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9.4: Testes de Comparação - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Use o teste de comparação para testar a convergência de uma série.
  • Use o teste de comparação de limite para determinar a convergência de uma série.

Vimos que o teste da integral nos permite determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral imprópria relacionada. Nesta seção, mostramos como usar testes de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série, comparando-a com uma série cuja convergência ou divergência é conhecida. Normalmente, esses testes são usados ​​para determinar a convergência de séries que são semelhantes às séries geométricas ou (p ) - séries.

Teste de Comparação

Nas duas seções anteriores, discutimos duas grandes classes de séries: séries geométricas e (p ) - séries. Sabemos exatamente quando essas séries convergem e quando divergem. Aqui, mostramos como usar a convergência ou divergência dessas séries para provar a convergência ou divergência para outras séries, usando um método chamado de teste de comparação.

Por exemplo, considere a série

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1}. ]

Esta série é semelhante à série convergente

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2} ]

Uma vez que os termos em cada uma das séries são positivos, a sequência de somas parciais para cada série aumenta em um tom monótono. Além disso, desde

[0 < dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < dfrac {1} {n ^ 2} ]

para todos os inteiros positivos (n ), a (k ^ { text {th}} ) soma parcial (S_k ) de ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1 } {n ^ 2 + 1} ) satisfaz

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} < sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

(Veja a Figura ( PageIndex {1a} ) e Tabela ( PageIndex {1} ).) Como a série à direita converge, a seqüência ({S_k} ) é limitada acima. Concluímos que ({S_k} ) é uma sequência monótona crescente que é limitada acima. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ({S_k} ) converge, e assim

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ]

converge.

Da mesma forma, considere a série

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2}. ]

Esta série é semelhante à série divergente

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n}. ]

A sequência de somas parciais para cada série é crescente e monótona e

[ dfrac {1} {n − 1/2}> dfrac {1} {n}> 0 ]

para cada número inteiro positivo (n ). Portanto, a (k ^ { text {th}} ) soma parcial (S_k ) de

[ sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n − 1/2} ]

satisfaz

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2}> sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n}. ]

(Veja a Figura ( PageIndex {1n} ) e Tabela ( PageIndex {1} )). Como a série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n} ) diverge ao infinito, a sequência de somas parciais ( displaystyle sum ^ k_ {n = 1} frac {1} {n} ) é ilimitado. Conseqüentemente, ({S_k} ) é uma sequência ilimitada e, portanto, diverge. Concluimos que

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2} ]

diverge.

Tabela ( PageIndex {1} ): Comparando uma série com uma série (p ) ( (p = 2 ))
(k )12345678
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} )0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} )11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
Tabela ( PageIndex {2} ): Comparando uma série com a série harmônica
(k )12345678

( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2} )

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n} )11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

Teste de Comparação

  1. Suponha que exista um inteiro (N ) tal que (0≤a_n≤b_n ) para todos (n≥N ). Se ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge.
  2. Suponha que exista um inteiro (N ) tal que (a_n≥b_n≥0 ) para todos (n≥N. ) Se ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) diverge , então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.

Prova

Provamos parte i. A prova da parte ii. é a contrapositiva da parte i. Seja ({S_k} ) a sequência de somas parciais associadas a ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ), e seja ( displaystyle L = sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). Uma vez que os termos (a_n≥0, )

[S_k = a_1 + a_2 + ⋯ + a_k≤a_1 + a_2 + ⋯ + a_k + a_ {k + 1} = S_ {k + 1}. enhum número]

Portanto, a seqüência de somas parciais está aumentando. Além disso, uma vez que (a_n≤b_n ) para todos (n≥N ), então

[ sum_ {n = N} ^ ka_n≤ sum_ {n = N} ^ kb_n≤ sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = L. enhum número]

Portanto, para todos (k≥1 ),

[S_k = (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + sum_ {n = N} ^ ka_n≤ (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + L. enhum número]

Como (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1} ) é um número finito, concluímos que a sequência ({S_k} ) é limitada acima. Portanto, ({S_k} ) é uma sequência crescente que é limitada acima. Pelo Teorema da Convergência Monótona, concluímos que ({S_k} ) converge e, portanto, a série ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge.

Para usar o teste de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ), é necessário encontrar uma série adequada para compará-la. Como conhecemos as propriedades de convergência das séries geométricas e (p ) - séries, essas séries são freqüentemente usadas. Se houver um inteiro (N ) tal que para todos (n≥N ), cada termo an é menor que cada termo correspondente de uma série convergente conhecida, então ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge. Da mesma forma, se existe um inteiro (N ) tal que para todos (n≥N ), cada termo an é maior do que cada termo correspondente de uma série divergente conhecida, então ( displaystyle sum_ {n = 1 } ^ ∞a_n ) diverge.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando o teste de comparação

Para cada uma das seguintes séries, use o teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

  1. ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ = dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} )
  2. ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ = dfrac {1} {2 ^ n + 1} )
  3. ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ = dfrac {1} { ln , n} )

Solução

uma. Compare com ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ). Como ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ) é uma série (p ) - com (p = 3 ), ele converge. Avançar,

[ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} < dfrac {1} {n ^ 3} nonumber ]

para cada número inteiro positivo (n ). Portanto, podemos concluir que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} ) converge.

b. Compare com ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {1} {2} right) ^ n ). Uma vez que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ left ( dfrac {1} {2} right) ^ n ) é uma série geométrica com (r = dfrac {1} {2} ) e ( left | dfrac {1} {2} right | <1 ), converge. Também,

[ dfrac {1} {2 ^ n + 1} < dfrac {1} {2 ^ n} nonumber ]

para cada número inteiro positivo (n ). Portanto, vemos que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {2 ^ n + 1} ) converge.

c. Compare com ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ). Desde a

[ dfrac {1} { ln n}> dfrac {1} {n} não numérico ]

para cada inteiro (n≥2 ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ) diverge, temos que ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 2} dfrac {1} { ln n} ) diverge.

