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7.2: Introdução à Eliminação de Gauss Jordan - Matemática


As seguintes operações elementares de linha

  1. Troque duas linhas de uma matriz

  2. Multiplique os elementos de uma linha por uma constante diferente de zero

  3. Adicione um múltiplo dos elementos de uma linha aos elementos correspondentes de outra

Considere o elemento (a_ {2,1} ) na seguinte Matriz (A ).

[A = left [
begin {matriz}
1 & 1 \
20 & 25
end {matriz}
, middle vert ,
begin {matriz}
30 \
690
end {matriz}
right] nonumber ]

Pergunta

Descreva uma operação de linha elementar que poderia ser usada para tornar o elemento (a _ {(2,1)} ) zero?

Pergunta

Qual é a nova matriz dada a operação de linha acima.

Modifique o conteúdo desta célula e coloque sua resposta à pergunta acima aqui.

[A = left [
begin {matriz}
1 & 1 \
0 & ??
end {matriz}
, middle vert ,
begin {matriz}
30 \
??
end {matriz}
right] nonumber ]

A função a seguir é uma implementação básica do algoritmo de Gauss-Jorden para uma matriz aumentada (m, m + 1):


Eliminação Gaussiana-Jordânia

Considere o sistema $ m times n $ de equações lineares:
começar
a_ <1 1> x_1 + a_ <1 2> x_2 + cdots + a_ <1 n> x_n & # 038 = b_1
a_ <2 1> x_1 + a_ <2 2> x_2 + cdots + a_ <2 n> x_n & # 038 = b_2
a_ <3 1> x_1 + a_ <3 2> x_2 + cdots + a_ <3 n> x_n & # 038 = b_3
& # 038 vdots
uma_ x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n & # 038 = b_m
fim

  1. O matriz de coeficiente do sistema é
    [começar
    a_ <1 1> & # 038 a_ <1 2> & # 038 cdots & # 038 a_ <1 n>
    a_ <2 1> & # 038 a_ <2 2> & # 038 cdots & # 038 a_ <2 n>
    vdots & # 038 vdots & # 038 ddots & # 038 vdots
    uma_ & # 038 a_ & # 038 cdots & # 038 a_
    fim]
  2. O matriz aumentada do sistema é
    [ left [ begin
    a_ <1 1> & # 038 a_ <1 2> & # 038 cdots & # 038 a_ <1 n> & # 038 b_1
    a_ <2 1> & # 038 a_ <2 2> & # 038 cdots & # 038 a_ <2 n> & # 038 b_2
    vdots & # 038 vdots & # 038 ddots & # 038 vdots & # 038 vdots
    uma_ & # 038 a_ & # 038 cdots & # 038 a_ & # 038 b_m
    fimdireito] ]
  3. [Eliminação de Gauss-Jordan] Para um determinado sistema de equações lineares, podemos encontrar a solução a seguir.
    Este procedimento é chamado Eliminação de Gauss-Jordan.


7.2: Introdução à Eliminação de Gauss Jordan - Matemática

Introdução : O método de Gauss-Jordan, também conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan é usado para resolver um sistema de equações lineares e é uma versão modificada do Método de Eliminação de Gauss.

É semelhante e mais simples do que o Método de Eliminação de Gauss, pois temos que realizar 2 processos diferentes no Método de Eliminação de Gauss, ou seja,
1) Formação da matriz triangular superior, e
2) Substituição de costas

Mas no caso do Método de Eliminação de Gauss-Jordan, temos apenas que formar uma forma escalonada de linha reduzida (matriz diagonal). Abaixo, está o fluxograma do Método de Eliminação de Gauss-Jordan.

Fluxograma do Método de Eliminação de Gauss-Jordan:

Explicação: A seguir está a explicação do exemplo acima.


Explicação

Um sistema de equações pode ser representado em algumas formas de matriz diferentes. Uma maneira é perceber o sistema como a multiplicação da matriz dos coeficientes no sistema e o vetor coluna de suas variáveis. A matriz quadrada é chamada de matriz de coeficiente porque consiste nos coeficientes das variáveis ​​no sistema de equações:

Uma representação alternativa chamada de matriz aumentada é criado costurando as colunas de matrizes e divididas por uma barra vertical. A matriz de coeficiente é colocada à esquerda desta barra vertical, enquanto as constantes do lado direito de cada equação são colocadas à direita da barra vertical:

As matrizes que representam esses sistemas podem ser manipuladas de forma a fornecer soluções de fácil leitura. Essa manipulação é chamada de redução de linha. Técnicas de redução de linha transformam a matriz em forma escalonada de linha reduzida sem alterar as soluções do sistema.

Para converter qualquer matriz em sua forma escalonada de linha reduzida, é realizada a eliminação de Gauss-Jordan. Existem três operações de linha elementares usadas para atingir a forma escalonada de linha reduzida:


Exemplo de eliminação de Gauss-Jordan

(R_i leftarrow alpha R_i ) (substituindo linha (i ) por ( alpha ) vezes linha (i ) onde ( alpha neq 0 ))

(R_i leftarrow R_i + alpha R_j ) (substituindo linha (i ) por linha (i ) mais ( alpha ) vezes linha (j ) onde ( alpha neq 0 ) e (i neq j ))

(R_i leftrightarrow R_j ) (trocando linhas (i ) e (j ) onde (i neq j ))

Vamos (A = começar 1 & -1 & 2 & 1 2 & -2 & 0 & 2 -1 & 3 & 0 & 1 end), (x = begin x_1 x_2 x_3 x_4 end), e (b = begin 3 1 1 fim).

