Artigos

13.4E: Séries e suas notações (exercícios) - Matemática


21. Use a notação de soma para escrever a soma dos termos ( frac {1} {2} m + 5 ) de (m = 0 ) a (m = 5 ).

22. Use a notação de soma para escrever a soma que resulta da adição do número 13 vinte vezes.

23. Use a fórmula para a soma dos primeiros (n ) termos de uma série aritmética para encontrar a soma dos primeiros onze termos da série aritmética (2,5,4,5,5, ldots )

24. Uma escada tem 15 degraus cônicos, cujos comprimentos aumentam em uma diferença comum. O primeiro degrau tem 5 polegadas de comprimento e o último degrau tem 50 centímetros de comprimento. Qual é a soma dos comprimentos dos degraus?

25. Use a fórmula para a soma dos primeiros (n ) termos de uma série geométrica para encontrar (S_ {9} ) para a série (12,6,3, frac {3} {2} , ldots )

26. As taxas para os primeiros três anos de associação a um clube de caça são apresentadas na Tabela 1. Se as taxas continuarem a aumentar na mesma taxa, quanto será o custo total para os primeiros dez anos de associação?

tabela 1
AnoTaxas de associação
1$1500
2$1950
3$2535

27. Encontre a soma das séries geométricas infinitas ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 45 cdot left (- frac {1} {3} right) ^ {k-1} ) .

28. Uma bola tem uma relação de retorno de ( frac {3} {5} ) a altura do salto anterior. Escreva uma série que represente a distância total percorrida pela bola, supondo que ela foi inicialmente largada de uma altura de 5 pés. Qual é a distância total? (Dica: a distância total que a bola percorre em cada salto é a soma das alturas da subida e da queda.).
29. Alejandro deposita ( $ 80 ) de seus ganhos mensais em uma anuidade que rende (6,25 \% ) juros anuais, compostos mensalmente. Quanto dinheiro ele economizou após 5 anos?

30. Os gêmeos Sarah e Scott abriram contas de aposentadoria em seu (21 ^ { text {st}} ) aniversário. Sarah deposita ( $ 4.800,00 ) a cada ano, ganhando (5,5 \% ) juros anuais, compostos mensalmente. A Scott deposita ( $ 3.600,00 ) a cada ano, ganhando (8,5 \% ) juros anuais, compostos mensalmente. Qual gêmeo receberá mais juros aos 55 anos? Quanto mais?


Planilhas de conversão do sistema numérico

Da robótica à defesa e aos computadores, a conversão de um sistema numérico para outro nunca desaparece totalmente do discurso. Aperfeiçoe a arte de converter entre os sistemas numéricos binário, octal, decimal e hexadecimal com esta variedade de planilhas de conversão do sistema numérico para impressão! Com muitos problemas de conversão padrão e MCQs para embelezar sua prática, essas planilhas em PDF sobre a conversão de base são exatamente o que leva os alunos do ensino médio para reverter sua sorte de conversão. Acesse algumas dessas planilhas gratuitamente!


Métodos matemáticos para físicos: um guia abrangente

Agora em sua 7ª edição, Métodos matemáticos para físicos continua a fornecer todos os métodos matemáticos que aspirantes a cientistas e engenheiros provavelmente encontrarão como estudantes e pesquisadores iniciantes. Este texto best-seller fornece relações matemáticas e suas provas essenciais para o estudo da física e campos relacionados. Embora mantendo os recursos principais da 6ª edição, a nova edição fornece um equilíbrio mais cuidadoso de explicação, teoria e exemplos. Tendo uma abordagem de habilidades de resolução de problemas para incorporar teoremas com aplicativos, o foco aprimorado do livro ajudará os alunos a ter sucesso ao longo de suas carreiras acadêmicas e bem em suas profissões. Algumas melhorias notáveis ​​incluem conteúdo mais refinado e focado em tópicos importantes, organização aprimorada, notações atualizadas, explicações extensas e conjuntos de exercícios intuitivos, uma gama mais ampla de soluções de problemas, melhoria na colocação e uma gama mais ampla de dificuldade de exercícios.


Definir notação

Nessas lições, aprenderemos o conceito de um conjunto, métodos para definir conjuntos, notações de conjunto, conjunto vazio, símbolos para 'é um elemento de', subconjunto, interseção e união. Essas lições fazem parte de uma série de Lições em conjuntos.

A tabela a seguir fornece um resumo do uso de símbolos em conjuntos.

