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2: Mais sobre funções - matemática


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  • Encontre o domínio e a gama de funções
  • Gráfico sete funções básicas
  • Avalie funções definidas por partes
  • Use transformações para esboçar gráficos de funções
  • Faça o gráfico de funções quadráticas usando propriedades
  • Funções polinomiais de gráfico usando comportamento final
  • Identificar assíntotas e esboçar gráficos de funções racionais
  • 2.1: Relações e funções
    • 2.1E: Exercícios - Relações e Funções
  • 2.2: Representando graficamente as funções básicas
    Nesta seção, representamos graficamente sete funções básicas que serão usadas ao longo deste curso. Cada função é representada graficamente por pontos de plotagem.
    • 2.2E: Exercícios - Representando graficamente as funções básicas
  • 2.3: Usando transformações para funções de gráfico
    • 2.3E: Exercícios - Usando Transformações para Funções de Gráfico
  • 2.4: Gráficos de funções quadráticas usando propriedades
    • 2.4E: Exercícios - Representando Gráficos de Funções Quadráticas Usando Propriedades
  • 2.5: Funções Polinomiais
    A raiz da palavra “poli” significa “muitos”, como em polígono (muitos lados) ou poliglota (falando muitos idiomas - multilíngue). Em álgebra, a palavra polinomial significa "muitos termos", onde a frase "muitos termos" pode ser interpretada como significando de um a um número arbitrário, mas finito, de termos. Consequentemente, um monômio pode ser considerado um polinômio, assim como binômios e trinômios. Em nosso trabalho, nos concentraremos em sua maior parte nos polinômios de uma única variável.
    • 2.5E: Exercícios - Funções Polinomiais
  • 2.6: Funções Racionais
    Nesta seção, nosso estudo nos levará às funções racionais. Observe a palavra raiz "proporção" no termo "racional". Isso o lembra da palavra “fração”? Deveria, visto que funções racionais são funções em uma forma fracionária muito específica.
    • 2.6E: Exercícios - Funções Racionais
    • 1.1: Revisão do Capítulo 2

Funções Utilitárias

Faça um tour pela matemática usada para modelar o caos dos mercados financeiros.

Relevante para.

UMA função útil é uma representação para definir preferências individuais por bens ou serviços além do valor monetário explícito desses bens ou serviços. Em outras palavras, é um cálculo de quanto alguém deseja algo, e é relativo. Por exemplo, se alguém prefere chocolate amargo a chocolate ao leite, diz-se que obtém mais utilidade do chocolate amargo. Uma função de utilidade desta relação poderia ser algo como U (C) = log ⁡ (C d) + 1 2 log ⁡ (C m), U (C) = log (C_d) + frac <1> <2> log (C_m), U (C) = lo g (C d) + 2 1 lo g (C m), onde U (C) U (C) U (C) é a utilidade de comer escuro ( Cd) (C_d) (Cd) e chocolates de leite (Cm) (C_m) (Cm). Neste exemplo, um consumidor obtém metade da utilidade do chocolate ao leite do que do escuro.

Os economistas usam funções de utilidade para explicar o comportamento humano, particularmente em diferentes estados, ou onde há probabilidade de ocorrer algum estado. Alguém pode querer ir a um café para se sentar ao ar livre e beber um expresso, mas a utilidade que vai tirar disso depende do estado do tempo: se vai se sentar na chuva ou no sol, se vai estar quente ou congelamento do lado de fora, etc. E um cálculo de utilidade pode depender não apenas se algum estado ocorre, mas do probabilidade considerada ocorre um desses estados: a utilidade que um bebedor de café expresso muda quando considera que pode chover (independentemente de chover ou não).

Esse conceito ajuda a explicar (e provar matematicamente) uma série de construções sociais, como seguro, preços diferentes para bens semelhantes ou o agrupamento de serviços. Data de 18 18 ^ text 1 Filosofias do utilitarismo do século VIII, lideradas por filósofos como John Stuart Mill e Jeremy Bentham, mas é usado hoje como um conceito-chave na teoria dos jogos, equilíbrio de Nash e teoria da escolha racional.

