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Uma Breve Tabela de Integrais - Matemática


( int u ^ { alpha} du = frac {u ^ { alpha +1}} { alpha +1} + c, quad alpha neq -1 )

( int frac {du} {u} = ln | u | + c )

( int cos u : du = sin u + c )

( int sin u : du = - cos u + c )

( int tan u : du = - ln | cos u | + c )

( int cot u : du = ln | sin u | + c )

( int sec ^ {2} u : du = tan u + c )

( int csc ^ {2} u : du = - cot u + c )

( int sec u : du = ln | sec u + tan u | + c )

( int cos ^ {2} u : du = frac {u} {2} + frac {1} {4} sin 2u + c )

( int sin ^ {2} u : du = frac {u} {2} - frac {1} {4} sin 2u + c )

( int frac {du} {1 + u ^ {2}} du = tan ^ {- 1} u + c )

( int frac {du} { sqrt {1-u ^ {2}}} du = sin ^ {- 1} u + c )

( int frac {1} {u ^ {2} -1} du = frac {1} {2} ln | frac {u-1} {u + 1} | + c )

( int cosh u : du = sinh u + c )

( int sinh u : du = cosh u + c )

( int u : dv = uv- int v : du )

( int u cos u : du = u sin u + cos u + c )

( int u sin u : du = -u cos u + sin u + c )

( int ue ^ {u} du = ue ^ {u} -e ^ {u} + c )

( int e ^ { lambda u} cos omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda cos omega u + omega sin omega u)} { lambda ^ {2} + omega ^ {2}} + c )

( int e ^ { lambda u} sin omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda sin omega u + omega cos omega u)} { lambda ^ {2} + omega ^ {2}} + c )

( int ln | u | : du = u ln | u | -u + c )

( int u ln | u | : du = frac {u ^ {2} ln | u |} {2} - frac {u ^ {2}} {4} + c )

( int cos omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = frac { sin ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} + frac { sin ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u sin omega _ {2} u : du = - frac { sin ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} + frac { sin ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = - frac { cos ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} - frac { cos ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )


42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C

43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u a u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u

44. ∫ e a u sen b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sen b u - b cos b u) + C ∫ e a u sen b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sen b u - b cos b u) + C

45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C

46. ​​∫ ln u d u = u ln u - u + C ∫ ln u d u = u ln u - u + C

47. ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C

48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C


Definição e propriedades de integrais triplos

Podemos introduzir a integral tripla semelhante à integral dupla como um limite de uma soma de Riemann. Partimos do caso mais simples quando a região de integração (U ) é uma caixa retangular ( left [ direita] vezes esquerda [ right] ) ( times left [ direita] ) (Figura (1 )).

Deixe o conjunto de números ( left <<,, ldots,> right > ) ser uma partição de ( left [ right] ) em pequenos intervalos para que as seguintes relações sejam válidas:

Da mesma forma, podemos construir partições do segmento ( left [ right] ) ao longo do eixo (y ) e do segmento ( left [ right] ) ao longo do eixo (z ):

A soma de Riemann da função (f left ( direita) ) sobre a partição de ( esquerda [ direita] vezes esquerda [ right] ) ( times left [ right] ) é definido por

Aqui (< left (<,,> right)> ) é algum ponto na caixa retangular ( left (<<>>,> direita) ) ( vezes esquerda (<<>>,> direita) ) ( vezes esquerda (<<>>,> right), ) e as diferenças são

A integral tripla de uma função (f left ( right) ) no paralelepípedo ( left [ direita] vezes esquerda [ direita] vezes esquerda [ right] ) é definido como um limite da soma de Riemann, de modo que os valores máximos das diferenças ( Delta , ) ( Delta ) e ( Delta ) aproximar-se do zero:

Para definir a integral tripla sobre uma região geral (U, ) escolhemos uma caixa retangular ( left [ right] ) ( times left [ right] ) ( times left [ right] ) contendo a região dada (U. ) Em seguida, introduzimos a função (g left ( right) ) de modo que

Então a integral tripla da função (f left ( right) ) sobre uma região geral (U ) é definido como

Propriedades dos integrais triplos

Vamos (f left ( direita) ) e (g esquerda ( right) ) ser funções integráveis ​​na região (U. ) Então, as seguintes propriedades são válidas:


Uma Breve Tabela de Integrais - Matemática

Lembre-se de que a definição da integral definida (dada novamente abaixo) tem um somatório em seu coração.

Seja brincando com esse somatório ou por outros meios, podemos desenvolver várias propriedades importantes da integral definida. Consideramos vários deles abaixo, por sua vez.

Suponha, como fizemos no passado, que a partição associada à soma de Riemann seja dada por $ a = x_0 lt x_1 lt x_2 lt cdots lt x_n = b $.

Agora lembre-se de que $ Delta_i = x_i - x_$, que muda o sinal quando os limites de integração são trocados de $ displaystyle < int_a ^ b> $ para $ displaystyle < int_b ^ a> $.

