Artigos

13.4: Aplicação Especial - Hipotecas - Matemática


Se você comprar uma casa no Canadá, quase certamente precisará fazer uma hipoteca. Isso significa que você deve usar o dinheiro de uma instituição financeira ao longo do tempo, sempre pagando por esse privilégio na forma de juros.

A hipoteca de sua casa pode muito bem ser a maior transação financeira pessoal que você fará, portanto, compreender os fatores que determinam o pagamento da hipoteca pode economizar muito dinheiro. Esta seção explica os fundamentos da hipoteca e mostra como amortizar e calcular os pagamentos de várias hipotecas.

Hipotecas explicadas

Esta figura ilustra os vários conceitos relacionados a hipotecas. Cada um desses conceitos é discutido a seguir.

Terminologia

UMA hipoteca é um tipo especial de empréstimo garantido por um imóvel como garantia. Em essência, o empréstimo possui penhor do imóvel, ou seja, direito de apreensão do imóvel para liquidação da dívida. Uma pessoa física ou jurídica que contrate uma hipoteca é obrigada a reembolsar o valor do empréstimo com juros baseados em um contrato pré-determinado. A instituição financeira, porém, tem direito de reclamação sobre o imóvel no caso de inadimplência da hipoteca, fazendo com que ela não seja paga conforme o contrato. Nesses casos, as instituições financeiras buscarão execução hipotecária da propriedade, o que permite que os inquilinos sejam despejados e a propriedade seja vendida. O produto da venda é então usado para pagar a hipoteca. Uma hipoteca sempre envolve duas partes. O indivíduo ou empresa que pede o dinheiro emprestado é referido como o mortgagor, e a instituição financeira que empresta o dinheiro é chamada de credor hipotecário.

Quantas hipotecas

Um imóvel pode ter mais de uma hipoteca. A hipoteca principal com base na quantidade de dinheiro emprestado para comprar a casa é chamada de primeira hipoteca. Mas os proprietários também podem optar por outras hipotecas. Por exemplo, a maioria das linhas de crédito de home equity (HELOCs) são garantidas por um segunda hipoteca contra a propriedade. Às vezes, os proprietários de imóveis pedem dinheiro emprestado para fazer melhorias ou reformas na casa e têm esses valores colocados como uma hipoteca adicional contra a propriedade. Qualquer número de hipotecas contra uma propriedade é possível, embora seja incomum ter mais de três. A ordem das hipotecas é importante. Se a hipoteca entrar em default e ocorrer a execução da hipoteca, o credor hipotecário com a primeira hipoteca terá acesso aos recursos primeiro. Se sobrar algum dinheiro após o pagamento da primeira hipoteca, o credor hipotecário da segunda hipoteca recebe o restante. Se sobrar alguma coisa, o terceiro credor hipotecário obtém o saldo e assim por diante até que todos os rendimentos tenham sido gastos. Em última análise, todo o dinheiro que sobrar depois que todas as hipotecas e custos forem pagos pertence ao hipotecário.

Taxa de juro

No contrato de hipoteca, as duas partes podem concordar com uma taxa de juros fixa ou variável. De qualquer forma, a hipoteca sempre constitui uma anuidade normal, uma vez que os juros não são pagos antecipadamente.

  • Sob uma taxa de juros fixa, o principal é reembolsado por meio de uma série de pagamentos iguais que cobrem os juros e os componentes do principal do empréstimo. A parcela dos juros é mais alta no início e diminui gradualmente ao longo do período de amortização da hipoteca. No Canadá, as taxas de juros fixas são compostas anualmente ou semestralmente; a última é a escolha prevalecente.
  • Em uma hipoteca de taxa de juros variável, o principal é pago por meio de um número acordado de pagamentos desiguais que flutuam com as mudanças nas taxas de empréstimo. As parcelas do principal e dos juros do pagamento variam conforme as taxas de juros flutuam, o que significa que a parcela dos juros pode aumentar a qualquer momento com qualquer aumento nas taxas. Quando as taxas mudam, uma prática comum em muitas instituições financeiras é alterar a taxa de juros variável a partir do primeiro dia do mês seguinte. Se a alteração da taxa não coincidir com a data de pagamento da hipoteca, a parcela dos juros é calculada de maneira semelhante ao procedimento para um empréstimo à vista (ver Seção 8.5), onde o número exato de dias nas diferentes taxas deve ser determinado. No Canadá, as taxas de juros variáveis ​​são geralmente compostas mensalmente.

Tipos de hipotecas

O contrato de hipoteca pode ser aberto ou fechado. A hipoteca aberta tem muito poucas regras e permite ao hipotecário saldar a dívida na íntegra ou fazer pagamentos antecipados adicionais a qualquer momento e em qualquer valor, sem penalidade. UMA hipoteca fechada tem muitas regras que determinam como a hipoteca deve ser paga. Não permite que o hipotecário salve a dívida integralmente até o vencimento do empréstimo. Como uma ferramenta de marketing, a maioria das hipotecas fechadas tem opções de “complemento” que permitem ao credor hipotecário fazer pagamentos adicionais (como um adicional de 20% ao ano) contra a hipoteca sem multa. Quaisquer pagamentos que excedam os máximos ou o pagamento antecipado da hipoteca são fortemente penalizados, com uma taxa de juros mínima de três meses que pode ser aumentada até uma medida chamada diferencial de taxa de juros, que avalia efetivamente a perda do banco e cobra do hipotecador este valor total .

Qualificação

A compra de uma casa e a obtenção de uma hipoteca exigem um pagamento inicial. Você pode obter uma hipoteca com 25% de entrada ou mais; isto é conhecido como um rácio entre o valor do empréstimo e o valor de 75% ou menos. A relação entre o valor do empréstimo e o do empréstimo divide o principal emprestado pelo valor da casa. Se você não tiver entrada suficiente para atender a esse critério, poderá fazer a compra do imóvel com apenas 5% de entrada (uma relação empréstimo-valor de 95%); entretanto, sua hipoteca deve ser segurada pela Canada Mortgage and Housing Corporation (CMHC). O prêmio cobrado pelo seguro pode variar de 0,5% a 3,3% do principal emprestado, dependendo dos dados da hipoteca.

Para se qualificar para uma hipoteca, você também deve atender a duas regras de acessibilidade:

  1. A primeira regra de acessibilidade afirma que seu principal, juros, impostos e despesas de aquecimento, ou PITH, não devem exceder 32% de sua renda familiar mensal bruta. Se o imóvel envolver um condomínio, 50% das taxas de condomínio também estão incluídas no PITH. Isso é conhecido como índice do serviço da dívida bruta (GDS).
  2. A segunda regra de acessibilidade afirma que o PITH mais todos os outros requisitos de dívida não devem exceder 40% da renda familiar mensal bruta. Outras dívidas podem incluir quaisquer outros pagamentos de dívidas, como empréstimos para automóveis, cartões de crédito ou empréstimos estudantis. Isso é conhecido como índice do serviço da dívida total (TDS).

