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3.1.1: Decimais e Frações - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Leia e escreva números em notação decimal.
  • Escreva decimais como frações.
  • Escreva as frações como decimais.

Além da notação de fração, a notação decimal é outra maneira de escrever números entre 0 e 1. Decimais também podem ser usados ​​para escrever números entre quaisquer dois números inteiros. Por exemplo, você pode ter que preencher um cheque de $ 2.003,38. Ou, ao medir o comprimento de uma sala, você pode descobrir que o comprimento está entre dois números inteiros, como 35,24 pés. Neste tópico, você se concentrará em ler e escrever números decimais e reescrevê-los em notação de fração.

Para ler ou escrever números escritos em notação decimal, você precisa saber o valor de lugar de cada dígito, ou seja, o valor de um dígito com base em sua posição dentro de um número. Com números decimais, a posição de um numeral em relação ao ponto decimal determina seu valor de casa. Por exemplo, o valor posicional de 4 em 45,6 está no dezenas lugar, enquanto o valor posicional de 6 em 45,6 está no décimos Lugar, colocar.

Números decimais são números cujos valores de posição são baseados em 10s. Os números inteiros são, na verdade, números decimais maiores ou iguais a zero. O gráfico de valor local pode ser estendido para incluir números menores que um, que às vezes são chamados frações decimais. Um ponto decimal é usado para separar a parte inteira do número e a parte fracionária do número.

Digamos que você esteja medindo o comprimento de uma entrada de automóveis e descubra que ela tem 745 pés. Você diria que esse número é setecentos e quarenta e cinco. Então, uma medição mais precisa mostra que é 745,36 pés. Vamos colocar este número em um gráfico de valor de posição.

O que você deseja examinar agora são os valores das casas decimais, que são os números 3 e 6 no gráfico abaixo.

Números decimaisCentenasDezenasunsPonto decimalDécimosCentésimos
745.36745.36

Observe como os nomes dos valores posicionais começam na vírgula decimal. À esquerda da vírgula decimal estão as casas de unidades, dezenas e centenas, onde você coloca dígitos que representam números inteiros maiores ou iguais a zero. À direita da vírgula decimal estão os décimos e centésimos, onde você coloca dígitos que representam números que são partes fracionárias de um, números que são maiores que zero e menores que um.

Novamente, o valor posicional de um número depende de quão longe ele está da vírgula decimal. Isso fica evidente no gráfico a seguir, onde cada número possui o algarismo “4” ocupando uma posição diferente.

Números decimaisMilharesCentenasDezenasunsPonto decimalDécimosCentésimosMilésimos
0.0040.004
0.040.04
0.40.4
44.
4040.
400400.
40004000.

Imagine que, à medida que um grande balão esvazia, o volume de ar dentro dele passa de 1.000 litros, para 100 litros, para 10 litros, para 1 litro. Observe que você está dividindo um valor de posição por dez conforme vai para a direita. Você divide 100 por 10 para chegar à casa das dezenas. Isso porque há 10 dezenas em 100. Então, você divide 10 por 10 para chegar à casa das unidades, porque há 10 unidades em 10.

Agora, suponha que o balão continue a perder volume, indo de 1 litro para 0,1 litro, para 0,01 litro e depois para 0,001 litro. Observe que você continua a dividir por 10 ao mover para decimais. Você divide 1 por ( 10 left ( frac {1} {10} right) ) para chegar ao décimo lugar, que basicamente divide um em 10 pedaços. E para chegar à casa das centenas, você quebra o décimo em mais dez pedaços, o que resulta na fração ( frac {1} {100} ). A relação entre casas decimais e frações é capturada na tabela abaixo.

