Artigos

3.5E: Exercícios para a Seção 3.5 - Matemática


Nos exercícios 1 - 10, encontre ( dfrac {dy} {dx} ) para as funções fornecidas.

1) (y = x ^ 2− sec x + 1 )

Responder
( dfrac {dy} {dx} = 2x− sec x tan x )

2) (y = 3 csc x + dfrac {5} {x} )

3) (y = x ^ 2 cot x )

Responder
( dfrac {dy} {dx} = 2x cot x − x ^ 2 csc ^ 2 x )

4) (y = x − x ^ 3 sin x )

5) (y = dfrac { sec x} {x} )

Responder
( dfrac {dy} {dx} = dfrac {x sec x tan x− sec x} {x ^ 2} )

6) (y = sin x tan x )

7) (y = (x + cos x) (1− sin x) )

Responder
( dfrac {dy} {dx} = (1− sin x) (1− sin x) - cos x (x + cos x) )

8) (y = dfrac { tan x} {1− sec x} )

9) (y = dfrac {1− cot x} {1+ cot x} )

Responder
( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2 csc ^ 2 x} {(1+ cot x) ^ 2} )

10) (y = ( cos x) (1+ csc x) )

Nos exercícios 11 - 16, encontre a equação da linha tangente para cada uma das funções dadas nos valores indicados de (x ). Em seguida, use uma calculadora para representar graficamente a função e a linha tangente para garantir que a equação da linha tangente está correta.

11) [T] (f (x) = - sin x, quad x = 0 )

Responder

(y = −x )

12) [T] (f (x) = csc x, quad x = frac {π} {2} )

13) [T] (f (x) = 1 + cos x, quad x = frac {3π} {2} )

Responder

(y = x + frac {2−3π} {2} )

14) [T] (f (x) = sec x, quad x = frac {π} {4} )

15) [T] (f (x) = x ^ 2− tan x, quad x = 0 )

Responder

(y = −x )

16) [T] (f (x) = 5 cot x, quad x = frac {π} {4} )

Nos exercícios 17 - 22, encontre ( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) para as funções fornecidas.

17) (y = x sin x− cos x )

Responder
( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 3 cos x − x sin x )

18) (y = sin x cos x )

19) (y = x− frac {1} {2} sin x )

Responder
( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = frac {1} {2} sin x )

20) (y = dfrac {1} {x} + tan x )

21) (y = 2 csc x )

Responder
( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = csc (x) (3 csc ^ 2 (x) −1+ cot ^ 2 (x)) )

22) (y = sec ^ 2 x )

23) Encontre todos os valores (x ) no gráfico de (f (x) = - 3 sin x cos x ) onde a linha tangente é horizontal.

Responder
(x = dfrac {(2n + 1) π} {4} ), onde (n ) é um inteiro

24) Encontre todos os valores (x ) no gráfico de (f (x) = x − 2 cos x ) para (0

25) Seja (f (x) = cot x. ) Determine os pontos no gráfico de (f ) para (0

Responder
( left ( frac {π} {4}, 1 right), quad left ( frac {3π} {4}, - 1 right) )

26) [T] Uma massa em uma mola salta para cima e para baixo em movimento harmônico simples, modelado pela função (s (t) = - 6 cos t ) onde s é medido em polegadas e (t ) é medido em segundos. Encontre a taxa na qual a mola está oscilando em (t = 5 ) s.

27) Suponha que a posição de um pêndulo oscilante em movimento harmônico simples seja dada por (s (t) = a cos t + b sin t ). Encontre as constantes (a ) e (b ) de modo que quando a velocidade for 3 cm / s, (s = 0 ) e (t = 0 ).

Responder
(a = 0, quad b = 3 )

28) Depois que um mergulhador pula de um trampolim, a borda do trampolim oscila com a posição dada por (s (t) = - 5 cos t ) cm a (t ) segundos após o salto.

uma. Esboce um período da função de posição para (t≥0 ).

b. Encontre a função de velocidade.

c. Esboce um período da função de velocidade para (t≥0 ).

d. Determine os tempos em que a velocidade é (0 ) em um período.

e. Encontre a função de aceleração.

f. Esboce um período da função de aceleração para (t≥0 ).

29) O número de hambúrgueres vendidos em um restaurante fast-food em Pasadena, Califórnia, é dado por (y = 10 + 5 sin x ), onde (y ) é o número de hambúrgueres vendidos e (x ) representa o número de horas após a abertura do restaurante, das 11h às 23h, quando a loja fecha. Encontre (y ') e determine os intervalos em que o número de hambúrgueres vendidos está aumentando.

Responder
(y ′ = 5 cos (x) ), aumentando em ( left (0, frac {π} {2} right), ; left ( frac {3π} {2}, frac {5π} {2} right) ), e ( left ( frac {7π} {2}, 12 right) )

30) [T] A quantidade de chuva por mês em Phoenix, Arizona, pode ser aproximada por (y (t) = 0,5 + 0,3 cos t ), onde (t ) são meses desde janeiro. Encontre (y ′ ) e use uma calculadora para determinar os intervalos onde a quantidade de chuva caindo está diminuindo.

Para os exercícios 31 - 33, use a regra do quociente para derivar as equações fornecidas.

31) ( dfrac {d} {dx} ( cot x) = - csc ^ 2x )

32) ( dfrac {d} {dx} ( sec x) = sec x tan x )

33) ( dfrac {d} {dx} ( csc x) = - csc x cot x )

34) Use a definição de derivada e a identidade ( cos (x + h) = cos x cos h− sin x sin h ) para provar que ( dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x ).

Para os exercícios 35 - 39, encontre a derivada de ordem superior solicitada para as funções fornecidas.

35) ( dfrac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ) de (y = 3 cos x )

Responder
( dfrac {d ^ 3y} {dx ^ 3} = 3 sin x )

36) ( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) de (y = 3 sin x + x ^ 2 cos x )

37) ( dfrac {d ^ 4y} {dx ^ 4} ) de (y = 5 cos x )

Responder
( dfrac {d ^ 4y} {dx ^ 4} = 5 cos x )

38) ( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) de (y = sec x + cot x )

39) ( dfrac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ) de (y = x ^ {10} - sec x )

Responder
( dfrac {d ^ 3y} {dx ^ 3} = 720x ^ 7−5 tan (x) sec ^ 3 (x) - tan ^ 3 (x) sec (x) )


Assista o vídeo: Professora Helena -- O Teorema Fundamental do Cálculo: exemplos e exercícios (Dezembro 2021).