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14.32: Seção 7.4 Respostas - Matemática


1. (y = x_ {1} x ^ {- 4} + c_ {2} x ^ {- 2} )

2. (y = c_ {1} x + c_ {2} x ^ {7} )

3. (y = x (c_ {1} + c_ {2} ln x) )

4. (y = x ^ {- 2} (c_ {1} + c_ {2} ln x) )

5. (y = c_ {1} cos ( ln x) + c_ {2} sin ( ln x) )

6. (y = x ^ {2} [c_ {1} cos (3 ln x) + c_ {2} sin (3 ln x)] )

7. (y = c_ {1} x + frac {c_ {2}} {x ^ {3}} )

8. (y = c_ {1} x ^ {2/3} + c_ {2} x ^ {3/4} )

9. (y = x ^ {- 1/2} (c_ {1} + c_ {2} ln x) )

10. (y = c_ {1} x + c_ {2} x ^ {1/3} )

11. (y = c_ {1} x ^ {2} + c_ {2} x ^ {1/2} )

12. (y = frac {1} {x} [c_ {1} cos (2 ln x) + c_ {2} sin (2 ln x] )

13. (y = x ^ {- 1/3} (c_ {1} + c_ {2} ln x) )

14. (y = x [c_ {1} cos (3 ln x) + c_ {2} sin (3 ln x)] )

15. (y = c_ {1} x ^ {3} + frac {x_ {2}} {x ^ {2}} )

16. (y = frac {c_ {1}} {x} + c_ {2} x ^ {1/2} )

17. (y = x ^ {2} (c_ {1} + c_ {2} ln x) )

18. (y = frac {1} {x ^ {2}} left [c_ {1} cos left ( frac {1} { sqrt {2}} ln x right) + c_ {2} sin left ( frac {1} { sqrt {2}} ln x right) right] )


Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 7 Geometria Coordenada Ex 7.4

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Tópicos e subtópicos da Aula 10 Matemática Capítulo 7 Geometria coordenada:

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Borda CBSE
Livro didático NCERT
Aula Classe 10
Sujeito Matemáticas
Capítulo Capítulo 7
Nome do Capítulo Geometria coordenada
Exercício Ex 7.4
Número de questões resolvidas 8
Categoria Soluções NCERT


Webassign respostas

1. Usando a fórmula do comprimento do arco para encontrar o comprimento da curva y = 2x-3, -2 & lt = x & lt = 1. Verifique sua resposta observando que a curva é um segmento de linha e calculando seu comprimento pela fórmula da distância.
2. Encontre o comprimento exato da curva.
x = 1 / 3sqrt (y) (y-3), 4 & lt = y & lt = 9
3. Encontre o comprimento exato da curva. y = ln (sec x), 0 & lt = x & lt = pi / 4
5.Um vento constante sopra uma pipa para oeste. A altura da pipa acima do solo da posição horizontal x = 0 a x = 100 pés é dada por y = 150-1 / 40 (x-50) ^ 2. Encontre a distância percorrida pela pipa. (Arredonde sua resposta para uma casa decimal.)
6. Um falcão voando 17 m / s em uma atitude de 204 m deixa cair acidentalmente sua presa. A trajetória parabólica de uma presa falhando é descrita pela equação.
y = 204-x ^ 2/51
até atingir o solo, onde y é sua altura acima do solo ex é sua distância horizontal percorrida em metros. Calcule a distância percorrida pela presa desde o momento em que é largada até o momento em que atinge a rodada. Expresse sua resposta correta até o décimo metro mais próximo.
7. Encontre o comprimento do arco da curva do ponto P ao ponto Q.
x ^ 2 = (y-4) ^ 3, P (1,5), Q (27,13)

10. Configure, mas não avalie, uma integral para o comprimento da curva.
y = 7cosx, 0 & lt = x & lt = 2pi
11. Y = xe ^ x ^ 8 0 & lt = x & lt = 9


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Problemas de geometria com respostas e soluções - 10ª série

São apresentados problemas de geometria da 10ª série com respostas.

.

