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11.2: Série - Matemática


Embora muito mais possa ser dito sobre as sequências, agora nos voltamos para o nosso principal interesse, as séries. Lembre-se de que uma série, grosso modo, é a soma de uma sequência: se ( {a_n } _ {n = 0} ^ infty ) for uma sequência, então a série associada é

[ sum_ {i = 0} ^ infty a_n = a_0 + a_1 + a_2 + cdots ]

Associada a uma série está uma segunda sequência, chamada de seqüência de somas parciais:

[ {s_n } _ {n = 0} ^ infty ]

com

[s_n = sum_ {i = 0} ^ n a_i. ]

Assim, $$ s_0 = a_0, quad s_1 = a_0 + a_1, quad s_2 = a_0 + a_1 + a_2, quad ldots $$ A série converge se a sequência de somas parciais convergir e, caso contrário, a série diverge.

Exemplo 11.2.1: Série Geométrica

Se (a_n = kx ^ n ), então

[ sum_ {n = 0} ^ infty a_n ]

é chamado de Séries geométricas. Uma soma parcial típica é

[s_n = k + kx + kx ^ 2 + kx ^ 3 + cdots + kx ^ n = k (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots + x ^ n). ]

Nós notamos que

[ eqalign {s_n (1-x) & = k (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots + x ^ n) (1-x) cr & = k (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots + x ^ n) 1-k (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots + x ^ {n-1} + x ^ n) x cr & = k (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots + x ^ nxx ^ 2-x ^ 3- cdots-x ^ nx ^ {n + 1}) cr & = k (1-x ^ {n + 1}) cr} ]

tão

[ eqalign {s_n (1-x) & = k (1-x ^ {n + 1}) cr s_n & = k {1-x ^ {n + 1} over 1-x}. cr} ]

Se (| x | <1 ), ( lim_ {n to infty} x ^ n = 0 ) então

[ lim_ {n a infty} s_n = lim_ {n a infty} k {1-x ^ {n + 1} over 1-x} = k {1 over 1-x}. ]

Assim, quando (| x | <1 ) a série geométrica converge para (k / (1-x) ). Quando, por exemplo, (k = 1 ) e (x = 1/2 ):

[s_n = {1- (1/2) ^ {n + 1} over 1-1 / 2} = {2 ^ {n + 1} -1 over 2 ^ n} = 2- {1 over 2 ^ n} quad hbox {e} quad sum_ {n = 0} ^ infty {1 over 2 ^ n} = {1 over 1-1 / 2} = 2. ]

Começamos o capítulo com a série ( sum_ {n = 1} ^ infty {1 over 2 ^ n}, ) ou seja, a série geométrica sem o primeiro termo (1 ). Cada soma parcial desta série é 1 menor que a soma parcial correspondente para a série geométrica, então é claro que o limite também é um menor que o valor da série geométrica, ou seja, [ sum_ {n = 1} ^ infty {1 over 2 ^ n} = 1. ]

Não é difícil ver que o seguinte teorema segue do teorema 11.1.2.

Teorema 11.2.2

Suponha que ( sum a_n ) e ( sum b_n ) sejam séries convergentes e (c ) seja uma constante. Então

  1. ( sum ca_n ) é convergente e ( sum ca_n = c sum a_n )
  2. ( sum (a_n + b_n) ) é convergente e ( sum (a_n + b_n) = sum a_n + sum b_n ).

As duas partes deste teorema são sutilmente diferentes. Suponha que ( sum a_n ) diverge; ( sum ca_n ) também diverge se (c ) for diferente de zero? Sim: suponha, em vez disso, que ( sum ca_n ) converge; então, pelo teorema, ( sum (1 / c) ca_n ) converge, mas isso é o mesmo que ( sum a_n ), que por suposição diverge. Portanto, ( sum ca_n ) também diverge. Observe que estamos aplicando o teorema com (a_n ) substituído por (ca_n ) e (c ) substituído por ((1 / c) ).

Agora suponha que ( sum a_n ) e ( sum b_n ) divergem; ( sum (a_n + b_n) ) também diverge? Agora a resposta é não: Vamos (a_n = 1 ) e (b_n = -1 ), então certamente ( sum a_n ) e ( sum b_n ) divergem. Mas

[ soma (a_n + b_n) = soma (1 + -1) = soma 0 = 0. ]

Claro, às vezes ( sum (a_n + b_n) ) também irá divergir, por exemplo, se (a_n = b_n = 1 ), então $$ sum (a_n + b_n) = sum (1 + 1 ) = sum 2 $$ diverge.