Conteúdo


2: Mais sobre funções - Matemática

O problema de determinar o máximo ou mínimo de função é encontrado na geometria, mecânica, física e outros campos, e foi um dos fatores motivadores no desenvolvimento do cálculo no século XVII.

Vamos relembrar o procedimento para o caso de uma função de uma variável y = f (x). Primeiro, determinamos os pontos x_c onde f '(x) = 0. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Em pontos críticos, a linha tangente é horizontal. Isso é mostrado na figura abaixo.

O teste da segunda derivada é empregado para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo ou um mínimo relativo. Se f '' (x_c) & gt0, então x_c é um mínimo relativo. Se f '' (x_c) & lt0, então x_c é um máximo. Se f '' (x_c) = 0, então o teste não fornece nenhuma informação.

As noções de pontos críticos e o teste da segunda derivada são transferidos para funções de duas variáveis. Seja z = f (x, y). Os pontos críticos são pontos no plano xy onde o plano tangente é horizontal.

Uma vez que o vetor normal do plano tangente em (x, y) é dado por

O plano tangente é horizontal se seu vetor normal apontar na direção z. Portanto, os pontos críticos são soluções das equações:

porque os planos horizontais têm vetor normal paralelo ao eixo z. As duas equações acima devem ser resolvidas simultaneamente.

Vamos encontrar os pontos críticos de

As derivadas parciais são

f_x = 0 se 1-x ^ 2 = 0 ou o termo exponencial for 0. f_y = 0 se -2y = 0 ou o termo exponencial for 0. O termo exponencial não é 0, exceto no caso degenerado. Portanto, exigimos 1-x ^ 2 = 0 e -2y = 0, implicando em x = 1 ou x = -1 e y = 0. Existem dois pontos críticos (-1,0) e (1,0).

O segundo teste derivado para funções de duas variáveis

Como podemos determinar se os pontos críticos encontrados acima são máximos ou mínimos relativos? Aplicamos um teste de segunda derivada para funções de duas variáveis.

Seja (x_c, y_c) um ponto crítico e defina

Temos os seguintes casos:

  • Se D & gt0 e f_xx (x_c, y_c) & lt0, então f (x, y) tem um máximo relativo em (x_c, y_c).
  • Se D & gt0 e f_xx (x_c, y_c) & gt0, então f (x, y) tem um mínimo relativo em (x_c, y_c).
  • Se D & lt0, então f (x, y) tem um ponto de sela em (x_c, y_c).
  • Se D = 0, o teste da segunda derivada é inconclusivo.

Um exemplo de um ponto de sela é mostrado no exemplo abaixo.

Para o exemplo acima, temos

Para x = 1 ey = 0, temos D (1,0) = 4exp (4/3) & gt0 com f_xx (1,0) = - 2exp (2/3) & lt0. Portanto, (1,0) é um máximo relativo. Para x = -1 ey = 0, temos D (-1,0) = - 4exp (-4/3) & lt0. Portanto, (-1,0) é um ponto de sela.

A figura abaixo plota a superfície z = f (x, y).

Observe o máximo relativo em (x = 1, y = 0). (x = -1, y = 0) é um máximo relativo se se viaja na direção y e um mínimo relativo se se viaja na direção x. Perto (-1,0) a superfície parece uma sela, daí o nome.

Máximos e mínimos em uma região delimitada

  1. Extremos relativos no interior do quadrado.
  2. Extremos relativos no limite do quadrado.
  3. Pontos de canto.

Já executamos a etapa 1. Há extremos em (1,0) e (-1,0). O limite do quadrado consiste em 4 partes. Lado 1 é y = -2 e -2 & lt = x & lt = 2. Deste lado, temos

A função original de 2 variáveis ​​agora é uma função de x apenas. Definimos g '(x) = 0 para determinar os extremos relativos no lado 1. Pode ser mostrado que x = 1 e x = -1 são os extremos relativos. Como y = -2, os extremos relativos no Lado 1 estão em (1, -2) e (-1, -2).

Definimos h '(y) = 0 para determinar os extremos relativos. Pode-se mostrar que y = 0 é o único ponto crítico, correspondendo a (-2,0).

