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1.4: Números Irracionais - Matemática


O mais conhecido de todos os números irracionais é ( sqrt {2} ). Estabelecemos ( sqrt {2} ne dfrac {a} {b} ) com uma nova prova que não faz uso de argumentos de divisibilidade.

Suponha que ( sqrt {2} = dfrac {a} {b} ) ( (a ), (b ) inteiros), com (b ) o menor possível. Então (b

( dfrac {2ab} {ab} = 2 ), ( dfrac {a ^ 2} {b ^ 2} = 2, ) e ( dfrac {2ab - a ^ 2} {ab - b ^ 2} = 2 = dfrac {a (2b - a)} {b (a - b)} ).

Desse modo

( sqrt {2} = dfrac {2b - a} {a - b} ).

Mas (a <2b ) e (a - b

Para convencer os alunos da existência de irracionais, pode-se começar com uma prova da irracionalidade de ( log_ {10} 2 ). Se ( log_ {10} 2 = dfrac {a} {b} ) então (10 ​​^ {a / b} = 2 ) ou (10 ​​^ a = 2 ^ b ). Mas agora o lado esquerdo é divisível por 5, enquanto o lado direito não.

Também não tão familiar quanto deveria ser o fato de que ( cos 1 ^ { circ} ) (e ( sin 1 ^ { circ} )) é irracional. A partir de

( cos 45 ^ { circ} + i sin 45 ^ { circ} = ( cos 1 ^ { circ} + i sin 1 ^ { circ}) ^ {45} )

deduzimos que (45 ^ { circ} ) pode ser expresso como um polinômio em coeficientes inteiros em ( cos 1 ^ { circ} ). Portanto, se ( cos 1 ^ { circ} ) fosse racional, também seria ( cos 45 ^ { circ} = dfrac {1} { sqrt {2}} ).

O fato de que

( cos 1 = 1 - dfrac {1} {2!} + dfrac {1} {4!} - cdot cdot cdot )

é irracional pode ser provado da mesma forma que a irracionalidade de (e ). No último caso, assumindo (e ) racional,

( dfrac {b} {a} = e = 1 + dfrac {1} {1!} + dfrac {1} {2!} + cdot cdot cdot + dfrac {1} {(a + 1)!} + Dfrac {1} {(a + 2)!} + Cdot cdot cdot ),

que, após a multiplicação por (a! ), implicaria que ( dfrac {1} {a + 1} + dfrac {1} {(a + 1) (a + 2)} + cdot cdot cdot ) é um número inteiro positivo menor que 1.

Um argumento um pouco mais complicado pode ser usado para mostrar que (e ) não é de irracionalidade quadrática, ou seja, que se (a, b, c ) são inteiros, então (ae ^ 2 + be + c ne 0 ). No entanto, uma prova da transcendentalidade de (e ) ainda não é fácil. As edições anteriores de Hardy e Wright afirmavam que não havia prova fácil de que π é transcendental, mas essa situação foi retificada em 1947 por I. Niven, cuja prova da irracionalidade de ( pi ) que apresentamos agora.

Deixar

( pi = dfrac {a} {b}, f (x) = dfrac {x ^ n (a - por) ^ n} {n!} ), e (F (x) = f ( x) - f ^ {(2)} (x) + f ^ {(4)} (x) - cdot cdot cdot, )

o inteiro positivo (n ) sendo especificado posteriormente. Uma vez que (n! F (x) ) tem coeficientes e termos integrais em (x ) de grau ( le 2n ), (f (x) ) e todas as suas derivadas terão valores integrais em (x = 0 ). Também para (x = pi = dfrac {a} {b} ), uma vez que (f (x) = f ( dfrac {a} {b} - x) ). Por cálculo elementar, temos

( dfrac {d} {dx} [F '(x) sin x - F (x) cos x] = F' '(x) sin x + F (x) sin x = f (x ) sin x. )

Por isso

( int_ {0} ^ { pi} f (x) sin x dx = [F '(x) - F (x) cos x] _ {0} ^ { pi} = ) um inteiro .

No entanto, para (0

(0

para grande (n ). Conseqüentemente, a integral definida é positiva, mas arbitrariamente pequena para grande (n ); esta contradição mostra que a suposição ( pi = dfrac {a} {b} ) é insustentável.

Essa prova foi estendida de várias maneiras. Por exemplo, Niven também provou que o cosseno de um número racional é irracional. Se agora ( pi ) fosse racional, ( cos pi = −1 ) seria irracional. Além disso, o método também pode ser usado para provar a irracionalidade de certos números definidos como as raízes das soluções de equações diferenciais de segunda ordem que satisfazem condições de contorno especiais. Recentemente, foi dada uma variação da prova de Niven que, embora mais complicada, evita o uso de integrais ou séries infinitas. Uma prova realmente simples de que ( pi ) é transcendental, ou seja, não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros ainda está faltando.

No que diz respeito aos números transcendentais, existem essencialmente três tipos de problemas: provar a existência de tais números, construir tais números e, finalmente (e isso é muito mais difícil do que os dois primeiros) provar que certos números que surgem naturalmente na análise são transcendentais. Exemplos de números que foram comprovados como transcendentais são ( pi ), (e ), (e ^ {- pi} ) e ( dfrac { log 3} { log 2} ) É interessante observar aqui que a constante de Euler ( gamma ) e

( sum_ {n = 1} ^ { infty} dfrac {1} {n ^ {2s + 1}} ) ( (s ) é um inteiro)

nem mesmo foram provados irracionais.

A prova de Cantor da existência de números transcendentais continua mostrando que os números algébricos são contáveis, enquanto os números reais não. Assim, todo conjunto incontável de números contém números transcendentais. Por exemplo, há um número transcendental na forma (e ^ {i theta} ), (0 < theta < dfrac { pi} {2} ), digamos.

Embora não seja totalmente relevante aqui, vamos realizar agora uma pequena manobra de desaparecimento usando tal número transcendental (e ^ {i theta} ) e uma construção devido a Kuratowski.

