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8.4: Substituições trigonométricas - Matemática


Até agora, vimos que às vezes ajuda substituir uma subexpressão de uma função por uma única variável. Isso parece uma substituição "reversa", mas realmente não é diferente em princípio da substituição comum.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Avalie

[ int sqrt {1-x ^ 2} , dx. ]

Solução

Seja (x = sin u ) então (dx = cos u , du ). Então

[ int sqrt {1-x ^ 2} , dx = int sqrt {1- sin ^ 2 u} cos u , du = int sqrt { cos ^ 2 u} cos u , du. ]

Gostaríamos de substituir ( sqrt { cos ^ 2 u} ) por ( cos u ), mas isso é válido apenas se ( cos u ) for positivo, uma vez que ( sqrt { cos ^ 2 u} ) é positivo. Considere novamente a substituição (x = sin u ). Poderíamos muito bem pensar nisso como (u = arcsin x ). Se o fizermos, então pela definição do arco-seno, (- pi / 2 le u le pi / 2 ), então ( cos u ge0 ). Então continuamos:

[ eqalign { int sqrt { cos ^ 2 u} cos u , du & = int cos ^ 2u , du = int {1+ cos 2u over2} , du = {u over 2} + { sin 2u over4} + C cr & = { arcsin x over2} + { sin (2 arcsin x) over4} + C. cr} ]

Esta é uma resposta perfeitamente boa, embora o termo ( sin (2 arcsin x) ) seja um pouco desagradável. É possível simplificar isso. Usando a identidade ( sin 2x = 2 sin x cos x ), podemos escrever

[ sin 2u = 2 sin u cos u = 2 sin ( arcsin x) sqrt {1- sin ^ 2 u} = 2x sqrt {1- sin ^ 2 ( arcsin x)} = 2x sqrt {1-x ^ 2}. ]

Então, a antiderivada completa é

[{ arcsin x over2} + {2x sqrt {1-x ^ 2} over4} = { arcsin x over2} + {x sqrt {1-x ^ 2} over2} + C. ]

Este tipo de substituição é geralmente indicado quando a função que você deseja integrar contém uma expressão polinomial que pode permitir que você use a identidade fundamental ( sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 ) em uma das três formas:

[ cos ^ 2 x = 1- sin ^ 2x, ]

[ sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, ]

ou

[ tan ^ 2x = sec ^ 2x-1. ]

Se sua função contém (1-x ^ 2 ), como no exemplo acima, tente (x = sin u ); se ele contém (1 + x ^ 2 ) tente (x = tan u ); e se contiver (x ^ 2-1 ), tente (x = sec u ). Às vezes, você precisará tentar algo um pouco diferente para lidar com constantes diferentes de uma.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Avalie [ int sqrt {4-9x ^ 2} , dx. ]

Solução

Começamos reescrevendo isso para que se pareça mais com o exemplo anterior:

[ int sqrt {4-9x ^ 2} , dx = int sqrt {4 (1- (3x / 2) ^ 2)} , dx = int 2 sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} , dx. ]

Agora vamos (3x / 2 = sin u ) então ((3/2) , dx = cos u , du ) ou (dx = (2/3) cos u , du ) Então

[ eqalign { int 2 sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} , dx & = int 2 sqrt {1- sin ^ 2u} , (2/3) cos u , du = {4 over3} int cos ^ 2u , du cr & = {4u over 6} + {4 sin 2u over12} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 sin u cos u over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 sin ( arcsin (3x / 2)) cos ( arcsin (3x / 2)) over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 (3x / 2) sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {x sqrt {4-9x ^ 2} over2} + C, cr} ]

usando parte do trabalho deExample ( PageIndex {1} ),

Exemplo ( PageIndex {3} )

Avalie [ int sqrt {1 + x ^ 2} , dx. ]

Solução

Seja (x = tan u ), (dx = sec ^ 2 u , du ), então

$$ int sqrt {1 + x ^ 2} , dx = int sqrt {1+ tan ^ 2 u} sec ^ 2u , du = int sqrt { sec ^ 2u} sec ^ 2u , du. ]

Como (u = arctan (x) ), (- pi / 2 le u le pi / 2 ) e ( sec u ge0 ), então ( sqrt { sec ^ 2u} = seg u ). Então $$ int sqrt { sec ^ 2u} sec ^ 2u , du = int sec ^ 3 u , du. $$ Em problemas deste tipo, duas integrais surgem frequentemente: ( int sec ^ 3u , du ) e ( int sec u , du ). Ambos têm expressões relativamente boas, mas são um pouco difíceis de descobrir.

Primeiro fazemos ( int sec u , du ), que precisaremos calcular ( int sec ^ 3u , du $ ):

$$ eqalign { int sec u , du & = int sec u , { sec u + tan u over sec u + tan u} , du cr & = int { s ^ 2 u + s u tan u over s u + tan u} , du. cr} ]

Agora vamos (w = sec u + tan u ), (dw = sec u tan u + sec ^ 2u , du ), exatamente o numerador da função que estamos integrando. Desse modo

$$ eqalign { int sec u , du = int { sec ^ 2 u + sec u tan u over seg u + tan u} , du & = int {1 over w } , dw = ln | w | + C cr & = ln | sec u + tan u | + C. cr} ]

Agora, para ( int sec ^ 3 u , du ):

$$ eqalign { sec ^ 3u & = { sec ^ 3u over2} + { sec ^ 3u over2} = { sec ^ 3u over2} + {( tan ^ 2u + 1) sec u mais de 2} cr & = { sec ^ 3u over2} + { sec u tan ^ 2 u over2} + { seg u over 2} = { sec ^ 3u + seg u tan ^ 2u over 2} + { sec u over 2}. cr} ]

Já sabemos como integrar ( sec u ), então precisamos apenas do primeiro quociente. Isso é "simplesmente" uma questão de reconhecer a regra do produto em ação: $$ int sec ^ 3u + sec u tan ^ 2u , du = sec u tan u. ]