É importante notar que esses índices têm algum grau de flexibilidade dependendo da instituição financeira que emite a hipoteca. Cada uma das porcentagens para as taxas geralmente varia em até ± 3%, dependendo das políticas da instituição em particular.

Tempo

Finalmente, devido ao grande montante do principal emprestado na compra de um imóvel, a hipoteca pode ser amortizada por um longo período de tempo. A amortização mais comum é de 25 anos com no máximo 30 anos. Esse é um longo prazo para qualquer contrato. Consequentemente, as hipotecas são contratadas em prazos mais curtos, geralmente até no máximo cinco anos, embora algumas instituições ofereçam prazos de sete ou dez anos. Isso permite que a instituição financeira tenha oportunidades regulares de atualizar a taxa de juros para refletir as taxas atuais de hipotecas. O que isso significa para o hipotecário é que a hipoteca vence na totalidade no final de cada prazo. A maioria das pessoas então renova sua hipoteca por outro prazo, embora o período de amortização se torne mais curto de acordo com o número de anos decorridos desde que o principal inicial foi emprestado. A figura abaixo ilustra o processo típico de amortização de hipotecas, onde a amortização é inicialmente estabelecida em 25 anos e o hipotecador usa cinco prazos consecutivos de cinco anos para pagar a dívida.

Como as taxas de juros de hipotecas são determinadas

A taxa de juros real que você pode obter em uma hipoteca é determinada por cinco fatores combinados:

  1. Taxa do Banco do Canadá. Essa taxa define a base a partir da qual todas as taxas variáveis ​​são determinadas. A taxa básica de juros (a taxa do Banco do Canadá + 2%) é geralmente a menor taxa de juros disponível. Alguns bancos, no entanto, descontam essa taxa ligeiramente por uma margem entre 0,1% e 0,4%.
  2. Taxas de mercado de títulos. As taxas de mercado de títulos estabelecem a base para a determinação de todas as taxas de juros fixas. As flutuações na taxa básica de juros não afetam necessariamente as taxas do mercado de títulos.
  3. O tipo de hipoteca. As hipotecas abertas têm taxas substancialmente mais altas do que as hipotecas fechadas equivalentes devido à incerteza de quando a hipoteca será paga. Os bancos protegem seus interesses e minimizam os riscos de hipotecas abertas por meio de taxas mais altas.
  4. O termo. À medida que a duração do prazo aumenta, a taxa de juros também aumenta. Isso se deve à incerteza das taxas de juros futuras. A instituição financeira deve se proteger contra o aumento das taxas no futuro.
  5. O tipo de taxa. As taxas variáveis ​​são inferiores às taxas fixas, uma vez que a instituição financeira pode ajustar a taxa a qualquer momento para se adequar às condições prevalecentes. As taxas fixas não compartilham desse benefício de ajustabilidade e, portanto, são mais altas para proteger a instituição financeira.

A tabela na próxima página ilustra algumas taxas de juros compostas semestrais reais publicadas no momento em que este documento foi escrito.

PrazoHipoteca FechadaHipoteca aberta
Taxa variávelTaxa fixaTaxa variávelTaxa fixa
1 ano2.10%3.09%3.14%6.30%
5 anos3.00%5.34%4.00%8.25%

Calculando o pagamento da hipoteca

As seguintes variáveis ​​de hipoteca são sempre conhecidas:

  • As taxas de juros de hipotecas são divulgadas por todas as instituições financeiras. A taxa postada quase sempre é negociável, e um hipotecador inteligente pode negociar uma dedução de até 1% da taxa postada.
  • O hipotecário escolhe o período de amortização, o prazo e a frequência de pagamento e também negocia essas variáveis ​​com a instituição financeira.
  • O principal é determinado pelo valor da casa adquirida menos qualquer entrada mais quaisquer taxas ou prêmios.
  • Todas as hipotecas são anuidades comuns.

O que sobrou? A variável desconhecida é o valor do pagamento da hipoteca que corresponde às variáveis ​​do valor do dinheiro no tempo. No cálculo desse montante, a variável mais importante é o período de amortização, que determina o tempo de amortização do empréstimo. É a base de cálculo do pagamento. Observe que o prazo não tem efeito no cálculo do pagamento. Ele determina apenas o período de tempo durante o qual o acordo hipotecário atual (taxa de juros, frequência de pagamento, tipo e assim por diante) permanece em vigor.

Como funciona

Siga estas etapas para calcular o pagamento de uma hipoteca:

Passo 1: Visualize a hipoteca desenhando uma linha do tempo conforme ilustrado abaixo. Identifique todas as outras variáveis ​​de valor do dinheiro no tempo, incluindo (PV_ {ORD}, IY, CY, PY ) e Anos. O valor futuro, (FV ), é sempre zero (a hipoteca é reembolsada).

Passo 2: Calcule a taxa de juros periódica ( (i )) usando a Fórmula 9.1.

etapa 3: Calcule o número de pagamentos de anuidade ( (N )) usando a Fórmula 11.1. Lembre-se de usar o período de amortização e não o prazo da variável Anos neste cálculo.

Passo 4: Calcule o valor do pagamento da anuidade normal usando a Fórmula 11.4 e reorganizando para (PMT ). Você deve arredondar esse valor calculado para duas casas decimais, pois representa um valor de pagamento físico.

Exercício ( PageIndex {1} ): Pense um pouco

Em cada uma das seguintes situações, determine qual hipoteca resulta em um pagamento de hipoteca mais alto. Suponha que todas as outras variáveis ​​de valor do dinheiro no tempo permaneçam constantes.

  1. Aberto ou fechado
  2. Fixo ou variável
  3. Taxa fixa de dois anos ou taxa fixa de cinco anos
  4. Amortização de dez anos ou amortização de 20 anos
Responder
  1. Aberto (hipotecas abertas sempre têm uma taxa de juros mais alta do que hipotecas fechadas).
  2. As taxas fixas são sempre mais altas para compensar as incertezas futuras.
  3. Taxa fixa de cinco anos (quanto mais longo for o prazo, maior será a taxa).
  4. Amortização de dez anos (há menos tempo para quitar a dívida, o que significa que são necessários pagamentos maiores).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Quais são os pagamentos?

Os Oliver estão tentando comprar uma nova casa na Pacesetter Homes, em um subúrbio no nordeste de Calgary. Uma casa modelo Appaloosa 3 pode ser comprada por $ 408.726,15. Eles estão planejando colocar $ 50.000 como entrada, com amortização de 25 anos e pagamentos semanais. Se as taxas de hipoteca atuais forem fixadas em 5,29% compostos semestralmente por um período fechado de cinco anos, determine o pagamento da hipoteca exigido.