Considere o seguinte conjunto de pontos no plano complexo. Comece com o ponto (O ) e seja ( tilde {S} ) o conjunto de todos os pontos obtidos a partir dele por uma sucessão das operações de transladar os pontos 1 unidade para a direita e girá-los em um ângulo ( theta ) sobre (O ). Se denotarmos tais translações e rotações por (T ) e (R ) respectivamente, então um ponto típico de nosso conjunto ( tilde {S} ) pode ser denotado por (T ^ {a} R ^ { b} T ^ {c} R ^ {d} cdot cdot cdot ). Em seguida, observamos que cada ponto de ( tilde {S} ) deve ter uma representação única nesta forma. Na verdade, (T ) significa adicionar 1 ao número complexo correspondente ao ponto e (R ) significa multiplicação por (e ^ {i theta} ). Portanto, todos os nossos pontos são polinômios em (e ^ {i theta} ) com coeficientes positivos, digamos (z = P (e ^ {i theta}) ). Mas agora, se um ponto tem uma representação dupla, então (P (e ^ {i theta}) = R (e ^ {i theta}) ) e obteríamos um polinômio em (e ^ {i theta} ) que negaria o caráter transcendental de (e ^ {i theta} ).

Seja ( tilde {T} ) o subconjunto de ( tilde {S} ) que consiste naqueles pontos de ( tilde {S} ) para os quais a última operação necessária para alcançá-los é um (T ), e deixe ( tilde {R} ) denotar o subconjunto que consiste naqueles pontos de ( tilde {S} ) para os quais a última operação necessária para alcançá-los é um (R ) . Claramente ( tilde {S} = tilde {T} cup tilde {R} ) e ( tilde {T} cap tilde {R} = emptyset ). Uma tradução de ( tilde {S} ) de uma unidade à direita envia ( tilde {S} ) para ( tilde {T} ), ou seja, torna ( tilde {R} ) desaparecer! Por outro lado, uma rotação do plano através de ( theta ) envia ( tilde {S} ) para ( tilde {R} ) fazendo ( tilde {T} ) desaparecer!

Até agora, discutimos apenas a existência de números transcendentais. A abordagem mais fácil para a construção real de tais números é por meio de um teorema de Liouville.

Dizemos que um número algébrico é de grau (n ) se satisfaz uma equação polinomial de grau (n ). Dizemos que um número real ( lambda ) é aproximado à ordem (n ) desde a desigualdade

(| lambda - dfrac {a} {b} | < dfrac {c} {b ^ n} )

tem uma infinidade de soluções para alguma constante (c ). O teorema de Liouville afirma que um número algébrico real de grau (n ) não é aproximado a qualquer ordem maior que (n ).

Suponha que ( lambda ) seja de grau (n ). Então, ele satisfaz uma equação

(f ( lambda) = a_0 lambda ^ n + a_1 lambda ^ {n - 1} + cdot cdot cdot + a_n = 0. )

Há um número (M = M ( lambda) ) tal que (| f '(x) |

e está mais próximo de ( lambda ) do que qualquer outra raiz de (f (x) = 0 ), de modo que (f (p / q) ne 0 ).

Claramente (veja a Figura 2),

(| f ( dfrac {p} {q}) | = dfrac {1} {q ^ n} | a_0p ^ n + a_1 p ^ {n - 1} q + cdot cdot cdot + a_n q ^ n | ge dfrac {1} {q ^ n} )

e

(| dfrac {f (p / q)} { lambda - p / q} |

de modo a

(| lambda - dfrac {p} {q} |> dfrac {c} {q ^ n} )

e o teorema está provado.

Embora o teorema de Liouville seja suficiente para a construção de muitos números transcendentais, muito interesse se concentra em certos refinamentos. Em particular, é desejável ter um teorema do seguinte tipo. Se ( lambda ) é de grau (n ), então

(| lambda - dfrac {p} {q} | < dfrac {M} {q ^ {f (n)}} )

tem no máximo um número finito de soluções. Aqui (f (n) ) pode ser tomado como (n ) pelo teorema de Liouville. Pode ser diminuído? Qui, por volta de 1909, mostrou pela primeira vez que se poderia tomar (f (n) = dfrac {n} {2} ) e Siegel (1921) mostrou que podemos tomar (f (n) = 2 sqrt {n } ). Isso foi ligeiramente melhorado por Dyson e Schneider para ( sqrt {2n} ). Muito recentemente (1955), F. K. Roth causou sensação ao provar que podemos tomar (f (n) = 2 + epsilon ). Sua prova é longa e complicada. Que não podemos tomar (f (n) = 2 ) (portanto, o resultado de Roth é da melhor maneira possível) pode ser visto a partir do seguinte resultado devido a Dirichlet.

Para irracional ( lambda ) existem infinitas soluções de

(| lambda - dfrac {p} {q} | < dfrac {1} {q ^ 2}. )

A prova não é difícil, seja ( lambda ) irracional e considere, para fixo (n ), os números ( ( lambda )), ( (2 lambda )), ... , ( (n lambda )), onde ((x) ) significa "parte fracionária de (x )". Esses (n ) pontos são pontos distintos em (0, 1) ); portanto, existem dois deles dizem (i lambda ) e (j lambda ) cuja distância entre eles é ( le dfrac {1} {n} ). Assim nós temos

((i lambda) - (j lambda) < dfrac {1} {n} )

ou

(k lambda - m le dfrac {1} {n} ) ( (k ) e (m ) inteiros ( le n ))

e

(| lambda - dfrac {m} {k} | le dfrac {1} {nk} le dfrac {1} {n ^ 2}, )

como requerido.

Voltamos agora à aplicação do teorema de Liouville para a construção de números transcendentais.

Considerar

( dfrac {1} {10 ^ {1!}} + dfrac {1} {10 ^ {2!}} + cdot cdot cdot + dfrac {1} {10 ^ {p!}} = lambda_p )

bem como o número real ( lambda = lambda _ { infty} ). É facilmente verificado que (| lambda _ { infty} - lambda_p | < dfrac {1} { lambda ^ {n + 1} ) para cada (p ). Portanto, ( lambda ) é aproximado à ordem (n ) para qualquer (n ) e, portanto, não é algébrico.


