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4.1: Adicionando números ímpares - Matemática


Você já trabalhou em uma prova, entendeu e confirmou cada etapa, mas ainda não acreditou no teorema? Você se dá conta naquela o teorema é verdadeiro, mas não Por quê é verdade.

Para ver o mesmo contraste em um exemplo familiar, imagine descobrir que seu filho está com febre e ouvir a temperatura em graus Fahrenheit ou Celsius, o que for menos familiar. Na minha experiência cotidiana, as temperaturas são principalmente em graus Fahrenheit. Quando ouço falar de uma temperatura de (40 ^ {◦} C ), eu reajo em dois estágios:

  1. Eu converto (40 ^ {◦} C ) para Fahrenheit: (40 vezes 1,8 + 32 = 104. )
  2. Eu reajo: “Uau, (104 ^ {◦} F ). Isso é perigoso! Vá a um médico! "

A temperatura Celsius, embora simbolicamente equivalente à temperatura Fahrenheit, não provoca reação. Meu senso de perigo é ativado somente depois que a conversão de temperatura conecta a temperatura à minha experiência.

Uma descrição simbólica, seja uma prova ou uma temperatura desconhecida, não é convincente comparada a um argumento que fala ao nosso sistema perceptivo. A razão está em como nosso cérebro adquiriu a capacidade de raciocínio simbólico. (Ver Cérebros em evolução [2] para uma história ilustrada e acadêmica do cérebro.) O raciocínio simbólico sequencial requer linguagem, que evoluiu por apenas (10 ​​^ {5} ) anos. Embora (10 ​​^ {5} ) ano se estenda por muitas vidas humanas, é um piscar de olhos evolucionário. Em particular, é curto se comparado ao intervalo de tempo durante o qual nosso hardware perceptivo evoluiu: por várias centenas de milhões de anos, os organismos refinaram suas capacidades de ouvir, cheirar, saborear, tocar e ver.

A evolução trabalhou 1000 vezes mais em nossas habilidades perceptivas do que em nossas habilidades de raciocínio simbólico. Comparado ao nosso hardware perceptivo, nosso hardware sequencial simbólico é um retardatário mal desenvolvido. Não é de surpreender que nossas habilidades perceptivas superem em muito nossas habilidades simbólicas. Mesmo uma atividade simbólica aparentemente de alto nível, como jogar xadrez de grande mestre, usa principalmente hardware de percepção [16]. Vendo uma ideia nos transmite uma profundidade de compreensão que uma descrição simbólica dela não pode corresponder facilmente.

Múltiplos problemas

Problema 4.1 Computadores versus pessoas

Em tarefas como expandir ((x + 2y) ^ {50} ), os computadores são muito mais rápidos do que as pessoas. Em tarefas como reconhecer rostos ou cheiros, até mesmo crianças pequenas são muito mais rápidas do que os computadores atuais. Como você explica esses contrastes?

Problema 4.2 Evidências linguísticas para a importância da percepção

Em sua (s) língua (s) favorita (s), pense nos muitos sinônimos sensoriais para compreensão (por exemplo, agarrar).

Adicionando números ímpares

Para ilustrar o valor das imagens, vamos encontrar a soma dos primeiros (n ) números ímpares (também o assunto do Problema 2.25):

[S_ {n} = underbrace {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).} _ {N text {termos}} label {4.1} ]

Casos fáceis como (n ) = 1, 2 ou 3 levam à conjectura de que (S_ {n} = n ^ {2} ). Mas como pode a conjectura ser provada? O método simbólico padrão é a prova por indução:

1. Verifique se (S_ {n} ) = (n ^ {2} ) para o caso base (n = 1 ). Nesse caso, (S_ {1} ) é 1, como é (n_ {2} ), então o caso base é verificado.

2. Faça o hipótese de indução: Suponha que (S_ {m} ) = (m ^ {2} ) para m menor ou igual a um valor máximo n. Para esta prova, a seguinte hipótese de indução mais fraca é suficiente:

[ sum_ {1} ^ {n} (2k - 1) = n ^ {2} rótulo {4.2} ]

Em outras palavras, assumimos o teorema apenas no caso em que (m = n ).

3. Execute o etapa de indução: Use a hipótese de indução para mostrar que (S_ {n + 1} ) = (n + 1) (^ {2} ). A soma (S_ {n + 1} ) se divide em duas partes:

[S_ {n + 1} = sum_ {1} ^ {n + 1} (2 k-1) = (2 n + 1) + sum_ {1} ^ {n} (2 k-1) etiqueta {4.3} ]

Graças à hipótese de indução, a soma à direita é (n ^ {2} ). Desse modo

[S_ {n + 1} = (2n + 1) + n ^ {2}, label {4.4} ]

que é ((n + 1) ^ {2} ); e o teorema está provado.