Solução

Calcule o valor do pagamento da hipoteca necessário ( (PMT )).

O que você já sabe

Passo 1:

A linha do tempo da hipoteca aparece abaixo.

(PV_ {ORD} ) = $ 408.726,15 - $ 50.000 = $ 358.726,15, (IY ) = 5,29%, (CY ) = 2, (PY ) = 52, Anos = 25, (FV ) = $ 0

Como você chegará lá

Passo 2:

Aplique a Fórmula 9.1.

etapa 3:

Aplique a Fórmula 11.1.

Passo 4:

Calcule o pagamento da hipoteca usando a Fórmula 11.4, reorganizando para (PMT ).

Executar

Passo 2:

[i = 5,29 \% / 2 = 2,645 \% nonumber ]

etapa 3:

(N = 52 vezes 25 = 1.300 ) pagamentos

Passo 4:

[ $ 358.726,15 = PMT left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + 0,02645) ^ { frac {2} {52}}} right] ^ {1300}} { (1 + 0,02645) ^ { frac {2} {52}} - 1} direita] não numérico ]

[PMT = dfrac { $ 358.726,15} { left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {1.001004} right] ^ {1.300}} {0,001004} right]} = $ 494,40 enhum número ]

Instruções da calculadora

ModoNI / YPV
FIM13005.29358726.15
PMTFVP / YC / Y
Resposta: -494.3983280522

Se os Oliver comprarem esta casa conforme planejado, estarão hipotecando $ 358.726,15 por 25 anos. Durante os primeiros cinco anos da hipoteca, eles fazem pagamentos semanais de $ 494,40. Após os cinco anos, eles devem renovar a hipoteca.

Renovando a hipoteca

Quando o prazo de uma hipoteca expira, o saldo remanescente torna-se totalmente devido. Normalmente, o saldo devido ainda é bastante significativo, de modo que a hipoteca deve ser renovada. Conforme discutido anteriormente, isso significa que o hipotecário assume outra hipoteca, não necessariamente com a mesma instituição financeira, e o prazo de amortização é normalmente reduzido pela duração do primeiro prazo. A duração do segundo prazo da hipoteca depende da escolha do hipotecário. Outras variáveis, como frequência de pagamento e taxa de juros, podem ou não mudar.

Por exemplo, suponha que uma hipoteca seja inicialmente contratada com uma amortização de 25 anos e um prazo de cinco anos. Após cinco anos, a hipoteca vence integralmente. Incapaz de pagá-lo, o hipotecário renova a hipoteca pelos 20 anos restantes de amortização, e também opta por um prazo de três anos na assunção da nova hipoteca. Quando esses três anos terminam, o hipotecário renova a hipoteca para os 17 anos restantes de amortização e novamente toma outra decisão sobre o prazo. Esse processo se repete até que a dívida seja finalmente paga.

Como funciona

Siga estas etapas para renovar uma hipoteca:

Etapas 1 a 4: As etapas para calcular o valor do pagamento da hipoteca permanecem inalteradas.

Etapa 5: Determine o saldo remanescente ao final do prazo da hipoteca. Isso envolve o seguinte:

  1. Calcule o valor futuro do principal da hipoteca ( (FV )) no final do prazo usando as Fórmulas 9.2 (Número de Períodos de Composição para Pagamentos Únicos) e 9.3 (Juros Compostos para Pagamentos Únicos).
  2. Calcule o valor futuro dos pagamentos da hipoteca ( (FV_ {ORD} )) feitos ao longo do prazo usando as Fórmulas 11.1 (Número de Pagamentos de Anuidade) e 11.2 (Valor Futuro de uma Anuidade Ordinária).
  3. Calcule o saldo restante tomando (FV - FV_ {ORD} = BAL ).

Etapa 6: Dependendo da informação que está sendo buscada, repita as etapas acima conforme necessário para cada renovação de hipoteca usando a nova amortização restante, a nova taxa de juros, quaisquer mudanças na frequência de pagamento e o novo prazo. Por exemplo, se você estiver procurando o pagamento da hipoteca no segundo período, repita apenas as etapas 2 a 4. Se estiver procurando o saldo restante no final do segundo período, repita também a etapa 5.

Anotações importantes

Mais comumente, os hipotecadores progridem ao longo do caminho original de amortização com cada renovação do prazo da hipoteca. O processo de hipoteca não exige isso, no entanto. Com qualquer renovação, o mortgagor pode optar por encurtar ou alongar o período de amortização. Se a redução do período de amortização não causar preocupação com o índice TDS ou GDS, o hipotecário poderá pagar a hipoteca mais rapidamente. Se o mortgagor deseja alongar o período de amortização, a instituição financeira pode olhar para o tempo total para pagar a dívida e colocar um limite máximo em quanto tempo o período de amortização pode ser aumentado.

Coisas a serem observadas

O erro mais comum com hipotecas é confundir o prazo e o período de amortização. Lembrar:

  • Ao determinar o valor do pagamento da hipoteca, você usa o período de amortização para determinar o (N ).
  • Ao calcular o saldo restante no final do período de hipoteca, você usa o termo para determinar o (N ).

Caminhos para o sucesso

Ao usar a calculadora BAII Plus para calcular o saldo restante no final do período, você pode chegar a esse número de duas maneiras. Depois de calcular o valor do pagamento da hipoteca e inseri-lo novamente na calculadora com apenas duas casas decimais, você determina o último número de pagamento para o prazo da hipoteca e, em seguida,

  1. Insira este valor em (N ) e resolva para (FV ), ou
  2. Abra a função AMORT e insira o último número de pagamento em P1 e P2. Role para baixo até BAL para a solução.

Exercício ( PageIndex {2} ): Pense um pouco

A hipoteca foi contratada em seu primeiro prazo com uma taxa de juros composta semestral de 6%. Se a hipoteca permanecer no mesmo cronograma de amortização, o que acontecerá com o pagamento da hipoteca se a nova taxa de juros composta semestralmente na renovação for

  1. 6.5%
  2. 5.5%
  3. 6%
Responder
  1. O PMT sobe, pois mais juros são cobrados da hipoteca.
  2. O PMT cai, pois menos juros são cobrados da hipoteca.
  3. O PMT permanece o mesmo, uma vez que não há variação nos juros cobrados da hipoteca.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Uma renovação de hipoteca

Os Chans compraram sua casa há três anos por $ 389.000 menos $ 38.900 de entrada a uma taxa composta semestral fixa de 4,9% com pagamentos mensais. Eles amortizaram a hipoteca em 20 anos. Os Chans renovarão a hipoteca no mesmo cronograma de amortização a uma nova taxa de 5,85% composta semestralmente. Quanto seus pagamentos mensais aumentarão no segundo mandato?