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos.

Os objetos individuais em um conjunto são chamados de membros ou elementos do conjunto.

Algumas notações para conjuntos são:
<1, 2, 3> = conjunto de inteiros maiores que 0 e menores que 4 =

Também temos o conjunto vazio denotado por <> ou Ø, o que significa que o conjunto não possui elementos.

Podemos ter conjuntos infinitos, por exemplo <1, 2, 3, & hellip>, o que significa que o conjunto tem um número infinito de elementos.

Temos um símbolo que mostra a adesão. Relacionamos um membro e um conjunto usando o símbolo ∈. Se um objeto x é um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A. Se um objeto z não é um elemento do conjunto A, escrevemos z ∉ A.

∈ denota "é um elemento de 'ou" é um membro de "ou" pertence a "

∉ denota “não é um elemento de” ou “não é membro de” ou “não pertence a”

Exemplo:
Se A = <1, 3, 5> então 1 ∈ A e 2 ∉ A

Vídeos

Este vídeo apresenta o conceito de conjunto e vários métodos para definir conjuntos.

Notação (ões) de conjunto: Uma discussão sobre notação de conjunto: listas, descrições e notação de construtor de conjunto.

O vídeo a seguir descreve: Set Notations, Empty Set, Symbols for “é um elemento de 'subconjunto, interseção e união.

Set Notation: Roster Method, Set Builder Notation.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

Agradecemos seus comentários, comentários e perguntas sobre este site ou página. Envie seus comentários ou perguntas por meio de nossa página de comentários.


Exercícios de Análise

Os Exercícios de Análise serão publicados em dois volumes. Este primeiro volume cobre problemas em cinco tópicos principais de análise matemática: medida de espaços topológicos de espaços métricos, integração e medida de Martingales e topologia e análise funcional. Cada um dos cinco tópicos corresponde a um capítulo diferente com inclusão da teoria básica e as principais definições e resultados que o acompanham, seguidos de comentários e observações adequados para melhor compreensão do material. São apresentados pelo menos 170 exercícios / problemas para cada tópico, com soluções disponíveis no final de cada capítulo. Toda a coleção de exercícios oferece uma imagem equilibrada e útil para a aplicação que envolve cada tópico.

Esta cobertura quase enciclopédica de exercícios em análise matemática é a primeira de seu tipo e é acessível a um grande número de leitores. Os alunos de pós-graduação acharão a coleção de problemas valiosa na preparação para seus exames preliminares ou de qualificação, bem como para testar sua compreensão mais profunda do material. Os exercícios são indicados por grau de dificuldade. Os instrutores que ministram cursos que incluem um ou todos os tópicos mencionados acima encontrarão os exercícios de grande ajuda na preparação do curso. Pesquisadores em análise podem achar este trabalho útil como um resumo das teorias analíticas publicadas em um volume acessível.

Leszek Gasińksi é o Presidente de Teoria de Otimização e Controle no Instituto de Ciência da Computação da Universidade Jagiellonian em Cracóvia, Polônia. Ele é o co-autor, junto com Nikolaos S. Papageorgiou, de "Nonlinear Analysis" (CRC 2005) e "Nonsmooth Critical Point Theory and Nonlinear Boundary Value Problems" (CRC 2006). Nikolaos S. Papageorgiou é professor de matemática na Escola de Matemática Aplicada e Ciências Físicas da Universidade Técnica Nacional de Atenas, Grécia. Ele é o co-autor, juntamente com Leszek Gasińksi, de "Nonlinear Analysis" (CRC 2005) e "Nonsmooth Critical Point Theory and Nonlinear Boundary Value Problems" (CRC 2006).

“O livro apresenta a maioria dos teoremas padrão em análise real, topologia e análise funcional, bem como uma variedade de problemas com suas soluções. … A apresentação é lúcida e elegante. As notações são padronizadas em todo o texto. … Útil para estudantes de graduação e professores cujos interesses são probabilidade, finanças, teoria da medida, topologia, equações diferenciais parciais e teoria do operador…. Esse livro certamente deve residir em todas as bibliotecas onde residem outros livros de matemática em tópicos semelhantes. ” (Dhruba Adhikari, MAA Reviews, maa.org, dezembro de 2015)

“Os tópicos cobertos levarão quase todos os alunos sérios, desde a matemática de graduação avançada até os exames de qualificação de pós-graduação…. Resumindo: Recomendado. Alunos de graduação e pós-graduação da divisão superior. ” (D. V. Feldman, Choice, Vol. 52 (9), maio de 2015)

