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8.5: Eventos Independentes - Matemática


objetivos de aprendizado

Nesta seção, você irá:

  1. Defina eventos independentes
  2. Identifique se dois eventos são independentes ou dependentes

Na última seção, consideramos as probabilidades condicionais. Em alguns exemplos, a probabilidade de um evento mudou quando informações adicionais foram fornecidas. Isso não é sempre o caso. As informações adicionais podem ou não alterar a probabilidade do evento.

Em Example ( PageIndex {1} ), revisitamos a discussão no início da seção anterior e a contrastamos com Example ( PageIndex {2} ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Uma carta é retirada de um baralho. Encontre as seguintes probabilidades.

  1. A carta é um rei.
  2. A carta é um rei, visto que é uma carta com figura.

Solução

uma. Claramente, (P ) (A carta é um rei) = 4/52 = 1/13.

b. Para encontrar (P ) (A carta é um rei | A carta é uma carta de figura), raciocinamos da seguinte forma:

Existem 12 cartas de figuras em um baralho de cartas. Existem 4 reis em um baralho de cartas.

(P ) (A carta é um rei | A carta é uma carta de figura) = 4/12 = 1/3.

O leitor deve observar que no exemplo acima,

(P ) (A carta é um rei | A carta é uma carta de figura) ( neq ) (P ) (A carta é um rei)

Em outras palavras, a informação adicional, sabendo que a carta selecionada é uma carta com a figura mudou a probabilidade de obter um rei.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Uma carta é retirada de um baralho. Encontre as seguintes probabilidades.

  1. A carta é um rei.
  2. A carta é um rei, visto que uma carta vermelha foi mostrada.

Solução

uma. Para encontrar (P ) (a carta é um rei | Uma carta vermelha foi mostrada), raciocinamos da seguinte forma:

Como um cartão vermelho apareceu, existem apenas vinte e seis possibilidades. Dos 26 cartões vermelhos, existem dois reis. Portanto,

(P ) (A carta é um rei | Uma carta vermelha foi mostrada) = 2/26 = 1/13.

O leitor deve observar que no exemplo acima,

(P ) (A carta é um rei | Uma carta vermelha foi mostrada) = (P ) (A carta é um rei)

Em outras palavras, a informação adicional, um cartão vermelho mostrou, não afetou a probabilidade de obter um rei.

Sempre que a probabilidade de um evento (E ) não for afetada pela ocorrência de outro evento (F ), e vice-versa, dizemos que os dois eventos (E ) e (F ) são independente. Isso leva à seguinte definição.

Definição: Independente

Dois eventos (E ) e (F ) são independente se e somente se pelo menos uma das duas condições a seguir for verdadeira.

  1. ( mathbf {P} ( mathbf {E} | mathbf {F}) = mathbf {P} ( mathbf {E}) ) ou
  2. ( mathbf {P} ( mathbf {F} | mathbf {E}) = mathbf {P} ( mathbf {F}) )

Se os eventos não forem independentes, eles serão dependentes.

Se uma dessas condições for verdadeira, ambas serão verdadeiras.

Podemos usar a definição de independência para determinar se dois eventos são independentes.

Podemos usar essa definição para desenvolver outra maneira de testar se dois eventos são independentes.

Lembre-se da fórmula de probabilidade condicional:

[ mathrm {P} ( mathrm {E} | mathrm {F}) = frac { mathrm {P} ( mathrm {E} cap mathrm {F})} { mathrm {P} ( mathrm {F})} nonumber ]

Multiplicando ambos os lados por ( mathrm {P} ( mathrm {F}) ), obtemos

[ mathrm {P} ( mathrm {E} cap mathrm {F}) = mathrm {P} ( mathrm {E} | mathrm {F}) mathrm {P} ( mathrm {F }) enhum número]

Agora, se os dois eventos são independentes, então, por definição

[ mathrm {P} ( mathrm {E} | mathrm {F}) = mathrm {P} ( mathrm {E}) nonumber ]

Substituindo, (P (E cap F) = P (E) P (F) )

Nós o declaramos formalmente da seguinte maneira.

Teste de Independência

Dois eventos (E ) e (F ) são independentes se e somente se

[ mathbf {P} ( mathbf {E} cap mathbf {F}) = mathbf {P} ( mathbf {E}) mathbf {P} ( mathbf {F}) não numérico ]

Nos exemplos ( PageIndex {3} ) e ( PageIndex {4} ), examinaremos como verificar a independência usando os dois métodos:

  • Examine a probabilidade de interseção de eventos para verificar se (P (E cap F) = P (E) P (F) )
  • Examine as probabilidades condicionais para verificar se (P (E | F) = P (E) ) ou (P (F | E) = P (F) )

Precisamos usar apenas 1 desses métodos. Ambos os métodos, se usados ​​corretamente, sempre fornecerão resultados consistentes entre si.