Embora essas etapas provem o teorema, Por quê a soma (S_ {n} ) termina como (n ^ {2} ) ainda parece elusiva.

Essa falta de compreensão do tipo de percepção gestáltica descrita por Wertheimer [48] requer uma prova pictórica. Comece desenhando cada número ímpar como uma peça de quebra-cabeça em forma de L:

[ label {4.5} ]

Pergunta

Como essas peças se encaixam?

Em seguida, calcule (S_ {n} ) encaixando as peças do quebra-cabeça da seguinte maneira:

[etiqueta {4.6} ]

Cada número ímpar sucessivo de cada peça estende o quadrado em 1 unidade de altura e largura, então os termos (n ) constroem um quadrado (n vezes n ). [Ou é um quadrado ((n - 1) times (n - 1) )?] Portanto, a soma deles é (n ^ {2} ). Depois de compreender esta prova pictórica, você não pode esquecer porque somar os primeiros n números ímpares produz (n ^ {2} ).

Múltiplos problemas

Problema 4.3 Números triangulares

Desenhe uma imagem ou imagens para mostrar isso

[1 + 2 + 3 + ··· + n + ··· + 3 + 2 + 1 = n ^ {2}. label {4.7} ]

Então mostre isso

[1 + 2 + 3 + ··· + n = frac {n (n + 1)} {2}. Label {4.8} ]

Problema 4.4 Três dimensões

Faça um desenho para mostrar que

[ sum_ {0} ^ {n} (3k ^ {2} + 3k + 1) = (n + 1) ^ {3}. label {4.9} ]

Dê explicações pictóricas para o 1 na soma (3k ^ {2} + 3k + 1 ); para o 3 e o (k ^ {2} ) em (3k ^ {2} ); e para o 3 e o k em 3k.


Números ímpares e pares e # 8211 explicação e exemplos de amp

Um número inteiro que pode ser dividido por 2 é um número par, enquanto um número inteiro que não pode ser dividido por 2 é um número ímpar. Eles podem ser positivos ou negativos. Os números ímpares estão sempre entre os números pares e vice-versa.

Para diferenciar entre os números pares e ímpares, você sempre procura o dígito final. O último dígito de um número par é sempre 0, 2, 4, 6 ou 8, enquanto o último dígito de um número ímpar é sempre 1, 3, 5, 7 ou 9.


Exemplos de resolução da soma de números inteiros ímpares consecutivos

Exemplo 1: Encontre os três inteiros ímpares consecutivos cuja soma seja 45.

Resolveremos este problema de palavras usando 2k + 1, que é uma das formas gerais de um inteiro ímpar.

Seja 2k + 1 o primeiro inteiro ímpar. Como os inteiros ímpares também estão separados por 2 unidades, o segundo inteiro ímpar consecutivo será 2 a mais que o primeiro. Portanto, left (<2k + 1> right) + left (2 right) = 2k + 3 onde 2k + 3 é o segundo inteiro ímpar consecutivo. O terceiro o inteiro ímpar será então left (<2k + 3> right) + left (2 right) = 2k + 5.

A soma de nossos três inteiros ímpares consecutivos é 45, então nossa configuração de equação será:

Agora que temos nossa equação, vamos prosseguir e resolver para k.

Neste ponto, temos o valor de k. No entanto, observe que k NÃO é o primeiro inteiro ímpar. Se você revisar a equação acima, o primeiro inteiro ímpar consecutivo é 2k + 1. Portanto, em vez disso, usaremos o valor de k para encontrar o primeiro inteiro ímpar consecutivo. Portanto,

Usaremos o valor de k novamente para determinar quais são o segundo e o terceiro números inteiros ímpares.

Por fim, vamos verificar se a soma dos três inteiros ímpares consecutivos é de fato 45.

Resposta final (Método 1): Os três inteiros ímpares consecutivos são 13, 15 e 17, que quando somados resultam em 45.

Desta vez, resolveremos o problema da palavra usando 2k-1, que também é uma das formas gerais de um inteiro ímpar.

Seja 2k-1 o primeiro inteiro ímpar consecutivo. Conforme discutido no Método 1, os inteiros ímpares também estão separados por 2 unidades. Assim, podemos representar nosso segundo inteiro ímpar consecutivo como left (<2k - 1> right) + left (2 right) = 2k + 1 e o terceiro inteiro ímpar consecutivo como left (<2k + 1> right) + left (2 right) = 2k + 3.