Então, juntando tudo isso, obtemos

$$ int sec ^ 3u , du = { sec u tan u over2} + { ln | sec u + tan u | over2} + C, ]

e revertendo para a variável original (x ):

$$ eqalign { int sqrt {1 + x ^ 2} , dx & = { sec u tan u over2} + { ln | sec u + tan u | over2} + C cr & = { sec ( arctan x) tan ( arctan x) over2} + { ln | sec ( arctan x) + tan ( arctan x) | over2} + C cr & = {x sqrt {1 + x ^ 2} over2} + { ln | sqrt {1 + x ^ 2} + x | over2} + C, cr} ]

usando ( tan ( arctan x) = x ) e ( sec ( arctan x) = sqrt {1+ tan ^ 2 ( arctan x)} = sqrt {1 + x ^ 2} ).


Substituição trigonométrica

Usamos substituição trigonométrica nos casos em que a aplicação de identidades trigonométricas é útil. Em particular, a substituição trigonométrica é ótima para se livrar de radicais incômodos. Por exemplo, se tivermos ( sqrt) em nosso integrando (e (u ) -sub não funciona), podemos deixar (x = tan theta. ) Então obtemos

Nesse caso, usamos a identidade (1+ tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ).

Aqui estão os três tipos de substituições trigonométricas:

SUBSTITUIÇÃO IDENTIDADE USE QUANDO
(x = a sin theta ) ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 ) ( sqrt)
(x = a tan theta ) (1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ) ( sqrt)
(x = a sec theta ) (1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ) ( sqrt)


8.4: Substituições trigonométricas - Matemática

Já vimos que reconhecer a regra do produto pode ser útil, quando notamos que $ int sec ^ 3u + sec u tan ^ 2u , du = sec u tan u. $ Assim como a substituição, não Para descobrir essas antiderivadas, é preciso contar com discernimento ou inteligência. Há uma técnica que geralmente ajuda a descobrir a regra do produto.

Comece com a regra do produto: $f (x) g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). $ Podemos reescrever como $ f (x) g (x) = int f '( x) g (x) , dx + int f (x) g '(x) , dx, $ e então $ int f (x) g' (x) , dx = f (x) g ( x) - int f '(x) g (x) , dx. $ Isto pode não parecer particularmente útil à primeira vista, mas acontece que em muitos casos temos uma integral da forma $ int f (x ) g '(x) , dx $ mas que $ int f' (x) g (x) , dx $ é mais fácil. Esta técnica para transformar uma integral em outra é chamada Integração por partes, e geralmente é escrito de forma mais compacta. Se deixarmos $ u = f (x) $ e $ v = g (x) $, então $ du = f '(x) , dx $ e $ dv = g' (x) , dx $ e $ int u , dv = uv- int v , du. $ Para usar esta técnica, precisamos identificar os candidatos prováveis ​​para $ u = f (x) $ e $ dv = g '(x) , dx $.

Exemplo 8.4.2 Avalie $ ds int x sin x , dx $. Seja $ u = x $ então $ du = dx $. Então devemos deixar $ dv = sin x , dx $ so $ v = - cos x $ e $ int x sin x , dx = -x cos x- int - cos x , dx = -x cos x + int cos x , dx = -x cos x + sin x + C. $

Exemplo 8.4.4 Avalie $ ds int x ^ 2 sin x , dx $. Seja $ u = x ^ 2 $, $ dv = sin x , dx $ então $ du = 2x , dx $ e $ v = - cos x $. Agora $ ds int x ^ 2 sin x , dx = -x ^ 2 cos x + int 2x cos x , dx $. Isso é melhor do que o integral original, mas precisamos fazer a integração por partes novamente. Seja $ u = 2x $, $ dv = cos x , dx $ então $ du = 2 $ e $ v = sin x $, e $ eqalign < int x ^ 2 sin x , dx & = - x ^ 2 cos x + int 2x cos x , dx cr & = - x ^ 2 cos x + 2x sin x - int 2 sin x , dx cr & = - x ^ 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C. cr> $

Esse uso repetido de integração por partes é bastante comum, mas pode ser um pouco tedioso de realizar e é fácil cometer erros, especialmente erros de sinal envolvendo a subtração na fórmula. Existe um bom método tabular para realizar o cálculo que minimiza a chance de erro e acelera todo o processo. Ilustramos com o exemplo anterior. Aqui está a mesa:

Para formar a primeira tabela, começamos com $ u $ no topo da segunda coluna e calculamos repetidamente a derivada começando com $ dv $ no topo da terceira coluna, calculamos repetidamente a antiderivada. Na primeira coluna, colocamos um "$ -

8.4: Substituições trigonométricas - Matemática

Como fizemos nas últimas seções, vamos começar com algumas integrais que já devemos ser capazes de fazer com uma substituição padrão.

Ambos usaram a substituição (u = 25 - 4 ) e neste ponto deve ser muito fácil para você fazer. No entanto, vamos dar uma olhada na integral a seguir.

Neste caso, a substituição (u = 25 - 4 ) não funcionará (não temos o (x , dx ) no numerador que a substituição precisa) e então teremos que fazer algo diferente para esta integral.

Seria bom se pudéssemos reduzir os dois termos na raiz a um único termo de alguma forma. A seguinte substituição fará isso por nós.

Não se preocupe com a origem disso neste momento. À medida que resolvemos o problema, você verá que funciona e que, se tivermos um tipo semelhante de raiz quadrada no problema, podemos sempre usar uma substituição semelhante.

Antes de realmente fazermos a substituição, no entanto, vamos verificar a alegação de que isso nos permitirá reduzir os dois termos na raiz a um único termo.