Use o método que parece mais fácil com base nas informações fornecidas no problema.

Exemplo ( PageIndex {3} )

A tabela a seguir mostra a distribuição dos daltônicos por gênero.

Masculino (M)

Feminino (F)

Total

Daltônico (C)

6

1

7

Não daltônico (N)

46

47

93

Total

52

48

100

onde (M ) representa masculino, (F ) representa feminino, (C ) representa daltônico e (N ) representa não daltônico. Os eventos são daltônicos e independentes do sexo masculino?

Solução 1: De acordo com o teste de independência, (C ) e (M ) são independentes se e somente se ( mathrm {P} ( mathrm {C} cap mathrm {M}) = mathrm {P } ( mathrm {C}) mathrm {P} ( mathrm {M}) ).

Da tabela: (P (C) ) = 7/100, (P (M) ) = 52/100 e (P (C cap M) ) = 6/100

Portanto, (P (C) P (M) ) = (7/100) (52/100) = 0,0364

qual é não igual a (P (C cap M) ) = 6/100 = 0,06

Portanto, os dois eventos não são independentes. Podemos dizer que são dependentes.

Solução 2: (C ) e (M ) são independentes se e somente se (P (C | M) = P (C) ).

Da coluna total (P (C) ) = 7/100 = 0,07

Da coluna masculina (P (C | M) ) = 6/52 = 0,1154

Portanto, (P (C | M) neq P (C) ), indicando que os dois eventos não são independentes.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Em uma cidade com dois aeroportos, foram pesquisados ​​100 voos. 20 desses voos partiram com atraso.

  • 45 voos da pesquisa partiram do aeroporto A; 9 desses voos partiram com atraso.
  • 55 voos da pesquisa partiram do aeroporto B; 11 voos partiram com atraso.

Os eventos "partida do aeroporto A" e "partida tarde" são independentes?

Solução 1

Seja A o evento em que um voo parte do aeroporto A e L o evento em que um voo parte atrasado. Nós temos

(P (A cap L) ) = 9/100, (P (A) ) = 45/100 e (P (L) ) = 20/100

Para que dois eventos sejam independentes, devemos ter (P (A cap L) = P (A) P (L) )

Uma vez que (P (A cap L) ) = 9/100 = 0,09

e (P (A) P (L) ) = (45/100) (20/100) = 900/10000 = 0,09

os dois eventos "partida do aeroporto A" e "partida atrasada" são independentes.

Solução 2

A definição de eventos independentes afirma que dois eventos são independentes se (P (E | F) = P (E) ).

Neste problema, temos que

(P (L | A) ) = 9/45 = 0,2 e (P (L) ) = 20/100 = 0,2

(P (L | A) = P (L) ), então os eventos "partindo do aeroporto A" e "partindo tarde" são independentes.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Uma moeda é lançada três vezes, e os eventos (E ), (F ) e (G ) são definidos da seguinte forma:

(E ): A moeda mostra uma cara no primeiro lance.

(F ): Pelo menos duas cabeças aparecem.

(G ): As cabeças aparecem em dois lançamentos sucessivos.

Determine se os eventos a seguir são independentes.

  1. (E ) e (F )
  2. (F ) e (G )
  3. (E ) e (G )

Solução

Listamos o espaço amostral, os eventos, suas interseções e as probabilidades.

begin {alinhado}
& mathrm {S} = { mathrm {HHH}, mathrm {HHT}, mathrm {HTH}, mathrm {HTT}, mathrm {THH}, mathrm {THT}, mathrm {TTH} , mathrm {TTT}
& begin {array} {ll}
mathrm {E} = { mathrm {HHH}, mathrm {HHT}, mathrm {HTH}, mathrm {HTT} }, & mathrm {P} ( mathrm {E}) = 4 / 8 texto {ou} 1/2
mathrm {F} = { mathrm {HHH}, mathrm {HHT}, mathrm {HTH}, mathrm {THH} }, & mathrm {P} ( mathrm {F}) = 4 / 8 texto {ou} 1/2
mathrm {G} = { mathrm {HHT}, mathrm {THH} }, & mathrm {P} ( mathrm {G}) = 2/8 texto {ou} 1/4
mathrm {E} cap mathrm {F} = { mathrm {HHH}, mathrm {HHT}, mathrm {HTH} }, & mathrm {P} ( mathrm {E} cap mathrm {F}) = 3/8
mathrm {F} cap mathrm {G} = { mathrm {HHT}, mathrm {THH} }, & mathrm {P} ( mathrm {F} cap mathrm {G}) = 2/8 texto {ou} 1/4
mathrm {E} cap mathrm {G} = { mathrm {HHT} } & mathrm {P} ( mathrm {E} cap mathrm {G}) = 1/8
end {array}
end {alinhado}

uma. (E ) e (F ) serão independentes se e somente se (P (E cap F) = P (E) P (F) )

(P (E cap F) = 3/8 ) e (P (E) P (F) = 1/2 cdot 1/2 = 1/4 ).