Isso introduz $ (- 1) $ como um fator em cada termo da soma de Riemann, que pode ser extraído da soma e, em seguida, do limite.

Obviamente, se o intervalo em questão for $ [a, a] $, qualquer $ Delta_i $ presente na soma de Riemann teria que ser zero - o que, por sua vez, torna a soma e seu limite zero também.

Suponha que $ F $ seja uma antiderivada de $ f $ e $ G $ seja uma antiderivada de $ g $. Então $ F pm G $ deve ser uma antiderivada de $ f pm g $. Isso significa que

Se $ f (x) ge 0 $ onde $ a le x le b $, então $ displaystyle < int_a ^ b f (x) , dx ge 0> $

Saber $ f (x) ge 0 $ nos diz cada $ f (x_i ^ *) ge 0 $. Além disso, como $ a le b $ também sabemos $ Delta_i ge 0 $. Assim, todo termo no somatório abaixo que define a integral definida é não negativo, tornando a soma (e, conseqüentemente, o valor do limite) não negativa.

Seja $ h = f - g $, e então observe que $ h (x) ge 0 $ para todo $ a le x le b $. O resultado anterior então se aplica e nos diz $ int_a ^ b h (x) , dx ge0 $. De forma equivalente, $ int_a ^ b (f (x) -g (x)) , dx = int_a ^ b f (x) , dx - int_a ^ b g (x) ge 0 $.

$ int_a ^ b f (x) , dx ge int_a ^ b g (x) , dx $

Podemos provar isso de maneira rigorosa para quaisquer valores $ a $, $ b $ e $ c $ e a função integrável $ f $, mas o seguinte argumento pode ser mais esclarecedor. Suponha que $ a lt b lt c $ e $ f (x) $ não seja negativo, como sugerido pela imagem abaixo.

Neste contexto, observe que $ int_a ^ bf (x) , dx $ dá a área sob a curva de $ a $ a $ b $ (mostrado em rosa), enquanto $ int_b ^ cf (x) , dx $ fornece a área sob a curva de $ b $ a $ c $ (mostrada em verde claro). Claramente, a soma desses dois é a área sob $ a $ a $ c $, dada por $ int_a ^ c f (x) , dx $.


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PROFESSOR: Então, vamos passar para a terceira unidade aqui. Então, estamos começando com a Unidade 3. E esta é nossa introdução à integração. É basicamente a segunda metade do cálculo após a diferenciação. Hoje vou falar sobre o que é conhecido como integrais definidas. Na verdade, parece que estamos perdendo um monte de luzes no teto? Existe uma razão para isso? Hmm. Vamos ver. Aah. Tudo bem. OK, está um pouco mais claro agora. Tudo bem. Portanto, a ideia de integrais definidas pode ser apresentada de várias maneiras. Mas serei consistente com o resto da apresentação do curso. Vamos começar com o ponto de vista geométrico. E do ponto de vista geométrico, o problema que queremos resolver é encontrar a área sob uma curva. O outro ponto de vista que se pode assumir, e vamos mencionar isso ao final desta palestra, é a ideia de uma soma cumulativa. Portanto, lembre-se de que há muita coisa acontecendo aqui. E existem muitas interpretações diferentes do que é a integral.

Agora, vamos fazer um desenho aqui. Vou começar em um lugar a e terminar em um lugar b. E eu tenho alguma curva aqui. E o que tenho em mente é encontrar essa área aqui. E, claro, para fazer isso, preciso de mais informações do que apenas onde começamos e onde terminamos. Eu também preciso da parte inferior e da parte superior. Por convenção, a parte inferior é o eixo xe a parte superior é a curva que especificamos, que é y = f (x). E temos uma notação para isso, que é a notação usando cálculo para isso em oposição a alguma notação geométrica. E essa é a seguinte expressão. É chamado de integral, mas agora terá o que é conhecido como limites. Vai começar em a e terminar em b. E escrevemos na função f (x) dx. Portanto, isso é conhecido como integral definida. E é interpretado geometricamente como a área sob a curva. A única diferença entre esta coleção de símbolos e o que tínhamos antes com integrais indefinidos é que antes não especificávamos onde começava e onde terminava.

Agora, para entender o que fazer com esse cara, vou apenas descrever de forma muito abstrata o que fazemos. E, em seguida, execute um exemplo em detalhes. Portanto, para computar essa área, vamos seguir inicialmente três etapas. Em primeiro lugar, vamos dividir em retângulos. E, infelizmente, como é impossível dividir uma região curvilínea em retângulos, vamos trapacear. Portanto, eles são apenas retângulos entre aspas. Eles são quase retângulos. E a segunda coisa que vamos fazer é somar as áreas. E a terceira coisa que vamos fazer é corrigir esse problema de que não acertamos na mosca. Que estávamos faltando algumas peças ou escolhendo algumas peças extras. E a maneira de corrigir isso é considerando o limite conforme os retângulos vão ficando mais finos. Infinitesimalmente magro, muito magro.