Agora reduza os dois termos a um único termo, tudo o que precisamos fazer é lembrar o relacionamento,

Usando este fato, a raiz quadrada torna-se,

Portanto, não apenas fomos capazes de reduzir os dois termos a um único termo no processo, mas também conseguimos eliminar facilmente a raiz!

Observe, no entanto, a presença das barras de valor absoluto. Isso é importante. Lembre-se disso

Sempre deve haver barras de valor absoluto neste estágio. Se soubéssemos que ( tan theta ) era sempre positivo ou sempre negativo, poderíamos eliminar as barras de valor absoluto usando,

Sem limites, não seremos capazes de determinar se ( tan theta ) é positivo ou negativo, no entanto, precisaremos eliminá-los para fazer a integral. Portanto, como estamos fazendo uma integral indefinida, assumiremos que ( tan theta ) será positivo e, portanto, podemos eliminar as barras de valor absoluto. Isto dá,

Assim, fomos capazes de reduzir os dois termos na raiz a um único termo com essa substituição e, no processo, eliminar também a raiz. Eliminar a raiz é um bom efeito colateral dessa substituição, pois o problema agora se tornará um pouco mais fácil de ser resolvido.

Vamos agora fazer a substituição e ver o que temos. Ao fazer a substituição, não se esqueça de que também precisamos substituir o (dx ). Isso é fácil de obter com a substituição.

[x = frac <2> <5> sec theta hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , , , dx = frac <2> <5> sec theta tan theta , d theta ]

Usando esta substituição, o integral torna-se,

Com essa substituição, fomos capazes de reduzir a integral dada a uma integral envolvendo funções trigonométricas e vimos como resolver esses problemas na seção anterior. Vamos terminar o integral.

Portanto, temos uma resposta para a integral. Infelizmente, a resposta não é dada em (x ) 's como deveria ser. Portanto, precisamos escrever nossa resposta em termos de (x ). Podemos fazer isso com alguma trigonometria de triângulo retângulo. De nossa substituição original, temos,

Isso dá o seguinte triângulo retângulo.

A partir disso, podemos ver que,

Podemos lidar com o ( theta ) de uma de várias maneiras. Pela nossa substituição, podemos ver que,

Embora este seja um método perfeitamente aceitável de lidar com o ( theta ), podemos usar qualquer uma das seis funções trigonométricas inversas possíveis e, uma vez que seno e cosseno são as duas funções trigonométricas com as quais a maioria das pessoas está familiarizada, geralmente usaremos o seno inverso ou cosseno inverso. Neste caso, usaremos o cosseno inverso.

Então, com tudo isso, a integral se torna,

Agora temos a resposta em termos de (x ).

Uau! Isso foi muito trabalho. A maioria deles não vai demorar tanto para funcionar. Este primeiro precisou de muita explicação, pois foi o primeiro. Os exemplos restantes não precisarão de tantas explicações e, portanto, não levarão tanto tempo para funcionar.

No entanto, antes de passarmos para mais problemas, vamos primeiro abordar a questão das integrais definidas e como o processo difere nesses casos.

Os limites aqui não mudarão a substituição, de modo que permanecerá o mesmo.

Usando esta substituição, a raiz quadrada ainda se reduz a,

No entanto, ao contrário do exemplo anterior, não podemos simplesmente descartar as barras de valor absoluto. Neste caso, temos limites na integral e, portanto, podemos usar os limites, bem como a substituição para determinar o intervalo de ( theta ) em que estamos. Assim que tivermos isso, podemos determinar como para eliminar as barras de valor absoluto.

Aqui estão os limites de ( theta ) e observe que se você não for bom em resolver equações trigonométricas em termos de secante, você sempre pode converter para cosseno como fazemos abaixo.

Agora, sabemos, por meio da resolução de equações trigonométricas, que há, de fato, um número infinito de respostas possíveis que poderíamos usar. Na verdade, a resposta mais "correta" para o trabalho acima é,

[ theta = 0 + 2 pi n = 2 pi n hspace <0,25in> & amp hspace <0,25in> theta = frac < pi> <3> + 2 pi n hspace < 0,25 pol.> N = 0, pm 1, pm 2, pm 3, ldots ]

Então, quais devemos usar? A resposta é simples. Ao usar uma substituição trigonométrica secante e converter os limites, sempre assumimos que ( theta ) está na faixa da secante inversa. Ou,

Observe que devemos evitar ( theta = frac < pi> <2> ) porque a secante não existirá naquele ponto. Observe também que o intervalo de ( theta ) foi dado em termos secantes, embora tenhamos usado o cosseno inverso para obter as respostas. Isso não será um problema porque, embora o cosseno inverso possa dar ( theta = frac < pi> <2> ), nunca o conseguiremos em nosso trabalho acima, porque isso exigiria que começássemos com o ser secante indefinido e isso não acontecerá ao converter os limites, pois isso, por sua vez, exigiria que um dos limites também fosse indefinido!

Então, para encontrar os novos limites, não precisamos de todos os valores possíveis de ( theta ), apenas precisamos das respostas do cosseno inverso que obtivemos quando convertemos os limites. Portanto, se estamos no intervalo ( frac <2> <5> le x le frac <4> <5> ) então ( theta ) está no intervalo (0 le theta le frac < pi> <3> ) e neste intervalo da tangente de ( theta ) é positiva e, portanto, podemos apenas descartar as barras de valor absoluto.

Vamos fazer a substituição. Observe que o trabalho é idêntico ao do exemplo anterior e, portanto, a maior parte dele fica de fora. Vamos pegar na integral final e, em seguida, fazer a substituição.

Observe que, devido aos limites, não precisamos recorrer a um triângulo retângulo para completar o problema.

Vamos dar uma olhada em um conjunto diferente de limites para esta integral.

Novamente, a substituição e a raiz quadrada são as mesmas dos dois primeiros exemplos.

Vamos ver a seguir os limites ( theta ) para este problema.