A matriz aumentada para o sistema (Ax = b ) é ( left [ begin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 2 & -2 & 0 & 2 & 1 -1 & 3 & 0 & 1 & 1 end direita]. ) Agora reduzimos a linha dessa matriz, ou seja, para transformá-la em uma matriz em RREF usando operações de linha elementares.

Na primeira linha, já temos um (1 ) inicial. Portanto, precisamos ter certeza de que todas as entradas abaixo dele são zero usando operações de linha elementares. Isso pode ser realizado via (R_2 leftarrow R_2 + (-2) vezes R_1 ) e (R_3 leftarrow R_3 + R_1 ). A matriz resultante é [ left [ begin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & -4 & 0 & -5 0 & 2 & 2 & 2 & 4 end right]. ] Agora, observe que a entrada diferente de zero mais à esquerda na segunda e terceira linhas não é (1 ). Podemos consertar isso via (R_2 leftarrow - frac <1> <4> R_2 ) e (R_3 leftarrow frac <1> <2> R_3 ). A matriz resultante é [ left [ begin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & frac <5> <4> 0 & 1 & 1 & 1 & 2 enddireito].]

O (1 ) inicial na linha (3 ) está à esquerda daquele na linha (2 ). Assim, trocamos as duas linhas via (R_2 leftrightarrow R_3 ) para obter [ left [ begin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac <5> <4> enddireito].]

Para limpar a entrada acima do (1 ) inicial na linha 2, executamos (R_1 leftarrow R_1 + R_2 ) para obter [ left [ begin 1 & 0 & 3 & 2 & 5 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac <5> <4> enddireito].]

Finalmente, limpamos as entradas acima do (1 ) inicial na linha 3 executando (R_1 leftarrow R_1 + (-3) vezes R_3 ) e (R_2 leftarrow R_2 + (-1) vezes R_3 ) para obter [ left [ begin 1 & 0 & 0 & 2 & frac <5> <4> 0 & 1 & 0 & 1 & frac <3> <4> 0 & 0 & 1 & 0 & frac <5> < 4> fim direita]. ] Esta matriz está em RREF. As variáveis ​​correspondentes às três primeiras colunas correspondem às principais. Então, 1 solução para (Ax = b ) é dada por (x = begin 5/4 3/4 5/4 0 fim). Para obter todas as soluções, precisaríamos definir (x_4 ), a única variável livre neste caso, para algum parâmetro (s ) e, em seguida, resolver para as variáveis ​​dinâmicas (x_1, x_2, x_3 ) em termos de (s ). A resposta é (x = begin frac <5> <4> - 2s frac <3> <4> - s frac <5> <4> s end).

Observação: O RREF de uma matriz é único. Em outras palavras, não importa como você transforme uma matriz em uma em RREF, contanto que você esteja usando apenas operações de linha elementares, você sempre terminará com a mesma matriz.


7.2: Introdução à Eliminação de Gauss Jordan - Matemática

Clique aqui se quiser instruções sobre como usar o Algebra Coach para realizar o método de eliminação.

    multiplique ambos os lados da equação pelo mesmo fator.

O método de eliminação usa esse fato para resolver um sistema de equações lineares. Suponha que comecemos com um sistema de n equações em n incógnitas. Escolha a primeira equação e subtraia seus múltiplos adequados das outras n & menos 1 equações. Em cada caso, o múltiplo é escolhido de forma que a subtração cancele ou elimine a mesma variável, digamos x. O resultado é que as equações n & menos 1 contêm apenas n & menos 1 incógnitas (x não aparece mais).

Repetimos esse processo de eliminação até obter 1 equação em 1 incógnita, que então é facilmente resolvida.

A etapa final é substituir a solução já obtida para a 1 incógnita nas equações anteriores para encontrar os valores de todas as outras incógnitas.



Exemplo: Resolva este sistema de equações por eliminação:

O resultado é uma equação em um desconhecido, y. A outra incógnita, x, foi eliminada. Resolver essa equação resulta em y = 0,4.

Resta encontrar x. Se substituirmos y = 0,4 em qualquer uma das equações originais, obteremos x = 3,6. Portanto, a solução é:

(Observe que, em vez disso, poderíamos ter encontrado x sem substituição retroativa se tivéssemos subtraído 3 vezes a primeira equação da segunda equação, pois isso elimina y.)

A Matriz Aumentada

Explicamos a essência da eliminação. Para sistemas maiores, precisamos de um procedimento sistemático para evitar confusão. A eliminação de Gauss e a eliminação de Gauss-Jordan são dois desses procedimentos.

Antes de descrevê-los, apresentamos alguns atalhos. Um sistema de equações como:

    Os números individuais na matriz são chamados de elementos.

  • O eu-ésima linha da matriz aumentada representa o eu-ésima equação.

As operações elementares de linha

  • dividir ambos os lados de uma equação por uma constante, ou

    E.R.O. # 1: Escolha uma linha da matriz aumentada e divida (cada elemento) a linha por uma constante.

Exemplo: Este exemplo mostra como aplicamos E.R.O. # 1 e a notação que usamos para indicá-lo. Vamos dividir a primeira linha da matriz aumentada à esquerda por 2 para produzir a nova matriz aumentada à direita:

Nota: & larr & dividir por 2 significa & ldquo dividir a linha apontada por 2 para produzir a nova matriz & rdquo.