  1. Qual é a área, em polegadas quadradas, da base da pirâmide?
  2. Qual é a área da superfície total, em polegadas quadradas, da pirâmide?
  3. Qual é h, a altura, em polegadas, da pirâmide?
  4. Usando a altura que você determinou na parte (c), qual é o volume, em polegadas cúbicas, da pirâmide?

.

.

.

Respostas às perguntas acima


  1. a) 100 polegadas quadradas
    b) 100 + 4 (1/2) 12 10 = 340 polegadas quadradas
    c) h = & # 8730 (12 2 - 5 2) = & # 8730 (119)
    d) Volume = (1/3) 100 & # 8730 (119)
    = 363,6 polegadas ao cubo (aproximado a 4 dígitos decimais)


O novo teste de matemática SAT e questões práticas



Temos muitos recursos e vídeos gratuitos para ajudá-lo a se preparar para o SAT. Esses materiais são para o SAT redesenhado, que é para você se você estiver fazendo o SAT em março de 2016 e depois. À medida que avança nas questões práticas e nos testes, tente avaliar as áreas em que pode precisar de ajuda e use os muitos recursos gratuitos disponíveis neste site.

As perguntas do Teste de Matemática SAT são distribuídas da seguinte forma:
& touro Coração da Álgebra - 19 questões
& bull Resolvendo Problemas e Análise de Dados - 17 questões
& bull Passaporte para matemática avançada - 16 questões
& bull Tópicos avançados em matemática - 6 questões

O Coração da Álgebra inclui:
& bull Analisar e resolver equações lineares e sistemas de equações lineares
& bull Crie equações lineares e desigualdades para representar as relações entre as quantidades e resolver problemas.
& bull Compreenda e use a relação entre equações lineares e desigualdades e seus gráficos para resolver problemas

Resolução de problemas e análise de dados incluem:
& bull Crie e analise relacionamentos usando proporções, porcentagens, raciocínio proporcional e unidades
& bull Representar e analisar dados quantitativos
& bull Encontre e aplique probabilidades no contexto

O Passaporte para Matemática Avançada inclui:
& bull Identificar e criar expressões algébricas equivalentes
& bull Criar, analisar e resolver equações quadráticas e não lineares
& bull Criar, usar e representar graficamente funções exponenciais, quadráticas e outras funções não lineares

Tópicos avançados em matemática incluem:
& bull Resolver problemas relacionados à área e volume
& bull Aplicar definições e teoremas relacionados a retas, ângulos, triângulos e círculos
& bull Trabalhar com triângulos retângulos, o círculo unitário e funções trigonométricas
& bull Problemas envolvendo a aritmética de números complexos.

Calculadora (38 questões, 55 minutos) e Porções sem calculadora (20 questões, 25 minutos).
Você terá permissão para usar uma calculadora em apenas uma parte do Teste de Matemática do SAT. Recomenda-se uma calculadora científica ou gráfica. Em geral, as perguntas da parte da calculadora são mais complexas do que as da parte sem calculadora.

Perguntas de múltipla escolha e de resposta do aluno.
Questões de múltipla escolha
& bull 45 questões e 78% do teste
& bull Consiste em quatro opções com apenas uma resposta correta
Perguntas de resposta do aluno
& bull 13 questões e 22% do teste
A resposta do & bull pode ser uma fração, decimal ou número inteiro positivo

Informações de referência de matemática do SAT reprojetado

O teste de matemática inclui as informações de referência mostradas abaixo. Embora você possa consultá-los durante o teste, mas devido a limitações de tempo, é aconselhável que você memorize e saiba como usar as fórmulas.

Observe também que todos os valores fornecidos no teste são desenhados em escala, a menos que indicado de outra forma.

Teste de Prática de Matemática PSAT para outubro de 2015 e além

A seguir estão orientações e soluções em vídeo para o Teste Prático de Matemática PSAT / NMSQT oficial redesenhado 1, Calculadora não permitida, do CollegeBoard.

A seguir estão vídeos, orientações e soluções para o Teste Prático de Matemática PSAT / NMSQT redesenhado oficial 1, Calculadora Permitida, do CollegeBoard.


SAT Math Practice Tests de março de 2016 e além

A seguir estão vídeos, orientações e soluções para as seções de matemática dos testes práticos do SAT do Guia de estudo oficial do SAT.

