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7.4: Problemas de revisão - Matemática


1. Calcule os seguintes produtos de matriz
$$
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix} ,,
qquad
begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 2 3 4 5 end {pmatrix} ,,
$$
$$
begin {pmatrix} 1 2 3 4 5 end {pmatrix} begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end {pmatrix} ,, qquad
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix} ,,
$$
$$
begin {pmatrix} x & y & z end {pmatrix}
begin {pmatrix}
2& 1& 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2
end {pmatrix}
begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} ,, qquad
begin {pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix} ,,
$$

$$
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 4 & frac {2} {3} & - frac {2} {3} 6 & frac {5} {3} & - frac {2} {3} 12 & - frac {16} {3} & frac {10} {3} end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix} ,.
]

2. Vamos provar o teorema ((MN) ^ {T} = N ^ {T} M ^ {T} ).

Nota: o seguinte é uma técnica comum para provar identidades de matriz.

a) Seja (M = (m ^ {i} _ {j}) ) e seja (N = (n ^ {i} _ {j}) ). Escreva algumas das entradas de cada matriz no formulário fornecido no início da seção 7.3.

b) Multiplique (MN ) e escreva algumas de suas entradas da mesma forma que no item (a). Em termos das entradas de (M ) e das entradas de (N ), qual é a entrada na linha (i ) e coluna (j ) de (MN )?

c) Pegue a transposição ((MN) ^ {T} ) e escreva algumas de suas entradas da mesma forma que no item (a). Em termos das entradas de (M ) e das entradas de (N ), qual é a entrada na linha (i ) e coluna (j ) de ((MN) ^ {T} )?

d) Pegue as transposições (N ^ {T} ) e (M ^ {T} ) e escreva algumas de suas entradas da mesma forma que no item (a).

e) Multiplique (N ^ {T} M ^ {T} ) e escreva algumas de suas entradas da mesma forma que na parte a. Em termos das entradas de (M ) e das entradas de (N ), qual é a entrada na linha (i ) e coluna (j ) de (N ^ {T} M ^ { T} )?

f) Mostre que as respostas que obteve nas partes (c) e (e) são as mesmas.

3.
a) Vamos (A = begin {pmatrix}
1 & 2 & 0\
3 & -1 & 4\
end {pmatrix} ). Encontre (AA ^ {T} ) e (A ^ {T} A ) e seus traços.

b) Seja (M ) qualquer matriz (m vezes n ). Mostre que (M ^ {T} M ) e (MM ^ {T} ) são simétricos. (Dica: use o resultado do problema anterior.) Quais são seus tamanhos? Qual é a relação entre seus rastros?

4. Vamos (x = begin {pmatrix} x_ {1} vdots x_ {n} end {pmatrix} ) e (y = begin {pmatrix} y_ {1} vdots y_ {n} end {pmatrix} ) ser vetores de coluna. Mostre que o produto escalar (x cdot y = x ^ {T} I y ).



5. Acima, mostramos que a multiplicação ( textit {left} ) por uma matriz (r times s ) (N ) foi uma transformação linear (M ^ {s} _ {k} stackrel {N} { longrightarrow} M ^ {r} _ {k} ). Mostre que ( textit {right} ) multiplicação por uma matriz (k times m ) (R ) é uma transformação linear (M ^ {s} _ {k} stackrel {R} { longrightarrow} M ^ {s} _ {m} ). Em outras palavras, mostre que a multiplicação correta da matriz obedece à linearidade.

6. Seja (V ) um espaço vetorial onde (B = (v_ {1}, v_ {2}) ) é uma base ordenada. Suponha
$$
L: V stackrel { rm linear} {- ! ! - ! ! ! Longrightarrow} V
$$
e $$ L (v_ {1}) = v_ {1} + v_ {2} ,, quad L (v_ {2}) = 2v_ {1} + v_ {2} ,. $$ Calcule a matriz de (L ) na base (B ) e então calcule o traço desta matriz. Suponha que (ad-bc neq 0 ) e considere agora a nova base
$$
B '= (av_ {1} + b v_ {2}, cv_ {1} + dv_ {2}) ,.
$$
Calcule a matriz de (L ) na base (B '). Calcule o traço desta matriz. O que você encontrou? O que você conclui sobre o traço de uma matriz? Faz sentido falar sobre o `` traço de uma transformação linear ''?

7. Explique o que acontece com uma matriz quando:

a) Você multiplica à esquerda por uma matriz diagonal?
b) Você multiplica à direita por uma matriz diagonal?

Dê alguns exemplos simples antes de começar a explicar.

8. Calcule ( exp (A) ) para as seguintes matrizes:

a) (A = begin {pmatrix}
lambda & 0
0 & lambda
end {pmatrix} )
b) (A = begin {pmatrix}
1 & lambda
0 & 1 \
end {pmatrix} )
c) (A = begin {pmatrix}
0 & lambda
0 & 0 \
end {pmatrix} )

9. Seja (M = begin {pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \
end {pmatrix} ). Divida (M ) em blocos nomeados, com um bloco a matriz de identidade (4 times4 ) e, em seguida, multiplique os blocos para calcular (M ^ {2} ).

10. Uma matriz (A ) é chamada ( textit {anti-simétrica} ) (ou matriz assimétrica) se (A ^ {T} = -A ). Mostre que para cada matriz (n vezes n ) (M ), podemos escrever (M = A + S ) onde (A ) é uma matriz anti-simétrica e (S ) é uma matriz simétrica.

( textit {Dica: Que tipo de matriz é (M + M ^ {T} )? Que tal (M - M ^ {T} )?} )

11. Um exemplo de operação que não é associativa é o produto vetorial.

a) Dê um exemplo simples de três vetores do espaço 3 (u, v, w ) tais que (u vezes (v vezes w) neq (u vezes v) vezes w ).
b) Vimos no capítulo 1 que o operador (B = u vezes ) (produto vetorial com um vetor) é um operador linear. Portanto, pode ser escrito como uma matriz (dada uma base ordenada, como a base padrão). Como é que a composição de tais operadores lineares é não associativa, embora a multiplicação da matriz seja associativa?


Assista o vídeo: NAO ACREDITO Q RESOLVEU O PROBLEMA DO QUADRO (Dezembro 2021).