Solução

Calcule o pagamento da hipoteca original no primeiro prazo, ou (PMT_1 ). Em seguida, renove a hipoteca e recalcule o pagamento da hipoteca no segundo prazo, ou (PMT_2 ). O valor pelo qual (PMT_2 ) é maior é o aumento do pagamento mensal.

O que você já sabe

Passo 1:

O cronograma da hipoteca de Chans aparece abaixo.

Primeiro mandato: (PV_ {ORD} ) = $ 389.000 - $ 38.900 = $ 350.100, (IY ) = 4,9%, (CY ) = 2, (PY ) = 12, Anos = 20, (FV ) = $ 0

Segundo período: (PV_ {ORD} = BAL ) após o primeiro período, (IY ) = 5,85%, (CY ) = 2, (PY ) = 12, Anos = 17, (FV ) = $ 0

Como você chegará lá

Passo 2:

Para o primeiro termo, aplique a Fórmula 9.1.

etapa 3:

Para o primeiro mandato, aplique a Fórmula 11.1.

Passo 4:

Para o primeiro prazo, calcule o pagamento da hipoteca usando a Fórmula 11.4, reorganizando para (PMT ).

Etapa 5:

Calcule o valor futuro do principal no final do primeiro prazo usando as Fórmulas 9.2 e 9.3 para o principal e as Fórmulas 11.1 e 11.2 para os pagamentos da hipoteca. Determine o saldo remanescente por meio de (BAL = FV - FV_ {ORD} ).

Etapa 6:

Calcule o novo pagamento da hipoteca por meio das Fórmulas 9.1, 11.1 e 11.4, reorganizando para (PMT ).

Etapa 7:

Calcule o aumento do primeiro para o segundo pagamento.

Executar

Passo 2:

[i = 4,9 \% / 2 = 2,45 \% nonumber ]

etapa 3:

(N = 12 vezes 20 = 240 ) pagamentos

Passo 4:

[ $ 350,100 = PMT left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + 0,0245) ^ { frac {2} {12}}} right] ^ {240}} { (1 + 0,0245) ^ { frac {2} {12}} - 1} direita] não numérico ]

[PMT = dfrac { $ 350.100} { left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {1.004042} right] ^ {240}} {0,004042} right]} = $ 2.281,73 enhum número ]

Etapa 5:

Diretor:

(N = 2 vezes 3 = 6 ) compostos; (FV = $ 350.100 (1 + 0,0245) ^ {6} = $ 404.821,7959 )

Pagamentos:

(N = 12 vezes 3 = 36 ) pagamentos

[FV_ {ORD} = $ 2.281,73 left [ dfrac { left [(1 + 0,0245) ^ { frac {2} {12}} right] ^ {36} -1} {(1 + 0,0245 ) ^ { frac {2} {12}} - 1} right] = $ 88.228,30609 nonumber ]

Equilíbrio:

($ 404,821.7959-$ 88,228.30609=$ 316,593.49 )

Etapa 6:

(i = 5,85 \% / 2 = 2,925 \%; N = 12 vezes 17 = 204 ) pagamentos

[ $ 316.593,49 = PMT left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + 0,02925) ^ { frac {2} {12}}} right] ^ {204} } {(1 + 0,02925) ^ { frac {2} {12}} - 1} right] nonumber ]

[PMT = dfrac { $ 316.593,49} { left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + 0,02925) ^ { frac {2} {12}}} right] ^ {204}} {(1 + 0,02925) ^ { frac {2} {12}} - 1} right]} = $ 2.440,73 nonumber ]

Etapa 7:

[ $ 2.440,73 - $ 2.281,73 = $ 159,00 não número ]

AçaoModoNI / YPVPMTFVP / YC / Y
Pagamento do Primeiro TermoFIM2404.9350100Resposta: -2.281.7307550122
Saldo no final do primeiro mandato ( surd )36c ( surd )-2,281.73Resposta: -316.593.4898 ( surd ) ( surd )
Pagamento do Segundo Prazo ( surd )2045.85316593.49Resposta: -2.440,7335920 ( surd ) ( surd )

O pagamento inicial da hipoteca pelo prazo de três anos foi de $ 2.281,73. Após a renovação pela taxa de juros mais alta, o pagamento mensal aumentou em $ 159,00 para $ 2.440,73.

Referências

1 Canadian Real Estate Association (CREA), “Housing Market Stats”, https://www.crea.ca/housing-market-stats/ (acessado em 9 de julho de 2011).

2 Living In Canada, “Canadian House Prices,” www.livingin-canada.com/house-prices-canada.html (acessado em 9 de julho de 2011).

3 Statistics Canada, “Renda total mediana, por tipo de família, por província e território, tabela CANSIM 111-0009, www40.statcan.ca/l01/cst01/famil108a-eng.htm (acessado em 19 de outubro de 2010).


Matemática do senso comum

Common Sense Mathematics é um texto para um curso de nível universitário de um semestre em alfabetização quantitativa. O texto enfatiza o bom senso e conhecimento comum na abordagem de problemas reais por meio de itens de notícias populares e encontrar ferramentas matemáticas úteis e quadros para resolver essas questões.

Perguntamos a nós mesmos o que esperávamos que nossos alunos se lembrassem desse curso em dez anos. A partir dessa perspectiva de dez anos, os pensamentos sobre o plano de estudos & mdash "quais tópicos devemos cobrir?" & Mdash pareceram muito restritos. O que mais importa é nosso desejo de mudar a maneira como as mentes de nossos alunos funcionam, a maneira como abordam um problema ou, de modo mais geral, a maneira como abordam o mundo. A maioria das pessoas pula os números em jornais, revistas, na web e, mais importante, até mesmo nas informações financeiras. Esperamos que em dez anos nossos alunos acompanhem as notícias, confiantes em sua capacidade de entender os números que encontram ali e em seu dia a dia.

A maioria dos textos de raciocínio quantitativo são organizados por tópicos matemáticos para serem dominados. Como a matemática é apenas uma parte do que esperamos que os alunos aprendam, escolhemos outra estratégia. Vemos histórias da vida real que podem ser melhor compreendidas com uma leitura cuidadosa e um pouco de matemática.

Um manual do instrutor está disponível gratuitamente eletronicamente: clique aqui.

Um manual de soluções para este título está disponível eletronicamente para os instrutores que adotaram o livro para uso em sala de aula. Envie um e-mail para [email protected] para obter mais informações.

Críticas e endossos

Bolker and Mast tem um excelente escopo, cobrindo todos os tópicos essenciais que eu gostaria que meus alunos conhecessem.