Em geral, a sequência de somas parciais (s_n ) é mais difícil de entender e analisar do que a sequência de termos (a_n ), e é difícil determinar se as séries convergem e, em caso afirmativo, para quê. Às vezes, as coisas são relativamente simples, começando com o seguinte.

Teorema 11.2.3

Se

[ sum a_n ]

converge então

[ lim_ {n a infty} a_n = 0. ]

Prova.

Uma vez que ( sum a_n ) converge, ( lim_ {n para infty} s_n = L ) e ( lim_ {n para infty} s_ {n-1} = L ), porque isso realmente diz a mesma coisa, mas "renumera" os termos. Por teorema 11.1.2,

[ lim_ {n to infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = lim_ {n to infty} s_ {n} - lim_ {n to infty} s_ { n-1} = LL = 0. ]

Mas

[s_ {n} -s_ {n-1} = (a_0 + a_1 + a_2 + cdots + a_n) - (a_0 + a_1 + a_2 + cdots + a_ {n-1}) = a_n, ]

assim como desejado ( lim_ {n a infty} a_n = 0 ).

Este teorema apresenta um teste de divergência fácil: se dada uma série ( sum a_n ) o limite ( lim_ {n to infty} a_n ) não existe ou tem um valor diferente de zero, a série diverge. Observe bem que o inverso é não verdadeiro: If ( lim_ {n to infty} a_n = 0 ) então a série não necessariamente converge.

Exemplo 11.2.4

Mostra isso

[ sum_ {n = 1} ^ infty {n sobre n + 1} ]

diverge.

Solução

Calculamos o limite: $$ lim _ {n to infty} {n over n + 1} = 1 not = 0. $$ Olhando para os primeiros termos talvez fique claro que a série não tem chance de convergência:

[{1 over2} + {2 over3} + {3 over4} + {4 over5} + cdots ]

vai ficar cada vez maior; de fato, depois de um pouco mais, a série começa a se parecer muito com ( cdots + 1 + 1 + 1 + 1 + cdots ) ​​e, claro, se somarmos 1s suficientes, podemos fazer a soma tão grande quanto desejo.

Exemplo 11.2.5: Série Harmônica

Mostra isso

[ sum_ {n = 1} ^ infty {1 sobre n} ]

diverge.

Solução

Aqui, o teorema não se aplica: ( lim _ {n to infty} 1 / n = 0 ), então parece que talvez a série converge. Na verdade, se você tiver a firmeza (ou o software) para somar os primeiros 1000 termos, você descobrirá que $$ sum_ {n = 1} ^ {1000} {1 over n} aproximadamente 7,49, $$ então pode ser razoável especular que a série converge para algo próximo a 10. Mas, na verdade, as somas parciais vão para o infinito; eles apenas crescem muito, muito lentamente. Considere o seguinte:

[1+ {1 over 2} + {1 over 3} + {1 over 4}> 1+ {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 4} = 1+ {1 over 2} + {1 over 2} ]

[1+ {1 over 2} + {1 over 3} + {1 over 4} + {1 over 5} + {1 over 6} + {1 over 7} + {1 over 8}> 1+ {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 4} + {1 over 8} + {1 over 8} + {1 over 8} + {1 mais de 8} = 1+ {1 over 2} + {1 over 2} + {1 over 2} ]

[1+ {1 over 2} + {1 over 3} + cdots + {1 over16}> 1+ {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 4} + { 1 over 8} + cdots + {1 over 8} + {1 over16} + cdots + {1 over16} = 1 + {1 over 2} + {1 over 2} + {1 over 2} + {1 sobre 2} ]

e assim por diante. Ao engolir mais e mais termos, podemos sempre conseguir adicionar pelo menos outro (1/2 ) à soma e, adicionando o suficiente, podemos tornar as somas parciais tão grandes quanto quisermos. Na verdade, não é difícil ver a partir desse padrão que

[1+ {1 over 2} + {1 over 3} + cdots + {1 over 2 ^ n}> 1+ {n over 2}, ]

então, para ter certeza de que a soma é superior a 100, por exemplo, adicionaríamos os termos até chegarmos a cerca de (1/2 ^ {198} ), ou seja, cerca de (4 cdot 10 ^ {59} ) termos. Esta série, ( sum (1 / n) ), é chamada de série harmônica.