Números irracionais

Você viu que cada número racional é atribuído a um ponto na reta numérica e aprendeu sobre a propriedade de densidade dos números racionais. Isso significa que a linha está totalmente preenchida com os números racionais e não há mais números na reta numérica? Deixe-nos explorar.

Considere um triângulo isósceles em ângulo reto cujas pernas têm cada um 1 unidade de comprimento. Usando o teorema de Pitágoras, a hipotenusa pode ser vista tendo um comprimento √ (1 2 +1 2) (ver Fig. 2.6). Os gregos descobriram que este √ 2 não é um número inteiro nem uma fração ordinária. A crença na relação entre os pontos da reta numérica e todos os números foi destruída! √ 2 foi chamado de número irracional.


Um número irracional é um número que não pode ser expresso como uma proporção comum de dois inteiros.

Uma questão natural é saber como saber que √ 2 é irracional. Não é difícil justificar isso.

Se √ 2 for realmente racional, seja igual a p / q onde p, q são inteiros sem quaisquer fatores comuns (de modo que p / q estará em sua forma mais simples) e q ≠ 0.


o que significa que p 2 é par ... (2)

Deixe p = 2m (como?) Você obtém p 2 = 4m 2

Como resultado, q é par `... (4).

(3) e (4) mostram que peq têm um fator comum 2.

Isso contradiz nossa suposição de que p e q não têm fatores comuns e, portanto, nossa suposição de que √ 2 pode ser escrita como p / q está errada. Ou seja, √ 2 não é racional.


Exemplos

1. Além de √ 2, pode-se produzir vários exemplos para esses números irracionais.

Aqui estão alguns: √ 5, √ 7, 2 √ 3 …… ..

2. π, a razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro desse mesmo círculo, é outro exemplo de número irracional.

3. e, também conhecido como número de Euler, é outro número irracional comum.

4. Φ, a proporção áurea, também conhecida como média áurea, ou seção áurea, é um número frequentemente encontrado ao tomar as proporções das distâncias em figuras geométricas simples, como o pentágono, o pentagrama, o decágono e o dodecaedro, etc., é um número irracional.


Números racionais e irracionais

Um número racional ( ( mathbb)) é qualquer número que pode ser escrito como:

onde (a ) e (b ) são inteiros e (b ne 0 ).

Os seguintes números são todos números racionais:

Vemos que todos os numeradores e todos os denominadores são inteiros.

Isso significa que todos os inteiros são números racionais, porque podem ser escritos com um denominador de ( text <1> ).

Números irracionais ( ( mathbb')) são números que não podem ser escritos como uma fração com o numerador e o denominador como inteiros.

Exemplos de números irracionais:

Esses não são números racionais, porque o numerador ou o denominador não é um número inteiro.

Números decimais (EMA5)

Todos os inteiros e frações com numeradores inteiros e denominadores inteiros diferentes de zero são números racionais. Lembre-se de que quando o denominador de uma fração é zero, a fração é indefinida.

Você pode escrever qualquer número racional como um número decimal, mas nem todos os números decimais são números racionais. Esses tipos de números decimais são números racionais:

Números decimais que terminam (ou terminam). Por exemplo, a fração ( frac <4> <10> ) pode ser escrita como ( text <0,4> ).

Números decimais com um único dígito repetido. Por exemplo, a fração ( frac <1> <3> ) pode ser escrita como ( text <0,> ponto <3> ) ou ( text <0,> overline <3> ). As notações de ponto e barra são equivalentes e ambas representam ( text <3> ) 's recorrentes, ou seja, ( text <0,> dot <3> = text <0,> overline <3> = text <0,333.> ).

Números decimais que têm um padrão recorrente de vários dígitos. Por exemplo, a fração ( frac <2> <11> ) também pode ser escrita como ( text <0,> overline <18> ). A barra representa um padrão recorrente de ( text <1> ) 'se ( text <8> )' s, ou seja, ( text <0,> overline <18> = text <0 , 181818.> ).

Você pode ver um ponto final em vez de uma vírgula usada para indicar um número decimal. Portanto, o número ( text <0,4> ) também pode ser escrito como 0,4

Notação: Você pode usar um ponto ou uma barra sobre os dígitos repetidos para indicar que o decimal é um decimal recorrente. Se a barra cobrir mais de um dígito, todos os números abaixo da barra são recorrentes.

Se você for solicitado a identificar se um número é racional ou irracional, primeiro escreva o número na forma decimal. Se o número terminar, então é racional. Se continuar para sempre, procure um padrão repetido de dígitos. Se não houver um padrão repetido, o número é irracional.

Ao escrever números irracionais na forma decimal, você pode continuar a escrevê-los com muitas, muitas casas decimais. No entanto, isso não é conveniente e muitas vezes é necessário arredondar.

O arredondamento de um número irracional torna o número um número racional que se aproxima do número irracional.


Esta é uma das melhores maneiras de representar números irracionais. Eles assumem a forma:

Para números irracionais, podemos limitar (a_i, b_i ) a números inteiros (na definição genérica, esses são quaisquer números complexos). Vamos ver como eles podem ser usados ​​para números irracionais. Veja o exemplo da raiz quadrada do número primo p. Temos a fórmula:

( sqrt

= 1 + frac<1+ sqrt

>) , que pode ser reduzido a:

Usando esta fórmula, podemos representar alguns números irracionais como:

Representação de Euler & # 8217s número e, usando fração contínua:

No caso de Euler & # 8217s número (b_i = 1 ) e (a_i ) são: (a_0 = 2, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 4, a_6 = 1, a_7 = 1 & # 8230 ).

Todos os números irracionais podem ser representados dessa forma, embora seja um desafio fazê-lo.


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Conteúdo

Grécia Antiga Editar

A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a um pitagórico (possivelmente Hippasus de Metapontum), [5] que provavelmente os descobriu enquanto identificava os lados do pentagrama. [6] O método pitagórico então atual teria afirmado que deve haver alguma unidade suficientemente pequena e indivisível que poderia caber uniformemente em um desses comprimentos, bem como no outro. No entanto, Hippasus, no século 5 AC, foi capaz de deduzir que não havia de fato nenhuma unidade de medida comum, e que a afirmação de tal existência era de fato uma contradição. Ele fez isso demonstrando que se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles fosse realmente comensurável com uma perna, então um dos comprimentos medidos nessa unidade de medida deve ser ímpar e par, o que é impossível. Seu raciocínio é o seguinte:

  • Comece com um triângulo retângulo isósceles com comprimentos laterais de inteiros uma, b, e c. A proporção da hipotenusa para uma perna é representada por c:b.
  • Presumir uma, b, e c estão nos menores termos possíveis (ou seja, eles não têm fatores comuns).
  • Pelo teorema de Pitágoras: c 2 = uma 2 +b 2 = b 2 +b 2 = 2b 2 (Uma vez que o triângulo é isósceles, uma = b).
  • Desde a c 2 = 2b 2 , c 2 é divisível por 2 e, portanto, par.
  • Desde a c 2 é par, c deve ser igual.
  • Desde a c é par, dividindo c por 2 produz um número inteiro. Deixar y seja este inteiro (c = 2y).
  • Quadratura de ambos os lados de c = 2y rendimentos c 2 = (2y) 2, ou c 2 = 4y 2 .
  • Substituindo 4y 2 para c 2 na primeira equação (c 2 = 2b 2) nos dá 4y 2 = 2b 2 .
  • Dividir por 2 resulta em 2y 2 = b 2 .
  • Desde a y é um número inteiro e 2y 2 = b 2 , b 2 é divisível por 2 e, portanto, par.
  • Desde a b 2 é par, b deve ser igual.
  • Acabamos de mostrar que ambos b e c deve ser igual. Portanto, eles têm um fator comum de 2. No entanto, isso contradiz a suposição de que eles não têm fatores comuns. Esta contradição prova que c e b não podem ser ambos inteiros e, portanto, a existência de um número que não pode ser expresso como uma proporção de dois inteiros. [7]

Os matemáticos gregos denominaram esta proporção de magnitudes incomensuráveis alogos, ou inexprimível. Hipaso, no entanto, não foi elogiado por seus esforços: de acordo com uma lenda, ele fez sua descoberta enquanto estava no mar, e foi posteriormente lançado ao mar por seus companheiros pitagóricos “... por ter produzido um elemento no universo que negava a ... doutrina de que todos os fenômenos no universo podem ser reduzidos a números inteiros e suas proporções. ” [8] Outra lenda afirma que Hipaso foi meramente exilado por causa desta revelação. Quaisquer que sejam as consequências para o próprio Hipaso, sua descoberta representou um problema muito sério para a matemática pitagórica, uma vez que destruiu a suposição de que o número e a geometria eram inseparáveis ​​- um fundamento de sua teoria.

A descoberta de proporções incomensuráveis ​​era indicativa de outro problema enfrentado pelos gregos: a relação do discreto com o contínuo. Isso foi trazido à luz por Zenão de Elea, que questionou a concepção de que as quantidades são discretas e compostas por um número finito de unidades de um determinado tamanho. As concepções gregas anteriores ditavam que eles necessariamente deveriam ser, pois "números inteiros representam objetos discretos, e uma proporção comensurável representa uma relação entre duas coleções de objetos discretos", [9] mas Zenão descobriu que de fato "[quantidades] em geral não são coleções discretas de unidades é por isso que as proporções de [quantidades] incomensuráveis ​​aparecem .... [Q] uantidades são, em outras palavras, contínuas ”. [9] Isso significa que, ao contrário da concepção popular da época, não pode haver uma menor unidade de medida indivisível para qualquer quantidade. Na verdade, essas divisões de quantidade devem ser necessariamente infinitas. Por exemplo, considere um segmento de linha: este segmento pode ser dividido ao meio, aquela metade dividido pela metade, a metade da metade pela metade e assim por diante. Esse processo pode continuar infinitamente, pois sempre há outra metade a ser dividida. Quanto mais vezes o segmento é dividido pela metade, mais perto a unidade de medida chega de zero, mas nunca chega a exatamente zero. Isso é exatamente o que Zenão procurou provar. Ele procurou provar isso formulando quatro paradoxos, que demonstravam as contradições inerentes ao pensamento matemático da época. Embora os paradoxos de Zenão demonstrassem com precisão as deficiências das concepções matemáticas atuais, eles não eram considerados prova da alternativa. Na mente dos gregos, refutar a validade de uma visão não provava necessariamente a validade de outra e, portanto, investigações adicionais tinham que ocorrer.

O próximo passo foi dado por Eudoxo de Cnido, que formalizou uma nova teoria da proporção que levava em conta tanto quantidades comensuráveis ​​como incomensuráveis. O ponto central de sua ideia era a distinção entre magnitude e número. Uma magnitude “. não era um número, mas representava entidades como segmentos de linha, ângulos, áreas, volumes e tempo que podiam variar, como diríamos, continuamente. As magnitudes se opunham aos números, que saltavam de um valor para outro, a partir de 4 para 5. ” [10] Os números são compostos de alguma unidade indivisível menor, enquanto as magnitudes são infinitamente redutíveis. Como nenhum valor quantitativo foi atribuído às magnitudes, Eudoxus foi então capaz de explicar as proporções comensuráveis ​​e incomensuráveis, definindo uma proporção em termos de sua magnitude e a proporção como uma igualdade entre duas proporções. Tirando valores quantitativos (números) da equação, ele evitou a armadilha de ter que expressar um número irracional como um número. “A teoria de Eudoxus permitiu que os matemáticos gregos fizessem um tremendo progresso na geometria, fornecendo a base lógica necessária para proporções incomensuráveis.” [11] Esta incomensurabilidade é tratada nos Elementos de Euclides, Livro X, Proposição 9.

