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12.1: A Equação de Calor - Matemática


Começamos o estudo de equações diferenciais parciais com o problema do fluxo de calor em uma barra uniforme de comprimento (L ), situada no eixo (x ) com uma extremidade na origem e a outra em (x = L ) (Figura ( PageIndex {1} )).

Assumimos que a barra está perfeitamente isolada, exceto possivelmente em seus pontos finais, e que a temperatura é constante em cada seção transversal e, portanto, depende apenas de (x ) e (t ). Também assumimos que as propriedades térmicas da barra são independentes de (x ) e (t ). Neste caso, pode-se mostrar que a temperatura (u = u (x, t) ) no tempo (t ) em um ponto (x ) unidades da origem satisfaz a equação diferencial parcial

[u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0, não numérico ]

onde (a ) é uma constante positiva determinada pelas propriedades térmicas. Isto é o equação do calor.

Para determinar (u ), devemos especificar a temperatura em cada ponto da barra quando (t = 0 ), digamos

[u (x, 0) = f (x), quad 0 le x le L. nonumber ]

Nós chamamos isso de inicial doença. Devemos também especificar condições de fronteira que (u ) deve satisfazer as extremidades da barra para todos (t> 0 ). Chamaremos esse problema de problema do valor limite inicial.

Começamos com as condições de contorno (u (0, t) = u (L, t) = 0 ), e escrevemos o problema do valor de contorno inicial como

[ label {eq: 12.1.1} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0,} {u (0, t) = 0, quad u (L, t) = 0, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x), quad 0 leq x leq L.} end {array} ]

Nosso método de resolver este problema é chamado separação de variáveis (não deve ser confundido com o método de separação de variáveis ​​usado na Seção 2.2 para resolver equações diferenciais ordinárias). Começamos procurando funções do formulário

[v (x, t) = X (x) T (t) não numérico ]

que não são identicamente zero e satisfazem

[v_t = a ^ 2v_ {xx}, quad v (0, t) = 0, quad v (L, t) = 0 não numérico ]

para todos ((x, t) ). Desde a

[v_t = XT ' quad text {e} quad v_ {xx} = X''T, nonumber ]

(v_t = a ^ 2v_ {xx} ) se e somente se

[XT '= a ^ 2X''T, nonumber ]

que reescrevemos como

[{T ' over a ^ 2T} = {X' ' over X}. enhum número ]

Uma vez que a expressão à esquerda é independente de (x ) enquanto a da direita é independente de (t ), esta equação pode ser válida para todos ((x, t) ) apenas se os dois lados forem iguais a mesma constante, que chamamos de constante de separaçãoe escreva como (- lambda ); portanto,

[{X '' over X} = {T ' over a ^ 2T} = - lambda. enhum número ]

Isso é equivalente a

[X '' + lambda X = 0 não número ]

e

[ label {eq: 12.1.2} T '= - a ^ 2 lambda T. ]

Uma vez que (v (0, t) = X (0) T (t) = 0 ) e (v (L, t) = X (L) T (t) = 0 ) e não queremos (T ) para ser igual a zero, (X (0) = 0 ) e (X (L) = 0 ). Portanto, ( lambda ) deve ser um autovalor do problema do valor limite

[ label {eq: 12.1.3} X '' + lambda X = 0, quad X (0) = 0, quad X (L) = 0, ]

e (X ) deve ser uma autofunção ( lambda ). Do Teorema 11.1.2, os autovalores da Equação ref {eq: 12.1.3} são ( lambda_n = n ^ 2 pi ^ 2 / L ^ 2 ), com autofunções associadas

[X_n = sin {n pi x over L}, quad n = 1,2,3, pontos. enhum número ]

Substituir ( lambda = n ^ 2 pi ^ 2 / L ^ 2 ) na Equação ref {eq: 12.1.2} resulta

[T '= - (n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2 / L ^ 2) T, não numérico ]

que tem a solução

[T_n = e ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2}. enhum número ]

Agora deixe

[v_n (x, t) = X_n (x) T_n (t) = e ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} sin {n pi x over L}, quad n = 1,2,3, pontos não numérico ]

Desde a

[v_n (x, 0) = sin {n pi x over L}, nonumber ]

(v_n ) satisfaz a Equação ref {eq: 12.1.1} com (f (x) = sin n pi x / L ). Mais geralmente, se ( alpha_1, dots, alpha_m ) são constantes e

[u_m (x, t) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_ne ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} sin {n pi x over L}, nenhum número ]

então (u_m ) satisfaz a Equação ref {eq: 12.1.1} com

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_n sin {n pi x over L}. enhum número ]

Isso motiva a próxima definição.

Teorema ( PageIndex {1} )

O solução formal do problema do valor limite inicial

[ label {eq: 12.1.4} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0,} {u (0, t) = 0, quad u (L, t) = 0, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x), quad 0 leq x leq L} end {array} ]

é

[ label {eq: 12.1.5} u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_ne ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} sin { n pi x over L}, ]

Onde

[S (x) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n sin n pi x over L nonumber ]

é a série senoidal de Fourier de (f ) em ([0, L] ); isso é,

[ alpha_n = dfrac {2} {L} int_0 ^ L f (x) sin dfrac {n pi x} {L} , dx. enhum número ]

Usamos o termo "solução formal" nesta definição porque não é em geral verdade que a série infinita na Equação ref {eq: 12.1.5} realmente satisfaça todos os requisitos do problema de valor limite inicial Equação ref {eq : 12.1.4} quando isso acontece, dizemos que é um solução real da Equação ref {eq: 12.1.4}.