“Este volume é uma coleção de problemas interessantes em análise real e análise funcional. É dirigido a estudantes de graduação e pós-graduação avançados, bem como a pesquisadores em análise pura e aplicada. … A coleção inteira de exercícios oferece uma imagem equilibrada e útil para a aplicação que envolve cada tópico. O revisor recomenda fortemente este livro para todas as bibliotecas matemáticas. ” (Vicenţiu D. Rădulescu, zbMATH, Vol. 1298, 2014)


Melhore sua técnica de piano com exercícios Hanon!

Os exercícios de piano Hanon foram meticulosamente construídos para fornecer o nível ideal de prática para pianistas de todos os níveis e habilidades. A série completa de exercícios tem um histórico comprovado de aprimoramento das habilidades técnicas, velocidade e precisão que remonta a mais de um século.

Publicado pela primeira vez em 1873, O Pianista Virtuoso por Charles Louis Hanon tornou-se uma valiosa fonte de inspiração para professores, alunos e intérpretes de piano. Os 60 exercícios originais do Hanon foram agora aperfeiçoados e transpostos para todas as tonalidades principais, oferecendo aos participantes o máximo desempenho de treinamento e prática disponíveis.

Para obter o máximo de benefícios da progressão lógica dos exercícios de Hanon, é recomendável praticar esses exercícios de piano diariamente. Dessa forma, os alunos perceberão rapidamente a diferença à medida que seus dedos se tornam mais fortes e muito mais hábeis em trabalhos e técnicas desafiadoras.

Um elemento-chave dos exercícios de dedo de piano é o foco nas repetições diárias de fortalecimento das mãos e dos dedos. A ideia principal é incutir independência e flexibilidade nos dígitos performáticos, permitindo que o virtuoso interno de cada pianista entre no palco musical.

Por meio da prática focada e concentrada desses exercícios, todos os alunos podem atingir os fundamentos de um desempenho e jogo excelentes.

Com a força, resistência e proficiência geral que os exercícios de dedo de piano podem encorajar, não é surpresa que o trabalho maravilhosamente iluminador de Charles Louis Hanon tenha permanecido um texto primário para todos os pianistas que desejam melhorar sua gama completa de habilidades ao tocar piano.


Análise Real Interativa

Os conjuntos são os blocos de construção mais básicos em matemática e, de fato, não é fácil dar uma definição precisa do conjunto de objetos matemáticos. Uma vez que os conjuntos são introduzidos, no entanto, pode-se compará-los, definir operações semelhantes à adição e multiplicação neles e usá-los para definir novos objetos, como vários tipos de sistemas numéricos. Na verdade, a maioria dos tópicos da análise moderna é basicamente baseada em conjuntos.

Portanto, é bom ter um conhecimento básico dos conjuntos e revisaremos alguns fatos elementares nesta seção. A maior parte, senão toda, desta seção deve ser familiar e seu objetivo principal é definir a notação básica de forma que não haja confusão no restante deste texto.

  • A B: A é um subconjunto de B significa que cada elemento em A também está contido em B.
  • A B: A união B é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B ou em ambos.
  • A B: A intersecção B é o conjunto de todos os elementos que estão nos conjuntos A e B.
  • A B: A menos B são todos os elementos de A que não estão em B.
  • comp (A): O complemento de A consiste em todos os elementos que não estão em A.
  • Dois conjuntos são separados se A B = 0 (o conjunto vazio)
  • Dois conjuntos A e B são iguais se A B e B A

Os conjuntos mais comumente usados ​​são os conjuntos de números naturais, inteiros, números racionais e reais e o conjunto vazio. Eles geralmente são denotados por estes símbolos:

  • N = <1, 2, 3, 4,. > = números naturais (às vezes 0 também é considerado parte dos números naturais)
  • Z = <. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. > = inteiros
  • Q =

    (leia como "todos os números p / q, de modo que p e q são elementos de Z") = números racionais

  • R = números reais
  • 0 = conjunto vazio (o conjunto que não contém elementos)
  • Defina os seguintes conjuntos: E = , O = , A = , B = < x R: -1 & lt x & lt 7>, e I = . Então:
    1. O que, em palavras, são os conjuntos E, O e I?
    2. Encontre A B, A B, A B, comp (A).
    3. Encontre O E, O I, comp (I).