Como resultado da distinção entre número e magnitude, a geometria tornou-se o único método que poderia levar em consideração proporções incomensuráveis. Porque os fundamentos numéricos anteriores ainda eram incompatíveis com o conceito de incomensurabilidade, o foco grego mudou de conceitos numéricos como álgebra e focou quase exclusivamente na geometria. Na verdade, em muitos casos, as concepções algébricas foram reformuladas em termos geométricos. Isso pode explicar por que ainda concebemos x 2 e x 3 como x ao quadrado e x em cubos em vez de x para a segunda potência e x à terceira potência. Também crucial para o trabalho de Zenão com magnitudes incomensuráveis ​​foi o foco fundamental no raciocínio dedutivo que resultou da quebra fundamental da matemática grega anterior. A compreensão de que alguma concepção básica dentro da teoria existente estava em desacordo com a realidade exigiu uma investigação completa e completa dos axiomas e suposições que fundamentam essa teoria. Por causa dessa necessidade, Eudoxus desenvolveu seu método de exaustão, uma espécie de reductio ad absurdum que “. estabeleceu a organização dedutiva com base em axiomas explícitos. " assim como ". reforçou a decisão anterior de confiar no raciocínio dedutivo para a prova. ” [12] Este método de exaustão é a primeira etapa na criação do cálculo.

Teodoro de Cirene provou a irracionalidade das surds de números inteiros até 17, mas parou aí provavelmente porque a álgebra que ele usou não poderia ser aplicada à raiz quadrada de 17. [13]

Só depois que Eudoxus desenvolveu uma teoria da proporção que levava em conta as razões irracionais e racionais é que uma forte base matemática de números irracionais foi criada. [14]

Índia Editar

Problemas geométricos e matemáticos envolvendo números irracionais, como raízes quadradas, foram abordados muito cedo durante o período védico na Índia. Existem referências a tais cálculos no Samhitas, Brahmanas, e as Shulba Sutras (800 AC ou anterior). (Ver Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Sugere-se que o conceito de irracionalidade foi implicitamente aceito pelos matemáticos indianos desde o século 7 aC, quando Manava (c. 750 - 690 aC) acreditava que as raízes quadradas de números como 2 e 61 não podiam ser determinadas com exatidão. [15] No entanto, o historiador Carl Benjamin Boyer escreve que "tais afirmações não são bem fundamentadas e improváveis ​​de serem verdadeiras". [16]

Também é sugerido que Aryabhata (século V DC), ao calcular um valor de pi para 5 algarismos significativos, usou a palavra āsanna (se aproximando), para significar que isso não é apenas uma aproximação, mas que o valor é incomensurável (ou irracional) .

Posteriormente, em seus tratados, os matemáticos indianos escreveram sobre a aritmética de surds, incluindo adição, subtração, multiplicação, racionalização, bem como separação e extração de raízes quadradas. [17]

Matemáticos como Brahmagupta (em 628 DC) e Bhāskara I (em 629 DC) fizeram contribuições nesta área, assim como outros matemáticos que o seguiram. No século 12, Bhāskara II avaliou algumas dessas fórmulas e as criticou, identificando suas limitações.

Durante os séculos 14 a 16, Madhava de Sangamagrama e a escola de astronomia e matemática de Kerala descobriram a série infinita para vários números irracionais, como π e certos valores irracionais de funções trigonométricas. Jyeṣṭhadeva forneceu provas para essas séries infinitas no Yuktibhāṣā. [18]

Idade Média Editar

Na Idade Média, o desenvolvimento da álgebra por matemáticos muçulmanos permitiu que números irracionais fossem tratados como objetos algébricos. [19] Os matemáticos do Oriente Médio também fundiram os conceitos de "número" e "magnitude" em uma ideia mais geral de números reais, criticaram a ideia de Euclides de proporções, desenvolveram a teoria das proporções compostas e ampliaram o conceito de número para proporções contínuas magnitude. [20] Em seu comentário sobre o Livro 10 do Elementos, o matemático persa Al-Mahani (falecido em 874/884) examinou e classificou irracionais quadráticos e irracionais cúbicos. Ele forneceu definições para magnitudes racionais e irracionais, que tratou como números irracionais. Ele lidou com eles livremente, mas os explica em termos geométricos da seguinte forma: [21]

“Será uma (magnitude) racional quando dissermos, por exemplo, 10, 12, 3%, 6%, etc., porque o seu valor é pronunciado e expresso quantitativamente. O que não é racional é irracional e é impossível pronunciar e representam seu valor quantitativamente. Por exemplo: as raízes de números como 10, 15, 20 que não são quadrados, os lados dos números que não são cubos etc."

Em contraste com o conceito de Euclides de magnitudes como linhas, Al-Mahani considerou inteiros e frações como magnitudes racionais, e raízes quadradas e raízes cúbicas como magnitudes irracionais. Ele também introduziu uma abordagem aritmética ao conceito de irracionalidade, ao atribuir o seguinte às magnitudes irracionais: [21]

"suas somas ou diferenças, ou resultados de sua adição a uma magnitude racional, ou resultados da subtração de uma magnitude desse tipo de uma irracional, ou de uma magnitude racional dela."