Formulário WordNotação decimalNotação de fração
mil1,000 ( frac {1,000} {1} )
cem100 ( frac {100} {1} )
dez10 ( frac {10} {1} )
11 ( frac {1} {1} )
um décimo0.1 ( frac {1} {10} )
centésimo0.01 ( frac {1} {100} )
um milésimo0.001 ( frac {1} {1,000} )

Considere um número com mais dígitos. Suponha que um pescador tenha uma rede cheia de peixes que pesa 1.357.924 kg. Para escrever esse número, você precisa usar a casa dos milhares, que é composta por 10 centenas. Você também usa a casa dos milésimos, que é ( frac {1} {10} ) de um centésimo. Em outras palavras, existem dez milésimos em um centésimo.

Números decimaisnão º ladoº lado
MilharesCentenasDezenasunsPonto decimalDécimosCentésimosMilésimos
1,357.9241357.924

Como você pode ver, movendo-se do ponto decimal para a esquerda são uns, dezenas, centenas, milhares, etc. Este é o “não º lado ”, que são os números maiores ou iguais a um. Mover-se da vírgula decimal para a direita resulta em décimos, centésimos, milésimos. Isto é o "º lado ”, que são os números menores que 1.

1,357.924

não º lado º lado

O padrão indo para a direita ou para a esquerda do ponto decimal é o mesmo, mas existem duas grandes diferenças:

  1. Todos os valores das casas à direita da vírgula decimal terminam em “th”.
  2. Não existe "um ths". Pelo seu trabalho com frações, você sabe que 5 e ( frac {5} {1} ) são iguais.

Exemplo

Qual é o valor posicional de 8 em 4.279.386?

Solução

Escreva o número em um gráfico de valor posicional. Leia o valor de 8 no gráfico.

Números decimaisnão º ladoº lado
MilharesCentenasDezenasunsPonto decimalDécimosCentésimosMilésimos
4,279.3864279.386

No número 4.279.386, o 8 está na casa dos centésimos.

Exercício

Qual é o valor posicional do 7 em 324,2671?

  1. milhares
  2. milésimos
  3. centenas
  4. centésimos
Responder
  1. milhares

    Incorreta. O dígito 7 está à direita da vírgula decimal, o que significa que é menor que um e no º lado. A resposta correta é milésimos.

  2. milésimos

    Correto. O dígito 7 está três casas decimais à direita da vírgula decimal, o que significa que está na casa dos milésimos.

  3. centenas

    Incorreta. O dígito 7 está três casas decimais à direita da vírgula decimal, o que significa que está na casa dos milésimos.

  4. centésimos

    Incorreta. O dígito 7 está três casas decimais à direita da vírgula decimal, o que significa que está na casa dos milésimos.

A maneira mais fácil de ler um número decimal é ler a parte da fração decimal como uma fração. (Não simplifique a fração, porém.) Suponha que você tenha 0,4 gramas de iogurte em um copo. Você diria, "4 décimos de grama de iogurte", já que o 4 está na décima posição.

Observe que o denominador da fração escrita na forma de fração é sempre uma potência de dez, e o número de zeros no denominador é o mesmo que o número de casas decimais à direita da vírgula decimal. Consulte os exemplos na tabela abaixo para obter mais orientações.

Notação decimalNotação de fraçãoFormulário Word
0.5 ( frac {5} {10} )cinco décimos
0.34 ( frac {34} {100} )trinta e quatro centésimos
0.896 ( frac {896} {1.000} )oitocentos e noventa e seis milésimos

Observe que 0,5 tem 1 casa decimal. Sua fração equivalente, ( frac {5} {10} ), tem um denominador de 10 - que é 1 seguido por 1 zero. Em geral, ao converter decimais em frações, o denominador é sempre 1, seguido pelo número de zeros que corresponde ao número de casas decimais no número original.

Outra maneira de determinar qual número colocar no denominador é usar o valor da casa do último dígito sem a parte “ths”. Por exemplo, se o número for 1,458, o 8 está na casa dos milésimos. Retire o “ths” e você terá mil, então o número é escrito como ( 1 frac {458} {1000} ).

