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3.4: Forma Inclinação-Interceptação de uma Linha - Matemática


Começamos com a definição de (y ) - interceptação de uma linha.

O (y ) - interceptar

O ponto ((0, b) ) onde o gráfico de uma linha cruza o eixo (y ) é chamado de interceptação (y ) da linha.

Iremos agora gerar a fórmula inclinação-interceptação para uma linha tendo (y ) - interceptar ((0, b) ) e ( text {Inclinação} = m ) (ver Figura ( PageIndex {1 } )). Seja ((x, y) ) um ponto arbitrário na linha.

Comece com o fato de que a inclinação da linha é a taxa na qual a variável dependente está mudando em relação à variável independente.

[ text {Declive} = dfrac { Delta y} { Delta x} qquad color {Vermelho} text {Fórmula de declive.} nonumber ]

Substitua (m ) pela inclinação. Para determinar a mudança em (y ) e a mudança em (x ), subtraia as coordenadas do ponto ((0, b) ) do ponto ((x, y) ).

[ begin {alinhados} m & = frac {y-b} {x-0} quad color {Vermelho} text {Substitua} m text {para a inclinação. } Delta y = y-b quad color {Red} text {e} Delta x = x-0. m & = frac {y-b} {x} quad color {Red} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Limpe as frações da equação multiplicando ambos os lados pelo denominador comum.

[ begin {alinhados} mx & = left [ dfrac {yb} {x} right] x quad color {Red} text {Multiplique ambos os lados por} x mx & = yb quad cor {Vermelho} text {Cancelar. } end {alinhado} nonumber ]

Resolva para (y ).

[ begin {align} mx + b & = y-b + b quad color {Red} text {Add} b text {para ambos os lados. } mx + b & = y quad color {Vermelho} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Assim, a equação da reta é (y = mx + b ).

A forma Inclinação-Interceptação de uma linha

A equação da linha tendo (y ) intercepta ((0, b) ) e inclinação (m ) é: [y = mx + b nonumber ] Porque esta forma de uma linha depende de saber a inclinação (m ) e a interceptação ((0, b) ), esta forma é chamada de declive-interceptação forma de uma linha.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Esboce o gráfico da linha com a equação (y = dfrac {3} {5} x + 1 ).

Solução

Compare a equação (y = dfrac {3} {5} x + 1 ) com a forma de declive-interceptação (y = mx + b ) e observe que (m = 3/5 ) e (b = 1 ). Isso significa que a inclinação é (3/5 ) e a interceptação (y ) é ((0,1) ). Comece plotando a (y ) - interceptação ((0,1) ), depois mova para cima (3 ) unidades e para a direita (5 ) unidades, chegando ao ponto ((5,4) ). Desenhe a linha através dos pontos ((0,1) ) e ((5,4) ), a seguir rotule-a com sua equação (y = dfrac {3} {5} x + 1 ).

Quando comparamos a imagem da calculadora na Figura ( PageIndex {3} ) com o gráfico desenhado à mão na Figura ( PageIndex {2} ), obtemos uma correspondência melhor.

Exercício ( PageIndex {1} )

Esboce o gráfico da linha com a equação (y = - dfrac {4} {3} x-2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {2} )

Esboce a linha com (y ) - interceptar ((0,2) ) e declive (- 7/3 ). Identifique a linha com a forma de declive-interceptação de sua equação.

Solução

Plote a interceptação (y ) ((0,2) ). Agora use a inclinação (- 7/3 ). Comece em ((0,2) ), então desça sete unidades, seguido por um movimento de três unidades para a direita até o ponto ((3, −5) ). Desenhe a linha através dos pontos ((0,2) ) e ((3, −5) ). (Veja a Figura ( PageIndex {4} )).

Em seguida, a interceptação (y ) - é ((0,2) ), então (b = 2 ). Além disso, a inclinação é (- 7/3 ), então (m = −7/3 ). Substitua esses números na forma de declive-interceptação da linha.

[ begin {alinhado} y & = mx + b quad color {Vermelho} text {Forma de interceptação de declive. } y & = - dfrac {7} {3} x + 2 quad color {Vermelho} text {Substituto:} -7 / 3 text {para} m, 2 text {para} b. end {alinhado} nonumber ]

Portanto, a forma inclinação-interceptação da linha é (y = - dfrac {7} {3} x + 2 ). Identifique a linha com esta equação.

Verificar: Para representar graficamente (y = - dfrac {7} {3} x + 2 ), insira (- 7/3 * X + 2 ) em Y1 no Y= menu. Selecione 6: ZStandard no menu ZOOM, seguido por 5: ZSquare no menu ZOOM para produzir o gráfico mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Isso fornece uma boa combinação do gráfico desenhado à mão na Figura ( PageIndex {5} ) e o resultado da calculadora gráfica na Figura ( PageIndex {6} ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Esboce a linha com (y ) - interceptar ((0, −3) ) e declive (5/2 ). Identifique a linha com a forma de declive-interceptação de sua equação.

Responder

Exemplo ( PageIndex {3} )

Use o gráfico da reta na figura a seguir para encontrar a equação da reta.

Solução

Observe que a interceptação (y ) - da linha é ((0, −1) ) (Veja a Figura ( PageIndex {7} )). A seguir, tentamos localizar um ponto na linha que passa diretamente por um ponto da rede, um ponto onde uma linha de grade vertical e horizontal se cruzam. Na Figura ( PageIndex {7} ), escolhemos o ponto ((5,6) ). Agora, começando na interceptação (y ) ((0,1) ), movemos unidades de (7 ) para cima e, em seguida, para as unidades de (5 ) direita. Portanto, a inclinação é (m = Delta y / Delta x ) ou (m = 7/5 ).