De forma pictórica, novamente, isso se parece com isso. Temos ae nosso b, e temos nosso cara aqui, essa é a nossa curva. E eu vou cortá-lo. Primeiro, vou dividir o eixo x em pequenos incrementos. E então vou cortar as coisas aqui. E vou decidir sobre algum retângulo, talvez algum padrão de escada aqui. Como isso. Agora, eu não me importo muito. Em alguns casos, os retângulos ultrapassam os limites, em alguns casos eles estão por baixo. Portanto, a nova área que estou adicionando está desativada. Não é exatamente o mesmo que a área sob a curva. É esta região aqui. Mas inclui esses bits extras aqui. E então está faltando esse carinha aqui. Está faltando um pouco. E, como eu disse, esses pedacinhos aqui em cima, esse um pouquinho aqui é extra. É por isso que não estamos realmente dividindo a região em retângulos. Estamos apenas pegando retângulos. E então a ideia é que, à medida que eles ficam mais e mais finos, as pequenas quantidades que perdemos vão para 0. E serão insignificantes. Já, você pode ver que é uma espécie de pedaço fino de área, então não estamos perdendo muito. E à medida que eles ficam cada vez mais finos, o problema vai embora e obtemos a resposta no nariz no limite.

Então aqui está nosso primeiro exemplo. Vou pegar a primeira curva interessante, que é f (x) = x ^ 2. Não quero fazer nada mais complicado do que um exemplo, porque isso é um trabalho real aqui, o que vamos passar. E para tornar as coisas mais fáceis para mim, vou começar com a = 0. Mas, para ver qual é o padrão, vou permitir que b seja arbitrário.

Vamos desenhar o gráfico e começar a separar as coisas. Então aqui está a parábola, e há esta peça que queremos, que vai parar neste lugar, b, aqui. E o primeiro passo é dividir em n pedaços. Isso significa, bem, graficamente, apenas marcarei os três primeiros. E talvez haja muitos deles. E então desenharei alguns retângulos aqui, e irei escolher fazer os retângulos totalmente da direita. Ou seja, vou fazer para nós este padrão de escada aqui, assim. Essa é minha escolha. Posso escolher o nível que quiser e vou escolher as extremidades certas para a forma da escada. Portanto, estou exagerando em cada retângulo.

E agora tenho que escrever fórmulas para o que são essas áreas. Agora, há uma grande vantagem que os retângulos têm. E este é o ponto de partida. O que é que é fácil encontrar suas áreas. Tudo que você precisa saber é a base e a altura, e você multiplica e obtém a área. Essa é a razão pela qual podemos começar com retângulos. E, neste caso, essas distâncias, estou assumindo que são todas iguais, intervalos igualmente espaçados. E eu sempre estarei fazendo isso. E então o espaçamento, as bases, o comprimento da base, é sempre b / n. Todos os intervalos iguais. Então esse é o comprimento da base. E a seguir, preciso das alturas. E para manter o controle das alturas, vou desenhar uma pequena tabela aqui, com x e f (x), e inserir alguns valores apenas para ver qual é o padrão. O primeiro lugar aqui, depois de 0, é b / n. Então aqui está b / n, que é um valor x. E o valor f (x) é a altura lá. E isso é apenas, eu avalio f (x), f (x) é x ^ 2. E isso é (b / n) ^ 2. E da mesma forma, o próximo é 2b / n. E o valor aqui é (2b / n) ^ 2. É isso aí. Esta altura aqui é 2b / n. Esse é o segundo retângulo. E vou escrever mais um. 3b / n, esse é o terceiro. E a altura é (3b / n) ^ 2. E assim por diante.

Bem, meu próximo trabalho é somar essas áreas. E já preparei isso descobrindo qual é a base e a altura. Portanto, a área total, ou a soma das áreas, digamos, desses retângulos, é-- Bem, o primeiro é (b / n) (b / n) ^ 2. O segundo é 2b / n - desculpe, é (b / n) (2b / n) ^ 2. E isso continua. E o último é (b / n) (nb / n) ^ 2. Portanto, é muito importante descobrir qual é a fórmula geral. E aqui temos uma base. E aqui temos uma altura, e aqui temos o mesmo tipo de base, mas temos uma nova altura. E assim por diante. E o padrão é que o coeficiente aqui é 1, depois 2, depois 3, até n. Os retângulos estão ficando cada vez mais altos, e este, o último, é o maior.