Por causa das exponenciais negativas na Equação ref {eq: 12.1.5}, (u ) converge para todos ((x, t) ) com (t> 0 ) (Exercício 12.1.54) Uma vez que cada termo na Equação ref {eq: 12.1.5} satisfaz a equação do calor e as condições de contorno na Equação ref {eq: 12.1.4}, (u ) também tem essas propriedades se (u_t ) e (u_ {xx} ) pode ser obtido diferenciando a série na Equação ref {eq: 12.1.5} termo por termo uma vez em relação a (t ) e duas vezes em relação a (x ), para (t> 0 ). No entanto, nem sempre é legítimo diferenciar uma série infinita termo por termo. O próximo teorema fornece uma condição suficiente útil para a legitimidade da diferenciação termo a termo de uma série infinita. Omitimos a prova.

Teorema ( PageIndex {2} )

Uma série infinita convergente

[W (z) = sum_ {n = 1} ^ infty w_n (z) não numérico ]

pode ser diferenciado termo por termo em um intervalo fechado ([z_1, z_2] ) para obter

[W '(z) = sum_ {n = 1} ^ infty w_n' (z) não numérico ]

(() onde as derivadas em (z = z_1 ) e (z = z_2 ) são unilaterais () ) desde que (w_n ') seja contínuo em ([z_1, z_2 ]) e

[| w_n '(z) | le M_n, quad z_1 le z le z_2, quad n = 1,2,3, pontos, não número ]

onde (M_1, ) (M_2, )…, (M_n, )…, são constantes tais que a série ( sum_ {n = 1} ^ infty M_n ) converge.

O teorema ( PageIndex {2} ), aplicado duas vezes com (z = x ) e uma vez com (z = t ), mostra que (u_ {xx} ) e (u_t ) podem ser obtido pela diferenciação de (u ) termo por termo se (t> 0 ) (Exercício 12.1.54) Portanto, (u ) satisfaz a equação do calor e as condições de contorno na Equação ref {eq: 12.1.4} para (t> 0 ). Portanto, uma vez que (u (x, 0) = S (x) ) para (0 le x le L ), (u ) é uma solução real da Equação ref {eq: 12.1.4 } se e somente se (S (x) = f (x) ) para (0 le x le L ). Do Teorema 11.3.2, isso é verdadeiro se (f ) é contínuo e suave por partes em ([0, L] ), e (f (0) = f (L) = 0 ).

Neste capítulo, definiremos soluções formais para vários tipos de problemas. Quando pedimos que você resolva esses problemas, sempre queremos dizer que você deve encontrar uma solução formal.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva a equação ref {eq: 12.1.4} com (f (x) = x (x ^ 2-3Lx + 2L ^ 2) ).

Solução

Do Exemplo [exemplo: 11.3.6}, a série senoidal de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é

[S (x) = frac {12L ^ {3}} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n ^ {3}} sin frac {n pi x} {L} nonumber ]

Portanto

[u (x, t) = frac {12L ^ {3}} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n ^ {3}} e ^ {- n ^ {2} pi ^ {2} a ^ {2} t / L ^ {2}} sin frac {n pi x} {L} nonumber ]

Se ambas as extremidades da barra forem isoladas de modo que nenhum calor possa passar por elas, então as condições de contorno são

[u_x (0, t) = 0, quad u_x (L, t) = 0, quad t> 0. enhum número]

Nós deixamos isso para você (Exercício 12.1.1) para usar o método de separação de variáveis ​​e o Teorema 11.1.3 para motivar a próxima definição.

Teorema ( PageIndex {3} )

A solução formal do problema do valor limite inicial

[ label {eq: 12.1.6} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0,} {u_ {x} (0, t) = 0, quad u_ {x} (L, t) = 0, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x) , quad 0 leq x leq L} end {array} ]

é

[u (x, t) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ infty alpha_ne ^ {- n ^ 2 pi ^ 2 a ^ 2t / L ^ 2} cos {n pi x over L}, nonumber ]

Onde

[C (x) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n cos {n pi x over L} nonumber ]

é a série de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L]; ) ou seja,

[ alpha_0 = {1 over L} int_0 ^ Lf (x) , dx quad text {e} quad alpha_n = {2 over L} int_0 ^ Lf (x) cos {n pi x over L} , dx, quad n = 1,2,3, pontos. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva a equação ref {eq: 12.1.6} com (f (x) = x ).

Solução

Do Exemplo 11.3.1, a série de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é

[C (x) = frac {L} {2} - frac {4L} { pi ^ {2}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n- 1) ^ {2}} cos frac {(2n-1) pi x} {L} nonumber ]

Portanto

[u (x, t) = {L over2} - {4L over pi ^ 2} sum_ {n = 1} ^ infty {1 over (2n-1) ^ 2} e ^ {- (2n-1) ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} cos {(2n-1) pi x over L}. enhum número]

Nós deixamos isso para você (Exercício 12.1.2) para usar o método de separação de variáveis ​​e o Teorema 11.1.4 para motivar a próxima definição.

Teorema ( PageIndex {4} )

A solução formal do problema do valor limite inicial

[ label {eq: 12.1.7} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0,} {u (0, t) = 0, quad u_ {x} (L, t) = 0, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x), quad 0 leq x leq L} end {array} ]

é

[u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_ne ^ {- (2n-1) ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / 4L ^ 2} sin {(2n-1) pi x over2L}, nonumber ]

Onde

[S_M (x) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n sin {(2n-1) pi x over2L} nonumber ]

é a série sinusoidal de Fourier mista de (f ) em ([0, L]; ) ou seja,

[ alpha_n = {2 over L} int_0 ^ Lf (x) sin {(2n-1) pi x over2L} , dx. nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva a equação ref {eq: 12.1.7} com (f (x) = x ).

Solução

Do Exemplo 11.3.4, a série sinusoidal de Fourier mista de (f ) em ([0, L] ) é

[S_M (x) = - {8L over pi ^ 2} sum_ {n = 1} ^ infty {(- 1) ^ n over (2n-1) ^ 2} sin {(2n- 1) pi x over2L}. enhum número]

Portanto

[u (x, t) = - {8L over pi ^ 2} sum_ {n = 1} ^ infty {(- 1) ^ n over (2n-1) ^ 2} e ^ {- (2n-1) ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / 4L ^ 2} sin {(2n-1) pi x over2L}. enhum número]

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra um gráfico de (u = u (x, t) ) traçado em relação a (x ) para vários valores de (t ). A linha (y = x ) corresponde a (t = 0 ). As outras curvas correspondem a valores positivos de (t ). À medida que (t ) aumenta, os gráficos se aproximam da linha (u = 0 ).