11.2 Série e convergência (# 1)

Introdução: Nesta lição, aprenderemos a encontrar a soma de um número infinito de coisas. Começaremos definindo uma soma infinita como limite de uma seqüência de somas parciais. Aprenderemos então como determinar se uma sequência converge ou diverge. Também aprenderemos como encontrar a soma de uma série geométrica e uma série telescópica.

Objetivos. Após esta lição, você deve ser capaz de:

  • Compreenda a definição de uma série infinita convergente.
  • Determine se uma série geométrica converge ou diverge e se ela converge encontre sua soma.
  • Use o teste de divergência para determinar se uma série diverge.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (11-2-Series-and-Convergence-1) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a Seção 11.2 do seu livro e resolver os problemas nas anotações por conta própria, com a prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Vá para WebAssign e conclua a atribuição & # 822011.2 Series and Convergence & # 8221. Existe apenas uma tarefa para ambas as partes desta lição.

Problemas de prática: # 1, 3, 15, 21, 23, 25, 27, 29, 33, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 51, 57, 59


11.2 Série e convergência (# 2)

Introdução: Nesta lição, aprenderemos a encontrar a soma de um número infinito de coisas. Começaremos definindo uma soma infinita como limite de uma seqüência de somas parciais. Aprenderemos então como determinar se uma sequência converge ou diverge. Também aprenderemos como encontrar a soma de uma série geométrica e uma série telescópica.

Objetivos. Após esta lição, você deve ser capaz de:

  • Compreenda a definição de uma série infinita convergente.
  • Determine se uma série geométrica converge ou diverge e se ela converge encontre sua soma.
  • Use o enésimo termo para testar a divergência de uma série infinita.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (11-2-Series-and-Convergence-2) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a Seção 11.2 do seu livro e resolver os problemas nas anotações por conta própria, com a prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Acesse WebAssign e conclua a atribuição & # 822011.2 Series and Convergence & # 8221. Existe apenas uma tarefa para ambas as partes desta lição.


11.2: Série - Matemática

Nesta seção, daremos uma breve olhada em três séries especiais. Na verdade, especial pode não ser o termo correto. Todos os três foram nomeados, o que os torna especiais de alguma forma, no entanto, o principal motivo de vermos dois deles nesta seção é que eles são os únicos tipos de série que veremos e que será capaz de obter valores reais para a série. O terceiro tipo é divergente e, portanto, não terá um valor com o qual se preocupar.

Em geral, determinar o valor de uma série é muito difícil e fora desses dois tipos de série que veremos nesta seção, não determinaremos o valor de uma série neste capítulo.

Séries geométricas

Uma série geométrica é qualquer série que pode ser escrita na forma,

ou, com uma mudança de índice, a série geométrica muitas vezes será escrita como,

Estas são séries idênticas e terão valores idênticos, desde que convirjam, é claro.

Se começarmos com a primeira forma, pode-se mostrar que as somas parciais são,

As séries irão convergir desde que as somas parciais formem uma sequência convergente, então vamos pegar o limite das somas parciais.

Agora, a partir do Teorema 3 da seção Sequências, sabemos que o limite acima existirá e será finito fornecido (- 1 & lt r le 1 ). No entanto, observe que não podemos deixar (r = 1 ), pois isso resultará na divisão por zero. Portanto, isso vai existir e ser finito fornecido (- 1 & lt r & lt 1 ) e, neste caso, o limite é zero e assim obtemos,

Portanto, uma série geométrica convergirá se (- 1 & lt r & lt 1 ), que geralmente é escrito ( left | r right | & lt 1 ), seu valor é,

Observe que, ao usar esta fórmula, precisamos ter certeza de que estamos na forma correta. Em outras palavras, se a série começa em (n = 0 ), então o expoente em (r ) deve ser (n ). Da mesma forma, se a série começa em (n = 1 ), então o expoente em (r ) deve ser (n - 1 ).

Esta série não se parece realmente com uma série geométrica. No entanto, observe que ambas as partes do termo da série são números elevados a uma potência. Isso significa que pode ser colocado na forma de uma série geométrica. Precisamos apenas decidir qual formulário é o correto. Como a série começa em (n = 1 ), queremos que os expoentes dos números sejam (n - 1 ).

Será bastante fácil colocar isso da forma correta. Vamos primeiro reescrever as coisas um pouco. Um dos (n ) 's no expoente tem um negativo na frente dele e que não pode estar lá na forma geométrica. Então, vamos primeiro nos livrar disso.

Agora vamos obter o expoente correto em cada um dos números. Isso pode ser feito usando propriedades expoentes simples.

Agora, reescreva um pouco o termo.

Portanto, esta é uma série geométrica com (a = 144 ) e (r = frac <4> <9> & lt 1 ). Portanto, uma vez que ( left | r right | & lt 1 ) sabemos que a série irá convergir e seu valor será,

Novamente, isso não parece uma série geométrica, mas pode ser colocado na forma correta. Neste caso, a série começa em (n = 0 ), então precisamos que os expoentes estejam (n ) nos termos. Observe que isso significa que precisaremos reescrever um pouco o expoente no numerador

Então, colocamos na forma correta e podemos ver que (a = 5 ) e (r = - frac <<64>> <5> ). Observe também que ( left | r right | ge 1 ) e, portanto, esta série diverge.

De volta à série - a seção Básica, falamos sobre retirar os termos de uma série, mas não fornecemos nenhum exemplo de como essa ideia poderia ser usada na prática. Agora podemos fazer alguns exemplos.

Neste caso, poderíamos apenas reconhecer que esta é uma série geométrica que começa em (n = 0 ) e assim poderíamos colocá-la na forma correta e terminar com ela. No entanto, isso nos fornece um bom exemplo de como usar a ideia de retirar termos a nosso favor.

Vamos notar que, se retirarmos o primeiro termo desta série, chegaremos a

A partir do exemplo anterior, sabemos o valor da nova série que surge aqui e, portanto, o valor da série neste exemplo é,

Nesse caso, não podemos retirar os termos da série fornecida para chegar à série usada no exemplo anterior. No entanto, podemos começar com a série usada no exemplo anterior e retirar os termos dela para obter a série neste exemplo. Então, vamos fazer isso. Removeremos os primeiros dois termos da série que vimos no exemplo anterior.

Agora podemos usar o valor da série do exemplo anterior para obter o valor desta série.

Observe que não discutimos a convergência de qualquer uma das séries no exemplo acima. Aqui está o porquê. Considere a seguinte série escrita de duas maneiras diferentes (ou seja, retiramos alguns termos dele).

Suponhamos que saibamos ( sum limits_^ infty <> ) é uma série convergente. Isso significa que tem um valor finito e adicionar três termos finitos a isso não mudará esse fato. Portanto, o valor de ( sum limits_^ infty <> ) também é finito e, portanto, convergente.

Da mesma forma, suponha que ( sum limits_^ infty <> ) é convergente. Neste caso, se subtrairmos três valores finitos deste valor, permaneceremos finitos e chegaremos ao valor de ( sum limits_^ infty <> ). Este agora é um valor finito e, portanto, esta série também será convergente.

Em outras palavras, se temos duas séries e elas diferem apenas pela presença, ou ausência, de um número finito de termos finitos, elas serão convergentes ou divergentes. A diferença de alguns termos de uma forma ou de outra não mudará a convergência de uma série. Esta é uma ideia importante e vamos usá-la várias vezes nas seções a seguir para simplificar alguns dos testes que veremos.

Série Telescópica

Agora é hora de olhar para a segunda das três séries nesta seção. Nesta parte, veremos uma série chamada série telescópica. O nome, neste caso, vem do que acontece com as somas parciais e é melhor mostrado em um exemplo.

Precisamos primeiro das somas parciais para esta série.

Agora, vamos notar que podemos usar frações parciais no termo da série para obter,

Deixaremos os detalhes das frações parciais para você. A esta altura, você já deve estar bastante adepto disso, já que passamos um bom tempo fazendo frações parciais no capítulo Técnicas de integração. Se precisar de uma atualização, você deve voltar e revisar essa seção.

Então, o que isso faz por nós? Bem, vamos começar a escrever os termos da soma parcial geral para esta série usando a forma de fração parcial.

Observe que todos os termos, exceto o primeiro e o último termo, foram cancelados. Esta é a origem do nome série telescópica.

Isso também significa que podemos determinar a convergência dessa série tomando o limite das somas parciais.

A sequência de somas parciais é convergente e, portanto, a série é convergente e tem um valor de

Em séries telescópicas, tome cuidado para não presumir que termos sucessivos serão aqueles que se cancelarão. Considere o seguinte exemplo.

Como no último exemplo, deixaremos os detalhes das frações parciais para você verificar. As somas parciais são,

Nesse caso, em vez de termos sucessivos, o cancelamento de um termo será cancelado com um termo que está mais abaixo na lista. O resultado final desta vez são dois termos iniciais e dois termos finais sobrando. Observe também que, para ajudar um pouco com o trabalho, fatoramos o ( frac <1> <2> ) da série.