OK, este é um gadget muito complicado. e a primeira coisa que quero fazer é simplificá-lo e depois vou avaliá-lo. Mas, na verdade, não vou avaliá-lo exatamente. Vou apenas avaliar o limite. Acontece que os limites são sempre mais fáceis. A questão do cálculo aqui é que esses retângulos são duros. Mas o valor limite é um valor fácil. Portanto, o que estamos buscando é a fórmula simples, em oposição à complicada. Tudo bem, então a primeira coisa que vou fazer é fatorar todos esses fatores b / n. Há um b / n, aqui, e há um (b / n) ^ 2, então, tudo dito, temos um (b / n) ^ 3. Como um fator comum. E então o primeiro termo é 1, e o segundo termo, o que resta, é 2 ^ 2. 2 ^ 2. E então o terceiro termo seria 3 ^ 2, embora eu não o tenha escrito. No último termo, há um fator extra de n ^ 2. No numerador. OK, está todo mundo comigo aqui?

Agora, o que eu gostaria de fazer é, eventualmente, pegar o limite conforme n vai para o infinito aqui. E a quantidade que é difícil de entender é essa quantidade enorme aqui. E há uma mudança que eu gostaria de fazer, mas é muito modesta. Extremamente minúsculo. Que é que vou escrever 1, apenas para ver se há um padrão geral aqui. Vou escrever 1 como 1 ^ 2. E vamos colocar o 3 aqui, por que não. E agora quero usar um truque. Este truque não é totalmente recomendado, mas direi muito mais sobre isso quando chegarmos ao final. Eu quero entender o quão grande é essa quantidade. Vou usar um truque geométrico para fazer um desenho dessa quantidade. Ou seja, vou construir uma pirâmide. E a base da pirâmide será n por n blocos. Imagine que estamos no Egito e construindo uma pirâmide. E a próxima camada será n-1 por n-1. Portanto, esta próxima camada é n-1 por n-1. Portanto, o número total de blocos na parte inferior é n ao quadrado. Esse é o termo mais correto aqui. Mas o próximo período, que eu não escrevi, mas talvez devesse, o penúltimo período foi este. E essa é a segunda camada que coloquei.

Agora, esta é, se você quiser, a vista de cima. Mas talvez devêssemos pensar também em termos de uma visão lateral. Aqui está a mesma imagem, estamos começando em n e construímos essa camada aqui. E agora vamos colocar uma camada em cima, que é um pouco mais curta. Portanto, a primeira camada tem comprimento n. E a segunda camada tem comprimento n-1 e, além disso, temos algo com comprimento n-2 e assim por diante. E vamos empilhá-los. Então, nós os empilhamos. Até o topo, que é apenas um bloco gigante de pedra. E esse é o último, 1 ^ 2. Portanto, estamos retrocedendo na soma. E então eu tenho que construir tudo isso. E eu subo neste padrão de escada até o bloco superior, lá em cima.

Então aqui está o truque que você pode usar para estimar o tamanho disso, e é suficiente no limite quando n vai para o infinito. O truque é que posso imaginar a coisa sólida debaixo da escada, assim. Essa é uma pirâmide comum, não uma pirâmide em escada. Que está dentro. E este está lá dentro. E assim, mas é uma pirâmide comum em oposição a uma pirâmide em escada. E assim, sabemos a fórmula para o volume disso. Porque conhecemos a fórmula para volumes de cones. E a fórmula para o volume desse cara, por dentro, é 1/3 base vezes a altura. E, nesse caso, a base aqui-- então é 1/3, e a base é n por n, certo? Portanto, a base é n ^ 2. Essa é a base. E a altura vai até o ponto mais alto. Portanto, a altura é n. E o que descobrimos aqui é que toda essa soma é maior do que 1/3 n ^ 3.

Agora, eu afirmei que - esta linha, por falar nisso, tem inclinação 2. Então você avança 1/2 cada vez que sobe 1. E é por isso que você chega ao topo. Por outro lado, posso capturá-lo do lado de fora também, desenhando uma linha paralela aqui. E isso vai descer mais 1/2 neste lado e mais 1/2 no outro lado. Portanto, a base será n + 1 por n + 1 desta pirâmide maior. E vai subir 1 mais alto. Portanto, por outro lado, obtemos que isso é menor que 1/3 (n + 1) ^ 3. Novamente, (n + 1) ^ 2 vezes n + 1, novamente, esta é uma base vezes a altura. Desta pirâmide maior. Sim, pergunta.

ALUNO: [INAUDÍVEL] e depois igualando ao volume.

PROFESSOR: A questão é que parece que estou somando áreas e equiparando-as ao volume. Mas, na verdade, estou criando volumes ao fazer esses incrementos honestos aqui. Ou seja, a base é n, mas a altura é 1. Obrigado por apontar isso. Cada uma dessas pequenas escadas aqui tem exatamente uma altura de 1. Portanto, estou honestamente colando blocos ali. Eles são uma espécie de blocos quadrados, e estou alinhando-os. E estou pensando em n por n cubos, se quiser. Cubos honestos, aí. E a altura é 1. E a base é n ^ 2.