Exercício ( PageIndex {1} )

Use o teste de comparação para determinar se a série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ) converge ou diverge.

Dica

Encontre um valor (p ) tal que ( dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ≤ dfrac {1} {n ^ p} ).

Responder

A série converge.

Teste de comparação de limite

O teste de comparação funciona bem se pudermos encontrar uma série comparável que satisfaça a hipótese do teste. No entanto, às vezes pode ser difícil encontrar uma série apropriada. Considere a série

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1}. ]

É natural comparar esta série com a série convergente

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

No entanto, esta série não satisfaz a hipótese necessária para usar o teste de comparação porque

[ dfrac {1} {n ^ 2−1}> dfrac {1} {n ^ 2} ]

para todos os inteiros (n≥2 ). Embora pudéssemos procurar uma série diferente com a qual comparar ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2−1}, ) em vez disso, mostramos como podemos usar o teste de comparação de limite comparar

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2−1} ]

e

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2}. ]

Vamos examinar a ideia por trás do teste de comparação de limite. Considere duas séries ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). com termos positivos (a_n ) e (b_n ) e avaliar

[ lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n}. ]

Se

[ lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = L ≠ 0, ]

então, para (n ) suficientemente grande, (a_n≈Lb_n ). Portanto, ou ambas as séries convergem ou ambas divergem. Para a série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2−1} ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1 } {n ^ 2} ), vemos que

[ lim_ {n → ∞} dfrac {1 / (n ^ 2−1)} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {n ^ 2} {n ^ 2−1 } = 1. ]

Uma vez que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2} ) converge, concluímos que

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

converge.

O teste de comparação de limite pode ser usado em dois outros casos. Suponha

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = 0. ]

Neste caso, ({a_n / b_n} ) é uma sequência limitada. Como resultado, existe uma constante (M ) tal que (a_n≤Mb_n ). Portanto, se ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge. Por outro lado, suponha

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = ∞. ]

Neste caso, ({a_n / b_n} ) é uma sequência ilimitada. Portanto, para cada constante (M ) existe um inteiro (N ) tal que (a_n≥Mb_n ) para todos (n≥N. ) Portanto, se ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) diverge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge também.

Teste de comparação de limite

Seja (a_n, b_n≥0 ) para todos (n≥1. )

  1. Se ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = L ≠ 0, ) então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ambos convergem ou ambos divergem.
  2. Se ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = 0 ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) convergir, então ( displaystyle soma ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge.
  3. Se ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = ∞ ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) divergem, então ( displaystyle soma ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.

Observe que se ( dfrac {a_n} {b_n} → 0 ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) divergem, o teste de comparação de limite não fornece nenhuma informação. Da mesma forma, se ( dfrac {a_n} {b_n} → ∞ ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) convergem, o teste também não fornece nenhuma informação. Por exemplo, considere as duas séries ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} { sqrt {n}} ) e ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ). Essas séries são (p ) - séries com (p = frac {1} {2} ) e (p = 2 ), respectivamente. Como (p = frac {1} {2} <1, ) a série ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} { sqrt {n}} ) diverge. Por outro lado, como (p = 2> 1 ), a série ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ) converge. No entanto, suponha que tentamos aplicar o teste de comparação de limite, usando a (p ) - série ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 3} ) como nossa série de comparação. Primeiro, vemos que

[ dfrac {1 / sqrt {n}} {1 / n ^ 3} = dfrac {n ^ 3} { sqrt {n}} = n ^ {5/2} → ∞ ; text {as} ; n → ∞. ]

Da mesma forma, vemos que

[ dfrac {1 / n ^ 2} {1 / n ^ 3} = n → ∞ ; text {as} ; n → ∞. ]

Portanto, se ( dfrac {a_n} {b_n} → ∞ ) quando ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞b_n ) converge, não obtemos nenhuma informação sobre a convergência ou divergência de ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando o Teste de Comparação de Limite

Para cada uma das seguintes séries, use o teste de comparação de limite para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, diga-o.