Exemplo

Escreva 0,68 em forma de palavra.

Solução

( 0.68 = frac {68} {100} ) = sessenta e oito centésimos

Observe que o número é lido como uma fração.

Observe também que o denominador tem 2 zeros, o mesmo que o número de casas decimais do número original.

O número 0,68 na forma de palavras é sessenta e oito centésimos.

Lembre-se de que um número misto é uma combinação de um número inteiro e uma fração. No caso de um decimal, um número misto também é uma combinação de um número inteiro e uma fração, onde a fração é escrita como uma fração decimal.

Para ler números mistos, diga a parte do número inteiro, a palavra “e” (representando a vírgula decimal) e o número à direita da vírgula, seguido pelo nome e o valor da casa do último dígito. Você pode ver isso demonstrado no diagrama abaixo, no qual o último dígito está na casa dos dez milésimos.

Outra maneira de pensar nisso é com dinheiro. Suponha que você pague $ 15.264,25 por um carro. Você leria isso como quinze mil, duzentos e sessenta e quatro dólares e vinte e cinco centavos. Neste caso, os "centavos" significam "centésimos de um dólar", então isso é o mesmo que dizer quinze mil, duzentos e sessenta e quatro e vinte e cinco centésimos. Mais alguns exemplos são mostrados na tabela abaixo.

Notação decimalNotação de fraçãoFormulário Word
9.4 ( 9 frac {4} {10} )Nove e quatro décimos
87.49 ( 87 frac {49} {100} )Oitenta e sete e quarenta e nove centésimos
594.236 ( 594 frac {236} {1000} )Quinhentos e noventa e quatro e duzentos e trinta e seis milésimos

Exemplo

Escreva 4.379 em forma de palavra.

Solução

( 4.379 = 4 frac {379} {1,000} ) = quatro e trezentos e setenta e nove milésimos

A fração decimal é lida como uma fração.

Observe que o denominador tem 3 zeros, igual ao número de casas decimais do número original.

O número 4.379 na forma de palavra é quatrocentos e trezentos e setenta e nove milésimos.

Exercício

Escreva 2,364 em forma de palavra.

  1. duzentos e trezentos e sessenta e quatro centésimos
  2. duzentos e trezentos e sessenta e quatro milésimos
  3. dois mil trezentos e sessenta e quatro
  4. trezentos e sessenta e quatro décimos e dois
Responder
  1. duzentos e trezentos e sessenta e quatro centésimos

    Incorreta. Você indicou a casa decimal errada em sua resposta. A resposta correta é duzentos e trezentos e sessenta e quatro milésimos.

  2. duzentos e trezentos e sessenta e quatro milésimos

    Correto. 2,364 é o mesmo que ( 2 frac {364} {1,000} ), então, além do número inteiro 2, você tem trezentos e sessenta e quatro milésimos.

  3. dois mil trezentos e sessenta e quatro

    Incorreta. Você ignorou o ponto decimal. A resposta correta é um decimal; neste caso, duzentos e trezentos e sessenta e quatro milésimos.

  4. trezentos e sessenta e quatro décimos e dois

    Incorreta. Você indicou a casa decimal errada em sua resposta, e toda a parte do número deve ser mencionada antes da parte decimal. A resposta correta é duzentos e trezentos e sessenta e quatro milésimos.

Como você viu acima, cada decimal pode ser escrito como uma fração. Para converter um decimal em uma fração, coloque o número após o ponto decimal no numerador da fração e coloque o número 10.100, ou 1.000, ou outra potência de 10 no denominador. Por exemplo, 0,5 seria escrito como ( frac {5} {10} ). Você notará que esta fração pode ser ainda mais simplificada, pois ( frac {5} {10} ) se reduz a ( frac {1} {2} ), que é a resposta final.

Vamos nos familiarizar mais com essa relação entre casas decimais e zeros no denominador observando vários exemplos. Observe que em cada exemplo, o número de casas decimais é diferente.