Tudo bem, então eu afirmo que prendi esse cara entre duas quantidades aqui. E agora estou pronto para atingir o limite. Se você olhar qual é o nosso objetivo, queremos ter uma expressão como esta. E eu vou ... Essa foi a expressão massiva que tivemos. E, na verdade, vou escrever de forma diferente. Vou escrever como b ^ 3 vezes 1 ^ 2 mais 2 ^ 2 mais. mais n ^ 2, dividido por n ^ 3. Vou combinar todos os n's juntos. Tudo bem, então a coisa certa a fazer é dividir o que eu tinha lá em cima. Divida por n ^ 3 neste conjunto de desigualdades lá. E o que recebo aqui é 1/3 é menos que 1 mais 2 ^ 2 mais 3 ^ 2 mais. mais n ^ 2 dividido por n ^ 3 é menor que 1/3 (n + 1) ^ 3 / n ^ 3. E isso é 1/3 + (1 + 1 / n) ^ 3.

E agora, eu afirmo que terminamos. Porque isso é 1/3, e o limite, conforme n vai para o infinito, dessa quantidade aqui, é facilmente visto como, isto é, quando n vai para o infinito, isso vai para 0. Então isso também vai para 1/3 . E então nosso total aqui, nossa área total, sob x ^ 2, que às vezes podemos escrever a integral de 0 a bx ^ 2 dx, será igual a - bem, é este 1/3 que eu tenho . Mas também havia um b ^ 3 lá. Portanto, há esse b extra ao cubo aqui. Portanto, é 1/3 b ^ 3. Esse é o resultado de todo esse cálculo. Sim, pergunta.

PROFESSOR: Essa foi uma pergunta muito boa. A questão é: por que deixamos b / n ^ 3 de fora, para esta etapa. E uma parte da resposta é malícia premeditada. Em outras palavras, sabemos para onde estamos indo. Sabemos, entendemos, essa quantidade. É tudo uma coisa. Essa coisa é uma soma que está crescendo cada vez mais. Não é o que se chama de formulário fechado. Então, o que não se sabe, ou não se entende bem, é o tamanho dessa quantidade aqui. 1 ^ 2 + 2 ^ 2, a soma dos quadrados. Considerando que isso é algo muito fácil de entender. Então, nós o fatoramos. E analisamos cuidadosamente a peça que ainda não sabemos, de que tamanho é. E descobrimos que é muito, muito semelhante a n ^ 3. Mas é mais semelhante a 1/3 n ^ 3. É quase idêntico a 1/3 n ^ 3. Esta peça extra aqui. Então é isso que está acontecendo. E então nós combinamos isso. Como essa coisa é muito semelhante a 1/3 n ^ 3, cancelamos os n ^ 3 e temos nosso resultado.

Deixe-me apenas mencionar que, embora possa parecer estranho, na verdade é o que você sempre faz quando analisa esses tipos de soma. Você sempre calcula tudo o que pode. E então você ainda se depara com uma soma dessas. Então, isso vai acontecer sistematicamente, toda vez que você se deparar com essa quantia.

OK, agora quero dizer mais uma palavra sobre notação. O que é que essa notação é um incômodo extremo aqui. E é realmente grande demais para nós lidarmos. E assim, os matemáticos têm uma abreviatura para isso. Infelizmente, quando você realmente faz um cálculo, vai acabar com essa coleção de coisas de qualquer maneira. Mas quero apenas mostrar essa notação de soma para compactá-la um pouco.

A ideia de notação de soma é a seguinte. Então, essa coisa tende ... As idéias são as seguintes. Vou ilustrar com um exemplo primeiro. Portanto, a notação geral é a soma de a_i, i = 1 a n, é a_1 mais a_2 mais ponto ponto ponto mais a_n. Portanto, esta é a abreviatura. E este é um sigma maiúsculo. E assim, esta quantidade aqui, por exemplo, é 1 / n ^ 3 vezes a soma i ^ 2, i = 1 a n. Então é a isso que essa coisa é igual. E o que acabamos de mostrar é que isso tende a 1/3 conforme n vai para o infinito. Portanto, é assim que a notação de soma é usada. Há uma fórmula para cada um desses coeficientes, cada uma dessas entradas aqui ou somas. E então esta é apenas uma abreviatura do que é a soma. E esta é a razão pela qual eu segurei aquele 1 ^ 2 no início, para que você pudesse ver que o padrão funcionou até i = 1. Não é uma exceção à regra. É igual a todas as outras.

Agora, aqui, neste quadro, também tínhamos uma dessas somas extremamente longas. E este pode ser escrito da seguinte maneira. E espero que você concorde, isso é bastante difícil de digitalizar. Mas uma maneira de escrever é, é a soma de i = 1 an de - agora eu tenho que escrever a fórmula para o termo geral. Qual é b / n (ib / n) ^ 2. Então essa é uma maneira de abreviar essa fórmula enorme em uma que é muito mais curta. E agora, a manipulação que realizei com ele, que é fatorar este (b / n) ^ 3, é algo que estou perfeitamente autorizado a fazer também aqui. Esta é a lei distributiva. Isso, se eu fatorar b ^ 3 / n ^ 3, fico com a soma, i = 1 an, de i ^ 2, certo? Portanto, essas notações o tornam um pouco mais compacto. Com o que estamos lidando. O fenômeno conceitual ainda é o mesmo. E a bagunça realmente ainda está escondida debaixo do tapete. Mas a notação é - pelo menos se encaixa com menos símbolos, de qualquer maneira.