  1. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} )
  2. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} )
  3. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac { ln (n)} {n ^ 2} )

Solução

uma. Compare esta série com ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ). Calcular

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {1 / ( sqrt {n} +1)} {1 / sqrt {n}} = lim_ {n → ∞} dfrac { sqrt {n }} { sqrt {n} +1} = lim_ {n → ∞} dfrac {1 / sqrt {n}} {1 + 1 / sqrt {n}} = 1. )

Pelo teste de comparação de limite, uma vez que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ) diverge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} ) diverge.

b. Compare esta série com ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {2} {3} right) ^ n ). Nós vemos que

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ⋅ dfrac {3 ^ n} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} left [1+ left ( tfrac {1} {2} right) ^ n right] = 1. )

Portanto,

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = 1. )

Como ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {2} {3} right) ^ n ) converge, concluímos que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ) converge.

c. Uma vez que ( ln n

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac { ln n / n ^ 2} {1 / n} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n}. )

Para avaliar ( displaystyle lim_ {n → ∞} ln n / n ), avalie o limite como (x → ∞ ) da função de valor real ( ln (x) / x ) Esses dois limites são iguais e fazer essa alteração nos permite usar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos

( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. )

Portanto, ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac { ln n} {n} = 0 ), e, conseqüentemente,

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n} = 0. )

Como o limite é (0 ) mas ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n} ) diverge, o teste de comparação de limite não fornece nenhuma informação.

Compare com ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ). Nesse caso,

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2 } ⋅ dfrac {n ^ 2} {1} = lim_ {n → ∞} ln n = ∞. )

Como o limite é (∞ ) mas ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) converge, o teste ainda não fornece nenhuma informação.

Então agora tentamos uma série entre os dois que já experimentamos. Escolhendo a série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ), vemos que

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n ^ {3/2}} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ {3/2}} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} { sqrt {n}} ).

Como acima, a fim de avaliar ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac { ln n} { sqrt {n}} ), avalie o limite como (x → ∞ ) do real função avaliada ( frac { ln n} { sqrt {n}} ). Usando a regra de L'Hôpital,

( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} { sqrt {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {2 sqrt {x}} {x} = lim_ { x → ∞} dfrac {2} { sqrt {x}} = 0 ).

Como o limite é (0 ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) converge, podemos concluir que ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac { ln n} {n ^ 2} ) converge.

Exercício ( PageIndex {2} )

Use o teste de comparação de limite para determinar se a série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {5 ^ n} {3 ^ n + 2} ) converge ou diverge.

Dica

Compare com uma série geométrica.

Responder

A série diverge.

Conceitos chave

  • Os testes de comparação são usados ​​para determinar a convergência ou divergência de séries com termos positivos.
  • Ao usar os testes de comparação, uma série ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) é freqüentemente comparada a uma série geométrica ou (p ) - série.

Glossário

teste de comparação
Se (0≤a_n≤b_n ) para todos (n≥N ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) converge; se (a_n≥b_n≥0 ) para todos (n≥N ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) diverge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) diverge.
teste de comparação de limite
Suponha (a_n, b_n≥0 ) para todos (n≥1 ). Se ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → L ≠ 0 ), então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ambos convergem ou ambos divergem; se ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → 0 ) e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) converge. Se ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → ∞ ), e ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) diverge, então ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.

Os GCSEs na Inglaterra foram reformados para acompanhar as demandas das universidades e empregadores. Eles são baseados em um conteúdo novo e mais exigente, mas ainda são adequados para a mesma ampla gama de habilidades. A nova escala de notas deixa claro para todos que os alunos estudaram os novos GCSEs. Ele também tem notas mais altas em comparação com as antigas notas de A * a G, para dar à sexta turma, faculdades, universidades e empregadores a oportunidade de distinguir melhor entre alunos de diferentes habilidades.

A reforma foi gradual ao longo de vários anos e levará até o verão de 2020 para que todas as disciplinas do GCSE reformadas passem para a nova escala de notas. No entanto, a maioria das disciplinas será avaliada de 9 a 1 neste verão:


Você também pode estudar para um GCSE aplicado que se concentra nos aspectos dos assuntos relacionados ao trabalho. GCSEs aplicados são oferecidos em:

  • arte aplicada e design
  • negócio aplicado
  • TIC aplicada
  • Ciência aplicada
  • Engenharia
  • saúde e assistência social
  • lazer e turismo
  • fabricação.

Um GCSE aplicado é equivalente a dois GCSEs convencionais, dependendo das opções escolhidas. Tal como acontece com outros GCSEs, as notas variam de 9 (a mais alta) a 1. Duas notas (ou seja, 9-9) são possíveis para prêmios em dobro.


Antes de aprendermos como determinar a convergência ou divergência de uma série geométrica, temos que definir uma série geométrica.

A forma geral de uma série geométrica é. ar ^. quando o índice de. n. começa em . n = 1. Portanto, a soma de uma série geométrica convergente é dada por

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Às vezes, você encontrará uma série geométrica com uma mudança de índice, onde. n. começa em . n = 0. em vez de . n = 1. Nesse caso, a forma padrão da série geométrica é. ar ^ n. e se for convergente, sua soma é dada por

Ambos são séries geométricas válidas. O importante é que o expoente esteja ligado. r. corresponde ao índice. Portanto, se o índice começar em. n = 1. queremos ter certeza de que temos. r ^. Se o índice começar em. n = 0. nós queremos ter. r ^ n.

Se olharmos para as formas expandidas de ambas as séries calculando os primeiros termos (. N = 1.. N = 2.. N = 3. E. N = 4..), Veremos que eles ' são idênticos.

O que significa que, independentemente do tipo de série geométrica com que começamos,. ar ^. com . n = 1. ou . ar ^ n. com . n = 0. podemos encontrar os valores de. uma. e . r. da mesma forma: expandindo a série por meio de seus primeiros termos e, em seguida, fatorando o. uma. Então . uma. será o coeficiente que fatoramos da série, e. r. será o segundo período da série, o período imediatamente posterior ao. 1

Às vezes, nem precisamos expandir a série. Se pudermos apenas fazer a forma da série corresponder a uma das formas padrão de uma série geométrica dada acima, então seremos capazes de provar que a série é geométrica e se identifica. uma. e . r.