O limite das somas parciais é,

Portanto, esta série é convergente (porque as somas parciais formam uma sequência convergente) e seu valor é,

Observe que nem sempre é óbvio se uma série está se encurtando ou não, até que você tente obter as somas parciais e, em seguida, veja se elas estão de fato se encurtando. Não há nenhum teste que nos diga que temos uma série de telescópios de cara. Observe também que só porque você pode fazer frações parciais em um termo de série, não significa que a série será uma série telescópica. A série a seguir, por exemplo, não é uma série telescópica, embora possamos fracionar parcialmente os termos da série.

Para que uma série seja uma série telescópica, devemos obter os termos para cancelar e todos esses termos são positivos e, portanto, nenhum será cancelado.

Em seguida, precisamos voltar e resolver um problema que foi levantado pela primeira vez na seção anterior. Nessa seção afirmamos que a soma ou diferença das séries convergentes também era convergente e que a presença de uma constante multiplicativa não afetaria a convergência de uma série. Agora que temos mais algumas séries em mãos, vamos trabalhar um exemplo rápido para mostrar isso.

Para obter o valor desta série, tudo o que precisamos fazer é reescrevê-la e usar os resultados anteriores.

Não discutimos a convergência desta série porque era a soma de duas séries convergentes e isso garantia que a série original também seria convergente.

Série Harmônica

Esta é a terceira e última série que veremos nesta seção. Aqui está a série harmônica.

Você pode ler um pouco sobre por que é chamada de série harmônica (tem a ver com música) na página da Wikipedia sobre a série harmônica.

A série harmônica é divergente e vamos precisar esperar até a próxima seção para mostrar isso. Esta série está aqui porque tem um nome e por isso queríamos colocá-la aqui com as outras duas séries nomeadas que vimos nesta seção. Também usaremos a série harmônica para ilustrar algumas ideias sobre séries divergentes que já discutimos para séries convergentes. Faremos isso com o exemplo a seguir.

Para ver que esta série é divergente, tudo o que precisamos fazer é usar o fato de que podemos fatorar uma constante de uma série da seguinte maneira,

Agora, ( sum limits_^ infty < frac <1>> ) é divergente e, portanto, cinco vezes, ainda não será um número finito e, portanto, a série tem que ser divergente. Em outras palavras, se multiplicarmos uma série divergente por uma constante, ela ainda será divergente.

Neste caso, vamos começar com a série harmônica e retirar os três primeiros termos.

Nesse caso, estamos subtraindo um número finito de uma série divergente. Esta subtração não mudará a divergência da série. Teremos infinito menos um número finito, que ainda é infinito, ou uma série sem valor menos um número finito, que ainda não terá valor.

Portanto, esta série é divergente.

Assim como nas séries convergentes, adicionar / subtrair um número finito de uma série divergente não vai mudar a divergência da série.

Portanto, algumas regras gerais sobre a convergência / divergência de uma série estão agora em ordem. Multiplicar uma série por uma constante não mudará a convergência / divergência da série e adicionar ou subtrair uma constante de uma série não mudará a convergência / divergência da série. Essas são boas ideias para se manter em mente.


67 comentários

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Da mesma forma, 22 (quadrado), 23 (quadrado), 24 (quadrado) e, finalmente, 25 (quadrado) 25 x 25 = 625 ans.

se as perguntas forem assim significa então é k se suponha que a pergunta seja como 0 2 6 12 20 30 então não é uma série de sruares ou cubos perfeitos então se eles r quadrados ou cubos perfeitos então é k se o que é como isso é como resolvê-los e me diga truques para resolver este tipo de questões

Sr. Rupesh,
À primeira vista, pode-se dizer que não se trata de cubos r de séries quadradas perfeitas.
verifique a diferença entre o número do predecessor e do sucessor, é uma série de números pares crescentes.

Qualquer que seja a série numérica, o atalho seria aplicado somente após a análise da diferença.

Por favor, corrija se eu estiver errado ..

Senhor, por favor, envie-me todos aqueles truques de atalho para o meu ID de e-mail
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11.2: Série - Matemática

Geralmente é muito difícil, muitas vezes impossível, determinar o valor de uma série com exatidão. Em muitos casos, é possível, pelo menos, determinar se a série converge ou não, e assim gastaremos a maior parte do nosso tempo neste problema.