Agora que sabemos como representar cada inteiro ímpar consecutivo, simplesmente temos que traduzir & # 8220três inteiros ímpares consecutivos cuja soma é <45> e # 8221 em uma equação.

Vamos agora usar o valor de k, que é k = 7, para determinar os três inteiros consecutivos

A última etapa que devemos fazer é verificar se a soma de 13, 15 e 17 é de fato 45.

Resposta final (Método 2): Os três inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 45 são 13, 15 e 17.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA: Então, o que aprendemos ao resolver esse problema usando 2k-1 e 2k + 1? Bem, para começar, pudemos ver que, quer usássemos 2k-1 ou 2k + 1, ainda temos o mesmos três inteiros ímpares consecutivos 13, 15 e 17, cuja soma é 45, portanto, satisfazendo os fatos dados em nosso problema original. Portanto, está claro que não importa a forma geral de números inteiros ímpares que usamos. Quer seja & # 8217s 2k-1 ou 2k + 1, ainda assim chegaremos à mesma solução ou resposta final.

Exemplo 2: A soma de quatro inteiros ímpares consecutivos é 160. Encontre os inteiros.

Antes de começarmos a resolver esse problema, vamos determinar os fatos importantes que nos são fornecidos.

  • Os inteiros são ímpares e consecutivos
  • A soma dos inteiros consecutivos é 160, o que também implica que precisamos adicionar os inteiros
  • Os inteiros diferem por <2> unidades
  • Cada número inteiro é <2> mais do que o número anterior

Com esses fatos em mente, agora podemos representar nossos quatro inteiros ímpares consecutivos. Mas embora possamos usar qualquer uma das duas formas gerais de números inteiros ímpares, ou seja, 2k-1 ou 2k + 1, usaremos apenas 2k + 1 para representar nosso primeiro inteiro ímpar consecutivo neste problema.

Sejam <2k + 1>, <2k + 3>, <2k + 5> e <2k + 7> os quatro inteiros ímpares consecutivos.

Continue escrevendo a equação e resolva para k.

Tudo bem, então obtivemos k = 18. Este é nosso primeiro inteiro ímpar? A resposta é não. Novamente, lembre-se de que k NÃO é o primeiro inteiro ímpar. Mas, em vez disso, usaremos seu valor para descobrir quais são nossos números inteiros ímpares consecutivos.

O que nos resta fazer é verificar se <160> é realmente a soma dos inteiros ímpares consecutivos <37>, <39>, <41> e <43>.

Exemplo 3: Encontre os três inteiros ímpares consecutivos cuja soma seja -321.

  • Precisamos ADICIONAR três inteiros consecutivos
  • Como os inteiros são ímpares, eles estão separados por <2> unidades
  • A soma dos três inteiros ímpares consecutivos deve ser
  • A sequência de inteiros ímpares provavelmente envolverá inteiros negativos

Representa os três inteiros ímpares consecutivos. Para este problema, usaremos a forma geral 2k-1 para representar nosso primeiro inteiro ímpar consecutivo. E uma vez que os inteiros ímpares estão separados por 2 unidades, temos 2k + 1 como nosso segundo e 2k + 3 como nosso terceiro inteiro consecutivo.

Em seguida, traduza & # 8220três inteiros ímpares consecutivos cuja soma é <-321> & # 8221 em uma equação e resolva para k.

Pegue o valor de k que é -54 e use-o para identificar os três inteiros ímpares consecutivos.

Finalmente, verifique se quando os três inteiros ímpares consecutivos <-109>, <-107> e <-105> são adicionados, a soma é -321.


Permutação ímpar é um conjunto de permutações obtido a partir de um número ímpar de trocas de dois elementos em um conjunto. É denotado por um sumbol de permutação -1. Para um conjunto de n números onde n> 2, há $ < frac <2>> $ permutações possíveis. Por exemplo, para n = 1, 2, 3, 4, 5,. as permutações ímpares possíveis são 0, 1, 3, 12, 60 e assim por diante.

Calcule a permutação ímpar para o seguinte conjunto: <1,2,3,4>.

Aqui n = 4, portanto, não total. de permutação ímpar possíveis são $ < frac <4!> <2> = frac <24> <2> = 12> $. A seguir estão as etapas para gerar permutações ímpares.

Passo 1:

Troque dois números uma vez. A seguir estão as permutações que podem ser obtidas:

Passo 2:

Troque dois números três vezes. A seguir estão as permutações que podem ser obtidas:


Problemas consecutivos de números inteiros ímpares

Nessas lições, aprenderemos como resolver problemas consecutivos de números inteiros ímpares.