Como 3/8 ≠ 1/4, temos (P (E cap F) neq P (E) P (F) ).

Os eventos (E ) e (F ) não são independentes.

b. (F ) e (G ) serão independentes se e somente se (P (F cap G) = P (F) P (G) ).

(P (F cap G) = 1/4 ) e (P (F) P (G) = 1/2 cdot 1/4 = 1/8 ).

Como 3/8 ≠ 1/4, temos (P (F cap G) neq P (F) P (G) ).

Os eventos (F ) e (G ) não são independentes.

c. (E ) e (G ) serão independentes se (P (E cap G) = P (E) P (G) )

(P (E cap G) = 1/8 ) e (P (E) P (G) = 1/2 cdot 1/4 = 1/8 )

Eventos (E ) e (G ) são eventos independentes porque (P (E cap G) = P (E) P (G) )

Exemplo ( PageIndex {6} )

A probabilidade de Jaime visitar sua tia em Baltimore este ano é de 0,30, e a probabilidade de ele fazer rafting no rio Colorado é de 0,50. Se os dois eventos são independentes, qual é a probabilidade de Jaime fazer os dois?

Solução

Seja (A ) o evento que Jaime irá visitar sua tia este ano, e (R ) o evento que ele fará rafting.

Recebemos (P (A) ) = .30 e (P (R) ) = .50, e queremos encontrar (P (A cap R) ).

Uma vez que somos informados de que os eventos (A ) e (R ) são independentes,

[P (A cap R) = P (A) P (R) = (. 30) (. 50) =. 15 não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {7} )

Dado (P (B | A) = .4 ). Se A e B são independentes, encontre (P (B) ).

Solução

Se (A ) e (B ) são independentes, então por definição (P (B | A) = P (B) )

Portanto, (P (B) = .4 )

Exemplo ( PageIndex {8} )

Dado (P (A) = .7 ), (P (B | A) = .5 ). Encontre (P (A cap B) ).

Solução 1

Por definição (P (B | A) = frac {P (A cap B)} {P (A)} )

Substituindo, nós temos

[. 5 = frac { mathrm {P} ( mathrm {A} cap mathrm {B})} {. 7} não número ]

Portanto, (P (A cap B) = .35 )

Solução 2

Novamente, comece com (P (B | A) = frac {P (A cap B)} {P (A)} )

Multiplicando ambos os lados por (P (A) ) dá

[P (A cap B) = P (B | A) P (A) = (. 5) (. 7) =. 35 não numérico ]

Ambas as soluções para Exemplo ( PageIndex {8} ) são realmente as mesmas, exceto que na Solução 2 atrasamos a substituição dos valores na equação até depois de resolvermos a equação para (P (A cap B) ). Isso dá o seguinte resultado:

Regra de multiplicação para eventos que NÃO são independentes

Se os eventos (E ) e (F ) não forem independentes

[ mathbf {P} ( mathbf {E} cap mathbf {F}) = mathbf {P} ( mathbf {E} | mathbf {F}) mathbf {P} ( mathbf {F }) quad text {e} quad mathbf {P} ( mathbf {E} cap mathbf {F}) = mathbf {P} ( mathbf {F} | mathbf {E}) mathbf {P} ( mathbf {E}) nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {9} )

Dado (P (A) = .5 ), (P (A cup B) = .7 ), se (A ) e (B ) forem independentes, encontre (P (B) ).