Lembre-se de que, ao converter os limites, usamos os resultados da secante / cosseno inversa. Portanto, para este intervalo de (x ) 's temos ( frac << 2 pi >> <3> le theta le pi ) e neste intervalo de ( theta ) tangente é negativa e, portanto, neste caso, podemos descartar as barras de valor absoluto, mas precisaremos adicionar um sinal de menos ao fazer isso. Em outras palavras,

Portanto, a única alteração que isso fará no processo de integração é colocar um sinal de menos na frente da integral. A integral é então,

Nos dois últimos exemplos, vimos que devemos ter muito cuidado com as integrais definidas. Precisamos ter certeza de que determinamos os limites de ( theta ) e se isso significará ou não que podemos simplesmente eliminar as barras de valor absoluto ou se precisamos adicionar um sinal de menos quando as descartamos.

Antes de passar para o próximo exemplo, vamos obter a forma geral para a substituição trigonométrica secante que usamos no conjunto de exemplos anterior e os limites assumidos em ( theta ).

Vamos trabalhar um tipo novo e diferente de exemplo.

Agora, os termos sob a raiz neste problema parecem ser (quase) iguais aos anteriores, então vamos tentar o mesmo tipo de substituição e ver se funcionará aqui também.

Usando esta substituição, a raiz quadrada torna-se,

Então, usando essa substituição, acabaremos com uma quantidade negativa (a tangente ao quadrado é sempre positiva, é claro) sob a raiz quadrada e isso será um problema. Usar esta substituição dará valores complexos e não queremos isso. Portanto, usar secante para a substituição não funcionará.

No entanto, a seguinte substituição (e diferencial) funcionará.

[x = 3 sin theta hspace <0,5in> hspace <0,25in> dx = 3 cos theta , d theta ]

Com esta substituição, a raiz quadrada é,

[ sqrt <9 - > = 3 sqrt <1 - << sin> ^ 2> theta> = 3 sqrt <<< cos> ^ 2> theta> = 3 left | < cos theta> right | = 3 cos theta ]

Conseguimos eliminar as barras de valor absoluto porque estamos fazendo uma integral indefinida e, portanto, assumiremos que tudo é positivo.

Na seção anterior, vimos como lidar com integrais em que o expoente da secante era par e, como as cossecantes se comportam muito como as secantes, deveríamos ser capazes de fazer algo semelhante com isso.

Agora precisamos voltar para (x ) 's usando um triângulo retângulo. Aqui está o triângulo retângulo para esse problema e as funções trigonométricas para esse problema.

Não vamos fazer um exemplo integral definitivo com uma substituição seno de trigonometria. No entanto, se o tivéssemos, precisaríamos converter os limites e isso significaria, eventualmente, precisar avaliar um seno inverso. Assim, bem como com a substituição trigonométrica secante, os valores de ( theta ) que usaremos serão aqueles do seno inverso ou,

Aqui está um resumo para a substituição trigonométrica seno.

Há um caso final que precisamos examinar. A próxima integral também conterá algo com o qual precisamos ter certeza de que podemos lidar.

Em primeiro lugar, observe que realmente há uma raiz quadrada neste problema, embora não seja explicitamente escrito. Para ver a raiz, vamos reescrever um pouco as coisas.

Esses termos na raiz não estão na forma que vimos nos exemplos anteriores. Aqui, usaremos a substituição dessa raiz.

Com esta substituição, o denominador torna-se,

Agora, como temos limites, precisaremos convertê-los em ( theta ) para que possamos determinar como eliminar as barras de valor absoluto.

Como nos dois casos anteriores, ao converter limites aqui, usaremos os resultados da tangente inversa ou,

Portanto, neste intervalo de ( theta ) secante é positivo e, portanto, podemos descartar as barras de valor absoluto.

Existem várias maneiras de proceder a partir deste ponto. Normalmente, com um expoente ímpar na tangente, removeríamos um deles e os converteríamos em secantes. No entanto, isso exigiria que também tivéssemos uma secante no numerador que não temos. Portanto, parece que a melhor maneira de fazer isso seria converter o integrando em senos e cossenos.

Agora podemos usar a substituição (u = cos theta ) e também podemos converter os limites.

[começar theta & = 0 & hspace <0.75in> & u = cos 0 = 1 theta & = frac < pi> <4> & hspace <0.75in> & u = cos frac < pi> <4> = frac << sqrt 2 >> <2> end]

Aqui está um resumo para este tipo final de substituição trigonométrica.

Antes de prosseguir com mais alguns exemplos, vamos discutir como sabíamos usar as substituições que fizemos nos exemplos anteriores.

A ideia principal era determinar uma substituição que nos permitisse reduzir os dois termos sob a raiz que sempre estava no problema (mais sobre isso em breve) em um único termo e, ao fazer isso, também fomos capazes de eliminar facilmente o raiz. Para fazer isso, usamos as seguintes fórmulas.

[começar25 - 4 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> < sec ^ 2> theta - 1 = < tan ^ 2> theta 9 - & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> 1 - < sin ^ 2> theta = < cos ^ 2> theta 36 + 1 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> < tan ^ 2> theta + 1 = < sec ^ 2> theta end]

Se recuarmos um pouco, podemos notar que os termos que reduzimos se parecem com as identidades trigonométricas que usamos para reduzi-los de uma forma vaga.

Por exemplo, (25 - 4 ) é algo ao quadrado (ou seja, o (25)) menos um número (ou seja, o 4) e o lado esquerdo da fórmula que usamos, (< sec ^ 2> theta - 1 ), também segue esta forma básica. Então, porque os dois se parecem de uma forma muito vaga, isso sugere o uso de uma substituição secante para esse problema. Podemos notar semelhanças vagas semelhantes nos outros dois casos também.