Nós deixamos isso para você (Exercício 12.1.3) para usar o método de separação de variáveis ​​e o Teorema 11.1.5 para motivar a próxima definição.

Teorema ( PageIndex {5} )

A solução formal do problema do valor limite inicial

[ label {eq: 12.1.8} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx}, quad 0 0,} {u_ {x} (0, t) = 0, quad u (L, t) = 0, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x), quad 0 leq x leq L} end {array} ]

é

[u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_ne ^ {- (2n-1) ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / 4L ^ 2} cos {(2n-1) pi x over2L}, nonumber ]

Onde

[C_M (x) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n cos {(2n-1) pi x over2L} nonumber ]

é a série mista de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ); isso é,

[ alpha_n = {2 over L} int_0 ^ Lf (x) cos {(2n-1) pi x over2L} , dx. nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva a equação ref {eq: 12.1.8} com (f (x) = x-L ).

Solução

Do Exemplo 11.3.3, a série mista de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é

[C_M (x) = - {8L over pi ^ 2} sum_ {n = 1} ^ infty {1 over (2n-1) ^ 2} cos {(2n-1) pi x over2L}. nonumber ]

Portanto

[u (x, t) = - {8L over pi ^ 2} sum_ {n = 1} ^ infty {1 over (2n-1) ^ 2} e ^ {- (2n-1) ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / 4L ^ 2} cos {(2n-1) pi x over2L}. Nonumber ]

Problemas não homogêneos

Um problema de formulário

[ label {eq: 12.1.9} begin {array} {c} {u_ {t} = a ^ {2} u_ {xx} + h (x), quad 0 0,} {u (0, t) = u_ {0}, quad u (L, t) = u_ {L}, quad t> 0,} {u (x, 0) = f (x), quad 0 leq x leq L} end {array} ]

pode ser transformado em um problema que pode ser resolvido por separação de variáveis. Nós escrevemos

[ label {eq: 12.1.10} u (x, t) = v (x, t) + q (x), ]

onde (q ) deve ser determinado. Então

[u_t = v_t quad text {e} quad u_ {xx} = v_ {xx} + q '' nonumber ]

então (u ) satisfaz a Equação ref {eq: 12.1.9} se (v ) satisfaz

[ begin {array} {c} {v_ {t} = a ^ {2} v_ {xx} + a ^ {2} q '' (x) + h (x), quad 0 0,} {v (0, t) = u_ {0} -q (0), quad v (L, t) = u_ {L} -q (L), quad t > 0,} {v (x, 0) = f (x) -q (x), quad 0 leq x leq L.} End {array} nonumber ]

Isso se reduz a

[ label {eq: 12.1.11} begin {array} {c} {v_ {t} = a ^ {2} v_ {xx}, quad 0 0,} {v (0, t) = 0, quad v (L, t) = 0, quad t> 0,} {v (x, 0) = f (x) -q (x), quad 0 leq x leq L} end {array} ]

E se

[a ^ 2q '' + h (x) = 0, quad q (0) = u_0, quad q (L) = u_L. nonumber ]

Podemos obter (q ) integrando (q '' = - h / a ^ 2 ) duas vezes e escolhendo as constantes de integração de modo que (q (0) = u_0 ) e (q (L) = u_L ). Então podemos resolver a Equação ref {eq: 12.1.11} para (v ) por separação de variáveis, e a Equação ref {eq: 12.1.10} é a solução da Equação ref {eq: 12.1.9} .

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolver

[ begin {array} {c} {u_ {t} = u_ {xx} -2, quad 0 0,} {u (0, t) = - 1 , quad u (1, t) = 1, quad t> 0,} {u (x, 0) = x ^ {3} -2x ^ {2} + 3x-1, quad 0 leq x leq 1.} end {array} nonumber ]

Solução

Deixamos isso para você mostrar que

[q (x) = x ^ 2 + x-1 nonumber ]

satisfaz

[q '' - 2 = 0, quad q (0) = - 1, quad q (1) = 1. nonumber ]

Portanto

[u (x, t) = v (x, t) + x ^ 2 + x-1, não numérico ]

Onde

[v_ {t} = v_ {xx}, quad 0 0, nonumber ]

[v (0, t) = 0, quad v (1, t) = 0, quad t> 0, nonumber ]

e

[v (x, 0) = x ^ 3-2x ^ 2 + 3x-1-x ^ 2-x + 1 = x (x ^ 2-3x + 2). nonumber ]

Do Exemplo ( PageIndex {1} ) com (a = 1 ) e (L = 1 ),

[v (x, t) = {12 over pi ^ 3} sum_ {n = 1} ^ infty {1 over n ^ 3} e ^ {- n ^ 2 pi ^ 2t} sin n pi x. nonumber ]

Portanto

[u (x, t) = x ^ 2 + x-1 + {12 over pi ^ 3} sum_ {n = 1} ^ infty {1 over n ^ 3} e ^ {- n ^ 2 pi ^ 2t} sin n pi x. enhum número]

Um procedimento semelhante funciona se as condições de contorno na Equação ref {eq: 12.1.11} são substituídas por condições de contorno mistas

[u_x (0, t) = u_0, quad u (L, t) = u_L, quad t> 0 não numérico ]

ou

[u (0, t) = u_0, quad u_x (L, t) = u_L, quad t> 0; nonumber ]

no entanto, isso não é verdade em geral para as condições de limite

[u_x (0, t) = u_0, quad u_x (L, t) = u_L, quad t> 0. nonumber ]

(Ver Exercício 12.1.47.)