Observação

Também poderíamos subtrair as coordenadas do ponto ((0, −1) ) das coordenadas do ponto ((5,6) ) para determinar a inclinação. [ dfrac {6 - (- 1)} {5-0} = dfrac {7} {5} nonumber ]

Em seguida, indique a forma de declive-interceptação, o substituto (7/5 ) para (m ) e (- 1 ) para (b ).

[ begin {alinhado} y & = mx + b quad color {Vermelho} text {Forma de interceptação de declive. } y & = dfrac {7} {5} x + (- 1) quad color {Red} text {Substituto:} 7/5 text {para} m, -1 text {para} b fim {alinhado} não numérico ]

Assim, a equação da reta é (y = dfrac {7} {5} x-1 ).

Verificar: Esta é uma situação excelente para fazer uma verificação em sua calculadora gráfica.

Quando comparamos o resultado na Figura ( PageIndex {9} ) com o gráfico desenhado à mão original (consulte a Figura ( PageIndex {7} )), temos certeza de que temos uma boa correspondência.

Exercício ( PageIndex {3} )

Use o gráfico da reta na figura abaixo para encontrar a equação da reta.

Responder

(y = - dfrac {3} {5} x + 3 )

Formulários

Vejamos uma aplicação linear.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Jason vê seu irmão Tim conversando com amigos na biblioteca, localizada a 100 metros de distância. Ele começa a caminhar em direção ao irmão a uma taxa constante de (2 ) pés por segundo ( (2 ) pés / s).

  1. Expresse a distância (d ) entre Jason e seu irmão Tim em termos de tempo (t ).
  2. Em que momento, depois que Jason começa a caminhar em direção a Tim, os irmãos estão a 60 metros de distância?

Solução

Como a distância entre Jason e seu irmão está diminuindo a uma taxa constante, o gráfico da distância em função do tempo é uma linha. Vamos começar fazendo um esboço da linha. Na Figura ( PageIndex {10} ), observe que rotulamos o que são normalmente os eixos (x ) - e (y ) - com o tempo (t ) e a distância (d ), e incluímos as unidades com nossos rótulos.

Seja (t = 0 ) segundos o momento em que Jason começa a caminhar em direção a seu irmão Tim. No momento (t = 0 ), a distância inicial entre os irmãos é de (300 ) pés. Isso coloca a interceptação (d ) (normalmente a interceptação (y )) no ponto ((0,300) ) (consulte a Figura ( PageIndex {10} )).

Como Jason está caminhando em direção a seu irmão, a distância entre os irmãos diminui a uma taxa constante de (2 ) pés por segundo. Isso significa que a linha deve ser inclinada para baixo, tornando a inclinação negativa, então (m = −2 ) ft / s. Podemos construir um gráfico preciso de distância versus tempo começando no ponto ((0,300) ), depois descendo ( Delta d = -300 ) e, em seguida, movendo para a direita ( Delta t = 150 ) . Isso torna a inclinação ( Delta d / Delta t = -300 / 150 = -2 ) (Veja a Figura ( PageIndex {10} )). Observe que a inclinação é a taxa na qual a distância (d ) entre os irmãos está mudando com relação ao tempo (t ).

Finalmente, a equação da linha é (y = mx + b ), onde (m ) é a inclinação da linha e (b ) é a coordenada (y ) (neste caso, o (d ) - coordenada) do ponto onde o gráfico cruza o eixo vertical. Assim, substitua (- 2 ) por (m ) e (300 ) por (b ) na forma de declive-interceptação da linha.

[ begin {alinhado} y & = mx + b quad color {Vermelho} text {Forma de interceptação de declive. } y & = -2x + 300 quad color {Red} text {Substitute:} -2 text {para} m, 300 text {para} b end {alinhado} nonumber ]

Um problema permanece. A equação (y = −2x + 300 ) nos dá (y ) em termos de (x ).

  1. A questão exigia que expressássemos a distância (d ) em termos do tempo (t ). Portanto, para finalizar a solução, substitua (y ) por (d ) e (x ) por (t ) (verifique os rótulos dos eixos na Figura ( PageIndex {10} )) para obter uma solução: [d = -2t + 300 nonumber ]
  2. Agora que nossa equação expressa a distância entre os irmãos em termos de tempo, vamos responder à parte (b), "Em que momento, depois que Jason começa a caminhar em direção a Tim, os irmãos estão separados por (200 ) pés?" Para encontrar esse tempo, substitua (200 ) por (d ) na equação (d = −2t + 300 ) e resolva (t ). [ Begin {alinhado} d & = -2t + 300 quad color {Red} text {Distance equation} 200 & = -2t + 300 quad color {Red} text {Substitute} 200 text {for} d end {alinhado} nonumber ] Resolva esta última equação para o tempo (t ). [ begin {alinhados} 200-300 & = -2t + 300-300 quad color {Red} text {Subtraia} 300 text { de ambos os lados. } -100 & = -2t quad color {Vermelho} text {Simplifique os dois lados. } dfrac {-100} {- 2} & = dfrac {-2 t} {- 2} quad color {Red} text {Divida ambos os lados por} -2 50 & = t quad color {Red} text {Simplifique os dois lados. } end {alinhado} nonumber ] Assim, leva Jason (50 ) segundos para diminuir a distância entre os irmãos para (200 ) pés.

Exercício ( PageIndex {4} )

Um nadador está a (50 ) pés da praia e começa a nadar para longe da praia a uma taxa constante de (1,5 ) pés por segundo ( (1,5 ) pés / s). Expresse a distância (d ) entre o nadador e a praia em termos de tempo (t ).

Responder

(d = 1,5 t + 50 )