- Keith Erickson, Georgia Gwinnett College

Este livro contém muitos tópicos diversos e orienta os alunos por meio de exemplos de maneira lógica. Embora cada problema seja único, o objetivo é que o aluno pense criticamente e desenvolva uma infinidade de habilidades de resolução de problemas para que esteja preparado para os eventos atuais do século 21. Certamente, vejo este livro sendo usado em um curso de tópicos especiais, em uma competição de matemática ou como um texto suplementar para aplicações. Certamente usarei este texto para meus cursos de finanças de matemática e sustentabilidade. Obrigado Bolker e Mast por escrever um texto tão perspicaz.

- Peter Olszewski, Pennsylvania State University

Os autores apresentam uma coleção notável de situações problemáticas recolhidas da mídia pública e complementadas por tópicos de finanças pessoais. As situações problemáticas não são apenas centrais para a vida cotidiana dos alunos, mas também fornecem um local para a aprendizagem contínua além do curso e além da escola. Com base em anos de ensino de raciocínio quantitativo, o livro oferece um modelo claro de tal curso para o professor inexperiente, bem como oportunidades para localizar e estender o material para o professor mais experiente.


Conquiste sua hipoteca.

Diga adeus às montanhas de papelada e olá ao financiamento doméstico sem estresse.

Hipotecas com o seu
melhores interesses em mente.

Considere-nos seus gurus da hipoteca. Estamos aqui para nos livrar do jargão confuso e dos processos complicados para tornar a compra de uma casa inteira e a experiência de refinanciamento de casa mais fácil do que nunca.

Pessoas reais
merecem ajuda real.

Você não é um robô e nem nós. Nosso processo personalizado compensa o status quo da hipoteca, dando a você acesso a especialistas que o encontram exatamente onde você está e se preocupam com você como ser humano em primeiro lugar.

Nós sabemos do que estamos falando.

Quando você está lidando com dinheiro, quer ter certeza de que as pessoas que o orientam são legítimas. Com o Interest, você pode sentar, relaxar e aproveitar a facilidade que vem com a obtenção de uma hipoteca de uma equipe que tem mais de 100 anos de experiência combinada.

Nós trabalhamos muito para criar um processo contínuo que o levará de volta a viver sua vida o mais rápido possível. Sem obstáculos para pular, sem mumbo jumbo, sem ciência de foguetes. Apenas um caminho simples para o financiamento doméstico.

Você chegou até aqui. Vamos mais longe juntos.

Parece que você está interessado em nós & # x2764 & # xfe0f Também estamos interessados ​​em você. Seja como o Fido e junte-se à melhor equipe do mercado para ajudar a mudar o setor de hipotecas. Sente-se, fique, aplique aqui mesmo.


Índice

1. Equações Lineares em Álgebra Linear

Exemplo introdutório: modelos lineares em economia e engenharia

1.1 Sistemas de Equações Lineares

1.2 Redução de linha e formas escalonadas

1.4 A Matriz Equação Ax = b

1.5 Conjuntos de soluções de sistemas lineares

1.6 Aplicações de Sistemas Lineares

1.8 Introdução às transformações lineares

1.9 A Matriz de uma Transformação Linear

1.10 Modelos Lineares em Negócios, Ciência e Engenharia

Exemplo introdutório: modelos de computador no projeto de aeronaves

2.2 O Inverso de uma Matriz

2.3 Caracterizações de matrizes invertíveis

2.6 O modelo Leontief Input e mdashOutput

2.7 Aplicativos para Computação Gráfica

Exemplo introdutório: caminhos aleatórios e distorção

3.1 Introdução aos Determinantes

3.2 Propriedades dos Determinantes

3.3 Regra de Cramer e rsquos, Volume e Transformações Lineares

Exemplo introdutório: vôo espacial e sistemas de controle

4.1 Espaços Vetoriais e Subespaços

4.2 Espaços nulos, espaços de coluna e transformações lineares

4.3 Bases de conjuntos linearmente independentes

4.5 A dimensão de um espaço vetorial

4.8 Aplicações para Equações de Diferença

4.9 Aplicativos para cadeias de Markov

5. Valores próprios e vetores próprios

Exemplo introdutório: sistemas dinâmicos e corujas pintadas

5.1 Autovetores e autovalores

5.2 A Equação Característica

5.4 Autovetores e transformações lineares

5.6 Sistemas Dinâmicos Discretos

5.7 Aplicações a Equações Diferenciais

5.8 Estimativas iterativas para valores próprios

6. Ortogonalidade e mínimos quadrados

Exemplo introdutório: reajustando o Datum da América do Norte

6.1 Produto Interno, Comprimento e Ortogonalidade

6.3 Projeções Ortogonais

6.4 O processo Gram & mdashSchmidt

6.6 Aplicações para modelos lineares

6.8 Aplicações de Espaços de Produto Interno

7. Matrizes simétricas e formas quadráticas

Exemplo introdutório: processamento de imagem multicanal

7.1 Diagonalização de matrizes simétricas

7.3 Otimização Restrita

7.4 A Decomposição do Valor Singular

7.5 Aplicativos para processamento de imagens e estatísticas

8. A geometria dos espaços vetoriais

Exemplo introdutório: os sólidos platônicos

9. Otimização (apenas online)

Exemplo introdutório: A ponte aérea de Berlim

9.2 Programação Linear e Método Geométrico ndash

9.3 Programação Linear e Método ndashSimplex

10. Cadeias de Markov de estado finito (somente online)

Exemplo introdutório: Google e cadeias de Markov

10.1 Introdução e exemplos

10.2 O vetor de estado estacionário e o PageRank do Google

10.3 Cadeias de Markov de Estados Finitos

10.4 Classificação de estados e periodicidade

10.5 A Matriz Fundamental

10.6 Cadeias de Markov e estatísticas de beisebol

A. Singularidade da Forma Escalonada Reduzida


Características

Personalize a aprendizagem com o MyMathLab

MyMathLab é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e se envolvem com recursos de mídia para ajudá-los a absorver o material do curso e compreender conceitos difíceis. NOVO! O curso MyMathLab desta edição fornece ferramentas adicionais para ajudar na compreensão e preparação.