Imprima o Teste Prático 1 (pdf), responda às perguntas e, em seguida, passe pelos vídeos e soluções a seguir para verificar suas respostas quando necessário.

Teste prático 1, seção 3, teste de matemática - sem calculadora

Imprima o Teste Prático 2 (pdf), responda às perguntas e, em seguida, siga as instruções em vídeo a seguir para verificar suas respostas quando necessário.

Teste prático 2, seção 3, teste de matemática - sem calculadora

Vídeos, orientações e soluções para exemplos de perguntas que ilustram os recursos distintivos do teste de matemática do SAT redesenhado do College Board

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7.4 O que são inteligência e criatividade?

Psicologia 2e 7.4 O que são inteligência e criatividade?

1 Introdução à Psicologia

4 estados de consciência

5 Sensação e Percepção

7 Pensamento e Inteligência

10 Emoção e motivação

13 Psicologia Industrial-Organizacional

14 Estresse, estilo de vida e saúde

15 transtornos psicológicos

Objetivos de aprendizado

  • Definir inteligência
  • Explique a teoria triárquica da inteligência
  • Identifique a diferença entre as teorias de inteligência
  • Explique a inteligência emocional
  • Defina a criatividade

Um menino de quatro anos e meio está sentado à mesa da cozinha com o pai, que está lendo uma nova história em voz alta para ele. Ele vira a página para continuar lendo, mas antes de começar, o menino diz: "Espere, papai!" Ele aponta para as palavras na nova página e lê em voz alta: “Vá, Porco! Vai!" O pai para e olha para o filho. "Você pode ler isso?" ele pergunta. "Sim Papa!" E ele aponta para as palavras e lê novamente, “Vá, Porco! Vai!"

Esse pai não estava ensinando ativamente o filho a ler, embora a criança constantemente fizesse perguntas sobre letras, palavras e símbolos que viam em toda parte: no carro, na loja, na televisão. O pai se perguntou o que mais seu filho poderia entender e decidiu fazer uma experiência. Pegando uma folha de papel em branco, ele escreveu várias palavras simples em uma lista: mãe, pai, cachorro, pássaro, cama, caminhão, carro, árvore. Ele colocou a lista na frente do menino e pediu-lhe que lesse as palavras. “Mãe, pai, cachorro, pássaro, cama, caminhão, carro, árvore”, ele leu, diminuindo a velocidade para pronunciar cuidadosamente pássaro e caminhão. Então, "Eu fiz isso, papai?" “Você com certeza! Isso é muito bom." O pai deu um abraço caloroso em seu filho e continuou lendo a história sobre o porco, o tempo todo se perguntando se as habilidades de seu filho eram uma indicação de inteligência excepcional ou simplesmente um padrão normal de desenvolvimento linguístico. Como o pai neste exemplo, os psicólogos se perguntam o que constitui inteligência e como ela pode ser medida.

Classificando Inteligência

O que exatamente é inteligência? A maneira como os pesquisadores definiram o conceito de inteligência foi modificada muitas vezes desde o nascimento da psicologia. O psicólogo britânico Charles Spearman acreditava que a inteligência consistia em um fator geral, denominado g, que podem ser medidos e comparados entre os indivíduos. Spearman se concentrou nas semelhanças entre as várias habilidades intelectuais e não enfatizou o que tornava cada uma delas única. Muito antes do desenvolvimento da psicologia moderna, no entanto, os filósofos antigos, como Aristóteles, tinham uma visão semelhante (Cianciolo & amp Sternberg, 2004).

Outros psicólogos acreditam que, em vez de um único fator, a inteligência é um conjunto de habilidades distintas. Na década de 1940, Raymond Cattell propôs uma teoria da inteligência que dividia a inteligência geral em dois componentes: inteligência cristalizada e inteligência fluida (Cattell, 1963). A inteligência cristalizada é caracterizada como conhecimento adquirido e a capacidade de recuperá-lo. Quando você aprende, lembra e relembra informações, está usando inteligência cristalizada. Você usa inteligência cristalizada o tempo todo em seu curso, demonstrando que domina as informações abordadas no curso. A inteligência fluida engloba a capacidade de ver relacionamentos complexos e resolver problemas. Navegar até sua casa depois de ser desviado para uma rota desconhecida por causa da construção de uma estrada recorreria à sua inteligência fluida. A inteligência fluida ajuda a enfrentar desafios complexos e abstratos em sua vida diária, enquanto a inteligência cristalizada ajuda a superar problemas concretos e diretos (Cattell, 1963).