Os conjuntos podem ser combinados usando as operações acima, como adicionar e multiplicar números. Leis familiares, como leis associativas, comutativas e distributivas também serão verdadeiras para conjuntos. Como exemplo, o próximo resultado ilustrará a lei distributiva de outras leis deixadas como exercícios.

Muitos resultados na teoria dos conjuntos podem ser ilustrados usando o diagrama de Venn, como na prova acima. No entanto, tais diagramas não representam provas matematicamente rigorosas. No entanto, antes que uma prova real seja desenvolvida, primeiro é necessário formar uma imagem mental das suposições, conclusões e implicações de um teorema. Para este processo, um diagrama de Venn pode ser muito útil. Você pode praticar os diagramas de Venn usando-os para algumas das declarações verdadeiras / falsas nos exercícios.

Existem muitos outros teoremas que tratam da operação em conjuntos. Um que é particularmente interessante é o teorema sobre as Leis de De Morgan, porque ele lida com qualquer número de conjuntos (até mesmo um número infinito). Desenhar um diagrama de Venn em tal situação seria impossível, mas uma prova matemática pode facilmente lidar com esta situação:

Teorema 1.1.4: Leis de Morgan
ou seja, o complemento da interseção de qualquer número de conjuntos é igual à união de seus complementos.

ou seja, o complemento da união de qualquer número de conjuntos é igual à interseção de seus complementos.

Até agora, revisamos alguns fatos básicos da teoria dos conjuntos e também temos uma ideia sobre como um curso de Análise Real irá proceder:

Primeiro, existem definições, afirmando precisamente sobre o que estamos falando. A partir dessas definições, derivamos novos resultados, com base em resultados antigos, notação e lógica. Os novos resultados são chamados de Teoremas (se forem importantes ou amplos), Proposições (se forem interessantes, mas não tão amplamente aplicáveis) e Corolários (que geralmente são reformulações de teoremas ou proposições em situações especiais). Iremos proceder dessa forma ao longo do texto.

A parte mais difícil da Análise Real é tentar entender as provas de novos resultados, ou mesmo desenvolver suas próprias provas. Embora existam alguns métodos 'gerais' para as provas, é necessária muita experiência e prática antes que você se sinta familiarizado com a apresentação de suas próprias provas. No entanto, apenas algumas provas requerem engenhosidade real, e muitas outras provas podem ser compreendidas revisando-se cuidadosamente as definições dos termos envolvidos. Portanto, como regra:

Lembre-se de que uma prova (quase) nunca pode ser fornecida por meio de exemplos. Trabalhar alguns exemplos pode certamente ser útil - e na verdade sempre deve ser feito antes de iniciar uma prova - mas eles não podem constituir uma prova rigorosa de uma afirmação geral.

Dois tipos de provas serão encontrados com frequência e merecem atenção especial:


Índice

Aprendemos fazendo. Aprendemos matemática resolvendo problemas. Este livro é o primeiro volume de uma série de livros de problemas em análise matemática. Destina-se principalmente a alunos que estudam os princípios básicos de análise. No entanto, devido à sua organização, nível e seleção de problemas, também seria uma escolha ideal para seminários tutoriais ou de resolução de problemas, especialmente aqueles voltados para o exame Putnam. O volume também é adequado para auto-estudo.

Cada seção do livro começa com exercícios relativamente simples, mas também pode conter problemas bastante desafiadores. Muitas vezes, vários exercícios consecutivos tratam de diferentes aspectos de um problema ou teorema matemático. Esta apresentação de material foi projetada para ajudar na compreensão do aluno e para encorajá-lo a fazer suas próprias perguntas e iniciar a pesquisa. A coleção de problemas do livro também se destina a ajudar os professores que desejam incorporar os problemas nas aulas. Soluções para todos os problemas são fornecidas.

O livro cobre três tópicos: números reais, sequências e séries e é dividido em duas partes: exercícios e / ou problemas e soluções. Os tópicos específicos abordados neste volume incluem o seguinte: propriedades básicas de números reais, frações contínuas, sequências monotônicas, limites de sequências, teorema de Stolz, soma de séries, testes de convergência, séries duplas, arranjo de séries, produto de Cauchy e produtos infinitos .


Soma dos termos de uma sequência geométrica (série geométrica)

Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma sequência geométrica, use a fórmula,
S n = a 1 (1 & menos r n) 1 & menos r, & thinsp & thinsp r & ne 1,
onde n é o número de termos, a 1 é o primeiro termo er é a razão comum.