Exemplo: Este exemplo mostra como aplicamos E.R.O. # 2 e a notação que usamos para indicá-lo. Na matriz aumentada à esquerda, pegaremos a segunda linha e dela subtrairemos 3 vezes a primeira linha para produzir a nova matriz aumentada à direita:

Nota: & larr R 2 & menos 3 & middot R 1 significa & ldquo pegue a linha apontada para (linha 2) e subtraia 3 vezes a linha 1 dela para produzir a nova linha 2. & rdquo


Exemplo: Este exemplo mostra como aplicamos E.R.O. # 3 e a notação que usamos para indicá-lo. Na matriz aumentada à esquerda, trocamos as linhas 1 e 2 para produzir a nova matriz aumentada à direita:

Nota: R 1 & harr R 2 significa & ldquo trocar as linhas 1 e 2. & rdquo

Eliminação gaussiana

É resolvido por substituição reversa. Conectar z = 3 na segunda equação resulta em y = 5. Em seguida, conectar z = 3 ey = 5 na primeira equação resulta em x = 7.

    Localizamos o elemento diagonal na coluna do pivô. Este elemento é denominado pivô. A linha que contém o pivô é chamada de linha pivô. Dividimos cada elemento na linha do pivô pelo pivô (ou seja, usamos E.R.O. # 1) para obter uma nova linha do pivô com 1 na posição do pivô.

Exemplo: Use a eliminação de Gauss para resolver o sistema de equações:

Solução: execute esta sequência de E.R.O. & rsquos na matriz aumentada:

Defina a coluna pivô para a coluna 1. Obtenha um 1 na posição diagonal (em vermelho):

Agora, vamos pivotar coluna = segunda coluna.

Primeiro, obtenha um 1 na posição diagonal:

Eliminação Gauss-Jordan

Este sistema já está resolvido: x = 7, y = 5, z = 3. A substituição reversa não é necessária. No entanto, cerca de duas vezes mais E.R.O. & rsquos são necessários para produzir a forma de Gauss-Jordan do que a forma de Gauss.

    Localizamos o elemento diagonal na coluna do pivô. Este elemento é denominado pivô. A linha que contém o pivô é chamada de linha pivô. Dividimos cada elemento na linha do pivô pelo pivô (ou seja, usamos E.R.O. # 1) para obter uma nova linha do pivô com 1 na posição do pivô.


Exemplo: Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver o sistema de equações:

Sistemas redundantes e inconsistentes

Se o número de equações for maior do que o número de incógnitas, é garantido que os sistemas sejam redundantes ou inconsistentes. Mas se o número de equações for igual ou menor que o número de incógnitas, geralmente você não reconhecerá um sistema como redundante ou inconsistente até o final do cálculo. Isso é especialmente verdadeiro se o sistema for grande.

Se você está resolvendo o sistema de equações pelo método de substituição e o sistema é redundante, então você terminará com uma equação final que declara 0 = 0. Ou se o sistema for inconsistente, então você terminará com uma que declara um contradição como 0 = 5. Algo semelhante acontece ao usar a eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan. Se o sistema for redundante, então, no final do procedimento de eliminação, quando você tiver a matriz aumentada na forma de Gauss ou Gauss-Jordan, a última linha da matriz aumentada será:

Esta última linha representa a equação 0 = 0, uma informação inútil.

Se o sistema for inconsistente, a última linha da matriz aumentada será semelhante a:

A última linha representa a equação 0 = 5, uma contradição. Experimente os exercícios, que contêm exemplos de sistemas de equações redundantes e inconsistentes.

Este sistema de equações pode ser resolvido por substituição reversa porque não temos valor para z. A última equação apenas afirma que 0 = 0. Não existe uma solução única porque z pode assumir qualquer valor.

A causa deste problema é que se temos 3 incógnitas, então precisamos de 3 informações (equações) sobre eles para resolvê-los. Os matemáticos dizem que as equações devem ser Linearmente independente. Em um sistema redundante, algumas das informações apenas duplicam outras informações. Neste exemplo, um pouco de experimentação mostra que a terceira equação é apenas o dobro da segunda equação menos a primeira equação.

Menos equações do que incógnitas

Experimente os exercícios, que contêm exemplos de sistemas com menos equações do que incógnitas.


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Lição GAUSS-JORDAN MÉTODO DE ELIMINAÇÃO PARA RESOLVER EQUAÇÕES LINEARES

Esta lição revisa o Método de Eliminação de Gauss-Jordan para resolver equações lineares.

Uma equação linear é uma equação com a ordem mais alta de expoente igual a 1.
As variáveis ​​em uma equação linear podem ser elevadas à potência 0 ou à potência 1.
Como qualquer variável com potência 0 = 1, então o coeficiente dessa variável se torna uma constante e o nome da variável não é usado porque o valor dessa variável já foi definido.
Exemplo: 5x ^ 0 = 5 * 1 = 5

RESOLVER UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES SIMULTANEAMENTE

Ao resolver um sistema de equações lineares simultaneamente, você tem uma solução única para cada variável que se aplica a todas as equações do sistema em que a variável está presente.

A única solução para este sistema de equações é x = 2 ey = 3.

O mesmo valor para x é aplicado a todas as equações do sistema onde está presente, e o mesmo valor para y é aplicado a todas as equações do sistema onde está presente.

Quando você substituir 2 por x e 3 por y, então.

a primeira equação torna-se 2 + 3 = 5, o que é verdade.
a segunda equação torna-se 4 + 9 = 13, o que também é verdadeiro.

Sua solução única para cada variável torna todas as equações do sistema verdadeiras.

A única solução para este sistema de equações é x = 1 ey = 6.