Inteiros consecutivos

Inteiros consecutivos são inteiros que seguem em sequência, cada número sendo 1 a mais que o número anterior, representado por n, n +1, n + 2, n + 3,. onde n é qualquer número inteiro. Por exemplo: 23, 24, 25 e hellip

Se começarmos com um número par e cada número na sequência for 2 a mais que o número anterior, obteremos inteiros pares consecutivos. Por exemplo: 16,18, 20 e hellip

Se começarmos com um número ímpar e cada número na sequência for 2 a mais que o número anterior, obteremos inteiros ímpares consecutivos. Por exemplo: 33, 35, 37 e hellip

A seguir estão alguns exemplos de problemas consecutivos de números inteiros ímpares. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções em inteiros ímpares consecutivos.

Exemplo: Número inteiro ímpar consecutivo

Os comprimentos dos lados de um triângulo são números ímpares consecutivos. Qual é o comprimento do lado mais longo se o perímetro é 45?

Passo 1: Sendo números ímpares consecutivos, precisamos adicionar 2 ao número anterior.

Seja x = comprimento do lado mais curto
x + 2 = comprimento do lado médio
x + 4 = comprimento do lado mais comprido

Etapa 2: Escreva a fórmula para o perímetro do triângulo.

P = soma dos três lados

Etapa 3: insira os valores da pergunta e do esboço.

45 = x + x + 2 + x + 4 Combinar termos semelhantes 45 = 3x + 6 Isolar variável x 3x = 45 & ndash 6
3x = 39
x = 13

Tome cuidado! A questão requer o comprimento do lado mais longo.

O comprimento do mais longo = 13 + 4 = 17

Resposta: O comprimento do lado mais longo é 17

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Raízes quadradas

A palavra para raiz quadrada é escrita com um sinal que representa um canto ou, mais provavelmente, um ângulo reto. O nome era Kenbet em egípcio. A ideia subjacente pode muito bem ser que um ângulo reto com braços iguais é a raiz (em certo sentido) da área quadrada. Ou seja, um ângulo reto com braços iguais medindo 3 unidades daria uma área total de 9, de modo que o lado medindo 3 representa a raiz quadrada da área que mede 9. (Parafraseado de Gunn e Peet via Clagett.)

Várias fontes antigas mencionam raízes quadradas & # 911 & # 93. O Papiro Matemático de Moscou usa o fato de que a raiz quadrada de 16 é 4 duas vezes e o fato de que a raiz quadrada de 100 é 10 uma vez. O Papiro de Berlim 6619, que data aproximadamente do mesmo período que o Papiro de Moscou, usa o fato de que a raiz quadrada de 100 é 10. O Papiro de Berlim também tem duas raízes muito mais sofisticadas:
A raiz quadrada de 1 + 1/2 + 1/16 (= 25/16) é 1 + 1/4 (= 5/4)
A raiz quadrada de 6 + 1/4 é 2 1/2

Não se sabe como essas raízes quadradas foram calculadas. Os resultados são usados ​​nos problemas, mas nenhuma justificativa é fornecida. É possível (provável?) Que os egípcios tivessem tabelas de raízes quadradas que poderiam consultar para resolver problemas. Infelizmente, nenhuma mesa desse tipo foi encontrada.


Soma com n dos números naturais usando diferenças

Podemos encontrar a fórmula para um conjunto de números usando diferenças.
Por exemplo, a tabela a seguir mostra a soma de alguns números naturais, mas também usamos zero, por conveniência:

n 0 1 2 3 4 5
Sn 0 1 3 6 10 15
Δ1
1 2 3 4 5
Δ2

1 1 1 1
Sn é a soma dos números para n.

Porque descobrimos que & # 9162 produz valores constantes, assumimos que a fórmula para a soma dos números naturais é quadrática, da forma an 2 + bn + c.

Usando nossos valores, substituímos 0, 1 e 3 na Equação:

n Equação Número da Equação
0 c = 0 1
1 a + b = 1 2
2 4a + 2b = 3 3

Nas Equações 2 e 3, notamos que c = 0.
Subtraindo duas vezes a Equação 2 da Equação 3, obtemos:
2a = 1,
Então
a = 1/2
Substituindo o valor de a na Equação 2, descobrimos que b também é 1/2,
Portanto, a soma dos primeiros n números naturais, Sn,

[Como uma palavra sábia, o valor constante na tabela acima é sempre (n!) A, portanto, no exemplo, a = 1/2! Ou 1/2. A soma dos coeficientes da soma das potências dos números naturais é sempre 1.]