Outros teóricos e psicólogos acreditam que a inteligência deve ser definida em termos mais práticos. Por exemplo, que tipos de comportamento o ajudam a progredir na vida? Quais habilidades promovem o sucesso? Pense nisso por um momento. Ser capaz de recitar todos os 45 presidentes dos Estados Unidos em ordem é um excelente truque de festa, mas saber disso o tornará uma pessoa melhor?

Robert Sternberg desenvolveu outra teoria da inteligência, que chamou de teoria triárquica da inteligência porque ela a vê como composta de três partes (Sternberg, 1988): inteligência prática, criativa e analítica (Figura 7.12).

A inteligência prática, conforme proposta por Sternberg, às vezes é comparada a "malandragem". Ser prático significa encontrar soluções que funcionam no seu dia a dia, aplicando conhecimentos baseados em suas experiências. Esse tipo de inteligência parece estar separado da compreensão tradicional de indivíduos de QI que pontuam alto em inteligência prática podem ou não ter pontuações comparáveis ​​em inteligência criativa e analítica (Sternberg, 1988).

A inteligência analítica está intimamente alinhada com a resolução de problemas acadêmicos e cálculos. Sternberg diz que a inteligência analítica é demonstrada pela capacidade de analisar, avaliar, julgar, comparar e contrastar. Ao ler um romance clássico para a aula de literatura, por exemplo, geralmente é necessário comparar os motivos dos personagens principais do livro ou analisar o contexto histórico da história. Em um curso de ciências como anatomia, você deve estudar os processos pelos quais o corpo usa vários minerais em diferentes sistemas humanos. Ao desenvolver uma compreensão deste tópico, você está usando inteligência analítica. Ao resolver um problema matemático desafiador, você aplicaria inteligência analítica para analisar diferentes aspectos do problema e, em seguida, resolvê-lo-ia seção por seção.

A inteligência criativa é marcada por inventar ou imaginar uma solução para um problema ou situação. A criatividade neste reino pode incluir encontrar uma nova solução para um problema inesperado ou produzir uma bela obra de arte ou um conto bem desenvolvido. Imagine por um momento que você está acampando na floresta com alguns amigos e percebe que esqueceu a cafeteira do acampamento. A pessoa em seu grupo que descobrir uma maneira de preparar café para todos seria considerada uma pessoa de maior inteligência criativa.

A Teoria das Inteligências Múltiplas foi desenvolvida por Howard Gardner, psicólogo de Harvard e ex-aluno de Erik Erikson. Na teoria de Gardner, cada pessoa possui pelo menos oito inteligências. As oito inteligências são inteligência linguística, inteligência lógico-matemática, inteligência musical, inteligência cinestésica corporal, inteligência espacial, inteligência interpessoal, inteligência intrapessoal e inteligência naturalista. Entre os psicólogos cognitivos, a teoria de Gardner foi fortemente criticada por carecer de evidências empíricas. No entanto, os educadores continuam a estudar e usar a teoria de Gardner, com algumas faculdades até mesmo discutindo como integram a teoria de Gardner em suas salas de aula. Gottfredson descreve uma possível razão para o uso contínuo da teoria de Gardner: “. . . que existem múltiplas inteligências independentes, sugerindo que todos podem ser inteligentes de alguma forma. Esta é, compreensivelmente, uma ideia muito atraente nas sociedades democráticas ”(2004).