Solução

A regra de adição afirma que

[ mathrm {P} ( mathrm {A} cup mathrm {B}) = mathrm {P} ( mathrm {A}) + mathrm {P} ( mathrm {B}) - mathrm {P} ( mathrm {A} cap mathrm {B}) nonumber ]

Uma vez que (A ) e (B ) são independentes, (P (A cap B) = P (A) P (B) )

Substituímos (P (A cap B) ) na fórmula de adição e obtemos

[ mathrm {P} ( mathrm {A} cup mathrm {B}) = mathrm {P} ( mathrm {A}) + mathrm {P} ( mathrm {B}) - mathrm {P} ( mathrm {A}) mathrm {P} ( mathrm {B}) nonumber ]

Ao deixar (P (B) = x ), e substituir os valores, obtemos

[ begin {array} {l}
.7 = .5 + x-.5 x
.7 = .5 + .5 x
.2 = .5 x
.4 = x
end {array} nonumber ]

Portanto, (P (B) = .4 )


Aprenda sobre eventos independentes com exemplos de problemas e exercícios interativos

Experiência 1: Uma gaveta de cômoda contém um par de meias com cada uma das seguintes cores: azul, marrom, vermelho, branco e preto. Cada par é dobrado em um conjunto correspondente. Você enfia a mão na gaveta de meias e escolhe um par de meias sem olhar. Você substitui este par e então escolhe outro par de meias. Qual é a probabilidade de você escolher o par de meias vermelhas nas duas vezes?

Há algumas coisas a serem observadas sobre esse experimento. Escolher um par de meias da gaveta, substituí-lo e, em seguida, escolher um par novamente da mesma gaveta é um evento composto. Uma vez que o primeiro par foi substituído, escolher um par vermelho na primeira tentativa não tem efeito sobre a probabilidade de escolher um par vermelho na segunda tentativa. Portanto, esses eventos são independentes.

Definição: Dois eventos, A e B, são independente se o fato de A ocorrer não afeta a probabilidade de B ocorrer.

Alguns outros exemplos de eventos independentes são:

  • Atingindo cara depois de jogar uma moeda E rolar um 5 em um único dado de 6 lados.
  • Escolhendo uma bola de gude de uma jarra E caindo em cara depois de jogar uma moeda.
  • Escolhendo um 3 de um baralho de cartas, substituindo-o, E em seguida, escolhendo um ás como a segunda carta.
  • Rolando um 4 em um único dado de 6 lados, E em seguida, rolar 1 em uma segunda jogada do dado.

Para encontrar a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem em sequência, encontre a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente e, em seguida, multiplique as probabilidades. Esta regra de multiplicação é definida simbolicamente abaixo. Observe que a multiplicação é representada por AND.

Regra de multiplicação 1: Quando dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é:

(Observação: outra regra de multiplicação será introduzida na próxima lição.) Agora podemos aplicar essa regra para encontrar a probabilidade do Experimento 1.

Experiência 1: Uma gaveta de cômoda contém um par de meias com cada uma das seguintes cores: azul, marrom, vermelho, branco e preto. Cada par é dobrado em um conjunto correspondente. Você enfia a mão na gaveta de meias e escolhe um par de meias sem olhar. Você substitui este par e então escolhe outro par de meias. Qual é a probabilidade de você escolher o par de meias vermelhas nas duas vezes?

P (vermelho) = 1
5
P (vermelho e vermelho) = P (vermelho) · P (vermelho)
= 1 · 1
5 5
= 1
25

Experiência 2: Uma moeda é lançada e um único dado de 6 lados é lançado. Encontre a probabilidade de cair do lado da cabeça da moeda e rolar um 3 no dado.

P (cabeça) = 1
2
P (3) = 1
6
P (cabeça e 3) = P (cabeça) · P (3)
= 1 · 1
2 6
= 1
12

Experiência 3: Uma carta é escolhida aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. Ele é então substituído e um segundo cartão é escolhido. Qual é a probabilidade de escolher um valete e depois um oito?

P (jack) = 4
52
P (8) = 4
52
P (jack e 8) = P (jack) · P (8)
= 4 · 4
52 52
= 16
2704
= 1
169

Experiência 4: um frasco contém 3 bolas de gude vermelhas, 5 verdes, 2 azuis e 6 amarelas. Uma bola de gude é escolhida aleatoriamente do jarro. Depois de substituí-la, uma segunda bola de gude é escolhida. Qual é a probabilidade de escolher uma bola de gude verde e depois uma amarela?

P (verde) = 5
16
P (amarelo) = 6
16
P (verde e amarelo) = P (verde) · P (amarelo)
= 5 · 6
16 16
= 30
256
= 15
128

Cada um dos experimentos acima envolveu dois eventos independentes que ocorreram em sequência. Em alguns casos, houve a substituição do primeiro item antes da escolha do segundo item, essa substituição foi necessária para tornar os dois eventos independentes. A regra de multiplicação 1 pode ser estendida para funcionar para três ou mais eventos independentes que ocorrem em sequência. Isso é demonstrado na Experiência 5 abaixo.