  • NOVO! UMA novo programa de vídeo orienta os alunos através dos conceitos de cada seção do texto em um formato de apresentação fresco e moderno.
  • NOVO! Vídeos de conceito interativo requerem a contribuição e interação dos alunos enquanto eles analisam um conceito. Respostas incorretas são seguidas por uma explicação em vídeo da solução, abordando o equívoco que pode ter levado a esse erro específico.
    • Correspondente exercícios atribuíveis permitir que os instrutores verifiquem a compreensão do aluno.
    • Perguntas pré-elaboradas de alfabetização quantitativa estão disponíveis para atribuição.
    • No Edição Anotada do Instrutor, anotações especiais do Learning Catalytics sugerem quais perguntas LC usar para essa parte da lição, com uma tag correspondente para pesquisar essa pergunta.
    • NOVO! A Curso de avaliação integrada do MyMathLab A opção fornece um curso de artes liberais completo com revisão incorporada de tópicos de desenvolvimento selecionados no nível do capítulo.
      • Tarefas sobre tópicos de pré-requisito são pré-atribuídas neste curso - os alunos começam com um questionário de Verificação de Habilidades sobre tópicos de pré-requisito necessários para aquele capítulo.
      • Os alunos que provam domínio podem passar para o Pesquisa de Matemática conteúdo, enquanto os alunos que precisam de revisão adicional podem corrigir usando recursos como os vídeos de desenvolvimento e planilhas de revisão integrada.
      • Esta solução de curso pode ser usada em um modelo de curso de co-requisito ou simplesmente para ajudar alunos despreparados a dominar conceitos e habilidades de pré-requisito.
      • NOVO! Módulos de habilidades para o sucesso são integrados ao curso MyMathLab para ajudar os alunos a terem sucesso em cursos universitários e se prepararem para suas futuras profissões.
      • NOVO! Flashcards estão disponíveis em um formato moderno pronto para dispositivos móveis, para que os alunos possam estudar e reforçar o vocabulário em trânsito.
      • NOVO! Projetos de Grupo foram movidos do texto para o curso MyMathLab e fornecem oportunidades para os alunos colaborarem.
      • Vendo a relevância do material motiva os alunos a aprender.
        • Os autores enfatizam Por que isso é importante ao apresentar conceitos matemáticos para ajudar os alunos a fazer a conexão entre suas vidas e a matemática que estão aprendendo. As notas “Por que isso é importante” aparecem em todos os aplicativos de abertura de capítulo e seção, bem como nos recursos de “Matemática hoje”.
        • Matemática Recreativa caixas mostram como a matemática pode ser divertida. Além disso, os exercícios de Matemática Recreativa estão disponíveis como conjuntos de exercícios para que possam ser atribuídos como lição de casa.
        • Matemática Hoje as caixas discutem os usos atuais e reais do conceito matemático do capítulo. Cada caixa termina com Por que isso é importante.
        • Abridores de capítulo e seção incorporar aplicativos como forma de motivar os alunos. Por exemplo, a abertura do Capítulo 3 (Lógica) demonstra como a lógica se tornou importante em dispositivos eletrônicos, como telefones celulares e câmeras digitais.
          • NOVO! Muitos abridores de capítulo e seção contêm informações e aplicativos novos, interessantes e motivacionais que ilustram a natureza do mundo real do material.
          • Solução de problemas começa no Capítulo 1, onde os alunos são apresentados às técnicas de resolução de problemas e ao pensamento crítico. Os exercícios de resolução de problemas ajudam a desenvolver essas habilidades ao longo do texto.
          • Critical thinking skills are developed throughout the book, including the sections on inductive reasoning, estimation, and dimensional analysis. Challenge Problems also appear in the exercise sets to test a student’s ability to think critically.
          • Timely Tips are easy-to-identify boxes that help students with concept comprehension or relate the material to other sections of the book.
          • Chapter Summaries, organized in a chart format, provide an intuitive study and review experience. For each concept, definition, or idea presented, students are directed to the exact place in the text where the item is discussed.
          • Procedures are boxed and set apart from the text for easy identification and future reference.
          • Exercise sets begin with fill-in-the-blank Warm Up Exercises. Exercises also include Practice the Skills, Problem Solving, Challenge Problems/Group Activities, Recreational Mathematics, and Research Activities.
            • NEW! Data-driven improvements: the authors have analyzed usage and performance data from the previous edition's MyMathLab course to improve the quality and quantity of exercises that matter most to instructors and students.

            Novo nesta edição

            Personalize learning with MyMathLab

            MyMathLab is an online homework, tutorial, and assessment program designed to work with this text to engage students and improve results. Within its structured environment, students practice what they learn, test their understanding, and engage with media resources to help them absorb course material and understand difficult concepts. NEW! This edition’s MyMathLab course provides additional tools to help with understanding and preparedness.


            13.4: Special Application - Mortgages - Mathematics

            Todos os artigos publicados pela MDPI são disponibilizados imediatamente em todo o mundo sob uma licença de acesso aberto. Nenhuma permissão especial é necessária para reutilizar a totalidade ou parte do artigo publicado pela MDPI, incluindo figuras e tabelas. Para artigos publicados sob uma licença Creative Common CC BY de acesso aberto, qualquer parte do artigo pode ser reutilizada sem permissão, desde que o artigo original seja claramente citado.

            Os artigos de destaque representam a pesquisa mais avançada com potencial significativo de alto impacto no campo. Artigos de destaque são submetidos a convite individual ou recomendação dos editores científicos e passam por revisão por pares antes da publicação.

            O artigo pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que revisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

            Os artigos do Editor’s Choice são baseados nas recomendações dos editores científicos de periódicos MDPI de todo o mundo. Os editores selecionam um pequeno número de artigos publicados recentemente na revista que eles acreditam ser particularmente interessantes para os autores ou importantes neste campo. O objetivo é fornecer um instantâneo de alguns dos trabalhos mais interessantes publicados nas várias áreas de pesquisa da revista.


            There are two layers of VA loan entitlement, a basic level and a second tier of entitlement. When those two are fully in place, veterans can borrow as much as a lender is willing to lend without the need for a down payment.

            Eligible veterans in most parts of the country have a primary entitlement of $36,000 and an additional, secondary entitlement of $101,062. Add those together and you get $137,062.

            When you purchase a home with a VA loan, some or all of your entitlement is tied up in the mortgage. Because the VA usually guarantees a quarter of the loan amount, the amount of entitlement you utilize is typically equal to 25 percent of the loan amount. For example, on a typical $200,000 loan, you're typically using $50,000 of entitlement.

            Do some simple math ($137,062 - 50,000) and buyers in most parts of the country would have about $87,000 left over in remaining entitlement. Veterans and military members purchasing in more expensive housing markets would have even more VA loan entitlement available. VA loan limits are linked to the maximum entitlement amount and currently rise to $822,375 in costlier markets in the continental U.S.

            The remaining entitlement amount makes it possible for VA buyers to have more than one VA loan at the same time or purchase after experiencing a foreclosure or short sale.


            Conteúdo

            Given an integer n > 1 , called a módulo, two integers are said to be congruente modulo n , if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k de tal modo que umab = kn ).

            Congruence modulo n is a congruence relation, meaning that it is an equivalence relation that is compatible with the operations of addition, subtraction, and multiplication. Congruence modulo n is denoted:

            The parentheses mean that (mod n) applies to the entire equation, not just to the right-hand side (here b ). This notation is not to be confused with the notation b mod n (without parentheses), which refers to the modulo operation. De fato, b mod n denotes the unique integer a such that 0 ≤ uma < n and a ≡ b ( mod n ) > )> (i.e., the remainder of b when divided by n [1] ).