As inteligências inter e intrapessoais de Gardner são frequentemente combinadas em um único tipo: inteligência emocional. A inteligência emocional abrange a capacidade de compreender as emoções de si mesmo e dos outros, mostrar empatia, compreender as relações sociais e dicas e regular suas próprias emoções e responder de maneiras culturalmente apropriadas (Parker, Saklofske & amp Stough, 2009). Pessoas com alta inteligência emocional geralmente têm habilidades sociais bem desenvolvidas. Alguns pesquisadores, incluindo Daniel Goleman, autor de Inteligência emocional: por que pode ser mais importante do que o QI, argumentam que a inteligência emocional é um melhor preditor de sucesso do que a inteligência tradicional (Goleman, 1995). No entanto, a inteligência emocional tem sido amplamente debatida, com pesquisadores apontando inconsistências em como ela é definida e descrita, bem como questionando resultados de estudos sobre um assunto que é difícil de medir e estudar empericamente (Locke, 2005 Mayer, Salovey, & amp Caruso , 2004)

A teoria de inteligência mais abrangente até o momento é a teoria de habilidades cognitivas Cattell-Horn-Carroll (CHC) (Schneider & amp McGrew, 2018). Nessa teoria, as habilidades estão relacionadas e organizadas em uma hierarquia com habilidades gerais no topo, habilidades amplas no meio e habilidades estreitas (específicas) na base. As habilidades estreitas são as únicas que podem ser medidas diretamente, entretanto, elas estão integradas dentro das outras habilidades. No nível geral está a inteligência geral. Em seguida, o nível amplo consiste em habilidades gerais, como raciocínio fluido, memória de curto prazo e velocidade de processamento. Finalmente, à medida que a hierarquia continua, o nível estreito inclui formas específicas de habilidades cognitivas. Por exemplo, a memória de curto prazo se dividiria ainda mais em extensão de memória e capacidade de memória de trabalho.

A inteligência também pode ter diferentes significados e valores em diferentes culturas. Se você mora em uma pequena ilha, onde a maioria das pessoas obtém seu alimento pescando em barcos, seria importante saber como pescar e como consertar um barco. Se você fosse um pescador excepcional, seus colegas provavelmente o considerariam inteligente. Se você também tivesse habilidade para consertar barcos, sua inteligência poderia ser conhecida em toda a ilha. Pense na cultura da sua própria família. Quais valores são importantes para as famílias Latinx? Famílias italianas? Nas famílias irlandesas, hospitalidade e contar uma história divertida são marcas da cultura. Se você é um contador de histórias habilidoso, outros membros da cultura irlandesa provavelmente o considerarão inteligente.

Algumas culturas valorizam muito o trabalho conjunto como um coletivo. Nessas culturas, a importância do grupo supera a importância da realização individual. Quando você visita uma cultura assim, o quão bem você se relaciona com os valores dessa cultura exemplifica sua inteligência cultural, às vezes chamada de competência cultural.

Link para aprendizagem

Criatividade

Criatividade é a capacidade de gerar, criar ou descobrir novas ideias, soluções e possibilidades. Pessoas muito criativas geralmente têm intenso conhecimento sobre algo, trabalham nisso por anos, procuram soluções novas, buscam o conselho e a ajuda de outros especialistas e assumem riscos. Embora a criatividade seja frequentemente associada às artes, na verdade é uma forma vital de inteligência que leva as pessoas em muitas disciplinas a descobrir algo novo. A criatividade pode ser encontrada em todas as áreas da vida, desde a maneira como você decora sua casa até uma nova maneira de entender como uma célula funciona.

A criatividade geralmente está conectada à capacidade de uma pessoa de se envolver em pensamentos divergentes. O pensamento divergente pode ser descrito como o pensamento “fora da caixa” - permite que um indivíduo chegue a soluções múltiplas e únicas para um determinado problema. Em contraste, o pensamento convergente descreve a capacidade de fornecer uma resposta ou solução correta ou bem estabelecida para um problema (Cropley, 2006 Gilford, 1967)