Experimento 5: uma pesquisa escolar revelou que 9 em cada 10 alunos gostam de pizza. Se três alunos forem escolhidos aleatoriamente com substituição, qual é a probabilidade de todos os três alunos gostarem de pizza?

P (o aluno 1 gosta de pizza) = 9
10
P (o aluno 2 gosta de pizza) = 9
10
P (o aluno 3 gosta de pizza) = 9
10
P (aluno 1 e aluno 2 e aluno 3 gostam de pizza) = 9 · 9 · 9 = 729
10 10 10 1000

Todos os experimentos acima envolveram eventos independentes com uma pequena população (por exemplo, um dado de 6 lados, uma moeda de 2 lados, um baralho de 52 cartas). Quando um pequeno número de itens é selecionado de uma grande população Sem substituição, a probabilidade de cada evento muda tão ligeiramente que a quantidade de mudança é insignificante. Isso é ilustrado no seguinte problema.

Problema: uma pesquisa nacional descobriu que 72% das pessoas nos Estados Unidos gostam de pizza. Se 3 pessoas forem selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que todas as três gostem de pizza?

Solução: deixe L representar o evento de escolher aleatoriamente uma pessoa que gosta de pizza dos EUA

P (L) · P (L) · P (L) = (0,72) (0,72) (0,72) = 0,37 = 37%

Na próxima lição, trataremos de como lidar com a não substituição em uma pequena população.

Resumo: A probabilidade de dois ou mais eventos independentes ocorrerem em sequência pode ser encontrada calculando a probabilidade de cada evento separadamente e, em seguida, multiplicando os resultados juntos.

Exercícios

Instruções: Leia cada pergunta abaixo. Selecione sua resposta clicando em seu botão. O feedback da sua resposta é fornecido na CAIXA DE RESULTADOS. Se você cometer um erro, escolha um botão diferente.


Como provar a desigualdade de Markov & # 8217s e a desigualdade de Chebyshev & # 8217s

(uma) Seja $ X $ uma variável aleatória que assume apenas valores não negativos. Prove que para qualquer $ a> 0 $,
[P (X geq a) leq frac. ] Esta desigualdade é chamada Desigualdade de Markov & # 8217s.

(b) Seja $ X $ uma variável aleatória com média finita $ mu $ e variância $ sigma ^ 2 $. Prove que para qualquer $ a> 0 $,
[P left (| X & # 8211 mu | geq a right) leq frac < sigma ^ 2>. ] Esta desigualdade é chamada Desigualdade de Chebyshev & # 8217s.


Eventos Dependentes

Mas alguns eventos podem ser & quotdependentes & quot. o que significa que eles pode ser afetado por eventos anteriores.

Exemplo: Pegar 2 cartas de um baralho

Depois de tirar uma carta do baralho, há menos cartas disponível, então as probabilidades mudam!

Vejamos as chances de conseguir um rei.

Para a 1ª carta, a chance de tirar um Rei é de 4 em 52

  • Se a 1ª carta foi um Rei, então a 2ª carta é menos provavelmente será um Rei, já que apenas 3 das 51 cartas restantes são Reis.
  • Se o primeiro cartão fosse não um Rei, então a 2ª carta é ligeiramente mais provavelmente será um Rei, já que 4 das 51 cartas restantes são Rei.

Isso é porque nós somos removendo cartas do convés.

Substituição: quando colocamos cada cartão voltar depois de tirá-lo as chances não mudam, pois os eventos são independente.

Sem substituição: as chances vão mudar e os eventos são dependente.


Identificação de eventos independentes e dependentes

O exemplo na introdução demonstrou eventos que eram claramente independentes. No entanto, às vezes pode ser um desafio identificar se os eventos são independentes ou não. Considere o seguinte exemplo:

Existem 3 berlindes verdes e 5 berlindes azuis em um saco. Duas bolas de gude são retiradas do saco aleatoriamente. Seja G G G o evento em que a primeira bola de gude desenhada é verde. Seja B B B o evento em que a segunda bola de gude desenhada é azul. Os eventos são independentes?

Caso 1: G G G acontece

Quando a primeira bola de gude desenhada é verde, há 7 7 7 bolas restantes no saco, e 5 5 5 delas são azuis. Neste caso, P (B) = 5 7 P (B) = dfrac <5> <7> P (B) = 7 5.

Caso 2: G G G não acontece

Quando a primeira bola de gude desenhada é azul, há 7 7 7 bolas restantes no saco, e 4 4 ​​4 delas são azuis. Neste caso, P (B) = 4 7 P (B) = dfrac <4> <7> P (B) = 7 4.

A incidência de G G G afeta a probabilidade de B B B. Portanto, esses eventos são não independente. Em outras palavras, eles são dependente.

