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18.10: Teorema de Schwarz-Pick - Matemática


O teorema a seguir mostra que a métrica no modelo de disco conforme aparece naturalmente em outros ramos da matemática. Não damos sua prova, mas ela pode ser encontrada em qualquer livro de análise de complexos geométricos.

Suponha que ( mathbb {D} ) denota o disco de unidade no plano complexo centrado em (0 ); ou seja, um número complexo (z ) pertence a ( mathbb {D} ) se e somente se (| z | <1 ).

Vamos usar o disco ( mathbb {D} ) como um plano h no modelo de disco conforme; a distância h entre (z, w in mathbb {D} ) será denotada por (d_h (z, w) ); isso é,

(d_h (z, w): = ZW_h, )

onde (Z ) e (W ) são pontos h com coordenadas complexas (z ) e (w ) respectivamente.

Uma função (f: mathbb {D} to mathbb {C} ) é chamada holomórfico se para cada (z in mathbb {D} ) existe um número complexo (s ) tal que

(f (z + w) = f (z) + s cdot w + o (| w |). )

Em outras palavras, (f ) é complexo diferenciável em qualquer (z in mathbb {D} ). O número complexo (s ) é chamado de derivado de (f ) em (z ), ou brevemente (s = f '(z) ).

Teorema ( PageIndex {1} ) Teorema de Schwarz-Pick

Teorema de Schwarz-Pick Assuma que (f : mathbb {D} to mathbb {D} ) é uma função holomórfica. Então

(d_h (f (z), f (w)) le d_h (z, w) )

para qualquer (z, w in mathbb {D} ).

Se a igualdade vale para um par de números distintos (z, w in mathbb {D} ), então ela vale para qualquer par. Neste caso, (f ) é uma transformação linear fracionária, bem como um movimento do plano h.

Exercício ( PageIndex {1} )

Mostre que se uma transformação linear fracionária (f ) aparece no caso de igualdade do teorema de Schwarz-Pick, então ela pode ser escrita como

(f (z) = dfrac {v cdot z + bar w} {w cdot z + bar v}. )

onde (v ) e (w ) são constantes complexas tais que (| v |> | w | ).

Dica

Observe que (f = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d} ) preserva o círculo unitário (| z | = 1 ). Use o Corolário 10.6.1 e a proposição 18.12 para mostrar que (f ) comuta com a inversão (z mapsto 1 / bar {z} ). Em outras palavras, (1 / f (z) = f (1 / bar {z}) ) ou

( dfrac { bar {c} cdot bar {z} + bar {d}} { bar {a} cdot bar {z} + bar {b}} = dfrac {a / bar {z} + b} {c / bar {z} + d} )

para qualquer (z in bar { mathbb {C}} ). A última identidade leva às declarações exigidas. A condição (| w | <| v | ) segue desde (f (0) in mathbb {D} ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Lembre-se de que a tangente hiperbólica ( tanh ) é definida na página. Mostra isso

( tanh [ tfrac12 cdot d_h (z, w)] = left | frac {z-w} {1-z cdot bar w} right |. )

Conclua que a desigualdade no teorema de Schwarz-Pick pode ser reescrita como

( left | frac {z'-w '} {1-z' cdot bar w '} right | le left | frac {zw} {1-z cdot bar w} direita |, )

onde (z '= f (z) ) e (w' = f (w) ).

Dica

Observe que os inversos dos pontos (z ) e (w ) têm coordenadas complexas (1 / bar {z} ) e (1 / bar {w} ). Aplique o Exercício 12.9.2 e simplifique.

A segunda parte segue uma vez que a função (x mapsto tanh ( dfrac {1} {2} cdot x) ) está aumentando.

Exercício ( PageIndex {3} )

Mostre que o lema de Schwarz declarado abaixo segue do teorema de Schwarz-Pick.

Dica

Aplique o teorema de Schwarz-Pick para uma função (f ) tal que (f (0) = 0 ) e então aplique o Lema 12.3.2.

Lema ( PageIndex {1} ) Lema de Schwarz

Seja (f : mathbb {D} to mathbb {D} ) uma função holomórfica e (f (0) = 0 ). Então (| f (z) | le | z | ) para qualquer (z in mathbb {D} ).

Além disso, se a igualdade for válida para algum (z ne 0 ), então há um número complexo unitário (u ) tal que (f (z) = u cdot z ) para qualquer (z in mathbb {D} ).


MATH 580 / CS 571

Lec 1, 8/24 Seg, Sec 1.1: Detalhes do curso, princípios gerais de enumeração, contagem de palavras e subconjuntos, teorema binomial, multiconjuntos / composições.
Lec 2, 8/26 Quarta, Seção 1.2: Caminhos da rede, identidades básicas, coeficiente binomial estendido, soma de polinômios, números de Delannoy, bola de Hamming / correspondência de Delannoy.
Lec 3, 8/28 Fri, Sec 1.3: Contagem de gráficos e árvores, coeficientes multinomiais (árvores por graus, Pequeno Teorema de Fermat), Problema de votação, convolução binomial central.
Lec 4, 8/31 Seg, Sec 1.3-2.1: Números catalães (generalização, bijeções, recorrência), números de Fibonacci e 1,2-listas, desarranjos.

Lec 5, 9/2 Wed, Sec 2.1-2: Recorrências em dois índices (problemas de distribuição, números de Delannoy), método de equação característica (através de raízes repetidas).
Lec 6, 9/4 Fri, Sec 2.2: Método de equação característica (termos não homogêneos), método de função geradora (coeficientes constantes w. Linear, relação com método char.eqn.)
Lec 7, 9/9 Quarta, Sec 2.3-3.1: Solução catalã, método de substituição (fatoriais, desarranjos, aproximação de Stirling), funções geradoras (operações de soma / produto, multiconjuntos)

Lec 8, 9/11 Sex, Sec 3.1: Gerando funções: multisets com multiplicidade restrita, funções em duas variáveis ​​(puladas), estatísticas de permutação (por #inversões, # ciclos), números de Eulerian (#runs, Identidade de Worpitzky por permutações barradas)
Lec 9, 14/09 Seg, Seção 3.2: Gerando manipulações de funções: soma e produto (A (n, k) fórmula por inversão de Worpitzky), índice deslocado, diferenciação e avaliação em valores especiais, soma dos coeficientes iniciais, soma por convoluções. Primeiro exemplo de óleo de cobra.
Lec 10, 16/9 Quarta, Seção 3.3: Mais óleo de cobra, funções geradoras exponenciais: produtos de EGFs (palavras), exemplos e aplicações de EGFs (bandeiras em postes, palavras restritas, números de Stirling)
Lec 11, 19/09 sex, Sec 3.3: aplicações EGF (inversão binomial, desarranjos), a Fórmula Exponencial (gráficos, partições, permutações, recorrência), Fórmula de Inversão de Lagrange (declaração e aplicação a árvores).
Lec 12, 9/21 Seg, Sec 3.4: Partições de inteiros (funções básicas de geração, limites nos coeficientes). combinatória de partições (diagramas de Ferrers, conjugado, Fallon's Identity (mencionado), classes de congruência de triângulos, Euler Identity).

Lec 13, 23/9 Quarta, Seção 4.1: Fórmula de inclusão-exclusão básica, aplicações (totientes, números de Stirling, somas alternadas, números de Eulerian omitidos)
Lec 14, 9/25 Fri, Sec 4.1: Permutações com posições restritas (polinômios de torre), OGF por número de propriedades (probleme des menages ignorado), involuções assinadas (inclusão-exclusão como caso especial, partições em partes ímpares distintas).
Lec 15, 28/9 seg, Seção 4.1-2: Sistemas de caminhos desarticulados em dígrafos, aplicação a caminhos de rede e lajes de losango. Exemplos de contagem sob simetria, Teorema de Lagrange, Lema de Burnside.
Lec 16, 30/09 Quarta, Sec 4.2-3: Exemplos para o Lema de Burnside, índices de ciclo, simetrias de cubo, inventário de padrões (Teorema de Polya), contagem de classes de gráficos de isomorfismo. Quadros jovens (breve apresentação da fórmula do comprimento do gancho, correspondência RSK e consequências da correspondência RSK).