Se todos os termos $ ds a_n $ em uma série forem não negativos, então claramente a seqüência de somas parciais $ ds s_n $ não é decrescente. Isso significa que se pudermos mostrar que a sequência de somas parciais é limitada, a série deve convergir. Sabemos que se a série convergir, os termos $ ds a_n $ se aproximam de zero, mas isso não significa que $ ds a_n ge a_$ para cada $ n $. Muitas séries úteis e interessantes têm essa propriedade, entretanto, e estão entre as mais fáceis de entender. Vejamos um exemplo.

Exemplo 11.3.1 Mostre que $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2> $ converge.

Os termos $ ds 1 / n ^ 2 $ são positivos e decrescentes, e uma vez que $ ds lim_ 1 / x ^ 2 = 0 $, os termos $ ds 1 / n ^ 2 $ se aproximam de zero. Procuramos um limite superior para todas as somas parciais, ou seja, queremos encontrar um número $ N $ de forma que $ s_n le N $ para cada $ n $. O limite superior é fornecido como cortesia da integração e é inerente à figura 11.3.1.

A figura mostra o gráfico de $ ds y = 1 / x ^ 2 $ junto com alguns retângulos que estão completamente abaixo da curva e que todos têm comprimento de base um. Como as alturas dos retângulos são determinadas pela altura da curva, as áreas dos retângulos são $ ds 1/1 ^ 2 $, $ ds 1/2 ^ 2 $, $ ds 1/3 ^ 2 $ e assim por diante & mdashin outras palavras, exatamente os termos da série. A soma parcial $ ds s_n $ é simplesmente a soma das áreas dos primeiros $ n $ retângulos. Como todos os retângulos estão entre a curva e o eixo $ x $, qualquer soma das áreas do retângulo é menor que a área correspondente sob a curva e, portanto, é claro que qualquer soma das áreas do retângulo é menor do que a área sob a curva inteira, isto é, até o infinito. Há um pouco de dificuldade na extremidade esquerda, onde há uma assíntota, mas podemos contornar isso facilmente. Aqui está: $ s_n = <1 over 1 ^ 2> + <1 over 2 ^ 2> + <1 over 3 ^ 2> + cdots + <1 over n ^ 2> Exemplo 11.3.2 Considere um versão ligeiramente alterada da figura 11.3.1, mostrada na figura 11.3.2.

Os retângulos desta vez estão acima da curva, ou seja, cada retângulo contém completamente a área correspondente sob a curva. Isso significa que $ s_n = <1 over 1> + <1 over 2> + <1 over 3> + cdots + <1 over n >> int_1 ^ <1 over x> , dx = ln x Big | _1 ^= ln (n + 1). $ À medida que $ n $ fica maior, $ ln (n + 1) $ vai para o infinito, então a sequência de somas parciais $ ds s_n $ também deve ir para o infinito, então o harmônico série diverge.

O fato importante que confirma este exemplo é que $ lim_ int_1 ^ <1 over x> , dx = infty, $ que podemos reescrever como $ int_1 ^ infty <1 over x> , dx = infty. $ Portanto, esses dois exemplos juntos indicam que podemos provar que uma série converge ou prova que ela diverge com um único cálculo de uma integral imprópria. Isso é conhecido como teste integral, que declaramos como um teorema.

Teorema 11.3.3 Suponha que $ f (x)> 0 $ e está diminuindo no intervalo infinito $ [k, infty) $ (para algum $ k ge1 $) e que $ ds a_n = f (n) $ . Então a série $ ds sum_^ infty a_n $ converge se e somente se o integral impróprio $ ds int_ <1> ^ infty f (x) , dx $ converge.

Os dois exemplos que vimos são chamados de $ p $ -série a $ p $ -série é qualquer série da forma $ ds sum 1 / n ^ p $. Se $ p le0 $, $ ds lim_ 1 / n ^ p not = 0 $, então a série diverge. Para valores positivos de $ p $, podemos determinar precisamente quais séries convergem.

Teorema 11.3.4 A $ p $ -série com $ p> 0 $ converge se e somente se $ p> 1 $.

Prova.
Usamos o teste integral que já fizemos $ p = 1 $, então suponha que $ p not = 1 $. $ int_1 ^ < infty> <1 over x ^ p> , dx = lim_ deixou. over 1-p> right | _ <1> ^ D = lim_ over 1-p> - <1 over 1-p>. $ Se $ p> 1 $ então $ 1-p 0 $ e $ ds lim_D ^ <1-p> = infty $, então a integral diverge.

Exemplo 11.3.5 Mostre que $ ds sum_^ infty <1 over > $ converges.