É importante ser capaz de encontrar os valores de. uma. e . r. porque vamos usar. r. para dizer se a série geométrica é ou não convergente ou divergente. Se acharmos que é convergente, usaremos. uma. e . r. para encontrar a soma das séries.

Convergência de uma série geométrica

Podemos usar o valor de. r. no teste de série geométrica para convergência para determinar se a série geométrica converge ou não.


Estatística inferencial II: Teste de hipótese paramétrica

5,8 Testes unicaudais vs. 2 caudais

Todos os exemplos de teste de hipótese que vimos até agora testaram algum diferença entre as amostras (ou a amostra e um valor esperado). Optamos por não investigar qual dos dois era maior do que o outro. Às vezes, podemos estar interessados ​​nisso, e os testes de hipótese podem ser aplicados de duas maneiras diferentes para refletir essa necessidade.

Os testes de hipóteses podem ser Unilateral ou Bicaudal. Simplificando, se estamos interessados ​​em algum diferença entre nossas duas amostras (ou nossa única amostra e um valor esperado), então usamos um teste bicaudal. Se estivermos interessados ​​em determinar se uma determinada amostra é apenas Maior que ou apenas Menor que o outro, então usamos um teste unilateral. A Fig. 5.9 ilustra por que esses nomes são usados. As curvas representam um t-distribuição para 10 graus de liberdade, e a área sombreada em ambos os casos corresponde a 5% da área total sob a curva. O gráfico à esquerda mostra o caso de 2 caudas e o gráfico à direita mostra o caso de 1 cauda. O crítico t-valor para 10 graus de liberdade e α = 0,05 é mostrado como 2,228 para um bicaudal t-test (podemos consultar esse valor na Tabela A.1). Portanto, qualquer computador t-valor dentro da área sombreada resultará na rejeição da hipótese nula. O gráfico do lado direito mostra como o ponto crítico t-valor muda quando estamos interessados ​​apenas em uma cauda. Ainda precisamos ter 5% da área total fora da área crítica t-valor, então o valor crítico deve ser menor em magnitude. Por esse motivo, é mais fácil mostrar significância estatística ao usar um teste unicaudal do que um teste bi-caudal. O crítico t-valores dados na Tabela A.1 são para bicaudais t-testes. Para usar esses mesmos valores para um teste unilateral, devemos dobrar o nível de significância (por exemplo, se quisermos um nível de significância de 0,05, então procuramos o valor crítico na coluna de 0,1).

Figura 5.9. Uma ilustração de 1 cauda e 2 caudas t-testes. A curva mostrada em ambas as figuras é um t-distribuição para 10 graus de liberdade. (A) Um teste bicaudal: a área sombreada corresponde ao intervalo de t-valores que resultariam na rejeição da hipótese nula. Neste caso, estamos interessados ​​em encontrar algum diferença entre nossas duas amostras. (B) Um teste unilateral, no qual estamos interessados ​​apenas em descobrir se uma determinada de nossas amostras é Maior que o outro. Observe que a área sombreada total é a mesma em ambos os casos e corresponde a 5% da área total (ou seja, 95% de confiança). No entanto, para uma cauda unilateral t-teste, uma crítica inferior t-valor resultados, tornando mais fácil mostrar a significância.

Para ilustrar a aplicação de um teste unilateral, retornamos ao Professor A & # x27s Aluno de uma amostra original & # x27s t-teste da Seção 5.5. Lembre-se de que o absoluto t-valor foi calculado como 2.053, e poderíamos não rejeitar a hipótese nula porque esta não era maior do que o crítico (bicaudal) t-valor de 2.776. Olhando novamente para a Tabela A.1, encontramos a crítica unilateral t-valor sob a coluna para o nível de significância de 0,1 (isto é o dobro do nível de significância real de 0,05). Isso é igual a 2,132, portanto, neste caso, não altera o resultado do teste.


9.4: Testes de Comparação - Matemática

O Programa de Avaliação Internacional de Alunos (PISA) é uma avaliação internacional que mede a alfabetização em leitura, matemática e ciências de alunos de 15 anos a cada três anos. Realizado pela primeira vez em 2000, o principal domínio de estudo gira entre leitura, matemática e ciências em cada ciclo. O PISA também inclui medidas de competências gerais ou transcurriculares, como a resolução colaborativa de problemas. Por definição, o PISA enfatiza as habilidades funcionais que os alunos adquiriram ao se aproximarem do final da escolaridade obrigatória. O PISA é coordenado pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), uma organização intergovernamental de países industrializados, e é conduzido nos Estados Unidos pelo NCES. A coleta de dados para a avaliação mais recente foi concluída no outono de 2018.

O PISA 2018 avaliou a alfabetização dos alunos em ciências, leitura e matemática em cerca de 80 países e sistemas educacionais. A leitura foi o tema central da coleta de dados de 2018, assim como em 2009. O PISA 2018 também incluiu a avaliação opcional de alfabetização financeira administrada pelos Estados Unidos. Os dados da avaliação básica de leitura, matemática, alfabetização em ciências e educação financeira de 2018 já estão disponíveis.