Então, vamos continuar aqui. Eu dei a você um cálculo. E agora eu quero encaixá-lo em um padrão. E aqui está o que eu gostaria de calcular. Então, primeiro vamos tentar o caso-- S Vou fazer mais dois exemplos. Vou fazer mais dois exemplos, mas serão muito, muito mais fáceis. E então as coisas vão ficar muito mais fáceis de agora em diante. Portanto, o segundo exemplo será a função f (x) = x. Se eu desenhar isso, essa é a função aqui, essa é a linha com inclinação 1. E aqui está b. E então esta área aqui é a mesma que a área do triângulo com base be altura b. Então a área é igual a 1/2 b * b, então esta é a base. E esta é a altura. Também sabemos como encontrar a área dos triângulos. E assim, a fórmula é 1/2 b ^ 2.

E o terceiro exemplo-- Observe, a propósito, eu não tive que fazer essa soma elaborada para fazer isso, porque por acaso conhecemos essa área. O terceiro exemplo será ainda mais fácil. f (x) = 1. De longe o exemplo mais importante. Notavelmente, quando chegar a 18,02, cálculo multivariável, você esquecerá esse cálculo. De alguma forma. E não sei por quê, mas acontece com todo mundo. Então, a função é apenas horizontal, assim. Direito? É a constante 1. E se pararmos em b, então a área em que estamos interessados ​​é apenas esta, de 0 a b. E sabemos que esta é a altura 1, então essa é a área da base, que é b, vezes 1. Então é b.

Vejamos agora o padrão. Vamos olhar o padrão da função, e é a área sob a curva, que é esta-- tem esta fórmula elaborada em termos de-- então esta é apenas a área sob a curva. Entre 0 e b. E temos x ^ 2, que acabou sendo b ^ 3 / 3. E temos x, que acabou sendo - bem, deixe-me escrevê-los um pouco mais para me dar algum espaço. x, que acabou sendo b ^ 2 / 2. E então temos 1, que acabou sendo b. Então, isso, eu afirmo, é sugestivo. Se você puder descobrir o padrão, uma maneira de torná-lo um pouco mais claro é ver que x é x ^ 1. E 1 é x ^ 0. Portanto, este é o caso, 0, 1 e 2. eb é b ^ 1 / 1. Então, se você quiser adivinhar o que acontece quando f (x) é x ^ 3, bem, se for 0, faça b ^ 1 / 1 se for 1, você faz b ^ 2/2 se for 2, você faz b ^ 3 / 3. Portanto, é razoável supor que deve ser b ^ 4 / 4. Essa é uma estimativa razoável, eu diria.

Agora, o estranho é que na história, Arquimedes descobriu a área sob uma parábola. Então, isso foi há muito tempo. Foi depois das pirâmides. E ele usou, na verdade, um método muito mais complicado do que acabei de descrever aqui. E seu método, que é simplesmente fantástico, era tão brilhante que pode ter atrasado a matemática em 2.000 anos. Porque as pessoas eram tão - era tão difícil que as pessoas não conseguissem ver esse padrão. E não dava para ver que, na verdade, esses tipos de cálculos são fáceis. Então, eles não podiam chegar ao cúbico. E mesmo quando chegaram ao cúbico, eles estavam lutando com todo o resto. E não foi até que o cálculo encaixasse tudo junto que as pessoas foram capazes de fazer um progresso sério no cálculo dessas áreas. Mesmo ele sendo o especialista em cálculos de áreas e volumes, para sua época. Portanto, é realmente ótimo que agora possamos ter métodos fáceis de fazer isso. E o que quero dizer é que não teremos que trabalhar para construir pirâmides para calcular todas essas quantidades. Teremos uma maneira mais rápida de fazer isso. Este é o caminho lento e trabalhoso. E seremos capazes de fazer isso tão facilmente que acontecerá tão rápido quanto você diferenciar. Então, isso vai acontecer amanhã. Mas eu quero que você saiba que vai ser ... No entanto, vamos passar apenas por um pouco de dor antes de fazer isso. E vou lhe contar mais uma nota aqui.

Portanto, você precisa ter um pouco de prática apenas para reconhecer o quanto economizaremos. Mas nunca mais você terá que enfrentar argumentos geométricos elaborados como este. Então, deixe-me adicionar um pouco de notação para integrais definidas. E isso leva o nome de somas de Riemann. Recebeu o nome de um matemático de 1800. Portanto, este é o procedimento geral para integrais definidas. Nós o dividimos em pedaços. E como nós fazemos isso? Bem, então aqui está nosso a e aqui está nosso b. E o que vamos fazer é quebrá-lo em pequenos pedaços. E vamos dar um nome ao incremento. E vamos chamar isso de delta x.