Soma dos números naturais usando soma

Neste esquema, primeiro caímos de cara no chão. Observamos a relação:

Ou seja, a soma de n números naturais é a soma de n + 1 números naturais menos (n + 1).
Expandindo o termo para (k + 1), obtemos:

Podemos tentar outra abordagem e procurar a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais, esperando que essa soma desapareça.

Segunda tentativa com soma

Começando novamente, notamos que a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais é a soma dos primeiros (n + 1), menos (n + 1) 2.

Expandindo (n + 1) 2 e arredondando termos semelhantes:

O que nos dá a soma dos primeiros n números naturais:

O gráfico a seguir é de y = x, e os retângulos representam os números naturais 1, 2, 3, 4:

A área do gráfico triangular, se a considerarmos como representando n números, é:
n 2/2
Portanto, a soma para n termos é, aproximadamente:

Se pegarmos En ser o erro na aproximação de n termos:

Olhando para o gráfico, o erro em cada número é 1/2, então o erro na soma dos primeiros n números, En, é n / 2.
Então:

Segunda abordagem com erros

Como não podemos descobrir o erro tão facilmente todas as vezes, tentamos outra abordagem:
[3.1]
E o erro em Sn-1:
[3.2]
Observando a diferença entre as duas somas, em preparação para subtrair 3,2 de 3,1:

[3.3]
Subtraindo 3.2 de 3.1, levando em consideração 3.3:

[3.4]
Simplificando e reorganizando:
[3.5]
Normalmente, isso seria o início das coisas, mas, neste caso, o erro é simplesmente um número, independente do valor n real, então é o mesmo para todos os n, e o erro é n / 2, como encontramos acima de.

Usando cálculo infinito para encontrar a soma dos primeiros n números naturais

Essa abordagem é semelhante à anterior, mas apresenta uma abordagem diferente que pode ser usada com outras somas de números naturais.

No gráfico abaixo, temos os primeiros números naturais mostrados como retângulos no gráfico y = x.

A área sob o gráfico se aproxima da soma dos números naturais, então:
[3.21]
Com En como o erro em Sn:
[3.22]
Cada um de nossos retângulos no gráfico tem uma área k & # 87291, então nosso erro é k menos a área sob o gráfico entre (x = k-1 e x = k):
[3.23]
Trabalhando na integral, obtemos:
[3.24]
Substituindo o integral em 3.23:
[3.25]
Simplificando a soma, somando-a:

Portanto, substituindo nosso valor por En em 3,22 obtemos:

O que não é nenhuma surpresa!

Somando os primeiros n números naturais encontrando um termo geral

Aqui, desvendamos o lado direito e esperamos encontrar uma fórmula.
Notamos a diferença entre a soma dos primeiros n números naturais e a soma de (n-1) é n

A ideia é que olhemos para os termos Sn-Sn-2, et c, e anote as diferenças conhecidas, esperando que um padrão apareça e possamos escrever Sn-k, e então escrever o enésimo termo, do qual podemos extrair uma fórmula.

Um padrão se torna claro. Portanto, podemos escrever um termo geral, o k-ésimo termo:

[3.3.1]
Observamos que o termo "n" é sempre kn, e o outro termo é uma soma dos números naturais.

Agora podemos fazer k = n, e assim obter nosso enésimo termo, observando S0=0
[3.3.2]
A soma acima é um n abaixo de Sn:
[3.3.3]
Substituindo 3.3.3 em 3.3.2:

Somando os primeiros n números naturais usando a teoria dos números

Na verdade, esse método leva a uma nova fórmula para a soma dos primeiros n números naturais.

De acordo com a teoria dos números, podemos representar os números de uma destas quatro maneiras:
[4.1]
Onde 4m ± 1 representa claramente os números ímpares.

Tentamos formar uma expressão para os quadrados dos números ímpares elevando ao quadrado 4m ± 1,
[4.2]

Fatorando parte de 4.1:
[4.3]

Se formarmos esta expressão
[4.4]

Podemos escrever o quadrado de qualquer número ímpar como:
[4.5]
Podemos escrever um número ímpar como (2n-1), onde n é um número natural.

n2n-1 (2n-1) 2 8x q +1 8q + 1
11 1 8x 0 +1 1
23 9 8x 1 +1 9
35 25 8x 3 +1 25
47 49 8x 6 +1 49
59 81 8x 10 +1 81
611 121 8x 15 +1 121
713 169 8x 21 +1 169
815 225 8x 28 +1 225
917 289 8x 36 +1 289
1019 361 8x 45 +1 361

Notamos que podemos encontrar um valor q para cada um dos números, de modo que 8q + 1 é igual ao quadrado do número ímpar.