Lec 17, 10/2 Fri, Sec 5.1-3 destaques, Sec 6.1: Propriedades do gráfico de Petersen, fórmula de soma de graus e partição retângulo, caracterização de grafos bipartidos, circuitos Eulerianos (Capítulo 5, Primeiros Conceitos para Gráficos, para leitura de fundo) . Emparelhamento bipartido (teorema de Hall).
Lec 18, 10/5 Seg, Seção 6.1: Teorema do casamento, orientações com outdegrees especificados. Relações mínimas / máximas (fórmula de defeito de minério, teorema de Konig-Egervary, teorema de Gallai, outro teorema de Konig).
Lec 19, 10/7 Quarta, Seção 6.2: Combinação Geral: Teorema de 1-fator de Tutte da Fórmula de Berge-Tutte, 1-fatores em gráficos regulares, Teorema de 2 fatores de Petersen (via circuito de Euleriano e Teorema de Hall), caminhos aumentados, redução de f-fator para 1-fator na explosão (mencionado apenas brevemente)

Lec 20, 10/9 Sex, Sec 7.1: Conectividade (definições, gráficos Harary, produtos cartesianos). Conectividade de aresta (definições, Teorema de Whitney, cortes de aresta, diâmetro 2). Títulos e blocos ignorados.
Lec 21, 10/12 Mon, Sec 7.2: k-Connected Graphs (Independent x, y-caminhos, conjuntos de ligação e bloqueio, Teorema de Pym, Teoremas de Menger (8 versões), Lemas de Expansão e Fan, percorre os vértices especificados),
Lec 22, 14/10 Quarta, Seção 7.2-3: Ford-Fulkerson CSDR, decomposição de ouvido e Teorema de Robbins. Ciclos de abrangência: condição necessária, condições de minério e Dirac, fechamento, declaração da condição de Chvatal e esboço.
Lec 23, 10/16 Sex, Sec 7.3-8.1: Teorema Chvatal-Erdos, comentários sobre o Teorema de Lu, Teorema de Fan, regularidade, panciclicidade, declarações para circunferência. Coloração de vértices: exemplos, limites fáceis, coloração gananciosa, gráficos de intervalo, limites de graus, início do teorema de Minty.

Lec 24, 19/10 Mon, Sec 8.1-2: Gráficos sem triângulo (construção de Mycielski, & radicn limite), gráficos de cores críticas (grau mínimo, conectividade de borda). Liste a coloração para gráficos bipartidos completos.
Lec 25, 21/10 Quarta, Seção 8.2-3: Coloração de lista (escolha de grau e extensão do Teorema de Brooks), coloração de borda (gráficos completos, gráfico de Petersen, gráficos bipartidos).
Lec 26, 10/23 Sex, Sec 8.3: Coloração de arestas (leques de cores e Teorema de Vizing para gráficos, generalização de Anderson-Goldberg do Teorema de Vizing para multigrafos), breve menção de gráficos perfeitos (grafos cordais, PGT).

Lec 27, 10/26 Seg, Sec 9.1: Gráficos planares e seus duais, ciclos vs ligações, gráficos de plano bipartido, Fórmula de Euler e limite de aresta, breve aplicação a poliedros regulares, gráficos de plano externo ignorados
Lec 28, 28/10 Quarta, Sec 9.2: Teorema de Kuratowski e embeddings convexos, 6-coloração de gráficos planares
Lec 29, 10/30 Sex, Sec 9.3: Coloração de gráficos planares (5-escolha, Kempe), descarga (abordagem de 4CT, gráficos planares com comprimentos de face proibidos), Teorema de Tait (ignorado o Teorema de Grinberg)

Lec 30, 11/2 Seg, Sec 10.1: Aplicações do princípio de escaninhos (cobertura por grafos bipartidos, pares divisíveis, dominó, caminhos em cubos, sublistas monótonas, trilhas crescentes, circunferência 6 com alto número cromático).
Lec 31, 4/11 Quarta, Seção 10.2: Teorema de Ramsey e aplicações (m-gons convexos, armazenamento em mesa).
Lec 32, 11/6 Fri, Sec 10.3: Números de Ramsey, teoria de Ramsey (árvore vs gráfico completo), Teorema de Schur, Teorema de Van der Waerden (declaração e exemplo)

Lec 33, 11/9 Seg, Sec 12.1: Conjuntos parcialmente ordenados (definições e exemplos, gráficos de comparabilidade e gráficos de capa), Teorema de Dilworth, equivalência de Dilworth e Konig-Egervary, relação com PGT.
Lec 34, 11/11 Quarta, Seção 12.2: posets graduados e propriedade de Sperner, decomposições em cadeia simétrica para subconjuntos e produtos, decomposição de colchetes, aplicação a funções booleanas monótonas.
Lec 35, 11/13 Sex, Sec 12.2: posets LYM (Teorema de Sperner via LYM, equivalência com cobertura regular e correspondência normalizada, LYM e tamanhos de classificação unimodal simétricos => decomposição em cadeia simétrica, declaração de concavidade logarítmica e resultado do produto).

Lec 36, 11/16 Mon, Sec 14.1: argumentos de existência (número de Ramsey, capacidade de 2 cores de k-hipergrafos uniformes), propriedade de escaninho de expectativa (linearidade e variáveis ​​indicadoras, limite de Caro-Wei no número de independência, aplicação de Caro-Wei ao teorema de Turan, seixos em hipercubos)
Lec 37, 18/11 Quarta, Seção 14.2: Número de cruzamento (aplicação de expectativa), método de exclusão (números de Ramsey, conjuntos dominantes, circunferência grande e número cromático)
Lec 38, 11/20 Fri, Sec 14.2-3: Symmetric Local Lemma & applications (número de Ramsey, coloração da lista, Princípio da Independência Mútua). Modelos de gráfico aleatórios, propriedades quase sempre, conexão para constante p, Desigualdade de Markov.
Lec 39, 30/11/30 Seg, Seção 14.3: Método do segundo momento, funções de limiar para desaparecimento de vértices isolados e aparecimento de grafos balanceados, comentários sobre evolução de grafos, comentários sobre conectividade / cliques / coloração de grafos aleatórios.

Lec 40, 12/2 Wed, Sec 13.1: Quadrados latinos (exemplo 4 por 4, MOLS (n, k), limite superior, famílias completas, construção Moore-MacNeish). Projetos de blocos (exemplos, restrições elementares nos parâmetros, Desigualdade de Fisher).
Lec 41, 12/4 Fri, Sec 13.1: Projetos simétricos (Bose), condições necessárias (exemplo de Bruck-Chowla-Ryser), matrizes de Hadamard (restrição na ordem, relação com projetos, relação com a teoria de codificação).
Lec 42, 12/7 Mon, Sec 13.2: Planos projetivos (equivalência com (q ^ 2 + q + 1, q + 1,1) -projetos, relação com quadrados latinos, gráfico de polaridade com aplicação a problemas extremos).
Lec 43, 12/9 Quarta, Sec 13.2-3: conjuntos de diferenças e multiplicadores, sistemas triplos Steiner.


Prova

A prova é uma aplicação direta do princípio do módulo máximo na função

que é holomórfico em todo o D, inclusive na origem (porque f é diferenciável na origem e fixa zero). Agora se Dr = <z : |z| ≤ r> denota o disco fechado do raio r centrado na origem, então o princípio do módulo máximo implica que, para r & lt 1, dado qualquer z dentro Dr, existe zr na fronteira de Dr de tal modo que

Como r → 1 obtemos |g(z)| ≤ 1.

Além disso, suponha que |f(z)| = |z| para algum diferente de zero z dentro D, ou |f ′(0) | = 1. Então, |g(z) | = 1 em algum ponto de D. Então, pelo princípio do módulo máximo, g(z) é igual a uma constante uma tal que |uma| = 1. Portanto, f(z) = az, como desejado.


18.10: Teorema de Schwarz-Pick - Matemática


Math 218a / Stat 205A. Teoria da probabilidade.

Outono de 2017, TTh 9: 30a-11: 00a em Etcheverry 3108.

INFORMAÇÕES GERAIS. (## = berkeley ponto edu)
Inclua "MATH218A / STAT205A" e seu SID na linha de assunto de todos os e-mails.
Instrutor: Nike Sun (nikesun em ##). Horário de expediente ter 2: 15p-4: 15p em Evans 389.
GSI: Zsolt Bartha (bartha em ##). Horário de atendimento Seg 11: 30a-1: 00p e Quarta 1: 30p-3: 00p em Evans 428.
Seção de discussão Sex 11: 00a-12: 00n em Evans 330.

Alguns materiais, incluindo tarefas de lição de casa, serão postados no bcourses. Se você não conseguir acessar o site, envie um e-mail para o instrutor com seu endereço @ berkeley.edu.

REFERÊNCIAS. As referências marcadas com * estão disponíveis eletronicamente em lib.berkeley.edu.
Referência principal:
*Probabilidade: Teoria e Exemplos (4ª ed.) Por R. Durrett (PTE).
Referências adicionais:
Notas de aula de A. Dembo, para um curso semelhante ministrado em Stanford.
Probabilidade e Medida (3ª ed.) Por P. Billingsley.
*Convergência de medidas de probabilidade por P. Billingsley.
*Análise Real e Probabilidade por R. M. Dudley.
*Teoria da Medida por P. R. Halmos.
Fundamentos da probabilidade moderna por O. Kallenberg.
Análise por E. H. Lieb e M. Loss.
Probabilidade em árvores e redes por R. Lyons e Y. Peres (link).
Análise Complexa por E. Stein e R. Shakarchi.

TRABALHO DE CASA. Por favor, seja atencioso com o avaliador: escreva as soluções de maneira organizada e básica.
No topo da primeira página, escreva claramente as seguintes informações: seu nome, número de identificação do aluno, endereço de e-mail de Berkeley, o nome do curso (MATH218A / STAT205A) e os nomes de quaisquer outros alunos com quem você discutiu a tarefa. Indique também se você está na lista de espera.
Política de colaboração. Você deve primeiro tentar resolver os problemas do dever de casa sozinho. Se você estiver tendo problemas, você pode discutir com outras pessoas. Espera-se que você escreva suas soluções sozinho.

CLASSIFICAÇÃO. Sua nota final consistirá em 50% dever de casa + 50% final.
Nenhum trabalho de casa atrasado será aceito. As duas pontuações mais baixas do dever de casa serão descartadas.
Faltar à final resultará automaticamente em uma nota F, não haverá remarcação (adiantado / atrasado / repetido). Todos os alunos serão avaliados sob o mesmo esquema, independentemente de matrícula tardia.


Análise Real 18.100B

Conferencista: Kiril Datchev, sala 2-173, [email protected]

Reuniões de classe: Terças e quintas-feiras, das 9h30 às 11h, na sala 4-163.

Livro didático: Walter Rudin, Princípios de Análise Matemática.

Leitura recomendada: G. H. Hardy, Um curso de matemática pura. Edmund Landau, Fundamentos da Análise. Tom M. Apostol, Analise matemática. Veja também essas notas sobre o texto de George Bergman. Para uma leitura inspiradora, consulte O Estudo da Matemática por Bertrand Russell.

  1. dez conjuntos de problemas, valendo 20 pontos cada, com vencimento em 13/09, 20/09, 27/09, 11/10, 18/10, 25/10, 01/11, 15/11, 29/11, 06/12 ,
  2. duas provas semestrais, valendo 100 pontos cada, uma em 2 de outubro e outra em 6 de novembro,
  3. um exame final, no valor de 200 pontos, na quinta-feira, 20 de dezembro, das 13h30 às 16h30, no Johnson Track (andar de cima).

Conjuntos de problemas são devidos às quintas-feiras às 4:00 na sala 2-285. Conjuntos de problemas atrasados ​​não são aceitos.


Conteúdo

Via Fórmula de Euler Editar

Uma prova desse teorema usa a fórmula poliédrica de Euler para reduzir o problema ao caso de um triângulo com três vértices inteiros e nenhum outro ponto inteiro. Esse triângulo pode lado a lado o plano por cópias de si mesmo, girado em 180 ° em torno do ponto médio de cada aresta. Os triângulos desse mosaico são duas vezes mais densos que os pontos inteiros (cada ponto inteiro pertence a seis triângulos, enquanto cada triângulo toca apenas três pontos inteiros), de onde segue que sua área é exatamente 1 2 < displaystyle < tfrac <1 > <2> >>, como o teorema de Pick (uma vez provado) também implicaria. [4] Também é possível usar o teorema de Minkowski em pontos de rede em conjuntos convexos simétricos para provar que esses triângulos têm área 1 2 < displaystyle < tfrac <1> <2> >>. [8]

Também é possível ir na outra direção, usando o teorema de Pick (provado de uma maneira diferente) como base para uma demonstração da fórmula de Euler. [5] [10]

Outras provas Editar

Provas alternativas do teorema de Pick que não usam a fórmula de Euler incluem o seguinte.

  • Pode-se decompor recursivamente o polígono dado em triângulos, permitindo que alguns triângulos da subdivisão tenham uma área maior que 1/2. Tanto a área quanto as contagens de pontos usadas na fórmula de Pick somam-se da mesma maneira, então a verdade da fórmula de Pick para polígonos gerais segue de sua verdade para triângulos. Qualquer triângulo subdivide sua caixa delimitadora no próprio triângulo e em triângulos retângulos adicionais, e as áreas da caixa delimitadora e dos triângulos retângulos são fáceis de calcular. A combinação desses cálculos de área fornece a fórmula de Pick para triângulos e a combinação de triângulos fornece a fórmula de Pick para polígonos arbitrários. [6] [7] [11]
  • O diagrama de Voronoi da grade inteira subdivide o plano em quadrados, centralizados em torno de cada ponto da grade. Pode-se calcular a área de qualquer polígono como a soma de suas áreas dentro de cada célula deste diagrama. Para cada ponto de grade interno do polígono, toda a célula de Voronoi é coberta pelo polígono. Os pontos de grade em uma borda do polígono têm metade de sua célula de Voronoi coberta. As células de Voronoi de pontos de canto são cobertas por valores cujas diferenças de meio quadrado (usando um argumento baseado no número de giro) totalizam o termo de correção - 1 < displaystyle -1> na fórmula de Pick. [7]
  • Alternativamente, em vez de usar quadrados de grade centralizados nos pontos de grade, é possível usar quadrados de grade com seus vértices nos pontos de grade. Esses quadrados de grade cortam o polígono dado em pedaços, que podem ser reorganizados (combinando pares de quadrados ao longo de cada aresta do polígono) em um polominó com a mesma área. [12]
  • O teorema de Pick também pode ser provado com base na integração complexa de uma função duplamente periódica relacionada às funções elípticas de Weierstrass. [13]
  • Aplicar a fórmula da soma de Poisson à função característica do polígono leva a outra prova. [14]

Generalizações para o teorema de Pick para polígonos não simples são possíveis, mas são mais complicadas e requerem mais informações do que apenas o número de vértices internos e de limite. [2] [15] Por exemplo, um polígono com h < displaystyle h> buracos delimitados por polígonos inteiros simples, separados uns dos outros e do limite, tem área [16]

Os tetraedros de Reeve em três dimensões têm quatro pontos inteiros como vértices e não contêm outros pontos inteiros. No entanto, nem todos têm o mesmo volume. Portanto, não pode haver um análogo do teorema de Pick em três dimensões que expresse o volume de um politopo como uma função apenas de seus números de pontos interiores e limites. [17] No entanto, esses volumes podem ser expressos usando polinômios de Ehrhart. [18] [19]


Math / Stat 431 Introdução à Teoria da Probabilidade

Math 431 é uma introdução ao teoria de probabilidade, a parte da matemática que estuda fenômenos aleatórios. Modelamos experimentos aleatórios simples matematicamente e aprendemos técnicas para estudar esses modelos. Os tópicos abordados incluem axiomas de probabilidade, variáveis ​​aleatórias, as distribuições de probabilidade discreta e contínua mais importantes, expectativas, funções geradoras de momento, probabilidade condicional e expectativas condicionais, distribuições multivariadas, desigualdades de Markov e Chebyshev, leis dos grandes números e o teorema do limite central.

Math 431 não é um curso de estatística. Estatística é uma disciplina que se preocupa principalmente com a análise e representação de dados. A teoria da probabilidade constitui a base matemática da estatística, mas as duas disciplinas são separadas.

De uma perspectiva intelectual ampla, a probabilidade é uma das áreas centrais da matemática com seu próprio estilo distinto de raciocínio. Entre as outras áreas principais estão análise, álgebra, geometria / topologia, lógica e computação.

Para ir além de 431 em probabilidade, você deve tomar o próximo Matemática 521 - Análise, e depois disso um ou ambos: Matemática 632 - Introdução aos Processos Estocásticos e Matemática 635 - Introdução ao Movimento Browniano e Cálculo Estocástico. Aqueles que gostariam de uma introdução à probabilidade baseada em provas podem considerar tomar Matemática 531 - Teoria da Probabilidade (531 requer um curso baseado em provas como um pré-requisito).

Onde a probabilidade é usada?

A teoria da probabilidade é onipresente nas ciências naturais, ciências sociais e engenharia, portanto, este curso pode ser valioso em conjunto com muitos cursos diferentes. Além de ser um belo assunto por si só, é usado em todas as ciências e na indústria. Por exemplo, em biologia, muitos modelos de fenômenos celulares são agora modelados probabilisticamente em oposição a deterministicamente. Quanto à indústria, muitos modelos usados ​​por seguradoras e financeiras são de natureza probabilística. Assim, aqueles que desejam entrar em ciências atuariais ou finanças precisam ter um conhecimento sólido de probabilidade. Modelos probabilísticos aparecem no estudo de redes, tornando a teoria da probabilidade útil para os interessados ​​em ciência da computação e tecnologia da informação.

Pré-requisitos

Para estar tecnicamente preparado para o Math 431, é necessário estar confortável com a linguagem de conjuntos e cálculo, incluindo cálculo multivariável, e estar pronto para o raciocínio abstrato. Técnicas básicas de contagem também são úteis, mas as revisaremos ao longo do caminho. A teoria da probabilidade pode parecer muito difícil no início, mesmo após o sucesso em cursos de matemática anteriores.

Aprenda @ UW

Usaremos o site Learn @ UW do curso para postar tarefas de casa e soluções. As notas da aula também serão postadas lá.

Livro didático

  • Um primeiro curso de Probabilidade, por Sheldon Ross
  • Probabilidade, por Jim Pitman.
  • Probabilidade, estatística e processos estocásticos, de Peter Olofsson.
  • Probabilidade e processos aleatórios, de Geoffrey Grimmett e David Stirzaker.
  • Exame intermediário 1: quinta-feira, 13 de outubro, das 19h15 às 20h45, 1310 Sterling
  • Exame intermediário 2: quarta-feira, 30 de novembro, das 7h15 às 20h45, 1310 Sterling
  • Exame final: terça-feira, 20 de dezembro, 12h25 - 14h25, Room TBA

Questionários

  • 1º teste: 13 de setembro, terça-feira, final da aula.
  • 2º teste: 20 de setembro, terça-feira, final da aula.
  • 3º teste: 27 de setembro, terça-feira, final da aula
  • 4º teste: 4 de outubro, terça-feira, final da aula

Não haverá mais questionários no semestre.

Trabalho de casa

As tarefas de casa serão publicadas no site Learn @ UW do curso. As tarefas semanais de lição de casa geralmente são entregues em quinta-feira no início da aula. Você também pode enviar sua solução em um formulário eletrônico por meio do Learn @ UW, mas ela deve chegar até as 9h30 na data de vencimento. Observe que há uma (curta) tarefa de casa para ser entregue na primeira quinta-feira (8 de setembro).
Algumas tarefas de casa conterão problemas extras para aqueles que desejam um desafio extra. Os pontos dos problemas de bônus serão convertidos em crédito extra no final do semestre.

Instruções para o dever de casa

  • Observe as regras de integridade acadêmica. Entregar trabalhos plagiados, copiados de um colega ou fora da web, não é aceitável. Casos de plágio levarão a sanções.
  • O dever de casa é coletado no início do período de aula na data de vencimento. Não serão aceitas tarefas atrasadas. Você pode levar a lição de casa mais cedo para o escritório do instrutor.
  • O trabalho em grupos nas tarefas de casa é fortemente encorajado, entretanto, cada aluno deve escrever suas próprias tarefas.
  • Organize seu trabalho perfeitamente. Use o inglês adequado. Escreva em inglês completo ou frases matemáticas. As respostas devem ser simplificadas tanto quanto possível. Se a resposta for uma fração ou expressão simples, uma resposta decimal de uma calculadora não é necessária. Para alguns exercícios, você precisará de uma calculadora para obter a resposta final.
  • As respostas a alguns exercícios estão no final do livro, então respostas sozinhas não têm crédito. Tudo está no raciocínio que você escreve.
  • Coloque os problemas na ordem correta e grampeie suas páginas.
  • Não use papel rasgado de um fichário.
  • Seja limpo. Não deve haver texto riscado.
  • Copie novamente seus problemas. Não entregue seu rascunho ou primeira tentativa.
  • Artigos bagunçados, desorganizados ou ilegíveis não podem ser avaliados.
  • Eu recomendo fortemente que você digite suas soluções (talvez usando Latex).

Horário semanal

Aqui está uma programação semanal provisória, a ser ajustada à medida que avançamos. Os números referem-se a seções em notas de aula que podem ser encontradas no site Learn @ UW.

O Math Club oferece palestras interessantes e outros eventos relacionados à matemática. Todos são bem vindos. Sugestões de leitura de verão


--> Perceber: O Prof. Kurtz dará nossa aula na terça-feira, 29 de outubro. Não nos encontraremos na quinta-feira. 31 de outubro. Podemos usar esse tempo extra mais tarde, se precisarmos. ->


Desigualdades de tipo Schwarz-Pick

Este livro discute em detalhes a extensão da desigualdade de Schwarz-Pick para derivadas de ordem superior de funções analíticas com determinadas imagens. É o primeiro relato sistemático dos principais resultados nessa área. Os resultados recentes na teoria da função geométrica apresentada aqui incluem as etapas atrativas nos problemas de coeficiente de Bieberbach a de Branges, aplicações de algumas características hiperbólicas de domínios via teorema de Beardon-Pommerenke, uma nova interpretação das estimativas de coeficientes como certas propriedades da métrica de Poincaré, e um combinação bem-sucedida das idéias clássicas de Littlewood, Löwner e Teichmüller com abordagens modernas. O material é complementado com observações históricas sobre o Lema de Schwarz e um capítulo que apresenta alguns problemas abertos desafiadores.

O livro será do interesse de pesquisadores e alunos de pós-graduação em teoria das funções e geometria hiperbólica.

“O objetivo deste livro é dar uma apresentação unificada de alguns resultados recentes na teoria da função geométrica, juntamente com uma consideração de suas fontes históricas. As extensas referências históricas são… interessantes, completas e informativas. … Este livro está repleto de conjecturas desafiadoras e problemas sugeridos para explorar novas pesquisas. Em resumo, este é um livro encantador que qualquer pessoa interessada em inter-relacionar a geometria e a teoria da função geométrica clássica deve ler. ”(Roger W. Barnard, Mathematical Reviews, Issue 2010 j)


Matemática_parte_ _II_ (soluções) para a Classe 10 de Matemática Capítulo 2 - Teorema de Pitágoras

Mathematics_part_ _II_ (solutions) Soluções para a Classe 10 Matemática Capítulo 2 Teorema de Pitágoras são fornecidos aqui com explicações simples passo a passo. Essas soluções para o Teorema de Pitágoras são extremamente populares entre os alunos da Classe 10 para as Soluções de Teorema de Pitágoras de Matemática. As soluções para o Teorema de Pitágoras são úteis para concluir rapidamente seu dever de casa e se preparar para os exames. Todas as perguntas e respostas do Mathematics_part_ _II_ (solutions) Book of Class 10 Math, Capítulo 2, são fornecidas gratuitamente aqui. Você também vai adorar a experiência sem anúncios nas soluções Mathematics_part_ _II_ (soluções) da Meritnation. Todas as Mathematics_part_ _II_ (soluções) Soluções para a classe Aula 10 de Matemática são preparadas por especialistas e são 100% precisas.

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Questão 1:

Identifique, com razão, quais dos seguintes são trigêmeos pitagóricos.
(i) (3, 5, 4)
(ii) (4, 9, 12)
(iii) (5, 12, 13)
(iv) (24, 70, 74)
(v) (10, 24, 27)
(vi) (11, 60, 61)

Responder:

(i) No tripleto (3, 5, 4),
3 2 = 9, 5 2 = 25, 4 2 = 16 e 9 + 16 = 25

O quadrado do maior número é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (3, 5, 4) é um tripleto pitagórico.

(ii) No tripleto (4, 9, 12),
4 2 = 16, 9 2 = 81, 12 2 = 144 e 16 + 81 = 97 e 144

O quadrado do maior número não é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (4, 9, 12) não é um trigêmeo pitagórico.

(iii) No tripleto (5, 12, 13),
5 2 = 25, 12 2 = 144, 13 2 = 169 e 25 + 144 = 169

O quadrado do maior número é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (5, 12, 13) é um trio pitagórico.

(iv) No tripleto (24, 70, 74),
24 2 = 576, 70 2 = 4900, 74 2 = 5476 e 576 + 4900 = 5476

O quadrado do maior número é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (24, 70, 74) é um tripleto pitagórico.

(v) No tripleto (10, 24, 27),
10 2 = 100, 24 2 = 576, 27 2 = 729 e 100 + 576 = 676 e 729

O quadrado do maior número não é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (10, 24, 27) não é um trio pitagórico.

(vi) No tripleto (11, 60, 61),
11 2 = 121, 60 2 = 3600, 61 2 = 3721 e 121 + 3600 = 3721

O quadrado do maior número é igual à soma dos quadrados dos outros dois números.

& there4 (11, 60, 61) é um tripleto pitagórico.

Página No 38:

Questão 2:

Na figura dada, & angMNP = 90 & deg, seg NQ & perpseg MP, MQ = 9, QP = 4, encontre NQ.

Responder:

Nós sabemos isso,
Em um triângulo retângulo, o segmento perpendicular à hipotenusa do vértice oposto é a média geométrica dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.