No exemplo anterior, a primeira bola de gude desenhada afetou quais bolas foram deixadas no saco. Sempre que eventos acontecem em sequência, e a incidência de um evento afeta o espaço amostral do próximo evento, os eventos serão dependentes.

Os eventos não precisam ocorrer em sequência para serem dependentes. Considere este exemplo:

Ao tentar determinar se os eventos são dependentes ou independentes, considere como a incidência de um evento afeta a probabilidade do outro. Se a probabilidade for afetada, os eventos serão dependentes. Se não houver efeito na probabilidade, os eventos são independentes.


Exemplo 2

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes.

  1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Seus cartões são QS, 1D, 1C, QD.
  2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Seus cartões são KH, 7D, 6D, KH.

Qual de 1 ou 2 você testou com substituição e qual você testou sem substituição?

Este vídeo fornece uma breve lição sobre como encontrar a probabilidade de eventos independentes.

Tente

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes. Suponha que você experimente quatro cartões.

Quais dos seguintes resultados são possíveis para amostragem sem reposição?

Quais dos seguintes resultados são possíveis para amostragem com reposição?


Probabilidade de eventos compostos

A probabilidade de eventos compostos combina pelo menos dois eventos simples, seja a união de dois eventos simples ou a interseção de dois eventos simples.

A probabilidade de uma moeda mostrar cara quando você joga apenas um moeda é um evento simples. No entanto, se você jogar duas moedas, a probabilidade de obter 2 caras é um evento composto porque mais uma vez combina dois eventos simples.

Suponha que você diga a um amigo: "Eu lhe darei 10 dólares se as duas moedas caírem na cabeça".

Vamos ver o que acontece quando seu amigo joga duas moedas:

Se cara = H e coroa = T, os resultados diferentes são HH, HT, TH ou TT.

Como você pode ver, das 4 possibilidades, apenas 1 fornecerá HH.

Seu amigo tem 25% de chance de ganhar 10 dólares, já que um quarto = 25%.

O exemplo acima é um bom exemplo de eventos independentes. O que são eventos independentes?

Quando o resultado de um evento não afeta o resultado de outro evento, os dois eventos são considerados independentes.

Em nosso exemplo acima, quando você joga duas moedas, nenhuma delas tem o poder de influenciar a outra.

Este evento composto é independente então. Quando dois eventos são independentes, você pode usar a fórmula a seguir.

probabilidade (A e B) = probabilidade (A) & probabilidade # 215 (B)

Vamos usar esta fórmula para encontrar a probabilidade de obter 2 caras quando duas moedas são lançadas.


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Eventos Dependentes

Experiência 1: Uma carta é escolhida aleatoriamente de um baralho padrão de 52 cartas de jogo. Sem substituí-lo, um segundo cartão é escolhido. Qual é a probabilidade de a primeira carta escolhida ser uma rainha e a segunda carta escolhida ser um valete?

Análise: A probabilidade de a primeira carta ser uma rainha é de 4 em 52. No entanto, se a primeira carta não for substituída, a segunda carta é escolhida a partir de apenas 51 cartas. Consequentemente, a probabilidade de que a segunda carta seja um valete, dado que a primeira carta é uma rainha é de 4 em 51.

Conclusão: O resultado da escolha da primeira carta afetou o resultado da escolha da segunda carta, tornando esses eventos dependentes.

Definição: Dois eventos são dependente se o resultado ou ocorrência do primeiro afeta o resultado ou ocorrência do segundo, de modo que a probabilidade é alterada.

Agora que explicamos o fato de que não há substituição, podemos encontrar a probabilidade dos eventos dependentes no Experimento 1 multiplicando as probabilidades de cada evento.

Experiência 1: Uma carta é escolhida aleatoriamente de um baralho padrão de 52 cartas de jogo. Sem substituí-lo, um segundo cartão é escolhido. Qual é a probabilidade de a primeira carta escolhida ser uma rainha e a segunda carta escolhida ser um valete?

P (rainha na primeira escolha) = 4
52
P (valete na 2ª escolha dada dama na 1ª escolha) = 4
51
P (rainha e valete) = 4 · 4 = 16 = 4
52 51 2652 663

A experiência 1 envolveu dois eventos dependentes compostos. A probabilidade de escolher um valete na segunda escolha, dado que uma rainha foi escolhida na primeira escolha, é chamada de Probabilidade Condicional.

O Probabilidade Condicional de um evento B em relação a um evento A é a probabilidade de que o evento B ocorra dado que o evento A já ocorreu. A notação para probabilidade condicional é P (B | A) [pronunciado como A probabilidade do evento B dado A].

