo & quot, ou pode referir-se ao interior desse intervalo, a saber f (x) & gt 0? Em segundo lugar, como ele define a continuidade no ponto final de um domínio? Aqui, como acontece com os limites, há maneiras de definir a continuidade de forma que um limite bilateral não seja necessário. Você pode citar sua definição? E se você não citou exatamente o que o livro diz sobre sua segunda pergunta, você pode fazer isso?

    Delta

    Novo membro

    Portanto, a definição do livro, como a maioria, diz que a função raiz quadrada não tem limite em 0, mas também diz que g (x) = √ (f (x)) é contínua em todo o domínio de f. Em particular, para dar um exemplo muito simples, se f (x) = x, então f é contínuo em 0, e 0 está no intervalo onde f (x) & gt = 0, então g (x) = √x é contínuo em 0. Isso parece inconsistente, certo?

    Temos mais algumas perguntas a fazer ao livro: Primeiro, se você citou exatamente, & quot dentro do intervalo & quot significa a mesma coisa que & quot dentro do intervalo & quot, ou pode referir-se ao interior desse intervalo, a saber f (x) & gt 0?

    Aqui está a citação literal traduzida do árabe para o inglês a respeito da teoria da raiz quadrada.

    & quotSe f era uma função contínua em x = a, f (x) & gt = 0, em um intervalo aberto que contém a, então g (x) = √f (x) é contínua em x = a & quot

    O que você entende disso? menciona um intervalo fechado f (x) & gt = 0, em seguida, afirma & quotem um intervalo aberto & quot. A menos que signifique outra coisa

    No que diz respeito a isso, afirma literalmente que:

    & quotSe f for uma função definida no intervalo [a, b], então:

    1) f é contínuo em x = a da direita, se lim f (x) x - & gt a + = f (a)
    2) f é contínuo em x = b da esquerda, se lim f (x) x - & gt b- = f (b)
    3) f é contínuo em (a, b) se for contínuo em cada x tal que x está em (a, b)
    4) f é contínuo em [a, b] se fosse contínuo em (a, b) e contínuo em uma da direita e contínua em b da esquerda & quot

    Dr. Peterson

    Membro Elite

    Aqui está a citação literal traduzida do árabe para o inglês a respeito da teoria da raiz quadrada.

    & quotSe f fosse uma função contínua em x = a, f (x) & gt = 0, em um intervalo aberto que contém um, então g (x) = √f (x) é contínuo em x = a & quot

    O que você entende disso? menciona um intervalo fechado f (x) & gt = 0, em seguida, afirma & quotem um intervalo aberto & quot. A menos que signifique outra coisa

    O intervalo aberto é um conjunto de valores de x, não de f (x). A vírgula que você coloca antes de & quotem um intervalo aberto & quot obscurece um pouco o significado.

    Por exemplo, se f é contínuo em x = 1, e f (x) é não negativo no intervalo aberto 0 & lt x & lt 2, então g (x) = √f (x) é contínuo em x = 1.

    Como exemplo, suponha que f (x) = | x-1 |, que é contínuo em x = 1 e não é negativo em todos os lugares. Então g (x) = √ | x-1 | se você representar graficamente isso, poderá ver que é contínuo em x = 1 e, se considerar os limites, conforme x se aproxima de 1, | x-1 | aproxima-se de 0, e √ | x-1 | se aproxima de 0 porque, independentemente da direção da qual x se aproxima de 1, | x-1 | está se aproximando de 0 da direita. Você poderia fazer o mesmo com f (x) = (x-1) ^ 2.

    O teorema não se aplicaria ao meu exemplo anterior com f (x) = x, que é não não negativo em um intervalo aberto em torno x = 0.

    Acho que você não mencionou o intervalo aberto antes.

    No que diz respeito a isso, afirma literalmente que:

    & quotSe f for uma função definida no intervalo [a, b], então:

    1) f é contínuo em x = a da direita, se lim f (x) x - & gt a + = f (a)
    2) f é contínuo em x = b da esquerda, se lim f (x) x - & gt b- = f (b)
    3) f é contínuo em (a, b) se for contínuo em cada x tal que x está em (a, b)
    4) f é contínuo em [a, b] se fosse contínuo em (a, b) e contínuo em uma da direita e contínua em b da esquerda & quot

    Esta é a extensão a que me referi, onde podemos dizer que a função é contínua em um intervalo fechado se for & cotas contínuas quanto possível & quot em todos os lugares: ela só pode ser contínua da esquerda se não for definida para a direita, então estamos aceitando isso como suficiente.

    Isso é muito útil. Podemos agora dizer que f (x) = √x é contínuo em seu domínio, [0, infty). (Eles não mencionaram explicitamente os intervalos semicerrados, mas tenho certeza de que é isso que pretendem!)

    Em matemática, cada detalhe conta, por isso é essencial apresentar um problema por completo e apresentar teoremas incluindo todas as suas condições.


    Índice

    Aprendemos fazendo. Aprendemos matemática resolvendo problemas. E aprendemos mais matemática resolvendo mais problemas. Esta é a sequela de

    Problemas em Análise Matemática I

    (Volume 4 da série Student Mathematical Library). Se você deseja aprimorar sua compreensão das funções contínuas e diferenciáveis, este livro contém centenas de problemas para ajudá-lo a fazer isso. A ênfase aqui está nas funções reais de uma única variável. Os tópicos incluem: funções contínuas, a propriedade de valor intermediário, continuidade uniforme, teoremas de valor médio, fórmula de Taylor, funções convexas, sequências e séries de funções.

    O livro é voltado principalmente para alunos que estudam os princípios básicos da análise. No entanto, dada sua seleção de problemas, organização e nível, seria a escolha ideal para seminários tutoriais ou de resolução de problemas, especialmente aqueles voltados para o exame Putnam. Também é adequado para auto-estudo. A apresentação do material visa auxiliar a compreensão do aluno, incentivá-lo a fazer suas próprias perguntas e a iniciar a pesquisa. A coleção de problemas também ajudará os professores que desejam incorporar problemas em suas aulas. Os problemas são agrupados em seções de acordo com os métodos de solução. Soluções para os problemas são fornecidas.

    Esta é a sequência de Problems in Mathematical Analysis I (Volume 4 da série Student Mathematical Library). Também disponível na AMS está Problems in Analysis III.


    Assista o vídeo: Grings - Limites de Funções de duas Variáveis - Aula 1 (Novembro 2021).