É possível que esses qs pareçam familiares de alguma forma. Depois de um curto ou longo tempo, pensando sobre isso, podemos perceber que os q's são a soma dos números naturais.

Substituindo (2n-1) 2 pelo número ímpar ao quadrado e 4,6 em 4,5 obtemos:
[4.7]

Reorganizando e expandindo o quadrado:
[4.8]

Adicionando termos semelhantes e dividindo por 8, obtemos

E adicionando n a ambos os lados:
[4.10]

Há um problema, que trataremos na próxima seção: Como pode o seguinte:
[4.4, repetido]

ser igual, de alguma forma, à soma dos primeiros números naturais?

Nova Fórmula para a Soma dos Números Naturais

Observamos que de alguma forma (2m 2 ± m) e (n 2/2 + n / 2) fornecem resultados semelhantes em algumas circunstâncias. Como não consigo ver nenhuma relação clara, faço uma tabela:

n (n 2 + n) / 2 m +/- 2m 2 +/- m
0 0 0
0
1 1 1 - 1
2 3 1 + 3
3 6 2 - 6
4 10 2 + 10
5 15 3 - 15

Naturalmente, os sinais de menos se alternam e os valores m ocorrem duas vezes para cada valor. Além disso, não vejo nada, exceto. parece que preciso relacionar os valores n aos valores m.

Claro, eu faço outra tabela:

n 0 1 2 3 4 5
m 0 1 1 2 2 3
m-n 0 0 1 1 2 2







n 6 7 8 9 10 11
m 3 4 4 5 5 6
m-n 3 3 4 4 5 5

(O comprimento da tabela indica que não vi nada rapidamente).

No entanto, a seguinte relação vem à mente: m = ceil (n / 2)
[5.1]

Substituindo isso em 2m 2 ± m, de 4,4, dá:
[5.2]

Se n for par, ceil (n / 2) = n / 2, e o segundo termo será positivo, fornecendo nossa fórmula normal.

Substituindo isso em 5.2, obtemos:

que simplifica a nossa equação normal para a soma dos números naturais.

Claro, eu prefiro nossa velha fórmula!

Aplicação - Soma de números ímpares

A fórmula da soma dos números naturais pode ser usada para resolver outros problemas.

A soma dos primeiros n números naturais ímpares é (2k-1 representa qualquer número ímpar):
[6.1]

Podemos expandir o lado esquerdo:
[6.2]

E use nossa fórmula para a soma dos números naturais:
[6.3]

Arredondando para cima os termos semelhantes, a soma dos primeiros n números naturais ímpares é:
[6.4]

Aplicação - Soma de números pares

Os primeiros números pares são (2k é sempre par e representa qualquer número par): [7.3]

Expandindo o lado esquerdo:
[7.4]

Aplicando nossa fórmula para a soma dos primeiros n números naturais:
[7.5]

A soma dos primeiros n números pares é maior do que a soma dos primeiros n números ímpares, porque o primeiro número par (2) é maior que o primeiro número ímpar (1) e esse padrão continua (4 é maior que 3). Claramente, é sempre maior em n.

A soma dos ímpares é maior que a soma dos números naturais, pois, após 1, os ímpares são maiores que o número natural correspondente (3 é maior que 2 e 5 é maior que 3).

Aplicação - Soma de Parte da Série de Números Naturais

A soma de parte de uma série de n1 tonelada2 é:
[7.5]
A soma de parte da série de números naturais de n1 tonelada2 é a soma de 1 a n2-1 menos a soma de 1 para n2.
[7.6]

Substituindo a fórmula pelos primeiros n números naturais em 7,6, obtemos:
[7.7]

A fatoração nos dá a fórmula para a série de números naturais de n1 tonelada2:


Somando Números Consecutivos

Swaathi, da Garden International School, começou listando os números até 15 e tentando representá-los como somas de números consecutivos:

2
3 = 1+2
4
5 = 2+3
6 = 1+2+3
7 = 3+4
8
9 = 4+5 = 2+3+4
10 = 1+2+3+4
11 = 5+6
12 = 3+4+5
13 = 6+7
14 = 2+3+4+5
15 = 7+8 = 4+5+6 = 1+2+3+4+5

Não podemos escrever todos os números como a soma de números consecutivos - por exemplo, 2, 4 e 8 não podem ser escritos como somas de números consecutivos. Acima, 9 e 15 foram os únicos números que encontrei que podiam ser escritos de mais de uma maneira.

Muitas pessoas perceberam o padrão de que todos os números ímpares (exceto 1) poderiam ser escritos como a soma de dois números consecutivos. Por exemplo, Matilda e Tamaris escreveram:

Se você adicionar dois números consecutivos, a soma será um número ímpar, por exemplo,
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
5+6=11
6+7=13
e assim por diante.