Conexão do dia a dia

Criatividade

Dr. Tom Steitz, ex-Professor Sterling de Bioquímica e Biofísica na Universidade de Yale, passou sua carreira examinando a estrutura e aspectos específicos das moléculas de RNA e como suas interações poderiam ajudar a produzir antibióticos e evitar doenças. Como resultado de sua vida inteira de trabalho, ele ganhou o Prêmio Nobel de Química em 2009. Ele escreveu: “Olhando para trás, para o desenvolvimento e progresso de minha carreira na ciência, lembro-me da importância vital de uma boa orientação nos estágios iniciais de desenvolvimento de carreira e constantes conversas cara a cara, debates e discussões com colegas em todas as fases da pesquisa. Descobertas, percepções e desenvolvimentos notáveis ​​não acontecem no vácuo ”(Steitz, 2010, para. 39). Com base no comentário de Steitz, fica claro que a criatividade de alguém, embora seja uma força individual, se beneficia das interações com outras pessoas. Pense em uma época em que sua criatividade foi estimulada por uma conversa com um amigo ou colega de classe. Como essa pessoa influenciou você e que problema você resolveu usando a criatividade?


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14.32: Seção 7.4 Respostas - Matemática

Texto de Fundamentos da Matemática

Meu texto sobre Fundamentos da Matemática foi publicado pela Wiley em março de 2008. As respostas para todos os problemas estarão disponíveis para os instrutores que adotarem o texto por meio da editora. Aqui está um link para a página do editor: http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470085010.html.

Fundamentos da Matemática

Este texto fornecerá aos alunos do segundo ano em matemática a compreensão e as habilidades necessárias para ler e pensar sobre matemática e escrever provas. Mas procura fazer mais do que simplesmente competir com os muitos textos atuais. Pretendo aplicar as lições mais bem-sucedidas do movimento calculus reform a este curso orientado para a prova.

O reforço gráfico, simbólico e numérico de conceitos em textos de cálculo de reforma tem ajudado a intuição dos alunos de cálculo e capacidade de resolução de problemas. As questões conceituais desses textos levam os alunos além da computação e da manipulação de símbolos, sem pular para questões abstratas gerais ou questões altamente simbólicas. Os alunos do segundo ano em matemática que emergem de cursos de solução de problemas se beneficiariam de uma intuição mais profunda sobre definições e conceitos abstratos. Assim, eles serão mais capazes de ler textos matemáticos, formular provas e responder a perguntas baseadas na teoria. Meu texto facilitará essa transição pela ordenação dos tópicos e pelas explicações, exemplos e problemas. Embora eu construa intuição, não vou rebaixar a expectativa final de que os alunos entendam matemática e escrevam provas no nível de alunos de matemática bem-sucedidos.

Um número crescente de departamentos de matemática tem respondido às dificuldades que os alunos de matemática típicos encontram em cursos de divisão superior exigindo um curso de introdução de provas e estruturas matemáticas básicas. Embora muitos textos já tratem dessa necessidade, eles sofrem de várias deficiências. Quase universalmente, esses textos presumem que os alunos podem absorver novos conceitos e definições mais rapidamente do que, em minha experiência, os alunos médios. Por exemplo, esses livros esperam que os alunos usem um conceito em provas na seção de introdução do conceito.

Esses textos também têm várias outras deficiências. A maioria se esquece de explicar como entender as definições matemáticas e como ler textos matemáticos. Eles muitas vezes usam palavras coloquiais para definições, teoremas e problemas que os alunos mais fracos consideram enganosos. Finalmente, alguns textos não explicam com clareza suficiente como gerar e escrever provas.

Estou confiante de que posso escrever um texto superior, que ajude os alunos a compreender a linguagem matemática, desenvolver sua intuição e escrever provas. Aprendi muito sobre como escrever textos escrevendo primeiro um texto de matemática de artes liberais não publicado e, subsequentemente, O ponto de vista geométrico: um levantamento das geometrias, publicado por Addison, Wesley e Longman (1998). Além disso, meu treinamento de pós-graduação em lógica matemática e longos anos de ensino de matemática aprimoraram minha habilidade de explicar a linguagem lógica e formatos de prova. Aprendi como construir a intuição dos alunos, permitindo-me introduzir conceitos de uma forma compreensível. Os revisores do meu texto de geometria notaram como seus problemas inovadores construíram a intuição dos alunos.