Encontre a soma dos primeiros 8 termos da série geométrica se a 1 = 1 e r = 2.

S 8 = 1 (1 e menos 2 8) 1 e menos 2 = 255

Encontre S 10 da série geométrica 24 + 12 + 6 + ⋯.

S 10 = 24 (1 e menos (1 2) 10) 1 e menos 1 2 = 3069 64

(Você está encontrando S 10 para a série 3 & menos 6 + 12 & menos 24 + ⋯, cuja proporção comum é & menos 2.)

S n = a 1 (1 e menos r n) 1 e menos r S 10 = 3 [1 e menos (e menos 2) 10] 1 e menos (e menos 2) = 3 (1 e menos 1024) 3 = e menos 1023

Baixe nossos aplicativos de ferramentas de aprendizagem gratuitos e livros de preparação de teste

Os nomes dos testes padronizados são propriedade dos detentores da marca comercial e não são afiliados à Varsity Tutors LLC.

4.9 / 5.0 Classificação de satisfação nas últimas 100.000 sessões. Em 27/04/18.

As marcas comerciais dos meios de comunicação são propriedade dos respectivos meios de comunicação e não são afiliadas do Varsity Tutors.

Declaração premiada com base nos prêmios CBS Local e Houston Press.

O Varsity Tutors não tem afiliação com as universidades mencionadas em seu site.

Varsity Tutors conecta alunos com especialistas. Os instrutores são contratantes independentes que adaptam seus serviços a cada cliente, usando seu próprio estilo, métodos e materiais.


MathHelp.com

Se você pegar o & quot 2 & quot no lado direito do sinal & quotquals & quot sob o n e convertê-lo para metade multiplicado entre parênteses, você pode ver que a fórmula para a soma é, na verdade, n vezes a & quotmédia & quot do primeiro e do último termos.

Pensar na fórmula de soma dessa forma pode ser uma maneira útil de memorizar a fórmula. (A propósito: a fórmula de soma pode ser provada usando indução.)

A soma do primeiro n os termos de uma série são chamados de & quotthe n -ésima soma parcial & quot, e geralmente é denotada como & quot Sn & quot.

Encontre a 35ª soma parcial, S 35, da sequência aritmética com termos

A 35ª soma parcial dessa sequência é a soma dos primeiros trinta e cinco termos. Os primeiros termos da sequência são:

Os termos têm uma diferença comum, portanto, esta é de fato uma sequência aritmética. O último termo da soma parcial será:

Então, plugando na fórmula, a 35ª soma parcial é:

35ª soma parcial: S 35 = 350

Eu poderia ter encontrado a diferença comum na sequência acima simplesmente olhando para a fórmula dos termos da sequência. Como esta é uma sequência aritmética, cada termo é um valor fixo maior do que o termo anterior. Se estivéssemos usando uma variável contínua, como & quot x & quot que usamos ao representar graficamente linhas retas, em vez da variável discreta n , então & quot & quot seria uma linha reta que aumentava pela metade em cada etapa.

Podemos usar o que aprendemos sobre a inclinação de uma linha reta e como isso se relaciona com a equação de uma linha reta para ler a diferença comum da fórmula para os termos. o que pode economizar algum tempo no teste.

Encontre o valor da seguinte soma:

Da fórmula, & quot 2n & ndash 5 & quot, para o n -º termo, posso ver que cada termo será duas unidades maior do que o termo anterior. (Se eu não tivesse certeza sobre isso, sempre poderia inserir alguns valores para n para confirmar.) Portanto, esta é de fato uma soma aritmética. Mas este somatório começa em n = 15, não em n = 1, e a fórmula de soma se aplica a somas começando em n = 1. Então, como posso trabalhar com esse somatório? Usando um pequeno truque:

A maneira mais rápida de encontrar o valor dessa soma é encontrar a 14ª e a 47ª somas parciais e, em seguida, subtrair a 14ª da 47ª. S 14 é a soma do primeiro ao décimo quarto termo. Ao fazer essa subtração, terei deduzido do primeiro ao décimo quarto termos do primeiro ao quadragésimo sétimo, então ficarei com a soma do 15º ao 47º termos.

Os outros termos necessários são o décimo quarto e o quadragésimo sétimo:

Com esses valores, agora tenho tudo de que preciso para encontrar as duas somas parciais de minha subtração: