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9.3: Adicionar e subtrair raízes quadradas - matemática


Ao final desta seção, você será capaz de:
  • Adicionar e subtrair como raízes quadradas
  • Adicionar e subtrair raízes quadradas que precisam de simplificação

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Adicionar: ⓐ (3x + 9x ) ⓑ (5m + 5n ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Simplifique: ( sqrt {50x ^ 3} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Sabemos que devemos seguir a ordem das operações para simplificar expressões com raízes quadradas. O radical é um símbolo de agrupamento, portanto, trabalhamos primeiro dentro do radical. Simplificamos ( sqrt {2 + 7} ) desta forma:

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {2 + 7}} { text {Adicione dentro do radical.}} & { sqrt {9}} { text {Simplifique .}} E {3} end {array} ]

Portanto, se tivermos que adicionar ( sqrt {2} + sqrt {7} ), não devemos combiná-los em um radical.

( sqrt {2} + sqrt {7} ne sqrt {2 + 7} )

Tentar adicionar raízes quadradas com radicandos diferentes é como tentar adicionar termos diferentes.

[ begin {array} {llll} { text {Mas, assim como podemos}} & {x + x} & { text {podemos adicionar}} & { sqrt {3} + sqrt {3 }} {} & {x + x = 2x} & {} & { sqrt {3} + sqrt {3} = 2 sqrt {3}} end {array} ]

Adicionar raízes quadradas com o mesmo radical é como adicionar termos semelhantes. Chamamos raízes quadradas com o mesmo radical e raízes quadradas semelhantes para nos lembrar que funcionam da mesma forma que termos semelhantes.

Definição: COMO RAIZES QUADRADAS

Raízes quadradas com o mesmo radical são chamadas como raízes quadradas.

Adicionamos e subtraímos como raízes quadradas da mesma forma que adicionamos e subtraímos termos semelhantes. Sabemos que 3x + 8x é 11x. Da mesma forma, adicionamos (3 sqrt {x} +8 sqrt {x} ) e o resultado é (11 sqrt {x} ).

Adicionar e subtrair como raízes quadradas

Pense em adicionar termos semelhantes com variáveis ​​ao fazer os próximos exemplos. Quando você tem radicandos semelhantes, basta adicionar ou subtrair os coeficientes. Quando os radicandos não são semelhantes, você não pode combinar os termos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Simplifique: (2 sqrt {2} −7 sqrt {2} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {2 sqrt {2} −7 sqrt {2}} { text {Como os radicais são semelhantes, subtraímos os coeficientes.}} & {- 5 sqrt {2}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Simplifique: (8 sqrt {2} −9 sqrt {2} ).

Responder

(- sqrt {2} )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique: (5 sqrt {3} −9 sqrt {3} ).

Responder

(- 4 sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {4} )

Simplifique: (3 sqrt {y} +4 sqrt {y} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {3 sqrt {y} +4 sqrt {y}} { text {Uma vez que os radicais são semelhantes, adicionamos os coeficientes.}} & {7 sqrt {y}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {5} )

Simplifique: (2 sqrt {x} +7 sqrt {x} ).

Responder

(9 sqrt {x} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Simplifique: (5 sqrt {u} +3 sqrt {u} ).

Responder

(8 sqrt {u} )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Simplifique: (4 sqrt {x} −2 sqrt {y} )

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {4 sqrt {x} −2 sqrt {y}} { text {Uma vez que os radicais não são semelhantes, não podemos subtraí-los. Deixamos a expressão como está.}} & {4 sqrt {x} −2 sqrt {y}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {8} )

Simplifique: (7 sqrt {p} −6 sqrt {q} ).

Responder

(7 sqrt {p} -6 sqrt {q} )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Simplifique: (6 sqrt {a} −3 sqrt {b} ).

Responder

(6 sqrt {a} −3 sqrt {b} )

Exemplo ( PageIndex {10} )

Simplifique: (5 sqrt {13} +4 sqrt {13} +2 sqrt {13} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {5 sqrt {13} +4 sqrt {13} +2 sqrt {13}} { text {Uma vez que os radicais são semelhantes, adicionamos o coeficientes.}} & {11 sqrt {13}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {11} )

Simplifique: (4 sqrt {11} +2 sqrt {11} +3 sqrt {11} ).

Responder

(9 sqrt {11} )

Exemplo ( PageIndex {12} )

Simplifique: (6 sqrt {10} +2 sqrt {10} +3 sqrt {10} ).

Responder

(11 sqrt {10} )

Exemplo ( PageIndex {13} )

Simplifique: (2 sqrt {6} −6 sqrt {6} +3 sqrt {3} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {2 sqrt {6} −6 sqrt {6} +3 sqrt {3}} { text {Uma vez que os dois primeiros radicais são como, nós subtraia seus coeficientes.}} & {- 4 sqrt {6} +3 sqrt {3}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {14} )

Simplifique: (5 sqrt {5} −4 sqrt {5} +2 sqrt {6} ).

Responder

( sqrt {5} +2 sqrt {6} )

Exemplo ( PageIndex {15} )

Simplifique: (3 sqrt {7} −8 sqrt {7} +2 sqrt {5} ).

Responder

(- 5 sqrt {7} +2 sqrt {5} )

Exemplo ( PageIndex {16} )

Simplifique: (2 sqrt {5n} −6 sqrt {5n} +4 sqrt {5n} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {2 sqrt {5n} −6 sqrt {5n} +4 sqrt {5n}} { text {Uma vez que os radicais são semelhantes, nós os combinamos .}} & {- 0 sqrt {5n}} { text {Simplifique.}} & {0} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {17} )

Simplifique: ( sqrt {7x} −7 sqrt {7x} +4 sqrt {7x} ).

Responder

(- 2 sqrt {7x} )

Exemplo ( PageIndex {18} )

Simplifique: (4 sqrt {3y} −7 sqrt {3y} +2 sqrt {3y} ).

Responder

(- 3 sqrt {y} )

Quando os radicais contêm mais de uma variável, desde que todas as variáveis ​​e seus expoentes sejam idênticos, os radicais são semelhantes.

Exemplo ( PageIndex {19} )

Simplifique: ( sqrt {3xy} +5 sqrt {3xy} −4 sqrt {3xy} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {3xy} +5 sqrt {3xy} −4 sqrt {3xy}} { text {Uma vez que os radicais são semelhantes, nós os combinamos. }} & {2 sqrt {3xy}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {20} )

Simplifique: ( sqrt {5xy} +4 sqrt {5xy} −7 sqrt {5xy} ).

Responder

(- 2 sqrt {5xy} )

Exemplo ( PageIndex {21} )

Simplifique: (3 sqrt {7mn} + sqrt {7mn} −4 sqrt {7mn} ).

Responder

0

Adicionar e subtrair raízes quadradas que precisam de simplificação

Lembre-se de que sempre simplificamos as raízes quadradas removendo o maior fator do quadrado perfeito. Às vezes, quando temos que adicionar ou subtrair raízes quadradas que não parecem ter como radicais, encontramos radicais semelhantes após simplificar as raízes quadradas.

Exemplo ( PageIndex {22} )

Simplifique: ( sqrt {20} +3 sqrt {5} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {20} +3 sqrt {5}} { text {Simplifique os radicais, quando possível.}} & { sqrt {4} · sqrt {5} +3 sqrt {5}} {} & {2 sqrt {5} +3 sqrt {5}} { text {Combine os radicais semelhantes.}} & {5 sqrt {5}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {23} )

Simplifique: ( sqrt {18} +6 sqrt {2} ).

Responder

(9 sqrt {2} )

Exemplo ( PageIndex {24} )

Simplifique: ( sqrt {27} +4 sqrt {3} ).

Responder

(7 sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {25} )

Simplifique: ( sqrt {48} - sqrt {75} )

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {48} - sqrt {75}} { text {Simplifique os radicais.}} & { sqrt {16} · sqrt {3 } - sqrt {25} · sqrt {3}} {} & {4 sqrt {3} −5 sqrt {3}} { text {Combine os radicais semelhantes.}} & {- sqrt {3}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {26} )

Simplifique: ( sqrt {32} - sqrt {18} ).

Responder

( sqrt {2} )

Exemplo ( PageIndex {27} )

Simplifique: ( sqrt {20} - sqrt {45} ).

Responder

(- sqrt {5} )

Assim como usamos a propriedade associativa de multiplicação para simplificar 5 (3x) e obter 15x, podemos simplificar (5 (3 sqrt {x}) ) e obter (15 sqrt {x} ). Usaremos a propriedade associativa para fazer isso no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {28} )

Simplifique: (5 sqrt {18} −2 sqrt {8} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {5 sqrt {18} −2 sqrt {8}} { text {Simplifique os radicais.}} & {5 · sqrt {9} · sqrt {2} −2 · sqrt {4} · sqrt {2}} {} & {5 · 3 · sqrt {2} −2 · 2 · sqrt {2}} {} & {15 sqrt {2} −4 sqrt {2}} { text {Combine os radicais semelhantes.}} & {11 sqrt {2}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {29} )

Simplifique: (4 sqrt {27} −3 sqrt {12} ).

Responder

(6 sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {30} )

Simplifique: (3 sqrt {20} −7 sqrt {45} ).

Responder

(- 15 sqrt {5} )

Exemplo ( PageIndex {31} )

Simplifique: ( frac {3} {4} sqrt {192} - frac {5} {6} sqrt {108} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { frac {3} {4} sqrt {192} - frac {5} {6} sqrt {108}} { text {Simplifique o radicais.}} & { frac {3} {4} sqrt {64} · sqrt {3} - frac {5} {6} sqrt {36} · sqrt {3}} {} & { frac {3} {4} · 8 · sqrt {3} - frac {5} {6} · 6 · sqrt {3}} {} & {6 sqrt {3} −5 sqrt {3}} { text {Combine os radicais semelhantes.}} & { sqrt {3}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {32} )

Simplifique: ( frac {2} {3} sqrt {108} - frac {5} {7} sqrt {147} ).

Responder

(- sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {33} )

Simplifique: ( frac {3} {5} sqrt {200} - frac {3} {4} sqrt {128} ).

Responder

0

Exemplo ( PageIndex {34} )

Simplifique: ( frac {2} {3} sqrt {48} - frac {3} {4} sqrt {12} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { frac {2} {3} sqrt {48} - frac {3} {4} sqrt {12}} { text {Simplifique o radicais.}} & { frac {2} {3} sqrt {16} · sqrt {3} - frac {3} {4} sqrt {4} · sqrt {3}} {} & { frac {2} {3} · 4 · sqrt {3} - frac {3} {4} · 2 · sqrt {3}} {} & { frac {8} {3} sqrt {3} - frac {3} {2} sqrt {3}} { text {Encontre um denominador comum para subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes.}} & { frac {16} {6 } sqrt {3} - frac {9} {6} sqrt {3}} { text {Simplifique.}} & { frac {7} {6} sqrt {3}} end { variedade}]

Exemplo ( PageIndex {35} )

Simplifique: ( frac {2} {5} sqrt {32} - frac {1} {3} sqrt {8} )

Responder

( frac {14} {15} sqrt {2} )

Exemplo ( PageIndex {36} )

Simplifique: ( frac {1} {3} sqrt {80} - frac {1} {4} sqrt {125} )

Responder

( frac {1} {12} [ sqrt {5} )

No próximo exemplo, removeremos fatores constantes e variáveis ​​das raízes quadradas.

Exemplo ( PageIndex {37} )

Simplifique: ( sqrt {18n ^ 5} - sqrt {32n ^ 5} )

Responder

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {18n ^ 5} - sqrt {32n ^ 5}} { text {Simplifique os radicais.}} & { sqrt {9n ^ 4 } · Sqrt {2n} - sqrt {16n ^ 4} · sqrt {2n}} {} & {3n ^ 2 sqrt {2n} −4n ^ 2 sqrt {2n}} { texto {Combine os radicais semelhantes.}} & {- n ^ 2 sqrt {2n}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {38} )

Simplifique: ( sqrt {32m ^ 7} - sqrt {50m ^ 7} ).

Responder

(- m ^ 3 sqrt {2m} )

Exemplo ( PageIndex {39} )

Simplifique: ( sqrt {27p ^ 3} - sqrt {48p ^ 3} )

Responder

(- p ^ 3 sqrt {p} )

Exemplo ( PageIndex {40} )

Simplifique: (9 sqrt {50m ^ 2} −6 sqrt {48m ^ 2} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {9 sqrt {50m ^ {2}} - 6 sqrt {48m ^ {2}}} { text {Simplifique os radicais.}} & { 9 sqrt {25m ^ {2}} · sqrt {2} −6 · sqrt {16m ^ {2}} · sqrt {3}} {} & {9 · 5m · sqrt {2} −6 · 4m · sqrt {3}} {} & {45m sqrt {2} −24m sqrt {3}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {41} )

Simplifique: (5 sqrt {32x ^ 2} −3 sqrt {48x ^ 2} ).

Responder

(20x sqrt {2} −12x sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {42} )

Simplifique: (7 sqrt {48y ^ 2} −4 sqrt {72y ^ 2} ).

Responder

(28y sqrt {3} −24y sqrt {2} )

Exemplo ( PageIndex {43} )

Simplifique: (2 sqrt {8x ^ 2} −5x sqrt {32} +5 sqrt {18x ^ 2} ).

Responder

[ begin {array} {ll} {} & {2 sqrt {8x ^ 2} −5x sqrt {32} +5 sqrt {18x ^ 2}} { text {Simplifique os radicais.} } & {2 sqrt {4x ^ 2} · sqrt {2} −5x sqrt {16} · sqrt {2} +5 sqrt {9x ^ 2} · sqrt {2}} {} & {2 · 2x · sqrt {2} −5x · 4 · sqrt {2} + 5 · 3x · sqrt {2}} {} & {4x sqrt {2} −20x sqrt {2 } + 15x sqrt {2}} { text {Combine os radicais semelhantes.}} & {- x sqrt {2}} end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {44} )

Simplifique: (3 sqrt {12x ^ 2} −2x sqrt {48} +4 sqrt {27x ^ 2} )

Responder

(10x sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {45} )

Simplifique: (3 sqrt {18x ^ 2} −6x sqrt {32} +2 sqrt {50x ^ 2} ).

Responder

(- 5x sqrt {2} )

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com a adição e subtração de raízes quadradas.

  • Adicionando / subtraindo raízes quadradas

Glossário

como raízes quadradas
Raízes quadradas com o mesmo radical são chamadas de raízes quadradas.

9.3: Adicionar e subtrair raízes quadradas - matemática

Meu filho usou o Algebrator durante o ensino médio e parece que ele o levará para a faculdade também (obrigado pela atualização gratuita, a propósito). Gosto muito do fato de poder contar com a sua empresa para melhorar constantemente o software, ao invés de apenas fazer a venda e esquecer os clientes.
J.F., Alasca

Uau! Eu gostaria de ter o Algebrator quando comecei a aprender álgebra. Eu o comprei para minha aula de álgebra na faculdade e adorei. Obrigada, Obrigada !!
Don Copeland, CA

Obrigado por tornar minha vida muito mais fácil!
Henry Barker, AL

O que mais gosto no software Algebrator, é que posso salvar as expressões em um arquivo, para poder salvar meu dever de casa no computador e imprimi-lo para o professor sempre que ele pedir, e fica muito mais bonito do que o meu caligrafia.
Christopher Bowman, TX

Sou professor aposentado do ensino médio e atualmente trabalho como tutor. Sempre costumava me frustrar que uma criança pudesse se sair tão bem enquanto eu estivesse sentada lá com ela, mas assim que eu tive que ir embora, a criança voltou a se debater. Através de minha pesquisa, encontrei seu produto. Os pais compraram para o filho e fico feliz em dizer que ele está se saindo muito bem sozinho.
Nobert, TX


Como adicionar e subtrair raiz quadrada

Na multiplicação e divisão da raiz quadrada, podemos multiplicar as raízes quadradas entre si. Basta multiplicar os números no símbolo raiz, embora haja ressalvas.

Por outro lado, como devemos pensar sobre adição e subtração? Quando se trata de adição e subtração, você não deve adicionar ou subtrair entre sinais radicais com números diferentes. Por exemplo, o seguinte está errado.

O método de cálculo é diferente da multiplicação e divisão. Por que não podemos somar raízes quadradas com números diferentes? Como eles são números antes de serem elevados ao quadrado, eles são de natureza diferente dos inteiros.

Por exemplo, $ sqrt <9> = sqrt <3 ^ 2> = 3 $. E $ sqrt <16> = sqrt <4 ^ 2> = 4 $. Nesse caso, temos o seguinte.

Por outro lado, o que acontece se somarmos os números dos símbolos radicais sem torná-los inteiros? O resultado é o seguinte.

5 2 é 25. Portanto, $ sqrt <25> = sqrt <5 ^ 2> = 5 $. No entanto, a resposta real deve ser 7. Isso significa que $ sqrt <9> + sqrt <16> = sqrt <25> = 5 $ está errado.

Como o número ao quadrado é a raiz, obtemos o seguinte.

Portanto, em comparação com os números inteiros, os números no símbolo da raiz podem ser muito grandes. Pense em inteiros (números naturais) e os números no símbolo radical são completamente diferentes. É por isso que adicionar ou subtrair diretamente aos números do sinal de raiz é um erro.

Adição e subtração podem ser feitas quando os números em um símbolo radical são iguais

Como podemos adicionar e subtrair com raízes quadradas? A maneira como funciona é que só podemos somar e subtrair se os números no símbolo raiz forem iguais. Por exemplo, é o seguinte.

Nesse caso, os números no sinal do radical são comuns a 2. Portanto, é possível somar e subtrair os inteiros antes do sinal da raiz.

$ 4 sqrt <2> $ significa que existem quatro $ sqrt <2> $. Portanto, se subtrairmos um $ sqrt <2> $, temos três $ sqrt <2> $ restantes.

É por isso que, se os números no sinal da raiz forem iguais, podemos somar e subtrair.

Por outro lado, o que acontece se os números no símbolo raiz forem diferentes? Como já explicamos, se os números no símbolo radical forem iguais, podemos somar e subtrair. No entanto, se os números no símbolo radical forem diferentes, não podemos adicioná-los ou subtraí-los. Por exemplo, o seguinte cálculo é feito.

Não podemos adicionar ou subtrair números com propriedades diferentes. Portanto, a resposta para esse cálculo é $ 5 sqrt <2> - sqrt <3> $. Para distinguir se adição e subtração são possíveis, veja se os números no símbolo da raiz são iguais ou não.

-O Método de Cálculo é o mesmo que a Expressão Algébrica

O cálculo de uma rota quadrada é o mesmo que na expressão algébrica. Em expressões algébricas, até mesmo alfabetos diferentes podem ser multiplicados e divididos. No entanto, letras diferentes não podem ser adicionadas ou subtraídas, conforme mostrado abaixo.

As raízes quadradas também podem ser multiplicadas e divididas, mesmo se os números no símbolo da raiz forem diferentes. No entanto, se os números no sinal do radical forem diferentes, não podemos somar ou subtrair, como mostrado abaixo.

Mesmo que as propriedades sejam diferentes, ainda podemos fazer multiplicação e divisão. Mas se eles são diferentes em propriedades, não podemos adicionar ou subtrair. Em matemática, certifique-se de entender esta regra.

Combine os Números no Símbolo Raiz por Fatoração Principal

Depois de entender as regras que discutimos, você será capaz de adicionar e subtrair raízes quadradas. Porém, antes de adicionar e subtrair, em muitos casos, devemos fazer a fatoração de primos de antemão. A fatoração primária tornará os números do sinal radical mais claros.

Ao calcular a raiz quadrada, devemos fazer a fatoração primária para formar $ a sqrt$. Por exemplo, temos o seguinte.

A fatoração primária é importante no cálculo de raízes quadradas porque nos permite minimizar o número no sinal do radical. Como resultado, adição e subtração estão disponíveis.

Depois de racionalizar o denominador, fazer o denominador comum e calculá-lo

Há outro procedimento importante ao fazer o cálculo da rota quadrada. É racionalizar o denominador. Se o denominador tiver raízes quadradas (números irracionais), ele não pode ser calculado. Assim, ao racionalizar o denominador, se alterarmos o número de denominadores para inteiros, podemos adicionar e subtrair raízes quadradas umas das outras criando um denominador comum.

Por exemplo, como podemos fazer o seguinte cálculo?

Em matemática, a resposta está incorreta se o denominador tiver raiz. A razão para isso é que racionalizar o denominador nos permite tornar os números mais simples.

No caso de racionalizar o denominador, podemos calcular o seguinte.

Racionalizar o denominador desta forma permite a adição e subtração pelo denominador comum.


EM FORMAÇÃO

ADIÇÃO / SUBTRAÇÃO DE RAÍZES QUADRADAS

A adição ou subtração de expressões radicais pode ser simplificada se as formas mais simples dos termos tiverem o mesmo radical. Esses termos são chamados de termos semelhantes. Depois de simplificar cada termo da expressão, a combinação de termos semelhantes nos leva a obter uma expressão simplificada.

O QUE É A CALCULADORA DE ADIÇÃO DE RAIZ QUADRADA?

Calculadora de adição de raiz quadrada,

COMO USAR A CALCULADORA DE ADIÇÃO DE RAIZ QUADRADA?

Você pode usar a calculadora de adição de raiz quadrada de duas maneiras.

ENTRADAS DE USUÁRIO

Você pode inserir os coeficientes e radicandos nas caixas de entrada, selecione o sinal entre os termos e clique no botão " CALCULAR ". O resultado e as explicações aparecem abaixo da calculadora

ENTRADAS ALEATÓRIAS

Você pode clicar no MORRE O ÍCONE próximo às caixas de entrada. Se você usar esta propriedade, números aleatórios são gerados e inseridos na calculadora, automaticamente. Você pode ver o resultado e as explicações abaixo da calculadora. Você pode criar seus próprios exemplos e praticar o uso dessa propriedade.

LIMPANDO A CAIXA DE ENTRADA

Para verificar a adição ou subtração de outras raízes quadradas, você pode limpar as caixas de entrada clicando no CLARO botão sob as caixas de entrada.

COPIANDO E BAIXANDO A SOLUÇÃO

Você pode copiar a solução gerada clicando no link "Copiar texto", exibido no painel de solução.

Até mesmo você pode baixar a solução como um arquivo de imagem com extensão .jpg se clicar no link "Baixar Solução" na parte inferior do painel da solução. Você pode compartilhar o arquivo de imagem baixado.


Adicionando e subtraindo radicais

Vídeos, planilhas, soluções e atividades para ajudar os alunos da 9ª série a aprender como adicionar e subtrair radicais.



O diagrama a seguir mostra as partes de um radical: símbolo do radical, radicando, índice e coeficiente. Role para baixo na página para exemplos e soluções.

Como adicionar e subtrair radicais?
Para adicionar ou subtrair radicais, devemos ter "radicais semelhantes" que são os radicandos e o índice deve ser o mesmo para cada termo. O radicand é o número dentro do radical.
Os radicais que são "como radicais" podem ser adicionados ou subtraídos adicionando ou subtraindo os coeficientes.
1. Divida os radicais fornecidos e simplifique cada termo.
2. Identifique os radicais semelhantes. 3. Adicione ou subtraia os radicais semelhantes, adicionando ou subtraindo seus coeficientes.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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9.3: Adicionar e subtrair raízes quadradas - matemática

O primeiro tratamento das raízes quadradas trata de estabelecer um entendimento conceitual de qualidade do que são os números da raiz quadrada.

Raízes quadradas
(Para estudantes)

Introdução : A seguir está o esboço de uma lição, as idéias-chave abordadas em sequência. É melhor escrever suas próprias lições, quando possível, e este é um bom guia sobre o que deve ser abordado em ordem. Quanto aos problemas de ritmo e prática, eles são deixados para você. Você encontrará problemas práticos no final que pode usar para verificar a compreensão ou como lição de casa ou questionários.

Square Roots, faça uma pergunta: Qual número ao quadrado é igual ao radicand? O radicand é o número dentro do símbolo de raiz quadrada (radical). Esta expressão pergunta, qual número vezes ele mesmo (ao quadrado) é 11?

Este é um número. Não é 11. Acontece que esse número é irracional e nunca podemos escrever o que é com mais precisão do que isso.

Grande ideia: A área de um quadrado é calculada pela quadratura de um lado (multiplicando-o por ele mesmo). Como todos os lados de um quadrado são iguais, essa área é a mais fácil de calcular possível. Uma raiz quadrada está nos dando a área de um quadrado e nos pedindo para descobrir qual é o comprimento de um lado.

A maior parte da confusão com raízes quadradas remonta a esta definição do que é uma raiz quadrada. Para tornar isso o mais claro possível, considere a tabela a seguir.

Qual é o comprimento do lado de um quadrado com área de 100?

Qual é o comprimento do lado de um quadrado com área de 10?

Qual é o comprimento do lado de um quadrado com área de 100?

Qual é o comprimento do lado de um quadrado com área de 10?

Conhecimento chave: Para ser proficiente com raízes quadradas, precisamos saber sobre quadrados perfeitos. Um quadrado perfeito é um número que é o produto de um número ao quadrado. Dezesseis é perfeito porque quatro vezes quatro é dezesseis.

O motivo pelo qual você precisa saber os quadrados perfeitos é porque as raízes quadradas pedem números ao quadrado que se igualam ao radicand. Portanto, se o radicandinho é um quadrado perfeito, temos uma 'obtenção' fácil, ou seja, uma simplificação.

Vamos dar uma olhada nos primeiros vinte quadrados perfeitos e qual número foi elevado ao quadrado para chegar ao quadrado perfeito, que chamaremos de pai.

Você deve reconhecer esses números como quadrados perfeitos, pois essa é uma parte importante do conhecimento necessário!

Dica Profissional : Ao lidar com raízes quadradas, é aconselhável ter uma lista de quadrados perfeitos à mão para ajudá-lo a se familiarizar com eles.

Como simplificar uma raiz quadrada : Para simplificar uma raiz quadrada, tudo o que você faz é responder à pergunta que ela está perguntando.

A melhor maneira de fazer isso é ver se o radicand é um quadrado perfeito. Se sim, basta responder à pergunta. Por exemplo:

Já que isso está perguntando, "Qual número ao quadrado é 256?" e 256 é um quadrado perfeito, 16 2, a resposta à pergunta é apenas 16.

E se tivéssemos algo assim:

E se o radicand não fosse um quadrado perfeito?

Liste todos os fatores, não apenas os fatores primários. Na verdade, os fatores primos são de pouca utilidade porque os números primos não são quadrados perfeitos. E, novamente, estamos procurando quadrados perfeitos porque eles nos ajudam a responder à pergunta feita pela raiz quadrada.

Dica Profissional : Ao fatorar, não pule. Verifique a divisibilidade por todos os números em ordem até conseguir uma volta. Por exemplo, após 6, marque 7. Sete não se divide em 48, mas 8 sim. Oito vezes seis dá quarenta e oito, mas você já tem esse par. É assim que você sabe que terminou!

Em nossa lista, precisamos encontrar o maior quadrado perfeito. Enquanto quatro é um quadrado perfeito, dezesseis é maior. Portanto, precisamos usar três e dezesseis como mostrado abaixo.

A raiz quadrada de três é irracional (as raízes quadradas dos números primos são irracionais), mas a raiz quadrada de dezesseis é quatro. Então, reescrevendo isso, obtemos:

Consulte a Nota 1 e a Nota 2 abaixo para obter uma explicação de por que o procedimento acima funciona.

Como podemos mudar a ordem em que nos multiplicamos, podemos reorganizar isso e multiplicar os números racionais juntos primeiro e os números irracionais juntos primeiro.

A própria raiz quadrada de três vezes é a raiz quadrada de nove.

A raiz quadrada de nove pergunta, quanto ao quadrado é nove. A resposta é três.

Nota 2: podemos separar raízes quadradas no produto de duas raízes quadradas diferentes, como este:

Se considerarmos a pergunta que está sendo feita, que número ao quadrado é setenta e cinco, podemos ver por que isso funciona. O número ao quadrado é setenta e cinco é o mesmo que o número ao quadrado é vinte e cinco vezes três ”(figura a). O número ao quadrado que é vinte e cinco vezes o número ao quadrado que é três é o mesmo que o número vezes que é vinte e cinco vezes três.

O que veremos em uma seção futura é que as raízes quadradas são na verdade expoentes, os expoentes são multiplicações repetidas e a ordem em que você multiplica não importa. Isso nos permite manipular expressões de raiz quadrada dessa maneira.

Vamos trabalhar com dois exemplos. Antes de fazermos, vamos definir o que simplificar significa no contexto de raízes quadradas. Simplificar com raízes quadradas significa que o radicand não contém um fator que é um quadrado perfeito e que todos os termos são multiplicados juntos.

O que o nove está fazendo com a raiz quadrada de oito? Ele está se multiplicando por ele. Não podemos realizar essa operação. No entanto, oito, o radicand, contém um quadrado perfeito, quatro. Não deixe que o fato de que 9 também é um quadrado perfeito o confunda. Isso é apenas 9, como em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A raiz quadrada de oito não pode ser contada. É fazer uma pergunta, lembra?

Dica de profissional: Ao reescrever expressões radicais (raízes quadradas), escreva o quadrado perfeito primeiro, pois é mais fácil de manipular (você não vai bagunçar tão facilmente).

O oito está se multiplicando com a expressão radical. Assim como poderíamos separar a multiplicação de raízes quadradas, também podemos separar a divisão, desde que seja escrita como multiplicação pelo recíproco. Então, vamos considerá-los separadamente, para dividir isso em partes menores que são mais fáceis de gerenciar.

Vamos fatorar cada raiz quadrada, procurando um quadrado perfeito. Observe que x 2 vezes x 2 é x 4 .

Vamos responder às perguntas da raiz quadrada que podemos responder:

Observe que 8 é uma fração 8/1.

A multiplicação de frações é tão fácil quanto π.

Resumo: As raízes quadradas fazem uma pergunta: qual número ao quadrado é o radicand? Isso vem da área de um quadrado. Dada a área de um quadrado, qual é o comprimento do lado?

Para responder à pergunta, você fatora o radical e encontra o maior quadrado perfeito.


Como: simplificar radicais antes de adicionar ou subtrair

Este vídeo na categoria Educação mostrará como simplificar radicais antes de adicionar ou subtrair. Fazendo isso, você encontrará todos os radicais semelhantes, o que garantirá que todos os radicais estejam na forma mais simples. Digamos que você queira subtrair a raiz quadrada de 45 de 3 raízes quadradas de 20. Agora, a raiz quadrada de 45 pode ser escrita como raiz quadrada de 9 x raiz quadrada de 5. Porque, 9 e 5 são fatores de 45. Da mesma forma, 3 quadrados raízes de 20 podem ser simplificadas para 3 x raiz quadrada de 4 x raiz quadrada de 5. Agora a raiz quadrada de 9 x raiz quadrada de 5 será 3 raiz quadrada de 5. E 3 x raiz quadrada de 4 x raiz quadrada de 5 será seja 3 x 2 x raiz quadrada de 5 ou 6 raiz quadrada de 5. Raiz quadrada de 5 sendo o radical comum, subtraia 3 de 6 e o ​​resultado será 3 raiz quadrada de 5. Quando você assistir ao vídeo, isso ficará muito claro .

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Conjunto de Habilidades 7


Concentra-se em refinar a manipulação de frações e números inteiros, comece usando inteiros (números positivos e negativos) e expressões algébricas (x, y) Continue a praticar a resolução de problemas, o reconhecimento de padrões, o pensamento sequencial, a concentração e o sentido numérico.

Jogo 1
Frações 1 e 2 pontos
Adição, subtração, multiplicação e divisão em várias etapas com números inteiros (1 a 9) e frações. O número alvo é 24. 1 ponto mais fácil, 2 pontos mais desafiador ..

Resolva 2 cartas em 60 segundos para pular para o jogo 2.

Faça o número alvo 24. Você pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Use todos os números da roda, mas use cada número apenas uma vez.

Exemplo:
O número de destino é 24.
4 e divida 1/3 = 12
2 x 1 = 2
2 x 12 = 24

Jogo 2
Inteiros 1 e 2 pontos
Adição, subtração, multiplicação e divisão em várias etapas usando números inteiros de um dígito (números positivos e negativos). O número alvo é 24. 1 ponto mais fácil, 2 pontos mais desafiador.

Resolva 2 cartas em 60 segundos para pular para o jogo 3.

Torne o número alvo positivo 24. Você pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Use todos os quatro números na roda, mas use cada número apenas uma vez.

Exemplo:
O número de destino é 24.
& ndash4 + & ndash8 = & ndash12
2 & ndash 4 = & ndash2
& ndash2 x & ndash12 = 24

Jogo 3
Álgebra 1 Ponto
Adição, subtração, multiplicação e divisão de várias etapas de números de um dígito usando notação algébrica. O número de destino é 24. x e ou y pode ser qualquer número inteiro, de 2 a 9.

Resolva 3 cartas em 90 segundos para pular para o Conjunto de Habilidades 8.

Encontre um valor para x ou y (qualquer número inteiro) que, quando usado com os outros números do cartão, torna o número de destino 24. Você pode somar, subtrair, multiplicar
ou dividir. Use todos os quatro números na roda, mas use cada número apenas uma vez.

Exemplo:
O número alvo é 24. x = 4 (2/4 = 1/2)
4 x 5 = 20
8 x 1/2 = 4
20 + 4 = 24


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9.3: Adicionar e subtrair raízes quadradas - matemática

Operadores matemáticos são fornecidos para muitos tipos de PostgreSQL. Para tipos sem convenções matemáticas padrão (por exemplo, tipos de data / hora), descrevemos o comportamento real nas seções subsequentes.

A Tabela 9.4 mostra os operadores matemáticos disponíveis para os tipos numéricos padrão. Salvo indicação em contrário, os operadores mostrados como aceitantes numeric_type estão disponíveis para todos os tipos smallint, integer, bigint, numérico, real e precisão dupla. Operadores mostrados como aceitantes integral_type estão disponíveis para os tipos smallint, integer e bigint. Exceto onde indicado, cada forma de um operador retorna o mesmo tipo de dados que seu (s) argumento (s). As chamadas que envolvem vários tipos de dados de argumento, como inteiro + numérico, são resolvidas usando o tipo que aparece posteriormente nessas listas.

Tabela 9.4. Operadores matemáticos

numeric_type + numeric_typenumeric_type

numeric_type - numeric_typenumeric_type

numeric_type * numeric_typenumeric_type

numeric_type / numeric_typenumeric_type

Divisão (para tipos inteiros, a divisão trunca o resultado para zero)

numeric_type % numeric_typenumeric_type

Módulo (resto) disponível para smallint, inteiro, bigint e numérico

numérico ^ numérico → numérico

precisão dupla ^ precisão dupla → precisão dupla

Exponenciação (ao contrário da prática matemática típica, vários usos de ^ serão associados da esquerda para a direita)

| / precisão dupla → precisão dupla

|| / precisão dupla → precisão dupla

Fatorial (obsoleto, use fatorial () no lugar)

Fatorial como um operador de prefixo (obsoleto, use fatorial () em seu lugar)

integral_type & amp integral_typeintegral_type

integral_type | integral_typeintegral_type

integral_type # integral_typeintegral_type

integral_type & lt & lt inteiro → integral_type

integral_type & gt & gt inteiro → integral_type

A Tabela 9.5 mostra as funções matemáticas disponíveis. Muitas dessas funções são fornecidas em vários formulários com diferentes tipos de argumento. Exceto onde indicado, qualquer forma dada de uma função retorna o mesmo tipo de dados que seu (s) argumento (s). As funções que trabalham com dados de precisão dupla são implementadas principalmente na parte superior da biblioteca C do sistema host e o comportamento em casos limites pode, portanto, variar dependendo do sistema host.

Tabela 9.5. Funções Matemáticas

abdômen ( numeric_type ) → numeric_type

cbrt (precisão dupla) → precisão dupla

ceil (precisão dupla) → precisão dupla

O inteiro mais próximo maior ou igual ao argumento

teto (numérico) → numérico

teto (precisão dupla) → precisão dupla

O inteiro mais próximo maior ou igual ao argumento (igual a ceil)

graus (precisão dupla) → precisão dupla

Converte radianos em graus

div ( y numérico, x numérico) → numérico

Quociente inteiro de y / x (trunca em direção a zero)

exp (precisão dupla) → precisão dupla

Exponencial (e elevado à potência fornecida)

fatorial (bigint) → numérico

piso (precisão dupla) → precisão dupla

O inteiro mais próximo menor ou igual ao argumento

gcd ( numeric_type , numeric_type ) → numeric_type

O maior divisor comum (o maior número positivo que divide ambas as entradas sem resto) retorna 0 se ambas as entradas forem zero disponíveis para inteiro, bigint e numérico

lcm ( numeric_type , numeric_type ) → numeric_type

O mínimo múltiplo comum (o menor número estritamente positivo que é um múltiplo integral de ambas as entradas) retorna 0 se qualquer uma das entradas for zero disponível para inteiro, bigint e numérico

ln (precisão dupla) → precisão dupla

log (precisão dupla) → precisão dupla

log10 (precisão dupla) → precisão dupla

Logaritmo de base 10 (igual ao log)

registro ( b numérico, x numérico) → numérico

min_scale (numérico) → inteiro

Escala mínima (número de dígitos decimais fracionários) necessária para representar o valor fornecido com precisão

mod ( y numeric_type , x numeric_type ) → numeric_type

Restante de y / x disponível para smallint, inteiro, bigint e numérico

potência ( uma numérico, b numérico) → numérico

potência ( uma dupla precisão , b precisão dupla) → precisão dupla

uma elevado ao poder de b

radianos (precisão dupla) → precisão dupla

Converte graus em radianos

redondo (precisão dupla) → precisão dupla

Arredonda para o número inteiro mais próximo. Para números, os empates são quebrados arredondando-se a partir de zero. Para precisão dupla, o comportamento de desempate depende da plataforma, mas “arredondar para o par mais próximo” é a regra mais comum.

Redondo ( v numérico, s inteiro) → numérico

Rodadas v para s casas decimais. Os empates são quebrados arredondando-se a partir de zero.

Escala do argumento (o número de dígitos decimais na parte fracionária)

sinal (precisão dupla) → precisão dupla

Sinal do argumento (-1, 0 ou +1)

sqrt ( double precision ) → double precision

trim_scale ( numeric ) → numeric

Reduces the value's scale (number of fractional decimal digits) by removing trailing zeroes

trunc ( double precision ) → double precision

Truncates to integer (towards zero)

trunc ( v numeric , s integer ) → numeric

Truncates v para s casas decimais

width_bucket ( operand numeric , low numeric , high numeric , count integer ) → integer

width_bucket ( operand double precision , low double precision , high double precision , count integer ) → integer

Returns the number of the bucket in which operand falls in a histogram having count equal-width buckets spanning the range low para high . Returns 0 or count +1 for an input outside that range.

width_bucket(5.35, 0.024, 10.06, 5) → 3

width_bucket ( operand anyelement , thresholds anyarray ) → integer

Returns the number of the bucket in which operand falls given an array listing the lower bounds of the buckets. Returns 0 for an input less than the first lower bound. operand and the array elements can be of any type having standard comparison operators. O thresholds variedade must be sorted , smallest first, or unexpected results will be obtained.

width_bucket(now(), array['yesterday', 'today', 'tomorrow']::timestamptz[]) → 2

Table 9.6 shows functions for generating random numbers.

Table 9.6. Random Functions

random ( ) → double precision

Returns a random value in the range 0.0 <= x < 1.0

setseed ( double precision ) → void

Sets the seed for subsequent random() calls argument must be between -1.0 and 1.0, inclusive

The random() function uses a simple linear congruential algorithm. It is fast but not suitable for cryptographic applications see the pgcrypto module for a more secure alternative. If setseed() is called, the series of results of subsequent random() calls in the current session can be repeated by re-issuing setseed() with the same argument.

Table 9.7 shows the available trigonometric functions. Each of these functions comes in two variants, one that measures angles in radians and one that measures angles in degrees.

Table 9.7. Trigonometric Functions

acos ( double precision ) → double precision

Inverse cosine, result in radians

acosd ( double precision ) → double precision

Inverse cosine, result in degrees

asin ( double precision ) → double precision

Inverse sine, result in radians

asind ( double precision ) → double precision

Inverse sine, result in degrees

atan ( double precision ) → double precision

Inverse tangent, result in radians

atand ( double precision ) → double precision

Inverse tangent, result in degrees

atan2 ( y double precision , x double precision ) → double precision

Inverse tangent of y / x , result in radians

atan2d ( y double precision , x double precision ) → double precision

Inverse tangent of y / x , result in degrees

cos ( double precision ) → double precision

Cosine, argument in radians

cosd ( double precision ) → double precision

Cosine, argument in degrees

cot ( double precision ) → double precision

Cotangent, argument in radians

cotd ( double precision ) → double precision

Cotangent, argument in degrees

sin ( double precision ) → double precision

sind ( double precision ) → double precision

tan ( double precision ) → double precision

Tangent, argument in radians

tand ( double precision ) → double precision

Tangent, argument in degrees

Another way to work with angles measured in degrees is to use the unit transformation functions radians() and degrees() shown earlier. However, using the degree-based trigonometric functions is preferred, as that way avoids round-off error for special cases such as sind(30) .

Table 9.8 shows the available hyperbolic functions.

Table 9.8. Hyperbolic Functions

sinh ( double precision ) → double precision

cosh ( double precision ) → double precision

tanh ( double precision ) → double precision

asinh ( double precision ) → double precision

acosh ( double precision ) → double precision

Inverse hyperbolic cosine

atanh ( double precision ) → double precision

Inverse hyperbolic tangent


Inteiros

Numbers such as -7 and - 500, the additive inverses of whole numbers, are included with all the whole numbers and called inteiros.

Fractions can be negative too, e.g.- (frac<3><4>) and 3,46.

Required property of negative numbers

(x = -7) because (17 + (-7) = 17 - 7)

1. Adding a negative number is just like subtracting the corresponding positive number

2. Subtracting a negative number is just like adding the corresponding positive number

( x =-5) because (3 imes (-5) = -15)

3. The product of a positive number and a negative number is a negative number

In each case, state what number will make the equation true. Also state which of the properties of integers in the table above, is demonstrated by the equation.

((-5) + (-3)) can also be written as (-5 + (-3)) or as (-5 + -3)

Exemplos: (5 - 9) and (29 - 51)

How much will be left of the 51, after you have subtracted 29 from 29 to get 0?How can we find out? Is it (51 - 29)?Exemplos: (7 + (-5) 37 + (-45)) and ((-13) + 45) (20 + (a

number) = 15) true must have the following strange property:adicionar this number, it should have the same effect como subtracting 5.So mathematicians agreed that the number called negative 5 will have the property that if you add it to another number, the effect will be the same as subtracting the natural number 5 . negative 5 to a number, you may subtract 5.

Adding a negative number has the same effect as subtracting a corresponding natural number.

For example: (20 + (-15) = 20 - 15 = 5).

We may say that for each "positive" number there is a corresponding ou oposto negative number. Two positive and negative numbers that correspond, for example 3 and (-3), are called additive inverses.

(-7 + -7 + -7 + -7 + -7 + -7 + -7 + -7 + -7 + -7)

(-10 + -10 + -10 + -10 + -10 + -10 + -10)

Say whether you agree (✓) or (✗) disagree with each statement.

Multiplication of integers is commutative:

Calculate each of the following. Note that brackets are used for two purposes in these expressions: to indicate that certain operations are to be done first, and to show the integers.

  1. ( 20 + (-5))
  2. ( 4 imes (20 + (-5)))
  3. ( 4 imes 20 + 4 imes (-5))
  4. ( (-5) + (-20))
  5. (4 imes ((-5) + (-20)))
  6. (4 imes (-5) + 4 imes (-20))

If you worked correctly, your answers for question 1 should be 15 60 60 -25 -100 and -100. If your answers are different, check to see where you went wrong and correct your work.

Calculate each of the following where you can.

What property of integers is demonstrated in your answers for questions 3(a) and (g)?

In question 3 (i) you had to multiply two negative numbers. What was your guess?

We can calculate (-4) ( imes) ( 10 + (-5) ) as in (h). It is (-4) ( imes) 5 = -20

If we want the distributive property to be true for integers, then (-4) ( imes) 10 + (-4) ( imes) (-5) must be equal to -20.

(-4) ( imes) 10 + (-4) ( imes) (-5) = -40 + (-4) ( imes) (-5)

Then (-4) ( imes) (-5) must be equal to 20.

  • The product of two positive numbers is a positive number, for example (5 imes 6 = 30).
  • The product of a positive number and a negative number is a negative number, for example (5 imes (-6) = -30).
  • The product of a negative number and a positive number is a negative number, for example ((-5) imes 6 = -30).

Underline the numerical expression below which you would expect to have the same answers. Do not do the calculations.

(16 imes (53 + 68)) (53 imes (16 + 68)) (16 imes 53 + 16 imes 68) (16 imes 53 + 68)

What property of operations is demonstrated by the fact that two of the above expressions have the same value?

Consider your answers for question 5.

Does multiplication distribute over addition in the case of integers?

Illustrate your answer with two examples.

Underline the numerical expression below which you would expect to have the same answers. Do not do the calculations now.

(10 imes ((50) -(-30))) ( 10 imes (50) (30)) (10 imes (-50) - 10 imes (-30))

Do the three sets of calculations given in question 8.

Now consider the question whether multiplication by a negative number distributes over addition and subtraction of integers. For example, would ((-10) imes 5 + (-10) imes (-3)) also have the answer (-20), like ((-10) imes (5 + (-3)))?

To make sure that multiplication distributes over addition and subtraction in the system of integers, we have to agree that

(a negative number) ( imes) (a negative number) is a positive number,