Página No 38:

Questão 3:

Na figura dada, & angQPR = 90 & deg, seg PM & perp seg QR e Q & ndashM & ndashR, PM = 10, QM = 8, encontre QR.

Responder:

Nós sabemos isso,
Em um triângulo retângulo, o segmento perpendicular à hipotenusa do vértice oposto é a média geométrica dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.

Página No 39:

Questão 4:

Na figura fornecida. Encontre RP e PS usando as informações fornecidas em ∆PSR.

Responder:

Página No 39:

Questão 5:

Para encontrar AB e BC com a ajuda das informações fornecidas na figura, conclua a atividade a seguir.

Responder:

Em ∆ABC,
& angB = 90 ∘, AC = 8, AB = BC, & there4 & angA = & angC = 45 ∘

Portanto, a atividade concluída é

Página No 39:

Questão 6:

Encontre o lado e o perímetro de um quadrado cuja diagonal seja de 10 cm.

Responder:


É dado que ABCD é um quadrado.

De acordo com o teorema de Pitágoras, em ∆ABD

AB 2 + AD 2 = BD 2 & # 8658 a 2 + a 2 = 10 2 & # 8658 2 a 2 = 100 & # 8658 a 2 = 50 & # 8658 a = 50 & # 8658 a = 5 2 & # 160 cm

Portanto, o lado do quadrado é 5 2 cm.

Agora,
Perímetro de um quadrado = 4 & # 215 lado
= 4 e # 215 a
= 4 × 5 2
= 20 2 cm

Portanto, o perímetro do quadrado é de 20 2 cm.

Página No 39:

Questão 7:

Na figura dada, & angDFE = 90 & deg, FG & perp ED, Se GD = 8, FG = 12, encontre (1) EG (2) FD e (3) EF

Responder:

Nós sabemos isso,
Em um triângulo retângulo, o segmento perpendicular à hipotenusa do vértice oposto é a média geométrica dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.

& # 8756 & # 160 GF 2 = EG & # 215 GD & # 8658 12 2 = EG & # 215 8 & # 8658 144 = EG & # 215 8 & # 8658 EG = 144 8 & # 8658 EG = 18

Agora,
De acordo com o teorema de Pitágoras, em ∆DGF

DG 2 + GF 2 = FD 2 & # 8658 8 2 + 12 2 = FD 2 & # 8658 64 + 144 = FD 2 & # 8658 FD 2 = 208 & # 8658 FD = 4 13

EG 2 + GF 2 = EF 2 & # 8658 18 2 + 12 2 = EF 2 & # 8658 324 + 144 = EF 2 & # 8658 EF 2 = 468 & # 8658 EF = 6 13

Portanto, FD = 4 13 e EF = 6 13.

Página No 39:

Questão 8:

Encontre a diagonal de um retângulo cujo comprimento é 35 cm e largura é 12 cm.

Responder:

According to Pythagoras theorem, in ∆ABC

AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ 35 2 + 12 2 = AC 2 ⇒ 1225 + 144 = AC 2 ⇒ AC 2 = 1369 ⇒ AC = 37   cm

Hence, the length of the diagonal is 37 cm.

Page No 39:

Question 9:

In the given figure, M is the midpoint of QR. &angPRQ = 90°. Prove that, PQ 2 = 4PM 2 &ndash 3PR 2

Answer:

According to Pythagoras theorem,

PR 2 + RM 2 = PM 2 ⇒ RM 2 = PM 2 - PR 2                 . . . 1

PR 2 + RQ 2 = PQ 2 ⇒ PQ 2 = PR 2 + RM + MQ 2 ⇒ PQ 2 = PR 2 + RM + RM 2 ⇒ PQ 2 = PR 2 + 2 RM 2 ⇒ PQ 2 = PR 2 + 4 RM 2 ⇒ PQ 2 = PR 2 + 4 PM 2 - PR 2                   from   1 ⇒ PQ 2 = PR 2 + 4 PM 2 - 4 PR 2 ⇒ PQ 2 = 4 PM 2 - 3 PR 2

Page No 39:

Question 10:

Walls of two buildings on either side of a street are parellel to each other. A ladder 5.8 m long is placed on the street such that its top just reaches the window of a building at the height of 4 m. On turning the ladder over to the other side of the street , its top touches the window of the other building at a height 4.2 m. Find the width of the street.

Answer:

Let the length of the ladder be 5.8 m.

According to Pythagoras theorem, in ∆EAB

EA 2 + AB 2 = EB 2 ⇒ 4 . 2 2 + AB 2 = 5 . 8 2 ⇒ 17 . 64 + AB 2 = 33 . 64 ⇒ AB 2 = 33 . 64 - 17 . 64 ⇒ AB 2 = 16 ⇒ AB = 4   m                     . . . 1

DC 2 + CB 2 = DB 2 ⇒ 4 2 + CB 2 = 5 . 8 2 ⇒ 16 + CB 2 = 33 . 64 ⇒ CB 2 = 33 . 64 - 16 ⇒ CB 2 = 17 . 64 ⇒ CB = 4 . 2   m                     . . . 2

Hence, the width of the street is 8.2 m.

Page No 43:

Question 1:

In ∆PQR, point S is the midpoint of side QR. If PQ = 11, PR = 17, PS =13, find QR.

Answer:

In ∆PQR, point S is the midpoint of side QR.

PQ 2 + PR 2 = 2 PS 2 + 2 QS 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 11 2 + 17 2 = 2 13 2 + 2 QS 2 ⇒ 121 + 289 = 2 169 + 2 QS 2 ⇒ 410 = 338 + 2 QS 2 ⇒ 2 QS 2 = 410 - 338 ⇒ 2 QS 2 = 72 ⇒ QS 2 = 36 ⇒ QS = 6 ∴   QR = 2 × QS                       = 2 × 6                       = 12

Page No 43:

Question 2:

In ∆ABC, AB = 10, AC = 7, BC = 9 then find the length of the median drawn from point C to side AB

Answer:

In ∆ACB, point D is the midpoint of side AB.

CA 2 + CB 2 = 2 DC 2 + 2 AD 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 7 2 + 9 2 = 2 DC 2 + 2 5 2 ⇒ 49 + 81 = 2 DC 2 + 2 25 ⇒ 130 = 2 DC 2 + 50 ⇒ 2 DC 2 = 130 - 50 ⇒ 2 DC 2 = 80 ⇒ DC 2 = 40 ⇒ DC = 2 10

Hence, the length of the median drawn from point C to side AB is 2 10 .

Page No 43:

Question 3:

In the given figure seg PS is the median of ∆PQR and PT &perp QR. Prove that,

(1) PR 2 = PS 2 + QR × ST + QR 2 2

(2) PQ 2 = PS 2 - QR × ST + QR 2 2

Answer:

According to Pythagoras theorem, in ∆PTQ

In ∆PQR, point S is the midpoint of side QR.

PQ 2 + PR 2 = 2 PS 2 + 2 QS 2           by   Apollonius   theorem ⇒ PR 2 = 2 PS 2 + 2 QS 2 - PQ 2 ⇒ PR 2 = PS 2 + PS 2 + QS 2 + QS 2 - PQ 2 ⇒ PR 2 = PS 2 + PT 2 + TS 2 + QS 2 + QR 2 2 - PT 2 + QT 2             From   1 ,   2   and   4 ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + PT 2 + TS 2 + QS 2 - PT 2 - QT 2 ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 + TS 2 - QT 2 ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 + TS + QT TS - QT ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 + QS TS - QT ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 + QS × TS - QS × QT ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS × TS + QS 2 - QS × QT ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS × TS + QS QS - QT ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS × TS + QS × TS ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + 2 QS × TS ⇒ PR 2 = PS 2 + QR 2 2 + QR × TS

Hence, PR 2 = PS 2 + QR × ST + QR 2 2 .

PQ 2 + PR 2 = 2 PS 2 + 2 QS 2           by   Apollonius   theorem ⇒ PQ 2 = 2 PS 2 + 2 QS 2 - PR 2 ⇒ PQ 2 = PS 2 + PS 2 + QS 2 + QS 2 - PR 2 ⇒ PQ 2 = PS 2 + PT 2 + TS 2 + QS 2 + QR 2 2 - PT 2 + RT 2             From   2 ,   3   and   4 ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + PT 2 + TS 2 + QS 2 - PT 2 - RT 2 ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 - RT 2 - TS 2 ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 - TS + RT RT - TS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 - TS + RT RS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 - TS + RT QS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 + QS 2 - QS × TS - QS × RT ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - QS × TS + QS 2 - QS × RT ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - QS × TS - QS RT - QS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - QS × TS - QS RT - SR ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - QS × TS - QS × TS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - 2 QS × TS ⇒ PQ 2 = PS 2 + QR 2 2 - QR × TS

Hence, PQ 2 = PS 2 - QR × ST + QR 2 2 .