            The congruence relation may be rewritten as

            explicitly showing its relationship with Euclidean division. No entanto, o b here need not be the remainder of the division of uma de n. Instead, what the statement umab (mod n) asserts is that uma e b have the same remainder when divided by n . Isso é,

            where 0 ≤ r < n is the common remainder. Subtracting these two expressions, we recover the previous relation:

            by setting k = pq.

            Examples Edit

            In modulus 12, one can assert that:

            because 38 − 14 = 24 , which is a multiple of 12. Another way to express this is to say that both 38 and 14 have the same remainder 2, when divided by 12.

            The definition of congruence also applies to negative values. Por exemplo:

            The congruence relation satisfies all the conditions of an equivalence relation:

            • Reflexivity: umauma (mod n)
            • Symmetry: umab (mod n) if buma (mod n) para todos uma , b , e n .
            • Transitivity: If umab (mod n) e bc (mod n) , then umac (mod n)

            Se uma1b1 (mod n) e uma2b2 (mod n), or if umab (mod n), then:

            • uma + kb + k (mod n) for any integer k (compatibility with translation)
            • k ak b (mod n) for any integer k (compatibility with scaling)
            • uma1 + uma2b1 + b2 (mod n) (compatibility with addition)
            • uma1uma2b1b2 (mod n) (compatibility with subtraction)
            • uma1uma2b1b2 (mod n) (compatibility with multiplication)
            • umakbk (mod n) for any non-negative integer k (compatibility with exponentiation)
            • p(uma) ≡ p(b) (mod n) , for any polynomialp(x) with integer coefficients (compatibility with polynomial evaluation)

            Se umab (mod n) , then it is generally false that k ak b (mod n) However, the following is true:

            • Se cd (mod φ(n)), where φ is Euler's totient function, then umacumad (mod n) —provided that uma is coprime with n .

            For cancellation of common terms, we have the following rules:

            • Se uma + kb + k (mod n) , where k is any integer, then umab (mod n)
            • Se k ak b (mod n) e k is coprime with n , então umab (mod n)
            • Se k ak b (mod kn) , then umab (mod n)

            The modular multiplicative inverse is defined by the following rules:

            • Existence: there exists an integer denoted uma –1 such that aa –1 ≡ 1 (mod n) if and only if uma is coprime with n . This integer uma –1 is called a modular multiplicative inverse of a modulo n .
            • Se umab (mod n) e uma –1 exists, then uma –1 ≡ b –1 (mod n) (compatibility with multiplicative inverse, and, if uma = b , uniqueness modulo n )
            • Se a xb (mod n) e uma is coprime to n , then the solution to this linear congruence is given by xuma –1 b (mod n)

            The multiplicative inverse xuma –1 (mod n) may be efficiently computed by solving Bézout's equation a x + n y = 1 for x , y —using the Extended Euclidean algorithm.

            In particular, if p is a prime number, then uma is coprime with p para cada uma such that 0 < uma < p thus a multiplicative inverse exists for all uma that is not congruent to zero modulo p .

            Some of the more advanced properties of congruence relations are the following:

              : If p is prime and does not divide uma , então umap – 1 ≡ 1 (mod p) : If uma e n are coprime, then umaφ(n) ≡ 1 (mod n) , where φ is Euler's totient function
          • A simple consequence of Fermat's little theorem is that if p is prime, then uma −1 ≡ umap − 2 (mod p) is the multiplicative inverse of 0 < uma < p . More generally, from Euler's theorem, if uma e n are coprime, then uma −1 ≡ umaφ(n) − 1 (mod n) .
          • Another simple consequence is that if umab (mod φ(n)), where φ is Euler's totient function, then kumakb (mod n) provided k is coprime with n . : p is prime if and only if (p − 1)! ≡ −1 (mod p) : For any uma , b and coprime m , n , there exists a unique x (mod mn) such that xuma (mod m) e xb (mod n) Na verdade, xb mn –1 m + a nm –1 n (mod mn) where mn −1 is the inverse of m modulo n e nm −1 is the inverse of n modulo m . : The congruence f (x) ≡ 0 (mod p) , where p is prime, and f (x) = uma0xn + . + uman is a polynomial with integer coefficients such that uma0 ≠ 0 (mod p) , has at most n roots. : A number g is a primitive root modulo n if, for every integer uma coprime to n , there is an integer k de tal modo que gkuma (mod n) A primitive root modulo n exists if and only if n is equal to 2, 4, pk or 2pk , Onde p is an odd prime number and k is a positive integer. If a primitive root modulo n exists, then there are exactly φ(φ(n)) such primitive roots, where φ is the Euler's totient function. : An integer uma is a quadratic residue modulo n , if there exists an integer x de tal modo que x 2 ≡ uma (mod n) Euler's criterion asserts that, if p is an odd prime, and a is not a multiple of p , then uma is a quadratic residue modulo p if and only if
          • Like any congruence relation, congruence modulo n is an equivalence relation, and the equivalence class of the integer uma , denoted by uma n , is the set <… , uma − 2n, uman, uma, uma + n, uma + 2n, …> . This set, consisting of all the integers congruent to uma modulo n , is called the congruence class, residue class, or simply residue of the integer uma modulo n . When the modulus n is known from the context, that residue may also be denoted [uma] .

            Each residue class modulo n may be represented by any one of its members, although we usually represent each residue class by the smallest nonnegative integer which belongs to that class [2] (since this is the proper remainder which results from division). Any two members of different residue classes modulo n are incongruent modulo n . Furthermore, every integer belongs to one and only one residue class modulo n . [3]

            The set of integers <0, 1, 2, …, n − 1> is called the least residue system modulo n. Any set of n integers, no two of which are congruent modulo n , is called a complete residue system modulo n.

            The least residue system is a complete residue system, and a complete residue system is simply a set containing precisely one representative of each residue class modulo n . [4] For example. the least residue system modulo 4 is <0, 1, 2, 3>. Some other complete residue systems modulo 4 include:

            Some sets which are não complete residue systems modulo 4 are:

            • <−5, 0, 6, 22>, since 6 is congruent to 22 modulo 4.
            • <5, 15>, since a complete residue system modulo 4 must have exactly 4 incongruent residue classes.

            Reduced residue systems Edit

            Given the Euler's totient function φ(n) , any set of φ(n) integers that are relatively prime to n and mutually incongruent under modulus n is called a reduced residue system modulo n. [5] The set <5,15>from above, for example, is an instance of a reduced residue system modulo 4.

            The set is defined for n > 0 as:

            We define addition, subtraction, and multiplication on Z / n Z /nmathbb > by the following rules:

            The verification that this is a proper definition uses the properties given before.

            as in the arithmetic for the 24-hour clock.