Os resultados mais recentes do PISA são de 2018 e estão disponíveis aqui. Mais informações sobre o PISA e os recursos, incluindo os relatórios do PISA da OCDE, as estruturas de avaliação do PISA e arquivos de dados internacionais, estão disponíveis no site da OCDE.


Durante o registro, você pode identificar até quatro instituições ou agências de licenciamento para receber sua pontuação Praxis gratuitamente. Você também pode solicitar relatórios de pontuação adicionais após o teste por uma taxa de serviço nominal. Saiba mais sobre como solicitar relatórios de pontuação.

Se você fizer o teste em um dos seguintes estados ou territórios, uma cópia de sua pontuação será enviada automaticamente para a agência de credenciamento de professores desse estado:

  • Alabama
  • Alasca
  • Arkansas
  • Califórnia
  • Colorado
  • Connecticut
  • Delaware
  • Distrito da Colombia
  • Georgia
  • Havaí
  • Indiana
  • Iowa
  • Kansas
  • Kentucky
  • Louisiana
  • Maryland
  • Mississippi
  • Missouri
  • Montana
  • Nebraska
  • Nevada
  • Nova Hampshire
  • Nova Jersey
  • Novo México
  • Carolina do Norte
  • Dakota do Norte
  • Ohio
  • Oklahoma
  • Oregon
  • Pensilvânia
  • Rhode Island
  • Carolina do Sul
  • Dakota do Sul
  • Tennessee
  • Utah
  • Vermont
  • Virgínia
  • Washington
  • West Virginia
  • Wyoming

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Os testes de raciocínio lógico quase sempre fazem parte de qualquer avaliação de trabalho ou configuração de teste de inteligência. Você pode usar este teste como parte da prática do teste de aptidão para se certificar de que está preparado ao máximo. O formato deste teste é semelhante às matrizes progressivas de Raven.

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F.25.3. Funções de criptografia PGP

As funções aqui implementam a parte de criptografia do padrão OpenPGP (RFC 4880). Suportados são criptografia de chave simétrica e chave pública.

Uma mensagem PGP criptografada consiste em 2 partes, ou pacotes:

Pacote contendo uma chave de sessão - chave simétrica ou chave pública criptografada.

Pacote contendo dados criptografados com a chave de sessão.

Ao criptografar com uma chave simétrica (ou seja, uma senha):

A senha fornecida é hash usando um algoritmo String2Key (S2K). Isso é bastante semelhante aos algoritmos crypt () - propositalmente lento e com salt aleatório - mas produz uma chave binária completa.

Se uma chave de sessão separada for solicitada, uma nova chave aleatória será gerada. Caso contrário, a chave S2K será usada diretamente como a chave de sessão.

Se a chave S2K for usada diretamente, apenas as configurações S2K serão colocadas no pacote de chave de sessão. Caso contrário, a chave de sessão será criptografada com a chave S2K e colocada no pacote de chave de sessão.

Ao criptografar com uma chave pública:

Uma nova chave de sessão aleatória é gerada.

Ele é criptografado usando a chave pública e colocado no pacote de chave de sessão.

Em ambos os casos, os dados a serem criptografados são processados ​​da seguinte forma:

Manipulação de dados opcional: compressão, conversão para UTF-8 e / ou conversão de terminações de linha.

Os dados são prefixados com um bloco de bytes aleatórios. Isso é equivalente a usar um IV aleatório.

Um hash SHA1 do prefixo e dados aleatórios é anexado.

Tudo isso é criptografado com a chave de sessão e colocado no pacote de dados.

F.25.3.1. pgp_sym_encrypt ()

Criptografar dados com uma chave PGP simétrica psw. O opções O parâmetro pode conter configurações de opções, conforme descrito a seguir.

F.25.3.2. pgp_sym_decrypt ()

Descriptografe uma mensagem PGP criptografada por chave simétrica.

Descriptografando tchau dados com pgp_sym_decrypt não são permitidos. Isso evita a saída de dados de caracteres inválidos. Não há problema em descriptografar dados originalmente textuais com pgp_sym_decrypt_bytea.

O opções O parâmetro pode conter configurações de opções, conforme descrito a seguir.

F.25.3.3. pgp_pub_encrypt ()

Criptografar dados com uma chave PGP pública chave. Fornecer uma chave secreta a essa função produzirá um erro.

O opções O parâmetro pode conter configurações de opções, conforme descrito a seguir.

F.25.3.4. pgp_pub_decrypt ()

Descriptografe uma mensagem criptografada por chave pública. chave deve ser a chave secreta correspondente à chave pública que foi usada para criptografar. Se a chave secreta for protegida por senha, você deve fornecer a senha em psw. Se não houver senha, mas você quiser especificar opções, será necessário fornecer uma senha em branco.

Descriptografando tchau dados com pgp_pub_decrypt não são permitidos. Isso evita a saída de dados de caracteres inválidos. Descriptografar dados originalmente textuais com pgp_pub_decrypt_bytea é bom.

O opções O parâmetro pode conter configurações de opções, conforme descrito a seguir.

F.25.3.5. pgp_key_id ()

pgp_key_id extrai o ID da chave de uma chave PGP pública ou secreta. Ou fornece a ID da chave que foi usada para criptografar os dados, se fornecida uma mensagem criptografada.