Page No 43:

Question 4:

In ∆ABC, point M is the midpoint of side BC.
If, AB 2 + AC 2 = 290 cm 2 , AM = 8 cm, find BC.

Answer:

In ∆ABC, point M is the midpoint of side BC.

AB 2 + AC 2 = 2 AM 2 + 2 BM 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 290 = 2 8 2 + 2 BM 2 ⇒ 290 = 2 64 + 2 BM 2 ⇒ 290 = 128 + 2 BM 2 ⇒ 2 BM 2 = 290 - 128 ⇒ 2 BM 2 = 162 ⇒ BM 2 = 81 ⇒ BM = 9 ∴   BC = 2 × BM                       = 2 × 9                       = 18   cm

Page No 43:

Question 5:

In the given figure, point T is in the interior of rectangle PQRS, Prove that, TS 2 + TQ 2 = TP 2 + TR 2 (As shown in the figure, draw seg AB || side SR and A-T-B)

Answer:

According to Pythagoras theorem, in ∆PAT

Agora,
TS 2 + TQ 2 = AS 2 + AT 2 + QB 2 + BT 2                   From   2   and   3 ⇒ TS 2 + TQ 2 = BR 2 + AT 2 + PA 2 + BT 2                   ∵   AS = BR   and   PA = QB ⇒ TS 2 + TQ 2 = BR 2 + BT 2 + PA 2 + AT 2 ⇒ TS 2 + TQ 2 = TR 2 + PT 2                   From   1   and   4 ⇒ TS 2 + TQ 2 = TR 2 + PT 2

Hence, TS 2 + TQ 2 = TP 2 + TR 2 .

Page No 43:

Question 1:

Some questions and their alternative answers are given. Select the correct alternative.
(1) Out of the following which is the Pythagorean triplet?

Answer:

(1) (A) In the triplet (1, 5, 10),
1 2 = 1, 5 2 = 25, 10 2 = 100 and 1 + 25 = 26 &ne 100

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 (1, 5, 10) is not a pythagorean triplet.

(B) In the triplet (3, 4, 5),
3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25 and 9 + 16 = 25

The square of the largest number is equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 (3, 4, 5) is a pythagorean triplet.

(C) In the triplet (2, 2, 2),
2 2 = 4, 2 2 = 4, 2 2 = 4 and 4 + 4 = 8 &ne 4

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 (2, 2, 2) is not a pythagorean triplet.

(D) In the triplet (5, 5, 2),
2 2 = 4, 5 2 = 25, 5 2 = 25 and 4 + 25 = 29 &ne 25

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 (5, 5, 2) is not a pythagorean triplet.

Hence, the correct option is (B).


(2) According to the pythagoras theorem,
Sum of the squares of the sides making right angle is equal to the square of the third side.

&there4 169 = square of the hypotenuse
&rArr Length of the hypotenuse = 169
= 13

Hence, the correct option is (B).


(3) (A) In the triplet 15/08/17,
15 2 = 225, 8 2 = 64, 17 2 = 289 and 225 + 64 = 289

The square of the largest number is equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 15/08/17 is a pythagorean triplet.

(B) In the triplet 16/08/16,
16 2 = 256, 8 2 = 64, 16 2 = 256 and 256 + 64 = 320 &ne 256

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 16/08/16 is not a pythagorean triplet.

(C) In the triplet 3/5/17,
3 2 = 9, 5 2 = 25, 17 2 = 289 and 9 + 25 = 34 &ne 289

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 3/5/17 is not a pythagorean triplet.

(D) In the triplet 4/9/15,
4 2 = 16, 9 2 = 81, 15 2 = 225 and 16 + 81 = 97 &ne 225

The square of the largest number is not equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 4/9/15 is not a pythagorean triplet.

Hence, the correct option is (A).


(4) In a triangle, if the square of one side is equal to the sum of the squares of the remaining two sides, then the triangle is a right angled triangle.

Hence, the correct option is (C).

It is given that ABCD is a square.

According to Pythagoras theorem, in ∆ABD

AB 2 + AD 2 = BD 2 ⇒ x 2 + x 2 = 10 2 2 ⇒ 2 x 2 = 200 ⇒ x 2 = 100 ⇒ x = 100 ⇒ x = 10   cm

Hence, the side of the square is 10 cm.

Agora,
Perimeter of a square = 4 × side
= 4 × x
= 4 × 10
= 40 cm

Hence, the correct option is (D).


We know that,
In a right angled triangle, the perpendicular segment to the hypotenuse from the opposite vertex, is the geometric mean of the segments into which the hypotenuse is divided.

Hence, the correct option is (C).


(7) According to Pythagoras theorem,

Hence, the correct option is (B).


(8) In ∆ABC, AB = 6 3 cm, AC = 12 cm, BC = 6 cm.

AB 2 = ( 6 3 ) 2 = 108
AC 2 = (12) 2 = 144
BC 2 = (6) 2 = 36

In a triangle, if the square of one side is equal to the sum of the squares of the remaining two sides, then the triangle is a right angled triangle.

In a right angled triangle, if one side is half of the hypotenuse then the angle opposite to that side is 30°.
Here, BC is half of AC.

Hence, the correct option is (A).

Page No 44:

Question 2:

Solve the following examples.
(1) Find the height of an equilateral triangle having side 2uma.
(2) Do sides 7 cm, 24 cm, 25 cm form a right angled triangle ? Give reason.
(3) Find the length a diagonal of a rectangle having sides 11 cm and 60 cm.
(4) Find the length of the hypotenuse of a right angled triangle if remaining sides are 9 cm and 12 cm.
(5) A side of an isosceles right angled triangle is x.Find its hypotenuse.
(6) In ∆PQR PQ = 8 , QR = 5 , PR = 3 . Is ∆PQR a right angled triangle ? If yes, which angle is of 90°?

Answer:


Since, ABC is an equilateral triangle, AD is the perpendicular bisector of BC.

Now, According to Pythagoras theorem,
In ∆ABD

AB 2 = AD 2 + BD 2 ⇒ 2 a 2 = AD 2 + a 2 ⇒ 4 a 2 - a 2 = AD 2 ⇒ AD 2 = 3 a 2 ⇒ AD = 3 a

Hence, the height of an equilateral triangle is 3 a .


(2) In the triplet (7, 24, 25),
7 2 = 49, 24 2 = 576, 25 2 = 625 and 49 + 576 = 625

The square of the largest number is equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 Sides 7 cm, 24 cm, 25 cm form a right angled triangle.


According to Pythagoras theorem,

AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ 60 2 + 11 2 = AC 2 ⇒ 3600 + 121 = AC 2 ⇒ AC 2 = 3721 ⇒ AC = 61   cm

Hence, the length of a diagonal of the rectangle is 61 cm.


(4) In a right angled triangle,

According to Pythagoras theorem.

Hence, the length of the hypotenuse is 15 cm.


(5) It is given that, a side of an isosceles right angled triangle is x.

Then, the other side of the triangle is also x.

According to Pythagoras theorem.

Hence, its hypotenuse is 2 x .


(6) In ∆PQR, PQ = 8 , QR = 5 , PR = 3 .
( 8 ) 2 = 8, ( 5 ) 2 = 5, ( 3 ) 2 = 3 and 3 + 5 = 8

The square of the largest number is equal to the sum of the squares of the other two numbers.

&there4 ∆PQR form a right angled triangle, where angle R is of 90°.

Page No 44:

Question 3:

In ∆RST, &angS = 90°, &angT = 30°, RT = 12 cm then find RS and ST.

Answer:

Hence, RS = 6 cm and ST = 6 3 cm.

Page No 44:

Question 4:

Find the diagonal of a rectangle whose length is 16 cm and area is 192 sq.cm.

Answer:

It is given that, area of rectangle is 192 sq.cm.

According to Pythagoras theorem,

AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ 16 2 + 12 2 = AC 2 ⇒ 256 + 144 = AC 2 ⇒ AC 2 = 400 ⇒ AC = 20   cm

Hence, the length of a diagonal of the rectangle is 20 cm.

Page No 44:

Question 5:

Find the length of the side and perimeter of an equilateral triangle whose height is 3 cm.

Answer:

Since, ABC is an equilateral triangle, CD is the perpendicular bisector of AB.

Now, According to Pythagoras theorem,
In ∆ACD

AC 2 = AD 2 + CD 2 ⇒ 2 a 2 = a 2 + 3 2 ⇒ 4 a 2 - a 2 = 3 ⇒ 3 a 2 = 3 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = 1   cm

Hence, the length of the side of an equilateral triangle is 2 cm.