Se mantivermos essa ideia em mente, não precisamos das "fórmulas" listadas após cada exemplo para nos dizer qual substituição trigonométrica usar e, uma vez que temos que saber as identidades trigonométricas de qualquer maneira, para resolver os problemas mantendo essa ideia em mente não realmente acrescenta algo ao que precisamos saber para os problemas.

Então, no primeiro exemplo, precisamos “transformar” o 25 em um 4 por meio de nossa substituição. Lembrando que eventualmente iremos elevar ao quadrado a substituição, isso significa que precisamos dividir por 5 para que o 25 seja cancelado, ao elevar ao quadrado. Da mesma forma, precisaremos adicionar 2 à substituição para que o coeficiente "se transforme" em 4 ao elevar ao quadrado. Em outras palavras, precisaríamos usar a substituição que fizemos no problema.

A mesma ideia vale para as outras duas substituições trigonométricas.

Observe também que poderíamos ter usado cossecante no primeiro caso, cosseno no segundo caso e cotangente no terceiro caso. Então, por que não? Simplesmente pelo diferencial de trabalho. Se tivéssemos usado essas funções trigonométricas, teríamos captado um sinal de menos no diferencial que precisaríamos acompanhar. Portanto, embora possam ser usados, geralmente não são para evitar sinais negativos extras que precisamos monitorar.

A seguir, vamos abordar rapidamente o fato de que uma raiz estava em todos esses problemas. Observe que a raiz não é necessária para usar uma substituição trigonométrica. Em vez disso, a substituição trigonométrica nos deu uma ótima maneira de eliminar a raiz do problema. Nesta seção, sempre teremos raízes nos problemas e, de fato, em nossos resumos, acima de todas as raízes assumidas, as raízes não são realmente necessárias para usar uma substituição trigonométrica. Veremos um ou dois exemplos de substituições trigonométricas em integrais que não têm raízes na seção Integrais que envolvem quadráticas.

Finalmente, vamos resumir todas as ideias com as substituições trigonométricas que discutimos e novamente usaremos raízes no resumo simplesmente porque todas as integrais nesta seção terão raízes e essas tendem a ser os lugares mais prováveis ​​para usar substituições trigonométricas mas, novamente, não são necessários para usar uma substituição trigonométrica.

Agora, temos alguns exemplos finais para trabalhar nesta seção. Nem todas as substituições trigonométricas irão simplesmente saltar para nós. Às vezes, precisamos trabalhar um pouco no integrando primeiro para colocá-lo na forma correta e esse é o ponto dos exemplos restantes.

Neste caso, a quantidade sob a raiz não se encaixa obviamente em nenhum dos casos que examinamos acima e, na verdade, não está em nenhuma das formas que vimos nos exemplos anteriores. Observe, entretanto, que se completarmos o quadrado na quadrática, podemos torná-lo parecido com as integrais acima.

Lembre-se de que completar o quadrado requer um coeficiente de um na frente do (). Assim que tivermos isso, pegamos metade do coeficiente de (x ), elevamos ao quadrado e, em seguida, adicionamos e subtraímos à quantidade. Aqui está o preenchimento do quadrado para este problema.

[2 left (<- 2x - frac <7> <2>> right) = 2 left (<- 2x + 1 - 1 - frac <7> <2>> right) = 2 left (<<< left ( right)> ^ 2> - frac <9> <2>> right) = 2 < left ( direita) ^ 2> - 9 ]

Agora, isso se parece (muito) vagamente com (< sec ^ 2> theta - 1 ) (ou seja, algo ao quadrado menos um número), exceto que temos algo mais complicado no termo ao quadrado. Tudo bem, ainda seremos capazes de fazer uma substituição secante e funcionará praticamente da mesma maneira.

[x - 1 = frac <3> << sqrt 2 >> sec theta hspace <0.25in> x = 1 + frac <3> << sqrt 2 >> sec theta hspace <0.25in> dx = frac <3> << sqrt 2 >> sec theta tan theta , d theta ]

Usando esta substituição, a raiz se reduz a,

[ sqrt <2- 4x - 7> = sqrt <2 << left ( right)> ^ 2> - 9> = sqrt <9 << sec> ^ 2> theta - 9> = 3 sqrt <<< tan> ^ 2> theta> = 3 left | < tan theta> right | = 3 tan theta ]

Observe que poderíamos eliminar as barras de valor absoluto, pois estamos fazendo uma integral indefinida. Aqui está o integral.

E aqui está o triângulo certo para este problema.

Isso não se parece em nada com os outros problemas desta seção. Seja como for. Para ver isso, primeiro precisamos notar que,

Ao perceber isso, podemos usar a seguinte substituição padrão de Cálculo I.

Precisamos ter um pouco de cuidado com o diferencial do trabalho. Não temos apenas um (<< bf> ^ x> ) na frente da raiz. Em vez disso, temos um (<< bf> ^ <4x>> ). Então, vamos precisar retirar um deles para o diferencial e, em seguida, usar a substituição no resto. Aqui está o trabalho de substituição.

Esta é agora uma substituição trigonométrica bastante óbvia (espero). A quantidade sob a raiz se parece quase exatamente com (1 + < tan ^ 2> theta ) e, portanto, podemos usar uma substituição tangente. Aqui está esse trabalho.

[u = tan theta hspace <0.25in> du = < sec ^ 2> theta , d theta hspace <0.5in> sqrt <1 + > = sqrt <1 + << tan> ^ 2> theta> = sqrt <<< sec> ^ 2> theta> = left | < sec theta> right | ]

Como estamos fazendo uma integral indefinida, podemos assumir que a secante é positiva e eliminar as barras de valor absoluto. Aplicar esta substituição ao integral dá,

Vamos terminar este integral em breve. Antes de chegarmos a esse ponto, existe uma maneira “mais rápida” (embora não seja muito óbvia) de fazer as substituições acima. Vamos cobrir isso primeiro, depois voltaremos e terminaremos de trabalhar a integral.