O mesmo valor para x é aplicado a todas as equações do sistema onde está presente, e o mesmo valor para y é aplicado a todas as equações do sistema onde está presente.

Quando você substitui 1 por x e 6 por y, então.

a primeira equação torna-se 1 + 6 = 7, o que é verdade.
a segunda equação torna-se 6 = 6, o que também é verdadeiro.

Sua solução única para cada variável torna todas as equações do sistema verdadeiras.

FORMA PADRÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

A forma padrão de um sistema de equações lineares tem os coeficientes e as variáveis ​​do lado esquerdo do sinal de igual e os termos constantes do lado direito do lado igual.

Um exemplo da forma padrão de um sistema de equações lineares em quatro dimensões poderia ter a seguinte aparência.

w, x, y, z são as variáveis.
coeficientes e variáveis ​​estão no lado esquerdo do sinal de igual.
os termos constantes estão no lado direito do sinal de igual.

A partir de um sistema de equações lineares, fazemos o que é chamado de matriz aumentada.

A matriz aumentada possui uma coluna para os coeficientes de cada variável mais uma coluna para o resultado (termos constantes).

A matriz aumentada criada a partir do sistema de equações de quatro dimensões acima é mostrada aqui:

Os coeficientes de cada variável têm sua própria coluna no lado esquerdo da linha vertical da matriz.
Os termos constantes têm sua própria coluna no lado direito da linha vertical da matriz.
Cada equação possui sua própria linha.
Nesta matriz:
A coluna 1 é para os coeficientes de w.
A coluna 2 é para os coeficientes de x.
A coluna 3 é para os coeficientes de y.
A coluna 4 é para os coeficientes de z.
A coluna 5 é para os termos constantes.
A linha 1 contém a primeira equação.
A linha 2 contém a segunda equação.
A linha 3 contém a terceira equação.
A linha 4 contém a quarta equação.

A linha vertical entre as colunas que contém o coeficiente e a coluna que contém o termo constante existem para mostrar que esta é uma matriz aumentada.

Se houvesse apenas a matriz contendo os coeficientes sem uma coluna mostrando o termo constante, isso seria chamado de matriz de coeficientes.

Esta linha vertical deve ser exibida para maior clareza, mas algumas ferramentas mecanizadas podem não exibi-la.

Contanto que você saiba que está lidando com uma matriz aumentada, isso não é um problema.

A ferramenta mecanizada que usaremos não o exibirá.

Esteja ciente de que se você estiver mostrando uma matriz aumentada, você deve ter a linha vertical separando a parte do coeficiente da matriz da parte dos resultados da matriz, mas você também deve estar ciente de que nem sempre é exibida. Normalmente, você será informado se é uma matriz aumentada ou não.

A matriz requer que os coeficientes de cada variável tenham sua própria coluna e que os termos constantes tenham sua própria coluna.

Isso é fácil se todos os termos do sistema de equações lineares forem explícitos como mostrado acima.

Caso contrário, certifique-se de colocar os coeficientes de cada variável na coluna e linha adequadas.

Aqui está um sistema de equações lineares em que a conversão para a forma de matriz requer alguns ajustes.

Este sistema possui 5 equações lineares com 5 incógnitas, portanto, a matriz que você criará terá 5 linhas e 6 colunas.

A matriz ficará assim:

As variáveis ​​neste sistema de equações são v, w, x, y, z.
As colunas de cada variável foram colocadas em ordem alfabética na matriz.
A coluna 1 contém todos os coeficientes para v.
A coluna 2 contém todos os coeficientes para w.
A coluna 3 contém todos os coeficientes para x.
A coluna 4 contém todos os coeficientes para y.
A coluna 5 contém todos os coeficientes para z.
A coluna 6 contém todos os coeficientes dos resultados (termos constantes).
A linha 1 contém a primeira equação.
A linha 2 contém a segunda equação.
A linha 3 contém a terceira equação.
A linha 4 contém a quarta equação.
A linha 5 contém a quinta equação.

MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN E A MATRIZ AUMENTADA

O método de Eliminação de Gauss-Jordan trabalha com a matriz aumentada para resolver o sistema de equações.

O objetivo do método de Eliminação de Gauss-Jordan é converter a matriz nesta forma (a matriz quadridimensional é usada para fins de demonstração).

r1, r2, r3, r4 representam os resultados de cada equação (termos constantes).

Depois de ter a matriz neste formulário, seu problema está resolvido.

A única coisa que você precisa descobrir é como converter a matriz neste formato.

REQUISITOS PARA UMA SOLUÇÃO ÚNICA PARA UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES USANDO O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO GAUSS-JORDAN

Os requisitos para uma solução única para um sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan são que o número de incógnitas deve ser igual ao número de equações.

Quando o número de equações e o número de incógnitas são iguais, você obterá uma matriz aumentada onde o número de colunas é igual ao número de linhas mais 1.

Por exemplo, se você tiver um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas, o número de linhas deve ser igual a 4 e o número de colunas deve ser igual a 5 (4 colunas para os coeficientes e 1 coluna para os resultados).

A linha vertical entre a parte dos coeficientes da matriz e a parte dos resultados da matriz (os termos constantes estão na parte dos resultados da matriz) não conta como uma coluna. Ele está lá para fins de exibição apenas se você tiver a capacidade de exibi-lo.

Ao criar sua matriz, certifique-se de que o número de colunas seja igual ao número de linhas mais 1.

Observe que é possível obter uma solução única para um sistema de equações lineares onde o número de equações é maior do que o número de incógnitas.

