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1.1: Operações algébricas com inteiros - Matemática


O conjunto ( mathbb {Z} ) de todos os inteiros, sobre o qual este livro trata, consiste em todos os inteiros positivos e negativos, bem como 0. Assim, ( mathbb {Z} ) é o conjunto dado por [ mathbb {Z} = {..., - 4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4, ... }. ] Enquanto o conjunto de todos positivo inteiros, denotados por ( mathbb {N} ), são definidos por [ mathbb {N} = {1,2,3,4, ... }. ]

Em ( mathbb {Z} ), existem duas operações binárias básicas, a saber Adição (denotado por (+ )) e multiplicação (denotado por ( cdot )), que satisfazem algumas propriedades básicas das quais todas as outras propriedades para ( mathbb {Z} ) emerge.

  1. A propriedade de comutatividade para adição e multiplicação [ begin {alinhado} a + b = b + a a cdot b = b cdot a end {alinhado} ]
  2. Propriedade de associatividade para adição e multiplicação [ begin {alinhado} (a + b) + c & = & a + (b + c) (a cdot b) cdot c & = & a cdot (b cdot c) end {alinhado} ]
  3. A propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição [ begin {alinhado} a cdot (b + c) & = & a cdot b + a cdot c. end {alinhado} ]

No conjunto ( mathbb {Z} ) existem "elementos de identidade" para as duas operações (+ ) e ( cdot ), e estes são os elementos (0 ) e (1 ) respectivamente, que satisfazem as propriedades básicas [ begin {alinhados} a + 0 = 0 + a = a a cdot 1 = 1 cdot a = a end {alinhados} ] para cada (a em mathbb {Z} ).
O conjunto ( mathbb {Z} ) permite inversos aditivos para seus elementos, no sentido de que para cada (a in mathbb {Z} ) existe outro inteiro em ( mathbb {Z} ), denotado por (- a ), tal que [ a + (- a) = 0. ] Enquanto para a multiplicação, apenas o inteiro 1 tem um multiplicativo inverso no sentido de que 1 é o único inteiro (a ) tal que existe outro inteiro, denotado por (a ^ {- 1} ) ou por (1 / a ), (ou seja, o próprio 1 neste caso ) de modo que [a cdot a ^ {- 1} = 1. ]

A partir das operações de adição e multiplicação pode-se definir duas outras operações em ( mathbb {Z} ), a saber subtração (denotado por (- )) e divisão (denotado por (/)). A subtração é uma operação binária em ( mathbb {Z} ), ou seja, definida para quaisquer dois inteiros em ( mathbb {Z} ), enquanto a divisão não é uma operação binária e, portanto, é definida apenas para alguns pares específicos de inteiros em ( mathbb {Z} ). Subtração e divisão são definidas da seguinte forma:

  1. (a-b ) é definido por (a + (- b) ), ou seja, (a-b = a + (- b) ) para cada (a, b in mathbb {Z} )
  2. (a / b ) é definido pelo inteiro (c ) se e somente se (a = b cdot c ).


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