Então, nós nos dividimos nesses. Quantas peças existem? Se houver n peças, a fórmula geral é sempre o delta x é 1 / n vezes o comprimento total. Portanto, tem que ser (b-a) / n. Sempre usaremos esses incrementos iguais, embora você não tenha absolutamente que fazer isso. Vamos, por essas somas de Riemann. E agora há apenas um pouco de flexibilidade que nos permitiremos. Qual é isso. Vamos escolher qualquer altura de f entre - no intervalo, em cada intervalo. Então, o que isso significa é, deixe-me mostrar para você na foto aqui. É, eu apenas escolho qualquer valor intermediário, vou chamá-lo de c_i, que está lá. E então eu subo aqui. E eu tenho o nível, que é f (c_i). E esse é o retângulo que escolhi. No caso em que o fizemos, escolhemos sempre o lado direito, que acabou por ser o maior. Mas eu poderia ter escolhido algum nível intermediário. Ou mesmo a extremidade esquerda. O que significaria que a escada seria um pouco mais baixa. Portanto, qualquer uma dessas escadas funcionará perfeitamente bem. Então isso significa pegar f (c_i), e isso é uma altura. E agora vamos apenas adicionar todos eles. E essa é a soma das áreas dos retângulos, porque essa é a altura. E esta é a base.

Essa notação supostamente é, agora, muito sugestiva da notação que Leibniz usou. Que é que no limite, isso se torna uma integral de a a b de f (x) dx. E observe que o delta x é substituído por um dx. Então é isso que acontece no limite. Conforme os retângulos ficam mais finos. Então delta x vai para 0. E esses dispositivos são chamados de somas de Riemann. Isso é chamado de soma de Riemann. E já elaboramos um exemplo. Esse cara muito complicado era um exemplo de soma Riemann. Então, isso é uma notação. E daremos a você a chance de se acostumar um pouco mais quando fizermos algum trabalho numérico no final.

Agora, a última coisa por hoje é, eu prometi a vocês um exemplo que não era um exemplo de área. Eu quero ser capaz de mostrar a você que as integrais podem ser interpretadas como somas cumulativas. Integrais como somas cumulativas. Portanto, este é apenas um exemplo. E, então, é assim que funciona. Então, vamos considerar uma função f, vamos considerar uma variável t, que é o tempo. Em anos. E vamos considerar uma função f (t), que está em dólares por ano. Certo, este é um exemplo financeiro aqui. Essa é a unidade aqui, dólares por ano. E esta será uma taxa de empréstimo. Agora, a razão pela qual quero colocar unidades aqui é para mostrar a você que há uma boa razão para esse dx estranho, que anexamos a essas integrais. Esta notação. Isso nos permite alterar variáveis, permite que isso seja consistente com as unidades. E nos permite desenvolver fórmulas significativas, que são consistentes em todas as áreas. E então eu quero enfatizar as unidades nisto quando eu configurar este problema de modelagem aqui.

Agora, você está pedindo dinheiro emprestado, digamos, todos os dias. Isso significa delta t = 1/365. Isso é quase 1 / infinito, do ponto de vista de vários propósitos. Então é quanto você está pedindo emprestado. Em cada incremento de tempo que você está pegando emprestado. E digamos que você peça um empréstimo - sua taxa varia ao longo do ano. Quer dizer, às vezes você precisa de mais dinheiro, às vezes você precisa de menos. Certamente qualquer negócio seria assim. E então aqui está você, você tem seu dinheiro. E você está pedindo emprestado, mas a taxa está variando. E quanto você pediu emprestado? Bem, no dia 45, que corresponde a t é 45/365, você tomou emprestado a seguinte quantia. Aqui estava sua taxa de empréstimo vezes essa quantidade. Então, dólares por ano. And so this is, if you like-- I want to emphasize the scaling that comes about here. You have dollars per year. And this is this number of years. So that comes out to be in dollars. This final amount. This is the amount that you actually borrow. So you borrow this amount. And now, if I want to add up how much you get-- you've borrowed in the entire year. That's this sum. i = 1 to 365 of f of, well, it's (i / 365) delta t. Which I'll just leave as delta t here. This is total amount borrowed.

This is kind of a messy sum. In fact, your bank probably will keep track of it and they know how to do that. But when we're modeling things with strategies, you know, trading strategies, of course, you're really some kind of financial engineer and you want to cleverly optimize how much you borrow. And how much you spend, and how much you invest. This is going to be very, very similar to the integral from 0 to 1 of f(t) dt. At the scale of 1/35, it's probably-- 365, it's probably enough for many purposes. Now, however, there's another thing that you would want to model. Which is equally important. This is how much you borrowed, but there's also how much you owe the back at the end of the year. And the amount that you owe the bank at the end of the year, I'm going to do it in a fancy way. It's, the interest, we'll say, is compounded continuously. So the interest rate, if you start out with P as your principal, then after time t you owe-- So borrow P, after time t, you owe P e^(rt), where r is your interest rate. Say .05 per year.