Um exemplo disso seria 5 linhas em um plano, todas se cruzando no mesmo ponto. Existe uma solução única para as variáveis ​​xey que torna todas as equações do sistema verdadeiras. Esse tipo de situação, entretanto, não é propício para solução usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, uma vez que esse método requer que o número de equações e o número de incógnitas sejam iguais.

Observe também que não é possível obter uma solução única para um sistema de equações lineares onde o número de equações é menor que o número de incógnitas.

Se você usar o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, certifique-se de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas e o método funcionará perfeitamente.

OPERAÇÕES DE LINHA EM UMA MATRIZ

Você tem permissão para fazer o seguinte sem alterar a igualdade de qualquer equação na matriz e sem afetar a solução do sistema de equações lineares:

As duas últimas regras fornecem o mesmo resultado para a nova linha 3, mas fornecem resultados diferentes para a nova linha 1.

MULTIPLIQUE A LINHA 1 POR 2 E ADICIONE À LINHA 3 (próximo à última regra mostrada acima) torna a nova linha 1 diferente da antiga linha 1 (altera a linha 1).

ADICIONE 2 * LINHA 1 À LINHA 3 (última regra mostrada acima) torna a nova linha 1 igual à antiga linha 1 (deixa a linha 1 inalterada).

Quando percorrermos as telas da ferramenta mecanizada, você verá que a ferramenta usa a última regra ao tornar os coeficientes das linhas restantes na mesma coluna iguais a 0.

EXEMPLO DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES EM QUATRO DIMENSÕES USANDO O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN

O sistema de equações lineares que queremos resolver é mostrado abaixo:

A partir deste sistema de equações lineares, criamos nossa matriz aumentada conforme mostrado abaixo:

A coluna 1 contém todos os coeficientes de w.
A coluna 2 contém todos os coeficientes de x.
A coluna 3 contém todos os coeficientes de y.
A coluna 4 contém todos os coeficientes de z.
A coluna 5 contém todos os resultados (termos constantes).
A linha 1 contém a primeira equação.
A linha 2 contém a segunda equação.
A linha 3 contém a terceira equação.
A linha 4 contém a quarta equação.

Executamos a ferramenta clicando no seguinte link:

Entramos com o número de linhas (4) e o número de colunas (5).

Somos apresentados a uma série de exibições da matriz original inserida e os resultados passo a passo dos procedimentos que a ferramenta mecanizada usou para resolver o problema.

as exibições passo a passo são mostradas abaixo.

Não tente seguir adiante ainda. Entraremos em detalhes mais adiante nesta lição.

Por enquanto, basta olhar para o display número 1 e display número 13.

A tela número 1 mostra a matriz original conforme foi inserida na ferramenta mecanizada.

O visor número 13 mostra a matriz em sua forma final.

Como você pode ver, o objetivo do Método de Eliminação de Gauss-Jordan foi alcançado e o problema está resolvido.

Esse objetivo era colocar a matriz nesta forma:

No visor número 13, você pode ver que a matriz está nesta forma final.

A coluna 1 contém todos os coeficientes da variável w.
A coluna 2 contém todos os coeficientes da variável x.
A coluna 3 contém todos os coeficientes da variável y.
A coluna 4 contém todos os coeficientes da variável z.
A coluna 5 contém todos os termos constantes.

A linha 1 contém todos os coeficientes e termos constantes de nossa primeira equação. Essa linha se traduz em 1w + 0x + 0y + 0z = -5/12 que se torna w = -5/12.
A linha 2 contém todos os coeficientes e termos constantes de nossa segunda equação. Essa linha se traduz em 0w + 1x + 0y + 0z = -11/8 que se torna x = -11/8.
A linha 3 contém todos os coeficientes e termos constantes de nossa terceira equação. Essa linha se traduz em 0w + 0x + 1y + 0z = 4/3 que se torna y = 4/3.
A linha 4 contém todos os coeficientes e termos constantes de nossa quarta equação. Essa linha se traduz em 0w + 0x + 0y + 1z = 5/4 que se torna z = 5/4.

A forma final da matriz é a solução para este sistema de equações lineares.

w = -5/12
x = -11/8
y = 4/3
z = 5/4

Como a ferramenta passou da forma original da matriz para a forma final da matriz é mostrado nos visores de 2 a 13.

Antes de mostrarmos isso, entretanto, forneceremos a estratégia geral usada pela ferramenta mecanizada. Esta é a mesma estratégia geral que você usaria se estivesse resolvendo o sistema de equações lineares manualmente usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan.

Esta é a estratégia geral:

Processamento de encaminhamento da coluna 1:
Comece na linha 1, coluna 1.
Verifique se o coeficiente da coluna 1 da linha 1 não é zero.
Se não for zero, vá para a etapa 1.6. Se for zero, vá para a etapa 1.4.
Procure qualquer linha abaixo da linha 1 que contenha um valor diferente de zero na coluna 1.
Quando encontrada, troque essa linha pela linha 1. A linha 1 agora contém um valor diferente de zero na coluna 1.
Divida a linha 1 pelo coeficiente na linha 1, coluna 1, de modo que o coeficiente na linha 1, coluna 1, seja igual a 1.
Use a linha 1 para tornar todos os coeficientes da coluna 1 iguais a zero em todas as linhas que estão abaixo da linha 1.
Quando a linha 1 contém um coeficiente de 1 na coluna 1 e todas as outras linhas abaixo dela contêm um coeficiente de 0 na coluna 1, então você concluiu o processamento de encaminhamento da coluna 1 e pode prosseguir para o processamento de encaminhamento da coluna 2.