Parabéns aos alunos da Escola Primária de Kenmont que perceberam isso e explicaram que Ímpar mais um Par é sempre Ímpar.

Alguns identificaram um padrão semelhante para múltiplos de 3. Julia e Lizzie disseram:

Se você adicionar quaisquer 3 números consecutivos, ele sempre será igual a um múltiplo de 3, por exemplo,
1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=12
4+5+6=15
5+6+7=18

Continuando com os padrões, a equipe do programa de extensão de matemática da série 5/6 da Lumen Christi nos enviou:

Descobrimos que a soma de quatro números consecutivos nos dava a sequência numérica 10, 14, 18, 22, 26, 30 e assim por diante. Eram todos números pares que tinham um número ímpar como metade do total.
1+2+3+4=10
2+3+4+5=14
3+4+5+6=18.

Heather, da Wallington High School for Girls, explicou este padrão:
10 - 1+2+3+4
14 - 2+3+4+5
18 - 3+4+5+6
22 - 4+5+6+7
Em todas as colunas, cada local adiciona 1 a cada vez, portanto, no total, você adiciona 4 a cada vez.

Os números múltiplos de 5, começando com 15, são somas de 5 números consecutivos:
1+2+3+4+5=15
2+3+4+5+6=20
3+4+5+6+7=25.

Fergus e Sami notaram um padrão semelhante:

Se você permitir números negativos, poderá encontrar facilmente uma soma para qualquer múltiplo de 7. Cada vez que você adiciona um número de cada lado da soma, sua soma aumenta em 7, por exemplo,
3+4=7
2+3+4+5=14
1+2+3+4+5+6=21
0+1+2+3+4+5+6+7=28
-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8=35.

Excelente! (Existe uma maneira de fazer esse padrão funcionar mesmo sem usar números negativos - você consegue identificá-lo?) Por que todos esses padrões estão surgindo?

Becky identificou um tipo diferente de padrão:

Descobrimos que potências de 2 (2, 4, 8, 16) nunca podem ser feitas somando números consecutivos.

A equipe da Lumen Christi oferece uma maneira de construir muitos múltiplos de números ímpares:

Calculamos que, se você dividir um múltiplo de 3 por 3 e chamar a resposta n, seu número original será a soma de (n-1), n ​​e (n + 1).

Então descobrimos que os múltiplos de 5 podem ser escritos como 5 números consecutivos. É a mesma regra para 3 números consecutivos. Pegue um número e divida-o por 5, chame-o de n, e então seu número é a soma de (n-2), (n-1), n, (n + 1) e (n + 2).

Em seguida, fizemos uma conjectura de que, como é verdadeiro para 3 e 5, também funcionaria para 7, 9 e qualquer outro número ímpar. Nós testamos e funcionou. Por exemplo, 63 é um múltiplo de 7 e 9:

7 números: 6 + 7 + 8 +9+10+11+12=63
(63/7 = 9)
9 números: 3 + 4 + 5 + 6 +7+8+9+10+11=63
(63/9 = 7)

Como poderíamos levar esta investigação adiante? Arthur perguntou:

Existem outros padrões?
Podemos explorar mais os poderes de dois?
Existe uma boa maneira de escrever certos números (por exemplo, todos os outros números pares) como uma soma de números consecutivos?

Em vez de somar, você pode multiplicar os números consecutivos e ver quais padrões aparecem. Você também pode adicionar apenas números pares consecutivos ou apenas números ímpares consecutivos. Todas essas coisas podem ter algo em comum, ou pode haver um padrão entre elas, ou nada, talvez?

A regra de que os poderes de dois nunca podem se tornar sempre verdadeiros? Todos os números, exceto as potências de dois, podem ser feitos?

A propósito, Abhi nos enviou uma bela prova algébrica de que potências de 2 nunca podem ser feitas:

Caso 1: podemos fazer $ 2 ^ n $ a partir de um número ímpar de números consecutivos?

Um número ímpar de números consecutivos tem um número inteiro como média. Essa média é sempre o número do meio. Então, isso significa que a soma dos números será:

Soma = média $ vezes $ número de números consecutivos.
= número inteiro $ vezes $ número ímpar

Isso significa que a soma tem um número ímpar como fator. Mas $ 2 ^ n $ não pode ter um número ímpar como fator. Isso prova que um número ímpar de números consecutivos não pode somar para fazer $ 2 ^ n $.

Caso 2: podemos fazer $ 2 ^ n $ a partir de um número par de números consecutivos?