Exemplo

Escreva 0,6 como uma fração simplificada.

Solução

( 0,6 = frac {6} {10} )A última casa decimal é décimos, então use 10 como denominador. O número de zeros no denominador é sempre igual ao número de casas decimais do decimal original.
( frac {6 div 2} {10 div 2} = frac {3} {5} )Simplifique a fração.

( 0,6 = frac {3} {5} )

Vejamos um exemplo em que um número com duas casas decimais é escrito como uma fração.

Exemplo

Escreva 0,64 como uma fração simplificada.

Solução

( 0,64 = frac {64} {100} )A última casa decimal é centésimos, portanto, use 100 como denominador. O número de zeros no denominador é sempre igual ao número de casas decimais do decimal original.
( frac {64 div 4} {100 div 4} = frac {16} {25} )Simplifique a fração.

( 0,64 = frac {16} {25} )

Agora, examine como isso é feito no exemplo abaixo usando um decimal com dígitos em três casas decimais.

Exemplo

Escreva 0,645 como uma fração simplificada.

Solução

( 0,645 = frac {645} {1.000} )Observe que há 3 zeros no denominador, que é igual ao número de casas decimais do decimal original.
( frac {645 div 5} {1,000 div 5} = frac {129} {200} )Simplifique a fração.

( 0,645 = frac {129} {200} )

Você pode escrever uma fração como decimal mesmo quando houver zeros à direita da vírgula decimal. Aqui está um exemplo em que o único dígito maior que zero está na casa dos milésimos.

Exemplo

Escreva 0,007 como uma fração simplificada.

Solução

( 0,007 = frac {7} {1.000} )

Observe que 7 está na casa dos milésimos, então você escreve 1.000 no denominador. O número de zeros no denominador é sempre igual ao número de casas decimais do decimal original.

A fração não pode ser mais simplificada.

( 0,007 = frac {7} {1.000} )

Ao escrever decimais maiores que 1, você só precisa alterar a parte decimal para uma fração e manter a parte do número inteiro. Por exemplo, 6.35 pode ser escrito como ( 6 frac {35} {100} ).

Exemplo

Escreva 8,65 como uma fração mista simplificada.

Solução

( 8.65 = 8 frac {65} {100} = 8 frac {13} {20} )

Reescreva 0,65 como ( frac {65} {100} ).

Observe que o número de zeros no denominador é dois, que é igual ao número de casas decimais no decimal original.

Em seguida, simplifique ( frac {65} {100} ) dividindo o numerador e o denominador por 5.

( 8.65 = 8 frac {13} {20} )

Exercício

Escreva 0,25 como uma fração.

  1. ( frac {2} {5} )
  2. ( frac {1} {4} )
  3. ( frac {4} {1} )
  4. ( frac {5} {2} )
Responder
  1. ( frac {2} {5} )

    Incorreta. Você pode ter colocado o dígito da décima casa no numerador e o dígito da casa da centésima no denominador. A resposta correta é ( frac {1} {4} ).

  2. ( frac {1} {4} )

    Correto. O número 0,25 pode ser escrito como ( frac {25} {100} ), que se reduz a ( frac {1} {4} ).

  3. ( frac {4} {1} )

    Incorreta. Você provavelmente confundiu o numerador e o denominador. A resposta correta é ( frac {1} {4} ).

  4. ( frac {5} {2} )

    Incorreta. Você pode ter colocado o dígito da décima casa no denominador e o dígito da décima casa no numerador. A resposta correta é ( frac {1} {4} ).

Assim como você pode escrever um decimal como uma fração, cada fração pode ser escrita como um decimal. Para escrever uma fração como decimal, divida o numerador (parte superior) da fração pelo denominador (parte inferior) da fração. Use a divisão longa, se necessário, e observe onde colocar a vírgula decimal em sua resposta. Por exemplo, para escrever ( frac {3} {5} ) como um decimal, divida 3 por 5, o que resultará em 0,6.