Processamento direto da coluna 2:
Comece na linha 2, coluna 2.
Verifique se o coeficiente da coluna 2 da linha 2 não é zero.
Se não for zero, vá para a etapa 2.6. Se for zero, vá para a etapa 2.4.
Procure qualquer linha abaixo da linha 2 que contenha um valor diferente de zero na coluna 2.
Quando encontrado, troque essa linha pela linha 2. A linha 2 agora contém um valor diferente de zero na coluna 1.
Divida a linha 2 pelo coeficiente na linha 2, coluna 2, de modo que o coeficiente na linha 2, coluna 2, seja igual a 1.
Use a linha 2 para tornar todos os coeficientes da coluna 2 iguais a zero em todas as linhas que estão abaixo da linha 2.
Quando a linha 2 contém um coeficiente de 1 na coluna 2 e todas as outras linhas abaixo dela contêm um coeficiente de 0 na coluna 2, você terá concluído o processamento direto da coluna 2 e poderá prosseguir para o processamento direto da coluna 3.

Processamento direto da coluna 3:
Comece na linha 3, coluna 3.
Verifique se o coeficiente da coluna 3 da linha 3 não é zero.
Se não for zero, vá para a etapa 3.6. Se for zero, vá para a etapa 3.4.
Procure qualquer linha abaixo da linha 3 que contenha um valor diferente de zero na coluna 3.
Quando encontrada, troque essa linha pela linha 3. A linha 3 agora contém um valor diferente de zero na coluna 3.
Divida a linha 3 pelo coeficiente na linha 3, coluna 3, de modo que o coeficiente na linha 3, coluna 3, seja igual a 1.
Use a linha 3 para tornar todos os coeficientes da coluna 3 iguais a zero em todas as linhas que estão abaixo da linha 3.
Quando a linha 3 contém um coeficiente de 1 na coluna 3 e todas as outras linhas abaixo dela contêm um coeficiente de 0 na coluna 3, você concluiu o processamento direto da coluna 3 e pode prosseguir para o processamento direto da coluna 4.

Processamento direto da coluna 4:
Comece na linha 4, coluna 4.
Divida a linha 4 pelo coeficiente na linha 4, coluna 4, de modo que o coeficiente na linha 4, coluna 4, seja igual a 1.
Você concluiu o processamento progressivo da coluna 4 e pode passar para o processamento retroativo da coluna 4.

Processamento retroativo da coluna 4:
Comece na linha 4, coluna 4.
Use a linha 4 para tornar todos os coeficientes da coluna 4 iguais a zero em todas as linhas que estão acima da linha 4.
Quando todas as outras linhas acima da linha 4 contiverem um coeficiente de 0 na coluna 4, você terá concluído o processamento regressivo da coluna 4 e poderá prosseguir para o processamento regressivo da coluna 3.

Processamento retroativo da coluna 3:
Comece na linha 3, coluna 3.
Use a linha 3 para tornar todos os coeficientes da coluna 3 iguais a zero em todas as linhas que estão acima da linha 3.
Quando todas as outras linhas acima da linha 3 contiverem um coeficiente de 0 na coluna 3, você terá concluído o processamento regressivo da coluna 3 e poderá prosseguir para o processamento regressivo da coluna 2.

Processamento retroativo da coluna 2:
Comece na linha 2, coluna 2.
Use a linha 2 para tornar todos os coeficientes da coluna 2 iguais a zero em todas as linhas que estão acima da linha 2.
Quando todas as outras linhas acima da linha 2 contiverem um coeficiente de 0 na coluna 2, você estará pronto. O Método de Eliminação de Gauss-Jordan para resolver este sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas está completo.

Passaremos agora pelos procedimentos passo a passo que a ferramenta mecanizada de eliminação de Gauss-Jordan usou para resolver nosso sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas.

Começaremos todo o processo novamente começando com o sistema de equações que queremos resolver para que seja mais fácil referenciar de volta.

O sistema de equações lineares que queremos resolver é mostrado abaixo:

A partir deste sistema de equações lineares, criamos nossa matriz aumentada conforme mostrado abaixo:

A coluna 1 contém todos os coeficientes de w.
A coluna 2 contém todos os coeficientes de x.
A coluna 3 contém todos os coeficientes de y.
A coluna 4 contém todos os coeficientes de z.
A coluna 5 contém todos os resultados (termos constantes).
A linha 1 contém a primeira equação.
A linha 2 contém a segunda equação.
A linha 3 contém a terceira equação.
A linha 4 contém a quarta equação.

Executamos a ferramenta clicando no seguinte link:

Entramos com o número de linhas (4) e o número de colunas (5).

Somos apresentados a uma série de exibições da matriz original inserida e os resultados passo a passo dos procedimentos que a ferramenta mecanizada usou para resolver o problema.

As exibições passo a passo são mostradas abaixo.

A tela número 1 mostra a matriz original conforme a inserimos na ferramenta mecanizada.

A tela número 2 mostra os resultados da ferramenta começando com a linha 1, coluna 1 e descendo até encontrar uma linha com uma entrada diferente de zero na coluna 1 e, em seguida, tornando essa linha a nova linha número 1. Neste caso específico, a linha 3 foi a primeira linha que continha um elemento diferente de zero na coluna 1. É por isso que a linha 3 foi trocada pela linha 1.