Usando Tecnologia

Os experimentos numéricos podem aprimorar sua compreensão das soluções de problemas de valor de limite inicial. Para ser específico, considere a solução formal

[u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_ne ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} sin {n pi x over L}, enhum número]

da Equação ref {eq: 12.1.4}, onde

[S (x) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n sin {n pi x over L} nonumber ]

é a série senoidal de Fourier de (f ) em ([0, L] ). Considere a (m ) - ésima soma parcial

[ label {eq: 12.1.12} u_m (x, t) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_ne ^ {- n ^ 2 pi ^ 2a ^ 2t / L ^ 2} sin {n pi x over L}. ]

Para vários valores fixos de (t ) (incluindo (t = 0 )), gráfico (u_m (x, t) ) versus (t ). Em alguns casos, pode ser útil representar graficamente as curvas correspondentes aos vários valores de (t ) nos mesmos eixos; em outros casos, você pode querer representar graficamente as várias curvas sucessivamente (para valores crescentes de (t )), e crie um filme primitivo em seu monitor. Repita este experimento para vários valores de (m ), para comparar como os resultados dependem de (m ) para valores pequenos e grandes de (t ). No entanto, tenha em mente que os significados de “pequeno” e “grande”, neste caso, dependem das constantes (a ^ 2 ) e (L ^ 2 ). Uma boa maneira de lidar com isso é reescrever a Equação ref {eq: 12.1.12} como

[u_m (x, t) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_ne ^ {- n ^ 2 tau} sin {n pi x over L}, nonumber ]

Onde

[ label {eq: 12.1.13} tau = { pi ^ 2a ^ 2t over L ^ 2}, ]

e gráfico (u_m ) versus (x ) para valores selecionados de ( tau ).

Esses comentários também se aplicam às situações consideradas nos Teoremas ( PageIndex {3} ) - ( PageIndex {5} ), exceto que a Equação ref {eq: 12.1.13} deve ser substituída por

[ tau = { pi ^ 2a ^ 2t over 4L ^ 2}, nonumber ]

em Teoremas ( PageIndex {4} ) e ( PageIndex {5} ).


Transferência de Calor Convectiva

A energia térmica transferida entre uma superfície e um fluido em movimento com diferentes temperaturas - é conhecida como convecção.

Na realidade, esta é uma combinação de difusão e movimento em massa de moléculas. Perto da superfície, a velocidade do fluido é baixa e a difusão predomina. À distância da superfície, o movimento em massa aumenta a influência e domina.

A transferência de calor por convecção pode ser

Convecção Forçada ou Assistida

A convecção forçada ocorre quando um fluxo de fluido é induzido por uma força externa, como uma bomba, ventilador ou um misturador.

Convecção Natural ou Livre

A convecção natural é causada por forças de flutuabilidade devido a diferenças de densidade causadas por variações de temperatura no fluido. No aquecimento, a mudança de densidade na camada limite fará com que o fluido suba e seja substituído por um fluido mais frio que também aquece e sobe. Este fenômeno contínuo é chamado de convecção livre ou natural.

Os processos de ebulição ou condensação também são chamados de processos de transferência de calor por convecção.

  • A transferência de calor por unidade de superfície por convecção foi descrita pela primeira vez por Newton e a relação é conhecida como Lei de Resfriamento de Newton.

A equação para convecção pode ser expressa como:

q = hc A dT (1)

Onde

q = calor transferido por unidade de tempo (W, Btu / hr)

UMA = área de transferência de calor da superfície (m2, ft 2)

hc= coeficiente de transferência de calor convectivo do processo (W / (m 2o C, Btu / (ft 2 h o F))

dT = diferença de temperatura entre a superfície e o fluido a granel (o C, F)

Coeficientes de transferência de calor - unidades

  • 1 W / (m 2 K) = 0,85984 kcal / (h m 2 o C) = 0,1761 Btu / (ft 2 h o F)
  • 1 Btu / (ft 2 h o F) = 5,678 W / (m 2 K) = 4,882 kcal / (h m 2 o C)
  • 1 kcal / (h m 2 o C) = 1,163 W / (m 2 K) = 0,205 Btu / (ft 2 h o F)

Coeficientes Convectivos de Transferência de Calor

Coeficientes de transferência de calor convectivos - hc - depende do tipo de mídia, se é gás ou líquido, e propriedades de fluxo, como velocidade, viscosidade e outras propriedades dependentes de fluxo e temperatura.

Coeficientes de transferência de calor convectivos típicos para algumas aplicações de fluxo de fluido comuns:

  • Convecção livre - ar, gases e vapores secos: 0,5 - 1000 (W / (m 2 K))
  • Convecção Livre - água e líquidos: 50 - 3000 (W / (m 2 K))
  • Convecção forçada - ar, gases e vapores secos: 10 - 1000 (W / (m 2 K))
  • Convecção forçada - água e líquidos: 50 - 10.000 (W / (m 2 K))
  • Convecção forçada - metais líquidos: 5000 - 40000 (W / (m 2 K))
  • Água fervente: 3.000 - 100.000 (W / (m 2 K))
  • Vapor de água de condensação: 5.000 - 100.000 (W / (m 2 K))

Coeficiente de transferência de calor convectivo para o ar

O coeficiente de transferência de calor por convecção para ar o fluxo pode ser aproximado a

hc = coeficiente de transferência de calor (kCal / m 2 h & degC)

v = velocidade relativa entre a superfície do objeto e o ar (m / s)

hcW = 12,12 - 1,16 v + 11,6 v 1/2 (2b)

Observação! - esta é uma equação empírica e pode ser usada para velocidades 2 para 20 m / s.