Podemos notar que o (u ) na substituição Cálculo I e a substituição trigonométrica são os mesmos (u ) e assim podemos combiná-los na seguinte substituição.

Podemos então calcular o diferencial. Lembre-se de que tudo o que fazemos é diferenciar os dois lados e, em seguida, colocar (dx ) ou (d theta ) no lado apropriado. Fazer isso dá,

Com esta substituição, a raiz quadrada torna-se,

Novamente, podemos descartar as barras de valor absoluto porque estamos fazendo uma integral indefinida. A integral então se torna,

Portanto, a mesma integral com menos trabalho. No entanto, requer que você seja capaz de combinar as duas substituições em uma única substituição. Como você resolverá esse tipo de problema é com você, mas se você não se sentir confortável com a única substituição (e não há nada de errado se você não fizer isso!), Então apenas faça as duas substituições individuais. O método de substituição única foi fornecido apenas para mostrar que pode ser feito de forma que aqueles que estão realmente confortáveis ​​com os dois tipos de substituições possam fazer o trabalho um pouco mais rápido.

Agora, vamos terminar o trabalho integral.

Aqui está o triângulo retângulo para esta integral.

Este era um problema confuso, mas veremos algum desse tipo de integral em seções posteriores na ocasião, então precisávamos ter certeza de que você viu pelo menos um igual.

Assim, como vimos nos dois exemplos finais nesta seção, algumas integrais que não se parecem em nada com os primeiros exemplos podem de fato ser transformadas em um problema de substituição de trigonometria com um pouco de trabalho.


Exercícios

Integre cada uma das funções fornecidas:

Esta questão está na forma da primeira sugestão de substituição nesta seção, ou seja,

Portanto, temos `a = 4`,` x = 4 sin & theta`, e `dx = 4 cos & theta d & theta`.

Substituindo e simplificando a parte da raiz quadrada primeiro:

`sqrt (16-x ^ 2) = sqrt (16-16 sin ^ 2 theta)`

Substituir no integral dá:

`intsqrt (16-x ^ 2) dx = int4 cos teta (4 cos teta d teta)`

`= 16int1 / 2 (cos 2 teta + 1) d teta`

`= 8 (sen theta cos theta + theta) + K`

A penúltima etapa vem de desenhar um triângulo, usando `sin theta = x / 4` neste caso, da seguinte maneira:

Triângulo para encontrar `theta`,` sin theta` e `cos theta` em termos de` x`.

Muitas vezes podemos obter diferentes formas da mesma resposta final! Ou seja, o software matemático (ou outro ser humano) pode produzir uma resposta que é realmente correta, mas de uma forma diferente daquela dada aqui desde então. Se isso acontecer, não entre em pânico! Apenas verifique sua solução substituindo vários valores por `x`, ou (melhor), desenhando o gráfico usando o software.

Ele contém um termo `sqrt (a ^ 2-x ^ 2)`, então usaremos uma substituição de `x = a sin theta`.

Então, `a = 2`, e deixamos` x = 2 sin & theta`, então `dx = 2 cos & theta d & theta`.

Substituir e simplificar a raiz quadrada dá:

Desta vez, nosso triângulo usará `sin theta = x / 2`, como segue:

Triângulo para encontrar `csc theta` e` cot theta` em termos de `x`.

Substituir tudo na integral dá:

`int (3 dx) / (xsqrt (4-x ^ 2)) = int (3 (2 cos teta d teta)) / ((2 sen teta) (2 cos teta))`

`= 3 / 2int (d theta) / (sen theta)`

`= 3 / 2intcsc theta d theta`

`= 3 / 2ln | csc teta-cot teta | + K`

`= 3 / 2ln | 2 / x- (sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

`= 3 / 2ln | (2-sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

Se colocarmos `u = x + 1`, então` du = dx` e nossa integral se torna:

Agora, usamos `u = sec & theta` e então` du = sec & theta tan & theta d & theta`

O triângulo, neste caso, começa com `x + 1 = sec theta` (ou seja,` cos theta = 1 / (x + 1) `) e é o seguinte:

Triângulo para encontrar `sec theta` e` tan theta` em termos de `x`.

Voltando ao nosso integral, temos:

`int (dx) / (sqrt (x ^ 2 + 2x)) = int (du) / (sqrt (u ^ 2-1))`

`= int (sec theta tan theta d theta) / (tan theta)`

`= int sec theta d theta`

`= ln | sec theta + tan theta | + K`

`= ln | x + 1 + sqrt (x ^ 2 + 2x) | + K`


Exercícios de substituição trigonométrica

Exercício. Avalie os seguintes integrais.

$ (1) quad displaystyle int sqrt <1-9t ^ 2> , dt $

$ (4) quad displaystyle int x ^ 3 sqrt <4-x ^ 2> , dx $

$ (5) quad displaystyle int sqrt <25-t ^ 2> , dt $

$ (6) quad displaystyle int (4-x ^ 2) ^ <3/2> , dx $

$ (8) quad displaystyle int e ^ x sqrt <4-e ^ <2x>> , dx $

$ (9) quad displaystyle int frac <1> <(1 + x ^ 2) ^ <3/2 >> , dx $

$ (10) quad displaystyle int frac <1> < sqrt <16 + 4x ^ 2 >> , dx $

Exercício. Avalie os seguintes integrais.

$ (1) quad displaystyle int_1 ^ 2 frac < sqrt>, dx $

$ (2) quad displaystyle int_4 ^ 6 frac< sqrt> , dx $

$ (3) quad displaystyle int_0 ^ 1 x sqrt, dx $

$ (5) quad displaystyle int_0 ^ a x ^ 2 sqrt, dx $

$ (6) quad displaystyle int_0 ^ <3/5> sqrt <9-25x ^ 2> , dx $

Exercício. Encontre a área da região limitada pela hipérbole $ <9x ^ 2-4y ^ 2 = 36> $ e a linha $ x = 3 $.