Os alunos geralmente precisam de ajuda para fazer a transição de cursos baseados em problemas para cursos baseados em provas, especialmente álgebra abstrata e análise. Um curso de fundações ou transição é a resposta mais comum a essa necessidade. Embora os melhores alunos de matemática façam essa transição por conta própria, muitos departamentos de matemática contam com cursos básicos para ajudar mais alunos a ter sucesso.

Os alunos que fazem um curso básico geralmente têm alguns cursos universitários baseados em problemas - dois ou três semestres de cálculo e talvez álgebra linear ou equações diferenciais - geralmente com pouca ou nenhuma ênfase na prova. Como muitas escolas de segundo grau minimizaram a quantidade de provas ensinadas em suas aulas de geometria, um curso básico pode muito bem ser o primeiro encontro do aluno com a prova matemática. Além disso, em cursos de resolução de problemas, os alunos muitas vezes não lêem o texto, muito menos entendem ou usam definições matemáticas formais. Na verdade, muitos textos de cálculo turvam as águas ao rotular intuições - por exemplo. a derivada é a inclinação das definições da tangente. Assim, os alunos muitas vezes experimentam as definições matemáticas como notações com palavras estranhas, em vez de chaves excepcionalmente claras e concisas para provar os resultados. Uma vez que eles precisam aprender formatos de prova e desenvolver estratégias de prova ao mesmo tempo em que lutam com novos conceitos, eles encontram uma frustração significativa. Na verdade, acho que fala bem da habilidade e dedicação do corpo docente de matemática que tantos alunos tenham sucesso em cursos básicos.

Os cursos básicos de ensino para professores são geralmente Ph.D. matemáticos sem nenhum treinamento formal em lógica. Eles trabalham muito para ajudar seus alunos, mas precisam de um texto para apoiar a transição. Contam com o texto explicando e ilustrando com clareza novos conceitos, definições e convenções de redação de provas. Eles enfatizam prova de teoremas e cobrem a teoria dos conjuntos elementares. Freqüentemente, departamentos individuais adicionam requisitos adicionais, como a introdução de matemática discreta ou o fornecimento de uma vantagem inicial em análise real ou álgebra.

Um dos textos mais vendidos, Uma transição para o avançado Mathematics by Smith, Eggen, and St. Andre and published by Brooks Cole, succeeds in many fundamental ways. It covers all of the core material with a large number of problems of many types. It also highlights the different proof formats. However, my colleagues and I were dissatisfied with it for several reasons. Its encyclopedic presentation of properties in elementary logic and set theory makes it difficult for students to distinguish useful properties from incidental ones. Its dry presentation of mathematics without motivation or connections failed to engage my students they thought the course was a waiting room before they were allowed to learn the real stuff. Like other texts, it doesn t convey intuitions about new definitions, notations and concepts, and it expects students to incorporate this new material into proofs immediately.

One of the oldest texts, How to Read and Write Proofs by Solow and published by Wiley, accomplishes well what its title says. In 1983 I used it successfully as a supplement to a linear algebra course emphasizing proofs. (We no longer try to teach proof techniques in this course.) However, it would hardly qualify as the text for a foundations course since it doesn t cover set theory or other mathematical content.

O livro Capítulo um by Schumacher and published by Addison Wesley, uses a decidedly different approach from other texts. It intentionally does not provide proofs for the results so that students will need to construct their own text. Unfortunately it is thus not useful as a later reference for students. A colleague used it for a small discussion based section of our foundations course. She thought it worked reasonably well for that format and class size. I suspect that few professors would choose such a course structure. I doubt this text would fit well with a standard course or with more typical class sizes.

I just finished using The Foundations of Higher Mathematics by Fletcher and Patty and published by Brooks Cole. My colleagues advised me that it was the best available, better than the text by Smith, Eggen and St. Andre. While I like much of it, and the students generally find it more readable than Smith s text, I find many aspects of it frustrating. Indeed, my disappointment with this text has finally pushed me to propose writing a text. It doesn t emphasize proof formats enough and fails to discuss how to prove uniqueness in the chapter on proofs. It fails to motivate or inter-relate the various topics it presents. The problems are uneven in quality. The material on the axiom of choice and its equivalents is too brief to help students understand how to use these sophisticated tools. The authors too often write definitions and problems using confusing colloquial English. Some of the biographical sketches distort the history, most egregiously the biography of Evariste Galois.