A tela número 3 mostra os resultados da ferramenta dividindo a linha 1 por 5, de modo que o coeficiente na linha 1, coluna 1, torna-se 1. Observe que cada elemento na linha 1 é dividido por 5. Observe também que o processamento direto da coluna 1 agora está concluído porque a linha 1 contém um coeficiente de 1 e todas as outras linhas abaixo da linha 1 contém um coeficiente de 0 na coluna 1.

A tela número 4 mostra os resultados da ferramenta começando com a linha 2, coluna 2 e descendo até encontrar uma linha com uma entrada diferente de zero na coluna 2 e, em seguida, tornando essa linha a nova linha número 2. Neste caso particular, a linha 4 era a primeira linha que continha um elemento diferente de zero na coluna 2. É por isso que a linha 4 foi trocada pela linha 2.

A tela número 5 mostra os resultados da ferramenta dividindo a linha 2 por 4, de modo que o coeficiente na linha 2, coluna 2, torna-se 1. Observe também que o processamento direto da coluna 2 agora está concluído porque a linha 2 contém um coeficiente de 1 na coluna 2 e todo a outra linha abaixo da linha 2 contém um coeficiente de 0 na coluna 2.

A tela número 6 mostra os resultados da ferramenta começando com a linha 3, coluna 3 e descendo até encontrar uma linha com uma entrada diferente de zero na coluna 3 e, em seguida, tornando essa linha o novo número de linha 3. Neste caso específico, a linha 4 era a primeira linha que continha um elemento diferente de zero na coluna 3. É por isso que a linha 4 foi trocada pela linha 3.

O display número 7 mostra os resultados da ferramenta dividindo a linha 3 por 3, de modo que o coeficiente na linha 3, coluna 3, torna-se 1. Observe também que o processamento direto da coluna 3 agora está concluído porque a linha 3 contém um coeficiente de 1 na coluna 3 e todo other row below row 3 contains a coefficient of 0 in column 3.

Display Number 8 shows you the results of the tool dividing row 4 by 4 so that the coefficient in row 4 column 4 becomes 1. Since this was the last row in the matrix, forward processing is done and the tool moves on to backward processing.

Display Number 9 shows you the results of the tool adding row 4 multiplied by (-1/2) to row 2 in order to make the coefficient in row 2 column 4 equal to 0. The tool skipped row 3 because row 3 column 4 already had a coefficient equal to 0.

Display Number 10 shows you the results of the tool adding row 4 multiplied by (-8/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 4 equal to 0. Since all the rows above row 4 column 4 have a coefficient of 0 in column 4, then column 4 backward processing is done and the tool moves on to column 3 backward processing.

Display Number 11 shows you the results of the tool adding row 3 multiplied by (-3/4) to row 2 in order to make the coefficient in row 2 column 3 equal to 0.

Display Number 12 shows you the results of the tool adding row 3 multiplied by (-7/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 3 equal to 0. Since all the rows above row 3 column 3 have a coefficient of 0 in column 3, then column 3 backward processing is done and the tool moves on to column 2 backwards processing.

Display Number 13 shows you the results of the tool adding row 2 multiplied by (-6/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 2 equal to 0. Since all the rows above row 2 column 2 have a coefficient of 0 in column 2, then column 2 backward processing is done and the tool is finished.

Display Number 13 shows you the final form of the matrix. Column 1 contains a 0 coefficient in all rows except row 1. Column 2 contains a 0 coefficient in all rows except row 2. Column 3 contains a 0 coefficient in all rows except row 3. Column 4 contains a 0 coefficient in all rows except row 4. All the nonzero coefficients are equal to 1. From display number 13, you can immediately go to the solution of the system of linear equations which is:

UNIQUE SOLUTIONS TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

If your matrix is in the final form shown below, then you have a unique solution to the system of linear equations.

r1,r2,r3,r4 are the results of each equation (constant terms).
If column 1 represents w variable and column 2 represents x variable and column 3 represents y variable and column 4 represents z variable and column 5 represents the constant terms (results), then:

represent the unique solution to this system of equations.

If your matrix is not in the final form shown above, then you do not have a unique solution to the system of linear equations.

As you progress through the steps of your matrix, if you encounter a row that has all zeroes in the coefficient part of the matrix, that's a clue that tells you that you will not have a unique solution to your matrix.

Here's an example of a system of linear equations that does not have a unique solution.

Your matrix looks like this:

The mechanized Gauss-Jordan Elimination Method Tool looks like this:

Your inputs are in the top array above the numbered displays.

Display Number 1 shows that you already have a problem. All the columns in the coefficient part of the matrix show 0 which means that the mechanized tool will not be able to find a unique solution to this system of equations.

Display Number 4 shows that the problem can't be resolved any further and is a logical point for stopping the processing since going any further will clearly not produce a unique solution to the problem.

CAUSES OF NOT BEING ABLE TO FIND A UNIQUE SOLUTION TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

With Linear Equations in 2 dimensions, the causes are clear.

The lines represented by the equations are either parallel (no solution), or intersecting in a point (unique solution), or identical (infinite number of solutions).

With Linear Equations in 3 dimensions, the causes get a little muddier.

You can see that the causes of not having a unique solution are getting more complicated to determine.

With Linear Equations in more than 3 dimensions, the all parallel to each other analogy is still there, and the all identical to each other analogy is still there, even though you can't see it. The mixed solutions get more complicated and difficult, if not impossible to visualize.

Once you get systems of linear equations in 3 dimensions or more, the causes of not finding a unique solution become complicated and you are not usually asked to determine them. It is sufficient to know that you either have a unique solution or you don't.

Once you get a row of zeroes in all columns of the coefficient part of the matrix, that's enough to tell you that you will not have a unique solution.