Exercício. Encontre o comprimento do arco da curva sobre $ y = frac <1> <2> x ^ 2 $ no intervalo $ [0,4] $.

Exercício. Avalie os seguintes integrais.

$ (1) quad displaystyle int frac <1> <2u ^ 2-12u + 36> , dx $

$ (5) quad displaystyle int_1 ^ 2 frac <1> < sqrt <4x-x ^ 2 >> , dx $

$ (6) quad displaystyle int_0 ^ 4 sqrt, dx $

Exercício. Verifique as fórmulas de integração especiais ($ a & gt 0 $).

$ (2) quad displaystyle int sqrt, du = frac <1> <2> left (u sqrt -a ^ 2 ln | u + sqrt | right) + C $, $ u & gt a $

$ (3) quad displaystyle int sqrt, du = frac <1> <2> left (u sqrt + a ^ 2 ln | u + sqrt| right) + C $.


Quando eu era estudante de graduação, tentei derivar a tabela inteira de integrais no final do meu livro de Thomas Calculus. Eu descobri que a substituição trigonométrica me ajudou, ou foi útil para resolver algo como 30 dos 141 integrais, e então eu consideraria a técnica muito útil, embora eu tenha sido tendencioso, pois realmente amava o método e tinha habilidades de trigonometria muito fortes, portanto, medo. Acabei escrevendo um trabalho de classe sobre a técnica para meu seminário de saída do júnior.

Em geral, uma substituição funciona quando a mudança das variáveis ​​é completa, e a integral resultante se presta a uma reversão do processo nas variáveis ​​originais. A melhor maneira de entender quando as trig subs vão funcionar é fazer muitas delas e ver como funcionam, por assim dizer.

Comece integrando todas as derivadas das funções trigonométricas inversas. Prossiga para várias integrais sobre expressões racionais envolvendo polinômios de grau 2 ou menos (com e sem radicais aninhados em vários lugares). Você pode falhar ou, às vezes, descobrir que não é a melhor técnica. Here is an entertaining one for you: Consider $int x , dx$. Let $x= an heta$. This is clearly a ridiculous method to use for this particular integral, but try it and see that you do not get the solution! Silly things like this will help you to spot when the technique is viable.

You need not necessarily have terms in the form $a^2-x^2$, $x^2-a^2$, and $x^2+a^2$. For example, $int frac<1> , dx$ lends itself to trig sub. You need to complete the square on the quadratic, to get $x^2+3x+5=left( x+frac<3> <2> ight)^2+frac<11><4>$, then let $left(x+frac<3><2> ight)=frac><2> an heta$. So here we are forcing the integrand to have the desired form.

You need not necessarily have quadratic polynomials to apply trig subs, for example, consider $int frac<1><1-e^<2x>>, dx$. Let $e^x = sin heta$. Do your implicit differentiation and see that the technique will work beautifully here.

The question of learning "when" to apply a technique boils down to experience. You really have to just apply the techniques you know as much as possible and see what happens. When you are learning the answer to your very question by application, and you find that the application was a bad idea, I wager that you have learned as much as you would if you had applied a technique and found it appropriate.

If you are really interested in the technique, after learning the three standard trig subs you find in any calculus book (the only three you should ever need), try going crazy and applying say a cosine substitution in place of a sine substitution, a cosecant instead of a secant and other such silliness just to see what happens. You will sometimes find you hit a brick wall when doing such things, and sometimes you will get to the end. In general doing these sorts of rebellious things just to see what happens will only make your skills stronger and help you to truly understand what is going on with your methods.


Absolute value in trigonometric substitutions

In general, when we are trying to remove radicals from integrals, we perform a trigonometric substitution (either a circular or hyperbolic trig function), but often this results in a radical of the form $sqrt<(f(x))^2>$, with $f$ being an arbitrary trigonometric function.

What most texts tend to do is simply take $sqrt <(f(x))^2>= f(x)$, without the absolute value of |f(x)|, and the texts do not offer any motivation as to why $sqrt <(f(x))^2>= f(x) eq |f(x)|$. I would have assumed the correct way to proceed would be $sqrt <(f(x))^2>= |f(x)|$. Why is this the case?

I'll give an example to show further explain what I'm trying to ask :

What most texts do is omit the absolute value in the last starred step. Thus the denomitor of the integral becomes $ 4sec heta $ instead of $4cdot|sec heta |$ and there is no need to break the integral up into cases. Why is that so? We have not assumed $sec heta > 0$, so how can $|sec heta | = sec heta$?


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

So far we have seen that it sometimes helps to replace a subexpression of a function by a single variable. Occasionally it can help to replace the original variable by something more complicated. This seems like a “reverse” substitution, but it is really no different in principle than ordinary substitution.

Example 2.26 . Sine Substitution.

Evaluate (dsint sqrt<1-x^2>,dx ext<.>)

Let (x=sin u) so (dx=cos u,du ext<.>) Then

We would like to replace (ds sqrt) by (cos u ext<,>) but this is valid only if (cos u) is positive, since (ds sqrt) is positive. Consider again the substitution (x=sin u ext<.>) We could just as well think of this as (u=arcsin x ext<.>) If we do, then by the definition of the arcsine, (-pi/2le ulepi/2 ext<,>) so (cos uge0) and so we are allowed to continue and perform the simplification:

This is a perfectly good answer, though the term (sin(2arcsin x)) is a bit unpleasant. It is possible to simplify this. Using the identity (sin 2x=2sin xcos x ext<,>) we can write

Then the full antiderivative is

This type of substitution is usually indicated when the function you wish to integrate contains a polynomial expression that might allow you to use the fundamental identity (ds sin^2x+cos^2x=1) in one of three forms:

If your function contains (ds 1-x^2 ext<,>) as in the example above, try (x=sin u ext<>) if it contains (ds 1+x^2) try (x= an u ext<>) and if it contains (ds x^2-1 ext<,>) try (x=sec u ext<.>) Sometimes you will need to try something a bit different to handle constants other than inverse substitution, which is described next.