The texts Introduction to Mathematical Structures and Doing Mathematics by Galovich and published by Harcourt Brace and Jovanovich are very good, but the first is too sophisticated for many majors, and the second, leaner one omits too many topics.

I have not had the opportunity to use the very recent text Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics by Chartrand, Polimeni and Zhang and published by Addision Wesley. It does introduce set theory ideas prior to proof formats and appears to give good clear discussions about proofs. However, starting with the chapter on equivalence relations it appears to revert to the usual format of expecting proofs at the same time students are learning concepts. Also, it puts relations in front of functions, even though students are much more familiar with functions. Finally, it does not address the Axiom of Choice at all, a topic I think a foundations text should address carefully.

My text will include all the familiar topics in the many current texts. The most important pedagogical difference from other texts will be the order of topics in Part I. (See the Table of Contents below.) Students need to work with new notations and definitions before they can prove properties involving them. Therefore I propose delaying proofs until the second chapter. The first chapter will introduce the language of mathematics logic, sets, and numbers. It will give students practice using and writing definitions, finding examples and counter-examples, and conjecturing. This approach also provides a greater variety of properties to prove in the following chapter on proofs. The large variety of proof exercises, including outline proofs, where students fill in missing steps, will reinforce the interplay of intuition and format. I will end the proof chapter with a general discussion of generating and writing proofs, including good proof writing, common mistakes and the role of examples and illustrations.

I propose postponing the chapter on relations until after the chapter on functions. Although functions are formally a special case of relations, calculus students already think about functions in general, whereas they have encountered only isolated examples of relations. Thus students can build on their understanding of functions to prepare their intuition for the abstract properties of relations.

Student learning centers on the problem sets. I will include a large selection of a variety of problems and levels of difficulty, enough for two assignments on material students find difficult. Indeed, a number of sections, which I will indicate in the introduction, deserve more than one class period. Pedagogically I think students benefit from such intentional extra time to synthesize hard material. I will include exercises in reading mathematics, a skill few texts try to address.

I would expect an instructor using this text to do all of Part I. A semester course could include at least one chapter in Part II or substantial portions of two or more. I will write each chapter in Part II to serve as a useful reference for students whose course did not treat that topic. The whole text will act as a long term reference, with the important definitions and theorems clearly indicated in the text and minor ones placed as exercises.

Other proposed features of this text deserve some mention.

This text will incorporate historical perspective and biographical sketches for their intrinsic interest and for pedagogical reasons. For example, the limitations of Aristotle s syllogisms help explain the need for quantifiers to handle the subtleties of mathematical reasoning.

Many future graduate students need a reference giving a clear presentation of the Axiom of Choice, Zorn s Lemma, and the Well Ordering Principle. Chapter 5 will explain them carefully and illustrate their use in proofs, although I will write it so the instructor can easily omit that material when presenting the rest of the chapter.

While axiomatics, metamathematics and philosophy of mathematics are unusual topics in a foundations course, I think they belong in the text, especially in its role as a reference. The axiomatic approach has shaped current presentation and practice in algebra, geometry and analysis. In addition, the results of metamathematics inform our understanding of what mathematics and computer science can and can t do. Questions about mathematical existence, truth and applicability continue to puzzle anyone interested in mathematics, even if the philosophical battles have long faded. In addition to describing briefly the strengths, weaknesses and appeal of traditional philosophical positions I will include short discussions of pedagogical constructivism and cognitive psychology. My students find this material engaging and a valuable opportunity to reflect on mathematics.

The final three chapters focus on particular needs. Some schools include discrete topics in the foundations course to avoid requiring another course, especially for future secondary mathematics teachers. The chapter on discrete mathematics will fulfill this need. Abstract algebra students greatest difficulty is to operate formally in proving abstract properties. The algebra chapter will provide a bridge using familiar examples. Students will make conjectures as well as do simple proofs. Students in analysis often struggle with its sophisticated definitions and proof techniques. As preparation the chapter on analysis will build an analytical intuition about turning approximations into exact values before introducing formal definitions and delta-epsilon proofs.


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