Naturalmente, poderíamos usar o teste integral, mas agora que temos o teorema, podemos simplesmente observar que se trata de uma série $ p $ com $ p> 1 $.

Exemplo 11.3.6 Mostre que $ ds sum_^ infty <5 over n ^ 4> $ converge.

Sabemos que se $ ds sum_^ infty 1 / n ^ 4 $ converge então $ ds sum_^ infty 5 / n ^ 4 $ também converge, pelo teorema 11.2.2. Desde $ ds sum_^ infty 1 / n ^ 4 $ é uma série convergente $ p $, $ ds sum_^ infty 5 / n ^ 4 $ converge também.

Exemplo 11.3.7 Mostre que $ ds sum_^ infty <5 over sqrt> $ diverges.

Isso também segue do teorema 11.2.2: Uma vez que $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ é uma série $ p $ com $ p = 1/2 Exemplo 11.3.8 $ ds sum aproximado 1 / n ^ 2 $ com duas casas decimais.

Referindo-se à figura 11.3.1, se aproximamos a soma de $ ds sum_^ N 1 / n ^ 2 $, o erro que cometemos é a área total dos retângulos restantes, todos os quais estão sob a curva $ ds 1 / x ^ 2 $ de $ x = N $ até o infinito. Portanto, sabemos que o valor verdadeiro da série é maior do que a aproximação e não maior do que a aproximação mais a área sob a curva de $ N $ até o infinito. Aproximadamente, então, precisamos encontrar $ N $ para que $ int_N ^ infty <1 over x ^ 2> , dx <1 / 100. $ Podemos calcular a integral: $ int_N ^ infty <1 over x ^ 2> , dx = <1 over N>, $ então $ N = 100 $ é um bom ponto de partida. Somando os primeiros 100 termos dá aproximadamente $ 1,634983900 $, e mais $ 1/100 $ é $ 1,644983900 $, portanto, aproximar a série pelo valor a meio caminho entre estes terá no máximo $ 1/200 = 0,005 $ de erro. O ponto médio é $ 1,639983900 $, mas embora esteja correto para $ pm0,005 $, não podemos dizer se a aproximação de duas decimais correta é $ 1,63 $ ou $ 1,64 $. Precisamos tornar $ N $ grande o suficiente para reduzir o erro garantido, talvez para cerca de 0,004 $ para estarmos seguros, então precisaríamos de $ 1 / N aproximadamente 0,008 $, ou $ N = 125 $. Agora, a soma dos primeiros 125 termos é de aproximadamente $ 1,636965982 $, e mais 0,008 $ é $ 1,644965982 $ e o ponto intermediário entre eles é $ 1,640965982 $. O valor verdadeiro é $ 1,640965982 pm 0,004 $ e todos os números neste intervalo são arredondados para $ 1,64 $, portanto $ 1,64 $ está correto para duas casas decimais. Mencionamos que o verdadeiro valor desta série pode ser mostrado como $ ds pi ^ 2/6 approx1.644934068 $, que é arredondado para $ 1,64 $ (apenas um pouco) e está realmente abaixo do limite superior de $ 1,644965982 $, novamente apenas um pouco. Frequentemente, as aproximações serão ainda melhores do que a precisão "garantida", mas nem sempre, como este exemplo demonstra.


A série de círculos mágicos de Yang Hui foi publicada em sua Xugu Zhaiqi Suanfa《續 古 摘 奇 算法》 (Sequela de Trechos de Maravilhas Matemáticas) de 1275. Sua série de círculos mágicos inclui: 5 círculos mágicos em quadrados, 6 círculos em anéis, 8 círculos mágicos em círculos concêntricos mágicos quadrados, 9 círculos mágicos em quadrados.

Círculo concêntrico mágico de Yang Hui Editar

O círculo concêntrico mágico de Yang Hui tem as seguintes propriedades

  • A soma dos números em quatro diâmetros = 147,
    • 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
    • 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147

    Yang Hui mágico oito círculos em um quadrado Editar

    64 números dispostos em círculos de oito números, soma total 2080, soma horizontal / vertical = 260.