In a we let (u=u(x) ext<,>) i.e., our new variable is defined in terms of (x ext<.>) In an we let (x=g(u) ext<,>) i.e., we assume (x) can be written in terms of (u ext<.>) We cannot do this arbitrarily since we do NOT get to “choose” (x ext<.>) For example, an inverse substitution of (x=1) will give an obviously wrong answer. However, when (x=g(u)) is an invertible function, then we are really doing a (u)-substitution with (u=g^<-1>(x) ext<.>) Now the Substitution Rule applies.

Sometimes with inverse substitutions involving trig functions we use ( heta) instead of (u ext<.>) Thus, we would take (x=sin heta) instead of (x=sin u ext<.>)

We would like our inverse substitution (x=g(u)) to be a one-to-one function, and (x=sin u) is not one-to-one. In the next few paragraphs, we discuss how we can overcome this issue by using the restricted trigonometric functions.

The three common are the restricted sine, restricted tangent and restricted secant. Thus, for sine we use the domain ([-pi/2,

pi/2]) and for tangent we use ((-pi/2,

pi/2) ext<.>) Depending on the convention chosen, the restricted secant function is usually defined in one of two ways.

One convention is to restrict secant to the region ([0,

pi/2)cup(pi/2,pi]) as shown in the middle graph. The other convention is to use ([0,

3pi/2)) as shown in the right graph. Both choices give a one-to-one restricted secant function and no universal convention has been adopted. To make the analysis in this section less cumbersome, we will use the domain ([0,

3pi/2)) for the restricted secant function. Then (sec^<-1>x) is defined to be the inverse of this restricted secant function.

Typically trigonometric substitutions are used for problems that involve radical expressions. The table below outlines when each substitution is typically used along with their restricted intervals.


Conteúdo

Examples of Case I Edit

Example 1 Edit

Alternatively, fully evaluate the indefinite integrals before applying the boundary conditions. In that case, the antiderivative gives

Example 2 Edit

may be evaluated by letting x = a sin ⁡ θ , d x = a cos ⁡ θ d θ , θ = arcsin ⁡ x a , >,>

For example, the definite integral

On the other hand, direct application of the boundary terms to the previously obtained formula for the antiderivative yields


Integration by trigonometric substitution Calculator

Exemplo

Problemas resolvidos

Difficult Problems

Solved example of integration by trigonometric substitution

We can solve the integral $intsqrtdx$ by applying integration method of trigonometric substitution using the substitution

Differentiate both sides of the equation $x=2 anleft( heta ight)$

The derivative of a function multiplied by a constant ($2$) is equal to the constant times the derivative of the function

The derivative of the tangent of a function is equal to secant squared of that function times the derivative of that function, in other words, if $$, then $$

The derivative of the linear function is equal to $1$

Now, in order to rewrite $d heta$ in terms of $dx$, we need to find the derivative of $x$. We need to calculate $dx$, we can do that by deriving the equation above

Substituting in the original integral, we get

Factor by the greatest common divisor $4$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

Applying the power of a power property

Applying the trigonometric identity: $ an(x)^2+1=sec(x)^2$

The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

When multiplying exponents with same base you can add the exponents: $secleft( heta ight)secleft( heta ight)^2$

Subtract the values $3$ and $-2$

Any expression to the power of $1$ is equal to that same expression

Rewrite $secleft( heta ight)^<3>$ as the product of two secants

We can solve the integral $intsecleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta$ by applying integration by parts method to calculate the integral of the product of two functions, using the following formula

Taking the derivative of secant function: $fracleft(sec(x) ight)=sec(x)cdot an(x)cdot D_x(x)$

First, identify $u$ and calculate $du$

Now, identify $dv$ and calculate $v$

The integral of $sec(x)^2$ is $ an(x)$

When multiplying two powers that have the same base ($ anleft( heta ight)$), you can add the exponents

Now replace the values of $u$, $du$ and $v$ in the last formula

Solve the product $4left( anleft( heta ight)secleft( heta ight)-int anleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta ight)$

Apply the formula: $intsecleft(x ight) anleft(x ight)^2dx$=intsecleft(x ight)^3dx-intsecleft(x ight)dx$, where $x= heta $

The integral of the secant function is given by the following formula, $displaystyleintsec(x)dx=lnleft|sec(x)+ an(x) ight|$

Rewrite $secleft( heta ight)^3$ as the product of two secants

We can solve the integral $intsecleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta$ by applying integration by parts method to calculate the integral of the product of two functions, using the following formula

First, identify $u$ and calculate $du$

Now, identify $dv$ and calculate $v$

The integral of $sec(x)^2$ is $ an(x)$

Now replace the values of $u$, $du$ and $v$ in the last formula

Solve the product $-4left( anleft( heta ight)secleft( heta ight)-int anleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta ight)$

Apply the formula: $intsecleft(x ight) anleft(x ight)^2dx$=intsecleft(x ight)^3dx-intsecleft(x ight)dx$, where $x= heta $

The integral of the secant function is given by the following formula, $displaystyleintsec(x)dx=lnleft|sec(x)+ an(x) ight|$

Cancel like terms $-4lnleft(secleft( heta ight)+ anleft( heta ight) ight)$ and $4lnleft(secleft( heta ight)+ anleft( heta ight) ight)$

Simplify the integral $intsecleft( heta ight)^3d heta$ applying the reduction formula, $displaystyleintsec(x)^dx=frac>+fracintsec(x)^dx$


Assista o vídeo: INTEGRAL SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA #24 PARTE 1 (Novembro 2021).