Exemplo

Escreva ( frac {1} {2} ) como um decimal.

Solução

( begin {array} {r}
0.5 \
2 longdiv {1.0}
-1.0 \
hline 0
end {array} )
Usando a divisão longa, você pode ver que dividir 1 por 2 resulta em 0,5.

( frac {1} {2} = 0,5 )

Observe que você também pode ter pensado sobre o problema desta forma: ( frac {1} {2} = frac {?} {10} ), e então resolvido para ?. Uma maneira de pensar sobre esse problema é que 10 é cinco vezes maior que 2, então terá que ser cinco vezes maior que 1. Qual número é cinco vezes maior que 1? Cinco é, então a solução é ( frac {1} {2} = frac {5} {10} ).

Agora veja um exemplo mais complexo, em que o dígito final da resposta está na casa dos milésimos.

Exemplo

Escreva ( frac {3} {8} ) como um decimal.

Solução

( begin {array} {r}
0.375 \
8 longdiv {3.000}
-24 \
hline 60
-56 \
hline 40
-40 \
hline 0
end {array} )
Usando a divisão longa, você pode ver que dividir 3 por 8 resulta em 0,375.

( frac {3} {8} = 0,375 )

A conversão de frações em decimais às vezes resulta em respostas com números decimais que começam a se repetir. Por exemplo, ( frac {2} {3} ) converte para 0,666, um decimal repetido, no qual o 6 se repete infinitamente. Você escreveria isso como ( 0. Overline {6} ), com uma barra sobre o primeiro dígito decimal para indicar que o 6 se repete. Veja este exemplo de problema em que dois dígitos consecutivos na resposta se repetem.

Exemplo

Converta ( frac {4} {11} ) em um decimal.

Solução

( begin {array} {r}
0.3636 \
11 longdiv {4.0000}
-33 \
hline 70
-66 \
hline 40
-33 \
hline 70
-66 \
hline 4
end {array} )
Usando a divisão longa, você pode ver que dividir 4 por 11 resulta em uma repetição de 0,36. Como resultado, isso é escrito com uma linha sobre ele como ( 0. Overline {36} ).

( frac {4} {11} = 0. overline {36} )

Com números maiores que 1, mantenha a parte do número inteiro do número misto como o número inteiro no decimal. Em seguida, use a divisão longa para converter a parte da fração em um decimal. Por exemplo, ( 2 frac {3} {20} ) pode ser escrito como 2.15.

Exemplo

Converta ( 2 frac {1} {4} ) em um decimal.

Solução

( begin {array} {r}
0.25 \
4 longdiv {1,00}
-8 \
hline 20
-20 \
hline 0
end {array} )
Sabendo que o número inteiro 2 permanecerá o mesmo durante a conversão, concentre-se apenas na parte decimal. Usando a divisão longa, você pode ver que dividir 1 por 4 resulta em 0,25.
( 2+0.25=2.25)Agora traga de volta o número inteiro 2, e a fração resultante será 2,25.

( 2 frac {1} {4} = 2,25 )

Dicas para converter frações em decimais

Para escrever uma fração como decimal, divida o numerador (parte superior) da fração pelo denominador (parte inferior) da fração.

No caso de decimais repetidos, escreva o (s) dígito (s) de repetição com uma linha sobre ele. Por exemplo, repetição de 0,333 seria escrita como ( 0. Overline {3} ).

A notação decimal é outra maneira de escrever números menores que 1 ou que combinam números inteiros com frações decimais, às vezes chamados de números mistos. Ao escrever números em notação decimal, você pode usar um gráfico estendido de valor posicional que inclui posições para números menores que um. Você pode escrever números escritos em notação de fração (frações) em notação decimal (decimais) e pode escrever decimais como frações. Você sempre pode converter entre notação fracionária e notação decimal.