    Do canto NW no sentido horário, a soma dos círculos de 8 números são:

    40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260 14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260 45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260 37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260 47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260 7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260 38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260 48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260

    Também a soma dos oito números ao longo do eixo WE / NS

    14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260 49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260

    Além disso, a soma dos 16 números ao longo das duas diagonais é igual a 2 vezes 260:

    40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 × 260 = 520

    Yang Hui Magic Nove círculos em um quadrado Editar

    72 números de 1 a 72, dispostos em nove círculos de oito números em um quadrado com os números vizinhos formando quatro círculos adicionais de oito números: perfazendo assim um total de 13 círculos de oito números:

    NO N NE
    x1 x2
    C C E
    x3 x4
    SW S SE

    O círculo extra x1 contém números dos círculos NW, N, C e W x2 contém números de N, NE, E e C x3 contém números de W, C, S e SW x4 contém números de C, E, SE e S.

    • Soma total de 72 números = 2628
    • soma dos números em qualquer círculo de oito números = 292
    • somas de três círculos ao longo de linhas horizontais = 876
    • soma de três círculos ao longo de linhas verticais = 876
    • soma de três círculos ao longo das diagonais = 876.

    Ding Yidong foi um matemático contemporâneo de Yang Hui. Em seu círculo mágico com 6 anéis, os números da unidade dos 5 anéis externos, combinados com o número da unidade do anel central, formam o seguinte quadrado mágico:

    Seja o grupo radial 1 = 1,11,21,31,41 Seja o grupo radial 2 = 2,12,22,32,42 Seja o grupo radial 3 = 3,13,23,33,43 Seja o grupo radial 4 = 4,14 , 24,34,44 Let grupo radial 6 = 6,16,26,36,46 Let grupo radial 7 = 7,17,27,37,47 Let grupo radial 8 = 8,18,28,38,48 Let radial grupo 9 = 9,19,29,39,49 Let center group = 5,15,25,35,45

    Organize o grupo 1,2,3,4,6,7,9 radialmente de modo que

    • cada número ocupa uma posição no círculo
    • alternate the direction such that one radial has smallest number at the outside, the adjacent radial has largest number outside.
    • Each group occupies the radial position corresponding to the number on the Luoshu magic square, i.e., group 1 at 1 position, group 2 at 2 position etc.
    • Finally arrange center group at the center circle, such that

    Cheng Dawei, a mathematician in the Ming dynasty, in his book Suanfa Tongzong listed several magic circles


    Telangana State Board Class 9 Math Chapter-wise Solution:

    Chapter 1 Real Numbers

    Chapter 2 Polynomials and Factorisation

    Chapter 3 The Elements of Geometry

    Chapter 4 Lines and Angles

    Chapter 5 Co-Ordinate Geometry

    Chapter 6 Linear Equations in Two variables

    Exercise 6.3 Solution

    Chapter 7 Triangles

    Chapter 8 Quadrilaterals

    Chapter 9 Statistics

    Chapter 10 Surface areas and Volumes

    Chapter 11 Areas

    Chapter 12 Circles

    Chapter 13 Geometrical Constructions

    Chapter 14 Probability

    Chapter 15 Proofs in Mathematics

    Telanagana State Board Class 9 Mathematics Textbook Solution Chapter-wise Telanagana SCERT Class IX Math Solution.


    Siberian Federal University

    The journal is indexing by the “Scopus” (since 2018 - 3 quartile), it is included in Emerging Sources Citation Index (ESCI — Web of Science Core Collection) and “Russian Science Citation Index”, presented on the platform “Web of Science”.

    Alexandr M. Kytmanov — editor-in-chief of the “Mathematics and Physics” series, the Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Institute of Mathematics of Siberian Federal University.

    The series “Mathematics and Physics” was founded during the first months after Siberian Federal University (SibFU) establishment. The main goals of the series are the development of fundamental research in the field of mathematics and physics at SibFU, providing an international research priority of the works by our professors, post-graduate and PhD students as well as the integration of “SibFU Journal” into the international information space. For the achievement of these goals it was necessary to ensure the high level of the scientific articles, accepted for the publication. It is reached at present by thorough peer-reviewing of the articles by a number of leading experts in sciences.

    The Journal has the system of on-line submission and reviewing of the articles which complies the experience of the leading international journals. The Journal provides free access to all published articles: All-Russian Mathematical Portal, the SibFU digital repository and the site of the Journal. We want to convey the content of the periodical to the broadest possible audience of scientists.

    Another important feature is that the Journal is bilingual: the authors have got the possibility to publish their papers in English or Russian (according to their desire). The Russian-language authors presenting their articles in English are provided with the possibility of articles’ proof-reading. For the final submission the authors can use the proposed English and Russian templates.

    I strongly believe that “SibFU Journal” and its “Mathematics and Physics” series will occupy an important place among other journals in the international information space.


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