Agora,
Perimeter of the triangle = (2 + 2 + 2) cm
= 6 cm

Hence, perimeter of an equilateral triangle is 6 cm.

Page No 44:

Question 6:

In ∆ABC seg AP is a median. If BC = 18, AB 2 + AC 2 = 260 Find AP.

Answer:

In ∆ABC, point P is the midpoint of side BC.

AB 2 + AC 2 = 2 AP 2 + 2 BP 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 260 = 2 AP 2 + 2 9 2 ⇒ 260 = 2 AP 2 + 2 81 ⇒ 260 = 2 AP 2 + 162 ⇒ 2 AP 2 = 260 - 162 ⇒ 2 AP 2 = 98 ⇒ AP 2 = 49 ⇒ AP = 7

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Question 7:

∆ABC is an equilateral triangle. Point P is on base BC such that PC = 1 3 BC, if AB = 6 cm find AP.

Answer:

∆ABC is an equilateral triangle.

It is given that,
PC = 1 3 BC ⇒ PC = 1 3 × 6 ⇒ PC = 2   cm ⇒ BP = 4   cm

Since, ABC is an equilateral triangle, OA is the perpendicular bisector of BC.
&there4 OC = 3 cm
&rArr OP = OC &minus PC
= 3 &minus 2
= 1 . (1)

Now, According to Pythagoras theorem,
In ∆AOB,

AB 2 = AO 2 + OB 2 ⇒ 6 2 = AO 2 + 3 2 ⇒ 36 - 9 = AO 2 ⇒ AO 2 = 27 ⇒ AO = 3 3   cm                     . . . 2

AP 2 = AO 2 + OP 2 ⇒ AP 2 = 3 3 2 + 1 2                         From   1   and   2 ⇒ AP 2 = 27 + 1 ⇒ AP 2 = 28 ⇒ AP = 2 7   cm

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Question 8:

From the information given in the figure, prove that PM = PN = 3 × uma

Answer:

Since, ∆PQR is an equilateral triangle, PS is the perpendicular bisector of QR.
&there4 QS = SR = a 2 . (1)

Now, According to Pythagoras theorem,
In ∆PQS,

PQ 2 = QS 2 + PS 2 ⇒ a 2 = a 2 2 + PS 2 ⇒ PS 2 = a 2 - a 2 4 ⇒ PS 2 = 4 a 2 - a 2 4 ⇒ PS 2 = 3 a 2 4 ⇒ PS = 3 a 2                     . . . 2

PM 2 = MS 2 + PS 2 ⇒ PM 2 = a + a 2 2 + 3 2 a 2 ⇒ PM 2 = 3 a 2 2 + 3 2 a 2 ⇒ PM 2 = 9 a 2 4 + 3 a 2 4 ⇒ PM 2 = 12 a 2 4 ⇒ PM 2 = 3 a 2 ⇒ PM = 3 a                     . . . 3

PN 2 = NS 2 + PS 2 ⇒ PN 2 = a + a 2 2 + 3 2 a 2 ⇒ PN 2 = 3 a 2 2 + 3 2 a 2 ⇒ PN 2 = 9 a 2 4 + 3 a 2 4 ⇒ PN 2 = 12 a 2 4 ⇒ PN 2 = 3 a 2 ⇒ PN = 3 a                     . . . 4

From (3) and (4), we get
PM = PN = 3 × uma

Hence, PM = PN = 3 × uma.

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Question 9:

Prove that the sum of the squares of the diagonals of a parallelogram is equal to the sum of the squares of its sides.

Answer:

Diagonals of a parallelogram bisect each other.
i.e. O is the mid point of AC and BD.

In ∆ABD, point O is the midpoint of side BD.

AB 2 + AD 2 = 2 AO 2 + 2 BO 2           by   Apollonius   theorem               . . . 1

In ∆CBD, point O is the midpoint of side BD.

AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = 2 AO 2 + 2 BO 2 + 2 CO 2 + 2 BO 2 ⇒ AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = 2 AO 2 + 4 BO 2 + 2 AO 2               ∵ OC = OA ⇒ AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = 4 AO 2 + 4 BO 2 ⇒ AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = 2 AO 2 + 2 BO 2 ⇒ AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 ⇒ AB 2 + AD 2 + CB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2

Hence, the sum of the squares of the diagonals of a parallelogram is equal to the sum of the squares of its sides.

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Question 10:

Pranali and Prasad started walking to the East and to the North respectively, from the same point and at the same speed. After 2 hours distance between them was 15 2 km. Find their speed per hour.

Answer:

It is given that, Pranali and Prasad have same speed.
Thus, they cover same distance in 2 hours.
i.e. OA = OB

Let the speed be x km per hour.

According to Pythagoras theorem,
In ∆AOB

AB 2 = AO 2 + OB 2 ⇒ 15 2 2 = AO 2 + OA 2 ⇒ 450 = 2 AO 2 ⇒ AO 2 = 450 2 ⇒ AO 2 = 225 ⇒ AO = 15   km ⇒ BO = 15   km

Hence, their speed is 7.5 km per hour.

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Question 11:

In ∆ABC, &angBAC = 90°, seg BL and seg CM are medians of ∆ABC. Then prove that:
4(BL 2 + CM 2 ) = 5 BC 2

Answer:


According to Pythagoras theorem,
In ∆ABC

In ∆ABC, point M is the midpoint of side BD.

AC 2 + BC 2 = 2 CM 2 + 2 AM 2           by   Apollonius   theorem               . . . 2

In ∆CBA, point L is the midpoint of side AC.

AC 2 + BC 2 + CB 2 + AB 2 = 2 CM 2 + 2 AM 2 + 2 BL 2 + 2 AL 2 ⇒ 2 CM 2 + 2 BL 2 = AC 2 + BC 2 + CB 2 + AB 2 - 2 AM 2 - 2 AL 2 ⇒ 2 CM 2 + BL 2 = AC 2 + 2 BC 2 + AB 2 - 2 AM 2 - 2 AL 2 ⇒ 2 CM 2 + BL 2 = AC 2 + AB 2 + 2 BC 2 - 2 1 2 AB 2 - 2 1 2 AC 2 ⇒ 2 CM 2 + BL 2 = BC 2 + 2 BC 2 - 1 2 AB 2 - 1 2 AC 2                         From   1 ⇒ 2 CM 2 + BL 2 = 3 BC 2 - 1 2 AB 2 + AC 2 ⇒ 2 CM 2 + BL 2 = 3 BC 2 - 1 2 BC 2 ⇒ 4 CM 2 + BL 2 = 2 3 BC 2 - 1 2 BC 2 ⇒ 4 CM 2 + BL 2 = 6 BC 2 - BC 2 ⇒ 4 CM 2 + BL 2 = 5 BC 2

Hence, 4(BL 2 + CM 2 ) = 5 BC 2 .

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Question 12:

Sum of the squares of adjacent sides of a parallelogram is 130 sq.cm and length of one of its diagonals is 14 cm. Find the length of the other diagonal.

Answer:

It is given that,
AB 2 + AD 2 = 130 sq. cm
BD = 14 cm

Diagonals of a parallelogram bisect each other.
i.e. O is the mid point of AC and BD.

In ∆ABD, point O is the midpoint of side BD.

AB 2 + AD 2 = 2 AO 2 + 2 BO 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 130 = 2 AO 2 + 2 7 2 ⇒ 130 = 2 AO 2 + 2 × 49 ⇒ 130 = 2 AO 2 + 98 ⇒ 2 AO 2 = 130 - 98 ⇒ 2 AO 2 = 32 ⇒ AO 2 = 16 ⇒ AO = 4   cm

Sinec, point O is the midpoint of side AC.

Hence, the length of the other diagonal is 8 cm.

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Question 13:

In ∆ABC, seg AD &perp seg BC DB = 3CD. Prove that :
2AB 2 = 2AC 2 + BC 2

Answer:

It is given that,
DB = 3 CD


According to Pythagoras theorem,
In ∆ABD

AB 2 = AD 2 + DB 2 ⇒ AD 2 = AB 2 - DB 2                 . . . 2

AC 2 = AD 2 + CD 2 ⇒ AC 2 = AB 2 - DB 2 + CD 2               From   2   ⇒ AC 2 = AB 2 - 3 CD 2 + CD 2               Given ⇒ AC 2 = AB 2 - 9 CD 2 + CD 2 ⇒ AC 2 = AB 2 - 8 CD 2 ⇒ AB 2 = AC 2 + 8 CD 2 ⇒ AB 2 = AC 2 + 8 BC 4 2                     From   1 ⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 2 ⇒ 2 AB 2 = 2 AC 2 + BC 2

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Question 14:

In an isosceles triangle, length of the congruent sides is 13 cm and its base is 10 cm. Find the distance between the vertex opposite the base and the centroid.