O matemático egípcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 - 930) foi o primeiro a aceitar números irracionais como soluções para equações quadráticas ou como coeficientes em uma equação, geralmente na forma de raízes quadradas, raízes cúbicas e quartas raízes. [22] No século 10, o matemático iraquiano Al-Hashimi forneceu provas gerais (ao invés de demonstrações geométricas) para números irracionais, enquanto ele considerava multiplicação, divisão e outras funções aritméticas. [23] O matemático iraniano, Abū Ja'far al-Khāzin (900-971) fornece uma definição de magnitudes racionais e irracionais, afirmando que se uma quantidade definida é: [24]

"contido em uma determinada magnitude uma ou várias vezes, então esta (dada) magnitude corresponde a um número racional ... Cada vez que esta (última) magnitude compreende a metade, ou um terço, ou um quarto da magnitude dada (da unidade), ou, em comparação com (a unidade), compreende três, cinco ou três quintos, é uma magnitude racional. E, em geral, cada magnitude que corresponde a esta magnitude (ou seja, para a unidade), como um número para outro, é racional. Se, no entanto, uma magnitude não pode ser representada como um múltiplo, uma parte (1 /n), ou partes (m/n) de uma determinada magnitude, é irracional, ou seja, não pode ser expressa a não ser por meio de raízes. "

Muitos desses conceitos foram eventualmente aceitos pelos matemáticos europeus em algum momento após as traduções para o latim do século XII. Al-Hassār, um matemático marroquino de Fez especializado em jurisprudência de herança islâmica durante o século 12, menciona pela primeira vez o uso de uma barra fracionária, onde numeradores e denominadores são separados por uma barra horizontal. Em sua discussão, ele escreve: ". Por exemplo, se você for solicitado a escrever três quintos e um terço de um quinto, escreva assim, 3 1 5 3 < displaystyle < frac <3 quad 1> <5 quad 3 >>>. " [25] Esta mesma notação fracionária aparece logo depois na obra de Leonardo Fibonacci no século XIII. [26]

Edição do período moderno

O século 17 viu os números imaginários se tornarem uma ferramenta poderosa nas mãos de Abraham de Moivre, e especialmente de Leonhard Euler. A conclusão da teoria dos números complexos no século 19 implicou na diferenciação dos irracionais em números algébricos e transcendentais, a prova da existência dos números transcendentais e o ressurgimento do estudo científico da teoria dos irracionais, amplamente ignorada desde Euclides. O ano de 1872 viu a publicação das teorias de Karl Weierstrass (por seu aluno Ernst Kossak), Eduard Heine (Diário de Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) e Richard Dedekind. Méray tinha tomado em 1869 o mesmo ponto de partida de Heine, mas a teoria é geralmente referida ao ano de 1872. O método de Weierstrass foi completamente estabelecido por Salvatore Pincherle em 1880, [27] e o de Dedekind recebeu destaque adicional pelo autor posterior trabalho (1888) e o endosso por Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor e Heine baseiam suas teorias em séries infinitas, enquanto Dedekind funda a sua na ideia de um corte (Schnitt) no sistema de todos os números racionais, separando-os em dois grupos com certas propriedades características. The subject has received later contributions at the hands of Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101), and Charles Méray.

Continued fractions, closely related to irrational numbers (and due to Cataldi, 1613), received attention at the hands of Euler, and at the opening of the 19th century were brought into prominence through the writings of Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet also added to the general theory, as have numerous contributors to the applications of the subject.

Johann Heinrich Lambert proved (1761) that π cannot be rational, and that e n is irrational if n is rational (unless n = 0). [28] While Lambert's proof is often called incomplete, modern assessments support it as satisfactory, and in fact for its time it is unusually rigorous. Adrien-Marie Legendre (1794), after introducing the Bessel–Clifford function, provided a proof to show that π 2 is irrational, whence it follows immediately that π is irrational also. The existence of transcendental numbers was first established by Liouville (1844, 1851). Later, Georg Cantor (1873) proved their existence by a different method, which showed that every interval in the reals contains transcendental numbers. Charles Hermite (1873) first proved e transcendental, and Ferdinand von Lindemann (1882), starting from Hermite's conclusions, showed the same for π. Lindemann's proof was much simplified by Weierstrass (1885), still further by David Hilbert (1893), and was finally made elementary by Adolf Hurwitz [ citação necessária ] and Paul Gordan. [29]

Square roots Edit

The square root of 2 was the first number proved irrational, and that article contains a number of proofs. The golden ratio is another famous quadratic irrational number. The square roots of all natural numbers which are not perfect squares are irrational and a proof may be found in quadratic irrationals.

General roots Edit

The proof above for the square root of two can be generalized using the fundamental theorem of arithmetic. This asserts that every integer has a unique factorization into primes. Using it we can show that if a rational number is not an integer then no integral power of it can be an integer, as in lowest terms there must be a prime in the denominator that does not divide into the numerator whatever power each is raised to. Therefore, if an integer is not an exact k th power of another integer, then that first integer's k th root is irrational.

Logarithms Edit

Perhaps the numbers most easy to prove irrational are certain logarithms. Here is a proof by contradiction that log2 3 is irrational (log2 3 ≈ 1.58 > 0).

Assume log2 3 is rational. For some positive integers m e n, we have

However, the number 2 raised to any positive integer power must be even (because it is divisible by 2) and the number 3 raised to any positive integer power must be odd (since none of its prime factors will be 2). Clearly, an integer cannot be both odd and even at the same time: we have a contradiction. The only assumption we made was that log2 3 is rational (and so expressible as a quotient of integers m/n com n ≠ 0). The contradiction means that this assumption must be false, i.e. log2 3 is irrational, and can never be expressed as a quotient of integers m/n com n ≠ 0.

Cases such as log10 2 can be treated similarly.

Transcendental/algebraic Edit

Almost all irrational numbers are transcendental and all real transcendental numbers are irrational (there are also complex transcendental numbers): the article on transcendental numbers lists several examples. Então e r and π r are irrational for all nonzero rational r, and, e.g., e π is irrational, too.

Irrational numbers can also be found within the countable set of real algebraic numbers (essentially defined as the real roots of polynomials with integer coefficients), i.e., as real solutions of polynomial equations

Because the algebraic numbers form a subfield of the real numbers, many irrational real numbers can be constructed by combining transcendental and algebraic numbers. For example, 3 π + 2, π + √ 2 and e √ 3 are irrational (and even transcendental).

The decimal expansion of an irrational number never repeats or terminates (the latter being equivalent to repeating zeroes), unlike any rational number. The same is true for binary, octal or hexadecimal expansions, and in general for expansions in every positional notation with natural bases.