Exemplo - Transferência de Calor Convectiva

Um fluido flui sobre uma superfície plana 1 m por 1 m. A temperatura da superfície é 50 o C, a temperatura do fluido é 20 o C e o coeficiente de transferência de calor convectivo é 2000 W / m 2o C. A transferência de calor por convecção entre a superfície mais quente e o ar mais frio pode ser calculada como

q = (2000 W / (m 2o C)) ((1 m) (1 m)) ((50 o C) - (20 o C))

= 60.000 (W)

= 60 (kW)

Calculadora Convectiva de Transferência de Calor

Gráfico Convectivo de Transferência de Calor


12.1: A Equação de Calor - Matemática

Germain Henri Hess, em 1840, descobriu um princípio muito útil que foi batizado em sua homenagem:

Outra forma de declarar a Lei de Hess é:

Exemplo 1: Calcule a entalpia para esta reação:

Dadas as seguintes equações termoquímicas:

1) Determine o que devemos fazer com as três equações fornecidas para obter nossa equação de destino:

2) Reescreva todas as três equações com as alterações aplicadas:

4) Some os valores e DeltaH para nossa resposta:

Exemplo # 2: Calcule a entalpia da seguinte reação química:

1) O que fazer com as equações de dados:

Exemplo # 3: Dados os seguintes dados:

Encontre o & DeltaH da seguinte reação:

1) Analise o que deve acontecer com cada equação:

a) primeiro eq ---> inverta-o (isso coloca o CO2 no lado direito, onde queremos)

b) segunda eq ---> não inverta, divida por dois (não inverta porque precisamos cancelar o SrO, divida por dois porque só precisamos cancelar um SrO)

c) terceira equação ---> inverta-a (para colocar o SrCO3 por outro lado, para que possamos cancelá-lo), divida por dois (já que precisamos cancelar apenas um SrCO3)

Observe que o que fizemos com a terceira equação também configura o Sr para ser cancelado. Por que não multiplicar também a primeira equação por dois (para obter 2SrO para cancelamento)? Porque nós queremos apenas um CO2 na resposta final, não dois. Observe também que ignorei o oxigênio. Se tudo estiver certo, o oxigênio cuidará de si mesmo.

2) Aplique todas as alterações acima (observe o que acontece com os valores & DeltaH):

3) Aqui está uma lista do que é eliminado quando tudo é adicionado:

SrCO3, SrO, Sr, 1 & # 82602 O2

O último vem de 3 & # 82602 O2 à esquerda na terceira equação e 1 & # 82602 O2 à direita na segunda equação.

4) Adicione as equações e os valores & DeltaH:

Observe o f subscrito. Esta é a reação de formação de CO2 e seu valor pode ser consultado em seu livro ou online.

Exemplo # 4: Dadas as seguintes informações:

Calcule a mudança de entalpia para a reação abaixo:

1) Analise o que deve acontecer com cada equação:

a) primeiro eq ---> inverter multiplicar por 3 & # 82602 (isso dá 3NO2 bem como o 3NO que será necessário para obter um NÃO na resposta final)

b) segundo eq ---> divida por 2 (dá dois ácidos nítricos na resposta final)

c) terceiro eq ---> flip (cancela 2NO, bem como nitrogênio)

a) a etapa 1a acima coloca 3 & # 82602 O2 à direita
b) etapa 1b coloca 5 & # 82602 O2 à esquerda
c) a etapa 1c coloca 2 & # 82602 O2 à direita

Além disso, a e c fornecem 5 & # 82602 O2 à direita para cancelar o 5 & # 82602 O2 à esquerda.

3) Aplique todas as alterações listadas acima:

4) Adicione as equações e os valores & DeltaH:

Exemplo # 5: Calcule & DeltaH para esta reação: CH4(g) + NH3(g) ---> HCN (g) + 3H2(g)

1) Analise o que deve acontecer com cada equação:

2) Refaça todas as equações com as mudanças:

4) Calcule o & DeltaH para nossa reação:

(+45,9 kJ) + (+74,9 kJ) + (+135,15) = +255,95 kJ

Arredondado para três sig figos dá +260. kJ (observe o uso do ponto decimal explícito)

Exemplo # 6: Determine o calor de reação para a oxidação do ferro:

dadas as equações termoquímicas:

1) Aqui está o que precisa ser feito:

2) A soma das equações fornece a equação de destino. Adicionar as entalpias nos dá nossa resposta:

Observe como o fator de multiplicação não precisa ser um valor inteiro.

Exemplo # 7: Usando as seguintes equações termoquímicas, calcule a entalpia padrão de combustão para um mol de acetona líquida (C3H6O).

1) A combustão da acetona líquida é a equação alvo. Escreva (e equilibre):

2) A primeira equação de dados precisa ser invertida, para colocar a acetona no lado do reagente. Aqui estão todas as três equações de dados com a primeira alterada:

3) A segunda equação de dados precisa ser alterada para criar uma situação onde os 3C (s) serão cancelados quando as equações forem adicionadas:

4) O 3H2(g) (presente na primeira equação de dados) também precisa ser removido da resposta final. Outra multiplicação por 3 é usada:

5) Adicione as três equações de dados para recuperar a equação de destino apresentada na etapa 1. Observe o seguinte:

1 ⁄2 O2(g) cancelará de cada lado, deixando 4O2(g) no lado esquerdo.

As entalpias são somadas para obter a resposta final de & # 87221755 kJ.

Exemplo # 8: A mudança de entalpia padrão de formação de propano é impossível de medir diretamente. Isso ocorre porque o carbono e o hidrogênio não vão reagir diretamente para formar o propano. No entanto, as mudanças de entalpia padrão de combustão são relativamente fáceis de medir.

Determine a entalpia de formação do propano.

1) A equação química de interesse é esta:

2) Escreva as equações químicas para a combustão das três espécies químicas fornecidas:

3) Modifique as três equações de dados de modo a reproduzir a equação alvo:

4) Adicione as entalpias para a resposta:

Exemplo # 9: Determine a entalpia de formação padrão para o butano, usando os seguintes dados:

Comentário: observe que a primeira e a terceira equações não são equações de combustão padrão. A água em cada equação é como um gás. Nas equações de combustão padrão, a água é um líquido (seu estado padrão).