Answer:

The centroid is located two third of the distance from any vertex of the triangle.

∴   Distance   between   the   vertex   and   the   centroid = 2 3 × 12 = 8   cm

Hence, the distance between the vertex opposite the base and the centroid is 8 cm.

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Question 15:

In a trapezium ABCD, seg AB || seg DC seg BD &perp seg AD, seg AC &perp seg BC, If AD = 15, BC = 15 and AB = 25. Find A(▢ABCD)

Answer:

According to Pythagoras theorem,
In ∆ABD

AB 2 = AD 2 + DB 2 ⇒ 25 2 = 15 2 + BD 2 ⇒ 625 = 225 + BD 2 ⇒ BD 2 = 625 - 225 ⇒ BD 2 = 400 ⇒ BD = 20

Therefore, height of the trapezium = 12.

Agora,
According to Pythagoras theorem,
In ∆ADP

AD 2 = AP 2 + DP 2 ⇒ 15 2 = 12 2 + AP 2 ⇒ 225 = 144 + AP 2 ⇒ AP 2 = 225 - 144 ⇒ AP 2 = 81 ⇒ AP = 9

Hence, A(▢ABCD) = 192 sq. units.

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Question 16:

In the given figure, ∆PQR is an equilateral triangle. Point S is on seg QR such that
QS = 1 3 QR.
Prove that : 9 PS 2 = 7 PQ 2

Answer:

Let the side of equilateral triangle ∆PQR be x.
PT be the altitude of the ∆PQR.

We know that, in equilateral triangle, altitude divides the base in two equal parts.
&there4 QT = TR = 1 2 QR = x 2

∴   ST = QT - QS = x 2 - x 3 = x 6

According to Pythagoras theorem,
In ∆PQT

PQ 2 = QT 2 + PT 2 ⇒ x 2 = x 2 2 + PT 2 ⇒ x 2 = x 2 4 + PT 2 ⇒ PT 2 = x 2 - x 2 4 ⇒ PT 2 = 3 x 2 4 ⇒ PT = 3 x 2

PS 2 = ST 2 + PT 2 ⇒ PS 2 = x 6 2 + 3 x 2 2 ⇒ PS 2 = x 2 36 + 3 x 2 4 ⇒ PS 2 = x 2 + 27 x 2 36 ⇒ PS 2 = 28 x 2 36 ⇒ PS 2 = 7 x 2 9 ⇒ 9 PS 2 = 7 PQ 2

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Question 17:

Seg PM is a median of ∆PQR. If PQ = 40, PR = 42 and PM = 29, find QR.

Answer:

In ∆PQR, point M is the midpoint of side QR.

PQ 2 + PR 2 = 2 PM 2 + 2 QM 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 40 2 + 42 2 = 2 29 2 + 2 QM 2 ⇒ 1600 + 1764 = 1682 + 2 QM 2 ⇒ 3364 - 1682 = 2 QM 2 ⇒ 1682 = 2 QM 2 ⇒ QM 2 = 841 ⇒ QM = 29 ⇒ QR = 2 × 29 ⇒ QR = 58

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Question 18:

Seg AM is a median of ∆ABC. If AB = 22, AC = 34, BC = 24, find AM

Answer:

In ∆ABC, point M is the midpoint of side BC.

AB 2 + AC 2 = 2 AM 2 + 2 BM 2           by   Apollonius   theorem ⇒ 22 2 + 34 2 = 2 AM 2 + 2 12 2 ⇒ 484 + 1156 = 2 AM 2 + 288 ⇒ 1640 - 288 = 2 AM 2 ⇒ 1352 = 2 AM 2 ⇒ AM 2 = 676 ⇒ AM = 26


Georg Alexander Pick

Georg Pick was born into a Jewish family. His mother was Josefa Schleisinger and his father was Adolf Josef Pick, the head of a private institute. Georg was educated at home by his father up to the age of eleven when he entered the fourth class of the Leopoldstaedter Communal Gymnasium. He sat his school leaving examinations in 1875 which qualified him for university entrance.

Pick entered the University of Vienna in 1875 . He published a mathematics paper in the following year when only seventeen years old. He studied mathematics and physics, graduating in 1879 with a qualification which would allow him to teach both of these subjects. In 1877 Leo Königsberger had moved from Technische Hochschule in Dresden to take up a chair at the University of Vienna. He became Pick's supervisor and, on 16 April 1880 , Pick was awarded his doctorate for his dissertation Über eine Klasse abelscher Integrale Ⓣ . Emil Weyr had been appointed as second examiner of the thesis.

After the award of his doctorate, Pick was appointed as an assistant to Ernest Mach at the Karl-Ferdinand University in Prague. Mach had moved from Graz, where he was professor of mathematics, to Prague in 1867 to take up the chair of physics there. He, like Pick, had studied at the University of Vienna and, by the time Pick became his assistant, he was regarded as one of the leading scientists in Europe. Pick now aimed at becoming a lecturer in Prague and in order to obtain the right to lecture he had to write an habilitation thesis. This he did quite quickly and received the right to lecture in Prague in 1881 with his habilitation thesis Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen Ⓣ .

Except for the academic year 1884 - 85 which Pick spent studying under Klein at the University of Leipzig, he remained in Prague for the rest of his career. He was promoted to extraordinary professor of mathematics in 1888 , then he was appointed as ordinary professor ( full professor ) in 1892 at the German University of Prague. His mathematical work was extremely broad and his 67 papers range across many topics such as linear algebra, invariant theory, integral calculus, potential theory, functional analysis, and geometry. However more than half of his papers were on functions of a complex variable, differential equations, and differential geometry. Terms such as 'Pick matrices', 'Pick-Nevanlinna interpolation', and the 'Schwarz-Pick lemma' are sometimes used today. He is best remembered, however, for Pick's theorem which appeared in his eight page paper of 1899 Geometrisches zur Zahlenlehre Ⓣ published in Prague in Sitzungber. Lotos, Naturwissen Zeitschrift.

Pick's theorem is on reticular geometry. The plane becomes a lattice on setting up two systems of parallel equally spaced straight lines in the plane. These Pick calls the 'main reticular lines' and their points of intersection are called 'reticular points'. A line joining any two reticular points is called a 'reticular line'. Notice that the main reticular lines are reticular lines but there are many other reticular lines. A polygon whose edges are reticular lines Pick calls a reticular polygon. Pick's theorem states that the area of a reticular polygon is L + 1 2 B − 1 L + largefrac<1><2> ormalsize B - 1 L + 2 1 ​ B − 1 where L L L is the number of reticular points inside the polygon and B B B is the number of reticular points on the edges of the polygon. The result did not receive much attention after Pick published it, but in 1969 Steinhaus included it in his famous book Mathematical Snapshots. From that time on Pick's theorem has attracted much attention and admiration for its simplicity and elegance.

At the German University of Prague Pick became dean of the philosophy faculty in 1900 - 01 . He supervised about 20 students for their doctorates, the most famous being Charles Loewner who worked under Pick's supervision and was awarded his doctorate for his thesis on geometric function theory in 1917 . There is another aspect of Pick's life which merits attention. In 1910 he was on a committee set up by the German University of Prague to consider appointing Einstein to the university. Pick was the driving force behind the appointment and Einstein was appointed to a chair of mathematical physics at the German University of Prague in 1911 . He held this post until 1913 and during these years the two were close friends. Not only did they share scientific interests, but they also shared a passionate interest in music. Pick, who played in a quartet, introduced Einstein into the scientific and musical societies of Prague. In fact Pick's quartet consisted of four professors from the university including Camillo Körner, the professor of mechanical engineering.

After Pick retired in 1927 he was named professor emeritus and returned to Vienna, the town of his birth. However, in 1938 he returned to Prague after the Anschluss on 12 March when German troops marched into Austria. At the end of September 1938 the Prague government was asked to give Germany all districts of Bohemia and Moravia with populations that were 50 percent or more German. The leaders of Czechoslovakia resigned rather than agree, but those who took over gave the regions to Germany. Hitler's armies invaded on 14 March 1939 and Hitler installed his representative in Prague to run the country. Pick had been elected as a member of the Czech Academy of Sciences and Arts, but after the Nazis took over Prague, Pick was excluded from the Academy. The Nazis set up a camp at Theresienstadt in Nordboehmen on 24 November 1941 to house elderly, privileged, and famous Jews. Of around 144 , 000 Jews sent to Theresienstadt about a quarter died there and around 60 % were sent on to Auschwitz or other death camps. Pick was sent to Theresienstadt on 13 July 1942 and he died there two weeks later aged 82 .


Assista o vídeo: TEOREMA DE PICK NA GEOMETRIA RESOLUÇÃO DO DESAFIO 14 (Novembro 2021).