To show this, suppose we divide integers n de m (where m is nonzero). When long division is applied to the division of n de m, only m remainders are possible. If 0 appears as a remainder, the decimal expansion terminates. If 0 never occurs, then the algorithm can run at most m − 1 steps without using any remainder more than once. After that, a remainder must recur, and then the decimal expansion repeats.

Conversely, suppose we are faced with a repeating decimal, we can prove that it is a fraction of two integers. For example, consider:

Here the repetend is 162 and the length of the repetend is 3. First, we multiply by an appropriate power of 10 to move the decimal point to the right so that it is just in front of a repetend. In this example we would multiply by 10 to obtain:

Now we multiply this equation by 10 r Onde r is the length of the repetend. This has the effect of moving the decimal point to be in front of the "next" repetend. In our example, multiply by 10 3 :

The result of the two multiplications gives two different expressions with exactly the same "decimal portion", that is, the tail end of 10,000UMA matches the tail end of 10UMA exactly. Here, both 10,000UMA and 10UMA have .162 162 162 . after the decimal point.

Therefore, when we subtract the 10UMA equation from the 10,000UMA equation, the tail end of 10UMA cancels out the tail end of 10,000UMA leaving us with:

is a ratio of integers and therefore a rational number.

Dov Jarden gave a simple non-constructive proof that there exist two irrational numbers uma e b, such that uma b is rational: [30]

Consider √ 2 √ 2 if this is rational, then take uma = b = √ 2 . Otherwise, take uma to be the irrational number √ 2 √ 2 and b = √ 2 . Então uma b = ( √ 2 √ 2 ) √ 2 = √ 2 √ 2 · √ 2 = √ 2 2 = 2, which is rational.

Although the above argument does not decide between the two cases, the Gelfond–Schneider theorem shows that √ 2 √ 2 is transcendental, hence irrational. This theorem states that if uma e b are both algebraic numbers, and uma is not equal to 0 or 1, and b is not a rational number, then any value of uma b is a transcendental number (there can be more than one value if complex number exponentiation is used).

An example that provides a simple constructive proof is [31]

The base of the left side is irrational and the right side is rational, so one must prove that the exponent on the left side, log 2 ⁡ 3 >3> , is irrational. This is so because, by the formula relating logarithms with different bases,

Since the reals form an uncountable set, of which the rationals are a countable subset, the complementary set of irrationals is uncountable.

Under the usual (Euclidean) distance function d(x, y) = |xy|, the real numbers are a metric space and hence also a topological space. Restricting the Euclidean distance function gives the irrationals the structure of a metric space. Since the subspace of irrationals is not closed, the induced metric is not complete. However, being a G-delta set—i.e., a countable intersection of open subsets—in a complete metric space, the space of irrationals is completely metrizable: that is, there is a metric on the irrationals inducing the same topology as the restriction of the Euclidean metric, but with respect to which the irrationals are complete. One can see this without knowing the aforementioned fact about G-delta sets: the continued fraction expansion of an irrational number defines a homeomorphism from the space of irrationals to the space of all sequences of positive integers, which is easily seen to be completely metrizable.

Furthermore, the set of all irrationals is a disconnected metrizable space. In fact, the irrationals equipped with the subspace topology have a basis of clopen sets so the space is zero-dimensional.


Exercise 1.4 (NCERT Book)

Question 1: Without actually performing the long division, state whether the following rational numbers will have a terminating decimal expansion or a non-terminating decimal expansion:

(i) `(13)/(3125)`, (ii) `(17)/(8)` (iii) `(64)/(455)` (iv) `(15)/(1600)` (v) `(29)/(343)` (vi) `(23)/(2^35^3)` (vii) `(129)/(2^25^77^5)` (viii) `(6)/(15)` (ix) `(35)/(50)` (x) `(77)/(210)`

Responder: (i), (ii), (iv), (vi), (viii) and (ix) are terminating decimal expansion.

(iii), (v), (vii) and (x) are non-terminating repeating decimal expansion.

Question 2: Write down the decimal expansion of those rational numbers in Question 1 which have terminating decimal expansion.

Question 3: The following real numbers have decimal expansions as given below. In each case, decide whether they are rational or not. If they are rational , and of the form p/q, what can you say about the prime factors of q?

Responder: This is a rational number, q has either 2 or 5 or both as prime factor.

Responder: This is an irrational number.

Responder: This is a rational number. In this case, q has 2 or 5 or both as prime factor and has some other factor as well.


Rational Numbers

The integers form a pretty comprehensive set of numbers. We can add them, subtract them and multiply them. Only when we want to divide two integers it doesn’t always work.

The ratio 10 / 2 = 5 is simple. 8 / 2 = 4 is also simple. But 9 / 2 is not quite as obvious. It has to be somewhere in between 4 and 5 – but unfortunately there aren’t any integers between 4 and 5.

Therefore 9/2 must belong to a new group of numbers. These are called rational numbers and represented by the symbol (for quotients) All fractions or ratios, such as 376/290, �/657 or 1/499, are rational numbers.

Fractions usually have many representations. For example 1/2 = 2/4 = 3/6 and so on. In addition they can be written as decimal numbers such as 1/2 = 0.5 or 1/3 = 0.3333333… The decimal expansion of rational numbers is either finite (like 0.73), or it eventually consists of repeating blocks of digits (like 0.73454545…).


Can a Terminating Decimal Be Written as a Repeating Decimal?

If you think about it though, you&rsquoll see that any terminating decimal number can actually be written as a repeating decimal too. Como? Well, since you can always attach an infinite number of zeros to the very end of a number without changing its value, you can put an infinitely long string of zeros on the end of an otherwise terminating decimal&hellipand you&rsquoll have turned it into a repeating decimal!

For example, you can think of the terminating decimal 0.25 as 0.25000&hellip instead. But in this case, none of this really matters since the value of the number is exactly the same no matter how it&rsquos written. And that&rsquos why usually when we say &ldquorepeating decimal,&rdquo we mean a decimal number where something outro than only zeros are doing the repeating!