            The multiplicative subgroup of integers modulo n is denoted by ( Z / n Z ) × /nmathbb )^< imes >> . This consists of a ¯ n _> (where uma is coprime to n), which are precisely the classes possessing a multiplicative inverse. This forms a commutative group under multiplication, with order φ ( n ) .

            In theoretical mathematics, modular arithmetic is one of the foundations of number theory, touching on almost every aspect of its study, and it is also used extensively in group theory, ring theory, knot theory, and abstract algebra. In applied mathematics, it is used in computer algebra, cryptography, computer science, chemistry and the visual and musical arts.

            A very practical application is to calculate checksums within serial number identifiers. For example, International Standard Book Number (ISBN) uses modulo 11 (for 10 digit ISBN) or modulo 10 (for 13 digit ISBN) arithmetic for error detection. Likewise, International Bank Account Numbers (IBANs), for example, make use of modulo 97 arithmetic to spot user input errors in bank account numbers. In chemistry, the last digit of the CAS registry number (a unique identifying number for each chemical compound) is a check digit, which is calculated by taking the last digit of the first two parts of the CAS registry number times 1, the previous digit times 2, the previous digit times 3 etc., adding all these up and computing the sum modulo 10.

            In cryptography, modular arithmetic directly underpins public key systems such as RSA and Diffie–Hellman, and provides finite fields which underlie elliptic curves, and is used in a variety of symmetric key algorithms including Advanced Encryption Standard (AES), International Data Encryption Algorithm (IDEA), and RC4. RSA and Diffie–Hellman use modular exponentiation.

            In computer algebra, modular arithmetic is commonly used to limit the size of integer coefficients in intermediate calculations and data. It is used in polynomial factorization, a problem for which all known efficient algorithms use modular arithmetic. It is used by the most efficient implementations of polynomial greatest common divisor, exact linear algebra and Gröbner basis algorithms over the integers and the rational numbers. As posted on Fidonet in the 1980s and archived at Rosetta Code, modular arithmetic was used to disprove Euler's sum of powers conjecture on a Sinclair QL microcomputer using just one-fourth of the integer precision used by a CDC 6600 supercomputer to disprove it two decades earlier via a brute force search. [9]

            In computer science, modular arithmetic is often applied in bitwise operations and other operations involving fixed-width, cyclic data structures. The modulo operation, as implemented in many programming languages and calculators, is an application of modular arithmetic that is often used in this context. The logical operator XOR sums 2 bits, modulo 2.

            In music, arithmetic modulo 12 is used in the consideration of the system of twelve-tone equal temperament, where octave and enharmonic equivalency occurs (that is, pitches in a 1∶2 or 2∶1 ratio are equivalent, and C-sharp is considered the same as D-flat).

            The method of casting out nines offers a quick check of decimal arithmetic computations performed by hand. It is based on modular arithmetic modulo 9, and specifically on the crucial property that 10 ≡ 1 (mod 9).

            Arithmetic modulo 7 is used in algorithms that determine the day of the week for a given date. In particular, Zeller's congruence and the Doomsday algorithm make heavy use of modulo-7 arithmetic.

            More generally, modular arithmetic also has application in disciplines such as law (e.g., apportionment), economics (e.g., game theory) and other areas of the social sciences, where proportional division and allocation of resources plays a central part of the analysis.

            Since modular arithmetic has such a wide range of applications, it is important to know how hard it is to solve a system of congruences. A linear system of congruences can be solved in polynomial time with a form of Gaussian elimination, for details see linear congruence theorem. Algorithms, such as Montgomery reduction, also exist to allow simple arithmetic operations, such as multiplication and exponentiation modulo n , to be performed efficiently on large numbers.

            Some operations, like finding a discrete logarithm or a quadratic congruence appear to be as hard as integer factorization and thus are a starting point for cryptographic algorithms and encryption. These problems might be NP-intermediate.

            Solving a system of non-linear modular arithmetic equations is NP-complete. [10]

            Below are three reasonably fast C functions, two for performing modular multiplication and one for modular exponentiation on unsigned integers not larger than 63 bits, without overflow of the transient operations.

            An algorithmic way to compute a ⋅ b ( mod m ) >> : [11]

            On computer architectures where an extended precision format with at least 64 bits of mantissa is available (such as the long double type of most x86 C compilers), the following routine is [ esclarecimento necessário ] , by employing the trick that, by hardware, floating-point multiplication results in the most significant bits of the product kept, while integer multiplication results in the least significant bits kept: [ citação necessária ]

            Below is a C function for performing modular exponentiation, that uses the mul_mod function implemented above.

            An algorithmic way to compute a b ( mod m ) >> :

            However, for all above routines to work, m must not exceed 63 bits.


            How to format an application letter

            When writing an application letter for a job, follow these steps to make sure you include information about yourself and your professional experience that will appeal to a hiring manager:

            Address the letter to the hiring manager.

            1 Use a professional format

            A job application letter should be more professional than a thank-you card or an email to a coworker or friend. The alignment of the document should include single spacing, one-inch margins and left alignment. It’s best to use a professional and traditional font, such as Times New Roman, in a size from 10 to 12 points. Try to keep your job application letter to one page. When a hiring manager reviews your job application letter, they will get their first impression of you as a potential employee, so take time to format it professionally and keep it concise.

            2 Create the heading

            Use a formal business heading for your job application letter. The heading should include your name and contact information, the date and the company name and address. If you send your job application letter via email, you can eliminate your name and contact information from the header and put it at the bottom of the email after the signature instead.

            Your name
            Your city and ZIP code
            Your phone number
            Your email address

            Name of hiring manager or supervisor
            Title of hiring manager or supervisor
            Company name
            Company physical address

            By including a professional and detailed heading, you can make it easier for the hiring manager to follow up with you regarding the position.

            3 Address the letter to the hiring manager

            In your research, try to find the name of the person reviewing applications for the job. Address your letter to this person with a common business greeting, such as �r Mr./Ms.” and their last name. If you’re unable to find their preferred gender pronouns (she/her, them/they) of the individual reviewing your application, you can use �r [ first and last name ] ” or �r Hiring Manager.”


            What if you need help immediately?

            If your housing expenses are piling up and squeezing your budget, there are some ways you can give yourself some financial breathing room right now, long before any aid comes your way.

            If you’ve been using credit cards for most of your purchases during the pandemic and are watching the interest charges escalate, you could replace those pricey balances with a single debt consolidation loan at a lower interest rate.

            Or try reducing your homeowners insurance premiums by shopping around for a better dea when your policy comes up for renewal. The same comparison shopping approach works well for saving on car insurance.

            Take inventory of your streaming services or any other monthly subscriptions you may not be using — and say goodbye. Also, download a free browser extension that will look for coupons and better prices whenever you shop online.


            Assista o vídeo: CFT- Qué es el Costo Financiero Total? (Novembro 2021).