Jogamos o mesmo jogo para determinar os extremos relativos nos outros 2 lados. Pode-se mostrar que são (2,0), (1,2) e (-1,2).

Finalmente, devemos incluir os 4 cantos (-2, -2), (-2,2), (2, -2) e (2,2). Em resumo, os candidatos para máximo e mínimo globais são (-1,0), (1,0), (1, -2), (-1, -2), (-2,0), (2,0 ), (1,2), (-1,2), (-2, -2), (-2,2), (2, -2) e (2,2). Avaliamos f (x, y) em cada um desses pontos para determinar o máximo e o mínimo globais no quadrado. O máximo global ocorre (-2,0) e (1,0). Isso pode ser visto na figura acima. O mínimo global ocorre em 4 pontos: (-1,2), (-1, -2), (2,2) e (2, -2).

Outro exemplo de região limitada é o disco de raio 2 centrado na origem. Procedemos como no exemplo anterior, determinando nas 3 classes acima. (1,0) e (-1,0) estão no interior do disco.

O limite do disco é o círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 4. Para encontrar pontos extremos no disco, parametrizamos o círculo. Uma parametrização natural é x = 2cos (t) ey = 2sin (t) para 0 & lt = t & lt = 2 * pi. Substituímos essas expressões em z = f (x, y) e obtemos

No círculo, as funções originais de 2 variáveis ​​são reduzidas a uma função de 1 variável. Podemos determinar os extremos no círculo usando técnicas de cálculo de uma variável.

Neste problema não há cantos. Conseqüentemente, determinamos o máximo e mínimo globais considerando pontos no interior do disco e no círculo. Um método alternativo para encontrar o máximo e o mínimo no círculo é o método dos multiplicadores de Lagrange.

Máximos e mínimos para funções com mais de 2 variáveis

A noção de pontos extremos pode ser estendida para funções de mais de 2 variáveis. Suponha que z = f (x_1, x_2. X_n). (a_1, a_2. a_n) é o ponto extremo se satisfizer as n equações

Não existe um teste geral de segunda derivada para determinar se um ponto é um máximo ou mínimo relativo para funções de mais de duas variáveis.


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FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função exponencial f com base a é denotada por, onde, e x é qualquer número real. O valor da função será positivo porque uma base positiva elevada a qualquer potência é positiva. Isso significa que o gráfico da função exponencial estará localizado nos quadrantes I e II.

Por exemplo, se a base for 2 ex = 4, o valor da função f (4) será igual a 16. Um ponto correspondente no gráfico de seria (4, 16).

Para x & gt0, a & gt0, e, temos

Como x & gt 0, o gráfico da função acima estará nos quadrantes I e IV.

Comentários sobre funções logarítmicas

  • A equação exponencial pode ser escrita em termos de uma equação logarítmica como.
  • A equação exponencial pode ser escrita como a equação logarítmica.
  • Como os logaritmos nada mais são do que expoentes, você pode usar as regras dos expoentes com logaritmos.
  • As funções logarítmicas são o inverso das funções exponenciais. Por exemplo, se (4, 16) é um ponto no gráfico de uma função exponencial, então (16, 4) seria o ponto correspondente no gráfico da função logarítmica inversa.

Se você estiver interessado em revisar qualquer um dos tópicos a seguir, clique no item apropriado:


Decomposição de funções

A decomposição de funções é o inverso da composição de funções. Em vez de combinar duas funções para obter uma nova função, você está separando uma função combinada em seus componentes separados. Freqüentemente, há mais de uma maneira de decompor uma função, portanto, suas respostas podem ser diferentes dos livros.

Basicamente, você deseja examinar a função e procurar uma & quotfunção externa & quot e uma & quotfunção interna & quot. Outra coisa a procurar são os padrões repetidos e fazer com que a função interna. A função externa é resumida como & quot the big picture & quot e a função inside é & quot o que você está fazendo no big picture & quot.

Exemplos

Escreva cada função h como a composição de duas funções feg de modo que h (x) = (névoa) (x)

h (x) Fora
f (x)
Lado de dentro
g (x)
Notas
(1-x) 3 x 3 1-x A grande coisa que está acontecendo é cubar algo, então a função externa é uma função de cubar. 1-x é o que você está criando ao cubo, portanto, é a função interna.
sqrt (9-x) sqrt (x) 9-x O importante é obter a raiz quadrada (fora), 9-x é o que você está tirando da raiz quadrada (dentro)
4 / (5x 2 +2) 2 4 / x 2 5x 2 +2 Parece que 4 sobre algo ao quadrado
4 / x (5x 2 +2) 2 Uma alternativa, mas resposta correta.
(x + 2) 2 +2 (x + 2) +1 x 2 + 2x + 1 x + 2 x + 2 é repetido, então essa é uma boa escolha para a função interna. Substitua cada ocorrência do padrão por x para a função externa


Variáveis, funções e equações

Os economistas estão interessados ​​em examinar os tipos de relacionamento. Por exemplo, um economista pode olhar para a quantidade de dinheiro que uma pessoa ganha e a quantidade que ela decide gastar. Esta é uma relação ou função de consumo. Como outro exemplo, um economista pode observar a quantidade de dinheiro que uma empresa possui e a quantia que decide gastar em novos equipamentos. Esta é uma relação de investimento ou função de investimento.

Uma função tenta definir essas relações. Tenta dar ao relacionamento uma forma matemática. Uma equação é uma forma matemática de examinar a relação entre conceitos ou itens. Esses conceitos ou itens são representados pelas chamadas variáveis.

Uma variável representa um conceito ou um item cuja magnitude pode ser representada por um número, ou seja, medida quantitativamente. As variáveis ​​são chamadas de variáveis ​​porque variam, ou seja, podem ter uma variedade de valores. Assim, uma variável pode ser considerada como uma quantidade que assume uma variedade de valores em um problema particular. Muitos itens da economia podem assumir valores diferentes. A matemática geralmente usa letras do final do alfabeto para representar variáveis. A economia, entretanto, costuma usar a primeira letra do item, que varia para representar as variáveis. Assim, p é usado para o preço variável eq é usado para a quantidade variável.

Uma expressão como 4x 3 é uma variável. Ele pode assumir valores diferentes porque x pode assumir valores diferentes. Nesta expressão, x é a variável e 4 é o coeficiente de x. Coeficiente significa que 4 trabalha junto com x. Expressões como 4x 3, que consiste em um coeficiente vezes uma variável elevada a uma potência, são chamadas de monômios.

UMA monômio é uma expressão algébrica que pode ser um numeral, uma variável ou o produto de numerais e variáveis. (Monômio vem da palavra grega monos, que significa um.) Números reais, como 5, que não são multiplicados por uma variável, também são chamados de monômios. Monômios também podem ter mais de uma variável. 4x 3 y 2 é um exemplo. Nesta expressão, tanto x quanto y são variáveis ​​e 4 é seu coeficiente.

A seguir estão exemplos de monômios:

Um ou mais monômios podem ser combinados por adição ou subtração para formar o que é chamado polinômios. (Polinômio vem da palavra grega poli, que significa muitos.) Um polinômio tem dois ou mais termos, ou seja, dois ou mais monômios. Se houver apenas dois termos no polinômio, o polinômio é chamado de binomial.

A expressão 4x 3 y 2 - 2xy 2 +3 é um polinômio com três termos.

Esses termos são 4x 3 y 2, - 2xy 2 e 3. Os coeficientes dos termos são 4, -2 e 3.

O grau de um termo ou monômio é a soma dos expoentes das variáveis. O grau de um polinômio é o grau do termo de maior grau. No exemplo acima, os graus dos termos são 5, 3 e 0. O grau do polinômio é 5.

Lembre-se de que variáveis ​​são itens que podem assumir valores diferentes. Uma função tenta explicar uma variável em termos de outra.

Considere o exemplo acima, em que o valor que você escolhe gastar depende do seu salário. Aqui, existem duas variáveis: seu salário e o valor que você gasta.

Variáveis ​​independentes são aquelas que não dependem de outras variáveis. Variáveis ​​dependentes são aquelas que são alteradas pelas variáveis ​​independentes. A mudança é causada pela variável independente. Em nosso exemplo, o salário é a variável independente e o valor que você gasta é a variável dependente.

Para continuar com o mesmo exemplo, e se o valor que você decidir gastar depender não apenas do seu salário, mas também da receita que você recebe dos investimentos no mercado de ações. Agora, existem três variáveis: seu salário e sua receita de investimento são variáveis ​​independentes e o valor que você gasta é a variável dependente.

Definição: uma função é uma relação matemática na qual os valores de uma única variável dependente são determinados pelos valores de uma ou mais variáveis ​​independentes. Função significa que a variável dependente é determinada pelas variáveis ​​independentes.

Um objetivo da análise econômica é determinar as variáveis ​​independentes que explicam certas variáveis ​​dependentes. Por exemplo, o que explica as mudanças no emprego, nos gastos do consumidor, no investimento empresarial, etc.?

Funções com uma única variável independente são chamadas de funções univariadas. Existe uma correspondência um para um. Funções com mais de uma variável independente são chamadas de funções multivariadas.

A variável independente é freqüentemente designada por x. A variável dependente é freqüentemente designada por y.

Dizemos que y é uma função de x. Isso significa que y depende de ou é determinado por x.

Matematicamente, escrevemos y = f (x)

Isso significa que matematicamente y depende de x. Se sabemos o valor de x, podemos encontrar o valor de y.

Na pronúncia, dizemos "y é f de x." Isso não significa que y seja o produto de duas quantidades separadas, f e x, mas sim que f é usado para indicar a ideia de uma função. Em outras palavras, o parêntese não significa que f é multiplicado por x.

Não é necessário usar a letra f. Por exemplo, poderíamos dizer
y = g (x) que também significa que y é uma função de x ou poderíamos dizer y = h (x) que também significa que y é uma função de x.

Podemos olhar para as funções algebricamente ou graficamente. Se usarmos álgebra, olharemos as equações. Se usamos geometria, usamos gráficos.

Um exemplo simples de notação funcional

Q d = o número de pizzas (quantidade) demandadas

P p = o preço de uma pizza

P t = o preço do molho de tomate

P d = o preço da massa de pizza

N = o número de potenciais comedores de pizza

Este é um exemplo de função que diz que o preço da pizza depende dos preços do molho de tomate, queijo e massa da pizza. Existe uma variável dependente, o preço da pizza, e existem três variáveis ​​independentes, os preços do molho de tomate, queijo e massa de pizza.

Este é outro exemplo de função. Ele diz que a quantidade de pizza demandada depende do preço da pizza e do número de potenciais consumidores de pizza. Existe uma variável dependente, a quantidade de pizza demandada, e existem duas variáveis ​​independentes, o preço da pizza e o número de potenciais consumidores de pizza.

Um exemplo econômico comum de notação funcional

C = consumo, valor gasto em bens e serviços

Y = receita, o valor disponível para gastar

Este é um exemplo de função que diz que o valor gasto no consumo depende da renda. Esta é uma forma muito geral da função de consumo. Para usá-lo, os economistas devem colocá-lo em uma forma matemática mais precisa. Por exemplo

Esta é uma função que diz que o consumo é 25 independentemente do nível de renda e que para cada dólar extra de renda 75 centavos são gastos no consumo.

O uso de notação funcional: alguns exemplos

Esta é uma função que diz que, y, uma variável dependente, depende de x, uma variável independente. A variável independente, x, pode ter valores diferentes. Quando x muda, y também muda.

Encontre f (0). Isso significa encontrar o valor de y quando x for igual a 0.

f (0) = 3 vezes 0 mais 4

f (0) = 3 (0) + 4 = 4

Encontre f (1). Isso significa encontrar o valor de y quando x for igual a 1.

f (1) = 3 vezes 1 mais 4

f (1) = 3 (1) + 4 = 7

Encontre f (-1). Isso significa encontrar o valor de y quando x for igual a -1.

f (-1) = 3 vezes (-1) mais 4

f (1) = 3 (-1) + 4 = 1

d (p) = p 2 -20p + 125

Esta é uma função que descreve a demanda por um item onde p é o preço em dólares por item. Diz que a demanda depende do preço.