A notação usada acima faz não significa que B é dividido por A. Isso significa a probabilidade do evento B, dado que o evento A já ocorreu. Para encontrar a probabilidade dos dois eventos dependentes, usamos uma versão modificada da Regra de Multiplicação 1, que foi apresentada na última lição.

Regra de multiplicação 2: Quando dois eventos, A e B, são dependentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é:

Vejamos alguns experimentos nos quais podemos aplicar essa regra.

Experimento 2: O Sr. Parietti precisa de dois alunos para ajudá-lo com uma demonstração de ciências para sua classe de 18 meninas e 12 meninos. Ele escolhe aleatoriamente um aluno que vem para a frente da sala. Ele então escolhe um segundo aluno entre os que ainda estão sentados. Qual é a probabilidade de os dois alunos escolhidos serem meninas?

Probabilidades P (Menina 1 e Menina 2) = P (Menina 1) e P (Menina 2 | Menina 1)

= 18 · 17
30 29
= 306
870
= 51
145

Experimento 3: em uma remessa de 20 computadores, 3 estão com defeito. Três computadores são selecionados e testados aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que todos os três estejam com defeito se o primeiro e o segundo não forem substituídos após serem testados?

Probabilidades: P (3 defeituosos) =

3 · 2 · 1 = 6 = 1
20 19 18 6840 1140

Experiência 4: Quatro cartas são escolhidas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de escolher um dez, um nove, um oito e um sete na ordem?

Probabilidades: P (10 e 9 e 8 e 7) =

4 · 4 · 4 · 4 = 256 = 32
52 51 50 49 6,497,400 812,175

Experiência 5: Três cartas são escolhidas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de escolher 3 ases?

4 · 3 · 2 = 24 = 1
52 51 50 132,600 5,525

Resumo: Dois eventos são dependentes se o resultado ou ocorrência do primeiro afeta o resultado ou ocorrência do segundo, de modo que a probabilidade é alterada. A probabilidade condicional de um evento B em relação a um evento A é a probabilidade de que o evento B ocorra dado que o evento A já ocorreu. A notação para probabilidade condicional é P (B | A). Quando dois eventos, A e B, são dependentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é: P (A e B) = P (A) · P (B | A)

Exercícios

Instruções: Leia cada pergunta abaixo. Selecione sua resposta clicando em seu botão. O feedback da sua resposta é fornecido na CAIXA DE RESULTADOS. Se você cometer um erro, escolha um botão diferente.


Regra de soma para eventos mutuamente exclusivos

Agora pense se é ou não possível lançar um número que seja ímpar e composto. Acontece que não é possível no espaço amostral de lançamentos de dados de seis lados lançar um número composto ímpar. Os eventos O O O e C C C são chamados mutuamente exclusivos, o que significa que eles não podem acontecer ao mesmo tempo.

Esta distinção é muito importante para a regra da soma para eventos mutuamente exclusivos:

"∪ cup ∪" é o símbolo de um sindicato. Como os eventos são conjuntos, as uniões de eventos podem ser entendidas da mesma maneira que as uniões de conjuntos. P (A ∪ B) P (A cup B) P (A ∪ B) é a probabilidade de qualquer evento A A A ou evento B B B acontecendo.

Esta regra pode ser compreendida intuitivamente com um diagrama de Venn mostrando o espaço de amostra que inclui os eventos A A A e B B B:

Seja S S S um espaço amostral que inclui mutuamente exclusivos eventos A A A e B B B. O diagrama de Venn deste espaço de amostra é ilustrado abaixo:

Observe que não há sobreposição entre os eventos A A A e B B B. Quando os eventos são mutuamente exclusivos, não é possível que os dois ocorram ao mesmo tempo.

A união de A A A e B B B é mostrada em azul. A probabilidade dessa união pode ser calculada da seguinte forma:

P (A ∪ B) = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ ∣ S ∣ = ∣ A ∣ ∣ S ∣ + ∣ B ∣ ∣ S ∣ = P (A) + P (B). P (A copo B) = dfrac <| A | + | B |> <| S |> = dfrac <| A |> <| S |> + dfrac <| B |> <| S |> = P (A) + P (B). P (A ∪ B) = ∣ S ∣ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ = ∣ S ∣ ∣ A ∣ + ∣ S ∣ ∣ B ∣ = P (A) + P (B).

Em uma mesa, há um total de 30 livros distintos: 9 livros de matemática, 10 livros de física e 11 livros de química.

Qual é a probabilidade de obter um livro que não seja de matemática?