1) A equação para a formação de butano é a seguinte:

2) As três equações de dados são modificadas da seguinte forma:

4) As entalpias são somadas:

Exemplo # 10: Calcule a entalpia de formação para o acetileno (C2H2), dados os seguintes dados:

1) A primeira coisa a fazer é definir a equação de formação do acetileno:

2C (s, gr) + H2(g) ---> C2H2(g)

Lembre-se de que uma reação de formação tem todas as substâncias em seus estados padrão e apenas um mol de produto é produzido.

2) Manipule as equações de dados:

4) A soma das três reações produz a equação desejada. Adicionar as três entalpias produz a entalpia de formação para o acetileno:

calcule o delta H para a seguinte reação:

Comentário: esta não é a maneira usual da ChemTeam de resolver os problemas da Lei de Hess. É por isso que eu lidei com isso, para permitir que você analise como outro cérebro aborda esses problemas. Preste muita atenção ao raciocínio da etapa 4.

1) Multiplique a equação (2) por 3 e designe como equação (4):

2) Multiplique a equação (3) por 2 e designe como equação (5):

3) Adicione a equação (4) e a equação (5) e designe como a equação (6):

4) Subtraia a equação (6) da equação (1) e designe como equação (7):


12.1: A Equação de Calor - Matemática

(Escrito em resposta a um inquérito recebido recentemente)

A luz solar incidente é geralmente considerada em termos de potência por unidade de área. As unidades típicas são mW / cm 2. Na superfície da Terra, o valor nominal da constante solar é 137 mW / cm 2. Este valor corresponde ao meio-dia com o sol diretamente acima (como ocorreria no equador ou nos trópicos).

A energia da luz solar pode ser obtida a partir deste número e um pouco da geometria. Se pegarmos a energia em mJ (milijoules), então apenas das unidades obtemos

mJ = (mW / cm 2) x (Área em cm 2) x (Tempo em segundos)

(uma vez que mW = mJ / seg). Se o sol estivesse sempre diretamente acima, a quantidade de energia incidente sobre um coletor solar de 1 cm 2 orientado perpendicularmente aos raios do sol em 12 horas seria

(137 mW / cm2) x (1 cm2) x (4,3 x 104 seg.) = 5,9 x 106 mJ.

Mas sabemos que o sol geralmente não está diretamente acima. Move-se para leste-oeste ao longo de um dia e norte-sul ao longo de um ano. A variação anual é facilmente resolvida. Sabemos que o sol se move & mais 23,5 & deg acima e abaixo do equador ao longo de um ano. Normalmente, ele está no equador a cada 21 de março e 21 de setembro. Podemos estimar a posição do sol ao norte do equador, calculando

onde dT é o número de dias contados a partir do equinócio vernal (21 de abril). (Observe que para os meses de inverno do norte, é negativo). Podemos estimar a constante solar para qualquer dia em particular, calculando

A variação diária é um pouco mais envolvente. Deixe o sol estar na altitude A (ângulo acima do horizonte leste) em um determinado momento t durante o dia. Então, no tempo t + dt, a altitude terá aumentado para A + dA. O tempo diferencial está relacionado à altitude diferencial por

já que o sol viaja através de radianos (180 graus) em 12 horas.
Se tentarmos novamente calcular a quantidade de energia incidente sobre um coletor solar de 1 cm 2 orientado perpendicularmente aos raios do meio-dia do sol em 12 horas, teríamos que usar para a área de coleta equivalente
Área = (sen A) cm 2
uma vez que queremos apenas a quantidade de área projetada perpendicular aos raios do sol no tempo t. O diferencial de energia dE incidente em nosso coletor solar no tempo dt é

dE = D (sin A) dt
= D (sen A) (12 /) (3.600 seg / h) dA
= D (4,3 x 104 s /) [(sin A) dA].

A expressão entre colchetes pode ser integrada de A = 0 a A = para render

Se, para comparação, definirmos D = 137 mW / cm 2 (ou seja, íamos levar nosso coletor para os trópicos), encontramos

A razão entre este valor e o derivado acima é 2 /. Na minha latitude, 42 & deg N, o valor de verão é

e o valor do inverno é

A proporção entre os valores do meio do inverno e do meio do verão é

(7,2 x 105 mJ) / (1,8 x 106 mJ) = 0,4,

o que significa que em um período de 12 horas meu coletor solar coleta meros 40% da energia no meio do inverno do que no meio do verão. E este cálculo particular ainda não leva em consideração os dias mais longos no verão e os dias mais curtos no inverno! O próximo artigo dirá como esse cálculo deve ser feito.


Série de Fourier, transformadas de Fourier e espaços de função: um segundo curso em análise

Série de Fourier, transformadas de Fourier e espaços de função é projetado como um livro-texto para um segundo curso ou curso fundamental em análise para graduação avançada ou alunos de pós-graduação iniciantes. Ao assumir a existência e as propriedades da integral de Lebesgue, este livro possibilita que os alunos que já fizeram apenas um curso de análise real aprendam a análise de Fourier em termos de espaços de Hilbert, permitindo uma abordagem mais profunda e elegante. Essa abordagem também permite que alunos de graduação júnior e sênior estudem tópicos como PDEs, mecânica quântica e processamento de sinais de maneira rigorosa.

Os alunos interessados ​​em estatística (séries temporais), aprendizado de máquina (métodos de kernel), física matemática (mecânica quântica) ou engenharia elétrica (processamento de sinais) acharão este livro útil. Com 400 problemas, muitos dos quais orientam os leitores no desenvolvimento de conceitos teóricos-chave, este texto também pode ser adaptado para auto-estudo ou uma abordagem baseada em investigação. Finalmente, é claro, este texto também pode servir como motivação e preparação para os alunos que prosseguem seus estudos em análise.

Leitores

Alunos de graduação e pós-graduação e pesquisadores interessados ​​em análise, equações diferenciais e matemática aplicada.