Ele pode retornar 2 IDs de chave especiais:

A mensagem é criptografada com uma chave simétrica.

A mensagem é criptografada com chave pública, mas a ID da chave foi removida. Isso significa que você precisará testar todas as suas chaves secretas para ver qual delas o descriptografa. pgcrypto por si só não produz tais mensagens.

Observe que chaves diferentes podem ter o mesmo ID. Isso é raro, mas um evento normal. O aplicativo cliente deve então tentar descriptografar com cada um, para ver o que se encaixa - como manuseio QUALQUER CHAVE.

F.25.3.6. armadura (), querida ()

Essas funções envolvem / desembrulham dados binários no formato PGP ASCII-armor, que é basicamente Base64 com CRC e formatação adicional.

F.25.3.7. Opções para funções PGP

As opções são nomeadas para serem semelhantes ao GnuPG. O valor de uma opção deve ser fornecido após um sinal de igual, separando as opções umas das outras com vírgulas. Por exemplo:

Todas as opções exceto convert-crlf aplicam-se apenas para criptografar funções. As funções de descriptografia obtêm os parâmetros dos dados PGP.

As opções mais interessantes são provavelmente compress-algo e modo Unicode. O resto deve ter padrões razoáveis.

F.25.3.7.1. cifra-algo

Qual algoritmo de cifra usar.

Valores: bf, aes128, aes192, aes256 (somente OpenSSL: 3des, cast5)
Padrão: aes128
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt

F.25.3.7.2. compress-algo

Qual algoritmo de compressão usar. Disponível apenas se o PostgreSQL foi construído com zlib.

Valores:
0 - sem compressão
1 - compressão ZIP
2 - compressão ZLIB (= ZIP mais metadados e CRCs de bloco)
Padrão: 0
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt

F.25.3.7.3. nível de compressão

Quanto compactar. Níveis mais altos são menores, mas são mais lentos. 0 desativa a compressão.

Valores: 0, 1-9
Padrão: 6
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt

F.25.3.7.4. convert-crlf

Se converter n para dentro r n ao criptografar e r n para n ao descriptografar. RFC 4880 especifica que os dados de texto devem ser armazenados usando r n alimentação de linha. Use-o para obter um comportamento totalmente compatível com RFC.

Valores: 0, 1
Padrão: 0
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt, pgp_sym_decrypt, pgp_pub_decrypt

F.25.3.7.5. disable-mdc

Não proteja os dados com SHA-1. A única boa razão para usar esta opção é obter compatibilidade com produtos PGP antigos, anteriores à adição de pacotes protegidos por SHA-1 ao RFC 4880. Os softwares gnupg.org e pgp.com recentes suportam bem.

Valores: 0, 1
Padrão: 0
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt

F.25.3.7.6. sess-key

Use uma chave de sessão separada. A criptografia de chave pública sempre usa uma chave de sessão separada esta opção é para criptografia de chave simétrica, que por padrão usa a chave S2K diretamente.

Valores: 0, 1
Padrão: 0
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt

F.25.3.7.7. modo s2k

Qual algoritmo S2K usar.

Valores:
0 - Sem sal. Perigoso!
1 - Com sal, mas com contagem de iteração fixa.
3 - Contagem de iteração variável.
Padrão: 3
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt

F.25.3.7.8. s2k-digest-algo

Qual algoritmo de resumo usar no cálculo S2K.

Valores: md5, sha1
Padrão: sha1
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt

F.25.3.7.9. s2k-cipher-algo

Qual cifra usar para criptografar a chave de sessão separada.

Valores: bf, aes, aes128, aes192, aes256
Padrão: use cipher-algo
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt

F.25.3.7.10. modo Unicode

Se deseja converter dados textuais da codificação interna do banco de dados para UTF-8 e vice-versa. Se o seu banco de dados já for UTF-8, nenhuma conversão será feita, mas a mensagem será marcada como UTF-8. Sem essa opção, não será.

Valores: 0, 1
Padrão: 0
Aplica-se a: pgp_sym_encrypt, pgp_pub_encrypt

F.25.3.8. Gerando Chaves PGP com GnuPG

O tipo de chave preferido é "DSA e Elgamal".

Para criptografia RSA, você deve criar uma chave somente de assinatura DSA ou RSA como mestre e, em seguida, adicionar uma subchave de criptografia RSA com gpg --edit-key.

Para exportar uma chave pública no formato ASCII-armor:

To export a secret key in ASCII-armor format:

You need to use dearmor() on these keys before giving them to the PGP functions. Or if you can handle binary data, you can drop -a from the command.

For more details see man gpg, The GNU Privacy Handbook and other documentation on http://www.gnupg.org.

F.25.3.9. Limitations of PGP Code

No support for signing. That also means that it is not checked whether the encryption subkey belongs to the master key.

No support for encryption key as master key. As such practice is generally discouraged, this should not be a problem.

No support for several subkeys. This may seem like a problem, as this is common practice. On the other hand, you should not use your regular GPG/PGP keys with pgcrypto, but create new ones, as the usage scenario is rather different.