Kiwi Hellenist

There is a widespread notion that the discovery of irrational numbers was a thing of horror to the ancient Greeks. This went especially for the school of Pythagoras. Pythagoras is best known today for a famous theorem about right-angled triangles -- and we shall look at that theorem another day -- but in antiquity, his significance lay in the fact that he was a semi-legendary guru who founded a philosophico-religious sect in southern Italy.

No writings by Pythagoras himself survive (and it is extremely unlikely he ever wrote any). But the things we hear about the sect make it sound bizarre at times: depending on who you read, the Pythagoreans conveyed their teachings only orally and only in a cave, they had weirdly specific beliefs about reincarnation, and they venerated unexpected plants like fava beans and mallow. The vast majority of this information is reported very late, and is almost certainly false the bits that are true (whichever ones they are) are difficult to understand out of context.

The legendary Pythagorean veneration of orderly, rational numbers is well exemplified by a passage in William Meissner-Loeb’s graphic story Epicurus the sage, volume II (1991). Here the philosopher-hero Epicurus happens upon a group of Pythagoreans holding a ceremonious gathering to recite the powers of 2 (𔃲 . 4 . 8 . ’), and Epicurus terrorises them by shouting out random numbers. They lose their concentration and flee, crying out, ‘Unclean numbers! Unclean! Unclean!’ and ‘Ahhhh! It’s happening again!’

  1. Fractions were an integral (ha ha) part of Greek mathematics and held an important place in the Pythagorean theory of harmonics.
  2. There was no Pythagorean doctrine about reducing all phenomena to ratios.
  3. There is no evidence that anyone was ‘startled and disturbed’ by irrationals.
  4. The attribution of the discovery to Hippasus is speculative.
  5. No one threw Hippasus off a ship.

(For the record: we know nothing of the circumstances of the discovery, there was no execution, and Hippasus lived in the late 5th century BCE, more than a century after Pythagoras’ death.)

Singh paints Hippasus’ discovery in vivid colours. Does that make up for the fact that it is not only imaginative, but also completely imaginary? Hm.

I do not exactly blame Singh. Half of the relevant primary sources have never been translated into any modern language. But it does go to show how a story that is already distorted can metamorphose into something completely fictional.

  • Late 2nd century CE: Clement of Alexandria, Stromateis 5.9.57. Clement reports that a Pythagorean named "Hipparchus" revealed the teachings of Pythagoras in a book. As a symbol of his expulsion from the sect, the Pythagoreans erected a gravestone as if he were dead.
  • 3rd-4th century CE: Iamblichus, Life of Pythagoras tells us:
      : Hippasus, a Pythagorean, revealed the discovery that the vertices of a regular dodecahedron coincide with the surface of a sphere, and because of his impiety he was lost at sea : a man who made public the nature of rational and irrational ratios was so hated by the Pythagoreans that they expelled him and erected a tomb as if he were dead : a man who revealed the construction of the dodecahedron drowned at sea, punished by a divinity others say that this happened to the man who revealed the nature of rational and irrational ratios.
    1. Hippasus did not descobrir irrationals: he made secret Pythagorean doctrines public.
    2. The nature of these doctrines is unclear. It may have been the nature of rational and irrational numbers it may have been the existence of the dodecahedron, or the fact that its vertices coincide with a sphere.
    3. He was not executed or thrown off a ship: he died in a shipwreck, and some moralists attributed this to divine agency and made an allegorical fable out of it.
    4. Alternatively, his former comrades built a tomb for him, to represent that he was dead to them.

    None of them can be trusted an inch.

    Trustworthy testimony about Pythagoras and the Pythagoreans is in short supply. Generally speaking, the earlier, the better: and Iamblichus and the others are very late. We get hints about Pythagorean doctrines in Herodotus (5th cenutry BCE), Plato, and Aristotle (4th century BCE). But most of that material relates to the mystical side of Pythagoreanism: in particular, the early sources have nothing to say about Pythagorean teachings about irrational numbers. So we have essentially no corroboration for anything that Iamblichus and other late sources have to tell us. It is all suspect, and it is mostly false.

    For what posso be recovered about 5th-century-BCE Pythagorean teachings about mathematics, a good starting place would be Reviel Netz’ essay ‘The problem of Pythagorean mathematics’ (C. A. Huffman, ed., A history of Pythagoreanism, Cambridge, 2014, pp. 167-84): Netz argues that the Pythagorean mathematician par excellence of the time was not Hippasus, for whom no early evidence exists, but rather Archytas, about whom Aristotle tells us a good deal.

    Did I say Plato has nothing to say about irrational numbers? Well, not in relation to Pythagoreanism, maybe. But one of Plato’s dialogues does have a section devoted to a discovery made by Theaetetus of Athens, that numbers other than exact squares (1, 4, 9, 16, 25. ) have irrational square roots (Theaet. 147d-148b). Theaetetus was no slouch: much of book 10 of the Elements may well be his doing. Theaetetus divides the integers into two groups: exact squares, which he called ‘square and equilateral’ (τετράγωνόν τε καὶ ἰσόπλευρον), and numbers that are not squares but are ‘rectangular’ (ἑτερόμηκες). He calls their square roots, respectively, a ‘length’ (μῆκος) and a ‘power’ (δύναμις) and ‘lengths’ and ‘powers’ are incommensurable with one another. ‘And similarly for solids,’ he finishes on a tantalising note.

    In the dialogue, what is Socrates’ reaction to the revelation of irrational numbers? Is he horrified? disoriented? ‘startled and disturbed’?

    No. He is impressed at a nifty mathematical discovery.

    As we all should be. Irrational numbers were not a skeleton in the Pythagoreans' closet: if the Pythagoreans had anything to do with their discovery -- and that’s a big if -- they should instead be regarded as one of the Pythagoreans’ greatest achievements. But in reality, it’s most likely that credit for the achievement belongs to Theaetetus: and he was not executed or ostracised, but was highly respected for his mathematical work.


    Assista o vídeo: Números irracionais (Novembro 2021).