12.1: A Equação de Calor - Matemática

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12.1: A Equação de Calor - Matemática

A termodinâmica é um ramo da física que lida com a energia e o trabalho de um sistema. A termodinâmica lida apenas com a resposta em larga escala de um sistema que podemos observar e medir em experimentos. Em aerodinâmica, estamos mais interessados ​​em termodinâmica pelo papel que desempenha no projeto do motor e fluxos de alta velocidade.

Neste slide, derivamos duas equações importantes que relacionam a pressão, a temperatura e o volume que um gás ocupa durante a compressão ou expansão reversível. Tal processo ocorre durante os cursos de compressão e potência para um motor de combustão interna. As mesmas equações descrevem as condições entre o compressor e a turbina de um motor de turbina a gás. Como exemplo de um motor de combustão interna, mostramos um desenho de computador de um único cilindro do motor Wright 1903 no canto superior esquerdo. O movimento do pistão cinza dentro do cilindro azul gira a seção vermelha do virabrequim, que gira as hélices para gerar o empuxo. Conforme o pistão se move no cilindro, o volume da mistura de gás combustível / ar dentro do cilindro é alterado. Essa mudança no volume resulta em uma mudança na pressão e na temperatura do gás, que determina quanto trabalho o pistão pode fornecer.

Durante o movimento do pistão, vamos supor que nenhum calor é transferido para o cilindro. Além disso, iremos negligenciar qualquer atrito entre o pistão e o cilindro e assumir que não há perdas de energia de qualquer tipo. (In reality there are small losses and we account for the losses by an "efficiency factor" applied to the result we obtain assuming no losses.) The resulting compression and expansion are reversible processes in which the entropy of the system remains constant. We can use equations for the entropy to relate the flow variables of the system.

We begin our derivation by determining the value of a factor which we will need later. From the definitions of the specific heat coefficients, the specific heat at constant pressure cp minus the specific heat at constant volume cv is equal to the gas constant R:

and we define the ratio of specific heats to be a number which we will call "gamma"

If we divide the first equation by cp, and use the definition of "gamma" we obtain:

R / cp = 1 - (1 / gamma) = (gamma - 1) / gamma

Now we use the equation we have derived for the entropy of a gas:

s2 - s1 = cp ln(T2 / T1) - R ln(p2 / p1)

where the numbers 1 and 2 denote the states at the beginning and end of the compression process, s is the entropy, T is the temperature, p is the pressure, and "ln" denotes the natural logarithm function. Since there is no heat transferred into the cylinder and no other losses, the change in entropy is zero. Then the equation becomes:

We divide both sides by "cp" and take the exponential function of both sides (this "un-does" the logarithms).

where the symbol "^" denotes an exponent. Now we substitute the expression for "R / cp" to obtain:

T2 / T1 = (p2 / p1) ^ [(gamma - 1)/gamma]

During the compression process, as the pressure is increased from p1 to p2, the temperature increases from T1 to T2 according to this exponential equation. "Gamma" is just a number that depends on the gas. For air, at standard conditions, it is 1.4. The value of (1 - 1/gamma) is about .286. So if the pressure doubled, the temperature ratio is 1.219. The key point here is that we have a function that relates the temperature change to the pressure change during a compression process.

We can use the equation of state to derive the relation between the volume change and the pressure change. The equation of state is:

Onde v is the specific volume occupied by the gas. If we substitute this expression for T into the temperature equation, we obtain:

(p2 * v2) / (p1 * v1) = (p2 / p1) ^ [(gamma - 1)/gamma]

Multiply both sides by (p1 / p2) to get:

The quantity (v1 / v2) is the ratio of the volume at state 1 and state 2 and is called the compression ratio. Para v2 Menor que v1, the pressure p2 is greater than p1. With this equation we can determine the change in pressure for a given compression ratio. And using the previous equation we know the change in temperature as well. The value of the compression ratio is a function of the design of the bore and stroke of the piston.


What does Einstein's famous equation really mean?

Einstein's equation E=mc² pops up on everything from baseball caps to bumper stickers. It's even the title of a 2008 Mariah Carey album. But what does Albert Einstein's famous equation really mean?

For starters, the E stands for energy e a m stands for mass, a measurement of the quantity of matter. Energy and matter are interchangeable. Furthermore, it's essential to remember that there's a set amount of energy/matter in the universe.

If you've ever read Dr. Seuss's children's book "The Sneetches," you probably remember how the yellow, birdlike characters in the story go through a machine to change back and forth between "star-bellied sneetches" and "plain-bellied sneetches." The number of sneetches remains constant throughout the story, but the ratio between plain- and star-bellied ones changes. It's the same way with energy and matter. The grand total remains constant, but energy regularly changes form into matter and matter into energy.

Now we're getting to the c² part of the equation, which serves the same purpose as the star-on and star-off machines in "The Sneetches." The c stands for the speed of light, a universal constant, so the whole equation breaks down to this: Energy is equal to matter multiplied by the speed of light squared.

Why would you need to multiply matter by the speed of light to produce energy? The reason is that energy, be it light waves or radiation, travels at the speed of light. That breaks down to 186,000 miles per second (300,000 kilometers per second). When we split an atom inside a nuclear power plant or an atomic bomb, the resulting energy releases at the speed of light.

But why is the speed of light squared? The reason is that kinetic energy, or the energy of motion, is proportional to mass. When you accelerate an object, the kinetic energy increases to the tune of the speed squared. You'll find an excellent example of this in any driver's education manual: If you double your speed, the braking distance is four times longer, so the braking distance is equal to the speed squared [source: UNSW Physics: Einsteinlight].

The speed of light squared is a colossal number, illustrating just how much energy there is in even tiny amounts of matter. A common example of this is that 1 gram of water -- if its whole mass were converted into pure energy via E=mc² -- contains as much energy as 20,000 tons (18,143 metric tons) of TNT exploding. That's why such a small amount of uranium or plutonium can produce such a massive atomic explosion.

Einstein's equation opened the door for numerous technological advances, from nuclear power and nuclear medicine to the inner workings of the sun. It shows us that matter and energy are one.

Explore the links on the next page to learn even more about Einstein's theories.