Display Number 2 in the example was that point.

Regardless, if the final form of the matrix is not the way it's supposed to look, you do not have a unique solution to the system of equations.

This assumes you entered the appropriate number of rows and columns.

There is another tool using the Gauss-Jordan Elimination Method worth mentioning, that does not allow you to enter the incorrect number of rows and columns.

This is because it simply asks you for the number of equations.

This tool also will stop the processing when it becomes apparent that you will not have a unique solution to the problem.

The following link will take you to this tool.

We will process this same system of linear equations that did not have a unique solution to show you how this tool would handle it.

Your equations that do not have a unique solution are (once again):

Your matrix looks like this:


The displays from this second tool are shown below:

You can see that this tool stopped when it discovered that there would not be a unique solution to this problem.

Both tools are good training tools and good solution checking tools. Each has its own unique advantages.


How do you solve using gaussian elimination or gauss-jordan elimination, #x +2y +3z = 1#, #2x +5y +7z = 2#, #3x +5y +7z = 4#?

Write an Augmented Matrix .
Perform Elementary Row Operations, until an identity matrix is obtained.
The solutions will be on the right.
Verificar.

Explicação:

Write #x +2y +3z = 1# as a row in an Augmented Matrix:

Add row for the equation #2x +5y +7z = 2# :

Add row for the equation #3x +5y +7z = 4# :

The augmented matrix is complete. Perform Elementary Row Operations.

We want the coefficient in position #(1,1)# to be one and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients is column 1 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(2,2)# to be 1 and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients in column 2 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(3,3)# to be 1 and it is, therefore, we multiply the row by -1:

We want the other two coefficients in column 3 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We have an identity matrix on the left, therefore, the solutions are on the right:


Reduced Row Echelon Form of Matrix

Create a matrix and calculate the reduced row echelon form. In this form, the matrix has leading 1s in the pivot position of each column.

The 3-by-3 magic square matrix is full rank, so the reduced row echelon form is an identity matrix.

Now, calculate the reduced row echelon form of the 4-by-4 magic square matrix. Specify two outputs to return the nonzero pivot columns. Since this matrix is rank deficient, the result is not an identity matrix.

Row Reduction of Augmented Matrices

Use Gauss-Jordan elimination on augmented matrices to solve a linear system and calculate the matrix inverse. These techniques are mainly of academic interest, since there are more efficient and numerically stable ways to calculate these values.

Create a 3-by-3 magic square matrix. Add an additional column to the end of the matrix. This augmented matrix represents a linear system Ax = b , with the extra column corresponding to b .

Calculate the reduced row echelon form of A . Index into R to extract the entries in the extra (augmented) column, which contains the solution to the linear system.

A more efficient way to solve this linear system is with the backslash operator, x = A .

Create a similar magic square matrix, but this time append an identity matrix of the same size to the end columns.

Calculate the reduced row echelon form of A . In this form the extra columns contain the inverse matrix for the 3-by-3 magic square matrix.

A more efficient way to calculate the inverse matrix is with inv(A) .

Solve System of Equations

Consider a linear system of equations with four equations and three unknowns.

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - x 1 + x 2 - x 3 = 2 .

Create an augmented matrix that represents the system of equations.

Use rref to express the system in reduced row echelon form.

The first two rows of R contain equations that express x 1 and x 2 in terms of x 3 . The second two rows imply that there exists at least one solution that fits the right-hand side vector (otherwise one of the equations would read 1 = 0 ). The third column does not contain a pivot, so x 3 is an independent variable. Therefore, there are infinitely many solutions for x 1 and x 2 , and x 3 can be chosen freely.

x 1 = 2 - 3 x 3 x 2 = 4 - 2 x 3 .

For example, if x 3 = 1 , then x 1 = - 1 and x 2 = 2 .

From a numerical standpoint, a more efficient way to solve this system of equations is with x0 = A , which (for a rectangular matrix A ) calculates the least-squares solution. In that case, you can check the accuracy of the solution with norm(A*x0-b)/norm(b) and the uniqueness of the solution by checking if rank(A) is equal to the number of unknowns. If more than one solution exists, then they all have the form of x = x 0 + nt , where n is the null space null(A) and t can be chosen freely.


2 respostas 2

Note that since the matrix multiplication is associative one can do any transformation when he wants, for example you could do the same step that i did in the opposite direction and get the same result, but to make it clearer i've wrote every single step. You can now solve the system just by evaluating the single components. Note that since your matrix has rang $4$ the solution is unique.

Jordan-Gauss elimination is convergent, meaning that however you proceed the normal form is unique. It is also always possible to reduce matrices of rank 4 (I assume yours is) to a normal form with the left 4x4 block being the identity, but the rightmost column cannot be reduced further. If your solution does not match the answer sheet, then you have made a computational error, which is frequent due to the sheer number of operations needed.

For a particular matrix, I could show you how I would reduce it, but I will let your friend WolframAlpha do the comuputation, since this is faster and safer. If you have an account, you can see the procedure step-by-step.

Editar: WolframAlpha removed the free feature, but I will still use it for checking the work. You made a mistake too, but I corrected it. Now for the show:

Now the 14 has disappeared. I will not write the rest because this is hard and long and I am not even sure I did not make mistakes, so you will want to check my work.

Edit 2: Actually, your corrected matrix is:

You just have to divide by 14. I will leave the process above because the general "trick" has helped me when I did these sorts of exercises.


Assista o vídeo: Tutorial en Matlab, método de Gauss-Jordan (Novembro 2021).