Avaliação para o segundo semestre

Saiba como calcular a média, a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Capítulo Cinco

Conheça as definições de e.

Saiba quando a distribuição binomial se aplica e como usá-la.

Saiba como usar as fórmulas

Saiba o que é o teorema do limite central.

Capítulo Seis

Saiba como calcular um intervalo de confiança.

Saiba como formular uma hipótese nula, uma hipótese alternativa.

Saiba como fazer um teste de significância.

Problemas de amostra

1. A forma simples original da loteria estadual de Connecticut concedia os seguintes prêmios para cada 100.000 ingressos vendidos. Os vencedores foram escolhidos por sorteio de bilhetes aleatoriamente.

Valor do prêmioNúmero concedido
1$5000
18$200
120$25
270$20

Se você tiver um bilhete na loteria, qual é a sua probabilidade de ganhar alguma coisa? Qual é o valor médio de seus ganhos?

Solução: A probabilidade de ganhar qualquer coisa é

A quantidade média de ganhos é

2. Pessoas com sangue tipo O negativo são doadores universais. Ou seja, qualquer paciente pode receber uma transfusão de sangue O negativo. Apenas 7% da população americana tem sangue O negativo. Se 10 pessoas aparecem aleatoriamente para doar sangue, qual é a probabilidade de que pelo menos uma delas seja um doador universal?

Solução: A probabilidade de que pelo menos um seja um doador universal pode ser calculada usando a regra do complemento.

Como a probabilidade de ser um doador universal é de 0,07, a probabilidade de ser não universal é de 0,93. Desse modo

3. De acordo com uma empresa de pesquisa de mercado, 52% de todos os números de telefone residenciais em Los Angeles não estão listados. Uma empresa de telemarketing usa equipamento de discagem de dígitos aleatórios que disca números residenciais aleatoriamente, independentemente de eles estarem listados na lista telefônica. A empresa liga para 500 números em Los Angeles. Qual é a distribuição exata do número X de números não listados que são chamados? Use uma aproximação adequada para calcular a probabilidade de que pelo menos metade dos números chamados não estejam listados.

Solução: Uma vez que existem apenas dois resultados e os 500 números são selecionados independentemente um do outro, a distribuição binomial se aplica nesta situação. A distribuição exata do número de números não listados chamados é B (500,0,52) (k). Desde a n é bastante grande, podemos aproximar a distribuição binomial com uma distribuição normal onde

A probabilidade de que pelo menos metade dos números chamados sejam não listados é

Para calcular esta probabilidade da distribuição normal, temos que converter X = 250 para um z-pontuação.

De acordo com a tabela da curva normal, aproximadamente 0,185 da curva está abaixo deste z. Assim, cerca de 81,5% da curva está acima disso z, e temos 81,5% de chance de pelo menos metade das chamadas ser para números não listados.

4. Pacientes com insuficiência renal crônica podem ser tratados por diálise, usando uma máquina que remove resíduos tóxicos do sangue, função normalmente desempenhada pelos rins. A insuficiência renal e a diálise podem causar outras alterações, como retenção de fósforo, que devem ser corrigidas por mudanças na dieta. Um estudo da nutrição de pacientes em diálise mediu o nível de fósforo no sangue de vários pacientes em seis ocasiões. Aqui estão os dados de um paciente (em miligramas de fósforo por decilitro de sangue):

As medições são separadas no tempo e podem ser consideradas um SRS do nível de fósforo no sangue do paciente. Supondo que este nível varie normalmente com mg / dl, fornece um intervalo de confiança de 90% para o nível médio de fósforo no sangue. O intervalo normal de fósforo no sangue é considerado de 2,6 a 4,8 mg / dl. Há fortes evidências de que o paciente tem um nível médio de fósforo superior a 4,8?

Solução: Os seis valores relatados aqui têm um valor médio de

O intervalo de confiança é

Onde z * é escolhido de modo que 90% da curva normal fique entre -z * e z *. A Tabela D na página T-11 lista os valores de z * para vários níveis de confiança C, e diz que para C = 90%, z * = 1,645. Assim, o intervalo de confiança de 90% é

Se formularmos uma hipótese alternativa de que o paciente for maior que 4,8, podemos calcular um nível de significância perguntando & quotif , qual é a probabilidade de medirmos por puro acaso? & quot Para calcular essa probabilidade, calculamos um z- pontuação para a média observada.

De acordo com a tabela de probabilidade normal, 1 - 0.9382 = 0.0618 da curva está acima disso z. Isso não é significativo no usual 5% nível.


Assista o vídeo: Probabilidade - Eventos independentes e eventos dependentes. (Novembro 2021).