First. What is the difference between HEAT and TEMPERATURE?

Specific Heat Capacity (C or S ) - The quantity of heat required to raise the temperature of a substance by one degree Celsius is called the specific heat capacity of the substance. The quantity of heat is frequently measured in units of Joules(J). Another property, the specific heat, is the heat capacity of the substance per gram of the substance. The specific heat of water is 4.18 J/g C.

q = amount of heat energy gained or lost by substance

C = heat capacity (J o C -1 g -1 or J K -1 g -1 )
Tf = final temperature
Teu = initial temperature

Specific Heat Instructional Videos

-qmetal=qwater
-(mC D T)=mC D T
-(mC(Tf-Ti))= mC(Tf-Ti)
- (245.7g x C x (34.6 o C-75.2 o C))= 115.43g(4.18J/g o C)(34.6 o C-22.6 o C)

-(25.0g(0.450J/g o C)(Tf-85.0 o C))=75.0g(4.18J/g o C)(Tf-20.0 o C)

energy to melt the ice energy to bring the water to 0 o C

q=mHf vs. q=mC D T
q=21.5 x 334j/g=7181J q=125.0g (4.18J/g o C)(76.5 o C) =39,971J


How to calculate the volumetric efficiency of an internal combustion engine

For a thermal engine, the combustion process depends on the air-fuel ratio inside the cylinder. The more air we can get inside the combustion chamber, the more fuel we can burn, the higher the output engine torque and power.

Since air has mass, it has inertia. Also, the intake manifold, the valves and the throttle are acting as restrictions for the air flow into the cylinders. By volumetric efficiency we measure the capacity of the engine to fill the available geometric volume of the engine with air. It can be seen as a ratio between the volume of air drawn the cylinder (real) and the geometric volume of the cylinder (theoretical).

Most of the internal combustion engines used nowadays on road vehicles, have a fixed volumetric capacity (displacement), defined by the geometry of the cylinder and the crank mechanism. Strictly speaking, the total volume of an engine Vt [m 3 ] is calculated function of the total number of cylinders nc [-] and the volume of one cylinder Vcyl [m 3 ].

The total volume of the cylinder is the sum between the displaced (swept) volume Vd [m 3 ] and the clearance volume Vc [m 3 ].

The clearance volume is very small in comparison with the displacement volume (e.g. ratio 1:12) so it can be neglected when calculating the volumetric efficiency of the engine.

Image: Basic piston and cylinder geometry parameters of internal combustion engines

IV – intake valve
EV – exhaust valve
TDC – top dead center
BDC – bottom dead center
B – cylinder bore
S – piston stroke
r – connecting rod length
a – crank radius (offset)
x – distance between the crank axis and the piston pin axis
θ – crank angle
Vd – displaced (swept) volume
Vc – clearance volume

O volumetric efficiency ηv [-] is defined as the ratio between the actual (measured) volume of intake air Vuma [m 3 ] drawn into the cylinder/engine and the theoretical volume of the engine/cylinder Vd [m 3 ], during the intake engine cycle.

The volumetric efficiency can be regarded also as the efficiency of the internal combustion engine to fill the cylinders with intake air. The higher the volumetric efficiency the higher the volume of intake air in the engine.

In case of indirect fuel injection engines (mainly gasoline) the intake air is mixed with fuel. Since the amount of fuel is relatively small (ratio 1:14.7), compared with the amount of air, we can neglect the fuel mass for volumetric efficiency calculation.

The actual intake air volume can be calculated function of air mass muma [kg] and air density ρuma [kg/m 3 ]:

Replacing (4) in (3) gives the volumetric efficiency equal to:

Usually, on the engine dynamometer, intake air mass flow rate is measured [kg/s] instead of air mass [kg]. Therefore, we need to use air mass flow rate for volumetric efficiency calculation.

Ne [rot/s] – engine speed
nr [-] – number of crankshaft rotations for a complete engine cycle (for 4-stroke engine nr = 2)

From equation (6), we can write the intake air mass as:

Replacing (7) in (5) gives the volumetric efficiency equal with:

O volumetric efficiency is maximum 1.00 (or 100%). At this value, the engine is capable of drawing all of the theoretical volume of air available into the engine. There are special cases in which the engine is specifically designed for one operating point, for which the volumetric efficiency can be slightly higher than 100 %.

If intake air pressure puma [Pa] and temperature Tuma [K] are measured in the intake manifold, the intake air density can be calculated as:

ρuma [kg/m 3 ] – intake air density
puma [Pa] – intake air pressure
Tuma [K] – intake air temperature
Ruma [J/kgK] – gas constant for dry air (equal to 286.9 J/kgK)

Example – How to calculate the volumetric efficiency

Let’s consider a compression ignition (diesel) engine with the following parameters:

For the above engine parameters, calculate the volumetric efficiency.

Passo 1. Calculate the intake air density using equation (9). Make sure that all measurement units match.

The air intake pressure was converted from bar para Pa and the temperature from °C para K.

Passo 2. Calcule o volumetric efficiency of the engine using equation (8).

The engine displacement was converted from eu para m 3 and the engine speed from rpm para rps.

Image: Volumetric efficiency function of intake air pressure and engine speed

The volumetric efficiency of an internal combustion engine depends on several factors like:

  • the geometry of the intake manifold
  • the intake air pressure
  • the intake air temperature
  • the intake air mass flow rate (which depends on engine speed)

Usually, engines are designed to have the maximum volumetric efficiency at medium/high engine speed and load.

You can also check your results using the calculator below.

Volumetric Efficiency Calculator

Vd [L]nr [-]puma [bar]Tuma [˚C]Ruma [J/kgK]Ne [rpm]muma [kg/s]
Calculate volumetric efficiency
Air density, &rhouma [kg/m 3 ] =
Volumetric efficiency, &etav [%] =

For any questions or observations regarding this tutorial please use the comment form below.


Assista o vídeo: Równania różniczkowe cząstkowe (Novembro 2021).