9.4: Comparison Tests - Mathematics


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In Grade 4, instructional time should focus on three critical areas: (1) developing understanding and fluency with multi-digit multiplication, and developing understanding of dividing to find quotients involving multi-digit dividends (2) developing an understanding of fraction equivalence, addition and subtraction of fractions with like denominators, and multiplication of fractions by whole numbers and (3) understanding that geometric figures can be analyzed and classified based on their properties, such as having parallel sides, perpendicular sides, particular angle measures, and symmetry.

(1) Students will generalize their understanding of place value to 1,000,000, understanding the relative sizes of numbers in each place. They will apply their understanding of models for multiplication (equal-sized groups, arrays, area models), place value, and properties of operations, in particular the distributive property, as they develop, discuss, and use efficient, accurate, and generalizable methods to compute products of multi-digit whole numbers. Depending on the numbers and the context, they will select and accurately apply appropriate methods to estimate or mentally calculate products. They will develop fluency with efficient procedures for multiplying whole numbers, understand and explain why the procedures work based on place value and properties of operations, and use them to solve problems. Students will apply their understanding of models for division, place value, properties of operations, and the relationship of division to multiplication as they develop, discuss, and use efficient, accurate, and generalizable procedures to find quotients involving multi-digit dividends. They will select and accurately apply appropriate methods to estimate and mentally calculate quotients, and interpret remainders based upon the context.

(2) Students will develop understanding of fraction equivalence and operations with fractions. They will recognize that two different fractions can be equal (for example, 15/9 = 5/3), and they will develop methods for generating and recognizing equivalent fractions. Students will extend previous understandings about how fractions are built from unit fractions, composing fractions from unit fractions, decomposing fractions into unit fractions, and using the meaning of fractions and the meaning of multiplication to multiply a fraction by a whole number.

(3) Students will describe, analyze, compare, and classify two-dimensional shapes. Through building, drawing, and analyzing two-dimensional shapes, students will deepen their understanding of properties of two-dimensional objects and the use of them to solve problems involving symmetry.

Core Standards of the Course

Strand: Mathematical PRACTICES (4.MP)
The Standards for Mathematical Practice in Fourth Grade describe mathematical habits of mind that teachers should seek to develop in their students. Students become mathematically proficient in engaging with mathematical content and concepts as they learn, experience, and apply these skills and attitudes (Standards 4.MP.1 8) .

Standard 4.MP.1
Make sense of problems and persevere in solving them. Explain the meaning of a problem, look for entry points to begin work on the problem, and plan and choose a solution pathway. When a solution pathway does not make sense, look for another pathway that does. Explain connections between various solution strategies and representations. Upon finding a solution, look back at the problem to determine whether the solution is reasonable and accurate, often checking answers to problems using a different method or approach.

Standard 4.MP.2
Reason abstractly and quantitatively. Make sense of quantities and their relationships in problem situations. Contextualize quantities and operations by using images or stories. Decontextualize a given situation and represent it symbolically. Interpret symbols as having meaning, not just as directions to carry out a procedure. Know and flexibly use different properties of operations, numbers, and geometric objects.

Standard 4.MP.3
Construct viable arguments and critique the reasoning of others. Use stated assumptions, definitions, and previously established results to construct arguments. Explain and justify the mathematical reasoning underlying a strategy, solution, or conjecture by using concrete referents such as objects, drawings, diagrams, and actions. Listen to or read the arguments of others, decide whether they make sense, ask useful questions to clarify or improve the arguments, and build on those arguments.

Standard 4.MP.4
Model with mathematics. Identify the mathematical elements of a situation and create a mathematical model that shows the relationships among them. Identify important quantities in a contextual situation, use mathematical models to show the relationships of those quantities, analyze the relationships, and draw conclusions. Models may be verbal, contextual, visual, symbolic, or physical.

Standard 4.MP.5
Use appropriate tools strategically. Consider the tools that are available when solving a mathematical problem, whether in a real-world or mathematical context. Choose tools that are relevant and useful to the problem at hand, such as drawings, diagrams, technologies, and physical objects and tools, as well as mathematical tools such as estimation or a particular strategy or algorithm.

Standard 4.MP.6
Attend to precision. Communicate precisely to others by crafting careful explanations that communicate mathematical reasoning by referring specifically to each important mathematical element, describing the relationships among them, and connecting their words clearly to representations. Calculate accurately and efficiently, and use clear and concise notation to record work.

Standard 4.MP.7
Look for and make use of structure. Recognize and apply the structures of mathematics such as patterns, place value, the properties of operations, or the flexibility of numbers. See complicated things as single objects or as being composed of several objects.

Standard 4.MP.8
Look for and express regularity in repeated reasoning. Notice repetitions in mathematics when solving multiple related problems. Use observations and reasoning to find shortcuts or generalizations. Evaluate the reasonableness of intermediate results.

Strand: OPERATIONS AND ALGEBRAIC THINKING (4.OA)
Use the four operations with whole numbers (addition, subtraction, multiplication, and division) to solve problems (Standards 4.OA.1 3) . Gain familiarity with factors and multiples (Standard 4.OA.4) . Generate and analyze numeric and shape patterns (Standard 4.OA.5) .

  1. Represent these problems using equations with a letter standing for the unknown quantity.
  2. Assess the reasonableness of answers using mental computation and estimation strategies, including rounding.