Um número par de números consecutivos não terá um número inteiro como média. A média será a média dos dois números do meio. Então:

Soma = (soma de dois números do meio) $ times frac <1> <2> vezes $ número de números consecutivos
= (soma de dois números consecutivos) $ times $ ($ frac <1> <2> vezes $ número par)
= (soma de dois números consecutivos) $ vezes $ número inteiro

Mas se você adicionar dois números consecutivos, a resposta será sempre um número ímpar. Portanto, uma soma como essa deve ter um número ímpar como fator novamente - mas $ 2 ^ n $ não. Isso prova que um número par de números consecutivos não pode somar para fazer $ 2 ^ n $.


Do 7º ao 8º ano

Pergunta: Como cada número abaixo é diferente de cada um dos outros?

Liste as razões dos alunos conforme eles oferecem, incentivando-os a incorporar vocabulário matemático em seus motivos, como divisor, fator, e divisível por. Discuta os significados dos termos matemáticos que eles usam e as relações entre eles. Por exemplo, suponha que um aluno diga: “O número quatorze é o único número que não tem nove como fator” e outro aluno diz: “O número quatorze não pertence porque é o único número que não é divisível por nove . ” Use essas duas declarações para discutir a relação entre os termos fator e divisível por.

Essa pergunta pode ser feita para qualquer conjunto de quatro números. Como extensão, peça aos alunos que escolham quatro números para serem considerados pelos outros. Em seguida, peça-lhes que listem todas as diferenças entre os números. Use seus conjuntos de números para discussões subsequentes em classe. Finalmente, peça ao aluno que sugeriu os números que descreva quaisquer diferenças que a turma não encontrou.

Pergunta: Os alunos da classe do Sr. Mila querem saber quantos anos ele tem. O Sr. Mila disse a eles: “Minha idade pode ser escrita como a soma de números ímpares consecutivos começando de um”. Quantos anos deve ter o Sr. Mila?

Adicionar números ímpares consecutivos produz as somas de 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e assim por diante. Destes, apenas algumas são previsões razoáveis ​​para a idade do Sr. Mila - 25, 36, 49 e 64. Todas essas somas, no entanto, são números quadrados. Usando ladrilhos quadrados de cores diferentes ou pintando em papel quadrado, represente os números quadrados como quadrados para ajudar os alunos a ver que eles podem ser representados como a soma de números ímpares. Comece com um ladrilho ou quadrado colorido. Em seguida, em uma cor diferente, adicione três quadrados ao redor para criar um quadrado de 2 por 2, a seguir cinco quadrados para criar um quadrado de 3 por 3 e assim por diante.

Converse com os alunos sobre como estender esse padrão.

Pergunta: Quatro alunos da aula de matemática da Sra. Burge comparavam os números dos armários. Eles fizeram as seguintes observações:

Nossos quatro números de armários são relativamente primos um do outro.

Exatamente dois dos nossos números de armários são primos.

Quais podem ser os números dos armários dos alunos?

Discuta os termos primos e relativamente nobre e a distinção entre eles. Em seguida, peça aos alunos que trabalhem para responder à pergunta. Poste as respostas dos alunos e, para cada uma, faça com que a classe verifique se os números atendem aos critérios dados. Finalmente, peça aos alunos que escrevam suas próprias definições de melhor e relativamente nobre. Peça-lhes que compartilhem suas ideias, primeiro em pares e depois com toda a classe.

Pergunta: Para o dever de casa, Kim Lee estava praticando a adição de inteiros. Ele olhou para um problema e disse: “Eu sei que a soma será negativa”. Com base na declaração de Kim Lee, o que você sabe sobre o problema?

Esta questão visa ajudar os alunos a generalizar sobre a relação entre o sinal da soma e os números em um problema de adição de inteiros. Os alunos podem precisar fazer uma lista de problemas de adição de inteiros cujas somas são negativas e procurar pontos em comum entre eles para responder a essa pergunta.


Números pares ou ímpares de círculos (números 1 a 10) (A)

Professores pode usar planilhas de matemática como teste, tarefas práticas ou ferramentas de ensino (por exemplo, em trabalho de grupo, para andaimes ou em um centro de aprendizagem). Pais pode trabalhar com seus filhos para lhes dar prática extra, para ajudá-los a aprender uma nova habilidade matemática ou para manter suas habilidades frescas durante os feriados escolares. Student s pode usar planilhas de matemática para dominar uma habilidade matemática por meio da prática, em um grupo de estudo ou para tutoria entre pares.

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Assista o vídeo: Livro Apis - Matemática- 3 ano - Números Pares e Números Impares. (Dezembro 2021).