Encontre a demanda quando um item custa $ 2.

d (2) = 2 2 - 20 (2) + 125 = 89

Encontre a demanda quando um item custa $ 5.

d (5) = 5 2 - 20 (5) + 125 = 50

Observe que, como podemos esperar, a demanda diminui à medida que o preço aumenta.

Duas ou mais funções podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas.

g (x) = x - 3 h (x) = x 2 + 2

Encontre g (0) + h (0)

g (0) = 0 - 3 = -3

h (0) = 0 2 + 2 = 2

g (0) + h (0) = -3 + 2 = -1


Avaliação Booleana de Curto-circuito

Quando AND, OR, e o operador ternário são usados ​​em uma expressão, eles entram em curto-circuito para aprimorar o desempenho (independentemente de qualquer chamada de função estar presente). O curto-circuito opera recusando-se a avaliar partes de uma expressão que não podem afetar seu resultado final. Para ilustrar o conceito, considere este exemplo:

No exemplo acima, a função FindColor () nunca é chamada se o Nome da Cor variável está vazia. Isso ocorre porque o lado esquerdo do E seria falso, e, portanto, seu lado direito seria incapaz de fazer o resultado final verdadeiro.

Por causa desse comportamento, é importante perceber que quaisquer efeitos colaterais produzidos por uma função (como alterar o conteúdo de uma variável global) podem nunca ocorrer se essa função for chamada no lado direito de um E ou OU.

Também deve ser observado que a avaliação de curto-circuito em cascata em aninhados Eareia OUs. Por exemplo, na expressão a seguir, apenas a comparação mais à esquerda ocorre sempre que Nome da Cor está em branco. Isso porque o lado esquerdo seria o suficiente para determinar a resposta final com certeza:

Conforme mostrado pelos exemplos acima, quaisquer funções caras (demoradas) geralmente devem ser chamadas no lado direito de um E ou OU para melhorar o desempenho. Essa técnica também pode ser usada para evitar que uma função seja chamada quando um de seus parâmetros receber um valor que considera impróprio, como uma string vazia.

[v1.0.46 +]: O operador condicional ternário (? :) também entra em curto-circuito ao não avaliar o ramo perdedor.


Notação da função de leitura

A notação de função é escrita usando o nome da função e o valor para o qual você deseja encontrar a saída. Por exemplo, (f (x) ) é lido & # 8220 (f ) de (x ) & # 8221 e significa & # 8220a saída da função (f ) quando a entrada é ( x ) & # 8221. Outro exemplo é algo como (g (2) ). É lido & # 8220 (g ) de 2 & # 8221 e representa a saída da função (g ) para o valor de entrada de 2.

Para ajudá-lo a entender essa notação, vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Exemplo

Quando (x = 2 ), o valor de uma função (y = f (x) ) é 10. Use a notação de função para representar isso.

Solução

A função é escrita como (f (x) ). Isso significa que a entrada da função é (x ). Como (x = 2 ), podemos começar escrevendo:

O exemplo diz que quando (x = 2 ), a saída é 10. Uma vez que a notação (f (2) ) representa a saída para a entrada de 2, podemos escrever isso como:

( bbox [borda: 1px preenchimento preto sólido: 2px])


A função seno inversa - arcsin

Para cada função trigonométrica, como sin, há uma função inversa que funciona ao contrário. Essas funções inversas têm o mesmo nome, mas com 'arco' na frente. (Em algumas calculadoras, o botão arcsin pode ser rotulado como asin, ou às vezes sin -1.) Portanto, o inverso de sin é arcsin etc. Quando vemos "arcsin A", entendemos isso como "o ângulo cujo pecado é A"

sin30 = 0,5 Significa: O seno de 30 graus é 0,5
arcsin 0,5 = 30 Significa: O ângulo cujo pecado é 0,5 é de 30 graus.
Use-o quando souber o seno de um ângulo e quiser saber o ângulo real.
Veja também definição de arco seno e funções inversas - trigonometria