That would be an example of an interest rate. And so, if you want to understand how much money you actually owe at the end of the year. At the end of the year what you owe is, well, you borrowed these amounts here. But now you owe more at the end of the year. You owe e^r times the amount of time left in the year. So the amount of time left in the year is 1 - i / 365. Or 365 - i days left. So this is 1 - i / 365. And this is what you have to add up, to see how much you owe. And that is essentially the integral from 0 to 1. The delta t comes out. And you have here e^(r(1-t)), so the t is replacing this i / 365, f(t) dt. And so when you start computing and thinking about what's the right strategy, you're faced with integrals of this type. So that's just an example. And see you next time. Remember to think about questions that you'll ask next time.


Math2.org Math Tables: Special Functions

Ei(x) = e -t /t dt (exponential integral) or it's variant, NONEQUIVALENT form:

(error function)

Psi(n,x) = n th derivative of Psi(x)

(laguerre polynomial degree n. (n) meaning n th derivative)

Dirichlet's beta function


Theorems with hyperlinks have proofs, related theorems, discussions, and/or other info.


A Brief Table of Integrals - Mathematics

There are several types of integrals which go under the name of a ``Dirichlet integral.'' The integral

where the kernel is the Dirichlet Kernel, gives the th partial sum of the Fourier Series.

Another integral is denoted

There are two types of Dirichlet integrals which are denoted using the letters , , , and . The type 1 Dirichlet integrals are denoted , , and , and the type 2 Dirichlet integrals are denoted , , and .

The type 1 integrals are given by

where is the Gamma Function. In the case ,

where the integration is over the Triangle bounded by the -axis, -axis, and line and is the Beta Function.

The type 2 integrals are given for -D vectors and , and ,

and are the cell probabilities. For equal probabilities, . The Dirichlet integral can be expanded as a Multinomial Series as

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 4: Dirichlet Distribution--Type 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1977.

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 9: Dirichlet Integrals of Type 2 and Their Applications. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1985.


2. Types of Integrals

The table presents a selection of integrals found in the Calculus books. It is a compilation of the most commonly used integrals. It includes:

  1. Table of Basic Forms
  2. Table of Rational Integrals
  3. Table of Integrals with Roots
  4. Table of Integrals with Logarithms
  5. Table of Exponential Integrals
  6. Table of Trigonometric Integrals
  7. Table of Products of Trigonometric and Monomial Functions
  8. Table of Products of Trigonometric and Exponential Functions
  9. Table of Integrals of Reverse Trigonometric Functions

The first member of each equation contains the function to be integrated, the second member contains the expanded integral.

The entries in the table are generally ordered according to the integrand form. As in any dictionary, this arrangement makes it easier to locate them. But the ordering also matches surprisingly well with a grouping of different methods, since a special technique of integration is naturally associated with each category. Several reduction formulas are also included.


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OpenType Layout tags used with the MATH Table

The following OpenType Layout tags can be used by a math-layout engine to access a particular set of glyph variants. For detailed descriptions of the feature tags, see the Feature Tags section of the OpenType Layout Tag Registry..

OpenType Layout tags for math processing

This feature provides glyph variants adjusted to be more suitable for use in subscripts and superscripts.

These script style forms should not be scaled or moved in the font scaling and moving them is done by the math-layout engine. Instead, the 'ssty' feature should provide glyph forms that result in shapes that look good as superscripts and subscripts when scaled and positioned by the math engine. When designing the script forms, the font developer may assume that the scriptPercentScaleDown and scriptScriptPercentScaleDown values in the MathConstants table will be scaling factors applied to the size of the alternate glyphs by the math engine.

This feature can have a parameter indicating the script level: 1 for simple subscripts and superscripts, 2 for second level subscripts and superscripts (that is, scripts on scripts), and so on. (Currently, only the first two alternates are used).

For glyphs that are not covered by this feature, the original glyph is used in subscripts and superscripts.

This feature provides flattened forms of accents to be used over high-rise bases such as capitals.

This feature should only change the shape of the accent and should not move it in the vertical or horizontal direction. Moving of the accents is done by the math-layout engine.

Accents are flattened by the math engine if their base is higher than the flattenedAccentBaseHeight value in the MathConstants table.

This feature provides dotless forms for Math Alphanumeric characters, such as U+1D422 MATHEMATICAL BOLD SMALL I, U+1D423 MATHEMATICAL BOLD SMALL J, U+1D456 U+MATHEMATICAL ITALIC SMALL I, U+1D457 MATHEMATICAL ITALIC SMALL J, and so on.

The dotless forms are to be used as base forms for placing mathematical accents over them.


Assista o vídeo: FUNKCJA PIERWOTNA #1 - Dział Całki - Wstęp - Matematyka (Dezembro 2021).