Strand: NUMBER AND OPERATIONS IN BASE TEN (4.NBT)
Generalize place value understanding for multi-digit whole numbers by analyzing patterns, writing whole numbers in a variety of ways, making comparisons, and rounding (Standards 4.NBT.1 3) . Use place value understanding and properties of operations to perform multidigit addition, subtraction, multiplication, and division using a one-digit divisor (Standards 4.NBT.4 6) . Expectations in this strand are limited to whole numbers less than or equal to 1,000,000.

Standard 4.NBT.1
Recognize that in a multi-digit whole number, a digit in one place represents ten times what it represents in the place to its right. For example, recognize that 700 70 = 10 by applying concepts of place value and division.

Standard 4.NBT.2
Read and write multi-digit whole numbers using base-ten numerals, number names, and expanded form. Compare two multi-digit numbers based on meanings of the digits in each place, using >, =, and Standard 4.NBT.3
Use place value understanding to round multi-digit whole numbers to any place.

Standard 4.NBT.4
Fluently add and subtract multi-digit whole numbers using the standard algorithm.

Standard 4.NBT.5
Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number, and multiply two two-digit numbers, using strategies based on place value and the properties of operations. Illustrate and explain the calculation by using equations, rectangular arrays, and/or area models.

Standard 4.NBT.6
Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends and one-digit divisors, using strategies based on place value, the properties of operations, and/or the relationship between multiplication and division. Illustrate and explain the calculation by using equations, rectangular arrays, and/or area models.

Strand: NUMBER AND OPERATIONS - FRACTIONS (4.NF)
Extend understanding of equivalence and ordering of fractions (Standards 4.NF.1 2) . Build fractions from unit fractions by applying and extending previous understandings of operations on whole numbers (Standards 4.NF.3 4) . Understand decimal notation to the hundredths and compare decimal fractions with denominators of 10 and 100 (Standards 4.NF.5 7) . Denominators for fourth grade are limited to 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, and 100.

  1. Understand addition and subtraction of fractions as joining and separating parts referring to the same whole.
  2. Decompose a fraction into a sum of fractions with the same denominator in more than one way, recording each decomposition by an equation. Justify decompositions, for example, by using a visual fraction model. For example, 3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 3/8 = 1/8 + 2/8 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 2 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8.
  3. Add and subtract mixed numbers with like denominators, for example, by replacing each mixed number with an equivalent fraction, and/or by using properties of operations and the relationship between addition and subtraction. For example, 3 1/4 + 2 1/4 = 13/4 + 9/4 = 22/4 3 1/4 + 2 1/4 = (3+ 2) + (1/4 + 1/4) = 5 + 2/4 = 5 2/4, which is equivalent to 22/4.
  4. Solve word problems involving addition and subtraction of fractions referring to the same whole and having like denominators, for example, by using visual fraction models and equations to represent the problem.
  1. Understand a fraction a/b as a multiple of 1/b. For example, use a visual fraction model to represent 5/4 as the product 5 x (1/4), recording the conclusion by the equation 5/4 = 5 x (1/4).
  2. Understand a multiple of a/b as a multiple of 1/b, and use this understanding to multiply a fraction by a whole number. For example, use a visual fraction model to express 3 x (2/5) as 6 x (1/5), recognizing this product as 6/5. (In general, n x (a/b) = (n x a)/b).
  3. Solve word problems involving multiplication of a fraction by a whole number (for example, by using visual fraction models and equations to represent the problem). For example, if each person at a party will eat 3/8 of a pound of roast beef, and there will be five people at the party, how many pounds of roast beef will be needed? Between what two whole numbers does your answer lie?
  1. Include problems involving simple fractions or decimals, and problems that require expressing measurements given in a larger unit in terms of a smaller unit.
  2. Represent measurement quantities using diagrams such as number line diagrams that feature a measurement scale.
  1. Understand that an angle is measured with reference to a circle with its center at the common endpoint of the rays, by considering the fraction of the circular arc between the points where the two rays intersect the circle. An angle that turns through 1/360 of a circle is called a "one-degree angle," and can be used to measure other angles.
  2. Understand that an angle that turns through n one-degree angles is said to have an angle measure of n degrees.
  1. Understand that when an angle is decomposed into non-overlapping parts, the angle measure of the whole is the sum of the angle measures of the parts.
  2. Solve addition and subtraction problems to find unknown angles on a diagram in real-world and mathematical problems, for example by using an equation with a symbol for the unknown angle measure.

Strand: GEOMETRY (4.G.)
Draw and identify lines and angles, as well as classify shapes by properties of their lines and angles (Standards 4.G.1 3)

Standard 4.G.1
Draw points, lines, line segments, rays, angles (right, acute, and obtuse), and perpendicular and parallel lines. Identify these in two-dimensional figures.

Standard 4.G.2
Classify two-dimensional figures based on the presence or absence of parallel or perpendicular lines, or the presence or absence of angles of a specified size. Recognize right triangles as a category, and identify right triangles.

Standard 4.G.3
Recognize a line of symmetry for a two-dimensional figure as a line across the figure such that the figure can be folded along the line into matching parts. Identify line-symmetric figures and draw lines of symmetry.

These materials have been produced by and for the teachers of the State of Utah. Copies of these materials may be freely reproduced for teacher and classroom use. When distributing these materials, credit should be given to Utah State Board of Education. These materials may not be published, in whole or part, or in any other format, without the written permission of the Utah State Board of Education, 250 East 500 South, PO Box 144200, Salt Lake City, Utah 84114-4200.